13《动态几何---圆》综合练习分析

动态几何综合测试（二）试卷简介:调用前期讲解的动点问题处理框架及图形运动处理框架，检测学生在复杂背景下对各种知识的调用组合能力，如图形往返，放缩运动下的面积问题、存在性问题，要求在掌握题目本身套路的同时，能够对知识间的组合，模块间的组装有所感触。

一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发，沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长度的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发，沿线段CB以每秒3个单位长度的速度匀速运动．过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB 于点E．点P，Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间为t秒（）．（1）当点P落在射线QK上时，t的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：1．解题要点①首先研究基本图形：通过作双高研究梯形，求出高的长，得到两侧三角形的性质；②研究运动状态：通过对动点运动的研究，得到点P，Q的运动状态，如图所示，由线段图可知；③分析目标，当点P与点A重合时，时间为10s，此时点Q恰好在点D的正下方，即射线QK经过点D（点D与点E重合），所以当点P落在射线QK上时，点P在线段AD上；④画出点P落在射线QK上时的大致位置，从动点运动表达起，建立等式进行求解．2．解题过程如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，易得MN=AD=75，BM=CN=30，AM=DN=40，当点P落在射线QK上时，如图所示，由题意得，，∴AD=，解得．∴当点P落在射线QK上时，t的值为．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架2.（上接第1题）（2）记△PEQ的面积为S，则点P落在射线QK上之前的S与t之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点①分析引起目标三角形变化的状态转折点，如图所示，要求S的表达式，显然需要分两段，即．②分段画图，设计方案表达面积（公式法）．2．解题过程当时，过点P作PF⊥BC于点F，各点位置如图所示，∵BP=5t，CQ=3t，∴BF=3t，PF=4t，QE=4t．易知四边形PFQE是矩形，∴PE=FQ，∴，∴．当，各点位置如图所示，由题意得，，∴，∴．综上所述，．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架3.（上接第1，2题）在整个运动过程中，满足△PEQ是直角三角形的时间t的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点充分利用前两题的分析（运动状态和图形性质），整个运动可分为四段：，在每一段内对目标进行研究．在求出结果时，需要对端点时刻的状态进行验证，判断是否满足题意．2．解题过程①当时，点P在AB上，点E在CD上，如图所示，由第2题的分析可知∠PEQ=90°，△PEQ始终是直角三角形，∴符合题意．②当时，点P，E都在线段AD上，始终满足∠PEQ=90°，△PEQ是直角三角形，∴满足题意．③当时，点E在AD上，点P在CD上，若△PEQ是直角三角形，只能是∠EPQ=90°，所以只需要判断以EQ为直径的圆是否与线段CD有交点．此时，∵，∴，∴以EQ为直径的圆与线段CD无交点，∴不满足题意．④当时，满足题意，如图所示，综上所述，满足题意的t的取值范围是．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架4.如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在BC边上，腰DH落在AC边上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3．固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位长度的速度沿CB向右移动，当点D与点B重合时停止．设移动的时间为t秒，移动后的直角梯形为（如图2），△ABC与直角梯形重叠部分的面积为S（这里规定点是面积为0的几何图形），则S与t之间的函数关系为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：1．解题要点①研究基本图形，各线段长如图所示，EF始终与AB平行．②分析运动状态，如图所示，在找状态转折点时，找边与顶点碰撞的时刻，∴．③分段画图，设计方案求解面积．2．解题过程由题意得，DH=2，DE=4，过点F作FG⊥BC于点G，得到各线段长如下图所示，①当时，重叠部分即为直角梯形，如图所示，∵DE=4，，∴．②当时，如图所示，设与AB交于点M，则重叠部分为直角梯形，∵CE=t+4，BC=8，∴BE=t-4．∵重叠部分的面积S=梯形的面积-平行四边形MBEF的面积，∴．③当时，如图所示，设与AB交于点N，则重叠部分为△BDN，∵CD=t，BC=8，∴BD=8-t．△BDN是三边之比为3:4:5的直角三角形，∴，∴．综上所述，．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架。

与圆相关的动态几何问题-中学数学论文与圆相关的动态几何问题文/彭胜生以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，这类问题常常集几何、代数知识于一体，解决这类问题的关键要掌握图形在运动中伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性，灵活运用有关数学知识解决问题。

随着课改的不断深入，数学中考题型也在不断创新，动态几何问题逐年增多，其中与圆相关的动态几何问题占比较大，这类动态几何通常包含点动、线动、形动等三类问题。

一、点动型点动型就是指在题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题型。

解题时要根据这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。

例1解决这类点动问题的常常用的是“分段发现法”，也就是通过对运动过程中“拐点”进行探究，从动态的角度去分析可能出现的变与不变的情况，以静制动。

二、线动型线动型就是指在题设图形中，设计一条或两条线通过平移或旋转的运动方式，使其与已知几何图形产生交点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。

例2解决这类线动问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系及运动变化中图形的特殊位置，进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要。

三、形动型形动型是对给定的图形（或其一部分）实行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。

这类问题常与探究性、存在性等结合在一起，考察学生动手、观察、探索与实践能力。

圆主要有移动、滚动、转动及翻动等四种常用基本运动。

当然，与圆相关的动态几何问题还会以不同的形式呈现：如物体在传送带（或定滑轮）上运动，此时物体移动（上升）的距离等于转轮上质点运动的弧线的长度；再比如圆在运动过程中直径会随着时间和位置的变化而变化的一类问题也常在中考题中出现，在这就不一一列举。

