追梦计划招生数学卷

EDCBA2016年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）学 校 姓 名 准考证号 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．）（1）如图所示，四边形ABCD 中，//AB DC ，过B 作//BE AD 交CD 于点E ，下列说法不正确的是（★★★） （A ）A BED ∠=∠ （B ）ABE BEC ∠=∠（C ）D BEC ∠=∠（D ）180A C ∠+∠=（2）下列等式正确的是（★★★）（A ）239-=-（B ）22532x y x y -=（C ）437()()a a a -⋅-=- （D ）22(23)(32)32x y y x y x +⋅-=- （3）某校九年级学生参加体育测试，一组10人的引体向上成绩如下表：这组同学完成引体向上的个数的众数和中位数依次是（★★★）（A ）9，10（B ）9.5，10（C ）10，9（D ）10，9.5（4）用半径为6cm 、圆心角为120︒的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（★★★）（A ）2cm（B ）3cm（C ）4cm（D ）6cm（5）从长度分别为1、3、5、7、9的五条线段中任取三条，这三条线段可构成三角形的概率是（★★★）（A ）15（B ）310（C ）25（D ）12（6）在ABC △中，BC BA >，BC CA >，F 、G 是BC 边上的两点，B ∠、C ∠的角平分线分别垂直AG 、AF ，垂足分别为D 、E ．若ABC △的周长为20，BC 的长为8，则DE 的长为（★★★） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4第（1）题图第（7）题图 （7）如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，//a b ，Rt GEF △从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到E 与B 重合．运动过程中Rt GEF △与矩形ABCD 重合部分的面积S 随时间t 变化的函数关系的图像大致是（★★★）（A ） （B ） （C ） （D ）（8）矩形ABCD 中，AB =1BC =，矩形内动点P 满足PA AD ≥，PB BC ≥，则动点P所在区域的面积为（★★★）（A 2π（B ）3π（C 23π （D 3π（9）符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[2.6]2=，[1]1-=-，[ 2.6]3-=-．若关于x 的方程[][3](0)x x kx k +=≠在01x <<内有解，则k 的取值范围是（★★★）（A ）332k <≤ （B ）23k <≤ （C ）23k ≤≤ （D ）322k <≤ （10）将正整数按如下规律排列：第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 …… 第一行 1第二行 2 4 第三行 3 5 7第四行 6 8 10 12第五行 9 11 13 15 17 …… ……设2016在第i 行第j 列，则i j +等于（★★★） （A ）79（B ）80（C ）81（D ）82abDBECAFG第（17）题图第（18）题图BCD AGHFEOP AOyxBTCR二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共 20分．）（11）已知||x y <，给出下列三个不等式：①0x y +>；②0x y ->；③220x y ->．其中正确的不等式的序号为★★★（填上你认为正确的所有不等式的序号）．（12）若方程组22251x y x y k +=⎧⎨-=+⎩的解满足条件14x y <+<，则k 的取值范围是★★★．（13）已知ABC △的三边长分别为13、13、10，则其内切圆半径为★★★． （14）数、学、好、玩这四个文字分别表示09之间的不同数字，且满足算式“数学×好玩＝1988”，则四位数“玩好数学”为★★★．（15）若函数223(03)y x ax x =-+<<的图像恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是★★★． 三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （16）（本小题满分12分）（Ⅰ）计算：01(1tan 35)(12cos 452-+︒-+︒-；（Ⅱ）先化简，再求值：2211(286)(1)9x x x x -+÷-⨯-，其中12x =-．（17）（本小题满分12分）如图，(40)A -，，P R 、是函数6(0)y x x=>图像上 的两点，PB x ⊥轴于点B ，RT x ⊥轴于点T （T 在B 右侧），APB △面积为9．（Ⅰ）求直线AP 的解析式；（Ⅱ）若方程2(2)20x m x m -++=的两根等于 线段BT TR 、的长，求m 的值． （18）（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别 是AB 、BC 、CD 、DA 边上的动点（不含端点）， 且EG 、FH 均过正方形的中心O ． （Ⅰ）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（Ⅱ）试探究：当线段CG 与CF 满足什么数量关系时， 四边形EFGH 为矩形．CBDA30°15°第（19）题图① 第（19）题图②（19）（本小题满分12分）（Ⅰ）试利用图①求tan15︒的值（结果用根式表示）； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果解答下面问题：如图②，一船以15千米/时的速度自西向东航行，在A 处看到灯塔C 在北偏东75︒方向．行驶4小时后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东45︒方向，求这时船与灯塔的距离．（20）（本小题满分14分）如图，AC 是四边形ABCD 外接圆O 的直径，E 是AC 、BD 的交点，且BA BD =．（Ⅰ）证明：2ACD BAC ∠=∠； （Ⅱ）若10AC =，2511OE =，求AB 的长． （21）（本小题满分14分）我们知道，若1x ，2x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根，则有212()()ax bx c a x x x x ++=--．即221212()ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，于是12()b a x x =-+，12c ax x =．由此可得一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）：12b x x a +=-，12cx x a⋅=． 参考上述推理过程，解答下列问题：若1x ，2x ，3x 是关于x 的方程2(3)x x t -=的三个实数根，且123x x x <<．（Ⅰ）求122331x x x x x x ++，222123x x x ++的值； （Ⅱ）试用只含2x 的代数式表示31x x -，并求31x x -的最大值． （22）（本小题满分14分）已知抛物线2y ax bx c =++过点(03)M ，，且关于x 的方程2219(21)(34)04x a x b a b ---+-+=有两个相等的实数根． （Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）过点(0)P t ，作y 轴的垂线交抛物线于点A 和点B （点A 在点B 的左侧）．（i ）若2BP PA =，试求t 的值；（ii ）设抛物线的顶点为E ，ABM △的外接圆'O 与抛物线交于另一点N ，若直线EN 与圆'O 相切，试求t 的值．北CBA。

2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．5210258+=⎧⎨+=⎩x yx y12．5<x13．333333212345621+++++=14．4+15．13<≤n三、解答题（本大题共7小题，满分90分）16. 本小题主要考查实数的运算、代数式的化简等基础知识，考查代数运算能力、化简能力，分类与整合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）原式=116+82-+⨯……………………5分=8……………………………………6分（Ⅱ）原式222241--=÷--x x xxx x……………………………………8分()()222122--=⋅-+-x x xx xx x…………………………9分1=.2-+x……………………………………11分当12=-x时，原式23=-.……………………………12分17. 本小题主要考查圆的几何性质、等腰三角形的判定及性质等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查演绎论证及度量计算的逻辑思想等．满分12分．证明：（Ⅰ）∵ 四边形ABED 为⊙O 的圆内接四边形∴ 180∠+∠=B ADE ……………………………………2分 又 ∵ 180∠+∠=CDE ADE∴ ∠=∠B CDE ……………………………………3分 ∵ =AB AC∴ ∠=∠B C ……………………………………4分 ∴ ∠=∠C CDE ……………………………………5分 ∴ ∆CDE 为等腰三角形……………………………………6分 （Ⅱ）法一：连接AE ，∵ ⊙O 的直径为AB∴ 90=∠AEB ∴BC AE ⊥...............................7分∵AC AB =∴421==BC CE .........................................8分 由(Ⅰ)知EDC C B ∠=∠=∠，C C ∠=∠ ∴ABC ∆∽EDC ∆ ∴ECACDC BC =...........................................10分 ∴332=⋅=DC CE BC AC .................................11分 ∵AC AB =∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 法二：连接AE ，过点E 作⊥EF CD ，垂足为F 由（Ⅰ）知∆CDE 是以CD 为底边的等腰三角形∴ 1322==CF CD ………………7分 ∵ ⊙O 的直径为AB90∴∠=AEB ……………………8分 ∵ =AB AC4∴==BE CE …………………9分 ∵ ，∠=∠∠=∠B C AEB EFC∴ ∆EFC ∽∆AEB ，……………………………10分 ∴=FC CE BE AB……………………………………11分∴ 4432332⋅⨯===CE BE AB FC∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 18.本题考察反比例函数图像及性质、一次函数解析式求解问题,及求平面四边形面积问题,涉及对称与割补思想方法.满分12分． 解：（Ⅰ）过点C 分别作CE AO ⊥于点E ， 设点(,)C m n ， ∵tan 2∠=COA 2,n m ∴=..................................1分 ∵//CB OA ,B y n ∴=∵D 为AE 的中点，,2D ny ∴=..............................................2分 又,C D 在反比例函数图象上，,D D mn x y k ∴=⋅=2,D x m ∴= ..............................................4分∵2,=B x 1,m ∴= 2,n ∴=.............................................5分2.k mn ∴==所以，反比例函数的解析式为2.=y x...........................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(1,2),(2,1)C D ，法一：AOC ACD OCDA S S S ∆∆=+四边形......................9分 1152211222=⨯⨯+⨯⨯=..............12分法二： BCDOCDA OABC S S S ∆=-四边形四边形矩形∆∆=+-COE BCD ABCE S S S ...............9分115121211222=⨯⨯+⨯-⨯⨯=...........12分19. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分12分．（Ⅰ）法一：证明：过P 作⊥PM AB 于M ，⊥PN BC 于N ，……………………1分 ∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ 90∠=ABC ， ∴ 四边形BMPN 是矩形，又 ∵ BD 是∠ABC 的角平分线，∴ =PM PN ……………………………………2分 ∴ 四边形BMPN 是正方形， ∴ 90∠=MPN ， ∵ ⊥AP PE ， ∴ 90∠= APE ，∴ ∠-∠=∠-∠APE MPE MPN MPE∴ ∠=∠APM EPN ……………………………………4分 在∆APM 和∆EPN 中，∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AMP ENP PM PNAPM EPN ， ∴ ∆APM ≌∆EPN （ASA ），……………………………………5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，.....................2分∴ ∠=∠ABP AEP .....................3分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴45ABP ︒∠=，∴ 45∠=AEP ，∴45EAP ︒∠=∴∠=∠EAP AEP ......................5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分（Ⅱ）法一：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ 90∠=BAD ， 又∵90∠= PBM ， ∴ PM ∥AD ， ∴ ∆BPM ∽∆BDA ， ∴=PM BPAD BD ，……………………………………7分 同理，PN BPCD BD=，∴PM PNAD CD =， ∴63==42=PM AD PN CD ，……………………………………9分 ∵ 90∠=∠=AMP ENP ，∠=∠MPA EPN ， ∴ ∆APM ∽.