2015秋北师大版数学九上第三章《图形的相似》word单元测试1

章末复习（四）图形的相似知识结构厂成比例线段平行线分线段成比例「相似多边形”判定 应用•性质 J 图形的位似木章知识中考考查的内容主要涉及相似三角形的判定与性质.如：2015毕节第13题、2014 毕节第12题、考查的都是相似三角形的判定与性质，六盘水也在2013, 2015年分别考查这一知识 分点突破命题点1成比例线段 1. 线段a 、b 、A. 1命题点22. 如图，3. 若两个相似三角形的面积之比为1 ： 4,则它们的周长之比为（）A. 1 ： 2 .B. 1 ： 4C. 1 ： 5D. 1 ： 164. 关于相似的下列说法正确的是（）A. 所有直角三角形相似B. 所有等腰三角形相似C. 有一角是80°的等腰三角形相似D. 所有等腰直角三角形相似5..已知厶ABCsM B‘ C‘ , AABC 的边长分别为3, 4, 5, AA Z B z C ，中最小的边•长为7,求 △A ，B‘ C'的周长.图形的相似＜ 相似三允形s c 、d 是成比例线段，8 = 4、b = 2、c = 2,则d 的长为（ ） B. 2 C. 3 D. 4相似三角形的性质与判定 已知AB 〃CD 〃EF,那么下列结论正确的是（ ） AD BC A —=—DF CE FD BC CD BC R —=— C —=— AD CE EF BED ——— EF AF6.如图，在AABC 中，AB=AC, BD=CD, CE±AB 于E.求证：Z\ABDsACBE.命题点3位似变换7. (武汉中考)如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A(6, 6), B(8, 2),以原点0为位似中心,命题点4相似三角形的应用8. 如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2 m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端 与旗杆顶端的影了恰好落在地而的同一点，此时，竹竿与这一点相距8 m,与旗杆相距22 m,则旗 杆的高为() A. & 8 m B ・ 10 m C. 12 m D. 14 m综合训练9.如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a,宽BC=b.将纸片对折，折痕为EF,所得矩形AFED 与矩 形ABCD 相似，则a ： b=( ) A. 2 ： 1 B.^/2 : 1 A B10. (连云港中考)如图，在ZXABC 中,ZBAC=60° , ZABC=90° ,直线h/ZU/ZL, 1占L 之间C. 3 : D ・ 3 ： 2距离是1, 12与hZ间距离是2,且1., 1C,则边AC的长为11.AOAB的坐标分别为0(0, 0), A(0, 4), B(3, 0),以原点为位似中心，在第一象限将ZXOAB 扩大，使变换得到的AOEF与△OAB对应边的比为2 : 1,(1)画出Z\OEF；(2)求四边形ABFE的面积.12.小红用下面的方法來测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子小看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1・6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：反射角=入射角).A E13-如图，等腰ZkABC中，AB=AC, D是BC中点，ZEDF=ZB・求证: /、BE DE (1)—=—・uy CD DE*(2) ABDE^ADFE.参考答案1. A2. A3. A4. D5. AABC 的周长为3+4 + 5 = 12,设Z\A' B' C‘ 的周长为x, V AABC^A 12 3A zB z C/ , A—=77.解得x = 28. AAA, B zC z的周长为28. 6•证明：在厶ABC^p, AB=AC, BD x 7=CD., ・・・AD 丄BC. VCE 丄AB, A ZADB= ZCEB=90°.又ZB=ZB, A AABD^ ACBE. 7. A &C9. B 10.|x/21 11. （1）图略.（2）由题意得：0A=4, 0B=3, 0E=8, .0F=6, AOAB 与AEOF 都为直角三角形，则S 四边形ABFE=S&EF—S&AB=*）F・ OE—^OB ・ OA =£X6X8 —£X 3X4 = 24 — 6 = 18. 12. •・•根据反射定律知：ZFEB=ZFED, A ZBEA= ZDEC. V ZBAE= ZDCE=90° , A ABAE^ ADCE. A AB AE 、”、”、” AB 20 . _ 斗亠M土=寸・VCE=2. 5 米，DC=1.6 米，AE=20 米，A—=— AAB=12.8. A 大楼AB 的高为12.8 DC EC 1. b 2. o 米. 13 .证明：（1）・.・AB=AC, A ZC= ZB. V ZEDC= ZB+ ZBED, /. ZEDF + ZFDC= ZB+ ZBED.BE DE又VZEDF=ZB, •••ZFDC=ZBED・•••△BDEs^CFD. •••石;=而・（2） VD 是BC 中点,ABD=CD.由（1）CD DrBE=DE • BE=DE ^CD=DF，••函又VZEDF=ZB, •••△BDE S ADFE.=5?我的写字心得体会从小开始练习写字，几年来我认认真真地按老师的要求去练习写字。

北师大版九年级上册第三章证明（三）练习题一、填空题1、如图，平行四边形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O ，请你写出图中三对一定相等的线段 。

2、在上题图中，若平行四边形ABCD 的周长为30cm ，且A O B ∆的周长比BOC ∆的周长小1cm ，那么AB= cm ，BC ＝ cm 。

第1-2题图 第3题图第4题图 3、如图，将两块完全相同的含有30角的三角板一边重合拼在一起，可以得到一个四边形ABCD ，则四边形ABCD 是 （回答是什么四边形）；若BC=10 cm ，则对角线BD ＝ cm 。

4、如图平行四边形ABCD 中，AE 、AF 分别是BC 和CD 边上的高，若65EAF ∠=，则B ∠= 度，C ∠= 度。