2024河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动点问题考情分析年份题号题型分值考查内容设问形式202022解答题9(1)①圆上的点到圆心的距离都相等（即为半径），全等三角形的判定（SAS）②全等三角形的对应角相等，三角形内外角关系(2)切线性质，扇形面积计算(1)①求证三角形全等②写出三个角间的数量关系，并证明(2)指出线段与半圆的位置关系，求扇形面积20222510(1)弧长公式，锐角三角函数，平行线的性质(2)点圆最值，直线与圆的位置关系，勾股定理(3)分类讨论思想，勾股定理，锐角三角函数(1)求角度数及x的值(2)求x最小值，指出直线与圆的位置关系(3)求x的值例(2022河北预测卷)如图，点A是⊙O外一点，连接AO交⊙O于点B，点P从点B出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，过点P且垂直于AO的射线PM也随之运动，PM交AO于点C，交⊙O于点Q.连接AQ，OP，AP.例题图(1)求证：AP＝AQ；(2)若AO＝2PO＝6.最大时，求AQ的值；①当S△APO②当AP与⊙O相切时，求点P运动路径的长．练习(2022河北定心卷)如图，∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，分别过点A，C，作⊙O的切线AB，CB，两切线交于点B，点M是线段OA上一点(不与点A，O重合)，连接CM并延长交⊙O于点D，OE平分∠AOD交DC于点E.练习题图(1)求证：四边形OABC为正方形；(2)连接AC，若OD∥AC，求∠ODC的度数；(3)随着点M位置的改变，直接写出点E所经过的路径l的取值范围．练习(2022河北定制卷)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点M 从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，同时动点N从点C出发，以3cm/s的速度沿CA向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以AM为直径作⊙O，连接MN，设运动时间为t(s)(t>0).练习题图(1)试用含t的代数式表示出AM及AN的长度，并直接写出t的取值范围；(2)当t为何值时，MN与⊙O相切？(3)若线段MN与⊙O有两个交点，求t的取值范围．答案典例精讲例(1)证明：∵PQ⊥AO于点C，OB为⊙O的半径，∴PC＝QC，∠ACP＝∠ACQ＝90°，在△ACP和△ACQ中，A＝A∠A＝∠AA＝A，∴△ACP≌△ACQ(SAS),∴AP＝AQ；(2)解：①如解图①，∵S△APO＝12×AO·PC，且AO＝6，＝3PC，∴当PC最大时，S△APO最大，∴S△APO最大，∴当点C与点O重合时，PC最大，即S△APO∵AO＝2PO＝6，∴PO＝3，在Rt△AOP中，AP＝B2＋B2＝62＋32＝35，由(1)得AP＝AQ，∴AQ＝35；解图①②当AP与⊙O相切时，则AP⊥PO，即∠APO＝90°，当点P在AO上方时，如解图②，∵AO＝2PO＝6，∠APO＝90°，∴PO＝3，∴cos∠AOP＝B B＝12，∴∠AOP＝60°，∴点P运动路径的长为60H3180＝π；解图②解图③例题图当点P在AO下方时，如解图③，根据圆的轴对称性可得点P运动路径的长为300H3180＝5π.综上所述，点P的运动路径长为π或5π.课堂练兵练习(1)证明：∵BA，BC是⊙O的切线，∴∠BAO＝∠BCO＝90°.又∵∠AOC＝90°，∴四边形OABC为矩形.∵OA＝OC，∴四边形OABC为正方形；(2)解：如解图，连接AC，∵在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.又∵OD∥AC，∴∠DOC＝180°－∠OCA＝135°.∵OD＝OC，∴∠ODC＝180°－135°2＝22.5°；解图(3)在⊙O中，已知∠AOD=2∠DCA，∵OE平分∠AOD，∴∠EOA=∠DCA∴A、C、O、E四点共圆∵∠AOC＝90°，∴AC为直径如解图，连接AC ，取AC 的中点Q ，AQ 为半径∴点E 在以AC 的中点Q 为圆心，AQ 为半径的圆弧OA 上运动．连接QO ，∵OA ＝OC ＝3，Q 为AC 的中点，∴∠OQA ＝90°，AC ＝32，∴QA ＝322，∴OA ︵的长为90×π×322180＝32π4.∴点E 所经过的路径l 的取值范围为0＜l ＜32π4.例题解图课后小练练习解：(1)由题意得，AM ＝2t ，CN ＝3t ，在Rt △ABC 中，AC ＝B 2＋A 2＝62＋82＝10，∴AN ＝AC －CN ＝10－3t ，∵AB ＝6cm ，动点M 速度为2cm /s ，∴动点M 的最长运动时间为62＝3s ，∵AC ＝10cm ，动点N 的速度为3cm /s ，∴动点N 的最长运动时间为103s ，∴t 的取值范围为0＜t ≤3；(2)若MN 与⊙O 相切，则AB ⊥MN ，即∠AMN ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠AMN ＝∠ABC ，∵∠MAN ＝∠BAC ，∴△AMN ∽△ABC ，A B ＝A A ，即26＝10－310，解得t ＝3019，∴当t ＝3019时，MN 与⊙O 相切；(3)由(2)得，当t＞3019时，直线MN与⊙O有两个交点，如解图，当点N恰好在⊙O上时，线段MN与⊙O的两个交点恰好为M，N，∵AM为⊙O的直径，∴∠ANM＝90°＝∠B，∵∠MAN＝∠CAB，∴△AMN∽△ACB，A A＝A B，即210＝10－36，解得t＝5021，∴若线段MN与⊙O有两个交点，则t的取值范围为3019<t≤5021.解图。