∆EPN ……………………………………10分 ∴=AP PMPE PN……………………………………11分 ∴ :3:2.=AP PE 为定值.…………………………………12分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，..................8分∴ABP AEP ∠=∠，......................9分 tan tan ∴∠=∠ABP AEP∵ tan tan ，∠=∠=AP AD AEP ABP AE AB....................11分 ∴3.2==AP AD AE AB .....................12分 （或证明AEP ABD ∆∆∽）20. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分14分．解：在ΔABD 中作DA B C ⊥于点C .…………………2分 在ABC Rt ∆中， 1645AB BAC ︒=∠=，，28==∴AC BC ……………………………………3分2628214=-=-=∴AC AD CD ………………………………4分依题意，以点D 为圆心，12海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………5分∵ 12<所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………6分在BC 上取点E 使得12=ED ，连接AE ，ED . 在CED Rt ∆中，12=ED ，26=CD所以，222CD ED CE -=26=∴CE ……………………………8分在A C E Rt ∆中，222AC CE AE +=210=∴AE ……………………………9分所以，在A C E Rt ∆中，53sin ==∠AE CE EAC '3652EAC ︒∴∠= ……………………………11分因为该渔船到达点E 的时间224224===BE t 小时. 所以巡逻船速度2022210==≥t AE v 海里/小时. ………………………13分 所以，巡逻船要以北偏东''9036525308︒︒︒-=的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截. ………………………14分 （注：没有取“=”扣1分）21.本题考察学生的阅读理解能力，解一元二次方程及求解二次函数最值的能力，蕴含了数形结合的思想. 满分14分．解：（I ）由题意知，{}3,22max --=-，......................................2分 所以方程变为 2228x x -=-+，化简为 2410x x --=...................3分解得 12x =或 22x =所以方程{}23,228max x x --=-+的解为2+或2分 （II ）(1)当2236x x x x +-≥-即32x ≥时， {}22236,36,y max x x x x x x =+--=+-...................................7分∵ 236=+-y x x 的对称轴为3,2x =-而32x ≥在对称轴32x =-的右侧，y ∴随着x 的增大而增大，32x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2333()36224y =+⨯-=.................9分（2）当2236x x x x +-<-即32x <时，{}22236,,y m a x x x x x x x =+--=-.....................................11分∵ 2=-y x x 的对称轴为1,2x =而1322<， 12x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2111()224y =-=-..................13分由（I ）（II ）得 函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值为14-..........14分（注：若用数形结合作答的酌情给分.）22. 本题考查用待定系数法求函数解析式及一次函数和二次函数的性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了化归及数形结合的数学思想．满分14分．解：（I ）由已知设)0(2)1(:21≠--=a x a y C 过)0,3(B ，........................1分则024=-a ，21=a ..........................2分 23212)1(21:221--=--=∴x x x y C ..........................3分抛物线1C 的对称轴方程为1=x ，由对称性可得)0,1(-A ....................4分（II ）法一：设直线)0(≠+=k b kx y l ：由已知得⎩⎨⎧=+-=+032b k b k ，解得3,1-==b k 3:-=∴x y l ................5分设直线l 交y 轴于)3,0(-D∵ =OB OD ，45=∠∴ODB由平移的性质可知BC PQ = ∵=PF BC ，22==∴PF PQ ∵⊥PF l ，PQF ∆∴为等腰直角三角形.ODB FQP ∠==∠∴ 45，4=QFy FQ //∴轴 ....................7分设)3,(-t t Q ，则)2321,(2--t t t F ，4|)3(2321|2=----=t t t FQ 解得1-=t 或5，则)0,1(-F 或)6,5( ....................9分 法二：连接FQ 并延长交x 轴于H ，连接AF∵ 22==BC AC ，4=AB∴ABC ∆为等腰直角三角形...............5分90=∠ACB ， 45=∠=∠BAC ABC∵ l FP ⊥ ∴90=∠FPQ ∴PF AC //∵ BC PF =∴AC PF =∴四边形ACPF 为矩形 ∴AF PC // ∴ 45=∠FAH由平移的性质可知BC PQ =∴PFQ ∆为等腰直角三角形， 45=∠FQP∴ 45=∠AFH ∴AFH ∆为等腰直角三角形..........................7分设)2321,(2--m m m F ，则FH AH =即2321)1(2--=--m m m 解得1-=m 或5，即)0,1(-F 或)6,5( ..............................9分（Ⅲ）连接QR AR MQ NQ ,,,由（II ）可知 90=∠=∠FPQ ACB ，)2,5(QPF AC //∴∵=AC PF∴四边形ACPF 为矩形90=∠∴MAN RQ MN AR ==∴21R ∴在AQ 的垂直平分线上，即R 的路径是线段....11分当点M 在C 处时，R 在AQ 的中点1R 处，当点M 在A 处时，R 在AN 上的点2R 处 ∵122190,∠=∠=∠ AR R AQC R AR ∵121sin ∠==R R AC NAQ CQ AR∵===AC CQ AQ 21021=∴R R 即R 的路径长度为210......................................14分。

环际大联考“逐梦计划”2021-2022学年度第二学期期中考试高一数学（文科）试题一､选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．9sin 4π=（）A ．12B ．2C D ．22．在ABC 中，4a =，1b =，1cos 2C =，则ABC 的面积为（）A ．2B ．CD ．13．已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点﹐且0OA OB OC ++=，那么（）A ．AO OD= B ．2AO OD= C ．3AO OD= D ．2AO OD= 4．若()1sin 3πα+=，则()sin cos 2ππαα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭（）A ．23-B ．23C ．3D ．3-5．已知向量()1,2a =-，()3,1b =r ，则()a ab ⋅-= （）A ．2B ．4C ．6D ．-66．函数y =的定义域是（）A ．2,2(Z)33k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,2(Z)66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦C ．22,2(Z)33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．222,2(Z)33k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦7．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，只需将cos2y x =的图像（）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度D ．向右平移23π个单位长度8．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b ,则角B 的值为A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π9．若函数()sin()f x x ωθ=+的图象（部分）如图所示，则ω和θ的取值是（）A ．1,3πωθ==B ．1,3πωθ==-C ．1,26πωθ==D ．1,26πωθ==-10．已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（）A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．35,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．35,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移12π个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，则下面对函数()y g x =的叙述正确的是（）A ．函数()2sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．函数()g x 的周期为πC ．函数()g x 图像的一个对称中心为点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12．已知非零向量AB 和AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为()A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形二､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点(1,3),(4,1)A B -，O 为坐标原点，则与向量AB同方向的单位向量为_______．14．函数()tan2f x x =的图象的对称中心为______．15．()()cos585tan 585sin 570︒=-︒+-︒______．16．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒处；行驶4h后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒处.这时船与灯塔的距离为_______km .三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）17．设AB 两点在河的对岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是100m ，75BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒，求A ，B 两点的距离.18．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a = ，OB b =.(1)求a 在b上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；19．已知向量a 与向量b 的夹角为3π，2a = ，3b =r ，记向量34m a b =- ，2n a kb =+ .(1)若m n ⊥，求实数k 的值；(2)若m n u rr∥，求实数k 的值．20．已知函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.(1)求()f x 的最小正周期及单调增区间；(2)求()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域.21．