5、如图，将两根等宽的纸条叠放在一起，重叠的部分（图中阴影部分）是一个四边形，对这个四边形的形状你认为最准确的一个描述是：这个四边形是 四边形。

第7题图 96、菱形ABCD 的面积是503cm 2,其中一条对角线的长是103 cm ，则菱形ABCD 的较小的内角为 ，菱形ABCD 的边长为 。

7、如图，矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AE=1，EF ＝2，则FC ＝ ，AB ＝ 。

8、对角线 的四边形是正方形。

二、择题9、如图，平行四边形ABCD 中，AE=CF ，则图中的平行四边形的个数是（ ）个 A.2 B.3 C.4 D.510、若第1题的条件中，除原有条件外，再增加FA ＝FD ，则图中的等腰梯形个数是（ ）个A.2B.3C.4D.511、下列关于平行四边形的判定中正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形OC AD BC AD BE FC A DB FECADBCA DBE FD.一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形12、顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，得到一个四边形，对这个四边形的形状描述最准确的是（ ）A. 平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形13、已知菱形ABCD 的面积为96cm 2，对角线AC 的长为16 cm ，则此菱形的边长为（ ）cm A.32 B.10 C.14 D.2014、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A. 对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D. 每一条对角线平分一组对角 15、只用一把刻度尺检查一张四边形纸片是否是矩形，下列操作中最为恰当的是（ ） A. 先测量两对角线是否互相平分，再测量对角线是否相等 B. 先测量两对角线是否互相平分，再测量是否有一个直角 C. 先测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等D. 先测量两组对边是否互相平行，再测量对角线是否相等16、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B C ∠+∠=,E 、F分别是AD 、BC 的中点，若AD=5cm ，BC=13cm ，那么EF=（ ）cmA.4B.5C.6.5D.9三、解答题17、按要求填图下面图中，表达了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系。

图形的位似--知识讲解【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.【要点梳理】要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.【典型例题】类型一、位似多边形1.下列每组的两个图形不是位似图形的是（）.A. B. C. D.【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【答案】D【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．据此可得A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形；而D 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选D ．【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．举一反三【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的（ ）.A. 3倍B. 21 C. 31 D. 不知AB 的长度，无法判断 【答案】C2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是： 1．在平面上任取一点O. 2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE. 3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA ＝ OB′:OB ＝OC′:OC ＝OD′:OD ＝OE′:OE ＝1.5. 4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.这样：A′B′AB ＝B′C′BC ＝C′D′CD ＝D′E′DE ＝A′E′AE＝1.5. 则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案与解析】作法：（1）在AB 上任取一点G′，作G′D′⊥BC ；（2）以G′D′为边，在△ABC 内作一正方形D′E′F′G′；（3）连接BF′，延长交AC 于F ；（4）作FG ∥CB ，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；∴四边形DEFG 即为所求．类型二、坐标系中的位似图形3. 如图，在10×10的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，以点A 为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD 位似，且相似比为2．A 1B 1C 1D 1E 1 A B C D E（1）在图中画出四边形AB′C′D′；（2）填空：△AC′D′是三角形．【思路点拨】（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．4. 如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M 对应的点M′的坐标为．【思路点拨】（1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以﹣2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；（2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．【答案与解析】解：（1）图略；（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．【总结升华】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？【答案】解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O•点按逆时针方向旋转180°得到的.。

