专题04：平面几何基础.docx

九年级下册《平面几何》知识点总结
本文档总结了九年级下册《平面几何》课程的主要知识点，旨在帮助学生们对该课程的研究进行复和总结。

一、平面几何基本概念
1. 点、线、面的定义和性质
2. 直线、射线、线段的定义和区别
3. 平行线、垂直线的定义和判定方法
4. 角的定义、分类和性质
5. 三角形的定义、分类和性质
6. 四边形的定义、分类和性质
7. 圆的定义、性质及相关角度定义
二、平面几何基本定理
1. 垂直平分线定理
2. 角平分线定理
3. 同位角定理
4. 余角定理
5. 直角三角形定理
6. 相似三角形定理
7. 三角形中位线定理
8. 正方形的性质及性质的运用
9. 平行四边形的性质及性质的运用
10. 同一个圆内的弧、弦和周角关系
三、平面几何模型
1. 解析几何与坐标系
2. 同济四角形
四、平面几何的应用
1. 应用平面几何解题
2. 平面几何在生活中的应用
本文档列举了九年级下册《平面几何》课程的主要知识点，供学生们进行复和总结使用。

建议学生们结合教材内容进行更加详细的研究和操练。

学习平面几何需要多做题目进行巩固，加强对概念和定理的理解，并将其应用到实际问题中。

祝学习顺利！。

平面几何知识点汇总（一）知识点一订交线和平行线1.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。

2.垂线的性质：性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质 2：连结直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短。

3.平行公义：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公义的推论：假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。

4.平行线的性质：性质 1：两直线平行，同位角相等。

性质 2：两直线平行，内错角相等。

性质 3：两直线平行，同旁内角互补。

5.平行线的判断：判断 1：同位角相等，两直线平行。

判断 2：内错角相等，两直线平行。

判断 3：同旁内角相等，两直线平行。

知识点二三角形一、三角形有关观点1．三角形的观点由不在同向来线上的三条线段首尾按序连结所构成的图形叫做三角形重点：①三条线段；②不在同向来线上；③首尾按序相接．2．三角形中的三种重要线段（1）三角形的角均分线：三角形一个角的均分线与这个角的对边订交，这个角的极点和交点之间的线段叫做三角形的角均分线．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个极点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．（3）三角形的高线：从三角形一个极点向它的对边作垂线，极点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．二、三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时知足△ABC三边长 a、b、c 的不等式有： a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时知足△ABC三边长 a、b、c 的不等式有： a>b-c ，b>a-c ，c>b-a ．注意：判断这三条线段可否构成一个三角形，只要看两条较短的线段的长度之和能否大于第三条线段即可三、三角形的稳固性三角形的三边确立了，那么它的形状、大小都确立了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳固性．比如起重机的支架采纳三角形构造就是这个道理．四、三角形的内角结论 1：三角形的内角和为 180°．表示：在△ ABC中，∠ A+∠ B+∠ C=180°结论 2：在直角三角形中，两个锐角互余．注意：①在三角形中，已知两个内角能够求出第三个内角如：在△ ABC中，∠ C=180°－（∠ A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ ABC中，已知∠ A：∠ B：∠ C=2：3： 4，求∠ A、∠ B、∠ C 的度数．五、三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延伸线构成的角叫做三角形的外角．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补六、多边形①多边形的对角线n(n3)条对角线；②n边形的内角和为（n－2）×180°；③多边形的外2角和为 360°知识点三全等三角形一、全等三角形1、“全等”的理解全等的图形一定知足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完整重合的两个图形叫全等形。