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA =(1)求角B 的大小；(2)若2b =，求BC BA ⋅的最大值．22．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图像如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)设02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.1．B 【分析】利用诱导公式即可求得答案.【详解】9sinsin 2sin 444ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭故选：B.2．C 【分析】利用三角形的面积公式求解.【详解】在ABC 中，因为1cos 2C =，所以sin 2C ==，所以11sin 4122ABC S ab C ==⨯⨯ 故选：C 3．B 【分析】根据平面向量运算，结合点D 是BC 的中点，化简运算.【详解】D 为BC 边中点，∴2OB OC OD += ，∵0OA OB OC ++= ，∴20OA OD +=u u u r u u u r r ，即2AO OD = .故选：B 4．A 【分析】利用诱导公式化简计算．【详解】()1sin sin 3παα+=-=，1sin 3α=-，()sin cos 2ππαα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭2sin sin 2sin 3ααα+==-．故选：A ．5．C 【分析】首先根据平面向量的坐标运算得到a b -，再根据平面向量数量积的运算进行计算即可得出答案.【详解】()=4,1a b --，()()14126a a b ⋅-=-⨯-+⨯= .故选：C.6．D 【解析】利用负数不能开偶次方根，再由三角不等式的解法求解．【详解】由2cos 10x +≥，得1cos 2x - ，解得2222,Z 33k x k k ππππ-+∈ ．所以函数的定义域是222,2(Z)33k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故选：D ．7．B 【分析】直接由三角函数图象的平移变换求解即可.【详解】将cos2y x =的图像向右平移3π个单位长度可得2cos2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.8．A 【详解】由余弦定理和及已知条件得2cos ac B =，所以cos B =0B π<<，所以6B π=，故选A.考点：1.余弦定理；2.同角三角基本关系.9．C 【分析】根据图象得出周期，进而得出12ω=，点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭在函数图象上结合五点作图法确定6πθ=.【详解】由函数图象可得：22T 433πππω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得12ω=，由于点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭在函数图象上且为五点作图法的第一个点，可得102,Z23k k πθπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭解得2,Z 6k k πθπ=+∈当0k =时，可得6πθ=故选：C.【点睛】本题主要考查了根据图象求正弦型函数的解析式，属于中档题.10．B 【分析】函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,周期23T ππω=≥,解得:6ω≤,令322,242k x k k Z ππππωπ+<+<+∈可得115(2)(2),44k x k k Z ππππωω+<<+∈，由于函数()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，可得15(2,4)2k πππω+≥1(234)k πππω+≤，分析即得解【详解】函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,0ω>∴周期22()233T ππππω=≥⨯-=,解得:6ω≤又 函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的减区间满足:322,242k x k k Zππππωπ+<+<+∈解得：115(2)(2),44k x k k Z ππππωω+<<+∈由于函数()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减故15(2,4)2k πππω+≥1(234)k πππω+≤即356,442k k ωω≥+≤+又06ω<≤，故0k =∴则ω的取值范围是:3425⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：B 11．C 【分析】先根据图象的平移伸缩变换求得()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎝⎭，再由正弦函数的周期、对称性及单调性依次判断即可.【详解】将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移12π个单位长度可得2sin 22sin 2663y x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭⎝⎭，再把所有点的横坐标缩短到原来的12可得2sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A错误；242T ππ==，B 错误；()2sin 4()012123g πππ⎡⎤-=⨯-+=⎢⎥⎣⎦，则()g x 图像的一个对称中心为点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 正确；,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，54,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，3523πππ<<，()g x 先减后增，D 错误.故选：C.12．A 【分析】根据向量加法和线性运算可知向量AB ACAB AC+ 与BAC ∠的平分线共线，根据0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭可知BAC ∠的平分线与BAC ∠对边垂直，由此可知△ABC 是等腰三角形；再由12AB AC AB AC ⋅=和向量数量积的定义可求出BAC ∠的大小，从而可判断△ABC 的形状．【详解】AB AB 即AB 方向上的单位向量，AC AC即AC方向上的单位向量，∴向量AB ACAB AC + 与BAC ∠的平分线共线，又由0AB AC BC AB AC⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭可知BAC ∠的平分线与BAC ∠对边垂直，则△ABC 是等腰三角形，即AB AC =，111cos 2AB AC BAC AB AC ∠⋅=⋅⋅= ，∴1cos 2BAC ∠=，∵()0,πBAC ∠∈，∴π3BAC ∠=，∴△ABC 为等边三角形．故选：A ．13．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先求出向量AB 的坐标，再求出||ABAB的坐标即可得解.【详解】依题意，(4,1)(1,3)(3,4)AB OB OA =-=--=-，所以与AB 同方向的单位向量为34,55||AB AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：34(,)55-14．,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【分析】由正切函数图象的对称性可得答案.【详解】令()22k x k Z π=∈，解得()4k x k Z π=∈，所以函数()y f x =的对称中心为(),04k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭.故答案为：(),04k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.15##122【分析】根据诱导公式即可求得答案.【详解】由题意，原式=()()()cos 360225cos 225tan 360225sin 360210tan 225sin 210︒+︒︒-=-︒+︒+︒+︒︒+︒()()()cos 18045cos 4521tan 18045sin 18030tan 45sin 3012︒+︒-︒=-=-=︒+︒+︒+︒︒-︒-.16．.【分析】由题意画出示意图，求出各角的度数后，由正弦定理即可得解.【详解】解：由题意画出示意图，如图：可得30CAB ∠= ，105BCA ∠= ，60AC =，则1803010545B ∠=--= ，在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC ACCAB B=∠，即12CB =，解得CB =故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了转化化归思想，属于基础题.17．)m 【分析】根据题意得到180756045ABC ∠=︒-︒-︒=︒，在在ABC 中，利用正弦定理，即可求得,A B 的长度.【详解】由题意，因为75BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒，可得180756045ABC ∠=︒-︒-︒=︒，在ABC 中，根据正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC =∠∠可得)sin 100sin 60m sin sin 45AC ACB AB ABC ⋅∠⋅︒===∠︒.故答案为：.18．(1)2(2)()2,1-【分析】（1）利用平面向量数量积的几何意义直接求解即可，（2）设点(),C x y ，则由OA CB = 可求出点C 的坐标(1)a 在b上的投影数量为cos ,2a b a b b⋅== .(2)设点(),C x y ，四边形OABC 为平行四边形，则有OA CB = ，()1,2OA =-uu r ，()1,1CB x y =-- ，所以1112x y -=-⎧⎨-=⎩解得2x =，1y =-，故()2,1C -.19．(1)0k =；(2)83k =-.【分析】（1）先根据平面向量数量积的运算公式将式子化简，进而求得答案；（2）根据平面向量基本定理即可求得答案.(1)因为m n →→⊥，所以()()()2232·26|342|0m n a b a kb a k a b k b ⋅=-+=+-⋅-= ，即()16438232902k k ⨯+-⨯⨯⨯-⨯=，解得：0k =.(2)m n →→∥，则存在实数λ，使m n λ→→=，即()()342324a b a k b a k b λλλ→→→→→→⎛⎫-=+⇒-=+ ⎪⎝⎭，因为a →与b →不共线，所以32040k λλ-=⎧⎨+=⎩，解得83k =-.20．(1)最小正周期为π，增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由周期公式可求出最小正周期，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，Z k ∈可求出函数的增区间，（2）由ππ44x -≤≤，得5πππ2636x -≤-≤，然后利用正弦函数的性质可求出其值域(1)∵()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ∴2ππ2T ==，即最小正周期π.由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得1212k x k π5ππ-≤≤π+，Z k ∈∴增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)∵ππ44x -≤≤，∴5πππ2636x -≤-≤，∴π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴π333sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴值域为33,2⎡⎤-⎢⎣⎦.21．(1)3B π=；(2)2.【分析】（1）先由正弦定理进行边化角，进而求出答案；（2）由（1）并结合余弦定理即可求出答案.(1)∵sin cos b A B =，由正弦定理可得sin sin cos B A A B =又sin 0A ≠，sin cos B B =，∴tan B =0B π<<，∴3B π=.(2)∵222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-2ac ac ac ≥-=，∴4ac ≤，∴1cos 422BC BA ac B →→⋅=≤⨯=，当且仅当a c =时取等号，∴BC BA →→⋅的最大值为2.22．(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()1,2【分析】（1）根据图像可知2A =，再通过图像求出周期，进而求出ω，再代入点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，求解即可；（2）令26t x π=+，则7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，作出函数2sin y t =的图像，数形结合即可求解.【详解】（1）显然2A =，又1121212T ππππω⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数过点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 06πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以()Z 6k k πϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6πϕ=，所以所求的函数的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，即()y f x =与y m =的图像在02x π<<内有两个不同的交点，令26t x π=+，则7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，作出函数2sin y t =的图像如下：由图像可知：2sin y t =与y m =的图像在7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点时，12m <<，故实数m 的取值范围为()1,2.。