图形的变化——图形的相似1一、选择题(共9小题)1、若x:y=1:3,2y=3z,则的值就是( )A、﹣5B、﹣C、D、52、如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,EF∥AB、若AD=2BD,则的值为( )A、B、C、D、3、如果两个相似多边形面积的比为1:5,则它们的相似比为( )A、1:25B、1:5C、1:2、5D、1:4、如图,AB就是半圆O的直径,D,E就是半圆上任意两点,连结AD,DE,AE与BD相交于点C,要使△ADC与△ABD相似,可以添加一个条件、下列添加的条件其中错误的就是( )A、∠ACD=∠DABB、AD=DEC、AD2=BD•CDD、CD•AB=AC•BD5、如图,在方格纸中,△ABC与△EPD的顶点均在格点上,要使△ABC∽△EPD,则点P所在的格点为( )A、P1B、P2C、P3D、P46、如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(2,0),点C在第一象限,若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似(不包括全等),则点C的个数就是( )A、1B、2C、3D、47、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,若△PAD与△PBC就是相似三角形,则满足条件的点P的个数就是( )A、1个B、2个C、3个D、4个8、如图,△ABC中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的顶点E,F在△ABC内,顶点D,G分别在AB,AC上,AD=AG,DG=6,则点F到BC的距离为( )A、1B、2C、12﹣6D、6﹣69、如图,在△ABC中,两条中线BE、CD相交于点O,则S△DOE:S△COB=( )A、1:4B、2:3C、1:3D、1:2二、填空题(共7小题)10 已知线段b就是线段a、c的比例中项,且a=1,c=4,那么b= _________ 、11、如图,点M就是△ABC内﹣点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别就是1,4,9、则△ABC的面积就是_________ 、12、若,则= _________ 、13、已知△ABC∽△DEF,其中AB=5,BC=6,CA=9,DE=3,那么△DEF的周长就是_________ 、14、如图,已知在Rt△OAC中,O为坐标原点,直角顶点C在x轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B,交AC于点D,连接OD、若△OCD∽△ACO,则直线OA的解析式为_________ 、15、如图,在▱ABCD中,F就是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形: _________ 、16、如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等,则= _________ 、三、解答题(共8小题)17、如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒、(1)求直线AB的解析式;(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似？(3)当t为何值时,△APQ的面积为个平方单位？18、已知在矩形ABCD中,P就是边AD上的一动点,联结BP、CP,过点B作射线交线段CP的延长线于点E,交边AD于点M,且使得∠ABE=∠CBP,如果AB=2,BC=5,AP=x,PM=y;(1)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(2)当AP=4时,求∠EBP的正切值;(3)如果△EBC就是以∠EBC为底角的等腰三角形,求AP的长、19、如图,点E就是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AE为边作一个菱形AEFG,且菱形AEFG∽菱形ABCD,连接EB,GD、(1)求证:EB=GD;(2)若∠DAB=60°,AB=2,AG=,求GD的长、20、等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P、(1)若AE=CF;①求证:AF=BE,并求∠APB的度数;②若AE=2,试求AP•AF的值;(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长、21、如图,AB∥FC,D就是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,分别延长FD与CB交于点G、(1)求证:△ADE≌△CFE;(2)若GB=2,BC=4,BD=1,求AB的长、22、如图,正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90°后,得到线段PE,且PE交BC于F,连接DF,过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q、(1)求线段PQ的长;(2)问:点P在何处时,△PFD∽△BFP,并说明理由、23、如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O、M为AD中点,连接CM交BD于点N,且ON=1、(1)求BD的长;(2)若△DCN的面积为2,求四边形ABNM的面积、24、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△BAP中,∠BAP=90°,已知∠CBO=∠ABP,BP交AC于点O,E为AC上一点,且AE=OC、(1)求证:AP=AO;(2)求证:PE⊥AO;(3)当AE=AC,AB=10时,求线段BO的长度、图形的变化——图形的相似参考答案与试题解析一、选择题(共9小题)1、若x:y=1:3,2y=3z,则的值就是( )A、﹣5B、﹣C、D、5考点: 