专题十九 圆与动态几何问题知识聚焦以圆为载体，通过点的运动、直线的运动，探讨点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，这是圆与动态几何的基本表现形式．解这类问题需运用到分类讨论、数形结合、方程与函数等思想方法，关键是动中觅静、以静制动、以动制动． 例题导航【例1】 如图①，直线333+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，圆心P 的坐标为(1，0)，⊙P 与y 轴相切于点O.若将⊙P 沿x 轴向左移动，则当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5点拨：根据直线与坐标轴的交点，得出A 、B 两点的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标.解答：Θ直线333+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，圆心P的坐标为∴),0,1(点A 的坐标为(-3,0)，点B 的坐标为),3,0(⊙O 的半径为.32.1=∴AB如图②，将()P 沿x 轴向左移动，当⊙P 与该直线相切于点1C 时，,111=C P 根据~11C AP ∆,ABO ∆得.2313211111=∴⋅=∴⋅=AP AP BO C P AB AP ∴点1P 的坐标为(-1，0)．将⊙P 沿x 轴继续向左移动，当⊙P 与该直线相切于点2C 时，,122=C P 根据,~22ABO C AP ∆∆得=∴=32.2222AP BO C P AB AP .2312=∴⋅AP 点2p 的坐标为（-5，0）．从-1到-5，整数点有-2、-3、-4，故当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是3．故选B ．点评：此题主要考查了直线与坐标轴交点的求法以及相似三角形的判定，题目综合性较强，注意特殊点的求法是解决问题的关键．【例2】 (2012．聊城)如图①，⊙O 是△ABC 的外接圆，P BC AC AB ,12,10===是上的一个动点，过点P 作BC 的平行线交AB 的延长线于点D.(1)当点P 在什么位置时，DP 是⊙O 的切线？请说明理由； (2)当DP 为⊙O 的切线时，求线段DP 的长．点拨：(1)根据当点P 是的中点时，得出得出PA 是⊙O 的直径，再利用//DP BC ，得出,PA DP ⊥问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出~ABE ∆△ADP，即可得出DP 的长． 解答：(1)如图②，当点P 是的中点时，DP 是⊙O 的切线，理由：是⊙O 的直径，又,AC AB =Θ.BC PA ⊥∴又DP PA DP BC DP ∴⊥∴.,//Θ是⊙0的切线．(2)如图②，连接OB ，设PA 交BC 于点E ．由垂径定理，得,621==BC BE 在Rt△ABE 中，由勾股定理，得.86102222=-=-=BE AB AE 设⊙O 的半径为,r 则.8r OE -=在Rt△OB E '中，由勾股定理，得,)8(6222r r -+=解得//425DP r Θ⋅=.,D ABE BC ∠=∠∴又~,11ABE ∆∴∠=∠Θ,.AP EDP BE ADP =∴∆即⋅⨯=425286DP解得⋅=875DP点评：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理和相似三角形的判定与性质，根据已知得出ADP ABE ∆∆~是解题关键，【例3】某课题小组进行了如下探索，请逐步思考并解答：(1)如图①，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传送轮中心的距离是,10m 求这条传送带的长；(2)改变图形的数量，如图②，将传动轮增加到3个，每个传动轮的直径是,3m 每两个传动轮中心的距离是,10m 求这条传送带的长；(3)将静态问题升华为动态问题：如图③，一个半径为cm 1的⊙P 沿边长为cm π2的等边三角形ABC 的外沿无滑动地滚动一周，求圆心P 经过的路径长；⊙P 自转了多少周？(4)拓展与应用：如图④，一个半径为cm 1的⊙P 沿半径为cm 3的⊙O 外沿无滑动地滚动一周，则⊙P 自转了多少周？点拨：(1)利用传送带的长等于两个传送轮中心的距离×2+圆的周长即可求出；(2)可仿照(1)进行解答；(3)利用圆心P 经过的路径长为“三角形的周长加一个半径为1 cm 的圆的周长”即可求出；(4)利用⊙P 的圆心P 沿半径为cm 3的⊙O 外沿作无滑动滚动一周的路径长为π2)13(⨯+即可求出，解答：(1)这条传送带的长为=⨯+⨯3102πm )320(π+.)330(323180120310)2(m ππ+=⨯⨯+⨯(3)圆心P 经过的路径长为“三角形的周长加一个半径为cm 1的圆的周长”，∴圆心P 经过的路径长为).(826cm πππ=+⊙p 自转的周数一圆心P 经过的路径长÷⊙p 的周长，∴⊙p 自转的周数为.428=÷ππP )4(的圆心P 沿半径为cm 3的⊙O 外沿无滑动地滚动一周的路径长为=⨯+π2)13(∴),(8cm π⊙P 自转的周数为.428=÷ππ点评：此题主要考查了扇形的弧长公式以及等边三角形的性质等，根据已知条件得出点P 经过的路径是解题的关键．【例4】 （2013．宜昌）半径为cm 2的⊙O 与边长为cm 2的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，⊙O 与l 相切于点-F ，DC 在l 上．(1)过点B 作00的一条切线BE ，E 为切点．①填空：如图①，当点A 在⊙0上时，EBA ∠的度数是 ； ②如图②，当E 、A 、D 三点在同一直线上时，求线段OA 的长；(2)以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（如图③），当边BC 与OF 重合时结束移动，M 、N 分别是边BC 、AD 与⊙0的公共点，求扇形MON 的面积的范围．点拨：(1)①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出EBA ∠的度数；②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=OE OA ,OBOF进而求出OA 的长；(2)设,︒=∠n MON 得出),(90236022cm n n S MON ππ=⨯=扇形进而利用函数增减性分析：当点N 、1VI 、A 分别与点D 、B 、0重合时，MN 最大；当cm DC MN 2== 时，MN 最小，分别求出即可.解答：(1)①Θ半径为cm 2的⊙O 与边长为2 cm 的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，当点A 在⊙O 上时，,90,2,4o OEB cm FO cm OB =∠=-=EBA ∠∴的度数.30o Θ②直线l 与⊙O 相切于点=∠∴OFD F ,Θο.90在正方形ADCB 中，//,90OF ADC o ∴=∠∴==,2.cm AD OF AD Θ四边形OFDA 为平行四边形，∴=∠,90o OFD Θ平行四边形OFDA 为矩形．Θ.AO DA ⊥∴在正方形ABCD 中，⊥DA ∴,AB 点O 、A 、B 三点在同一条直线上．⊥∴EA =∠=∠OAE OEB OB Θ.,,90BOE EOA o ∠=∠..~2OA OE OBOEOE OA BOE EOA =∴⋅=∴∆∆∴.4)2(.2cm OA cm OA OB =+∴解得±-=1(OA .)15(,0.)5cm OA A O cm -=∴>-Θ (2)如图④，设=⨯=︒=∠2,2360πn S n MON MON 扇形οS cm n ),(902π随n 的增大而增大，MON ∠取最大值时，MON S 扇形最大，当MON ∠取最小值时，OMN S 扇形最小．过点0作MN OK ⊥于点K ，=∠∴MON .2,2NK MN NOK =∠在Rt△ONK 中，=∠NOK sin NOK nNKON NK ∠∴=,2α随NK 的增大而增大．MON ∠∴随MN 的增大而增大，∴当MN 最大时MON ∠最大．当MN 最小时MON ∠最小．①当点N 、M 、A 分别与点D、B、重合时，MN最大，==∠=∠=最大扇形MON S BAD MON BD MN ,90,οcm DC MN cm 2②;2==≡π时，MN 最小，=∴ON .32,60.2cm S NOM OM MN MON π==∠∴=最小扇形ο.32ππ≤≤∴MON S 扇形点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON 的面积的最大值与最小值是解题关键， 培优训练能力达标1．如图，⊙1O 的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点2O 为正方形ABCD 的中心，AB O O ⊥21于占.8,21=O O P 若将⊙1O 绕点P 按顺时针方向旋转,360O 在旋转过程中，⊙1O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现( ) A. 3次 B ．5次 C ．6次 D ．7次2．（2012．遵义）如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O上一个动点（不与A 、B 重合），过点0作AP OC ⊥于点C ，PB OD ⊥于点D ，则CD 的长为 .3．（2012．宁波）如图，在△,AI3C 中，,60ο=∠BAC D AB ABC o ,22,45==∠是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ， 连接EF ，则线段EF 的最小值为 ．4．（2012．镇江）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 过点A （-4，0）、B(O ，4)，⊙O 的半径为1(0为坐标原点)，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为 . 5．如图，⊙O 的直径MN=1，点A 在⊙O 上，且B AMN O ,30=∠是的中点，点P 在直径MN 上运动，求AP BP +的最小值．6．（2012．湘潭）如图，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点,21,AB AC P =点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于点D ．(1)如图①，求证：;~ABC PCD ∆∆(2)当点P 运动到什么位置时，≅∆PCD ?ABC ∆请在图②中画出△PCD 并说明理由；(3)如图③，当点P 运动到AB CP ⊥时，求BCD ∠的度数．7．（2012．张家界）如图，⊙O 的直径C AB ,4=为圆周上一点，,2=AC 过点C 作的切线DC ，⊙O 点P 为优弧CBA 上一动点（不与A 、C 重合）． (1)求与APC ∠的度数；ACD ∠(2)当点P 移动到的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形；(3)点P 移动到什么位置时，△APC 与△ABC 全等？请说明理由．8．（2012．无锡）如图，菱形ABCD 的边长为点P 从点A 出发，以,2cm .60o DAB =∠的速s cm /3度，沿AC 向点C 匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以的速度，沿射线AB 匀速运s cm /1动．当点P 运动到点C 时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为 (1)当点P 异于A 、C 时，请说明.ts(2)以点P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在;//BC PQ 整个运动过程中，为怎样的值时，t 与边BC ⊙P 分别有1个公共点和2个公共点？拓展提升9．（2012．兰州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦=BC F cm ,2是弦BC 的中点，.60o EC =∠若动点E 以s cm /2的速度从点A 出发沿着A B A →→方向运动，设运动时间为),30(<≤t ts 连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为 ( )47.A1.B47.C 或147.D 或1或4910.（2012．无锡）如图，以M(-5，0)为圆心、4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，P 是⊙M 上异于A 、B 的一动点，直线PA 、PB 分别交y 轴于点C 、D ，以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于E 、F ，则EF 的长( )A ．等于24B ．等于34C ．等于6D.随点P 位置的变化而变化11．（2013．广州）已知AB 是⊙O 的直径，,4=AB 点C 在线段AB 的延长线上运动，点D 在⊙O 上运动（不与点B 重合），连接CD ，且.OA CD = (1)当22=OC 时（如图），求证：CD 是⊙O 的切线；(2)当22>OC 时，CD 所在直线与⊙O 相交，设另一交点为E ，连接AE ． ①当D 为CE 中点时，求△ACE 的周长； ②连接OD ，是否存在四边形AODE 为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE ．ED 的值；若不存在，请说明理由．12.（2013．上海改编）在矩形ABCD 中，P 是AD 边上的动点，连接BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，连接QP(如图)．已知,5,13==AB AD 设⋅==y BQ x AP ,(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；(2)点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ，如果,4==EC EF 求x 的值．【例】 如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点O 为AD 上一动点),84(<<OA 以0为圆心，OA 的长为半径的圆交边CD 于点M ，连接OM ，过点M 作⊙O 的切线交边BD 于点N ．(1)求证：;~MCN ODM ∆∆(2)设,x DM =求OA 的长（用含x 的代数式表示）；(3)在点O 的运动过程中，设△CMN 的周长为P ，试用含x 的代数式表示P ，你能发现怎样的结论？点拨：(1)依题意可得,MNC OMD ∠=∠然后可证得)2(;~(/)MCN DM ∆∆设==OA x DM ,,8,R OA AD OD R OM -=-=-=根据勾股定理求出OA 的长；(3)由(1)知,~MCN ODM ∆∆利用线段比求出MN CN 、的长．然后代入可求出△CMN 的周长．也可利用相似三角形的周长比等于相似比来进行求解．解答：(1)MN Θ切⊙O 于点M ，=∠∴OMN =∠+∠=∠+∠MNC CMN CMN OMD οοΘ90.90οΘ90,.90=∠=∠∠=∠⋅C D MNC OMD O 又.~MON ODM ∆∆∴(2)在Rt△ODM 中，,x DM =设==OM OA .8,R OA AD OD R -=-=∴由勾股定理得-8(=∴=---∴=+OA R R R R x R .x 1664,)222222)80(16642<<+=x x R (3)解法一：,8x DM CD CM -=-=Θ又,166416648822x x R OD -=+-=-=Θ且~ODM ∆.,DM CN OD MC MCN =∴∆代人得到⋅+=816x x CN 同理,OMMN OD MC =代人得到CMN x x MN ∆∴⋅++=8642.的周长为+++-=++=816)8(x x x MN CN CM P .16)8()8(8642=++-=++x x x x 发现：在点0的运动过程中，△CMN 的周长P 始终为16，是一个定值．解法二：在Rt△ODM 中，-=-=88R OD ⋅-=+1664166422x x 设△ODM 的周长++='DM OD P .81646166422+=⋅+++-=x x x x OM 而~MCN ∆,ODM ∆且相似比=-⋅-==2x6416)8(x OD CM k MCN x P ODM P MCN x ∆∴+='∆∆+,816,816的周长的周长Θ的周长为.16816).8(=++=x x P 发现：在点O 的运动过程中，△CMN 的周长P 始终为16，是一个定值．点评：本题考查的是相似三角形的性质和判定、正方形的性质、勾股定理、切线性质等有关知识，思考题如图①，在⊙O 中，点P 在直径AB 上运动，但与A 、B 两点不重合，过点P 作弦,AB CE ⊥在上任取一点D ，直线CD 与直线AB 交于点F ，弦DE 交直线AB 于点M ，连接CM ．(1)如图①，当点P 运动到与点0重合时，求FDM ∠的度数；(2)如图②、③，当点P 运动到与点0不重合时，求证：.MC DF OB FM ⋅=⋅。