平面几何知识点总结(已整理)本文档旨在总结和概述平面几何的主要知识点，为读者提供一个简明扼要的参考。

以下为平面几何的重要知识点：1. 点和线- 点：平面几何中最基本的元素，不占据空间，没有大小和形状，用大写字母表示，如A、B、C等。

- 直线：由无限个相连的点构成，没有宽度和长度，用小写字母表示，如ab、cd等。

- 线段：由两个点确定的部分，有特定的长度，用AB、CD表示。

2. 角- 角度：由两条射线构成的图形，以一个为顶点，另两条为腿，用大写字母表示顶点，如∠ABC。

- 直角：角度为90度的角。

- 锐角：角度小于90度的角。

- 钝角：角度大于90度但小于180度的角。

3. 三角形- 三角形是由三条线段组成的图形。

- 根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

- 根据角度，三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

- 根据边与角的关系，三角形可以分为正弦三角形、余弦三角形和正切三角形。

4. 四边形- 四边形是由四条线段组成的图形。

- 根据边的属性，四边形可以分为平行四边形、矩形、菱形和正方形。

- 根据角度，四边形可以分为梯形、直角梯形和平行梯形。

5. 圆- 圆是由一条曲线构成的图形，所有点到圆心的距离相等。

- 圆的重要元素有半径、直径和周长。

6. 同位角和内错角- 同位角：两条直线被一条直线切割时，在同一边的两个对应角。

- 内错角：两条平行线被一条直线切割时，在两条直线之间的内部所成的对应角。

以上为平面几何的主要知识点总结。

希望本文档能对读者理解平面几何有所帮助。

平面几何的基本概念和定理1. 基本概念1.1 点平面几何的研究对象是由点、线、面组成的。

点是几何图形的基本元素，用来表示位置。

在平面几何中，点没有大小和形状，只有位置。

我们通常用大写字母来表示点，如A、B、C等。

1.2 直线直线是由无数个点连成的，它在平面内延伸无穷远。

我们通常用一个小写字母加上箭头表示直线，如直线AB、CD等。

直线上的点可以用小写字母表示，如点P、Q、R等。

1.3 射线射线是由一个起点开始，延伸到一个方向上的直线。

我们通常用一个小写字母加上箭头表示射线，如射线AB、CD等。

射线上的点可以用小写字母表示，如点P、Q、R等。

1.4 线段线段是由两个端点确定的直线部分，具有有限的长度。

我们通常用两个端点的大写字母表示线段，如线段AB、CD等。

1.5 平面平面是由无数个点组成的二维空间。

在平面几何中，我们通常用大写字母I表示平面，如平面ABCD等。

1.6 角角是由两条射线的公共端点和这两条射线的延伸部分组成的图形。

我们通常用一个小写字母表示角的顶点，如角A、B、C等。

角的度量单位是度（°），用符号°表示。

1.7 三角形三角形是由三条线段组成的平面图形，具有三个顶点和三个内角。

我们通常用三个顶点的大写字母表示三角形，如三角形ABC等。

1.8 四边形四边形是由四条线段组成的平面图形，具有四个顶点和四个内角。

我们通常用四个顶点的大写字母表示四边形，如四边形ABCD等。

1.9 圆圆是由平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点组成的图形。

我们通常用圆心和半径的大写字母表示圆，如圆O（半径为r）。

2. 基本定理2.1 欧几里得几何公理欧几里得几何公理是平面几何的基础，包括以下五个公理：1.任意两点之间存在唯一的直线。

2.直线上的点可以按任意顺序排列。

3.任意两点确定一条直线。

4.直线上的点与直线外的点确定一条直线。

5.平面上任意一点到平面上任意一点的直线是唯一的。

2.2 平行线公理平行线公理是指：如果两条直线在平面内不相交，那么这两条直线是平行的。

§07. 直线和圆的方程知识要点 一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当90=α或12x x =时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x轴，y轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+by a x .注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程bkx y +=，当bk ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果bk ,变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠）推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l .⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在.②121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或2=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件） 4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当90≠θ时21121tan k k k k +-=θ.⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线PC By Ax l ,0:=++到l的距离为d，则有2200BA CBy Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP =2. 定比分点坐标分式。

平面几何初步
在数学中，平面几何是研究二维空间中的点、线和图形之间的关系和性质的分支。

它作为数学的基础学科，不仅在学术研究中发挥重要作用，也在日常生活和实际应用中具有广泛的应用。

本文将介绍平面几何的基本概念、公理系统以及一些重要的定理和性质。

一、基本概念
1. 点：平面几何中最基本的对象，没有长度、面积或体积的概念，只有位置。

2. 线：由无数点组成，是一维的对象，没有宽度。

3. 直线：两点确定一条直线，它是无限延伸的。

4. 射线：一个起点，朝着某个方向延伸的线段。

5. 线段：两个点确定的有限长度的线段。

二、公理系统
1. 尺规作图：任给一段线段和一个点，只使用直尺和圆规能够作出与已知条件相符的尺规作图。

2. 共线定理：三个不共线的点唯一确定一条直线。

3. 垂直定理：若两直线相交，且互相垂直，则相交点的两个邻角为直角。

4. 同位角定理：当一条直线被两条平行线截断时，同位角相等。

三、重要定理和性质
1. 同位角性质：
- 内错角性质：两条平行线被一条横截线截断，内错角相等。

- 对顶角性质：两条平行线被一条横截线截断，对顶角相等。

2. 垂直性质：
- 垂直平分线定理：平分线和垂直平分线相互垂直。

- 垂径定理：在一个圆上，以直径为边的三角形必为直角三角形。

3. 三角形性质：
- 等边三角形性质：三条边相等的三角形为等边三角形。

- 等腰三角形性质：两条边相等的三角形为等腰三角形。

- 直角三角形定理：直角三角形斜边上的高是斜边上两条直角腿的调和平分线。

平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）． 24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (CB A yC c y B b y A a C B A x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和． 27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,． 旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）； （2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT 交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53． 卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．54． 奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55． 清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56． 他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57． 朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58． 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59． 一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60． 康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61． 康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线．62． 康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63． 康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线．64． 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65． 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线．68． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．平面几何的意义就个人经验而言，我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件．罗素说过：“一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．”我想罗素之所以这么说，是因为平面几何曾经救了他一命的缘故．天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子都够不到的幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，头戴假发的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面几何到底有多大迷人的魅力．而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的．估计他的哥哥将平面几何与人生的意义搅和在一起向他做了推介，不然万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后的光顾？而罗素真的一下被迷住了，厌世的念头因为沉湎于平面几何而被淡化，最后竟被遗忘了．罗素毕竟是罗素．平面几何对于我的意义只是发掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力，为我解开了智力上的扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来的伟大的怀疑论者显露了执拗的本性．他反对不加考察就接受平面几何的公理，在与哥哥的反复争论之后，只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞大的平面几何的体系的以后，他才同意接受这些公理．公元前334年，年轻的亚历山大从马其顿麾师东进，短短的时间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国．随着他的征服，希腊文明传播到了东方，开始了一个新的文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明的中心也从希腊本土转移到了东方，准确地说，是从雅典转移到了埃及的亚历山大城．正是在这个城市，诞生了“希腊化时代”最为杰出的科学成就，其中就包括欧几里德的几何学．因为他的成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”．“欧氏几何”以它无与伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结晶．它由人类理性不可辩驳的几个极其简单的“自明性公理”出发，通过严密的逻辑推理，演绎出一连串的定理，这些在结构上紧密依存的定理和作为基础的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系．世间事物的简洁之美无出其右．★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢！拿破仑与我们的几何图形三角形有什么关系？少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关的几何等知识素有研究，却知道得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值的文献，包括欧几里德的名著《几何原本》都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分”的问题，被法国数学家曼彻罗尼所解决．据说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上的真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求：“将军，我们最后有个请求，你来给大家上一次几何课吧！”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧！不少几何史上有名的题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形”，而且还是一个很有趣的三角形．在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图．这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙、的圆心构成的△——外拿破仑的三角形．⊙、⊙、⊙三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形，如下图．△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙的圆心构成的△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．如下图．由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相同的中心．少年朋友，你是否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同时还是一位受异书籍、热爱知识的数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质是否更让你非常惊讶、有趣呢？★欧拉圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆〔通常称这个圆为九点圆〔nine－point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1820－1821年间由法国数学家热而工〔1771－1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣的性质,例如:1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。