比例的性质、专题: 计算题、分析: 根据比例设x=k,y=3k,再用k表示出z,然后代入比例式进行计算即可得解、解答: 解:∵x:y=1:3,∴设x=k,y=3k,∵2y=3z,∴z=2k,∴==﹣5、故选:A、点评: 本题考查了比例的性质,利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便、2、如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,EF∥AB、若AD=2BD,则的值为( )A、B、C、D、考点: 平行线分线段成比例、专题: 几何图形问题、分析: 根据平行线分线段成比例定理得出===2,即可得出答案、解答: 解:∵DE∥BC,EF∥AB,AD=2BD,∴==2,==2,∴=,故选:A、点评: 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用,注意:一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例、3、如果两个相似多边形面积的比为1:5,则它们的相似比为( )A、1:25B、1:5C、1:2、5D、1:考点: 相似多边形的性质、专题: 计算题、分析: 根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答、解答: 解:∵两个相似多边形面积的比为1:5,∴它们的相似比为1:、故选:D、点评: 本题考查了相似多边形的性质,熟记性质就是解题的关键、4、如图,AB就是半圆O的直径,D,E就是半圆上任意两点,连结AD,DE,AE与BD相交于点C,要使△ADC与△ABD相似,可以添加一个条件、下列添加的条件其中错误的就是( )A、∠ACD=∠DABB、AD=DEC、AD2=BD•CDD、C D•AB=AC•BD考点: 相似三角形的判定;圆周角定理、专题: 几何图形问题、分析: 由∠ADC=∠ADB,根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,即可求得答案;注意排除法在解选择题中的应用、解答: 解:如图,∠ADC=∠ADB,A、∵∠ACD=∠DAB,∴△ADC∽△BDA,故A选项正确;B、∵AD=DE,∴=,∴∠DAE=∠B,∴△ADC∽△BDA,故B选项正确;C、∵AD2=BD•CD,∴AD:BD=CD:AD,∴△ADC∽△BDA,故C选项正确;D、∵CD•AB=AC•BD,∴CD:AC=BD:AB,但∠ACD=∠ABD不就是对应夹角,故D选项错误、故选:D、点评: 此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理、此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用、5、如图,在方格纸中,△ABC与△EPD的顶点均在格点上,要使△ABC∽△EPD,则点P所在的格点为( )A、P1B、P2C、P3D、P4考点: 相似三角形的判定、专题: 网格型、分析: 由于∠BAC=∠PED=90°,而=,则当=时,可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABC∽△EPD,然后利用DE=4,所以EP=6,则易得点P 落在P3处、解答: 解:∵∠BAC=∠PED,而=,∴=时,△ABC∽△EPD,∵DE=4,∴EP=6,∴点P落在P3处、故选:C、点评: 本题考查了相似三角形的判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似、6、如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(2,0),点C在第一象限,若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似(不包括全等),则点C的个数就是( )A、 1B、2C、3D、4考点: 相似三角形的判定;坐标与图形性质、分析: 根据题意画出图形,根据相似三角形的判定定理即可得出结论、解答: 解:如图①,∠OAB=∠BAC1,∠AOB=∠ABC1时,△AOB∽△ABC1、如图②,AO∥BC,BA⊥AC2,则∠ABC2=∠OAB,故△AOB∽△BAC2;如图③,AC3∥OB,∠ABC3=90°,则∠ABO=∠CAB,故△AOB∽△C3BA;如图④,∠AOB=∠BAC4=90°,∠ABO=∠ABC4,则△AOB∽△C4AB、故选D、点评: 本题考查的就是相似三角形的判定,熟知有两组角对应相等的两个三角形相似就是解答此题的关键、7、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,若△PAD与△PBC就是相似三角形,则满足条件的点P的个数就是( )A、1个B、2个C、3个D、4个考点: 相似三角形的判定;直角梯形、分析: 由于∠PAD=∠PBC=90°,故要使△PAD与△PBC相似,分两种情况讨论:①△APD∽△BPC,②△APD∽△BCP,这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长,即可得到P点的个数、解答: 解:∵AB⊥BC,∴∠B=90°、∵AD∥BC,∴∠A=180°﹣∠B=90°,∴∠PAD=∠PBC=90°、AB=8,AD=3,BC=4,设AP的长为x,则BP长为8﹣x、若AB边上存在P点,使△PAD与△PBC相似,那么分两种情况:①若△APD∽△BPC,则AP:BP=AD:BC,即x:(8﹣x)=3:4,解得x=;②若△APD∽△BCP,则AP:BC=AD:BP,即x:4=3:(8﹣x),解得x=2或x=6、∴满足条件的点P的个数就是3个,故选:C、点评: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质,难度适中,进行分类讨论就是解题的关键、8、如图,△ABC中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的顶点E,F在△ABC内,顶点D,G分别在AB,AC上,AD=AG,DG=6,则点F到BC的距离为( )A、 