动态几何问题---圆的综合11（2014•江苏苏州,第28题9分）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O 的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．2（2014•江苏徐州,第28题10分）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．3.（2014•江苏苏州,第27题8分）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；（2）求证：BF=BD；（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．4. （2014•上海，第25题14分）如图1，已知在平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB=，点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点E 、F （点F 在点E 的右侧），射线CE 与射线BA 交于点G ．（1）当圆C 经过点A 时，求CP 的长；（2）联结AP ，当AP∥CG 时，求弦EF 的长；（3）当△AGE 是等腰三角形时，求圆C 的半径长．45⊙O 第二次相切时，设移动时间为t 2，分别求出即可． 解：（1）∵l 1⊥l 2，⊙O 与l 1，l 2都相切， ∴∠OAD=45°，∵AB=4cm ，AD=4cm ， ∴CD=4cm ，AD=4cm ，∴tan ∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC 的度数为：∠OAD+∠DAC=105°， 故答案为：105；（2）如图位置二，当O 1，A 1，C 1恰好在同一直线上时，设⊙O 1与l 1的切点为E ，连接O 1E ，可得O 1E=2，O 1E ⊥l 1，在Rt △A 1D 1C 1中，∵A 1D 1=4，C 1D 1=4， ∴tan ∠C 1A 1D 1=，∴∠C 1A 1D 1=60°， 在Rt △A 1O 1E 中，∠O 1A 1E=∠C 1A 1D 1=60°， ∴A 1E==，∴t ﹣2=，∴t=+2，∴OO 1=3t=2+6；（3）①当直线AC 与⊙O 第一次相切时，设移动时间为t 1，如图，此时⊙O 移动到⊙O 2的位置，矩形ABCD 移动到A 2B 2C 2D 2的位置， 设⊙O 2与直线l 1，A 2C 2分别相切于点F ，G ，连接O 2F ，O 2G ，O 2A 2， ∴O 2F ⊥l 1，O 2G ⊥A 2G 2，由（2）得，∠C 2A 2D 2=60°，∴∠GA 2F=120°， ∴∠O 2A 2F=60°，在Rt △A 2O 2F 中，O 2F=2，∴A 2F=，∵OO 2=3t ，AF=AA 2+A 2F=4t 1+， ∴4t 1+﹣3t 1=2，∴t 1=2﹣， ②当直线AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为t 2，记第一次相切时为位置一，点O 1，A 1，C 1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t 2﹣（+2），解得：t 2=2+2，综上所述，当d ＜2时，t 的取值范围是：2﹣＜t ＜2+2．点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论2专题：分析： （1）只要证到三个内角等于90°即可． （2）易证点D 在⊙O 上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S 矩形ABCD =2S △CFE =．然后只需求出CF 的范围就可求出S 矩形ABCD 的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G 的移动的解答：解：（1）证明：如图1，∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．∴四边形EFCG是矩形．（2）①存在．连接OD，如图2①，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．∵点O是CE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O上．∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴=（）2．∵AD=4，AB=3，∴BD=5，S△CFE =（）2•S△DAB=××3×4=．∴S矩形ABCD =2S△CFE=．∵四边形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D （G′处，如图2①所示．此时，CF=CB=4．Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，如图2②所示，此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，如图2③所示．S△BCD=BC•CD=BD•CF″′．∴4×3=5×CF″′∴CF″′=．∴≤CF≤4．∵S矩形ABCD =，∴×（）2≤S矩形ABCD≤×42．∴≤S≤12．∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，∴点G的移动路线是线段DG″．∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．∴=．∴=．∴DG″=．∴点G移动路线的长为．（1）利用圆心角定理进而得出∠BOD=120°，再利用弧长公式求出劣弧的长；（2）利用三角形中位线定理得出BF=AC，再利用圆心角定理得出=，进而得出BF=BD；（3）首先过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，得出BP⊥AE，进而证明△PBG≌△PBF（SAS），求出PG=PF．（1）解：连接OB，OD，∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，∵⊙O的半径为3，∴劣弧的长为：×π×3=2π；（2）证明：连接AC，∵AB=BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF=AC，∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，∵=，∴∠CAB=∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，在△PBG和△PBF中，，∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，∴BH=AB•cosB=4，∴AH=3，CH=4，∴AC==5，∴此时CP=r=5；（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，∵CE=CP，∴四边形APCE是菱形，连接AC、EP，则AC⊥EP，∴AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，∴CP=CE==，∴EF=2=；（3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N，∵cosB=，∴∠B＜45°，∵∠BCG＜90°，∴∠BGC＞45°，∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B，∴当∠AEG=∠B时，A、E、G重合，∴只能∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，∴△GAE∽△GBC，∴=，即=，解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，∴CE===．点评：4 5。