2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．5210258+=⎧⎨+=⎩x yx y12．5<x13．333333212345621+++++=14．4+15．13<≤n三、解答题（本大题共7小题，满分90分）16. 本小题主要考查实数的运算、代数式的化简等基础知识，考查代数运算能力、化简能力，分类与整合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）原式=116-+……………………5分=8……………………………………6分（Ⅱ）原式222241--=÷--x x xxx x……………………………………8分()()222122--=⋅-+-x x xx xx x…………………………9分1=.2-+x……………………………………11分当12=-x时，原式23=-.……………………………12分17. 本小题主要考查圆的几何性质、等腰三角形的判定及性质等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查演绎论证及度量计算的逻辑思想等．满分12分．证明：（Ⅰ）∵ 四边形ABED 为⊙O 的圆内接四边形∴ 180∠+∠=oB ADE ……………………………………2分 又 ∵ 180∠+∠=oCDE ADE∴ ∠=∠B CDE ……………………………………3分 ∵ =AB AC∴ ∠=∠B C ……………………………………4分 ∴ ∠=∠C CDE ……………………………………5分 ∴ ∆CDE 为等腰三角形……………………………………6分 （Ⅱ）法一：连接AE ，∵ ⊙O 的直径为AB∴ο90=∠AEB ∴BC AE ⊥...............................7分∵AC AB =∴421==BC CE .........................................8分 由(Ⅰ)知EDC C B ∠=∠=∠，C C ∠=∠ ∴ABC ∆∽EDC ∆ ∴ECAC DC BC =...........................................10分 ∴332=⋅=DC CE BC AC .................................11分∵AC AB =∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 法二：连接AE ，过点E 作⊥EF CD ，垂足为F 由（Ⅰ）知∆CDE 是以CD 为底边的等腰三角形 ∴ 1322==CF CD ………………7分 ∵ ⊙O 的直径为AB90∴∠=oAEB ……………………8分 ∵ =AB AC4∴==BE CE …………………9分 ∵ ，∠=∠∠=∠B C AEB EFC∴ ∆EFC ∽∆AEB ，……………………………10分 ∴=FC CE BE AB……………………………………11分∴ 4432332⋅⨯===CE BE AB FC∴⊙O 的半径为16.3……………………………………12分 18.本题考察反比例函数图像及性质、一次函数解析式求解问题,及求平面四边形面积问题,涉及对称与割补思想方法.满分12分． 解：（Ⅰ）过点C 分别作CE AO ⊥于点E ， 设点(,)C m n ， ∵tan 2∠=COA 2,n m ∴=..................................1分 ∵//CB OA ,B y n ∴= ∵D 为AE 的中点，,2D ny ∴=..............................................2分 又,C D 在反比例函数图象上，,D D mn x y k ∴=⋅=2,D x m ∴= ..............................................4分∵2,=B x 1,m ∴= 2,n ∴=.............................................5分 2.k mn ∴==所以，反比例函数的解析式为2.=y x...........................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(1,2),(2,1)C D ，法一：AOC ACD OCDA S S S ∆∆=+四边形......................9分 1152211222=⨯⨯+⨯⨯=..............12分法二：BCDOCDA OABC S S S ∆=-四边形四边形矩形∆∆=+-COE BCD ABCE S S S ...............9分115121211222=⨯⨯+⨯-⨯⨯=...........12分 19. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分12分．（Ⅰ）法一：证明：过P 作⊥PM AB 于M ，⊥PN BC 于N ，……………………1分 ∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ 90∠=oABC ， ∴ 四边形BMPN 是矩形，又 ∵ BD 是∠ABC 的角平分线，∴ =PM PN ……………………………………2分 ∴ 四边形BMPN 是正方形， ∴ 90∠=oMPN ， ∵ ⊥AP PE ， ∴ 90∠=o APE ，∴ ∠-∠=∠-∠APE MPE MPN MPE∴ ∠=∠APM EPN ……………………………………4分 在∆APM 和∆EPN 中，∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AMP ENP PM PNAPM EPN ， ∴ ∆APM ≌∆EPN （ASA ），……………………………………5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，.....................2分∴ ∠=∠ABP AEP .....................3分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴45ABP ︒∠=，∴ 45∠=oAEP ，∴45EAP ︒∠=∴∠=∠EAP AEP ......................5分∴ .=AP PE ……………………………………6分 （Ⅱ）法一：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ 90∠=oBAD ， 又∵90∠=o PBM ， ∴ PM ∥AD ， ∴ ∆BPM ∽∆BDA ， ∴=PM BPAD BD ，……………………………………7分 同理，PN BPCD BD=，∴PM PNAD CD=， ∴ 63==42=PM AD PN CD ，……………………………………9分∵ 90∠=∠=oAMP ENP ，∠=∠MPA EPN ， ∴ ∆APM ∽.∆EPN ……………………………………10分 ∴=AP PMPE PN……………………………………11分 ∴ :3:2.=AP PE 为定值.…………………………………12分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，..................8分 ∴ABP AEP ∠=∠，......................9分tan tan ∴∠=∠ABP AEP∵ tan tan ，∠=∠=AP ADAEP ABP AE AB....................11分 ∴3.2==AP AD AE AB .....................12分 （或证明AEP ABD ∆∆∽）20. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分14分．解：在ΔABD 中作DA B C ⊥于点C .…………………2分 在ABC Rt ∆中， 1645AB BAC ︒=∠=，，28==∴AC BC ……………………………………3分2628214=-=-=∴AC AD CD ………………………………4分依题意，以点D 为圆心，12海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………5分 ∵ 6212<所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………6分 在BC 上取点E 使得12=ED ，连接AE ，ED . 在CED Rt ∆中，12=ED ，26=CD所以，222CD ED CE -=26=∴CE ……………………………8分在A C E Rt ∆中，222AC CE AE +=210=∴AE ……………………………9分所以，在A C E Rt ∆中，53sin ==∠AE CE EAC '3652EAC ︒∴∠= ……………………………11分因为该渔船到达点E 的时间224224===BE t 小时. 所以巡逻船速度2022210==≥t AE v 海里/小时. ………………………13分 所以，巡逻船要以北偏东''9036525308︒︒︒-=的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截. ………………………14分 （注：没有取“=”扣1分）21.本题考察学生的阅读理解能力，解一元二次方程及求解二次函数最值的能力，蕴含了数形结合的思想. 满分14分．解：（I ）由题意知，{}3,22max --=-，......................................2分 所以方程变为 2228x x -=-+，化简为 2410x x --=...................3分解得 12x =或 22x =所以方程{}23,228max x x --=-+的解为2 或2.................5分 （II ）(1)当2236x x x x +-≥-即32x ≥时， {}22236,36,y max x x x x x x =+--=+-...................................7分 ∵ 236=+-y x x 的对称轴为3,2x =-而32x ≥在对称轴32x =-的右侧， y ∴随着x 的增大而增大，32x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2333()36224y =+⨯-=.................9分 （2）当2236x x x x +-<-即32x <时，{}22236,,y max x x x x x x =+--=-.....................................11分∵ 2=-y x x 的对称轴为1,2x =而1322<， 12x ∴=时，y 取最小值，且最小值为2111()224y =-=-..................13分由（I ）（II ）得 函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值为14-..........14分（注：若用数形结合作答的酌情给分.）22. 本题考查用待定系数法求函数解析式及一次函数和二次函数的性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了化归及数形结合的数学思想．满分14分．解：（I ）由已知设)0(2)1(:21≠--=a x a y C 过)0,3(B ，........................1分则024=-a ，21=a ..........................2分 23212)1(21:221--=--=∴x x x y C ..........................3分抛物线1C 的对称轴方程为1=x ，由对称性可得)0,1(-A ....................4分（II ）法一：设直线)0(≠+=k b kx y l ：由已知得⎩⎨⎧=+-=+032b k b k ，解得3,1-==b k 3:-=∴x y l ................5分 设直线l 交y 轴于)3,0(-D ∵ =OB OD ，ο45=∠∴ODB 由平移的性质可知BC PQ = ∵=PF BC ，22==∴PF PQ ∵⊥PF l ，PQF ∆∴为等腰直角三角形.ODB FQP ∠==∠∴ο45，4=QFy FQ //∴轴 ....................7分设)3,(-t t Q ，则)2321,(2--t t t F ，4|)3(2321|2=----=t t t FQ 解得1-=t 或5，则)0,1(-F 或)6,5( ....................9分 法二：连接FQ 并延长交x 轴于H ，连接AF ∵ 22==BC AC ，4=AB∴ABC ∆为等腰直角三角形...............5分ο90=∠ACB ，ο45=∠=∠BAC ABC∵ l FP ⊥ ∴ο90=∠FPQ ∴PF AC // ∵ BC PF =∴AC PF =∴四边形ACPF 为矩形 ∴AF PC // ∴ο45=∠FAH由平移的性质可知BC PQ =∴PFQ ∆为等腰直角三角形，ο45=∠FQP∴ο45=∠AFH ∴AFH ∆为等腰直角三角形..........................7分设)2321,(2--m m m F ，则FH AH =即2321)1(2--=--m m m 解得1-=m 或5，即)0,1(-F 或)6,5( ..............................9分 （Ⅲ）连接QR AR MQ NQ ,,,由（II ）可知ο90=∠=∠FPQ ACB ，)2,5(QPF AC //∴∵=AC PF∴四边形ACPF 为矩形ο90=∠∴MANRQ MN AR ==∴21R ∴在AQ 的垂直平分线上，即R 的路径是线段....11分当点M 在C 处时，R 在AQ 的中点1R 处，当点M 在A 处时，R 在AN 上的点2R 处∵122190,∠=∠=∠oAR R AQC R AR∵121sin ∠==R R AC NAQ CQ AR ∵22,42,210===AC CQ AQ21021=∴R R 即R 的路径长度为210......................................14分。