平面几何基础平面几何是几何学的重要分支之一，研究了在平面上的点、线、角以及图形的性质和关系。

它是我们理解和解决实际问题中经常用到的一种数学工具。

本文将介绍平面几何的基础知识，包括点、线、角和图形的特征与性质。

一、点的性质与关系1. 点的定义与表示：在平面几何中，点是最基本的概念，通常用大写字母表示，如"A"、"B"、"C"等。

点没有大小和形状，只有位置。

2. 点的相对位置：在平面上，点的相对位置可以用坐标来表示。

我们可以用直角坐标系或极坐标系来确定点的位置，其中直角坐标系由x 轴和y轴组成，而极坐标系由原点、极径和极角组成。

3. 点的连线：两个点之间可以用线段连接起来，形成一个直线。

直线是经过两个点的最短路径。

4. 点的投影：当点在平面上与另一个物体重叠时，它的投影就是它在平面上的垂直投影点。

投影是判断物体位置和大小的重要工具。

二、线的性质与关系1. 线的定义与表示：线是通过两个点或多个点上的连续点组成的。

可以用小写字母表示线，如"l"、"m"、"n"等。

2. 线的分类：根据线的位置和形状，我们可以将线分为水平线、垂直线、直线、曲线等。

3. 线的相对位置：在平面上，两条线可以相交、平行或重合。

相交的两条线称为交线，平行的两条线永不相交，重合的两条线完全重合。

4. 线的性质：两条平行线上的任意两个点到另一条平行线的距离是相等的。

两条垂直线的斜率乘积为-1。

这些性质在解决实际问题中起着重要的作用。

三、角的性质与关系1. 角的定义与表示：角是由两条线或线段的端点共同确定的，通常用大写字母表示，如"A"、"B"、"C"等，其中顶点位于两条边的交点处。

2. 角的度量：角可以用度数或弧度表示。

度数是常用的度量单位，360度是一个完整的角。

平面几何的基础知识平面几何是几何学的一个重要分支，研究平面上的点、线、面及其相互关系。

它是数学中最基础的内容之一，广泛应用于建筑、设计、工程等领域。

本文将介绍平面几何的基础知识，包括点、线、角、三角形等概念及其性质。

一、点和线在平面几何中，点是最基本的要素。

点是没有大小和形状的，可以用来确定位置。

我们用大写字母表示一个点，比如点A、点B等。

线是由无数个点连成的，它是一条没有宽度的路径。

常见的线有直线和曲线。

直线是最简单的一类线，它是无限延伸的。

曲线则有各种不同的形状，比如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。

直线和曲线都可以用小写字母表示，比如直线l、曲线c等。

二、角角是由两条线段或线相交所形成的部分。

我们用θ来表示一个角。

角可以用来描述两个线的相对位置和方向。

根据角的大小可以分为三类：锐角、直角和钝角。

锐角是小于90°的角，直角是90°的角，钝角是大于90°小于180°的角。

三、三角形三角形是由三条线段相连而成的封闭图形。

它是平面几何中最基本的多边形。

三角形的三个顶点和三条边分别用大写字母和小写字母表示。

根据三角形的边长和角的大小，可以分为多种类型。

比如，等边三角形的三条边相等，等腰三角形的两条边相等，直角三角形的一个角为90°等。

除了常见的点、线、角和三角形，平面几何还涉及其他重要的概念，比如四边形、多边形、圆、正方形等。

这些概念都有各自的定义和性质。

四、平面几何的性质平面几何有一些基本性质，可以用来解决各种问题。

下面介绍几个常用的性质。

1. 直线的性质：直线上的任意两点可以确定一条直线，直线上的所有点与这两点的连线重合。

2. 角的性质：两个互补角的和为90°，两个补角的和为180°，相邻角的和为180°。

3. 三角形的性质：三角形的内角和为180°，等边三角形的三个内角都为60°，等腰直角三角形的两个内角分别为45°和90°。

数学平面几何知识数学是一门抽象而理性的学科，其中平面几何是数学的基础之一，它研究了平面上的点、线、圆以及它们之间的关系和性质。

在本篇文章中，将详细介绍数学平面几何的基本概念、性质和定理。

一、点、线和圆的定义1. 点：在平面上不占据空间、没有大小和形状，仅有位置的几何对象称为点。

2. 线：点的集合，表示一条直线或曲线。

直线是无限延伸的，曲线则是有限或无限弯曲的。

3. 圆：平面上所有到一个固定点的距离等于常数的点的集合。

二、线段、射线和向量1. 线段：在直线上任意取两点，连接这两点并延长一段固定长度得到的线段。

2. 射线：在直线上取一个起始点，并延长一段固定长度得到的线段。

3. 向量：既有大小又有方向的几何对象表示为箭头，可以表示平移和方向。

三、基本性质和定理1. 同位角定理：同位角是指以两个平行线被一条穿过的直线所形成的内错、内角或外错、外角。

同位角相等。

2. 平行定理：如果一条直线与两条平行线相交，则所形成的内角或外角互为补角。

3. 垂直定理：两条互相垂直的直线是平面上一对相互垂直的线。

4. 内角和定理：任意三角形内角和等于180度。

5. 加法定理：两个向量的和等于它们的有序排列的几何对象之和。

四、关于三角形的知识1. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。

2. 直角三角形：其中一个角度为90度的三角形。

3. 锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形。

4. 钝角三角形：其中一个内角大于90度的三角形。

5. 正弦定理：在任意三角形中，任意一边的长度与其对立角的正弦比例相等。

6. 余弦定理：在任意三角形中，任意一边的平方等于其他两边平方和减去这两边的两倍乘积的余弦。

五、圆和圆的关系1. 切线：与圆只有一个交点的直线称为切线。

2. 弦：圆上连接两点的线段。

3. 弧：圆上两点之间的连续部分。

4. 弧度：圆的弧所对应的圆心角的大小，一个圆的弧度等于360度。

以上是数学平面几何知识的基本概念、性质和定理的简要介绍。

专题三 平面几何基础知识与三角形一、考点分析（一）内容：1、平面几何基本概念和性质命题。

2、三角形边角关系；全等三角形性质、判定。

3、等腰三角形、直角三角形有关知识。

（二）地位:平面几何基础知识是几何入门知识，有关三角形的基础知识是考查四边形、相似三角形、解直角三角形、圆的基础，这部分知识在中考题中不仅有独立考点，而且也渗透到各种题型中，约占10—15分。

等腰三角形和直角三角形的是中考考察的主要内容，中考越来越注重对几何图形的认识和观察能力的考查。

（三）考点：1、线段中点，线段、角的有关性质，平行线的判定和性质。

2、三角形三边关系，内外角关系，全等三角形的判定和性质。

3、特殊三角形如等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质判定，勾股定理及其逆定理，线段中垂线、角平分线的性质。

（四）考法：平面几何基础知识多以选择题、填空题形式出现，都是基本题，有时也对中档的计算证明起辅助作用。

三角形的内容在各种题型中都有考查，关于三角形与二次函数、三角形与圆等相结合的综合题也不断出现，网格的运用也是中考的一个亮点和热点。

等腰三角形和直角三角形是中考考查的主要内容，等腰三角形、直角三角形概念多以填空题、选择题形式出现，需学生灵活运用等腰三角形和直角三角形的判定和性质，并会运用勾股定理及逆定理进行有关计算证明，随着课改的深入这部分知识的规律探索、与日常生活联系紧密的应用题、开放性试题，都将是今后命题的热点。

二、复习建议本章知识出现了许多易混淆的概念和性质，复习中应在“准”字上下功夫，运用“比较”的思想方法，让学生弄清它们的区别与联系，防止做出错误推断。

加强对基本概念、解题思想的认识，掌握特殊三角形证明题的解题思路和方法，加强对探索题、动态性试题、创新题的训练与研究，以及常见辅助线、常见解题方法的指导，培养数学能力。