人教版数学九年级圆上的动态问题探析动态问题依然是中考数学的重量级的题型。

是体现学生创造性解题能力的代表。

也是学生综合数学素质的体现。

下面就谈一谈圆中的动态问题以及解答的策略，供同学们学习时参考。

一 动点在圆的直径上，探求线段和的最小值例1 如图1所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为( ) (A)22 (B) 2 (C)1 (D)2分析： 要求求出线段和的最小值，关键是要明白当点P 运动到何位置时才能存在最小值。

这个问题实际上就是一个对称性作图问题。

具体的解答过程如下：过点A 作AC ⊥MN 交圆O 于点C ，连接CB 交MN 于点P ，则线段BC 就是PA+PB 的最小值。

如图2所示，连接OB ，OC ，因为∠AMN ＝30°，所以AN 弧的度数为60°。

因为B 为AN 弧的中点，所以∠BON ＝30°。

因为AC ⊥MN ，MN 是圆的直径，所以AN 弧等于CN 弧，所以CN 弧的度数为为60°。

所以∠CON ＝60°。

所以∠BOC ＝90°。

在直角三角形BOC 中，OC=OB=1，所以BC=2211+=2。

解：选B 。

点评：利用对称性确定出线段和最小位置是解题的关键所在。

只要确定好了，求就变得简单多了。

二 动点圆上走，探求三角形面积最小值例2 如图3，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是A ．2B ．1C ．222- D ．22-分析： 确定好点D 运动到何时位置时，点E 到直线AB 的距离最短，是解题的关键。

原因是：线段AB 是一个定值，所以三角形ABE 的面积大小就只取决于点E 到AB 的距离了。

“化动为静”--动态几何综合题例析
班级_________姓名___________学号_________ 例1. 在半径为2厘米⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AD⊥AB，BC⊥AB，且AD=AP，BC=BP，连结CD.
（1）当P点从点A移动到点B时，请判断CD的中点M的位置？
（2）若PA= x，PM2=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量的取值范围.
例2、如下图，等腰直角△ABC的直角边AB=2，点P、Q分别从A、C出发，以相同的速度作直线运动.已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.
（1）设AP长为x，△PCQ的面积为S，求S关于x的函数关系式并写出自变量的取值范围. （2）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，判断线段
三、巩固练习
有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块对角线长为12cm的正方形纸板．按下图的方式将直尺的短边EF 放置在与正方形的对角线AC上，且点E与点A重合．若直尺沿射线AC方向平行移动，当点F
与点C重合停止运动。

如图所示，设平移的长度为x（cm），直尺和正方形纸板的重叠部分的面积为S (cm2),求S与X的函数关系式。

专题7 巧解圆中的动态问题知识解读圆中的动态问题，通常以圆为载体，通过点的运动、直线的运动，探究点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系.解答这类问题时，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，锅示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径。

解决这类问题常常用到分类讨论、数形结合、方程与函数等数学思想方法.培优学案典例示范例1 如图1－7－1，扇形OAB 的半径OA ＝3，圆心角∠AOB ＝90°，点C 是⌒AB 上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG ＝GH ＝HE .求证：223CH CD +是定值.【提示】题中半径不变，DG ，GH 和HE 之间的等量关系不变，可过点H 作HF ⊥CD 于点F ，构造相似三角形，应用相似三角形的性质及勾股定理等知识用2CD 来表示2CH .【解答】图1-7-跟踪训练如图1－7－2，A ，B 为⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A ，B 重合），我们称∠APB 为⊙O 上关于A ，B 的滑动角.（1）已知∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角. ①若AB 为⊙O 的直径，则∠APB ＝ ； ②若⊙O 半径为1，2=AB ，求∠APB 的度数；（2）已知2O 为⊙1O ，外一点，以2O 为圆心作一个圆与⊙1O ，相交于A ，B 两点，∠APB 为⊙1O 上关于点A ，B 的滑动角，直线PA ，PB 分别交⊙2O 于点M ，N （点M 与点A ，点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN ，∠ANB 之间的数量关系.【提示】（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB ＝90°；②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB＝90°，再分点P在优狐AB上，点P在劣弧AB上两种情况讨论即可；（2）根据点P在⊙O上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN，∠ANB之间的数量关系.1【解答】例2如图1－7－3，正方形ABCD的边长为1，点E为BC边上一动点，以AE为直径作⊙O.（1）设BE＝x，⊙O的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当BE为何值时，⊙O与CD相切；（3）在（2）的条件下，切点F在CD边上的位置如何，并加以证明；（4）判断以CD为直径的圆是否与（2）条件下的AE相切，说明理由.【解答】图1-7-3跟踪训练如图1－7－4，以M（－5，0）为圆心，4为半径的圆与x轴交于A，B两点，P是⊙M上异于A，B的一动点，直线PA，PB分别交y轴于C，D，以CD为直径的ON与x轴交于E，F，则EF的长（）A.为24C.为6 D.随P点位置的变化而变化4 B.为3图1-7-4 图1-7-56，0），B（0，6），经过A，B的直线l以每秒1个单位的速度向下作例3 如图1－7－5，已知点A（3匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动.设它们运动的时间为t秒.（1）用含t的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心，1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系.【提示】（1）求点P的坐标，即求点P到x轴与到y轴的距离，因此需过点P作x轴或y轴的垂线，然后探索运动过程中，点P的运动情况；（2）探索⊙P与直线CD的位置关系，即探索圈的半径与圆心到直线的距离之间的关系，分⊙P在左侧与直线OC相切和⊙P在右侧与直线OC相切两种情况讨论即可。