河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2023-2024学年高一下学期阶段考试（一）（3月）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若角α的终边在直线y x =上，则角α的取值集合为（ ） A ．{}36045k k Z αα=⋅+∈o o ∣， B ．{}360135k k Z αα=⋅+∈o o ∣， C ．{}180135k k Z αα=⋅-∈o o ∣， D ．{}18045k k Z αα=⋅-∈o o ∣， 2．下列是函数()πtan 214f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心的是（ ）A ．π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．π,18⎛⎫⎪⎝⎭3．已知4π2π17πtansin cos 334a b c ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，，，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b c a >>D ．a c b >>4．函数cos y x =和sin y x =在下列哪个区间上都是单调递减的（ ） A ．π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦5．函数π32cos 23y x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．()2ππππ36k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，B ．()ππππ63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，C ．()π4π2π2π33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ， D ．()ππ2π2π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 6．已知π3sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πcos 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．35-B ．45C ．35-D ．45-7．把函数()y f x =的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标缩短到原来的12倍，再把纵坐标伸长到原来的32倍，所得图象的解析式是π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2cos f x x =-B ．()2sin f x x =C ．()2cos f x x =D ．()2sin f x x =-8．已知函数()()π2sin 02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，，其图象与直线y =的距离分别为π4和3π4，若π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 解析式为（ ）A ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭二、多选题9．下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有（ ） A ．πtan 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．πsin 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 2y x =D ．sin y x =10．已知函数()cos cos f x x x =-，则（ ）A ．函数为偶函数B ．最小正周期为πC ．单调递增区间为()π2π,2πZ 2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的最小值为-211．已知函数()()π2sin 02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，的图象过点()0,1，且()f x 在区间ππ,84⎛⎫⎪⎝⎭上具有单调性，则ω的取值范围可以为（ ） A ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．160,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．816,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1620,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题12．函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期是.13．已知角(02π)αα≤<的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，ππsin cos 66P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为角α的终边上一点，则α=.14．已知函数()πsin 310f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若将()y f x =的图象向左平移(0)m m >个单位长度后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为.四、解答题15．已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若α是第三象限角，且()1sin π5α+=，求()f α的值.16．回答下列问题：(1)求函数32sin y x =-取得最大值､最小值时自变量x 的集合，并写出函数的最大值､最小值；(2)求函数()21π5π2sin 2sin ,266f x x x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦，的值域.17．某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该农户围建菜地的篱笆的长度为24米. (1)若该扇形菜地的圆心角为4弧度，求该扇形菜地的面积；(2)当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大，最大值是多少？18．某港口的水深y （单位：)m 是时间t (024,)t h ≤≤的函数，下面是该港口的水深数据：一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5m 时就是安全的．(1)若有以下几个函数模型：y at b =+，sin()y A t ωϕ=+，sin y A tK ω=+，你认为哪个模型可以更好地刻画y 与t 之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式； (2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？ 19．()()πsin 0002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭，，的部分图像如图所示，(1)求函数()f x 的解析式.(2)若()f x 在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-，求m 的取值范围.(3)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()2nf x n f x +≥恒成立，求实数n 的取值范围.。

2021年福建省福州一中（市外、追梦计划）自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．若﹣|x|＝1，则|x|的值是（）A．B．C．D．或12．现有5瓶溶液标签缺失，已知其分别为HCl，H2SO4，HNO3，NaOH，KOH，若从中任取2瓶混合，则会发生中和反应的概率为（）A．B．C．D．3．△ABC中，∠A和∠B均为锐角，且AC＝6，BC＝3，若sin A＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．4．“无体艺，不福一”，我校高二（1）到高二（4）的班级篮球代表队准备举行友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“（3）班得冠军，（4）班得第三”；乙说：“（1）班得第三，（3）班得亚军”；丙说：“（1）班得第四，（4）班得冠军”．赛后得知，三人的预测都只有一半正确，则得冠军的是（）A．（1）班B．（2）班C．（3）班D．（4）班5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，EO分别与AD，DC，CB三边相切于点E、F、G，若过点B 作EO的切线交AD于点Q，则BQ的长为（）A．2B．3C．D．6．“剪纸”是我国一项传统民间艺术，现有一张正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……，以此类推，为了得到了9个十三边形和一些多边形纸片，则至少要剪（）A．88刀B．89刀C．90刀D．91刀二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）7．若不等式组的解集为a＜x＜3，则实数a的取值范围为．8．化简+的值为．9．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，且AB∥CD，△AOB与△COD的面积分别为4和9，若双曲线y＝恰好经过BC的中点E，则k的值为．10．若函数y＝﹣x（x﹣1）（x2+mx+n）图象的一条对称轴为x＝﹣1，则m+n的值是．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。

2015年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．3212． 5213．()35y x x =+是非负整数 说明：不写范围不扣分14．1214a <≤ 15．48-三、解答题（本大题共7小题，满分90分）16．解：（120120152cos303-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭591=+- ……………………………………………5分 13= ……………………………………………7分 （2）249x x ÷-3()33x xx x --+ 2243(3)(3)99x x x x x x x +--=÷--………………………………………9分 222421299x x xx x +=÷--…………………………………………11分 26x =-+ …………………………………………12分∵6x =∴原式==…………………………………………14分17．解：（1）过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，在Rt AOD ∆中，4tan 3AD AOE OD ∠== ， 又∵5OA =，根据勾股定理得4AD =，3OD =．∴(34)A ，， ………………3分 把(34)A ，代入反比例函数my x=中，解得12m =， ∴反比例函数的解析式为12y x=． …………………………………………5分 （2）把点B 坐标(6,)n -代入12y x=中，解得2n =-， ∴(6,2)B --， …………………………………………7分 把(34)A ，和(6,2)B --分别代入一次函数y k x b =+得，3462k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴一次函数的解析式为223y x =+， …………………………………………9分 ∵点C 在x 轴上，令0y =，得3x =-，即3OC =， 法一∴113432922AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=． ……………………12分 法二∴11||||3|4(2)|922AOB A B S OC y y ∆=⨯⨯-=⨯⨯--=． …………………12分 18．