课时一：平面几何基础知识重点：1、了解线段、直线、射线、角、对顶角、互为补角、互为余角、垂直与平行的概念。

平面几何基础知识在数学的世界里，几何学是研究空间及其内部图形的一门学科。

平面几何则更专注于二维空间中的图形和形状。

平面几何基础知识对于理解和解决各种数学问题至关重要。

本文将介绍一些关键概念和定理，帮助读者建立起扎实的平面几何基础知识。

1. 点、直线和线段在平面几何中，点是最基本的概念。

它是几何图形中最小的单位，没有大小和方向。

直线是由无数个点组成，没有宽度和端点。

而线段则是直线的一部分，有起点和终点。

2. 角角是由两条射线共享一个公共的端点而形成的图形。

角可以通过度数或弧度来度量。

常见的角包括直角（90度）和钝角（大于90度）。

3. 三角形三角形是由三条线段组成的图形。

根据边长和角度，三角形可以分为不同的类型，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。

三角形的内角和为180度，这一性质被称为三角形的内角和定理。

4. 平行和垂直平行是指两条直线在平面上永不相交，垂直是指两条直线相交且互相成直角。

平行线有许多重要性质，如平行线的传递性和平行线和转折线之间的角度关系等。

5. 圆圆是由一个固定点到平面上任意一点的距离相等的点的集合。

圆由中心和半径来确定。

圆的重要性质包括圆心角和弧长之间的关系，以及切线和弦之间的角度关系。

6. 多边形多边形是由多条线段组成，形成一个封闭的图形。

根据边的数目，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等。

多边形的内角和可以通过公式（n-2） × 180度计算，其中n为多边形的边数。

7. 相似和全等当两个图形的形状相似时，它们的对应角度相等，对应边长成比例。

全等指两个图形的形状和大小完全相同。

8. 比例比例是用来表示两个量之间的关系。

在几何中，比例经常用来计算线段的长度或图形的边长比。

比例的一些性质包括比例的可逆性和比例的传递性。

总结：平面几何基础知识是理解和应用数学问题的关键。

点、直线、线段、角、三角形、圆、多边形、平行和垂直、相似和全等以及比例等概念和定理，构成了平面几何的基础框架。

平面几何根底知识〔根本定理、根本性质〕1.中线定理：设△ABC 的边BC 的中点为P,那么有 ：()BPAP AC AB22222+++，中线长：222222ac b -+2.垂线定理：AB ⊥CD ⇔BD BC AD AC2222-=-,高线长：C b B c A abcsin sin sin ==3.角平分线定理：三角形的一个角的平分线对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

4.重心性质：设G 为△ABC 的重心，（1）连结AG ，并延长交BC 于D,那么AG:GB=2：1PGGC GB GA PC PB PA32222222+++=++〔P 为△ABC 内任意一点〕（2）三角形内到三顶点距离的平方与最小的点是重心，即GCGB GA222++最小（3）三角形内到三边距离之积最大的点是重心。

5.垂心性质：（1）三角形任一顶点的距离等于外心到对边距离的两倍 （2）垂心关于△ABC 的三边的对称点均在△ABC 的外接圆上。

（3）△ABC 的垂心为H,那么△ABC,△ABH,△BCH,△ACH 的外接圆是等圆。

6.内心的性质：设I 为△ABC 的内心，那么： （1）I 到△ABC 三边的距离相等（2）∠BIC=90°+21∠A,∠AIC=90°+21∠B,∠AIB=90°+21∠C （3）∠A 平分线交BC 于D,交△ABC 外接圆于点K,那么acb KD IK KI AK ID AI +=== 7.外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等（2）锐角三角形的外心到三边的距离之与等于其内切圆与外切圆半径之与。

8.梅涅劳斯定理定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，那么有 梅涅劳斯定理的逆定理定理：在∆ABC 的边AB 、BC 上各有一点D 、E ，在边AC 的延长线上有一点F ，假设1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=， 那么，D 、E 、F 三点共线． 9.塞瓦定理定理：在∆ABC 内一点P ，该点与∆ABCA的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，那么有 塞瓦定理的逆定理定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，假设1AD BE CFDB EC FA ⋅⋅=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 10.托勒密定理定理：凸四边形ABCD 是某圆的内接四边形，那么有AB ·CD + BC ·AD = AC ·BD ． 托勒密定理的逆定理定理：如果凸四边形ABCD 满足AB ×CD + BC ×AD = AC ×BD ，那么A 、B 、C 、D 四点共圆． 托勒密定理的推广定理：如果凸四边形ABCD 的四个顶点不在同一个圆上，那么就有AB ×CD + BC ×AD > AC ×BD11.西姆松定理ABCD EFPD /定理：从∆ABC 外接圆上任意一点P 向BC 、CA 、AB 或其延长线引垂线，垂足分别为D 、E 、F ，那么D 、E 、F 三点共线． 12.欧拉定理定理：设ΔABC 的重心、外心、垂心分别用字母G 、O 、H 表示．那么有G 、O 、H 三点共线〔欧拉线〕，且满足3OH OG =．13.蝴蝶定理定理：如图，过圆中弦AB 的中点M 任引两弦CD 与EF ，连接CF 与ED ，分别交AB 于P 、Q ，那么PM = MQ ． 解题方法：作辅助线、辅助圆、线段、角度间的转化、面积法、三角法、解析法、向量法等。

(2) (3) 平面几何基础知识（基本定理、基本性质）中线定理三线定理垂线定理角平分线定理重心：三角形的三条中线的交点三角定理 正弦定理 余弦定理1•中线定理：设厶ABC 的边BC 的中点为P,则有： AB 2 AC 2 2 AP 2 BP 2，中线长：2 2 2 2b 2e a 2 2•垂线定理：AB 丄CD AC AD 2 BC BD ,be 高线长： 一sin A esin B bsin C a3•角平分线定理：三角形的一个角的平分线对边所成的两条线段与这 个角的两边对应成比例。

4. 重心性质：设 G ABC 的重心,连结AG ,并延长交BC 于D,则AG:GB=2 : 11S ^ABG S A B CG S AC G — S A ABC 3 2 2 2 2 2 2BC 3GB CA 3GB AB 3GC三角形四心垂心：三角形的三条高 内心：三角形的角平分 线的交点 线的交点 外心：三角形的三条中线的交点内接圆 外接圆(1)2 2 2 1 2 2 2GA GB GC 3 AB BC CA2 2 2 2 2 2 2 / ― 、/ , …亠」PA PB PC GA GB GC 3PG (P为ABC内任意一点)(4)三角形内到三顶点距离的平方和最小的点是重心，即GA GB2 GC2最小(5)三角形内到三边距离之积最大的点是重心。