1B、2C、12﹣6D、6﹣6考点: 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理;正方形的性质、专题: 几何图形问题、分析: 首先过点A作AM⊥BC于点M,交DG于点N,延长GF交BC于点H,易证得△ADG∽△ABC,然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案、解答: 解:过点A作AM⊥BC于点M,交DG于点N,延长GF交BC于点H,∵AB=A C,AD=AG,∴AD:AB=AG:AC,∵∠BAC=∠DAG,∴△ADG∽△ABC,∴∠ADG=∠B,∴DG∥BC,∵四边形DEFG就是正方形,∴FG⊥DG,∴FH⊥BC,AN⊥DG,∵AB=AC=18,BC=12,∴BM=BC=6,∴AM==12,∴,∴,∴AN=6,∴MN=AM﹣AN=6,∴FH=MN﹣GF=6﹣6、故选:D、点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理、此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用、9、如图,在△ABC中,两条中线BE、CD相交于点O,则S△DOE:S△COB=( )A、1:4B、2:3C、1:3D、1:2考点: 相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理、专题: 计算题、分析: 根据三角形的中位线得出DE∥BC,DE=BC,根据平行线的性质得出相似,根据相似三角形的性质求出即可、解答: 解:∵BE与CD就是△ABC的中线,∴DE=BC,DE∥BC,∴=,△DOE∽△COB,∴=()2=()2=,故选:A、点评: 本题考查了相似三角形的性质与判定,三角形的中位线的应用,注意:相似三角形的面积比等于相似比的平方,三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半、二、填空题(共7小题)10、已知线段b就是线段a、c的比例中项,且a=1,c=4,那么b= 2 、考点: 比例线段、分析: 根据比例中项的定义可得b2=ac,从而易求b、解答: 解:∵b就是a、c的比例中项,∴b2=ac,即b2=4,∴b=±2(负数舍去)、故答案就是:2、点评: 本题考查了比例线段,解题的关键就是理解比例中项的含义、11、如图,点M就是△ABC内﹣点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别就是1,4,9、则△ABC的面积就是36 、考点: 相似三角形的判定与性质、分析: 根据相似三角形的面积比就是相似比的平方,先求出相似比、再根据平行四边形的性质及相似三角形的性质得到BC:DM=6:1,即S△ABC:S△FDM=36:1,从而得到△ABC面积、解答: 解:过M作BC的平行线交AB、AC于D、E,过M作AC的平行线交AB、BC于F、H,过M作AB的平行线交AC、BC于I、G,因为△1、△2、△3的面积比为1:4:9,所以她们对应边边长的比为1:2:3,又因为四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形,所以DM=BG,EM=CH,设DM为x,则ME=2x,GH=3x,所以BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x,所以BC:DM=6x:x=6:1,由面积比等于相似比的平方故可得出:S△ABC:S△FDM=36:1,所以S△ABC=36×S△FDM=36×1=36、故答案为:36、点评: 本题考查了平行线的性质,平行四边形的性质及相似三角形的性质、熟悉相似三角形的性质:相似三角形的面积比就是相似比的平方、12、若,则= 、考点: 比例的性质、分析: 先用b表示出a,然后代入比例式进行计算即可得解、解答: 解:∵=,∴a=,∴=、故答案为:、点评: 本题考查了比例的性质,用b表示出a就是解题的关键,也就是本题的难点、13、已知△ABC∽△DEF,其中AB=5,BC=6,CA=9,DE=3,那么△DEF的周长就是12 、考点: 相似三角形的性质、专题: 计算题、分析: 根据相似的性质得=,即=,然后利用比例的性质计算即可、解答: 解:∵△ABC∽△DE F,∴=,即=,∴△DEF的周长=12、故答案为:12、点评: 本题考查了相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等,对应边的比相等;相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比;相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比、14、如图,已知在Rt△OAC中,O为坐标原点,直角顶点C在x轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B,交AC于点D,连接OD、若△OCD∽△ACO,则直线OA的解析式为y=2x 、考点: 相似三角形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征、专题: 数形结合、分析: 设OC=a,根据点D在反比例函数图象上表示出CD,再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC,然后根据中点的定义表示出点B的坐标,再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系,然后用a表示出点B的坐标,再利用待定系数法求一次函数解析式解答、解答: 