（1）证法一：∵MR NQ 、为圆O 的切线，∴90OMR ONQ ∠=∠= ，∵MOR NOQ ∠=∠，∴R Q ∠=∠，———① ………………… 2分 ∵MN 为圆O 的直径，∴90MPN ∠=，即90PMN PNM ∠+∠=， ∵90PNM PNQ ONQ ∠+∠=∠=， ∴PMN PNQ ∠=∠， ∵OM OP =，P ORQNM∴PMN MPR ∠=∠，∴MPR PNQ ∠=∠，———② ……………………………5分 由①②得NPQ PMR △∽△． ……………………………6分 证法二：∵OP ON =，∴ONP OPN ∠=∠，∴QPN PON ONP OMP OPM OPN OMP MPN ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠， ∵RMP OMP OMR ∠=∠+∠，且90OMR MPN ∠=∠=， ∴RMP QPN ∠=∠，———③ 由①③得NPQ PMR △∽△．证法三：由②③得NPQ PMR △∽△．（注：其他证法对应给分） 解：（2）由（1）知NPQ PMR △∽△，∴2PMPN==， …………………………… 9分 设PN x =，则2PM x =， ∵90MPN ∠=，∴222MN PM PN =+，即(2224x x =+， ……………………………11分解得2x =，即2NP =． ……………………………12分19．解：（1）∵()2211412304a a a ⎛⎫∆=+-⨯+=-≥ ⎪⎝⎭，∴32a ≥， ………………………………2分 ∵121x x a +=+，212114x x a =+， ………………………………3分 ∴()()221212124x x x x x x -=+-，即523a =-，………………………………5分 解得4a =． ………………………………6分（2）记已知方程的两根为21x x 、，所求方程的两根为12x x ''、，∵12x x p +=-，12x x q =， ………………………………7分 ∴1212121211x x p x x x x x x q +''=+==-+， ………………………………9分1212111x x x x q''== ， ………………………………11分HABCDMN∴所求方程为210p x x q q ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， ………………………………12分整理为210qx px ++=．说明：通过求根公式求解写出方程并化简得到结果的同样给分．20．（1）证法一：连接BD ，如图所示， ……………………………1分∵四边形ABCD 为菱形，60A ∠=︒， ∴ABD ∆和CBD ∆是等边三角形， ∴DB DC =，又∵DMN ∆为正三角形， ∴DM DN =，又∵60MDB BDN BDN NDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴MDB NDC ∠=∠， ……………………………2分 ∴在DBM ∆和DCN ∆中，DM DNMDB NDC DB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DBM ∆≌DCN ∆（SAS ） ……………………………4分 ∴BM CN = ……………………………5分 证法二：∵ABD ∆和CBD ∆是等边三角形， ∴DBM DCN ∠=∠， ∴在DBM ∆和DCN ∆中，MDB NDC DM DN DBM DCN ⎧⎪∠=∠=∠∠⎨=⎪⎩∴DBM ∆≌DCN ∆（AAS ） ∴BM CN =证法三：∴在DBM ∆和DCN ∆中，DB DCMDB ND DBM DC C N ⎧⎪=⎨⎪∠=∠∠∠⎩= ∴DBM ∆≌DCN ∆（ASA ） ∴BM CN =(注：其他解法对应给分．)（2）解：四边形DMBN 的面积不变，理由如下： 由（1）得DBM ∆≌DCN ∆，故DBM DN B DC N DN B D C B DM BN S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四边形是定值，……………7分 作DH BC ⊥于H 点，则DH =， ……………8分11422D C B D M B N S S BC DH ∆==⨯⨯=⨯⨯=四边形． ……………9分（3）由“垂线段最短”知：当正三角形DMN 的边DN 与BC 垂直时，边DN 最短． 故DMN ∆的面积会随着DN 的变化而变化，且当DN 最短时，正三角形DMN 的面积会最小， ……………11分 又∵BM N DM N DM BN S S S ∆∆=-四边形，则此时BMN ∆的面积就会最大， ……………12分∴12B M N D M N D M B N S S S ∆∆=-=⨯=四边形 ∴BMN ∆……………13分21．解：（1）对于3342y x =-，当0y =时，2x =；当8x =-时，152y =-． ∴A 点坐标为(20)，，B 点坐标为15(8)2--，，…………………………………2分 由抛物线214y x bx c =-++经过A 、B 两点，得120151682b c b c -++=⎧⎪⎨--+=-⎪⎩，解得3542b c =-=，．∴2135442y x x =--+． …………………………………4分 （2）设直线AB 与y 轴交于点M ，当0x =时，32y =-． ∴32OM =． ∵A 点坐标为(20)，，∴2OA =，∴52AM =． …………………………………6分∵::3:4:5OM OA AM =．由题意得，PDE OMA ∠=∠，90AOM PED ∠=∠=︒，∴AOM ∆∽PED ∆． …………………………………7分 ∴::3:4:5DE PE PD =． …………………………………8分 ∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点， ∴P D PD y y =-=221353313()()44424242x x x x x --+--=--+，……10分 ∴22121331848(4)542555l x x x x =--+=--+()82x -<<，……………11分 ∴23(3)155l x =-++，∴3x =-时15l =最大． …………………………………13分22．解：（1）36． …………………………………4分（2）∵(1)(2)(3)1k k k k ++++(3)(1)(2)1k k k k =++++ …………………………………6分 22(3)(32)1k k k k =++++ 222(3)2(3)1k k k k =++++ 22(31)k k =++∴(1)(2)(3)1k k k k ++++是完全平方数，即为正方形数．……………8分 （3）（ⅰ）(,3)N n (1)2n n +=， …………………………………9分 2(,4)N n n =． …………………………………10分（ⅱ）观察(,3)N n 2(1)22n n n n ++==，2220(,4)2n n N n n +⋅==， 23(,5)2n n N n -=，242(,6)2n nN n -=，… ，由其变化规律，推测2(2)(4)(,)2k n k nN n k -+-=，…………13分∴(10,24)1000N =． (14)分。

2017年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇和农村地区（“追梦计划”）招生考试数学与逻辑试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）学 校： 姓 名： 准考证号： 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置． 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．)1.下列运算正确的是（ ）A ．22423+=a a a B ．2242-=a a a C ．22422⋅=a a a D ．2222÷=a a a 2.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）清华大学 北京大学 浙江大学 中国人民大学3.代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．23(44)-+x x xB ．23(4)x x -C ．3(2)(2)x x x +-D ．23(2)x x -4．下列命题错误．．的个数是（ ） ① 经过三个点一定可以作一个圆；② 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；③ 对角线相等的四边形是矩形；④ 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.A ．1B ．2C ．3D ．4 5.无论x 取何值时，点)2,(2x x x P +-不可能．．．在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6.如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4:5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（ ）A ．288B ．144C ．216D ．120A . B. C. D.7.在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①2甲s ＞2乙s ；②2甲s ＜2乙s ；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8.2017年5月14日，福州一中将喜迎建校两百周年华诞，当天正好是星期日，以当天作为第1天开始算起，则第366天是（ ） A ．星期六 B ．星期日 C ．星期一 D ．星期二9.如图，A 、B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（ ）A .625 B .15C .425D .725 10．已知关于x 的不等式组0243(2)-⎧>⎪⎨⎪-<-⎩x m x x 的解集为1x >，且使关于x 的方程1322x m x x -+=--有非负整数解，则符合条件的实数m 的取值之和为（ ） A. 8- B ．7- C ．2- D ．0二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共 20分．请将正确答案填在答题卡相应位置)11. 《九章算术》是我国传统数学最重要的著作，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就． 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为 ．M BA 12.若函数=-y kx b 的图象如图所示，则关于x 的不等式(3)0k x b -->的解集为 ．13.观察下列等式：332123+=，33321236++=，333321+2+3+410=，…，根据上述规律，第五个等式为________________．14. 如图，AB 是⊙O 的直径，8=AB ，点M 在⊙O 上，45∠=MAB ，N 是劣弧MB 的三等分点（靠近点B ），P 是直径AB 上的一动点，则∆PMN 周长的最小值为______________．15.定义二次函数的图象与直线x y =交点的横坐标为二次函数的不动点.已知二次函数 ()21324=+-+-y x mn x mn 有唯一不动点，若3-≤m 且0<mn ，则n 的取值范围是 .三、解答题(本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．（本小题满分12分）（Ⅰ）计算：()()30201713.1416302π-⎛⎫--+⨯︒+ ⎪⎝⎭cos ； （Ⅱ）先化简，再求值：222311-⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭x x x x x x ，其中1.2=-x17. （本小题满分12分）如图，已知三角形ABC ，=AB AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于D 、E 两点，连接.ED（Ⅰ）求证：∆CDE 为等腰三角形；（Ⅱ）若3=CD ，8=BC ，求⊙O 的半径．18. （本小题满分12分）如图，四边形OABC ，顶点,B C 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上,//,CB OA BA x ⊥轴，点B 的横坐标为2，tan 2,COA ∠=D 为AB 的中点，反比例函数k y x=的图象经过,C D 两点.（Ⅰ）求反比例函数的解析式；（Ⅱ）求四边形OCDA 的面积.19.（本小题满分12分） 已知四边形ABCD ，点E 在边BC 上，P 为对角线BD 上的动点，满足⊥AP PE . （Ⅰ）当四边形ABCD 为正方形时（如图1），求证：=PA PE ；（Ⅱ）当四边形ABCD 为矩形，且6=AD ，4=CD 时（如图2），试探究:AP PE 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20. （本小题满分14分）如图，海中有一小岛D ，它周围12海里内有暗礁.一艘巡逻船在D 岛海域例行巡逻，某时刻航行至A 处时，测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一渔船，且D 岛位于巡逻船正东214海里处.观测中发现，此渔船正以每小时4海里的速度沿正南方向航行.如果渔船不改变航线继续前行，有没有触礁危险？请通过计算加以说明.如果有危险，巡逻船的速度至少为多少时，才能将该渔船拦截在暗礁区域之外，并确定此时巡逻船的航向.（参考数据：sin 3652'0.6︒≈，sin 5308'0.8︒≈）21.（本小题满分14分）对于两个实数,a b ，我们规定{},max a b 表示,a b 中的较大值，当a b ≥时，{},max ab a =；当a b <时，{},max a b b =，例如：{}1,33max =. （Ⅰ）求方程{}23,228max x x --=-+的实数解；（Ⅱ）求函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值.22.（本小题满分14分）如图，已知抛物线1C 的顶点坐标为)2,1(-C ，抛物线1C 与x 轴交于、A B 两点，其中()3,0B .直线l 经过、B C 两点，连接AC .（Ⅰ）求点A 的坐标及抛物线1C 的解析式；（Ⅱ）将抛物线1C 平移，并保持抛物线的顶点在直线l 上，当B 、C 两点分别平移到点P 、Q 处时，过点P 作直线l 的垂线交抛物线1C 于点F ，此时恰有BC PF =，求点F 的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，取在x 轴上方的点F ，连接AF ，设M 、N 分别为线段AC 、AF 上的动点，以MN 为直径的⊙R 经过点Q ，当点M 从C 运动到A 时，试求圆心R 经过的路径长.。

