2多元函数微分学及其应用(偏导,微分,切平面,极值)

第9章 多元函数微分法及应用第2节 偏导数函数在点处对y 的偏导数定义为),(y x f z =),00y x （yy x f y y x f y ∆∆+→∆),(-),(lim 00000记法：),(,,00,,,000000y x f Z y f yz y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂定理：如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D 内连续，那么),(y x f z =x y z∂∂∂2y2∂∂∂x z在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

*拉普拉斯方程：①满足；22ln y x z +=0y2222=∂∂+∂∂zx z ②满足。

)(,1222z y x r r u ++==0zy 222222=∂∂+∂∂+∂∂u u x u 第3节 全微分全增量：)(),(),(),(22y x y B x A y x f y y x x f z ∆+∆=+∆+∆=-∆+∆+=∆ρρο全微分：y yzx x z dz ∆∂∂+∆∂∂=习惯上分别记作dx,dy,并分别称自变量x,y 的微分。

y x ∆∆,通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加定理。

zzu y y u x x u du ∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=第4节 多元复合函数的求导法则定理1：如果函数及都在点t 可导，函数在对应点（u,v)具有)(t u ϕ=)(t v ψ=),(v u f z =连续导数，则复合函数在点t 可导，且有全导数：)](),([t t f z ψϕ=dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂=全微分形式不变性：设函数具有连续偏导数，则有全微分，如果u,v 又是),(v u f z =dv vzdu u z ∂∂+∂∂=dz 中间变量，即，且这个函数也具有连续偏导数，则复合函数),(),,(y x v y x u ψϕ==的全微分为，无论u,v 是自变量还是中间变量，)],(),,([y x y x f z ψϕ=dy yzdx z ∂∂+∂∂=x dz 函数的全微分形式是一样的。

多元函数微分法及其应用总结多元函数微分法及其应用是高等数学中一个重要的内容。

多元函数是指自变量有两个或者多个的函数，如z=f(x,y)。

而微分法是研究函数的变化率的一种方法。

本文将对多元函数微分法及其应用进行总结。

1. 多元函数微分法的基本概念多元函数的微分可以分为偏导数和全微分两种形式。

对于多元函数z=f(x,y)，其偏导数表示函数在某一自变量上的变化率，可以记作∂z/∂x，∂z/∂y。

全微分表示函数在所有自变量上的变化率，可以记作dz。

多元函数的微分法有很多性质和定理，如链式法则、高阶偏导数、隐函数定理等。

2. 多元函数的极值与最值利用多元函数微分法，我们可以求多元函数的极值与最值。

对于多元函数z=f(x,y)，其极值、最值的求解步骤大致如下：（1）求函数的偏导数，得到所有的偏导数；（2）令所有的偏导数等于零，求解出关于x和y的方程；（3）求解方程组，得到x和y的解；（4）将解代回原函数，求得z的值；（5）比较求得的z值，得到最大值或最小值。

3. 多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开是利用多元函数在某一点附近进行近似求解的一种方法。

对于多元函数z=f(x,y)，其泰勒展开公式为：f(x+Δx,y+Δy) = f(x,y) + (∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy + 1/2(∂²f/∂x²)(Δx)² + 1/2(∂²f/∂y²)(Δy)² + (∂²f/∂x∂y)ΔxΔy + O(Δx²,Δy²)这里的O(Δx²,Δy²)表示高阶无穷小，Δx和Δy表示自变量的增量。

4. 多元函数微分法的应用多元函数微分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。

具体应用如下：（1）在物理学中，多元函数微分法可以用于描述粒子在空间中的运动轨迹，求解最优路径等问题。

（2）在工程学中，多元函数微分法可以用于建模和优化设计，如求解最优结构、最优控制等问题。

多元函数微分学及其应用归纳总结一、多元函数的微分与偏导数1. 多元函数的微分定义为函数在其中一点上的线性逼近。

对于二元函数，微分为 dz=f_x*dx+f_y*dy，其中 f_x 和 f_y 分别为函数的偏导数。

对于一般的 n 元函数也可类似定义。

2.多元函数的偏导数表示函数沿着其中一个变量的变化率。

对于二元函数f(x,y)，其偏导数f_x表示x方向上的变化率，f_y表示y方向上的变化率。

一般而言，当存在偏导数且连续时，函数在该点可微分。

3.偏导数的计算方法与一元函数相似，利用极限的定义求出偏导数表达式，对于高阶偏导数，可以反复求导。

4.混合偏导数表示函数在二个或二个以上变量上求偏导数后再对另外一个或另外几个变量求偏导数，其次序不影响结果。

二、多元函数的求导法则1. 多元函数的和、差、常数倍法则：设函数 f 和 g 在其中一点连续可导，则(f±g)'=f'±g'，(kf)'=kf'。

2.多元函数的乘积法则：设函数f和g在其中一点连续可导，则(f·g)'=f'·g+g'·f。

3.多元函数的商法则：设函数f和g在其中一点连续可导且g不为零，则(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g^24. 复合函数求导法则：设函数 y=f(u) 和 u=g(x) 在其中一点可导，则复合函数 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中 x 和 u 为中间变量。