解:设OC=a,∵点D在y=上,∴CD=,∵△OCD∽△ACO,∴=,∴AC==,∴点A(a,),∵点B就是OA的中点,∴点B的坐标为(,),∵点B在反比例函数图象上,∴=,∴=2k2,∴a4=4k2,解得,a2=2k,∴点B的坐标为(,a),设直线OA的解析式为y=mx,则m•=a,解得m=2,所以,直线OA的解析式为y=2x、故答案为:y=2x、点评: 本题考查了相似三角形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征,用OC的长度表示出点B的坐标就是解题的关键,也就是本题的难点、15、如图,在▱ABCD中,F就是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形: △ABP∽△AED(答案不唯一) 、考点: 相似三角形的判定;平行四边形的性质、专题: 开放型、分析: 可利用平行于三角形的一边的直线与其她两边相交,所构成的三角形与原三角形相似判断△ABP∽△AED、解答: 解:∵BP∥DF,∴△ABP∽△AED、故答案为:△ABP∽△AED(答案不唯一)、点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质:平行于三角形的一边的直线与其她两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;16、如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等,则= 、考点: 相似三角形的判定与性质、分析: 根据相似三角形的判定与性质,可得答案、解答: 解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC、∵S△ADE=S四边形BCDE,∴,∴,故答案为:、点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质,平行于三角形一边截三角形另外两边所得的三角形与原三角形相似,相似三角形面积的比等于相似比的平方、三、解答题(共8小题)17、如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒、(1)求直线AB的解析式;(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似？(3)当t为何值时,△APQ的面积为个平方单位？考点: 相似三角形的判定与性质;待定系数法求一次函数解析式;解直角三角形、专题: 压轴题;动点型、分析: (1)设直线AB的解析式为y=kx+b,解得k,b即可;(2)由AO=6,BO=8得AB=10,①当∠APQ=∠AOB时,△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t、②当∠AQP=∠AOB时,△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t、(3)过点Q作QE垂直AO于点E、在Rt△AEQ中,QE=AQ•sin∠BAO=(10﹣2t)•=8﹣t,再利用三角形面积解得t即可、解答: 解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,由题意,得,解得,所以,直线AB的解析式为y=﹣x+6;(2)由AO=6,BO=8得AB=10,所以AP=t,AQ=10﹣2t,①当∠APQ=∠AOB时,△APQ∽△AOB、所以=,解得t=(秒),②当∠AQP=∠AOB时,△AQP∽△AOB、所以=,解得t=(秒);∴当t为秒或秒时,△APQ与△AOB相似;(3)过点Q作QE垂直AO于点E、在Rt△AOB中,sin∠BAO==,在Rt△AEQ中,QE=AQ•sin∠BAO=(10﹣2t)•=8﹣t,S△APQ=AP•QE=t•(8﹣t),=﹣t2+4t=,解得t=2(秒)或t=3(秒)、∴当t为2秒或3秒时,△APQ的面积为个平方单位点评: 此题主要考查相似三角形的判定与性质,待定系数法求一次函数值,解直角三角形等知识点,有一定的拔高难度,属于难题、18、已知在矩形ABCD中,P就是边AD上的一动点,联结BP、CP,过点B作射线交线段CP的延长线于点E,交边AD于点M,且使得∠ABE=∠CBP,如果AB=2,BC=5,AP=x,PM=y;(1)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(2)当AP=4时,求∠EBP的正切值;(3)如果△EBC就是以∠EBC为底角的等腰三角形,求AP的长、考点: 相似形综合题;等腰三角形的性质;勾股定理;矩形的性质;锐角三角函数的定义、专题: 综合题、分析: (1)易证△ABM∽△APB,然后根据相似三角形的性质就可得到y关于x的函数解析式,由P就是边AD上的一动点可得0≤x≤5,再由y＞0就可求出该函数的定义域; (2)过点M作MH⊥BP于H,由AP=x=4可求出MP、AM、BM、BP,然后根据面积法可求出MH,从而可求出BH,就可求出∠EBP的正切值;(3)可分EB=EC与CB=CE两种情况讨论:①当EB=EC时,可证到△AMB≌△DPC,则有AM=DP,从而有x﹣y=5﹣x,即y=2x﹣5,代入(1)中函数解析式就可求出x的值;②当CB=CE时,可得到PC=EC﹣EP=BC﹣MP=5﹣y,在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系,然后结合y关于x的函数解析式,就可求出x的值、解答: 解:(1)∵四边形ABCD就是矩形,∴AB=CD=2,AD=BC=5,∠A=∠D=90°,AD∥BC,∴∠APB=∠PBC、∵∠ABE=∠CBP,∴∠ABM=∠APB、又∵∠A=∠A,∴△ABM∽△APB,∴=,∴=,∴y=x﹣、∵P就是边AD上的一动点,∴0≤x≤5、∵y＞0,∴x﹣＞0,∴x＞2,∴函数的定义域为2＜x≤5;(2)过点M作MH⊥BP于H,如图、∵AP=x=4,∴y=x﹣=3,∴MP=3,AM=1,∴BM==,BP==2、∵S△BMP=MP•AB=BP•MH,∴MH==,∴BH==,∴tan∠EBP==;(3)①若EB=EC,则有∠EBC=∠ECB、∵AD∥BC,∴∠AMB=∠EBC,∠DPC=∠ECB,∴∠AMB=∠DPC、在△AMB与△DPC中,,∴△AMB≌△DPC,∴AM=DP,∴x﹣y=5﹣x,∴y=2x﹣5,∴x﹣=2x﹣5,解得:x1=1,x2=4、∵2＜x≤5,∴AP=x=4;②若CE=CB,则∠EBC=∠E、∵AD∥BC,∴∠EMP=∠EBC=∠E,∴PE=PM=y,∴PC=EC﹣EP=5﹣y,∴在Rt△DPC中,(5﹣y)2﹣(5﹣x)2=22,∴(10﹣x﹣y)(x﹣y)=4,∴(10﹣x﹣x+)(x﹣x+)=4,整理得:3x2﹣10x﹣4=0,解得:x3=,x4=(舍负)、∴AP=x=、终上所述:AP的值为4或、点评: 