沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.4 向量的减法 教案

向量的减法教案教案：向量的减法学科：数学年级：高中学习目标：1. 理解向量的概念和性质。

2. 掌握向量的减法运算及其性质。

3. 能够解决与向量减法相关的问题。

教学准备：1. PowerPoint演示文稿。

2. 向量减法的练习题及答案。

教学过程：Step 1：导入通过例子或问题引入向量减法的概念，例如：已知向量A和向量B的坐标分别为（3, 4）和（2, 1），求A-B的坐标。

Step 2：向量的定义和性质回顾回顾向量的定义和性质，如零向量、向量的模、向量的运算规则等。

Step 3：向量减法的概念向学生解释向量减法的概念：向量A减去向量B，相当于将向量B的方向取反，然后与A相加。

Step 4：向量减法的运算规则向学生介绍向量减法的运算规则：两个向量相减，就是将被减数的方向取反，然后与减数相加。

Step 5：示例演示通过一个或多个示例演示向量减法的具体计算过程，引导学生掌握向量减法的方法。

Step 6：练习提供一些练习题给学生进行练习，帮助他们巩固和应用所学的知识。

可以在黑板上展示问题，让学生进行计算，并提供答案供他们核对。

Step 7：总结总结向量减法的要点，并解答学生在练习中遇到的问题。

Step 8：拓展引导学生思考向量减法在实际问题中的应用，如力的合成、速度的合成等。

Step 9：实践运用提供一些实际问题给学生，并引导他们运用所学的知识解决问题。

Step 10：评估通过作业或小测验评估学生对向量减法的掌握程度，及时发现并纠正他们的错误。

扩展活动：1. 将向量与平移、旋转等几何变换联系起来，进一步拓展学生对向量减法的认识和应用。

2. 让学生自己设计一些相关的问题或案例，并分享给同学们讨论和解答。

教学反思：通过本节课的教学，学生对向量减法的概念和运算规则有了更深入的理解，并能够应用所学的知识解决实际问题。

对于一些较为困难的问题，可以适当增加示例演示的数量，或提供更多的练习题进行巩固和拓展。

同时，关注学生的学习情况，及时给予帮助和指导，确保他们能够准确理解和应用向量减法的知识。

→AB 22.9(1) 平面向量的减法教学目标：1、经历引进向量减法的过程,理解向量减法的意义,知道向量减法是向量加法的逆运算；2、初步掌握向量减法的三角形法则，会将向量减法转化为加法运算，和进行向量加减法的混合运算.教学重点：引进向量减法；使学生掌握向量减法的法则，并初步学会向量加减的混合运算. 教学难点：减法运算时差向量方向的确定. 教学过程： 一、复习旧知我们已经学习了向量加法的意义，以及用三角形法则和多边形法则来作和向量. 已知→a 、→b ，求作→c ，使得→c =→a +→b作法：在平面内任取点O 作向量→OA =→a ，作向量=→b ，则向量→OB =→c （口诀：首尾相接首尾连.） 二、引入新课【问题一】由向量的加法运算，自然联想到向量的减法运算，如何定义向量的减法运算？ 回忆一下，我们是怎么学习数的减法的？已知两个数的和,及其中一个数,求另一个数的运算.用符号语言表示：若c b a =+，则有b c a -=或a c b -=.那么我们可以用类似的方法来定义向量的减法运算:已知两个向量的和,及其中一个向量,求另一个向量的运算. 如果→a +→b =→c ，则→a 叫做→c 与→b 的差向量，记作→→-b c ，其中→c 是被减向量，→b 是减向量.同理，→a +→b =→c ，则→b 叫做→c 与→a 的差向量，记作→→-a c ，其中→c 是被减向量，→a 是减向量. 【问题二】如何作出两个向量的差向量？ 