高三毕业班数学(理)第一次质量检查(附答案)

福建省厦门市高中毕业班第一次质量检查理科数学试题&参考答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}2560A x x x =--≤，11B xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭0，则AB 等于A. [16]-，B. (16]，C. [1+)-∞，D. [23]， 2.已知复数iia z -+=1（其中i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数a 等于 A. 1- B. 0 C. 1D.3. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若45A a b =︒=，，则B 等于A. 30︒B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒4. 若实数x y ，满足条件1230x x y y x≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则1y z x =+的最小值为A.13B. 12C. 34D. 15.已知平面α⊥平面β，=l αβ，直线m α⊂，直线n β⊂，且m n ⊥，有以下四个结论：① 若//n l ，则m β⊥ ② 若m β⊥，则//n l③ m β⊥和n α⊥同时成立 ④ m β⊥和n α⊥中至少有一个成立 其中正确的是A ．①③B ． ①④C ． ②③D ． ②④ 6．已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，63AB =，6AC =，12AE ED =，则AE EB ⋅等于A. 14-B. 9-C. 9D.14 7.抛物线24y x =的焦点为F ，点(3,2)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长的最小值为A. 4B. 5C.D.8.某校高三年级有男生220人，学籍编号1，2，…，220；女生380人，学籍编号221，222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10），然后再从这10位学生中随机抽取3人座谈，则3人中既有男生又有女生的概率是A ．15 B. 310 C. 710 D.459.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二，无限逼近”.执行如图所示的程序框图，若输入12120.1x x d ===，，，则输出n 的值为A.2B.3C.4D. 5 10.已知定义在(0,)+∞上连续可导的函数()f x 满足'()()xf x f x x +=，且(1)1f =，则A. ()f x 是增函数B.()f x 是减函数C. ()f x 有最大值 1D. ()f x 有最小值111.已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>，过x 轴上点P 的直线l 与双曲线的右支交于N M ，两点（M 在第一象限），直线MO 交双曲线左支于点Q （O 为坐标原点），连接QN .若60MPO ∠=︒，30MNQ ∠=︒，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D. 412．已知P ，Q 为动直线(02y m m =<<与sin y x =和cos y x =在区间[0,]2π上的左，右两个交点，P ，Q 在x 轴上的投影分别为S ，R .当矩形PQRS 面积取得最大值时，点P 的横坐标为0x ，则A ．08x π< B. 08x π=C.086x ππ<<D.06x π>第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．5(2x的系数为___________14．化简：01cos80-=____________ 15．某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为______16．若实数a ，b ，c 满足22(21)(ln )0a b a c c --+--=，则b c -的最小值是_________ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a ，满足11a =，1323nn n a a a +=+，*n N ∈. （Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（Ⅱ）设212233445212221111111n n nn n T a a a a a a a a a a a a -+=-+-++-，求2n T .18．（本小题满分12分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动，“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车……”铿锵有力的话语，传递了低碳生活、绿色出行的理念。

“顶尖计划”2023届高中毕业班第一次考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}223,N ,18400A x x n nB x x x ==+∈=--<∣∣，则A B 中的元素个数为（）A.8B.9C.10D.11【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合B ，再根据已知列出不等式，求解判断作答.【详解】解不等式218400x x --<得：220x -<<，即{|220}B x x =-<<，而{}23,N A x x n n ==+∈∣，由22320n -<+<解得：51722n -<<，又N n ∈，显然满足51722n -<<的自然数有9个，所以A B 中的元素个数为9.故选：B 2.已知复数33i2i z =+，则z =（）A.1B.35C.355D.3【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】因为()()()33i 2i 3i 3i 36i 2i 2i 2i 2i 55z +====-++--+，因此，5z ==.故选：C.3.已知非零向量a 、b满足a b =r r ，且()2a b b +⊥ ，则,a b <>= （）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】由已知可得出()20a b b +⋅= ，利用平面向量数量积的运算性质求出cos ,a b <> 的值，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.【详解】因为()2a b b +⊥ ，则()222cos ,0a b b a b a b b +⋅=⋅<>+= ，a b = ，可得1cos ,2a b <>=- ，因为0,πa b ≤<>≤ ，因此，2π,3a b <>= .故选：C.4.某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为（）A.2732B.916C.2764D.932【答案】A 【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率加法公式即可求解.【详解】解：因为每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，所以连续射击3次，至少命中两次的概率322333327C 144432P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.5.已知函数()2sin 3cos f x x x =+在x ϕ=处取得最大值，则cos ϕ=（）A.13 B.13C.13-D.31313-【答案】A 【解析】【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.【详解】()()2sin 3cos f x x x x θ=+=+，其中θ为锐角，sin 13θ=.因为当x ϕ=处取得最大值，所以22πϕθπ+=+k ，k Z ∈，即22πϕθπ=-+k ，k Z ∈，所以313cos cos 2sin 213πϕθπθ⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭k .故选：A6.已知定义域为R 的偶函数()f x 满足()(4)0f x f x +-=，且当[2,2)x ∈-时，2()4f x x =-，则(2021)f =（）A.3-B.1- C.1D.3【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，探讨出函数()f x 的周期，再结合已知函数式求解作答.【详解】因R 上的偶函数()f x 满足()(4)0f x f x +-=，即有()()()4f x f x f x -=-=--，则(8)(4)()f x f x f x -=--=-，因此，函数()f x 是周期为8的周期函数，2(2021)(25285)(5)(1)[(1)4]3f f f f =⨯+==--=---=.故选：D7.我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（dăo ），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的外接球的表面积约为（）（注:1丈=10尺，π取3）A.1185平方尺B.1131平方尺C.674平方尺D.337平方尺【答案】B 【解析】【分析】根据题意作图，再由底面周长求得底面半径，连接上下底面圆心，取中点为外接圆的圆心，根据勾股定理，可得外接圆半径，可得答案.【详解】由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图：则11,2·48BC AB π==，即8AB =，假设点D 为圆柱外接圆的圆心，即AD 为外接圆的半径，且112BD DC ==，在Rt ABD △中，222AB BD AD +=，解得294.25AD =，则外接球的表面积241131S AD π=⋅=，故选：B.8.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去,,A B C 三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A.28种B.32种C.36种D.42种【答案】C 【解析】【分析】先将甲、乙看成一个元素，然后先分组后排列可得.【详解】将甲、乙看成一个元素A ，然后将A 、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有21142122C C C 6A =种，再将3组分到3个不同小区有33A =6种，所以满足条件的安排方法共有66=36⨯种.故选：C9.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(,4)m -，其中0m <，若7cos 225α=-，则πtan 2m α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2B.12-C.43-D.34-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数定义求出tan α，再利用二倍角的余弦公式结合齐次式法求解作答.【详解】依题意，4tan 0mα=->，又22222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin cos sin 1tan 25ααααααααα--=-===-++，解得4tan 3α=，从而得3m =-，所以3πsin()π3πcos 132tan(tan()3π22sin tan 4cos(2m ααααααα-+=-===-=---.故选：D10.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且斜率为1-的直线交C 于A 、B （其中A 在x轴上方）两点，交C 的准线于点M ，且16AB =，O 为坐标原点，则OM =（）A.2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式求出p 的值，可求得点M 的坐标，再利用平面间两点间的距离公式可求得OM 的值.【详解】抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，直线AB 的方程为2⎛⎫=--⎪⎝⎭p y x ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立222p y x y px⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得22304p x px -+=，2290p p ∆=->，由韦达定理可得123x x p +=，则12416x x p A p B =++==，可得4p =，联立22p x p y x ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩可得2p x y p ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即点()2,4M -，因此，OM ==.故选：D.11.已知32()2(2)3f x x a x x =+--是奇函数，则过点(1,2)P -向曲线()y f x =可作的切线条数是（）A.1B.2C.3D.不确定【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出a ，再求出函数()f x 的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答.【详解】因函数()f x 是奇函数，则由()()0f x f x -+=得()2220a x -=恒成立，则2a =，即有3()23f x x x =-，2()63'=-f x x ，设过点(1,2)P -向曲线()y f x =所作切线与曲线()y f x =相切的切点为3000(,23)Q x x x -，而点(1,2)P -不在曲线()y f x =上，则320000232631x x x x ---=+，整理得32004610x x +-=，即2000(21)(221)0x x x ++-=，解得012x =-或0132x -±=，即符合条件的切点有3个，所以过点(1,2)P -向曲线()y f x =可作的切线条数是3.故选：C12.设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为点12(,0),(,0)F c F c -，过点(2,0)P c -且斜率为12的直线与双曲线的左、右两支分别交于,M N 两点，若||3||PN PM =，且直线2F N 的斜率为3，则Γ的离心率为（）A.132B.2C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】通过题意可以得到直线PN 和直线2NF 的方程，两条方程联立可以得到N 的坐标，代入双曲线即可求出答案【详解】解：由题意可得直线PN 的方程为()122y x c =+，直线2NF 的方程为()3y x c =-，所以()()1223y x c y x c ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得8595c x cy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即89,55c c N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将89,55c c N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线可得2222648112525c c a b-=即()22222648112525c c a c a -=-，所以2264811125251e e -=⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为1,e >所以e =故选：B二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2()log (1)f x x a =-+在区间(2,3)上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为_____.