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角函数等知识,证到△ABM∽△APB就是解决第(1)小题的关键,把∠EBP放到直角三角形中就是解决第(2)小题的关键,运用勾股定理建立x与y 的等量关系就是解决第(3)小题的关键、19、如图,点E就是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AE为边作一个菱形AEFG,且菱形AEFG∽菱形ABCD,连接EB,GD、(1)求证:EB=GD;(2)若∠DAB=60°,AB=2,AG=,求GD的长、考点: 相似多边形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;菱形的性质、专题: 几何综合题、分析: (1)利用相似多边形的对应角相等与菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等;(2)连接BD交AC于点P,则BP⊥AC,根据∠DAB=60°得到BP=AB=1,然后求得EP=2,最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可、解答: (1)证明:∵菱形AEFG∽菱形ABCD,∴∠EAG=∠BAD,∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB,∴∠EAB=∠GAD,∵AE=AG,AB=AD,∴△AEB≌△AGD,∴EB=GD;(2)解:连接BD交AC于点P,则BP⊥AC,∵∠DAB=60°,∴∠PAB=30°,∴BP=AB=1,AP==,AE=AG=,∴EP=2,∴EB===,∴GD=、点评: 本题考查了相似多边形的性质,解题的关键就是了解相似多边形的对应边的比相等,对应角相等、20、等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P、(1)若AE=CF;①求证:AF=BE,并求∠A PB的度数;②若AE=2,试求AP•AF的值;(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长、考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质、专题: 证明题;压轴题;动点型、分析: (1)①证明△ABE≌△CAF,借用外角即可以得到答案;②利用勾股定理求得AF 的长度,再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值,即可以得到答案、(2)当点F靠近点C的时候点P的路径就是一段弧,由题目不难瞧出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点,此时△ABP为等腰三角形,继而求得半径与对应的圆心角的度数,求得答案、点F靠近点B时,点P的路径就就是过点B向AC做的垂线段的长度;解答: (1)①证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°,又∵AE=CF,在△ABE与△CAF中,,∴△ABE≌△CAF(SAS),∴AF=BE,∠ABE=∠CAF、又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP,∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°、∴∠APB=180°﹣∠APE=120°、②∵∠C=∠APE=60°,∠PAE=∠CAF,∴△APE∽△ACF,∴,即,所以AP•AF=12(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况、①当AE=CF时,点P的路径就是一段弧,由题目不难瞧出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点,此时△ABP为等腰三角形,且∠ABP=∠BAP=30°,∴∠AOB=120°,又∵AB=6,∴OA=,点P的路径就是、②当AE=BF时,点P的路径就就是过点C向AB作的垂线段的长度;因为等边三角形ABC的边长为6,所以点P的路径为:、所以,点P经过的路径长为或3、点评: 本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用,解答本题的关键就是注意转化思想的运用、21、如图,AB∥FC,D就是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,分别延长FD与CB交于点G、(1)求证:△ADE≌△CFE;(2)若GB=2,BC=4,BD=1,求AB的长、考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质、分析: (1)由平行线的性质可得:∠A=∠FCE,再根据对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可证明:△ADE≌△CFE;(2)由AB∥FC,可证明△GBD∽△GCF,根据给出的已知数据可求出CF的长,即AD的长,进而可求出AB的长、解答: (1)证明:∵AB∥FC,∴∠A=∠FCE,在△ADE与△CFE中,,∴△ADE≌△CFE(AAS);(2)解:∵AB∥FC,∴△GBD∽△GCF,∴GB:GC=BD:CF,∵GB=2,BC=4,BD=1,∴2:6=1:CF,∴CF=3,∵AD=CF,∴AB=AD+BD=4、点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质,题目的设计很好,难度一般、22、如图,正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90°后,得到线段PE,且PE交BC于F,连接DF,过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q、(1)求线段PQ的长;(2)问:点P在何处时,△PFD∽△BFP,并说明理由、考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质、分析: (1)由题意得:PD=PE,∠DPE=90°,又由正方形ABCD的边长为1,易证得△ADP≌△QPE,然后由全等三角形的性质,求得线段PQ的长;(2)易证得△DAP∽△PBF,又由△PFD∽△BFP,根据相似三角形的对应边成比例,可得证得PA=PB,则可求得答案、解答: 解:(1)根据题意得:PD=PE,∠DPE=90°,∴∠APD+∠QPE=90°,∵四边形ABCD就是正方形,∴∠A=90°,∴∠ADP+∠APD=90°,∴∠ADP=∠QPE,∵EQ⊥AB,∴∠A=∠Q=90°,在△ADP与△QPE中,,∴△ADP≌△QPE(AAS),∴PQ=AD=1;(2)∵△PFD∽△BFP,∴,∵∠ADP=∠EPB,∠CBP=∠A,∴△DAP∽△PBF,∴,∴=,∴PA=PB,∴PA=AB=∴当PA=时,△PFD∽△BFP、点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用、23、如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O、M为AD中点,连接CM交BD于点N,且ON=1、(1)求BD的长;(2)若△DCN的面积为2,求四边形ABNM的面积、考点: 相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质、专题: 几何综合题、分析: (1)由四边形ABCD为平行四边形,得到对边平行且相等,且对角线互相平分,根据两直线平行内错角相等得到两对角相等,进而确定出三角形MND与三角形CNB相似,由相似得比例,得到DN:BN=1:2,设OB=OD=x,表示出BN与DN,求出x的值,即可确定出BD的长;(2)由相似三角形相似比为1:2,得到CN=2MN,BN=2DN、已知△DCN的面积,则由线段之比,得到△MND与△CNB的面积,从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND,最后由S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND求解、解答: 解:(1)∵平行四边形ABCD,∴AD∥BC,AD=BC,OB=OD,∴∠DMN=∠BCN,∠MDN=∠NBC,∴△MND∽△CNB,∴=,∵M为AD中点,∴MD=AD=BC,即=,∴=,即BN=2DN,设OB=OD=x,则有BD=2x,BN=OB+ON=x+1,DN=x﹣1,∴x+1=2(x﹣1),解得:x=3,∴BD=2x=6;(2)∵△MND∽△CNB,且相似比为1:2,∴MN:CN=DN:BN=1:2,∴S△MND=S△CND=1,S△BNC=2S△CND=4、∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6∴S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND=6﹣1=5、点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质就是解本题的关键、24、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△BAP中,∠BAP=90°,已知∠CBO=∠ABP,BP交AC于点O,E为AC上一点,且AE=OC、(1)求证:AP=AO;(2)求证:PE⊥AO;(3)当AE=AC,AB=10时,求线段BO的长度、考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰三角形的判定与性质、专题: 几何综合题;压轴题、分析: (1)根据等角的余角相等证明即可;(2)过点O作OD⊥AB于D,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO,利用“SAS”证明△APE与△OAD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°,从而得证;(3)设C0=3k,AC=8k,表示出AE=CO=3k,AO=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出PE=4k,BC=BD=10﹣4k,再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt△BDO中,利用勾股定理列式求解即可、解答: (1)证明:∵∠C=90°,∠BAP=90°∴∠CBO+∠BOC=90°,∠ABP+∠APB=90°,又∵∠CBO=∠ABP,∴∠BOC=∠APB,∵∠BOC=∠AOP,∴∠AOP=∠APB,∴AP=AO;(2)证明:如图,过点O作OD⊥AB于D,∵∠CBO=∠ABP,∴CO=DO,∵AE=OC,∴AE=OD,∵∠AOD+∠OAD=90°,∠PAE+∠OAD=90°,∴∠AOD=∠PAE,在△AOD与△PA E中,,∴△AOD≌△PAE(SAS),∴∠AEP=∠ADO=90°∴PE⊥AO;(3)解:设AE=OC=3k,∵AE=AC,∴AC=8k,∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k,∴OA=OE+AE=5k、由(1)可知,AP=AO=5k、如图,过点O作OD⊥AB于点D,∵∠CBO=∠ABP,∴OD=OC=3k、在Rt△AOD中,AD===4k、∴BD=AB﹣AD=10﹣4k、∵OD∥AP,∴,即解得k=1,∵AB=10,PE=AD,∴PE=AD=4K,BD=AB﹣AD=10﹣4k=6,OD=3在Rt△BDO中,由勾股定理得:BO===3、2015秋北师大版数学九上第三章《图形的相似》word单元测试点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,(2)作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形就是解题的关键,(3)利用相似三角形对应边成比例求出k=1就是解题的关键、。