观察：已知→b 、→a ，→c ，→c =→→+b a分析：因为→c =→→+b a ，则由向量加法的三角形法则，首尾相接首尾连，观察下图，图中的→-OB 即是→b 与→a 的和，根据平行四边形法则，可作→→-=b OC 、→→-=a CB .→a →bA BC→b→aOA→→a→b→b→cB→a→cO请同学们观察，在上面作图中，→a 、→b 、→c 也组成一个三角形，→→→→--==b c a BC . 归纳作法：在平面内任取一点O 作向量→OB =→c ，再作向量→OC =→b ，则向量→CB 即是所求的→a .(同起点,连终点,指被减.)我们把这样作差向量的规定称为向量减法的三角形法则.比较向量减法的三角形法则和向量加法三角形法则的区别之处：※向量加法是把两个已知向量首尾相接，向量减法是从同一起点出发作两个已知向量； ※和向量是以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点（首尾相接首尾连）； 结论： 差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点（箭头指向被减向量）. 【问题3】我们在学习数的减法的时候曾经讲过数的减法可转化为加法运算，即减去一个数等于加上这个数的相反数，)(b c b c -+=-.那么对于向量，我们是否也可以类似的说减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？ 先请同学回忆相反向量的定义.(方向相反，长度相等）接着我们来验证我们刚才的想法是否正确，即→→-b c 与）（→→-+b c 的结果是否相等？ 请同学们在图中用向量加法的三角形法则作出）（→→-+b c根据向量加减法的三角形法则，我们可得到→CB =→→-b c ，→-DA =）（→→-+b c 那么向量→CB 与向量→OA 是否相等？为什么？根据平行四边形的性质我们可以进行证明:把OB 和DE 叠合在一起，CB ∥OA 且CB =OA ，所以→a =→d结论：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量→d→-b→cOAO→a→b→c→a→b→cADE→a→b→cC BOABOC→d→a→b→-b→c三、课堂例题:例1、根据图型特征建立向量关系：如图已知AD 是△ABC 的中线，试用向量→AB 、→AD 、→AC 来表示向量→BD 和→DC 解：→BD =-→AD →AB ,→DC =-→AC →AD(分析：已知向量→AB 、→AD 共起点，所以应该用向量的减法来表示向量→BD ，而向量→BD 的起点是向量→AB 的终点，向量→BD 的终点→AD 的终点，因此→BD =-→AD →AB .)【课堂练习1】如图，四边形ABCD 中，向量→BA =→a ，向量→AD =→b ，向量→BC =→c ，试用→a 、→b 、→c 来表示向量→BD 、向量→CD .解：→BD =→a +→b→CD =-→BD →BC =→a +-→b →c（通过本题，使同学进一步体会什么时候应该用两个向量加法运算来表示第三个向量，什么时候应该用两个向量减法运算来表第三个向量向量.）【课堂练习2】已知点M 、N 分别是平行四边形ABCD 边AD 、DC 上的点，设→AB =→a ，→AM =→b ，→BC =→c ，→CN =→d ，分别用向量→a 、→b 、→c 、→d 来表示→BM 、→BN 、→MN .a b BM-=→，→BN =→c + →d ，→MN =→BN -→BM =→c +→d -（→b -→a ）=→c +→d -→b +→a . 本题进一步帮助学生理解向量加法、减法的三角形法则，学生根据图形特征建立向量关系式.C→ ACDAB CD→b→c →acB例2、向量加减混合运算的作图 1、已知向量→a 、→b 、→c ，求作：-→a →b （1）（2）在平面内任取一点O ，作向量→OA =→a ，作向量→OB =→b ，则=→BA -→a →b .