5. 垂心性质：(1 )三角形任一顶点的距离等于外心到对边距离的两倍(2)垂心关于厶ABC的三边的对称点均在△ ABC的外接圆上。

(3)4 ABC的垂心为巴则厶ABC, △ ABH, △ BCH, △ ACH的外接圆是等圆。

6. 内心的性质：设I ABC的内心，贝心(1)I到厶ABC三边的距离相等(2)Z BIC=90 +1/ A, / AIC=90 +丄/ B, / AIB=90 +1/ C2 2 2(3)Z A平分线交BC于D,交厶ABC外接圆于点K,则AI AK IK b cID KI KD a7. 外心性质：(1)外心到三角形各顶点距离相等(2)锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外切圆半径之和。

平面几何基础知识在数学中，平面几何是研究平面上的图形、点、线、面等基本元素之间的关系和性质的一门学科。

它是数学中最基础、最重要的一个分支，对于理解和应用其他数学概念起着重要的作用。

本文将介绍平面几何的基础知识，包括点、线、面的概念以及它们之间的关系。

一、点的概念在平面几何中，点是最基本的元素。

点通常用大写拉丁字母表示，比如A、B、C等。

点在平面上没有大小，只有位置。

任意两个点之间都可以划定一条直线。

而且，任意三个点不共线，可以确定一个平面。

二、线的概念线是由一系列点连在一起形成的图形。

线有无限延伸性，没有起点和终点，可以用小写字母表示，如ab、cd、ef等。

线可以是直线或曲线。

直线是两个点之间最短的路径，也是最简单的线。

曲线则是在平面上运动形成的轨迹，它可以弯曲和交叉。

三、线段和射线线段是由两个点及其之间的所有点组成的部分，具有起点和终点，可以用符号“ ”表示。

比如AB表示线段AB。

而射线是由一个起点及其从该起点出发的所有点组成的部分，可以用符号“→”表示。

比如AB→表示以点A为起点，沿着直线AB方向上无限延伸的射线。

四、面的概念面是由无数个点和直线组成的，是一个没有厚度的二维物体。

面可以用大写字母表示，如P、Q、R等。

在平面几何中，有两种特殊的面：平面和圆。

平面由无数的直线组成，没有边界。

圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的。

五、基本性质和定理平面几何有许多基本的性质和定理。

下面介绍几个常见的：1. 直线的性质：直线上的任意两点可以连成一条直线，直线与直线最多只有一个公共点，直线可以无限延伸。

2. 平行线的性质：如果两条直线在平面上没有交点，那么它们是平行线。

3. 垂直线的性质：如果两条直线相交成直角，那么它们是垂直线。

4. 三角形的性质：三角形是由三条线段组成的图形。

三角形的内角和等于180度。

5. 圆的性质：圆上的任意点到圆心的距离相等，这个相等的距离叫做半径。

圆上的点可以任意连成一条弧。

平面几何基础学习平面几何的基本概念和定理在数学领域中，平面几何是研究平面上的图形、形状、大小、位置关系以及性质的一门学科。

通过学习平面几何的基本概念和定理，我们可以深入理解和掌握几何学的基础知识，为后续进一步的学习打下坚实的基础。

一、点、线、面的基本概念点、线、面是平面几何中最基本的概念。

点是没有大小和形状的，用字母表示，如A、B、C等；线是由一连串的点连在一起形成的，用两个点的字母表示，如AB、CD等；面是由一连串的线围成的平面，用大写字母表示，如面ABC。

二、线段、直线、射线的定义线段是由两个端点和两个端点之间的点组成，用字母表示，如AB；直线是一条没有端点的无限延伸的线段，在字母上加一个横杠表示，如AB；射线是由一个端点和这个端点向一个方向无限延伸的线段，用字母表示，如→AB。

三、平行线与垂直线的性质平行线指在同一个平面内永不相交的直线，用符号“∥”表示；垂直线指两条线段、直线或射线相交时，所成的角度为90度，用符号“⊥”表示。

平行线具有性质：1.平行关系具有传递性，即若AB∥CD，CD∥EF，则AB∥EF；2.任意一条直线与平行线横切时，所成的对应角相等。

四、三角形的性质三角形是由三条线段组成的多边形。

根据边的关系和角的关系，我们可以得出三角形的一些基本性质：1.三角形的内角和等于180度；2.等边三角形的三个边相等，三个角都是60度；3.等腰三角形的两条边相等，两个底角也相等；4.直角三角形的一个角是90度。

五、平面图形的面积计算矩形、正方形、三角形和梯形是我们常见的平面图形，根据其特点我们可以计算出它们的面积。

矩形的面积等于长乘以宽，正方形的面积等于边长的平方，三角形的面积等于底乘以高的一半，梯形的面积等于上底加下底乘以高的一半。

六、三角形的重心、外心、内心和垂心三角形有四个特殊的点，分别是重心、外心、内心和垂心。

重心是三条中线的交点，中线是由一个顶点与对应边的中点组成；外心是三角形外接圆的圆心，外接圆通过三个顶点；内心是三角形内切圆的圆心，内切圆与三条边都相切；垂心是三角形的三条高线的交点，高线是由一个顶点与对边垂直相交的线段组成。