三、多元函数的极值与梯度1.多元函数的极值包括极大值和极小值。

在二元函数中，极值的必要条件为偏导数为零，充分条件为偏导数存在且满足一定条件。

2.多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小表示变化率的大小。

梯度为零的点可能为极值点。

2x3x 2 fdx x 3 h (xdy ydxxdy ydx习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用多元复合函数、隐函数的求导法？(1)多元复合函数设二兀函数z f(u,v)在点(u o ,v o )处偏导数连续，二元函数 u u(x, y), v v(x, y)在点 (x o , y o )处偏导数连续，并且u o u(x o , y o ),v o v(x o ,y o ),则复合函数 z f (u(x, y), v(x, y))在点(x o ,y o )处可微，且dz — dx —z dyx y计算—f u f v zu f v 代人，xu x v xyu y v yzz f uf v fu f v dzdx dydxdyxy u x v xuyv yf u . uf v , v ,dx dydx dyu x yvxydu dv u v例 1 设 z x 3f xy,—，求一^,二。

x x y解：dz f 3x 2dx x 3df 3x 2 fdx x 3 f |d(xy) f 2 d — xf u o ,v ou x o , y of u o ,v ov x o ,y o(x o ,y o )uxvxf u o , v ou x o , y of u o ,v ov X o , y o(x o ,y o )uy vyz xz y多元函数微分形式的不变性:则将z 看成x, y 的函数，有f (u,v),u u(x, y), v v(x, y)，均为连续可微,我们将 dz — dx — dyx y—du ~~ dv 叫做微分形式不变性。

u v例3已知函数y f (x)由方程ax by f x 2 y 2 , a,b 是常数，求导函数。

解：方程ax by f x 2 y 2 两边对x 求导，a b 业 f (x 2 y 2) 2x 2y 业dxdxdy 2xf (x 2 y 2) a dx b 2yf (x 2 y 2)两端分别关于x i 求偏导数得到，并解f, 可得到公式：一yF x x,y F y x, yX iXi例4设函数x x(z), y y(z)由方程组2 2 2 …x y z 12 o 2 2 dx 2y z 1 0确定，求0确定，求导之函数？ y(x 1 ,...,x n ),对于方程F(X 1,...,X n ,y(X 1,...,X n ))3x 2fx 3yf i xyf 2 dx x 4 f 1 x 2f 2 dy由微分形式不变性,dz — dx x—dy y 3x f xyf ixyf 2 dx x 4 f 1 x 2 f 2 dy3x 2fx 3yf ixyf 2x 4 f 1 x 2 f 2例2已知y，求亠dydx解考虑二元函数y1 ,vx 应用推论得dy dxdu u dxy dv .vuv dx(In u)u v $ x1x(1 In x).⑵隐函数 若函数 x ,由方程 按隐函数定义有恒等式:F x, y x 0 x, y A F dx0确定, x, y x求导之函数?F x x, yF y x, y x y xF x x,y x oF y x, y x从这是可见：函数y x 可导有一个必要条件是,F y x,y 0.般来说，若函数y y x ,由方程F x, y将y 看作是x 1,...,x n 的函数y y xdx dy dz ，dzdz dz 2 2 2 ,2x2y — 2z解xyz 1dx dy 解方程得：2小2x 2yz 212x dz —4y dz 2zdxdydxdz = 1 4y 2y 2z 1 12yzdy 4xy2x 2x2z4xy8xzdz由此得到dX 3z, dy 2zdz x ' dz yu,v 是由方程uv 1 0 u （x, y）的x, y 的隐函数，在这两个等式两端分别关于0 cosv 」usinv y 1 sinv —u ucosv yx, y 求偏导数，得_v y v yv(x, y)cosv 』 xsinv 』 x usinv — x ucosv 」x得到u vsin uuv cosv得到ycosv,sin v,xxuy xu将这个结果代入前面的式子，得到z u vv uvcosv sin vx xxz u v与v u -vsin v cosvyyyu f (x, y, z,t)⑶ 隐函数函数u u(x,y)由方程 g(y, z,t) 0 确定，求一9x h(z,t) 0变量）？ 3 （ 方程）=2（自变量）; ）,二中（z, t ）解这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法x, y 是自变量，u,v 是中间变量（u,v 是x, y 的函数）,先由z uv 得到zzuzv u vv u x u x v x x x zzuz v u vv uy u yv y y y例5已知函数z z x, y 由参数方程：x u cosvy usinv ,给定，试求—. x y zuv解：函数关系分析：5 （ 一函（u ）,二自（x, yz , ,i h 上 g g t 0y ©h)t 丨（乙t ）| h yz z 二阶偏导数：一阶导函数的偏导数 f f zf tyz yt yf hf hg u ft zz tyyyg h ghz t tzu f u =5exxy例6 z 2 z(x, y)由 x 2y 2 2 z a 决定，求解: 2x 2^z 0 2y 2zZ oxy x y2zzx z _y xJz yz 2z yz xy23x yzxzx f x,2x ,x，其中函数的二阶偏导数连续，求d 2g x dx 2X\ f(xy,—) y xf lff f5f25yf2fu f2fvf 2ff2fM1222212J121uvu vv u,f 二阶连续可微，求 xy, v2 2 -2xzf u f v1 £y f 1f xuxvxy2zzf 11 f2 2yxx xxyxu,v 为中间变量,都是以r 1 F F f11 「2u因为 v以x,y 为自变量的函数，所以将以上两式代入前式得 f 1uv1fnf 12y fn f 12xxxy f 2uv1七f21f22y f 21—怯xxxy2z 2 fo f1 f2 y T 11122 T22 .xy例9设z z(x, y)二阶连续可微，并且满足方程例10 设u(x, y)2C2,又ux2u 220, u(x,2x) x, u x(x,2x) x ,求yU xx(x,2x), U xy(x,2x) U yy(X,2X)解：u / c \(x,2x) x2 x ,两边对x求导,2z 2z2B -------x y2z若令U X y,试确定v x y 为何值时能变原方程为2z0.u,v看成中间变量，利用链式法则得z z u z vx u x v xz z u z vy u y v y2z z z 2 z2 x x u v 2 u2z z z2 2z2y y u v 2 u2z z zx y x u vz z——zu v u vz z——zu v u v2 2 2z z2- 2 —zu v v u v2 2z 2 z2 2u v v u2 2 2z z z2 2u u v v2B —z v2z _ ~~2= yA 2B 2B2 z~~2 vA 2B0.问题成为方程 A 2Bt Ct20有两不同实根，即要求令 B ■ B2AC, B B2AC ,即可。

