2020年中考数学人教版专题复习：平方根、立方根

2020年中考数学人教版专题复习：平方根、立方根

一、学习目标：

1. 了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质；

2. 会求一个非负数的平方根、算术平方根；

3. 掌握立方根的意义，会求一个数的立方根；

4. 理解开立方与立方的关系。

二、重点、难点：

重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。

难点：算术平方根与平方根的区别与联系。

三、考点分析：

中考命题以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主，多以选择题和填空题的形式出现，试题的难度不大，只要对平方根、算术平方根、立方根的有关概念和性质熟练掌握，就能解决中考试题，比较容易得分。

知识梳理

一. 平方根：

1. 算术平方根的概念及表示方法

如果一个正数x的平方等于a，即2xa，那么这个正数x叫做a的算术平方根。当0a时，a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。

2. 平方根的概念及其性质

（1）平方根的定义

如果一个数的平方等于a，即2xa，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果2xa，那么x叫做a的平方根。

（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。当0a时，a的平方根表示为a。

（3）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

3. 用计算器求一个正数的算术平方根

用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。

二. 立方根：

1. 立方根的概念及表示方法

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果3xa，那么x叫做a的立方根，记作3a。正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0。

2. 开立方的概念

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。

3. 用计算器求立方根

很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。

典例精析

知识点一：算术平方根 例1. 下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。

（1）81； （2）16； （3）0；

（4）254； （5）2(2)； （6）3(2)。

思路分析：根据“正数和0都有算术平方根，负数没有算术平方根”知，（1）、（3）、（4）、（5）有算术平方根，（2）、（6）没有算术平方根。

解答过程：（1）因为81是正数，所以它有算术平方根。又因为2981，所以81的算术平方根是9；

（2）因为16是负数，所以它没有算术平方根；

（3）0有算术平方根，就是0；

（4）因为254是正数，所以它有算术平方根。又因为2525()24，所以254的算术平方根是52；

（5）因为2(2)4是正数，所以它有算术平方根。又因为224，所以2(2)的算术平方根是2；

（6）3(2)8，是负数，所以3(2)没有算术平方根。

解题后的思考：要判断一个数有没有算术平方根，要根据算术平方根的概念确定这个数是不是非负数，只有非负数才有算术平方根。

以上结论不要死记硬背，同学们要理解为什么负数没有算术平方根？

例2. 已知2(2)|3|40xyz，求,,xyz的值。

思路分析：考虑2(2)x、|3|y、4z都是非负数，根据非负数的性质，不难解决此题。

解答过程：2(2)|3|40xyz

又2(2)0,|3|0,40xyz

2(2)0,|3|0,40xyz

20,30,40xyz

解得2,3,4xyz。

解题后的思考：一个数的平方、绝对值、非负数的算术平方根都是非负数，如果几个非负数的和为零，那么这几个非负数都为零。这是解决这类问题的出发点。

小结：

1. 只有非负数才有算术平方根，并且只有一个；

2. 一个非负数的算术平方根是一个非负数。

知识点二：平方根的概念及其性质

例3. 求下列各数的平方根和算术平方根：

（1）3600； （2）11125； （3）0.0001； （4）2(7)。

思路分析：因为求一个非负数的平方根的运算与平方运算是互逆运算，所以可借助平方运算来求这些数的平方根和算术平方根。

解答过程：（1）因为2(60)3600，所以3600的平方根是60，即360060。

3600的算术平方根是60，即360060。 （2）因为113612525，2636()525，所以11125的平方根是65，即1161255。

11125的算术平方根是65，即1161255。

（3）因为2(0.01)0.0001，所以0.0001的平方根为0.01，即0.00010.01。

0.0001的算术平方根为0.01，即0.00010.01。

（4）因为2(7)49，2(7)49，所以2(7)的平方根为7，即2(7)7。

2(7)的算术平方根为7，即2(7)7。

解题后的思考：运用平方运算求一个非负数的平方根和算术平方根是常用的方法。如果被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可以先将小数化为分数，再求它的平方根和算术平方根；如果被开方数是带分数，要先将带分数化成假分数，再求它的平方根和算术平方根。

例4. 求下列各式中的x。

（1）2196x； （2）2(1)9x；

（3）21690x； （4）2(4)16x。

思路分析：把上面各式化成2xm的形式，求出m的平方根，就可以求出x的值。

解答过程：（1）因为2196x，所以14x；

（2）因为2(1)9x，所以13x，所以2x或4x；

（3）因为21690x，所以2169x，所以13x；

（4）因为2(4)16x，所以44x，所以1x。

解题后的思考：虽然目前我们并没有学习过一元二次方程的解法，但是我们可以利用平方根的定义求解一些简单的一元二次方程。

例5. 若一个正数a的两个平方根分别为1x和3x，求2008a的值。

思路分析：由平方根的性质知：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，因而可构造方程，求出x的值，而2)1x(a或2)3x(a，据此可求出a的值。

解答过程：因为一个正数的两个平方根互为相反数

所以(1)(3)0xx，解得2x。

从而22(1)(21)1ax（或)1)32()3x(a22

所以20081a。

解题后的思考：本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出a。这里用到了方程思想，它是初中阶段一种重要的数学思想。

例6. 若,,xym适合关系式353232005xymxymxy2005xy，试求m的值。

思路分析：从已知关系式看似乎无从下手，但关系式要成立先要有意义，此题从被开方数必须非负入手就能迎刃而解。

解答过程：由已知，得3530(1)230(2)20050(3)20050(4)xymxymxyxy 由（3）（4）式可知，2005xy

所以，原式即为353230xymxym

因为，3530230xymxym

所以，3530230xymxym

又因为，2005xy

所以，解得2008m。

解题后的思考：a的非负性包括两层含义：一是被开方数a必须非负，即0a；二是a的算术平方根必须非负，即0a。

小结：负数没有平方根；一个正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0

知识点三：平方根的估算

例7. 已知x为172的整数部分，1y是9的平方根，且||xyyx，求xy的值。

思路分析：此题涉及17的估值问题，由161725，即4175可解。还涉及y的取值的取舍问题，求出的y值要满足题目中的所有条件，既不能漏解，也不能多解。

解答过程：因为4175，所以21723，即2x

因为1y是9的平方根，所以13y，即4y或2y

又因为||xyyx，所以yx

所以2,4xy，故6xy。

解题后的思考：若m的整数部分为a，则其小数部分为ma。

小结：若一个非负数a介于另外两个非负数1212,()aaaa之间，即120aaa时，它的算术平方根也介于12,aa之间，即120aaa。利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围。

对一个数和式子进行估算是以后我们会经常遇到的问题。比如解不等式组、求函数定义域和值域、求集合的交集和并集等。

知识点四：立方根的概念及其性质

例8. 已知1x是8的立方根，求x。

思路分析：此题主要考查立方根的概念，但是用字母表示具体的数，涉及到代数。

解答过程：1x是8的立方根

3(1)8x

12x，3x

解题后的思考：利用立方根的概念解决抽象的代数问题。

小结：立方根与平方根的区别：

只有非负数才有平方根，0的平方根为0，正数的平方根有两个且互为相反数；

任何数均有立方根，并且有唯一的与其符号相同的立方根。

知识点五：平方根与立方根的综合运用

例9. （1）已知0.0010450.03230，则10.45__________；

（2）已知30.4980.7926，则37.926。

思路分析：一个正数扩大（或缩小）100倍，则它的算术平方根扩大（或缩小）10倍。