平面几何的基本理论与应用知识点总结一、概念和基本性质1.点、线、面的概念：点是没有大小和形状的，线是由无数个点组成并延伸的，面是由无数个线组成并延伸的。

2.平行线和垂直线的判定：两条直线如果不相交且在同一平面内，则它们是平行线；两条直线垂直的判定是两条直线的斜率之积为-1。

3.平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分。

二、三角形的性质和判定1.三角形的内外角之和：三角形的内角之和为180度。

2.等边三角形的性质：三条边均相等，三个内角都是60度。

3.等腰三角形的性质：两边相等，两个内角也相等。

4.直角三角形的性质：有一个内角是90度。

三、相似三角形和勾股定理1.相似三角形的判定条件：对应角相等或者对应边成比例。

2.勾股定理：直角三角形的斜边的平方等于其他两条边平方和。

四、圆的性质和计算1.圆的周长和面积计算公式：周长为2πr，面积为πr^2。

2.弧长和扇形面积计算公式：弧长为弧度乘以半径，扇形面积为弧长与半径的乘积的一半。

五、多边形的性质和计算1.正多边形的性质：所有边相等，所有内角相等。

2.等腰梯形的性质：非平行边相等，两个底角相等。

3.正六边形的面积计算：等边三角形的面积乘以6。

六、平行四边形和梯形的性质和计算1.平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分。

2.梯形的面积计算：上底加下底乘以高的一般。

七、立体几何的基本性质1.立体几何的基本概念：线段、尺规、角等。

2.正方体的性质：六个面都是正方形，相邻面垂直。

3.长方体的性质：六个面都是矩形，相邻面垂直。

八、空间立体图形的投影1.平行投影和中心投影的概念：平行投影是将立体图形的各个点通过平行于某一直线的投影射线，映到其他平面上；中心投影是将立体图形的各个点根据观察者和被观察者的位置关系，通过直线投影映射到其他平面上。