2023-2024学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．经过点P （1，﹣2），倾斜角为45°的直线方程为（ ） A ．x +y +1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣y +3＝0D ．x ﹣y ﹣3＝02．在空间直角坐标系中，点（1，﹣2，3）关于y 轴对称点的坐标是（ ） A ．（﹣1，2，3） B ．（﹣1，﹣2，﹣3）C ．（﹣1，2，﹣3）D ．（1，﹣2，﹣3）3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为√2，则它的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±xB ．y =±12xC ．y =±√22xD ．y =±√2x4．已知直线l 1：mx +2y ﹣1＝0与直线l 2：5x +（m +3）y ﹣5＝0，若l 1∥l 2，则m ＝（ ） A ．﹣5B ．2C ．2或﹣5D ．55．（多选）已知直线l 的一个方向向量为u →=(1，−√3)，且l 经过点（1，﹣2），则下列结论中正确的是（ ）A ．l 的倾斜角等于150°B ．l 在x 轴上的截距等于2√33C ．l 与直线√3x −3y +2=0垂直D ．l 与直线√3x +y +2=0平行6．设F 1和F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，若F 1，F 2，P （0，2b ）是等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）A ．√77B ．2√77C ．√33D ．2√337．已知动点P 在曲线2x 2﹣y ＝0上，则点A （0，2）与点P 连线的中点的轨迹方程是（ ） A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y ＝4x 2+1D ．y ＝8x 2+18．若直线y ﹣2＝k （x ﹣4）与曲线x =√4−y 2恰有交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[1，43)B ．[0，43]C ．[1，53)D ．[0，53)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．设直线l 1：x +y ﹣1＝0，l 2：x ﹣y +1＝0，则（ ） A ．l 1与l 2平行B ．l 1与l 2相交C ．l 1与l 2的交点在圆x 2+y 2＝1上D ．l 1与l 2的交点在圆x 2+y 2＝1外10．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣8＝0的交点为A ，B ，则（ ） A ．公共弦AB 所在直线的方程为x ﹣y +1＝0B ．两圆圆心距|O 1O 2|＝2√2C ．线段AB 中垂线的方程为x +y ＝0D ．公共弦AB 的长为2√211．0°≤α≤180°变化时，方程x 2+y 2cos α＝1表示的曲线的形状可以是（ ） A ．两条平行直线B ．圆C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的双曲线12．《白蛇传》中的“雨中送伞”故事在中国民间流传甚广，今年杭州亚运会期间游客打纸伞逛西湖受到热捧．油纸伞是中国传统工艺品，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（此时阳光照射方向与地面的夹角为60°），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）A ．该椭圆的长轴为3√2+√63B ．该椭圆的离心率为2−√3C ．该椭圆的焦距为3√2−√63D ．该椭圆的焦距为2√3−2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为2，则p ＝ ．14．过直线2x ﹣y +4＝0与3x ﹣2y +9＝0的交点，且垂直于直线x ﹣2y +3＝0的直线方程是 ． 15．椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a−y 22=1有相同的焦点，则双曲线方程是 ．16．已知A （2，1，3），B （2，﹣2，6），C （3，6，6），则AC →在AB →上的投影向量为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点P （2，4）． （1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）求以（1，﹣1）为中点的抛物线C 的弦所在直线的方程．18．（12分）已知△ABC 为等腰直角三角形，且∠C ＝90°，若A ，C 的坐标分别为（0，4），（3，3）． （1）求点B 的坐标；（2）求过点B 与AC 所在边平行的直线方程．19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体OABC ﹣O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤2，以O 为原点建立空间直角坐标系O ﹣xyz ． （1）求证：A 1F ⊥C 1E ；（2）若x ＝1，求cos〈EF →，EA 1→〉的值．20．（12分）已知圆E 经过点A （0，0），B （2，2），且与y 轴相切． （1）求圆E 的方程；（2）求过点P （4，3）的圆E 的切线方程． 21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长为2．（1）若双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，求双曲线方程；（2）设F 1、F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，且PF 1→⋅PF 2→=0，△PF 1F 2的面积为9求C 的标准方程．22．（12分）如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)两焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）且经过点A （0，﹣1）．（1）求椭圆E 的离心率e 与椭圆方程；（2）经过点（1，1），且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点A ），求证：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．2023-2024学年河南省环际大联考“逐梦计划”高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．经过点P （1，﹣2），倾斜角为45°的直线方程为（ ） A ．x +y +1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣y +3＝0D ．x ﹣y ﹣3＝0解：倾斜角为45°的直线斜率为1，直线经过点P （1，﹣2）， 所以直线方程为y ﹣（﹣2）＝x ﹣1，即x ﹣y ﹣3＝0． 故选：D ．2．在空间直角坐标系中，点（1，﹣2，3）关于y 轴对称点的坐标是（ ） A ．（﹣1，2，3） B ．（﹣1，﹣2，﹣3）C ．（﹣1，2，﹣3）D ．（1，﹣2，﹣3）解：在空间直角坐标系中，点（1，﹣2，3）关于y 轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）． 故选：B ．3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为√2，则它的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±xB ．y =±12xC ．y =±√22x D ．y =±√2x解：设双曲线的标准方程为y 2a 2−x 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，则该双曲线的渐近线方程为y =±a bx ， 因为双曲线的离心率为e =ca =√2，则c =√2a ，则b =√c 2−a 2=√2a 2−a 2=a ， 因此，该双曲线的渐近线方程为y =±ab x =±x ． 故选：A ．4．已知直线l 1：mx +2y ﹣1＝0与直线l 2：5x +（m +3）y ﹣5＝0，若l 1∥l 2，则m ＝（ ） A ．﹣5B ．2C ．2或﹣5D ．5解：若l 1∥l 2，则m （m +3）＝2×5，且﹣5m ≠﹣5，解得m ＝2或m ＝﹣5． 故选：C ．5．已知直线l 的一个方向向量为u →=(1，−√3)，且l 经过点（1，﹣2），则下列结论中正确的是（ ） A ．l 的倾斜角等于150°B ．l 在x 轴上的截距等于2√33C ．l 与直线√3x −3y +2=0垂直D ．l 与直线√3x +y +2=0平行解：∵直线l 的一个方向向量为u →=(1，−√3)， ∴直线l 的斜率为k =−√3， 又∵直线l 经过点（1，﹣2），∴直线l 的方程为y +2=−√3(x −1)，即√3x +y +2−√3=0 A ，设直线l 的倾斜角为θ，则tanθ=−√3， ∵0°≤θ＜180°，所以θ＝120°，因此A 错误， B ，当y ＝0时，2=−√3(x −1)，得x =1−2√33， ∴直线l 在x 轴上的截距等于1−2√33，因此B 错误， C ，∵直线√3x −3y +2=0的斜率为√33，且√33⋅(−√3)=−1， ∴直线l 与直线√3x −3y +2=0垂直，因此C 正确，D ，∵直线√3x +y +2=0的斜率为−√3，且在y 轴上的截距为﹣2， 而直线l 的斜率为−√3，且在y 轴上的截距为√3−2， ∴直线l 与直线√3x +y +2=0平行，因此D 正确． 故选：CD ． 6．设F 1和F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，若F 1，F 2，P （0，2b ）是等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ） A ．√77B ．2√77 C ．√33D ．2√33解：∵F 1和F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，若F 1，F 2，P （0，2b ）是等边三角形的三个顶点，∴|PO||F 1O|=tan60°，∴2b c=√3，∴4b 2＝3c 2，∴4（a 2﹣c 2）＝3c 2，∴7c 2＝4a 2，∴c 2a 2=47，∴e =2√77． 故选：B ．7．已知动点P 在曲线2x 2﹣y ＝0上，则点A （0，2）与点P 连线的中点的轨迹方程是（ ） A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y ＝4x 2+1D ．y ＝8x 2+1解：设AP 的中点为（x ，y ）， 因为A （0，2），则P （2x ，2y ﹣2）， 因为点P 在曲线2x 2﹣y ＝0上，所以将P （2x ，2y ﹣2）代入曲线2x 2﹣y ＝0，则2•（2x ）2﹣（2y ﹣2）＝0，即y ＝4x 2+1， 所以AP 的中点的轨迹方程是y ＝4x 2+1． 故选：C ．8．若直线y ﹣2＝k （x ﹣4）与曲线x =√4−y 2恰有交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[1，43)B ．[0，43]C ．[1，53)D ．[0，53)解：直线y ﹣2＝k （x ﹣4）过定点（4，2）， 曲线方程x =√4−y 2变形得x 2+y 2＝4（x ≥0），即曲线为以原点O （0，0）为圆心，2为半径的右半圆弧，过点A 与曲线相切的直线有两条，设切线斜率为k 1，则可设方程为y ﹣2＝k 1（x ﹣4），即k 1x ﹣y +2﹣4k 1＝0， 由直线与圆相切，则圆心O （0，0）到直线的距离d =1√k 12+1=2，解得k 1＝0或k 1=43，由图可知，要使直线与曲线恰有交点，由题意，直线y ﹣2＝k （x ﹣4）斜率为k ，则0≤k ≤43． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．设直线l 1：x +y ﹣1＝0，l 2：x ﹣y +1＝0，则（ ） A ．l 1与l 2平行B ．l 1与l 2相交C ．l 1与l 2的交点在圆x 2+y 2＝1上D ．l 1与l 2的交点在圆x 2+y 2＝1外解：由题意，直线l 1：y ＝﹣x +1，l 2：y ＝x +1， 两直线斜率分别为k 1＝﹣1，k 2＝1，k 1≠k 2， 故两直线相交，选项A 错误，B 正确；联立{x +y −1=0x −y +1=0，解得{x =0y =1，故两直线交点为（0，1），由02+12＝1，得交点在圆x2+y2＝1上．