数学_2010年安徽省某校高三联考数学试卷(理科)(含答案)

2010年安徽省某校高三联考数学试卷（理科）

一、选择题：

1. 已知𝑎是实数，(𝑎−𝑖)(1−𝑖)𝑖是纯虚数，则𝑎的值为（ ）

A 1 B −1 C √2 D −√2

2. 函数𝑓(𝑥)=11+|𝑥|的图象大致是（ ）

A B C D

3. 设等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若2𝑎8=6+𝑎11，则𝑆9的值等于（ ）

A 54 B 45 C 36 D 27

4. 最小二乘法的原理是（ ）

A 使得∑[𝑛𝑖=1𝑦𝑖−(𝑎+𝑏𝑥)]最小 B 使得∑[𝑛𝑖=1𝑦𝑖−(𝑎+𝑏𝑥)2]最小 C 使得∑[𝑛𝑖𝑦𝑖2−(𝑎+𝑏𝑥)2]最小 D 使得∑[𝑛𝑖=1𝑦𝑖−(𝑎+𝑏𝑥)]2最小

5. 已知𝑎，𝑏，𝑙表示三条不同的直线，𝛼，𝛽，𝛾表示三个不同的平面，有下列四个命题：

①若𝛼∩𝛽=𝑎，𝛽∩𝛾=𝑏，且𝑎 // 𝑏，则𝛼 // 𝛾；

②若𝑎，𝑏相交，且都在𝛼、𝛽外，𝑎 // 𝛼，𝑎 // 𝛽，𝑏 // 𝛼，𝑏 // 𝛽，则𝛼 // 𝛽；

③若𝛼⊥𝛽，𝛼∩𝛽=𝑎，𝑏⊂𝛽，𝑎⊥𝑏，则𝑏⊥𝛼；

④若𝑎⊂𝛼，𝑏⊂𝛼，𝑙⊥𝑎，𝑙⊥𝑏，则𝑙⊥𝛼．

其中正确命题的序号是（ ）

A ①② B ②③ C ③④ D ①④

6. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）

A 𝑓(𝑥)=𝑥2 B 𝑓(𝑥)=|𝑥|𝑥 C 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑒−𝑥𝑒𝑥+𝑒−𝑥 D 𝑓(𝑥)=1+sin𝑥−cos𝑥1+sin𝑥+cos𝑥

7. 双曲线𝑥23−16𝑦2𝑝2=1(𝑝>0)的左焦点在抛物线𝑦2=2𝑝𝑥的准线上，则该双曲线的离心率为（ ）

A 43 B √3 C 2√33 D 4

8. “对任意的正整数𝑛，不等式𝑛lg𝑎<(𝑛+1)lg𝑎𝑎(𝑎>0)都成立”的一个充分不必要条件是（ ）

A 0<𝑎<1 B 0<𝑎<12 C 0<𝑎<2 D 0<𝑎<12或𝑎>1 9. 设𝑎∈{1, 2, 3, 4}，𝑏∈{2, 4, 8, 12}，则函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥−𝑏在区间[1, 2]上有零点的概率是（ ）

A 12 B 58 C 1116 D 34

10. 在四面体𝐴𝐵𝐶𝐷中，已知𝐷𝐴=𝐷𝐵=𝐷𝐶=1，且𝐷𝐴、𝐷𝐵、𝐷𝐶两两互相垂直，在该四面体表面上与点𝐴距离为2√33的点形成一条曲线，则这条曲线的长度是（ ）

A √33𝜋 B √3𝜋 C 5√36𝜋 D √32𝜋

二、填空题（25分）：

11. 在极坐标第中，圆𝜌=4上的点到直线𝜌(cos𝜃+√3sin𝜃)=6的距离的最大值是________．

12. 已知{𝑎𝑛}是等比数列，𝑎2=2，𝑎5=14，则𝑆𝑛=𝑎1+𝑎2+...+𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)的取值范围是________．

13. 设𝑝：关于𝑥的不等式𝑎𝑥>1的解集是{𝑥|𝑥<0}；𝑞：函数𝑦=lg(𝑎𝑥2−𝑥+𝑎)的定义域为𝑅．若𝑝∨𝑞是真命题，𝑝∧𝑞是假命题，则实数𝑎的取值范围是________．

14. 如图，在△𝑂𝐴𝐵中，点𝑃是线段𝑂𝐵及线段𝐴𝐵延长线所围成的阴影区域（含边界）的任意一点，且𝑂𝑃→=𝑥𝑂𝐴→+𝑦𝑂𝐵→则在直角坐标平面内，实数对(𝑥, 𝑦)所示的区域在直线𝑦=4的下侧部分的面积是________．

15. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑚sin𝑥+𝑛cos𝑥，且𝑓(𝜋4)是它的最大值，（其中𝑚、𝑛为常数且𝑚𝑛≠0）给出下列命题：

①𝑓(𝑥+𝜋4)是偶函数；

②函数𝑓(𝑥)的图象关于点(7𝜋4，0)对称；

③𝑓(−3𝜋4)是函数𝑓(𝑥)的最小值；

④记函数𝑓(𝑥)的图象在𝑦轴右侧与直线𝑦=𝑚2的交点按横坐标从小到大依次记为𝑃1，𝑃2，𝑃3，𝑃4，…，则|𝑃2𝑃4|=𝜋；

⑤𝑚𝑛=1．

其中真命题的是________（写出所有正确命题的编号）

三、解答题（共6小题，满分75分）

16. 在锐角△𝐴𝐵𝐶中，已知内角𝐴、𝐵、𝐶的对边分别为𝑎、𝑏、𝑐．向量𝑚→=(2sin(𝐴+𝐶)，√3)，𝑛→=(cos2𝐵,2cos2𝐵2−1)，且向量𝑚→、𝑛→共线．