既然减去一个向量可以看成是加上这个向量的相反向量，那么这一题还有没有其他作法？ 我们可以把-→a →b 转化为-+→(a →b ），然后利用向量加法的三角形法则来作图. (2）平行向量也同样如此.【课堂练习3】已知向量→a 、→b 、→c ，求作：-→a →b (1)(2)同向共线2、已知向量→a 、→b 、→c ，求作：-→a →b +→c .进行向量加减混合运算时，运算顺序的规定是与数的运算顺序一样的，按照从左到右的顺序进行运算可以如下作图：在平面内任取一点O ，作向量→OA =→a ，作向量→OB =→b ，则=→BA -→a →b ，再作向量→→=c AC ，然后作→BC ，则→BC =+→BA =→AC -→a →b +→c ；既然减去一个向量可以看成是加上这个向量的相反向量，那么这一题还有没有其他作法？ 我们可以把-→a →b +→c 转化为-+→(a →b ）+→c ，然后利用向量加法的多边形法则来作图.→a→a→b→bO AB→bOAB→a→-bOA→b→aA OB→a→b为所求作的向量.→BA B→a→b→a→a→b→c→a→b→cOA BC为所求作的向量.→BA →b→a向量→oc 为所求作的向量.向量加法满足交换律，我们也可以通过-→a →b +→c =+→a →c -→b 来作.【课堂练习4】已知向量→a 、→b 、→c ，求作：-→a -→b →c 我们知道：-→a -→b →c =-+→(a -+→()b →c ）；在平面内任取一点O ，顺次作向量→OA =→a ，=→AD →-b ，→→-=c DF ，再作向量→OF ，则→OF =+→OA =+→→DF AD -+→(a →b )+)(→-c =-→a -→b →c ；因此，几个向量相加减通常转化为几个向量相加，再用多边形法则作图.例3、化简下列各式:(1)→→→→-++MP MN QP NQ (2) )()(→→→→---BD AC CD AB 解：→→→→-++MP MN QP NQ =→→→=+0PN NP .)()(→→→→---BD AC CD AB =→→→→→→→→→→→=-=+-+=+--0AD AD CD AC BD AB BD AC CD AB ）（向量的加法和减法运算我们既要熟悉通过作图来求出向量，也要从符号表示的角度能熟练地进行化简和运算，同时还能熟练地运用交换律和结合律进行灵活的变形. 【课堂练习5】(1)→→→+-BC AC AB (2)→→→-+OC BC OA (3）五、课堂小结：(略)六、回家作业：练习册22.9（1）A OB→a→c→-bCAC B→a→c→-bO→a→-b→-cAD F)()(→→→→---BD AC CD AB→b→a→b→c→a→c D22.9 （1)平面向量的减法学习单习1】如图，四边形ABCD 中，向量→BA =→a ，向量→AD =→b ，向量→BC =→c ，试【课堂练用 →a 、→b 、→c 来表示向量→BD 、向量→CD .【课堂练习2】已知点M 、N 分别是平行四边形ABCD 边AD 、DC 上的点，设→AB =→a ，→AM =→b ，→BC =→c ，→CN =→d ，分别用向量→a 、→b 、→c 、→d 来表示→BM 、→BN 、→MN .【课堂练习3】已知向量→a 、→b 、→c ，求作：-→a →b (1) (2)【课堂练习4】已知向量→a 、→b 、→c ，求作：求作：-→a -→b →c .【课堂练习5】→b→a→b→aC→cABC(1)→→→+-BC AC AB (2)→→→-+OC BC OA (3）)()(→→→→---BD AC CD AB。