【答案】(1,0)-【解析】【分析】结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解【详解】解：由对数函数的性质，可得()f x 为单调递增函数，且函数()f x 在(2,3)上有且仅有一个零点，所以()()230f f ⋅<，即(1)0a a ⋅+<，解得10a -<<，所以实数a 的取值范围是(1,0)-，故答案为：(1,0)-14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数:()f x =_____.①()()()1212f x x f x f x =+;②当,()0x ∈+∞时，()f x 单调递减;③()f x 为偶函数.【答案】12log x （不唯一）【解析】【分析】根据对数函数性质即可做出判断.【详解】性质①显然是和对数有关，性质②只需令对数的底01a <<即可，性质③只需将自变量x 加绝对值即变成偶函数.故答案为：12log x （不唯一）15.已知平面上的动点P 到点(0,0)O 和(2,0)A 的距离之比为32，则点P 到x 轴的距离最大值为_____.【答案】【解析】【分析】设(,)P x y ，然后根据题意列方程化简可得点P 的轨迹是以(6,0)-为圆心，为半径的圆，从而可求得答案.【详解】设(,)P x y ，因为动点P 到点(0,0)O 和(2,0)A 的距离之比为32，2=，22223(2)4x y x y +=-+，2222443(44)3x y x x y +=-++，221212x y x ++=22(6)48x y ++=，所以点P 的轨迹是以(6,0)-为圆心，所以点P 到x 轴的距离最大值为故答案为：16.微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中P 处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在,A B 处观察该无人机（两人的身高忽略不计），C 为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100m ，甲观察无人机的仰角为45︒，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度PC ，则这两个角可以是_____.（写出所有符合要求的编号）①BAC ∠和ABC ∠；②BAC ∠和PAB ∠;③PAB ∠和PBA ∠；④PAB ∠和ABC ∠.【答案】①③④【解析】【分析】①：根据已知先解ABC 得AC ，然后可得；②：根据已知直接判断可知；③：先解PAB △得PA ，然后可得；④：先由最小角定理的BAC ∠，解ABC 可得AC ，然后可得.【详解】①：当已知BAC ∠和ABC ∠时，在ABC 利用内角和定理和正弦定理可得AC ，然后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故①正确；②：当已知BAC ∠和PAB ∠时，在ABC 已知一角一边，在PAB △中已知一角一边，显然无法求解，故②错误；③：当已知PAB ∠和PBA ∠时，在PAB △中已知两角一边，可解出PA ，然后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故③正确；④：当已知PAB ∠和ABC ∠时，可先由最小角定理求得BAC ∠，然后解ABC 可得AC ，最后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故④正确.故答案为：①③④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知251,15a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若23log 2n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）23n a n =-（2）1(25)210n n T n +=-⨯+【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组直接求解可得；（2）由错位相减法可得.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，由题设可得111,51015a d a d +=⎧⎨+=⎩解得112,a d =-⎧⎨=⎩所以1(1)223n a n n =-+-⨯=-.【小问2详解】由（1）知2log 23n b n n =-，所以223nn bn =-可得(23)2nn b n =-⨯，所以231121232(25)2(23)2n n n T n n -=-⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①23412121232(25)2(23)2n n n T n n +=-⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②②减①可得:341112222(23)2n n n T n ++=⨯----+-⨯ 118(12)(23)2212n n n -+⨯-=-⨯+--1(25)210n n +=-⨯+18.某工厂共有甲、乙两个车间，为了比较两个车间的生产水平，分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了100件，它们的质量指标值m 统计如下:质量指标值m [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[]80,100甲车间（件）152025319乙车间（件）510153931（1）估计该工厂生产这种零件的质量指标值m 的平均数;（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表（表中数据单位:件），并判断是否有99%的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.60m <60m ≥合计甲车间乙车间合计附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k≥0.050.010.001k3.8416.63510.828【答案】（1）58；（2）列联表见解析，有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.【解析】【分析】（1）根据给定的数表，求出各组数据的频率，再列式计算作答.（2）完善22⨯列联表，计算2K 的观测值，再与临界值比对作答.【小问1详解】由所给数据，各组的频率分别为0.1，0.15，0.2，0.35，0.2，所以该工厂生产这种零件的质量指标值m 的平均数的估计值为：100.1300.15500.2700.35900.258⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】22⨯列联表如下：60m <60m ≥合计甲车间6040100乙车间3070100合计90110200所以22200(60704030)18.18210010090110K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,24,ACB AA AC BC M ︒∠====为棱1AA 上靠近1A 的三等分点，N 为棱AC 的中点，点P 在棱BC 上，且直线PN ∥平面1BMC .（1）求PC 的长;（2）求二面角1P BM C --的余弦值.【答案】（1）23PC =（2）22110【解析】【分析】(1)在1CC 上取一点Q ，使得CP CQ =，根据面面平行判定定理证明平面PQN平面1BMC ，再根据面面平行性质定理确定CQ 的长即可，(2)建立空间直角坐标系，求出平面PBM ，平面1BC M 的法向量，根据二面角向量公式求二面角1P BM C --的余弦值.【小问1详解】在1CC 上取一点Q ，使得CP CQ =，连接,PQ NQ .由已知得11CC AA CB ==，所以1CQ CPCC CB=所以1PQ BC ∥.因为PQ ⊄平面1BMC ，1BC ⊂平面1BMC ，所以PQ ∥平面1BMC .又因为PN ∥平面1,BMC PN PQ P ⋂=，,PN NQ ⊂平面PQN ，所以平面PQN 平面1BMC .平面11ACC A 平面PQN QN =，平面11ACC A 平面11BC M MC =，根据面面平行的性质可知1//MC QN .在矩形11ACC A 中，可得11CQN A MC ∽，所以11123A M CQ CN A C ==，所以2233PC CQ CN ===.【小问2详解】以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则182(0,0,0),(0,0,4),(0,4,0),2,0,,0,,033C C B M P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.114(0,4,4),2,0,3C B C M ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，8102,4,,0,,033BM BP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面1C MB 的法向量为()111,,m x y z =r，则110,0,C B m C M m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以1111440,420,3y z x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取13z =得()2,3,3.m = 设平面PMB 的法向量为()222,,n x y z =r ，则0,0,BM n BP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 所以22228240,3100,3x y z y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩取23z =-，得()4,0,3.n =- 所以22cos ,110m n m n m n ⨯++⨯-⋅===-⋅结合图可知二面角1PBM C --的余弦值为110.20.过椭圆22:143x y C +=上任意一点P 作直线:l y kx p=+（1）证明:2234p k + ;（2）若0,p O ≠为坐标原点，线段OP 的中点为M ，过M 作l 的平行线,l l ''与C 交于,A B 两点，求ABP △面积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）32.【解析】【分析】（1）联立椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，由题意，该方程有解，则判别式大于等于零，可得答案.（2）设出题目中的两点，根据平行，设出另一条直线，根据中点，找出两直线的截距之间的关系，联立椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，写出韦达定理，根据三角形的等积变换，利用分割法，整理函数，根据（1），可得答案.【小问1详解】联立221,43,x y y kx p ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()2223484120k x kpx p +++-=，因为点P 在C 上，所以()()2222644412340,k p p k ∆=--+ 化简得2234p k + .【小问2详解】设:l y kx m '=+，点()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭.由已知得00y kx p =+，所以00222y x p k =⋅+，即点00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭满足方程2p y kx =+，所以2p m =.由221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++.所以122.34x x k-==+∣所以121||2ABPABOSS m x x ==-==令2234m t k =+，因为2223444p k m += ，所以10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.所以32ABPS ==所以ABP △面积的最大值为32.21.设函数()()e xf x mx m m =--∈R .（1）讨论()f x 的单调性;（2）若()f x 有两个零点1x 和2x ，设1202x x x +=，证明：()00f x '>（()f x '为()f x 的导函数）.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分0m ≤、0m >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由函数零点的定义可得出1212e 0e 0x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，可得出1212e e x x m x x -=-，将所证不等式等价变形为12212212eex x x x x x --->-，令1202x x t -=>，即证e e 2t t t -->，构造函数()e e 2t t g t t -=--，其中0t >，利用导数分析函数()g t 的单调性，即可证得结论成立.【小问1详解】解：因为()e x f x mx m =--，则()e xf x m '=-，若0m ≤，对任意的x ∈R ，则()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；若0m >，令()e 0xf x m '=-=，得ln x m =，当ln x m <时，()0f x '>，当ln x m >时，()0f x '<.所以()f x 的增区间为(),ln m -∞，减区间为()ln ,m +∞.综上所述，当0m ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当0m >时，函数()f x 的增区间为(),ln m -∞，减区间为()ln ,m +∞.【小问2详解】证明：不妨令12x x >，由题设可得1212e 0e 0x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，两式相减整理可得1212e e x x m x x -=-.