多元函数微分学应用在数学中，多元函数微分学是研究多元函数的导数和微分的领域。

它在解决实际问题、优化和工程应用中起着重要的作用。

本文将探讨多元函数微分学在应用方面的一些实例。

一、偏导数偏导数是多元函数微分学中的重要概念。

它衡量了函数在某个方向上的变化率。

假设有一个函数 f(x, y)，其中 x 和 y 分别表示自变量，那么 f 在某个点 (a, b) 处的偏导数可以表示为∂f/∂x 和∂f/∂y。

偏导数可以用来分析函数在不同变量上的变化趋势，例如在经济中可以用来衡量某种商品的需求弹性。

二、全微分全微分是多元函数微分学中另一个重要的概念。

它可以用来描述函数在某个点上的线性近似。

如果有一个函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处可微分，那么可以通过全微分df=∂f/∂x*dx+∂f/∂y*dy 来衡量函数 f 在点 (a, b) 的变化量。

全微分在微观经济学中的应用非常广泛，可以用来解释价格变动对需求和供应的影响。

三、梯度梯度是多元函数微分学中最为常用的工具之一。

它可以用来找到函数在某一点上变化最快的方向。

对于一个函数 f(x, y)，梯度可以表示为grad(f)=∂f/∂x*i+∂f/∂y*j。

其中 i 和 j 分别表示 x 和 y 方向的单位向量。

梯度可以应用于优化问题，例如在机器学习中，可以通过梯度下降法来优化模型的参数。

四、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是多元函数微分学中解决约束优化问题的一种方法。

其核心思想是引入拉格朗日乘子来考虑约束条件。

具体而言，对于一个函数 f(x, y) 在约束条件 g(x, y)=c 下的极值问题，可以构造拉格朗日函数L(x, y, λ)=f(x, y)+λ(g(x, y)-c)，通过对拉格朗日函数求偏导数来求解极值问题。

拉格朗日乘子法在经济学中的应用非常广泛，例如在最大化利润、最小化成本等问题中都能用到。

总结：多元函数微分学是数学中一个重要且实用的领域。

通过研究偏导数、全微分、梯度和拉格朗日乘子法等概念，我们可以在实际问题中应用微分学的方法进行分析和求解。