与圆相关的动态几何问题一个动态几何问题，涉及到圆的运动。

假设存在一个定义在XY平面上的原点O，一个半径R的圆C 以它为圆心，让圆C根据以下条件开始运动：圆C运动的方向是顺时针方向；圆C的速度是恒定的；每次运动的距离是固定的。

此外，我们假设圆C开始的角度定义为α，本题的目的是求出每次运动以后，圆C运动的角度β，以及两个角度α和β之间的关系。

首先，我们可以画出两个坐标系：一个是原点O，一个是圆C 的中心点。

设M(x,y)为圆C的移动点，则有M(Rcosα,Rsinα)，α表示圆C的角度。

接下来，我们可以利用三角函数的公式来推导出β 的值：β=α+arccos((Rcosα- Rcosα+d)/R)，其中d表示每次运动的距离。

最后，根据以上推导，可以得出α和β之间的关系：β=α+arccos((Rcosα- Rcosα+d)/R)。

综上所述，我们可以求出圆C每次运动以后运动的角度β，以及两个角度α和β之间的关系。

之后，我们可以继续利用三角函数的公式来求出圆C运动的位置。

具体的步骤如下：1、计算出α和β之间的关系：β=α+arccos((Rcosα-Rcosα+d)/R)。

2、根据β的值，计算出M(x, y)的坐标，即M(Rcosβ, Rsinβ)。

3、根据M(x, y)的坐标，可以得到圆C在XY平面上的具体位置，以及圆C每次运动以后的位置。

此外，圆C运动过程中出现的问题也不容忽视，比如：当α和β之间的关系满足条件时，是否会出现圆C无限接近原点的情况？当出现圆C无限接近原点的情况时，怎么处理？综上所述，通过深入探究，我们可以进一步弄清楚圆C如何在XY平面上运动，并发现相关问题，为圆C动态几何提供有效解决方案。