所以()1212121222012e e ee 2x x x x x x x xf x f m x x ++''+-⎛⎫==-=- ⎪-⎝⎭，要证()00f x '>，即证1212212e e e 0x x x x x x +-->-，即证12212212eex x x x x x --->-，令1202x x t -=>，即证e e 2t t t -->，其中0t >，构造函数()e e 2ttg t t -=--，其中0t >，则()e e 220t t g t -'=+->=，所以，函数()g t 在()0,∞+上单调递增，所以，当0t >时，()()00g t g >=，即e e 2t t t -->，故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(cos sin )(,0),(cos sin )x m m y m ϕϕϕϕϕ=-⎧≠⎨=+⎩为参数以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 504πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.（1）写出l 的直角坐标方程;（2）若l 与C 只有一个公共点，求m 的值.【答案】（1）50x y +-=（2）102=±m 【解析】【分析】(1)利用和差化积的正弦公式把直线l 的极坐标方程展开，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求解.(2)先得出曲线C 的普通方程，再联立方程，利用判别式等于0即可求解.【小问1详解】由l 的极坐标方程可得sin cos 50ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可知，直角坐标方程为：50x y +-=.【小问2详解】由C 的参数方程可得2222x y m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程为222480x y m +-=.联立方程22250480x y x y m +-=⎧⎨+-=⎩得：2254010080x x m -+-=，因为直线l 与曲线C 只有一个公共点，所以()222404510081604000m m∆=-⨯⨯-=-=，解得：2=±m .[选修4-5:不等式选讲]23.已知,,a b c 均为正实数，且1abc =.（1）求124a b c++的最小值;（2）证明:222++≥+++++bc ac ab b c a c a b.【答案】（1）6（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元基本不等式求解即可.（2）利用基本不等式证明即可得到答案.【小问1详解】由基本不等式可知1246++≥==a b c ，当且仅当124a b c ==，即1,1,22a b c ===时等号成立，所以124a b c++的最小值为6.【小问2详解】因为1abc =，所以111bc ac ab a b c++=++.11242+≥=≥=++a b a b a b .同理可得114b c b c+≥+，114a c a c+≥+所以4111442⎛⎫++≥++⎪+++⎝⎭a b c b c a c a b，当且仅当a b c==时等号成立.所以111222++≥+++++a b c b c a c a b，即222. ++≥+++++ bc ac abb c a c a b。

中学2021届高三数学第一次教学质量检测试题 理〔含解析〕〔考试时间是是：120分钟满分是：150分〕考前须知1.在答题之前，必须在答题卡和答题卷规定的地方填写上本人的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第一卷时，每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第二卷时，必须使用毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹明晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域答题，超出答题区域书写之答案无效，在试题卷、草纸上答题无效.第一卷〔满分是60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分.在每一小题给出的四个选项里面，只一项是哪一项符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．假设{}1A B ⋂=，那么B =( ) A. {}1,3- B. {}1,0C. {}1,3D. {}1,5【答案】C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，应选C2.z 是z 的一共轭复数，假设()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，那么z =〔 〕 A. 1i + B. 1i --C. 1i -+D. 1i -【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，依题意有22,22a b =-=， 故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数的四那么运算上,经常由于忽略而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合一共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四那么运算中,只对加法和乘法法那么给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.那么以下各数中与MN最接近的是 〔参考数据：lg3≈0.48〕 A. 1033B. 1053C. 1073D. 1093【答案】D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，应选D.【名师点睛】此题考察了转化与化归才能，此题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进展求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.4.奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.假设0.82(log 5.1),(2),(3)a g b g c g =-==，那么,,a b c 的大小关系为〔 〕A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D.b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数()f x 在R 上是增函数可得()g x 为偶函数且在[)0,+∞上为增函数，从而可判断,,a b c 的大小.【详解】()g x 的定义域为R .()()()()()g x xf x x f x xf x g x -=--=--==⎡⎤⎣⎦，故()g x 为偶函数.因为()f x 为R 上的奇函数，故()00f =，当0x >时，因为()f x 为R 上的增函数，故()()00f x f >=.设任意的120x x ≤<，那么()()120f x f x ≤<，故()()1122x f x x f x <， 故()()12g x g x <，故()g x 为[)0,+∞上的增函数，所以 ()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，而0.82223log 8log 5.1log 422=>>=>，故()()()0.823log 5.12g g g >>，所以c a b >>.应选C.【点睛】此题考察函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比拟，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比拟应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.5.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，那么不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是〔 〕A. {}|10x x -<≤B. {}|11x x -≤≤C. {}|11x x -<≤D. {}|12x x -<≤【答案】C 【解析】试题分析：如以下图所示，画出2()log (1)g x x =+的函数图象，从而可知交点(1,1)D ，∴不等式()()f x g x ≥的解集为(1,1]-，应选C ．考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．1，l 2分别是函数f(x)=ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P­2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，那么△PAB 的面积的取值范围是 A. (0,1) B. (0,2)C. (0,+∞)D. (1,+∞)【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -〔不妨设121,01x x ><<〕，那么由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A xB x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，应选A ．考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.7.〔2021新课标全国Ⅲ理科〕圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，那么该圆柱的体积为 A. π B.3π4 C.π2D. π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如下图，由题意可得：11,2AC AB ==， 结合勾股定理，底面半径2213122r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是2233ππ1π24V r h ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，应选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或者线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或者只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体量的关系，列方程(组)求解.8.〔2021新课标全国I 理科〕记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．假设4524a a +=，648S =，那么{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C 4 D. 8【答案】C 【解析】 设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，应选C. 点睛:求解等差数列根本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，假设m n p q +=+，那么m n p q a a a a +=+.9.设,m n 为非零向量，那么“存在负数λ，使得λ=m n 〞是“0m n ⋅<〞的〔 〕 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过非零向量,m n 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<，而λ=m n 不成立，可判断出结论. 【详解】解：,m n 为非零向量，存在负数λ，使得λ=m n ，那么向量,m n 一共线且方向相反，可得0m n ⋅<.反之不成立，非零向量,m n 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<，而λ=m n 不成立.∴,m n 为非零向量，那么“存在负数λ，使得λ=m n 〞是0m n ⋅<〞的充分不必要条件. 应选：A.【点睛】此题考察了向量一共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的断定方法，考察了推理才能与计算才能，属于根底题.10.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩那么z ＝2x ＋y 的最小值是〔 〕A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z ＝2x ＋y ，当直线经过B 〔－6，－3〕时，获得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目的函数的几何意义得函数在点B 〔－6，－3〕处获得最小值z min ＝－12－3＝－15.应选：A【点睛】此题考察二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目的函数表示的直线求得最值.11.椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2222:10x C y n n-=>的焦点重合，1e 、2e 分别为1C 、2C 的离心率，那么〔 〕 A. m n >且121e e >B. m n >且111e e <C. m n <且121e e >D. m n <且121e e <【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合得出222m n -=，可得出m 、n 的大小，再由离心率公式可得出12e e 与1的大小关系，进而可得出结论.【详解】由于椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合，那么2211m n -=+，那么2220m n -=>，1m >，0n >，m n ∴>.21m e m ==，2e ==，121e e ∴====>， 应选：A.【点睛】此题考察利用椭圆和双曲线的焦点求参数的大小关系，同时也考察了两曲线的离心率之积的问题，考察计算才能，属于中等题. 12.假设2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，那么()f x 的极小值为〔 〕．A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a ex ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'， 因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e -=--，故()()212x f x x x e --'=+，令()0f x '>，解得2x <-或者1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，应选A ．【名师点睛】〔1〕可导函数y ＝f (x )在点x 0处获得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；〔2〕假设f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或者减的函数没有极值．第二卷〔非选择题一共90分〕本卷包括必考题和选考题两局部，第〔13〕题~第〔21〕题为必考题，每个试题考生都必须答题.第〔22〕题、第〔23〕题为选考题，考生根据要求答题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是 . 【答案】7 【解析】 由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=一共7个考点：三角函数图像14.