故C正确，D错误．故选：BC．10．圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣8＝0的交点为A，B，则（）A．公共弦AB所在直线的方程为x﹣y+1＝0B．两圆圆心距|O1O2|＝2√2C．线段AB中垂线的方程为x+y＝0D．公共弦AB的长为2√2解：对于A选项，将两圆方程作差可得4x﹣4y+4﹣0，即x﹣y+1＝0，所以公共弦AB所在直线的方程为x﹣y+1＝0，A对；对于B选项，圆C1的圆心为C1（0，0），半径为r1＝2，C2的标准方程为（x﹣2）2+（y+2）2＝16，圆心为C2（2，﹣2}，半径为r2＝4，两圆圆心距|C1C2|=√(2−0)2+(−2−0)2=2√2，B对；对于C选项，连接AC1，AC2，BC1，BC2，因为|AC1|＝|RC1|，|AC2|＝|BC2|，所以线段AB的垂直平分线即为两圆的连心线所在的直线方程，又过点（0，0），（2，﹣2）的直线方程为y＝﹣x，即x+y＝0，C对；对于D选项，圆心C1到直线AB的距离为d=1√2=√22，所以|AB|＝2√4−12=√14，D错误．故选：ABC．11．0°≤α≤180°变化时，方程x2+y2cosα＝1表示的曲线的形状可以是（）A．两条平行直线B．圆C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在x轴上的双曲线解：当α＝90°时，cos90°＝0，方程x2＝1，得x＝±1表示与y轴平行的两条直线，故A正确；当α＝0°时，cos0°＝1，方程x 2+y 2＝1表示圆心在原点的单位圆，故B 正确；当90°＞α＞0° 时，1＞cos α＞0，方程x 2+y 2cos α＝1表示中心在原点， 焦点在y 轴上的椭圆，故C 错误；当180°＞α＞90° 时，cos α＜0，方程x 2+y 2cos α＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，故D 正确； 当α＝180° 时，cos180°＝﹣1，方程x 2﹣y 2＝1表示焦点在x 轴上的等轴双曲线． 故选：ABD ．12．《白蛇传》中的“雨中送伞”故事在中国民间流传甚广，今年杭州亚运会期间游客打纸伞逛西湖受到热捧．油纸伞是中国传统工艺品，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（此时阳光照射方向与地面的夹角为60°），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）A ．该椭圆的长轴为3√2+√63B ．该椭圆的离心率为2−√3C ．该椭圆的焦距为3√2−√63D ．该椭圆的焦距为2√3−2解：由两角和的正弦公式可得sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=√6+√24，如图，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，F 1是椭圆的左焦点，BC 是圆的直径，D 为该圆的圆心． 因为|BD |＝|DF 1|＝1，DF 1⊥BC ，所以|BF 1|=√2， 设椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，则a +c =√2． 因为∠A ＝60°，∠B ＝45°，|BC |＝2，|AB |＝2a ， 由正弦定理得2sin60°=2a sin(60°+45°)，解得a =sin105°sin60°=√6+√243=3√2+√66，所以c =√2−a =3√2−√66， 所以ca =√2−√63√2+√6=2−√3，2c =3√2−√63． 所以椭圆的长轴长为2a =3√2+√63，离心率为2−√3，焦距为3√2−√63， 即选项A 、B 、C 正确，选项D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 13．抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为2，则p ＝ 4 ．解：抛物线y 2＝2px 的准线方程为x =−p 2，设Q （x 0，y 0），显然x 0=y 022p ≥0，当且仅当y 0＝0时取等号，则点Q 到焦点的距离d =x 0+p 2≥p2，当且仅当x 0＝0时取等号，因此p 2=2，所以p ＝4． 故答案为：4．14．过直线2x ﹣y +4＝0与3x ﹣2y +9＝0的交点，且垂直于直线x ﹣2y +3＝0的直线方程是 2x +y ﹣8＝0 ． 解：解方程组{2x −y +4=03x −2y +9=0，可得{x =1y =6，即交点为（1，6），由题意设所求的直线的方程为2x +y +a ＝0，将（1，6）点代入，可得2×1+6+a ＝0，解得a ＝﹣8， 所以直线的方程为：2x +y ﹣8＝0． 故答案为：2x +y ﹣8＝0． 15．椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a−y 22=1有相同的焦点，则双曲线方程是 x 2−y 22=1 ． 解：由方程x 2a−y 22=1表示双曲线可知a ＞0，则焦点在x 轴上，由椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a−y 22=1有相同的焦点，则椭圆焦点也在x 轴上，且焦距相同，设它们的半焦距为c ， 故c 2＝4﹣a 2＝a +2，解得a ＝﹣2（舍），或a ＝1，故双曲线方程为x 2−y 22=1．故答案为：x 2−y 22=1．16．已知A （2，1，3），B （2，﹣2，6），C （3，6，6），则AC →在AB →上的投影向量为 （0，1，﹣1） ． 解：因为A （2，1，3），B （2，﹣2，6），C （3，6，6）， 所以AC →=(1，5，3)，AB →=(0，−3，3)， 则|AB →|=√02+(−3)2+32=3√2，AC →⋅AB →=1×0+5×(−3)+3×3=−6，所以AC →⋅AB →|AB →|=3√2=−√2，则AC →在AB →上的投影向量为AC →⋅AB →|AB →|⋅AB →|AB →|=−13(0，−3，3)=（0，1，﹣1）．故答案为：（0，1，﹣1）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点P （2，4）． （1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）求以（1，﹣1）为中点的抛物线C 的弦所在直线的方程． 解：（1）根据抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点P （2，4）， 可得16＝4p ，解得p ＝4．从而抛物线C 的方程为y 2＝8x ，准线方程为x ＝﹣2； （2）设弦的两端点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则{y 12=8x 1，①y 22=8x 2，②，由②﹣①得，（y 2+y 1）（y 2﹣y 1）＝8（x 2﹣x 1）， ∴y 2−y 1x 2−x 1=8y 2+y 1．又∵y 1+y 2＝﹣2，∴k AB =y 2−y1x 2−x 1=8y 2+y 1=8−2=−4．∴弦所在直线的方程为y +1＝﹣4（x ﹣1），即4x +y ﹣3＝0．18．（12分）已知△ABC 为等腰直角三角形，且∠C ＝90°，若A ，C 的坐标分别为（0，4），（3，3）． （1）求点B 的坐标；（2）求过点B 与AC 所在边平行的直线方程． 解：（1）设B 点坐标为（x ，y ），根据题意可得{k AC k BC =−1，|BC|=|AC|，即{3−43−0⋅y−3x−3=−1，√(x −3)2+(y −3)2=√(0−3)2+(4−3)2，解得{x =2y =0或{x =4y =6，所以B （2，0）或B （4，6）； （2）由题知k AC =4−30−3=−13；当B （2，0）时，直线为：y =−13(x −2)，即x +3y ﹣2＝0． 当B （4，6）时，直线为：y −6=−13(x −4)，即x +3y ﹣22＝0．故所求直线为x +3y ﹣2＝0或x +3y ﹣22＝0．19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体OABC ﹣O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤2，以O 为原点建立空间直角坐标系O ﹣xyz ．（1）求证：A 1F ⊥C 1E ；（2）若x ＝1，求cos〈EF →，EA 1→〉的值．证明：（1）以O 为原点，以AO ，OC ，OO 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，A 1（2，0，2），F （2﹣x ，2，0），C 1（0，2，2），E （2，x ，0），则A 1F →=(−x ，2，−2)，C 1E →=(2，x −2，−2)，∴A 1F →⋅C 1E →=−2x +2(x −2)+4=0，∴A 1F →⊥C 1E →，即A 1F ⊥C 1E ．（2）解：当x ＝1时，E （2，1，0），F （1，2，0），A 1（2，0，2），则EF →=(−1，1，0)，EA 1→=(0，−1，2)，故cos〈EF →，EA 1→〉=EF →⋅EA 1→|EF →||EA 1→|=−1×0+1×(−1)+02×5=−√1010． 20．（12分）已知圆E 经过点A （0，0），B （2，2），且与y 轴相切．（1）求圆E 的方程；（2）求过点P （4，3）的圆E 的切线方程．解：（1）设圆E 的方程为：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，结合题意可得{|a|=r a 2+b 2=r 2(2−a)2+(2−b)2=r 2，解得{a =2b =0r =2，所以圆E 的方程为（x ﹣2）2+y 2＝4；（2）因为（4﹣2）2+32＝13＞4，所以点P 在圆E 外，①若过点P （4，3）的直线斜率不存在，直线方程为x ＝4，圆心E （2，0）到直线x ＝4的距离为2，等于圆的半径，符合题意；②若过点P （4，3）的直线斜率存在，则设切线方程为y ﹣3＝k （x ﹣4），即kx ﹣y ﹣4k +3＝0， 结合圆E 的方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，圆心E （2，0），半径r ＝2，可知圆心到切线的距离d =|2k−4k+3|√k +1=|−2k+3|√k +1=2，解得k =512，此时的切线方程为5x ﹣12y +16＝0．综上所述，过点P （4，3）的圆E 的切线方程为x ＝4或5x ﹣12y +16＝0．21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长为2．（1）若双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，求双曲线方程；（2）设F 1、F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，且PF 1→⋅PF 2→=0，△PF 1F 2的面积为9求C 的标准方程．解：（1）因为双曲线C 的实轴长为2，∴2a ＝2，∴a ＝1，又双曲线一条渐近线方程为y ＝2x ，即ba =2，∴b ＝2，则双曲线方程为：x 2−y 24=1． （2）双曲线定义可得：||PF 1|﹣|PF 2||＝2a ＝2，∵PF 1→⋅PF 2→=0，∴PF 1⊥PF 2，∵△PF 1F 2的面积为9，∴|PF 1||PF 2|＝18，且|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2，∴4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|−|PF 2|)2+2|PF 1||PF 2|=40，∴c 2＝10，∴b 2＝10﹣1＝9，∴b ＝3，故双曲线C 的标准方程为：x 2−y 29=1． 22．（12分）如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)两焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）且经过点A （0，﹣1）．（1）求椭圆E 的离心率e 与椭圆方程；（2）经过点（1，1），且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点A ），求证：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．解：（1）因为椭圆E 的两焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）且经过点A （0，﹣1）， 所以c ＝1，b ＝1，又a 2＝b 2+c 2，解得a =√2，则椭圆E 的离心率e =c a =√22，椭圆的方程为x 22+y 2=1； （2）易知直线PQ 的方程为y ＝k （x ﹣1）+1（k ≠0且k ≠2），联立{y =k(x −1)+1x 22+y 2=1，消去y 并整理得（1+2k 2）x 2﹣4k （k ﹣1）x +2k （k ﹣2）＝0， 此时Δ＞0，不妨设P （x 1y 1），Q （x 2y 2），x 1x 2≠0． 由韦达定理得x 1+x 2=4k(k−1)1+2k 2，x 1x 2=2k(k−2)1+2k 2， 则直线AP 与AQ 的斜率之和k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+2−k x 1+kx 2+2−k x 2=2k +(2−k)(1x 1+1x 2)=2k +(2−k)x 1+x 2x 1x 2=2k +(2−k)4k(k−1)2k(k−2)=2k −(2k −2)=2． 故直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2．。