在实际应用中，圆C的运动也可以用在其他几何空间中，比如三维空间。

当圆C进入三维空间的时候，本身的特性和运动原理也会发生一定的变化。

首先，当圆C进入三维空间的时候，它的运动不仅仅受到X 轴和Y轴的影响，还受到Z轴的影响。

专题13 几何动态综合题一、运动型问题的类型按运动类型分：(1)点的运动(单点运动、双点运动)，(2)线的运动(线段或直线的运动)，(3)形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等)．按几何图形存在型分：(1)等腰三角形存在型，(2)直角三角形存在型，(3)等腰直角三角形存在型，(4)平行四边形存在型，(5)矩形、菱形、正方形存在型，(6)平分周长型，(7)平分面积型，(8)面积重叠型，(9)直线与圆相切型，(10)函数图象点的运动型．二、动态几何解决方法1.解决点动型问题一是要搞清在点运动变化的过程中，哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化，并在点运动相对静止的瞬间，寻找变量的关系；二是要运用好相应的几何知识；三是要结合具体问题，建立函数模型，达到解题目的．2.解决线动型问题线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生面动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解．解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，从运动变化中得到图形的特殊位置，进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示．3.解决形动类问题一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性，充分利用不变量来解决问题；二是要运用从特殊到一般的关系，探究图形运动变化过程中的不同阶段；三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质，这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷，结论更加准确．核心考点几何动态综合题几何动态综合题是广东省中考的热点，一般分布在第24题或第25题，属于压轴题，是中考试题中主要考查的一类题型．【经典示例】如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4 cm．（1）填空：AD=（cm），DC=（cm）；（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1 cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B 方向运动，当N点运动到B点时，M、N两点同时停止运动，连接MN，求当M、N点运动了x秒时，点N到AD的距离（用含x的式子表示）；（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．（参考数据：sin75°，sin15°答题模板第一步，要搞清在点运动变化的过程中，哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化，并在点运动的相对静止的瞬间，寻找变量的关系．第二步，要运用好相应的几何知识，相似三角形的性质，等腰三角形性质，直角三角形性质，特殊平行四边形的性质．第三步，要结合具体几何问题，建立函数模型．【满分答案】（1）∵∠ABC =90°，AB =BC =4 cm ，∴AC ， ∵∠ADC =90°，∠CAD =30°，∴DC =12AC∴AD ；故答案为：，（2）过点N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC ，交DC 的延长线于F ，如图所示：则NE =DF ．∵∠ABC =∠ADC =90°，AB =BC ，∠CAD =30°， ∴∠ACB =45°，∠ACD =60°，∴∠NCF =180°﹣45°﹣60°=75°，∠FNC =15°， ∵sin ∠FNC =FCNC，NC =x ，∴FC ，∴NE =DF∴点N 到AD （3）∵sin ∠NCF =FCNC，∴FN x ， ∵P 为DC 的中点，∴PD =CP∴PF ， ∴△PMN 的面积y =梯形MDFN 的面积﹣△PMD 的面积﹣△PNF 的面积=12（x﹣x）﹣12（﹣x）12x）x2即y是x的二次函数，0，∴y有最大值，当x=y【解题技巧】本题通过点的运动考查了相似、勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、二次函数的最值、等腰直角三角形的性质等知识.在解题过程中要注意结合点的运动，通过作辅助线运用三角函数和二次函数才能快速准确地得出结果．模拟训练1．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放(点C与E重合)，点B、C(E)、F在同一条直线上．已知∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8，BC＝6，EF＝10．如图②，△DEF从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE 与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(s)．（1）△DEF在平移的过程中，AP＝CE＝(用含t的代数式表示)；当点D落在Rt△ABC的边AC 上时，求t的值．（2）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，①设四边形APEQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式并试探究y的最大值；②是否存在△PQE为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t ；5；（2）①y ＝﹣2932105t +t (0＜t ≤5)，当t ＝329时，y 最大值＝51245；②存在，当t ＝103或t ＝4时，△PQE 是直角三角形．【解析】（1）如图1，△DEF 在平移的过程中，AP ＝CE ＝t ；当D 在AC 上时，如图2，∵DE ＝DF ， ∴EC ＝CF ＝12EF ＝5， ∴t ＝5．（2）①如图3，过点P 作PM ⊥BC 于M ，∴∠BMP ＝∠ACB ＝90°， ∴△ABC ∽△PBM ， ∴AC ABPM PB=，∴81010PM t=-， ∴PM ＝8﹣45t ，又∵∠EDF ＝90°，∠DEF ＝45°， ∴∠EQC ＝∠DEF ＝45°， ∴CE ＝CQ ＝t ，∴y ＝S △ACB ﹣S △ECQ ﹣S △PBE ＝12AC •BC ﹣12EC •CQ ﹣12BE •PM ＝12×8×6﹣12×t ×t ﹣12(6﹣t )(8﹣45t ) ＝﹣2932105t +t (0＜t ≤5)， ∵a ＝﹣109＜0，∴当t ＝﹣2b a ＝﹣32595-＝329时，y 最大值＝﹣109×2329（）+325×329＝51245. ②存在．i)当∠PQE ＝90°时，如图4，过点P 作PH ⊥BE 于H ，过点P 作PW ⊥AC 于W ，∴△ABC ∽△APW ，∴AB BC AC AP PW AW ==，即1068t PW AW==， ∴PW ＝35t ，AW ＝45t ，∴QW ＝8﹣45t ﹣t ＝8﹣59t ，EH ＝t ﹣35t ＝25t ，由①可得：CE ＝CQ ＝t ，PH ＝8﹣45t ，∴PQ 2＝PW 2+QW 2＝(35t )2+(8﹣59t )2＝518t 2﹣1445t +64，PE 2＝PH 2+EH 2＝(8﹣45t )2+(25t )2＝45t 2﹣645t +64， EQ 2＝CE 2+CQ 2＝t 2+t 2＝2t 2， ∵∠PQE ＝90°，∴在Rt △PEQ 中，PQ 2+EQ 2＝PE 2，即(518t 2﹣1445t +64)+(2t 2)＝45t 2﹣645t +64， 解得：t 1＝0(舍去) ，t 2＝103；ii)当∠PEQ ＝90°时，PE 2+EQ 2＝PQ 2，即(45t 2﹣645t +64)+(2t 2)＝518t 2﹣1445t +64， 解得：t 1＝0(舍去)， t 2＝20(舍去)， ∴此时不存在；iii)当∠EPQ ＝90°时，PQ 2+PE 2＝EQ 2，即(518t 2﹣1445t +64)+( 45t 2﹣645t +64)＝2t 2， 解得：t 1＝403(舍去)，t 2＝4， 综合上述：当t ＝103或t ＝4时，△PQE 是直角三角形．【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，动点运动的问题，相似的判定与性质以及分类讨论思想的运用，能利用图形准确画图并确定各条线段的长是解决问题的关键． （1）先根据运动的时间和速度可得：AP =CE =t ；并计算当D 在AC 上时，结合图形根据等腰直角三角形的性质可得t 的值；（2）①结合图形根据y =S △ACB -S △ECQ -S △PBE 代入可得y 与t 的关系式，利用二次函数的顶点坐标可得结论； ②假设存在△PQE 为直角三角形，分别以三个顶点为直角，利用勾股定理列方程，解方程可得结论．1．（2018·深圳）如图，△ABC 内接于⊙O ，BC ＝2，AB ＝AC ，点D 为AC 上的动点，且cos ∠ABC ． （1）求AB 的长度；（2）在点D 的运动过程中，弦AD 的延长线交BC 延长线于点E ，问AD ·AE 的值是否变化？若不变，请求出AD ·AE 的值；若变化，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH ＝CD +DH ．【答案】（1（2）不变化，AD ·AE ＝10；（3）见解析. 【解析】（1）作AM ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，BC ＝2BM ， ∴BM 12=BC ＝1， ∵cos ∠ABC BM AB ==， 在Rt △AMB 中，BM ＝1， ∴AB cos BMABC==∠.（2）连接DC ， ∵AB ＝AC ， ∴∠ACB ＝∠ABC ，∵四边形ABCD 内接于圆O ， ∴∠ADC +∠ABC ＝180°， ∵∠ACE +∠ACB ＝180°， ∴∠ADC ＝∠ACE ， ∵∠CAE 公共角， ∴△EAC ∽△CAD ， ∴AC AEAD AC=， ∴AD ·AE ＝AC 2＝10.（3）在BD 上取一点N ，使得BN ＝CD ，在△ABN 和△ACD 中，31AB AC BN CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABN≌△ACD（SAS），∴AN＝AD，∵AN＝AD，AH⊥BD，∴NH＝HD，∵BN＝CD，NH＝HD，∴BN+NH＝CD+HD＝BH．2．（2018·广州）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．（1）求∠A+∠C的度数；（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度．【答案】（1）270°；（2）DB2＝DA2+DC2，理由见解析；（3）π3 .【解析】（1）如图1中，在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠B＝60°，∠D＝30°，∴∠A+∠C＝360°–60°–30°＝270°．（2）如图2中，结论：DB2＝DA2+DC2．理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形BDQ．∵∠ABC＝∠DBQ＝60°，∴∠ABD＝∠CBQ，∵AB＝BC，DB＝BQ，∴△ABD≌△CBQ，∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，∵∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°，∴∠DCQ＝90°，∴DQ2＝DC2+CQ2，∵CQ＝DA，DQ＝DB，∴DB2＝DA2+DC2．（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．则△AER是等边三角形，∵EA 2＝EB 2+EC 2，EA ＝RE ，EC ＝RB ， ∴RE 2＝RB 2+EB 2， ∴∠EBR ＝90°， ∴∠RAE +∠RBE ＝150°，∴∠ARB +∠AEB ＝∠AEC +∠AEB ＝210°， ∴∠BEC ＝150°，∴点E 的运动轨迹在以O 为圆心的圆上，在⊙O 上取一点K ，连接KB ，KC ，OB ，OC ， ∵∠K +∠BEC ＝180°， ∴∠K ＝30°，∠BOC ＝60°， ∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形， ∴点E 的运动路径60π1π1803⋅⋅==． 3．（2017·广东）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形ABCO 是矩形，点A ，C 的坐标分别是A （0，2）和C （0），点D 是对角线AC 上一动点（不与A ，C 重合），连接BD ，作DE ⊥DB ，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ． （1）填空：点B 的坐标为 ；（2）是否存在这样的点D ，使得△DEC 是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：DE DB =②设AD =x ，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（可利用①的结论），并求出y 的最小值．【答案】（1）（2），（2）存在，理由见解析，（3）①见解析，②y x 2﹣x =3时，y【解析】（1）∵四边形AOCB 是矩形，∴BC =OA =2，OC =AB ∠BCO =∠BAO =90°，∴B （2）．故答案为（2）． （2）存在．理由如下：连接BE ，取BE 的中点K ，连接DK 、KC ．∵∠BDE =∠BCE =90°， ∴KD =KB =KE =KC ， ∴B 、D 、E 、C 四点共圆，∴∠DBC =∠DCE ，∠EDC =∠EBC ，∵tan ∠ACO =AO OC ， ∴∠ACO =30°，∠ACB =60°①如图1中，△DEC 是等腰三角形，观察图象可知，只有ED =EC ， ∴∠DBC =∠DCE =∠EDC =∠EBC =30°， ∴∠DBC =∠BCD =60°， ∴△DBC 是等边三角形， ∴DC =BC =2，在Rt △AOC 中，∵∠ACO =30°，OA =2， ∴AC =2AO =4，∴AD =AC ﹣CD =4﹣2=2．∴当AD =2时，△DEC 是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE 是等腰三角形，易知CD =CE ，∠DBC =∠DEC =∠CDE =15°， ∴∠ABD =∠ADB =75°，∴AB =AD综上所述，满足条件的AD 的值为2或 （3）①由（2）可知，B 、D 、E 、C 四点共圆， ∴∠DBC =∠DCE =30°， ∴tan ∠DBE =DEDB，∴DE DB ． ②如图2中，作DH ⊥AB 于H ．在Rt △ADH 中，∵AD =x ，∠DAH =∠ACO =30°，∴DH =12AD =12x ，AH x ，∴BH x ，在Rt △BDH 中，BD ，∴DE BD∴矩形BDEF 的面积为y 2（x 2﹣6x +12），即y x 2﹣∴y （x ﹣3）2＞0，∴x=3时，y4．已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一条直线上，AB ＝EF＝6 cm，BC＝FP＝8 cm，∠EFP＝90°。