如图，三棱锥A BCD -中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，那么异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是________．【答案】78【解析】如以下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结PM ，PC ，那么可知即为异面直线，所成角〔或者其补角〕易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.考点：异面直线的夹角.xoy 中，假设曲线2b y ax x=+〔,a b 为常数〕过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，那么a b += . 【答案】3- 【解析】曲线2b y ax x=+过点(2,5)P -，那么452b a +=-①，又2'2by ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,{2,a b =-=-所以3a b +=-． 【考点】导数与切线斜率．16.如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B 〔在的上方〕，且2AB =．〔Ⅰ〕圆C 的HY 方程为 ；〔Ⅱ〕过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，以下三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ．〔写出所有正确结论的序号〕【答案】〔Ⅰ〕22(1)(2)2x y -+-=；〔Ⅱ〕①②③ 【解析】 〔Ⅰ〕依题意，设〔为圆的半径〕，因为，所以，所以圆心，故圆的HY 方程为．〔Ⅱ〕联立方程组，解得或者，因为在的上方， 所以，， 令直线的方程为，此时，，所以，，，因为，，所以NA MA NBMB=．所以2221(21)22222NB MA NA MB -==-=-+， 222121222222NB MA NAMB+===-+ 正确结论的序号是①②③．考点：圆的HY 方程，直线与圆的位置关系．三、解答题：本大题一一共6小题，满分是70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17.某同学用“五点法〞画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了局部数据，如下表：x ωϕ+π2 π3π2 2πxπ35π6sin()A x ωϕ+0 55-〔Ⅰ〕请将上表数据补充完好，填写上在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；〔Ⅱ〕将()y f x =图象上所有点向左平行挪动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．假设()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．【答案】〔Ⅰ〕π()5sin(2)6f x x =-；〔Ⅱ〕π6． 【解析】〔Ⅰ〕根据表中数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表： x ωϕ+π2 π 3π2 2πxπ12 π37π125π613π12sin()A x ωϕ+ 055-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ获得最小值π6． 考点：“五点法〞画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．18. 某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见局部如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高.【答案】〔1〕25；〔2〕0.016.【解析】试题分析：解题思路：〔1〕通过茎叶图得出数据即可求解；〔2〕观察频率直方图中的各个矩形的高与面积即可.规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考察频率直方图、茎叶图、频率分布表给出.试题解析：(1)分数在[50,60)的频率为0.00810＝0.08，由茎叶图知：分数在 [50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中 [80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016. .考点：1.茎叶图；2.频率直方图.19.如图，几何体是圆柱的一局部，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点.(1)设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小.【答案】〔1〕30；〔2〕60【解析】试题分析: (1)第(1)问,直接证明BE⊥平面ABP得到BE⊥BP,从而求出∠CBP的大小. (2)第〔2〕问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求解.试题解析：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)方法一：如图，取EC的中点H，连接EH，GH，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，所以AE＝GE＝AC＝GC22+=3213取AG的中点M，连接EM，CM，EC，那么EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC为所求二面角的平面角．-=.又AM＝1，所以EM＝CM13123在△BEC中，由于∠EBC＝120°，由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，所以EC＝3为等边三角形，故所求的角为60°. 方法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如下图的空间直角坐标系B －xyz.由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(133)，C(－13，0)， 故AE ＝(2,0，－3)，AG ＝(13，0)，CG ＝(2,0,3)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量，由00m AE m AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得111123030x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(332)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由00n AG n CG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得222230230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(33，－2)．所以cos 〈,m n 〉＝||||m n m n ⋅＝12.故所求的角为60°.点睛：此题的难点主要是计算，由于空间向量的运算，所以大家在计算时，必须仔细认真.20.椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>以抛物线28y x =的焦点为顶点，且离心率为12.〔1〕求椭圆E 的方程；〔2〕假设直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线4x =-相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP OA OB =+〔其中O 为坐标原点〕，试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP TQ ⋅为定值？假设存在，求出点T 的坐标及OP TQ ⋅的值；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕存在，且定点T 的坐标为()1,0-. 【解析】 【分析】〔1〕求出抛物线的焦点坐标可得出a 的值，由椭圆E 的离心率可得c 的值，进而可得出b 的值，由此可求得椭圆E 的方程；〔2〕设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，求出点P 的坐标，由点P 在椭圆E 上得出22443m k =+，并求出点Q 的坐标，设点(),0T t ，计算出OP TQ ⋅，由OP TQ ⋅为定值求出t ，由此可求得定点T 的坐标. 【详解】〔1〕抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，由题意可知2a =，且12c e a ==，1c ∴=，那么b == 因此，椭圆E 的方程为22143x y +=；〔2〕设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()2224384120k x kmx m +++-=，由韦达定理得122843kmx x k +=-+，那么()121226243m y y k x x m k +=++=+， ()12122286,,4343kmm OP OA OB x x y y k k ⎛⎫=+=++=- ⎪++⎝⎭，即点2286,4343kmm P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由于点P 在椭圆E 上，那么222281611434433km m k k ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22443m k =+，联立4y kx m x =+⎧⎨=-⎩，得44x y m k =-⎧⎨=-⎩，那么点()4,4Q m k --，设在x 轴上是否存在一点(),0T t ，使得OP TQ ⋅为定值，()4,4TQ t m k =---，()()()22284642188634342km t m m k k t ktm km m OP TQ k m m ++-+++⋅===++为定值， 那么10t +=，得1t =-，因此，在x 轴上存在定点()1,0T -，使得OP TQ ⋅为定值.【点睛】此题考察椭圆方程的求解，同时也考察了椭圆中存在定点满足某条件问题的求解，考察计算才能，属于中等题.21.函数()2ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.〔1〕求a ；〔2〕证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<.【答案】〔1〕a=1；〔2〕见解析. 【解析】 【分析】〔1〕通过分析可知f 〔x 〕≥0等价于h 〔x 〕＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，进而利用h ′〔x 〕＝a 1x-可得h 〔x 〕min ＝h 〔1a〕，从而可得结论； 〔2〕通过〔1〕可知f 〔x 〕＝x 2﹣x ﹣xlnx ，记t 〔x 〕＝f ′〔x 〕＝2x ﹣2﹣lnx ，解不等式可知t 〔x 〕min ＝t 〔12〕＝ln 2﹣1＜0，从而可知f ′〔x 〕＝0存在两根x 0，x 2，利用f 〔x 〕必存在唯一极大值点x 0及x 012＜可知f 〔x 0〕14＜，另一方面可知f 〔x 0〕＞f 〔1e〕21e =． 【详解】〔1〕解：因为f 〔x 〕＝ax 2﹣ax ﹣xlnx ＝x 〔ax ﹣a ﹣lnx 〕〔x ＞0〕， 那么f 〔x 〕≥0等价于h 〔x 〕＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，求导可知h ′〔x 〕＝a 1x-． 那么当a ≤0时h ′〔x 〕＜0，即y ＝h 〔x 〕在〔0，+∞〕上单调递减， 所以当x 0＞1时，h 〔x 0〕＜h 〔1〕＝0，矛盾，故a ＞0．因为当0＜x 1a ＜时h ′〔x 〕＜0、当x 1a＞时h ′〔x 〕＞0， 所以h 〔x 〕min ＝h 〔1a〕，又因为h 〔1〕＝a ﹣a ﹣ln 1＝0， 所以1a=1，解得a ＝1； 另解：因为f 〔1〕＝0，所以f 〔x 〕≥0等价于f 〔x 〕在x ＞0时的最小值为f 〔1〕， 所以等价于f 〔x 〕在x ＝1处是极小值， 所以解得a ＝1；〔2〕证明：由〔1〕可知f 〔x 〕＝x 2﹣x ﹣xlnx ，f ′〔x 〕＝2x ﹣2﹣lnx ，令f ′〔x 〕＝0，可得2x ﹣2﹣lnx ＝0，记t 〔x 〕＝2x ﹣2﹣lnx ，那么t ′〔x 〕＝21x-， 令t ′〔x 〕＝0，解得：x 12=， 所以t 〔x 〕在区间〔0，12〕上单调递减，在〔12，+∞〕上单调递增， 所以t 〔x 〕min ＝t 〔12〕＝ln 2﹣1＜0，从而t 〔x 〕＝0有解，即f ′〔x 〕＝0存在两根x 0，x 2，且不妨设f ′〔x 〕在〔0，x 0〕上为正、在〔x 0，x 2〕上为负、在〔x 2，+∞〕上为正， 所以f 〔x 〕必存在唯一极大值点x 0，且2x 0﹣2﹣lnx 0＝0，所以f 〔x 0〕20x =-x 0﹣x 0lnx 020x =-x 0+2x 0﹣220x =x 020x -，由x 012＜可知f 〔x 0〕＜〔x 020x -〕max 2111224=-+=；由f ′〔1e 〕＜0可知x 0112e ＜＜， 所以f 〔x 〕在〔0，x 0〕上单调递增，在〔x 0，1e 〕上单调递减， 所以f 〔x 0〕＞f 〔1e 〕21e=； 综上所述，f 〔x 〕存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2＜f 〔x 0〕＜2﹣2．【点睛】此题考察利用导数研究函数的极值，考察运算求解才能，考察转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题答题.注意：只能做所选定的题目，假如多做，那么按所做的第一个题目计分，答题时，请需要用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．〔Ⅰ〕以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；〔Ⅱ〕直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩〔t 为参数〕,l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】〔Ⅰ〕212cos 110ρρθ++=；〔Ⅱ〕. 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简即可求解；〔Ⅱ〕先将直线l 化成极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=，再利用根与系数的关系和弦长公式进展求解.试题解析：〔Ⅰ〕化圆的一般方程可化为2212110x y x +++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=. ()221212124144cos 44AB ρρρρρρα=-=+-=-. 由10AB =得23cos 8α=，15tan 3α=±. 所以l 的斜率为153或者153-. 23.函数()123f x x x =+--.〔I 〕在答题卡图中画出()y f x =的图像；〔II 〕求不等式()1f x >的解集．【答案】〔I 〕见解析〔II 〕()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【解析】 试题分析：〔Ⅰ〕化为分段函数作图；〔Ⅱ〕用零点分区间法求解 试题解析：〔Ⅰ〕如下图：〔Ⅱ〕()413{3212342x x f x x x x x -≤-=--<<-≥，，，()1f x >当1x ≤-，41x ->，解得5x >或者3x <1x ∴≤- 当312x -<<，321x ->，解得1x >或者13x < 113x ∴-<<或者312x << 当32x ≥，41x ->，解得5x >或者3x < 332x ∴≤<或者5x > 综上，13x <或者13x <<或者5x > ()1f x ∴>，解集为()()11353⎛⎫-∞⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭，，， 考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法 创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日。