22.9 平面向量的减法一．教学目标1．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；2．能利用向量减法的运算法则解决有关问题；3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；4．过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．二．教学重点：向量的减法的定义，作两个向量的差向量；教学难点：对向量减法定义的理解．三．教 具：多媒体、实物投影仪四．教学过程1．设置情境复习引入：上节课，我们学习了向量的加法，并给出了求作和向量的两种方法． 本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法2．探索研究（1）向量减法①相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量叫做相反向量。

记作a -规定：零向量的相反向量仍是零向量注意：1°a 与a -互为相反向量。

即a a=--)( 2°任意向量与它的相反向量的和是零向量。

即0)()( =+-=-+a a a a 3°如果a 、b 是互为相反向量，那么0,, =+-=-=b a a b b a②a 与b 的差：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差即)(b a b a -+=- ③向量的减法：求两个向量的差的运算叫做向量的减法④b a -的作法：已知向量a 、b ，在平面内任取一点O，作b OB a OA ==,，则b a BA -=。

即b a -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量⑤思考：为从向量a 的终点指向向量b 的终点的向量是什么？（a b -）师：还可以从加法的逆运算来定义，如图1所示，因为c b a =+，所以b 就是a c -，因而只要作出了b ，也就作出了a c -．要作出b a -，可以在平面内任取一点O ，作a =OA ，b =OB ，则b a -=BA ． 师：若两向量平行，如何作它们的差向量？两个向量的差仍是一个向量吗？它们的大小如何（b a -的几何意义）？方向怎样？生：两个向量的差还是一个向量，b a -的大小是b a -，是连接a 、b 的终点的线段，方向指向被减向量．练习：判断下列命题的真假（1）0=+BA AB ．（ ）（2）相反向量就是方向相反的向量．（ ）图（3）OB OA AB -=（ ） （4）b a b a ->-（ ）（2）例题分析【例1】已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量b a -，d c -师：已知的四个向量的起点不同，要作向量b a -与d c -，首先要做什么？生：首先在平面内任取一点O ，作a =OA ，b =OB ，c =OC ，d =OD作BA 、DC ，则b a -=BA ，d c -=DC【例2】如图3所示，ABCD 中a =AB ，b =AD ，用a 、b 表示向量AC 、DB ． 师：由平行四边形法则得b a +=AC由作向量差的方法得b a -=-=AD AB DB变式训练：变式一，本例中，当a 、b 满足什么条件时，b a +与b a -互相垂直？变式二，本例中，当a 、b 满足什么条件时，b a b a -=+？变式三，本例中，b a +与b a -有可能相等吗？为什么？3．演练反馈4．（1）△ABC 中，a =BC ，b =CA ，则AB 等于（ ）图图3A ．b a +B ．()b a +-C ．b a -D ．a b -（2）下列等式中，正确的个数是（ ）①a b b a +=+； ②a b b a -=-； ③a a -=-0； ④()a a =--； ⑤()0=-+a a ．A ．5B ．4C ．3D ．2（3）已知8=AB ，5=AC ，则BC 的取值范围是_____________．4．总结提炼（1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量：()y x y x -+=-（2）向量减法有两种定义：①将减法运算转化为加法运算：()b a b a -+=-②将减法运算定义为加法运算的逆运算：如果a x b =+，则b a x -=．从作图上看这两种定义没有本质区别，前一个定义就是教材采用的定义法，但作图稍繁一点；后一种定义便于作图和记忆，两个有相同起点的向量相减，所得向量是连接两向量终点，并且指向被减向量的终点．。

平面向量的减法【学习目标】1．巩固掌握向量的加法运算，并深入理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；2．了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。

【学习重难点】重点：向量减法的概念和向量减法的作图法。

会用向量减法的三角形法则。

难点：理解向量减法运算时方向的确定方法。

【学习过程】一、知识回顾：用图示和字母符号表示下列向量的和向量：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ；则两次的位移和： __________________________（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ；则两次的位移和： ___________________________（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C （A ，B ，C 不共线）；则两次的位移和： ________________________。

二、学习探究——向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减。

（1）负向量（“相反向量”）的定义：与a r 长度相同、方向相反的向量。

记作____。

（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量。

-(-a r ) =_______。

任一向量与它的相反向量的和是零向量，a r + (-a r ) =0。

如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r ，b r = -a r ，a r +b r =。

（3）向量减法的定义：向量a r 加上向量b r 的相反向量，叫做a r 与b r 的差。

即：a r -b r =a r + (-b r ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。

2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算－如下图： 设a r ＝，b r ＝OB ，则：a r －b r ＝－OB ＝＋_____＝＋_____＝_____＋＝_____。

即：－OB ＝__________。

ba r －b a 结论：起点相同的两个向量a r 、b r ，其差a r －b r 仍然是一个_____，叫做向量a r 与b r 的_____，其起点是减向量b r 的_____点，终点是被减向量a r 的_____点。