九、平面几何在实际生活中的应用1.建筑中的平行线和垂直线：建筑设计中需要使用平行线和垂直线的知识来确保结构的稳定和美观。

初中数学《平面几何》知识要点一、平行线与三角形1．平行线的判定与性质（1） 角相等⇔两直线平行； （2） 角相等⇔两直线平行； （3） 角互补⇔两直线平行． 注意：证明平行线的方法还有：（4）平行于（或垂直于）同一直线的两直线平行； （5）平行四边形对边平行；（6）三角形（梯形）的中位线平行于第三边（上下底）；（7）一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成 ，则这条直线平行于第三边． 2．三角形的一般性质（1）三个内角的和等于 度；（2）一个外角等于 的两内角的和；一个外角大于 的内角． （3）两边之和 第三边，两边之差 第三边； 3．全等三角形（1）能够 的两个三角形叫全等三角形． （2）判定两个三角形全等的一般方法可简记为① ，② ，③ ，④ ． 特别地，两直角三角形全等还可用 ． （3）全等三角形性质有①对应边 ，②对应角 ，③对应线段（中线、角平分线、高） ，④面积 ．注意：①全等的判定条件中至少有一边等，②对一般三角形而言，“边、边、角”和“角、角、角”不一定全等．二、等腰三角形和直角三角形1．线段中垂线、角平分线的性质（1）线段垂直平分线上的点到线段 距离相等． 它的逆定理是 ． （2）角平分线上的点到角的 距离相等.它的逆定理是 ． 2．等腰三角形的性质 （1）△ABC 中，性质判定⇔=AC AB ．（“等边对等角”、“等角对等边”）（2）等腰三角形底边上 、 及顶角 三线合一．3．等边三角形的性质（1）△ABC 中，性质判定⇔==BC AC AB ．243a S ABC =∆正（其中a 是正三角形的 ）． （2）有一个角为 度的等腰三角形是等边三角形．DCBAa CB A4．直角三角形的性质（1）Rt △ABC 中，=∠+∠⇔︒=∠B A C 性质判定90．222)()()(90=+⇔︒=∠性质判定C ．（勾股定理） （2）Rt △ABC 中，AB CM 21===⇔性质判定是斜边上的中线． 若Rt △ABC 中，∠C =90°，则有∠A =30°⇔BC = AB ．三、多边形、平行四边形1．多边形n 边形的内角和= ，n 边形的外角和= ． 2．平行四边形（1） 的四边形，叫做平行四边形． （2）平行四边形的（1）对角 ，邻角 ，（2）对边 ，（3）对边 ，（4）对角线 ． （3）要证明四边形是平行四边形，可以证（1）两组对边 ，（2）两组对边 ，（3）两组对角 ，（4）一组对边 ，（5）对角线 ． 注意：平行四边形不一定是轴对称图形．四、矩形、菱形、正方形1．矩形、菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质． 2．矩形的四个角 ，对角线 ．3．菱形的四条边 ，对角线 ，且每条对角线 ． 对角线的乘积高边长棱形21=⨯=S ． 4．正方形同时具有 形和 形的性质．22)(21)(==正方形S5．矩形、菱形和正方形的判定．五、梯形1．梯形的中位线：平行于 且等于 的一半．2．梯形高为h ，上、下底分别为a 、b ，则梯形面积S 梯形= ．若梯形的高为h ，中位线为m ，则梯形 S 梯形= ．3． 相等⇔等腰梯形．或 相等⇔等腰梯形．还有 相等⇔等腰梯形．ABa cMCBA六、相似三角形1、比例线段（1）如果d 是a 、b 、c 的第四比例项，则其比例式是 ． （2）如果b 是a 和c 的比例中项，则a : b = ，b = ． （3）比例的基本性质：b a =dc ⇔ .（4）合比性质：b a =dc⇔ . （5）等比性质：nm d c b a === ，（b ＋d ＋……＋n ≠0）=++++++⇒n d b mc a ．（6）平行线分线段成比例定理：如图，AB ∥CD ∥EF ，则 ． 2、相似三角形1．定义：对应角 ，对应边 ⇒两三角形相似． 2．相似三角形的判定（1）如图，ΔABC 中，DE ∥BC 且交AB 、AC 所在的直线于D 、E ，则△ ∽△ ．（DE 可能在哪些位置，画出图形．）（2）两角对应 ⇒两三角形相似．（3）两边 且 相等⇒两三角形相似．（4）三边 ⇒两三角形相似．（5）斜边与一条直角边 ⇒ 两个 三角形相似． 3．相似三角形的性质⎪⎩⎪⎨⎧⇒面积的比等于及周长的比等于角平分线中线高对应线段相似三角形)2(),,()1(七、解直角三角形1．