2021届高三第一次教学质量检查考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学〔理〕试题一、选择题〔本大题一一共12小题〕2，3，，集合，集合，那么〔〕A. B. C. D. 3，【答案】B【解析】【分析】由补集的定义求得得，进而由交集的定义可得结果．【详解】因为全集，集合，那么，又因为集合，所以；应选B．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，此题本质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.，其中i是虚数单位，那么复数z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算法那么：分子、分母同乘以分母的一共轭复数，化简复数，从而得答案．【详解】,,那么在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．应选A．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察了复数的根本概念，是根底题．复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色局部的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色局部的有484个点，据此可估计黑色局部的面积为A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色局部的有484个点，那么其中落入黑色局部的有605个点，由随机模拟试验可得：，又，可得，应选B．【点睛】此题主要考察几何概型概率公式以及模拟实验的根本应用，属于简单题，求不规那么图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与面积之间的方程求解.，一个焦点，那么该双曲线的虚轴长为A. 1B.C. 2D.【答案】C【解析】【分析】根据焦点可得，结合渐近线方程中的关系；联立可得、的值，从而可得答案．【详解】因为双曲线的渐近线方程为，一个焦点，所以，，联立、可得：，，，该双曲线的虚轴长2，应选C．【点睛】此题考察双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线方程，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进展分析，既使不画出图形，考虑时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的根本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联络.，，，那么a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据的范围和指数函数性质，估算出的范围，从而可判断大小.【详解】解：，，，，．应选：D．【点睛】此题主要考察了对数函数与指数函数性质的应用，属于中档题．，，且，那么m等于A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】分别求出关于的表达式，解方程即可得结果.【详解】由题意，可知：，．，．，，解得：．应选B．【点睛】此题主要考察向量线性运算的坐标表示以及向量的模计算，意在考察对根底知识的掌握与应用，属根底题．的图象向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向左平移个单位，即可得到的图象，得解．【详解】解：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，再把所得图象向左平移个单位，得到，应选：A．【点睛】此题主要考察了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于简单题．8.某电商为某次活动设计了“和谐〞、“爱国〞、“敬业〞三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，假设集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖那么他获得奖次的不同情形种数为A. 9B. 12C. 18D. 24 【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得甲第4次获得的红包有3种情况，进而可得前三次获得的红包为其余的2种，分析前三次获得红包的情况，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，假设员工甲直到第4次才获奖，那么其第4次才集全“和谐〞、“爱国〞、“敬业〞三种红包，那么甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有种情况，那么他获得奖次的不同情形种数为种；应选：C．【点睛】此题主要考察了排列、组合的实际应用，注意“直到第4次才获奖〞的含义．还考察了分类思想，属于中档题.9.，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，当时，〔b为常数〕，那么A. 3B. 1C.D.【答案】C【解析】【分析】由奇函数的性质可得：，对赋值为0即可求得，再对赋值为1即可求得，再对赋值为即可解决问题。

数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范。

泉州市2023届高中毕业班质量监测（一）高三数学参考答案1．【答案】A 【解析】{|216}{0,1,2}N A x x =∈+=≤，21{|2730}{|(21)(3)0}32B x x x x x x x x ⎧⎫=-+<=--<=<<⎨⎬⎩⎭，所以{1,2}A B = ．2．【答案】A 【解析】i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22-==+++-，其在复平面内对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限．3．【答案】D 【解析】展开式的通项公式为103102110101C (C (1)kk k kk kk T xx --+⎛⎫=⋅=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令31022k -=，解得8k =．所以2x 的系数为821010C C 45==．4．【答案】D 【解析】设事件B 为“该员工肥胖”，事件1A 为“该员工性别为男性”，事件2A 为“该员工性别为女性”，则12B A B A B = ，由全概率公式，得1122()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+，依题意，12()3P A =，13(|)100P B A =，21()3P A =，22(|)100P B A =，故2()75P B =， 由贝叶斯公式，得1111122()(|)3()()(|)()(|)|4P A P B A P A B P A P B A P A P B A ==+，故选D ．5．【答案】B 【解析】依题意，得5114632T =-=，又2T πω=，所以ωπ=，将点5,06⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()sin()f x A x πϕ=+，得5sin 06πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以5,6Z k k πϕπ=-∈，又0ϕπ<<，所以6πϕ=，故()sin 6f x A x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易得0,2A P ⎛⎫⎪⎝⎭，则1,32A PQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，5,62A PR ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为PQ PR ⊥，所以0PQ PR ⋅= ，即1503622A A ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭，解得A =或A =(舍去)．故选B ． 6．【答案】B【解析】过B 作BE l ⊥，垂足为E ，BH AD ⊥，垂足为H ．又AD l ⊥，所以四边形BEDH 为矩形，所以BE DH =．因为AB BD =，所以DH AH =，所以22AD DH BE ==．由抛物线的定义，可得AF AD =，BF BE =，所以2AF BF =，即2AFBF=．故选B ． 7．【答案】C【解析】解法一：依题意，当C B '与AD 所成角最大时，C B AD '⊥．又C B C D ''⊥，C D AD D '= ，所以C B '⊥平面C AD '．又C A '⊂平面C AD '，所以C B C A ''⊥．根据C ABD B C AD V V ''--=，则C '到平面ABD 的距离为h =C ABD '-的体积13ABD V S h =⋅⋅=△C ． 8．【答案】D【解析】由题意，得(2)()f x f x +=-，且()()f x f x -=-，所以(4)()f x f x +=，(2)()f x f x +=-，故()f x 周期为4的函数，且其图象有关于直线1x =对称，关于点(2,0)对称，作出()f x 的图象．又当8x ≥时，11163y x =-≥；当4x -≤时，11163y x =--≤，且直线1163y x =-关于(2,0)对称，由图可知，直线1163y x =-与曲线()y f x =有7个不同的公共点，故123714x x x x ++++= ，12370y y y y ++++= ，所以714)1(i i i x y =+=∑．故选D ．9．【答案】ACD 【解析】(2,0)A ，(0,2)B，AB =，选项A 正确；圆心(0,0)O 到直线l，所以d的最大值为2，B 错误；AN BN =，所以ABN △是等腰三角形，C 正确； 设AB 中点为(1,1)C，则由图可知，MN d MC +=≥，D 正确．10．【答案】AC 【解析】对于A 选项，设A =“出现向上的点数为3的倍数”，则21()63P A ==，即在150名学生中，约1150503⨯=人需如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，故A 正确；对于B 选项，150名学生中，不一定有5人迷恋电子游戏，故B 错误；对于C 选项，在150名学生中，约50人需如实回答问题“投郑点数是不是奇数?”且约150252⨯=人回答“是”，已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则有约5人需如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”且回答“是”，则以频率估计概率，该校约有5(15050)5%÷-=的学生迷恋电子游戏，故C 正确，D 错误．故选AC ．11．【答案】BD 【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，21221()2()x ax f x x a x x-++'=--=，令()0f x '=，得22210(*)x ax --=，因为0∆>，所以方程(*)有两根1212,()x x x x <，且12102x x =-<，故120x x <<，所以当20x x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2x x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，故()f x 存在唯一的极大值点2x ，所以选项A 错误； 又2222210x ax --=，所以2212a x x =-，2max 2222221()()ln ()ln 4f x f x x x a x x ==--=-． 又1()2g x x x =-在(0,)+∞单调递增，且25237()2103g a g x ⎛⎫=<<= ⎪⎝⎭，所以252x >， 易知21ln ()4x x x ϕ-=为增函数，所以max 25511()()ln 0222525f x x ϕϕ⎛⎫=>=->-> ⎪⎝⎭，易知0x +→时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞，所以()f x 存在两个零点，故选项B 正确； 当1a <时，21x <，所以max 1()(1)04f xg <=-<，故()f x 无零点，所以C 正确； 若()f x 有两个零点1212,()x x x x <，则12,x x 为方程2ln ()x x a =-的两解，作出函数ln y x =，2()y x a =-的图象，作出点211)()(,x x a -关于直线x a =的对称点33(,)x y ，由图可知32x x <，所以12132x x x x a +>+=，故D 正确，综上，可知正确的选项为BD ．12．【答案】ACD 【解析】对于选项A ：连结BD ，AC ，交于点F ，则11AF AC ，所以四边形11AFC A 为平行四边形，故11//AA C F ，又1AA ⊂/平面1BDC ，1C F ⊂平面1BDC ，所以1//AA 平面1BDC ，故A正确；对于选项B ：如图，易知1111FA FB FC FD FA FB FC FD ========，从而F 为球O 的，所以球O 的表面积为248ππ⨯=，故选项B 错误；对于选项C ：易得BD ⊥平面11ACC A ，且BD ⊂平面1BDC ，从而平面1BDC ⊥平面11ACC A ，连结1AC ，交1FC 于点G ，则1AG GC =，11AC FC ⊥，又1AC ⊂平面11ACC A ， 平面11ACC A 平面11BDC FC =，所以1AC ⊥平面1BDC ，因为GE ⊂平面1BDC ，所以1AC GE ⊥，故1CE A E =，所以1A E AE CE EA AC +=+=≥C 正确；对于选项D ：因为1AC ⊥平面1BDC ，垂足为G ，所以1AG 为直线1A A 到平面1BDC 的距离，从而点A 到平面1BDC 的距离为1AG =．设直线AE 与平面1BDC 所成的角为θ，则1sin AG AE θ=，因为AE AF ≥，所以11sin AG A G AE AF θ==≤ 所以60θ︒≤，故选项D 正确．综上，可得正确的选项为ACD ．13．【解析】由1a b a b ==-=，可知a ，b 夹角60θ=︒，所以222222444cos6041243a b a a b b a a b b -=-⋅+=-⋅︒+=-+= ，2a b ∴-=14．【答案】1y x =+【解析】设e (s )co x f x x =，则(0)1f =，()(cos si e n )xf x x x '=-，(0)1f '=，所以曲线e cos x y x =在0x =处的切线方程为1y x =+． 