数学_2011年江西省某校高三联考数学试卷(理科)(含答案)

2011年江西省某校高三联考数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1. 函数𝑓(𝑥)=𝑥3−16𝑥的某个零点所在的一个区间是（ ）

A （一2，0） B （一1，1） C (0, 2) D (1, 3)

2. 经过圆(𝑥−1)2+(𝑦+1)2=2的圆心𝐶，且与直线2𝑥+𝑦=0垂直的直线方程是（ ）

A 2𝑥+𝑦−1=0 B 2𝑥+𝑦+𝑙=0 C 𝑥−2𝑦−3=0 D 𝑥−2𝑦+3=0

3. 在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑆𝑛是其前𝑛项和，若𝑎3+2𝑎7+𝑎11=60，则𝑆13等于（ ）

A 195 B 200 C 205 D 210

4. 学校准备从5名同学中安排3人分别担任亚运会3个不同项目比赛的志愿者，其中同学张某不能担任其中的射击比赛的志愿者，则不同的安排方法共有（ ）

A 60种 B 24种 C 48种 D 36种

5. 如果执行下边的算法框图，则输出的数等于（ ）

A 42 B 19 C 4 D 5

6. 已知𝑚，𝑛是两条不同的直线，𝛼，𝛽是两个不同的平面，下列4个命题中正确的个数为（ ）

①若𝑚 // 𝛼，𝑛⊂𝛼，则𝑚 // 𝑛

②若𝛼⊥𝛽，𝑚⊥𝛼，𝑛⊥𝛽，则𝑚⊥𝑛③若𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛽且𝑚⊥𝑛，则𝛼⊥𝛽

④若𝑚，𝑛是异面直线，𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛽，𝑚 // 𝛽，则𝑛 // 𝛼

A 1 B 2 C 3 D 4

7. 已知𝐹1，𝐹2是双曲线𝑥216−𝑦29=1的左、右焦点，𝑃是双曲线一点，且|𝑃𝐹2|=6，点𝑄(0, 𝑚)|𝑚|≥3，则𝑃𝑄→⋅(𝑃𝐹1→−𝑃𝐹2→)的值是（ ）

A 80 B 40 C 20 D 与𝑚的值有关

8. 已知可导函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑔(𝑥)，且满足：①𝑔(𝑥)−1𝑥−1>0；②𝑓(2−𝑥)−𝑓(𝑥)=2−2𝑥，记𝑎=𝑓(2)−1，𝑏=𝑓(𝜋)−𝜋+1，𝑐=𝑓(−1)+2，则𝑎，𝑏，𝑐的大小顺序为（ ）

A 𝑎>𝑏>𝑐 B 𝑎>𝑐>𝑏 C 𝑏>𝑐>𝑎 D 𝑏>𝑎>𝑐

9. 设𝑥，𝑦满足约束条件{3𝑥−𝑦−6≤0𝑥−𝑦+2≥0𝑥≥0,𝑦≥0则𝑥−2𝑦−1𝑦−2的取值范围是（ ）

A [−94，−12] B (−∞,−94]∪[−12,+∞) C (−94，−12) D (−∞,−94)∪(−12,+∞)

10. 设𝑃：𝑓(𝑥)=ln(2𝑥)+13𝑚𝑥3−32𝑥2+4𝑥+1在[16，6]内单调递增，𝑞：𝑚≥59，则𝑞是𝑝的（ ）

A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11. 𝑖是虚数单位，若−1+3𝑖1+2𝑖=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)，则𝑎−𝑏的值是________．

12. 已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如右图，若图中圆的半径为𝑙，等腰三角形的腰长为√5；，则该几何体的表面积是________．

13. 若一个数是4的倍数或这个数中含有数字4，我们则说这个数是“含4数”，例如20、34，将[0, 100]中所有“含4数”，按从小到大排成一个数列，那么这个数列中所有项的和为________．