锐角三角比：（1）锐角三角比定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，则sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA= ． （2）特殊角的三角比：2．解直角三角形的依据：如图，在△ABC 中，∠C =90°．（1）三边之间的关系： a 2＋b 2= ． （2）锐角之间的关系：∠A ＋∠B = ．（3）边角之间的关系：（4）面积ch ab S ABC 2121==∆．A B Cab c A BCD EF ED CB A D hc baCBA视线水平线仰角俯角视线3．在实际问题中解直角三角形． （1）坡角和坡度坡面与水平面的夹角叫做坡角．如图中的∠A ．坡面的垂直高度h 与水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，图中，坡度tan )()(==i ． （2）仰角和俯角视线与水平线的夹角叫做视角．视线在水平线 的视角叫做仰角； 视线在水平线 的视角叫做仰角；八、圆的概念和性质1．用点的集合来定义圆、圆的内部、圆的外部，从而推出了点与圆的位置关系：点在圆外⇔d r ，点在圆上⇔d r ，点在圆内⇔d r ． 2．确定圆的条件： 的三个点确定一个圆． 3．圆的对称性：圆是轴对称图形，又是中心对称图形．（1）由圆是轴对称图形推出垂径定理及推论．（2）由圆是中心对称图形，并且具有旋转不变性（圆绕其圆心旋转任意大小的角度，都能与原图形重合）推出圆心角、弧、弦、弦心距四者相等关系定理及推论． 4．（1）垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对 ⎪⎩⎪⎨⎧⇒⎭⎬⎫⊥E AB CD CD 于是直径⎪⎩⎪⎨⎧⇒⎪⎭⎪⎬⎫=)(不是直径是直径AB BE AE CD思考：一条直线如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧等五个条件中的任意两个，就能推出其余三个吗?（2）圆心角、弧、弦、弦心距关系定理：在 或 中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ，所对应的弦的弦心距 ．思考：在同圆或等圆中， ①圆心角、弧、弦、弦心距四组量中，只要任意一组量相等，其余三组量分别相等吗？②若两条弦不等，则两弦所对的圆心角、弧、弦心距的大小有什么关系？与圆有关的角九、直线和圆的位置关系1．由直线和圆的公共点个数定义直线和圆的位置关系： 直线和圆：（1）有两个公共点时，叫做直线和圆 ；（2）有唯一公共点时，叫做直线和圆 ；（3）没有公共点时，叫做直线和圆 ． AB ChlA C OE F...lll 相离相交相切d r d r dr2．由圆心到直线的距离d 与圆半径r 大小的比较来判断直线与圆的位置关系： （1）直线和圆相交⇔d r ； （2）直线和圆相切⇔d r ；（3）直线和圆相离⇔d r ．3．切线的判定：（1）若圆心到直线的距离等于 ，则这条直线是圆的切线． （2）经过半径 ，并且 这条半径的直线是圆的切线． 思考：要证明一条直线是圆的切线何时用判定（1）？何时用判定（2）？ 4．切线的性质：圆的切线 经过切点的半径；思考：如何作辅助线应用切线性质解题?十、圆和圆的位置关系两圆外离、外切、相交、内切、内含等5种位置关系是通过两圆的相对运动，观察两圆的相对位置和公共点的个数来定义的．1．两圆五种位置关系的判定方法：设⊙O 1，和⊙O 2的半径分别为R 、r （R ＞ r ），两圆心的距离O 1O 2=d ，那么两圆的位置关系为：（1）两圆外离⇔d R ＋r ； （2）两圆 ⇔d =R ＋r ；（3）两圆相交⇔R －r ＜d ＜R ＋r ； （4）两圆 ⇔d =R －r ； （5）两圆 ⇔d ＜R －r ．思考：两圆同心与两圆内含有何关系？2．两圆位置关系的有关性质：（1）相切（内、外切）两圆的连心线 切点．（2）相交两圆的连心线 它们的公共弦．十一、圆周长，面积，弧长，扇形面积，弓形面积计算公式：（r 表示半径，n 表示扇形中弧所对的圆心角） 圆周长：C =2πr 圆面积：S =πr 2弧长：l =扇形面积：lr r n S 213602==π扇形弓形面积：S 弓形AB =S 扇形OAB －S △AOB 或S 弓形AB =S 扇形OAmB ＋S △AOB ．ld r O A内切内含相交外切外离。