15．【答案】2n 【解析】2424241134a a a a a a ++==，又24158a a a a ==，可得246a a +=，又由1q >，可知22a =，44a =，所以22nn a =．16．【答案】2 【解析】由图形特征PO 平分12A PF ∠，可知数量关系1212:::PA PF AO OF a c ==，设1PA at =，则2(0)PF ct t =>；又由数量关系12k k =-，可知图形特征1111PF A PA F ∠=∠，故11PF PA at ==，由双曲线的定义可知，2ct at a -= ····················································①过P 作PQ x ⊥轴于Q，依题意111tan k PF A =∠=，则11111cos 4FQ PF A PF =∠=，11111()22F Q F A c a ==-，故11()24c a at -=·······························································② 由①②，可得2t =，C ∴的离心率2c e a ==．17．【解析】解法一：（1）因为221122n n n n a a a a ++-=+，所以11()(2)0n n n n a a a a +++--=．·····1分 因为{}n a 是各项均为正数的数列，所以12n n a a +-=，······················································2分 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，（3分）则*2()n a n n =∈N ．··················5分 （2）设(1)(1)2nnn n b a n =-=-⋅，则11(1)2n n n b b +++=-⋅，·············································7分所以1232012341920()()()b b b b b b b b b b ++++=++++++ ··········································8分1022220=+++=个． 解法二：（2）设(1)(1)2n nn n b a n =-=-⋅，则1232013192420( )()b b b b b b b b b b ++++=+++++++ ········································7分10(119)10(220)2(1319)2(2420)2222++=-+++++++=-⨯+⨯ ····························9分 20022020=-+=．·································································································10分18．【解析】解法一：（1）由2cos cos cos A B Cbc ab ac=+，得2cos cos cos (*)a A c B b C =+，····1分 所以由正弦定理，得2sin sin sin a b cR A B C===，··························································2分 所以2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，代入(*)，得2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+，······················································3分 化简，得2sin cos sin()A A B C =+，············································································4分又A B C π++=，所以2sin cos sin()A A A π=-，即2sin cos sin A A A =，······················5分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以1cos 2A =，所以3A π=．·······································6分 （2）因为2sin sin sin sin 3a b c A B C π====，所以2sin b B =，2sin c C =， 设ABC △周长为L，则2sin 2sin L a b c B C =++=+，·········································7分因为A B C π++=，且3A π=，所以22sin 2sin 3L B B π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭······························8分2sin sin B B B =++·················································································9分13sin cos 26B B B B B π⎫⎛⎫=++=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭·············10分 因为203B π<<，所以5666B πππ<+<，所以1sin 126B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭≤，所以L <≤， 所以ABC △周长为．·················································································12分解法二：（1）由余弦定理，得222222222cos ,cos ,cos 222b c a a c b a b c A B C bc ac ab+-+-+-===，1分 因为2cos cos cos A B C bc ab ac =+，所以222222222222222b c a a c b a b c b c a bc a bc+-+-+-=+，··················2分 整理，得222221b c a b c bc+-=，所以222b c a bc +-=，······················································4分 又因为222cos 2b c a A bc+-=，所以1cos 2A =，所以3A π=；·············································6分19．【解析】（1）更适合的回归方程为25x y d c =⋅+；······················································2分 （2）由25xy d c =⋅+，可得25xy d c -=⋅，对等式两边取自然对数，得ln(25)ln ln y d x c -=+⋅，·····················································3分 令ln(25)w y =-，则ln ln w d x c =+⋅，·······································································4分计算，得71137i i x x ===∑，7211()287i i x x =-=∑，结合表中数据代入公式，可得71721(()( 2.24ln 0.0828iii ii x x w w c x x ==---===--∑∑，即由参考数据可得0.08e 0.92c -=≈，················5分由ln ln d w x c =-⋅，得ln 4.09d =，即由参考数据可得 4.09e60d =≈，·····························6分即茶水温度y 关于时间x 的回归方程为ˆ600.9225x y=⨯+；·············································7分 （3）在25℃室温下，茶水温度降至60摄氏度口感最佳，即ˆ60y=时，602570.926012x-==，···········································································8分 对等式两边取自然对数，得7ln 0.92ln ln 72ln 2ln 30.612x ⋅==--≈-，···························10分 即0.080.60.67.5ln e 0.08x ---≈==-，····················································································11分 故在室温下，刚泡好的茶水大约需要放置7.5min 才能达到最佳饮用口感．···························12分 20．【解析】（1）取AB 中点M ，连接MC ，1MA ．因为1AB AA ==160BAA ∠=︒，所以1BAA △为等边三角形，··································1分 所以1AB MA ⊥．······································································································2分因为11A B AB ==14CA =，1CB =，所以2221111A B CA CB +=，所以111A B CA ⊥．·3分 又因为11//AB A B ，所以1AB CA ⊥．又因为111MA CA A = ，所以AB ⊥平面1MCA ，··········4分 又MC ⊂平面1MCA ，所以AB MC ⊥．········································································5分 又因为M 为AB 中点，所以ABC △为等腰三角形，即CA CB =．·····································6分 （2）过点C 作1CO MA ⊥交1MA 于点O ，在线段1AA 上取一点D ，使得13AA AD =．由（1）知，AB ⊥平面1MCA ，又CO ⊂平面1MCA ，所以AB CO ⊥．又因为1CO MA ⊥，1AB MA M = ，所以CO ⊥平面1ABA ．在1MCA △中，MC =，13MA =由余弦定理得，1cos CMA ∠=，所以1sin CMA ∠=又因为11111sin 22CM MA CMA MA CO ⋅⋅⋅∠=⋅⋅， 所以CO =，故1MO =，12OA =．所以//OD AB ，故1,,OD OA OC 两两垂直，（7分）以O 为原点，分别以1,,OD OA OC的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，·················································································8分 易知1(0,2,0)A ，(0,0,C ，(0,1,0)M -，1,0)A -，(1,0)B -，则1(0,2,CA =- ，11(A B AB ==- ，BC = ，11(BB AA ==． 设(,,)n x y z = 为平面11CA B 的法向量，则11100n CA n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，可取n = ． 9分 1设(,,)m a b c = 为平面11CC B 的法向量，则100m BC m BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即030b b ++=+=⎪⎩，可取2)m =- ，（10分）所以1cos ,8m n m n m n ⋅〈〉==⋅，············································11分易知二面角111A CB C --为钝二面角，则其二面角的余弦值为18-．····································12分 21．【解析】解法一：（1）设F 的坐标为(,0)c ，则3,2M c ⎛⎫⎪⎝⎭．··········································1分 因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,0)A -，所以2a =．········································2分将3,2M c ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入22221x y a b +=，得222941c a b +=， 又22224c a b b =-=-，所以2294414b b-+=，······························································3分解得23b =，所以C 的方程为22143x y +=．···································································4分（2）由对称性知，若直线PQ 过定点T ，则T 必在x 轴上，设(,0)T t ．·······························5分 另设点0000(,)(2,0)P x y x y ≠±≠，则002PA y k x =+．·······················································6分 所以直线PA 的垂线的斜率为002x k y +=-，故直线FQ 的的方程为02(1)x y x y +=--．·········7分 令2x =-，得003(2)x y y +=，即003(2)2,x Q y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．·······················································8分所以直线PQ 的方程为0000003(2)()2x y y y y x x x +--=-+．···················································9分因为点T 在直线PQ 上，所以0000003(2)()2x y y y t x x +--=-+，即2000(2)3(2)()y t x t x +=+-……①．·········································································10分又2200143x y +=，所以2200334x y =-……②．将②代入①，得200033(2)3(2)()4x t x t x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即20(2)(2)0t x -+=．又02x ≠-，所以2t =．即直线PQ 过定点(2,0)．·····························12分解法二：（1）设C 的左焦点为F '．因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A -，所以2a =．········································1分因为点M 的纵坐标为32，AF MF ⊥，所以32MF =．