人教版数学九年级圆上的动态问题探析 动态问题依然是中考数学的重量级的题型。

是体现学生创造性解题能力的代表。

也是学生综合数学素质的体现。

下面就谈一谈圆中的动态问题以及解答的策略，供同学们学习时参考。

一 动点在圆的直径上，探求线段和的最小值例1 如图1所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为( )(A)22 (B) 2 (C)1 (D)2分析： 要求求出线段和的最小值，关键是要明白当点P 运动到何位置时才能存在最小值。

这个问题实际上就是一个对称性作图问题。

具体的解答过程如下：过点A 作AC ⊥MN 交圆O 于点C ，连接CB 交MN 于点P ，则线段BC 就是PA+PB 的最小值。

如图2所示，连接OB ，OC ，因为∠AMN ＝30°，所以AN 弧的度数为60°。

因为B 为AN 弧的中点，所以∠BON ＝30°。

因为AC ⊥MN ，MN 是圆的直径，所以AN 弧等于CN 弧，所以CN 弧的度数为为60°。

所以∠CON ＝60°。

所以∠BOC ＝90°。

在直角三角形BOC 中，OC=OB=1，所以BC=2211+=2。

解：选B 。

点评：利用对称性确定出线段和最小位置是解题的关键所在。

只要确定好了，求就变得简单多了。

二 动点圆上走，探求三角形面积最小值例2 如图3，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是A ．2B ．1C ．222- D ．22-分析： 确定好点D 运动到何时位置时，点E 到直线AB 的距离最短，是解题的关键。

原因是：线段AB 是一个定值，所以三角形ABE 的面积大小就只取决于点E 到AB 的距离了。

专题六： 动态几何问题(圆)[典型例题]例1：如图2-4-37，在直角坐标系中,O 是原点,A 、B 、C 三点的坐标分别为A （18，0）、B （18，6）、C （8，6），四边形OABC 是梯形．点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）求出直线OC 的解析式．（2）设从出发起运动了t 秒，如果点Q 的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围．（3）设从出发起运动了t 秒，当P 、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长的一半时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由．分析与解答 （1）设OC 的解析式为y kx =，将C （8，6）代入，得34k =，∴34yx =．（2）当Q 在OC 上运动时，设3(,)4Q m m ，依题意有2223()(2)4m m t +=，∴85mt=．故86(,)(05)55Q t t t ≤≤．当Q 在CB 上运动时，Q 点所走过的路程为2t ． ∵CO=10，∴210C Q t =-． ∴Q 点的横坐标为28102-=+-t t∴(22,6)(510)Q t t -<≤．（3）易得梯形的周长为44．①如图2-4-38，当Q 点在OC 上时，P 运动的路程为t ，则Q 运动的路程为(22)t -． 过Q 作QM ⊥OA 于M ，则3(22)5Q M t =-⨯．∴13(22)25OPQS t t ∆=-⨯，1(1810)6842S =+⨯=四边形．假设存在t 值，使得P 、Q 两点同时平分梯形的周长和面积， 则有131(22)84252t t =⨯=⨯，即2221400t t -+=．∵22241400∆=-⨯<，∴这样的t 不存在．②如图2-4-39，当Q 点在BC 上时，Q 走过的路程为(22)t -， 故CQ 的长为：221012t t --=-． ∴1()2OCQPS CQ OP =+梯形．11(12)6368422AB t t =⨯-+⨯=≠⨯，图2-4-37图2-4-38图2-4-39∴这样的t 也不存在．综上所述，不存在这样的t 值，使得P 、Q 两点同时平分梯形的周长和面积．例2： 如图2-5-40，在Rt △PMN 中，∠P=900，PM=PN ，MN=8㎝，矩形ABCD 的长和宽分别为8㎝和2㎝，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上．令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1㎝的速度移动（图2-4-41），直到C 点与N 点重合为止．设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y ㎝2．求y 与x 之间的函数关系式．N(M )C B图2-4-40N图2-4-41分析与解答 在Rt △PMN 中，∵PM=PN ，∠P=900，∴∠PMN=∠PNM=450． 延长AD 分别交PM 、PN 于点G 、H ．过G 作GF ⊥MN 于F ，过H 作HT ⊥MN 于T （图2-4-42）． ∵DC=2㎝．∴MF=GF=2㎝， ∵MT=6㎝．因此矩形ABCD 以每秒1㎝的速度由开始向右移动到停止，和Rt △PMN 重叠部分的形状可分为下列三种情况：（1）当C 点由M 点运动到F 点的过程中（0≤x ≤2）．如图2-4-42所示，设CD 与PM 交于点E ，则重叠部分图形是Rt △MCE ，且MC=EC=x ．∴211(02)22yM C EC x x ==≤≤ ．（2）当C 点由F 点运动到T 点的过程中(26)x <≤， 如图2-4-43所示，重叠部分图形是直角梯形MCDG ． ∵,2M C x M F ==，∴FC=DG=x -2，且DC=2． ∴1()22(06)2yM C GD DC x x =+=-<≤T M图2-4-44图2-4-43MT（3）当C 点由T 点运动到N 点的过程中(68)x <≤， 如图2-4-44所示，设CD 与PN 交于点Q ，则重叠部分图形是五边形MCQHG ．∵MC x=，∴CN=CQ=8-x ，且DC=2．∴2111()(8)12(68)222yM N GH DC CN CQ x x =+-=--+<≤ ．F T N图2-4-42[精选习题]填空：1．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，将矩形ABCD 在直线l 上按顺时针方向不滑动．．．的每秒转动90°，转动3秒后停止，则顶点A 经过的路线长为 ．2．如图，已知⊙O 半径为5，弦AB 长为8，点P 为弦 AB 上一动点，连结OP ，则线段OP 的最小长度是 .3．如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，…，P 2008的位臵，则点P 2008的横坐标为 ．4．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是BC 的中点，AD =5，BC =12，CD =24，∠C =45°，点P 是BC 边上一动点，设PB 的长为x ．（1）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形； （2）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形；；P EABCD5. 如图所示，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正方形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图①位臵滚动到图②位臵时，线段OA 绕点O 顺时针转过的角度为_______度．6. 如图，经过⊙O 圆心的直线l 与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上∠AOC=30°,点P 是直线l 上的一个动点（与O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于Q 。