(1)求角𝐵的大小；

(2)如果𝑏=1，求△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆△𝐴𝐵𝐶的最大值．

17. 某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：

信息技术 生物 化学 物理 数学

周一 14 14 14 14 12

周三 12 12 12 12 23

周五 13 13 13 13 23

根据上表：

（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；

（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为𝜉，求随机变量𝜉的分布列和数学期望．

18. 如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐴𝐵⊥𝐵𝐵1，𝐴𝐶＝𝐵𝐶＝𝐵𝐵1＝2，𝐷为𝐴𝐵的中点，且𝐶𝐷⊥𝐷𝐴1．

（1）求证：𝐵𝐵1⊥平面𝐴𝐵𝐶；

（2）求多面体𝐷𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的体积；

（3）求二面角𝐶−𝐷𝐴1−𝐶1的平面角的余弦值．

19. 已知数列{𝑎𝑛}满足：𝑎1=2𝑡，𝑡2−2𝑡𝑎𝑛−1+𝑎𝑛−1𝑎𝑛=0，𝑛=2，3，4，…，（其中𝑡为常数且𝑡≠0）．

（1）求证：数列{1𝑎𝑛−𝑡}为等差数列；

（2）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

（3）设𝑏𝑛=𝑎𝑛(𝑛+1)2，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛． 20. 如图，过圆𝑥2+𝑦2=4与𝑥的两个交点𝐴、𝐵，作圆的切线𝐴𝐶、𝐵𝐷，再过圆上任意一点𝐻作圆的切线，交𝐴𝐶、𝐵𝐷于𝐶、𝐷两点，设𝐴𝐷、𝐵𝐶的交点为𝑅．

（1）求动点𝑅的轨迹𝐸方程；

（2）过曲线𝐸的右焦点作直线𝑙交曲线𝐸于𝑀、𝑁两点，交𝑦轴于𝑃点，记𝑃𝑀→=𝜆1𝑀𝐹→，𝑃𝑁→=𝜆2𝑁𝐹→，求证：𝜆1+𝜆2为定值．

21. 设函数𝑓(𝑥)=𝑥2+2ln𝑥，用𝑓′(𝑥)表示𝑓(𝑥)的导函数，𝑔(𝑥)=(𝑥2−𝑚212)𝑓′(𝑥)，其中𝑚∈𝑅，且𝑚>0．

（1）求函数𝑓(𝑥)的单调区间；

（2）若对任意的𝑥1、𝑥2∈[13,1]都有𝑓′(𝑥1)≤𝑔′(𝑥2)成立，求𝑚实数的取值范围；

（3）试证明：对任意正数𝑎和正整数𝑛，不等式[𝑓′(𝑎)]𝑛−2𝑛−1𝑓′(𝑎𝑛)≥2𝑛(2𝑛−2)．

2010年安徽省某校高三联考数学试卷（理科）答案

1. B

2. C

3. A

4. D

5. B

6. C

7. C

8. B

9. C

10. D

11. 7

12. [4, 8)

13. (0, 12]∪[1, +∞)

14. 92

15. ①②③⑤

16. 解：(1)∵ 向量𝑚→、𝑛→共线，

∴ 2sin(𝐴+𝐶)(2cos2𝐵2−1)−√3cos2𝐵=0，

又𝐴+𝐶=𝜋−𝐵， ∴ 2sin𝐵cos𝐵−√3cos2𝐵=0即sin2𝐵=√3cos2𝐵，

∴ tan2𝐵=√3，

又锐角△𝐴𝐵𝐶，得到𝐵∈(0, 𝜋2)，

∴ 2𝐵∈(0, 𝜋)，

∴ 2𝐵=𝜋3，故𝐵=𝜋6；

(2)由(1)知：𝐵=𝜋6，且𝑏=1，

根据余弦定理𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵，

得：𝑎2+𝑐2−√3𝑎𝑐=1，

∴ 1+√3𝑎𝑐=𝑎2+𝑐2≥2𝑎𝑐，

即(2−√3)𝑎𝑐≤1，𝑎𝑐≤12−√3=2+√3，

∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵=14𝑎𝑐≤2+√34，

当且仅当𝑎=𝑐=√6+√22时取等号，

∴ △𝐴𝐵𝐶的面积最大值为2+√34．

17. 设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件𝐴，

则𝑃(𝐴)＝(1−12)(1−23)(1−23)=118(1−23)(1−23)=118，

由题意随机变量𝜉的可能值为0，1，2，3，4，5，

𝑃(𝜉＝0)=(1−12)4(1−23)=148，

𝑃(𝜉＝1)=𝐶41⋅12⋅(1−12)3⋅(1−23)+(1−12)4⋅23=18，

𝑃(𝜉＝2)=𝐶42(12)2(12)2(1−23)+𝐶41⋅12⋅(1−12)3⋅23=724，

𝑃(𝜉＝3)=𝐶43(12)3(1−12)⋅(1−23)+𝐶42(12)2⋅(1−12)2⋅23=13，

𝑃(𝜉＝4)=(12)4⋅(1−23)+𝐶43(12)3⋅(1−12)⋅23=316，

𝑃 (𝜉＝5)=(12)4⋅23=124，

所以随机变量的分布列为：

𝜉 0 1 2

3 4 5

𝑃 148 18 724 13 316 124

故𝐸𝜉=0×148+1×18+2×724+3×13+4×316+5×124=83．

18. 证明：