···················································2分 由椭圆的定义可得||24MF MF a '+==，所以52MF '=．在Rt MFF '△中，2FF '==，即22c =，1c =．···························································3分所以22222213b a c =-=-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=．·······································4分22．【解析】（1）()f x 的定义域为R ，2(()1)e x f x x ax '=-+，········································1分①若240a ∆=-≤即22a -≤≤，则x ∀∈R ，210x ax -+≥，从而2()e 10()x f x x ax '=-+≥，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；················································2分②若0∆>即2a >或2a <-，则令()0f x '>，得210x ax -+>，解得1x <或2x >，所以()f x的单调递增区间为,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭， 同理，可得()f x的单调递减区间为⎢⎥⎣⎦；······································4分（2）因为()f x 在(0,2)有两个极值点12,x x ，所以关于x 的方程()0f x '=即210x ax -+=在(0,2)有两不同的解12,x x ，··························5分令2()1g x x ax =-+，则0,02,2(2)0,a g ∆>⎧⎪⎪<<⎨⎪>⎪⎩即240,02,24210,a a a ⎧->⎪⎪<<⎨⎪-+>⎪⎩解得522a <<，·····························6分又因为12,x x 是210x ax -+=在(0,2)的两不同的解，所以12x x a +=，121x x =，且21i i x ax =-，其中1,2i =，···············································7分 所以[]2()e (2)3e 1(2)[](3e 2)2i iix x x i i i i i i f x x a x a ax a x a x a =-+++=--+++=-++，·····8分故1212212121212()()[()()e 2222e 42(2)()(2])x x x x f x f x x a x a x x a x x a ++=-++-++=-++++22e 42(2)([]()e )28a a a a a a =-+++=-+（9分）令2()5()e 822x x x x ϕ=-⎪⎭+⎛⎫ ⎝≤≤，······10分则2()e 28()e (4)(2)xxx x x x x ϕ'=--+=-+-，····························································11分 当522x <<时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ单调递减，故212()()(2)4e f x f x ϕ<=．··················12分。

泉州市2025届高中毕业班质量监测（一）2024.08高 三 数 学本试卷共19题，满分150分，共8页。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．考生作答时，将答案答在答题卡上。

请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{4}A x =∈<，{0,1,4,9,16}B =，则A B = A ．{0,1} B ．{0,1,4} C ．{0,1,4,9} D ．{1,4,9,16}【命题意图】本小题主要考查集合的运算、不等式等知识；考查运算求解能力等；考查函数与方程思想、化归与转化思想等；体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（排除法）因0=x 符合题意，排除D ；因为9=x 符合题意，排除A ，B ；故选C ．解法二：因为{4}{016}A x x x =∈=∈R ≤＜，所以{0,1,4,9}A B ，故选C ．2．若复数z 满足(1i)1i z -=+，则4z =A ．1B ．1-C ．iD ．16 【命题意图】本小题主要考查复数的概念、四则运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注．保密★使用前【试题解析】解法一：设i(,=+∈z a b a b R )，则(i)(1i)()i 1i +-=++-=+a b a b b a ，解得0=a ，1=b ，所以i z =，所以41=z ，故选A ．解法二：因为(1i)1i z -=+，所以21+i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2+====--+z ，41z =，故选A ． 解法三：方程两边同时平方，有2(2i)2i z ⋅-=，所以21z =-，41=z ，故选A ．3．已知向量,,a b c 满足||||=a b ，a 与b 的夹角为π3，0++=a b c ，则a 与c 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6【命题意图】本小题主要考查向量的数量积等基础知识，考查运算求解等能力，考查化归与转化，数形结合等思想，体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注.【试题解析】解法一：设||||1==a b ，由题得=--c a b ，所以22π13()||||||cos 1322⋅=⋅--=--⋅=--⋅=--=-a c a a b a a b a a b ，2222()23=--=+⋅+=c a b a a b b ，所以||=c ，所以cos ,||||⋅<>==⋅a c a c a c ,[0,π]<>∈a c ，所以5π,6<>=a c ， 故选D ．解法二：建立直角坐标系，设||||1==a b ，则(1,0)=a ，1(2=b ，所以3(,2=--=-c a b ，所以32⋅=-a c ，||=c所以cos ,||||2⋅<>==-⋅a c a c a c ，又,[0,π]<>∈a c ，所以5π,6<>=a c ， 故选D ．解法三：运用向量运算的几何表示，构造平面图形，观察图形可快速得解.4．若sin 2θθ=，则tan θ=A ．B ．CD 【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义、三角恒等变换等知识，考查运算求解能力等，考查函数与方程思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养的关注.【试题解析】解法一：（特殊法）由题知1sin 2θ=，cos θ=满足条件，所以tan θ． 故选C ． 解法二：由题得1sin 12θθ=，所以πsin()13θ+=， 所以ππ2π32Z k k θ+=+∈，，所以π2π6Z k k θ=+∈，ππtan tan(2π)tan 663k θ=+==C ． 解法三：由题得22sin cos 3cos 4θθθθ++=，所以223sin cos cos 0θθθθ-+=，即2cos )0θθ-=，cos 0θθ-=，即tan θ故选C ． 解法四：由题得sin 2θθ=，所以22(2)cos 1θθ-+=，所以24cos 30θθ-+=，即2(2cos 0θ=，所以cos θ=，1sin 22θθ==，所以tan θ=．故选C ． 解法五：观察sin 2θθ=，知sin ,cos θθ同正，θ为第一象限角，其正切值为正，排除A ，B ．若tan θ=3θπ=，则sin θθ=不符合已知条件，排除D ，故应选C ．5．若函数31,4,(),4x a x x f x xa x -⎧+-⎪=⎨⎪<⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A. (0,1) B ．(1,4] C ．(1,8] D ．(1,16]【命题意图】本小题主要考查分段函数、基本初等函数、函数的单调性等知识，考查运算求解能力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、转化和化归的思想等，体现基础性和综合性，导向对发展数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养的关注．【试题解析】由指数函数的底数要求只讨论0a >且1a ≠，由题意得4,()3a x f x x x=+-为单调递增，故016a <≤， 又4x <时，3()x f x a -=为单调递增，故1a >， 再由1414+-≤a a ，即得4≤a ，综上，14<≤a ， 故选B ．63，则该球的表面积为A ．40πB ．20πC ．16πD 【命题意图】本小题主要考查多面体、球的表面积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力等，考查数形结合、转化和化归的思想等，体现基础性和综合性，导向对发展直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养的关注．【试题解析】解法一：正四棱台的对角面的外接圆为其外接球球O 的大圆（如下图），对角面为等腰梯形''AA C C ，其上下底边长分别为2,4，高为3，由正四棱台的对称性可知，球O 的球心O 在梯形上下底的中点连线12O O 所在直线上，设1OO d =，则2|3|O O d =-，设球O 半径为'OC R OC ==，再由1Rt 'OO C △，2Rt OO C △可得22222|3|21R d d =-+=+，解得2,d = R =O 的表面积为24π20πR =．解法二：下底的外接圆不大于球的大圆，故球半径2R ≥（下底对角线长的一半），表面积24π16πR ≥，排除D ；对角面等腰梯形''AA C C 的对角线长，故球半径2R >，表面积24π>18πR ，排除C ；若24π=40πR ，则R =．易求球心到A C ''的距离为13d =，球心到AC 的距离为2d =12||3d d h +==，或12||3d d h -==，故A 不正确．故选B ．7．已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++，若(1)1f =，则(25)f =A ．25B ．125C ．625D ．15625【命题意图】本小题主要考查函数的基本性质、递推数列等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查化归与转化、特殊与一般的函数思想；体现基础性，综合性，导向对逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解法一：由题意取(),1N x n n y =∈=，可得(1)()(1)2f n f n f n +=++(1)2(1)2(1)2(2)3(1)2(2)2(1)21)(1)2(12)1)(1)()f n f n nf n f n n nn f n n f n n =-++-+=-++-+-+=⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅+=+++((1即知2()(1)(1)(1)f n nf n n n n n n =+-=+-=，则(25)625f =．故选C ．解法二：令2()=(),g x f x x -则2()()()g x y f x y x y +=+-+2()()2()f x f y xy x y =++-+22()()()()f x f y x y g x g y =+--=+，所以2()(1)(1)(1)((1)1)0g n g n g ng n f =-+=⋅⋅⋅==-=，即2()()0g n f n n =-=，所以2()f n n =，则(25)625f =．故选C ．解法三：由()()()2f x y f x f y xy +=++可构造满足条件的函数2()=f x x ，可以快速得到(25)625f =．故选C ．8．已知函数11()cos cos 2cos323f x x x x =++，则 A ．π是()f x 的一个周期B ．πx =是()f x 图象的一条对称轴C ．π(,0)2是()f x 图象的一个对称中心 D ．()f x 在区间(0,π)内单调递减 【命题意图】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识；考查推理论证能力、运算求解能力等，考查特殊与一般思想、函数与方程思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（排除法）因为11115(π)cos πcos 2πcos3π123236f =++=-+-=-，111111(0)cos0cos0cos0123236f =++=++=，所以(π)(0)f f ≠，故A 错误； 同理(π)(0)f f ≠-，故C 错误； 因为ππ113π1()cos cos πcos 222322f =++=-，2π2π14π16π5()cos cos cos 33233312f =++=- 所以π2π()()23f f <，故D 错误． 故选B ．解法二：因为11(π)cos(π)cos 2(π)cos3(π)23f x x x x +=+++++，11cos cos 2cos323x x x =-+- 所以(π)()f x f x +≠，故A 错误； 因为11(π)cos(π)cos 2(π)cos3(π)23f x x x x -=-+-+-11cos cos 2cos323x x x =-+-，所以(π)(π)f x f x +=-，故B 正确； 因为11()cos()cos 2()cos3()23f x x x x -=-+-+-11cos cos 2cos323x x x =++， 所以()(π)f x f x --≠+，故C 错误；因为()sin sin 2sin3[sin(2)sin(2)]sin 2f x x x x x x x x x '=---=--++-2sin 2cos sin 2sin 2(2cos 1)x x x x x =-⋅-=-⋅+ 所以当π(0,)2x ∈时，sin 20x >，2cos 10x +>，此时()0f x '<； 同理当π2π()23x ∈，时，()0f x '>；当2π(,π)3x ∈时，()0f x '<； 所以()f x 在π(0,)2上单调递减，在π2π(,)23上单调递增，在2π(,π)3上单调递减，故D错误；故选B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

高三普通班第一次质量大检测理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数1iz i=-的实部为（ ）A ．12B ．2iC ．－12D ．－2i 2.集合,则P Q =（ ）A. (12]，B. [12]，C. ),1()3,(+∞⋃--∞D. [12)， 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，546S S S ≥≥，则公差d 的取值范围是 （ ）A.81,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B.41,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C.84,95⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.[]1,0-4.已知“x a x b ≥⇒>”，且“x a x c <⇒≤”，则“x c ≤”是“x b ≤”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若的展开式中的系数为，则（ ）A ．B ．C ．D ． 6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）2101()()x a x x-+6x 30a =12-2-122A ．B ．C ．D ． 7.已知，则（ ） A ． B ． C ． D ． 8.函数的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知等差数列的前项和为，且，，则数列的前10项和为A.B. C. D. 10. 已知函数在上单调,且函数的图象关于对称,若数列是公差不为0的等差数列,且,则的前100项的和为A ．B ．C ．D ．11.已知，两直角边，是内一点，且， 设，则316381418tan()4πα-=sin 2α=79-7919-19()ln(1)f x x x =-+{}n a n n S 912162a a =+24a =1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1112101191089()f x (1,)-+∞(2)y f x =-1x ={}n a 5051()()f a f a ={}n a 200-100-050-Rt ABC 1,2AB AC ==D ABC ∆60DAB ∠=(,)AD AB AC R λμλμ=+∈λμ=A.C. D. 12.已知函数的定义域为，若对于分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”.给出下列四个函数：①； ②；③；④.其中为“三角形函数”的个数是 A.B.C. D.第 Ⅱ 卷二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） （13）若，且，则的最小值是__________ （14）若，则 +−+…+的值为（15）已知、、是球的球面上三点，，，，且棱锥的表面积为___________ （16）已知外接圆的半径为1，且.若，则的最大值为__________三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*4(1),3n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅰ）令n n a b 2log =，记数列1(1)(1)n n b b ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前n 项和为n T ．证明：1132n T ≤<．18．（本小题满分12分）33()f x D ,,,(),(),()a b c D f a f b f c ∀∈()f x 23()ln ()f x x e x e =≤≤()4cos f x x =-12()(14)f x x x =<<()1xx e f x e =+12340,0a b >>()ln 0a b +=11a b+()2018220180122018(12)x a a x a x a x x R +=++++∈12a -222a 332a 201820182a A B C O 2AB =AC =60ABC ∠=O ABC -O ABC ∆O BO BA BC λμ=+60ABC ∠=λμ+据统计，国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（Ⅰ）求,a b的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（Ⅰ）若导游的奖金y（单位：万元），与其一年内旅游总收入x（单位：百万元）之间的关系为12022040340xy xx<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求甲公司导游的年平均奖金；（Ⅰ）从甲、乙两家公司旅游收入在[)50,60的总人数中，随机的抽取3人进行表彰，设来自乙公司的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.19. 如图，四棱锥中，为等边三角形，且平面平面，，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.20. 已知圆经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，，是椭圆上的两点，它们在轴两侧，且的平分线在轴上，.分组频数b1849245[)20,30[)10,20[)30,40[)50,60[)40,50（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）证明：直线过定点.21.（本题满分12分）设函数f (x )=ax 2+b ，其中a ,b 是实数.(Ⅰ)若ab >0，且函数f [f (x )]的最小值为2，求b 的取值范围；(Ⅰ)求实数a , b 满足的条件，使得对任意满足xy =1的实数x , y ，都有f (x )+f (y )≥f (x )f (y )成立.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线.（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程； （2）若直线：（为参数）与，相交于，两点，且，求的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数.（1）若的最小值不小于，求的最大值；（2）若的最小值为，求的值.xOy 1C cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩θ[0,]θπ∈1C ''x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩2C x 2C l cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩t 1C 2C AB 1AB =α()1()f x x a a R =--∈()f x 3a ()()2g x f x x a a =+++3a参考答案CAAB DCBA BBAC13. 4 14. -1 15.48 16.17.解：（I ）当1=n 时，有1114(1)3a S a ==-，解得41=a . 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 1144(1)(1)33n n n n n a S S a a --=-=---整理得：41=-n na a ∴ 数列}{n a 是以4q =为公比，以41=a 为首项的等比数列．∴ 1*444(n n n a n N -=⨯=∈）即数列}{n a 的通项公式为：*4(n n a n N =∈）． ……………………………6分 （II ）由（I ）有22log log 42nn n b a n ===，则11111=(1)(1)(21)(21)22121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭∴ n T )12)(12(1751531311-++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n )]121121()7151()5131()3111[(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n )1211(21+-=n 易知数列{}n T 为递增数列∴ 112n T T ≤<，即2131<≤n T . ………………………………………12分 18.解：（I ）由直方图知：()0.010.0250.0350.01101a ++++⨯=，有0.02a =， 由频数分布表知：1849245100b ++++=，有4b =．∴ 甲公司的导游优秀率为：()0.020.0110100%30%+⨯⨯=；乙公司的导游优秀率为：245100%29%100+⨯=； 由于30%29%>，所以甲公司的影响度高． ………………………4分π（II ）甲公司年旅游总收入[)10,20的人数为0.011010010⨯⨯=人；年旅游总收入[)20,40的人数为()0.0250.0351010060+⨯⨯=人； 年旅游总收入[)40,60的人数为()0.020.011010030+⨯⨯=人； 故甲公司导游的年平均奖金1106023032.2100y ⨯+⨯+⨯==（万元）． ……8分 （III ）由已知得，年旅游总收入在[)50,60的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．故ξ的可能取值为0,1,2,3，易知：()31031524091C p C ξ===； ()2110531545191C C p C ξ===； ()1210531520291C C p C ξ===； ()353152391C p C ξ===.∴ ξ的分布列为：∴ ξ的数学期望为：2445202()0123191919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分 19.【答案】证明见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析： （Ⅰ）取的中点为，连接，，结合条件可证得平面，于是，又，故可得．（Ⅱ）由题意可证得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，通过求出平面和平面的法向量可求解本题．试题解析： 证明：（Ⅰ）取的中点为，连接，，∵为等边三角形，∴.在底面中，可得四边形为矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.又，∴.（Ⅱ）∵平面面，，∴平面，由此可得，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．∵直线与平面所成角为，即，由，知，得.则，，，，，，，设平面的一个法向量为.由，得．令，则．设平面的一个法向量为，由，得．令，则，∴，由图形知二面角为钝角，∴二面角的余弦值为.20.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直线过定点.【解析】【试题分析】(I)根据圆的半径和已知,故,由此求得椭圆方程.(II)设出直线的方程,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,写出的斜率并相加,由此求得直线过定点.【试题解析】（Ⅰ）圆与轴交点即为椭圆的焦点，圆与轴交点即为椭圆的上下两顶点，所以，.从而，因此椭圆的方程为：.（Ⅱ）设直线的方程为.由，消去得.设，，则，.直线的斜率；直线的斜率..由的平分线在轴上，得.又因为，所以，所以.因此，直线过定点.21.解：(1)由题， f [f (x )]=a 3x 4+2a 2bx 2+ab 2+b ，记t =x 2当ab >0时，二次函数b ab bt a t a y +++=22232的对称轴abt -=<0, 显然当0<a 时，不符合题意，所以0,0>>b a ， 所以当0=t 时，f [f (x )]取到最小值，即有22=+b ab从而 02>-=bbab ，解得20<<b ； (2)∵ 1xy =，即1y x=，且()()()()f x f y f x f y +≥，∴ ()()11f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，即22222211()2()a x b ab x a b x x +++++≥.令221[2,)t x x=+∈+∞，则22(1)2a b t a b b -+-≥要恒成立，需要(1)0a b -≥，此时(1)y a b t =-在[2,)+∞上是增函数，所以222(1)2a b a b b -+-≥，即2()2()0a b a b +-+≤，⇒02a b +≤≤ 所以实数a ,b 满足的条件为(1)002a b a b -⎧⎨+⎩≥≤≤22.解：（1）的普通方程为，把，代入上述方程得，， ∴的方程为. 令，， 所以的极坐标方程为. （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，由得，由得1C 221(0)x y y +=≥'x x ='y y =22''1('0)3y x y +=≥2C 221(0)3y x y +=≥cos x ρθ=sin y ρθ=2C 22233cos sin ρθθ=+232cos 1θ=+([0,])θπ∈l ()R θαρ=∈1ρθα=⎧⎨=⎩1A ρ=2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩ρ=第11页 共11页，∴. 而，∴或. 23.解：（1）因为，所以，解得，即. （2）.当时，，，所以不符合题意.当时，，即，所以，解得.当时，同法可知，解得.综上，或.11=1cos 2α=±[0,]απ∈3πα=23πmin ()(1)f x f a ==-3a -≥3a ≤-max 3a =-()()2g x f x x a a =+++12x x a =-++1a =-()310g x x =-≥03≠1a =-1a <-(1)2(),()(1)2(),1(1)2(),1x x a x a g x x x a x a x x a x -++≥-⎧⎪=--+≤<-⎨⎪---+<⎩312,()12,1312,1x a x a g x x a x a x a x -+≥-⎧⎪=---≤<-⎨⎪-+-<⎩min ()()13g x g a a =-=--=4a =-1a >-min ()()13g x g a a =-=+=2a =2a =4-。

河南省许昌市、洛阳市2024届普通高三毕业班第一次质量检查试卷数学试题 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在101()2x x -的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120 B ．120 C ．-15 D ．152．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =若ABC ∆的面积2S =，a =2b =，则sin A 等于（ ）A B ．6 C 或6 D ．1120或11363．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 4．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题：①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ）A ．45B ．42C ．25D ．366．设ln 2m =，lg 2n =，则（ ）A ．m n mn m n ->>+B ．m n m n mn ->+>C ．m n mn m n +>>-D ．m n m n mn +>-> 7．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( ) A ．B ．2C ．3D ．68．若双曲线22214x y a -=3，则双曲线的焦距为（ ） A ．26B ．25C ．6 D ．89．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( )A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-11．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．812．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。