14. 下列说法正确的题号为________．

①集合𝐴={𝑥|𝑥2−3𝑥−10≤0}，𝐵={𝑥|𝑎+1≤𝑥≤2𝑎−1}，若𝐵⊆𝐴，则−3≤𝑎≤3

②函数𝑦=𝑓(𝑥)与直线𝑥=𝑙的交点个数为0或𝑙

③函数𝑦=𝑓(2−𝑥)与函数𝑦=𝑓(𝑥−2)的图象关于直线𝑥=2对称

④𝑎∈(14，+∞)时，函数𝑦=lg(𝑥2+𝑥+𝑎)的值域为𝑅；

⑤与函数关于点(1, −1)对称的函数为𝑦=−𝑓(2−𝑥)．

15. (𝐴)在极坐标系中，曲线𝐶1:𝜌=2cos𝜃，曲线𝐶2:𝜃=𝜋4，若曲线𝐶1与𝐶2交于𝐴、𝐵两点，则线段𝐴𝐵=________．

(𝐵)若|𝑥−1|+𝑥−2||+|𝑥−3|≥𝑚恒成立，则𝑚的取值范围为________．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16. 已知函数𝑓(𝑥)=12sin2𝑥sin⌀+cos2𝑥cos⌀−12sin(𝜋2+⌀)(0<⌀<𝜋) 当𝑥=𝜋6时，函数𝑓(𝑥)取得最大值

（1）求⌀的值．

（2）在△𝐴𝐵𝐶中，𝑓(𝐴)=√34，𝐴∈(𝜋6，𝜋2)，角𝐴、𝐵、𝐶所对的边分别为𝑎、𝑏、𝑐，若𝑐=𝑙，△𝐴𝐵𝐶的面积为12，求边𝑎．

17. 庐山是我国四大名山之一，从石门涧可徒步攀登至山顶主景区，沿途风景秀丽，右图是从石门涧上山的旅游示意图，若游客在每一分支处选择哪一条路上山是等可能的（认定游客是始终沿上山路线，不往下走，例到𝐺后不会往𝐸方向走）．

(𝑙)茌游客已到达𝐴处的前提下，求经过点𝐹的概率；

(2)在旺季七月份，每天约有1200名游客需由石门涧登山，石门涧景区决定在𝐶、𝐹、𝐺处设售水点，若每位游客在到达𝐶、𝐹、𝐺处条件下买水的概率分别为12、23、45，则景区每天至少供应多少瓶水是合理的？

18. 在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，且∠𝐴𝐵𝐶=120∘，𝐴𝐵=1，侧棱𝑃𝐴与底面所成角为45∘，设𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑂，𝑀为𝑃𝐴 的中点，𝑂𝑀⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷．

（1）求证：𝐵𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐶；

（2）设𝐸是𝑃𝐵的中点，求三棱锥𝐸−𝑃𝐴𝐷的体积；

（3）求平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶所成锐二面角的余弦．

19. 已知数列{𝑎𝑛}与{𝑏𝑛}满足关系，𝑎1=2𝑎，𝑎𝑛+1=12(𝑎𝑛+𝑎2𝑎𝑛)，𝑏𝑛=𝑎𝑛+𝑎𝑎𝑛−𝑎(𝑛∈𝑁+, 𝑎>0)

(𝑙)求证：数列{log3𝑏𝑛}是等比数列；

(2)设𝑆𝑛是数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，当𝑛≥2时，𝑆𝑛与(𝑛+43)𝑎是否有确定的大小关系？若有，请加以证明，若没有，请说明理由．

20. 设函数𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥)−𝑎𝑥，𝑥∈(0, +∞)

（1）求𝑓(𝑥)的单调区间；

（2）求证：ln(1+𝑛)<1+12+13+⋯+1𝑛(𝑛∈𝑁+)；

（3）若|𝑚|≥2，试比较：ln(1+11×2)+ln(1+12×3)+⋯+ln[1+1𝑛×(𝑛+1)]+1𝑛+1(𝑛∈𝑁+)与𝑚2−3大小关系．

21. 已知𝐴、𝐵是圆𝑥2+𝑦2=4上满足条件𝑂𝐴→⊥𝑂𝐵→的两个点，其中𝑂是坐标原点，分别过𝐴、𝐵作𝑥轴的垂线段，交椭圆𝑥2+4𝑦2=4于𝐴1、𝐵1点，动点𝑃满足𝐴1𝑃→+2𝑃𝐵1→=0→

（1）求动点𝑃的轨迹方程

（2）设𝑆1和𝑆2分别表示△𝑃𝐴𝐵和△𝐵1𝐴1𝐴的面积，当点𝑃在𝑥轴的上方，点𝐴在𝑥轴的下方时，求𝑆1+𝑆2的最大值．

2011年江西省某校高三联考数学试卷（理科）答案

1. B

2. C 3. A 4. C

5. D

6. A

7. A

8. C

9. D

10. B

11. 0

12. (2+√5)𝜋

13. 1913

14. ②③

15. √2,𝑚≤2

16. 解：（1）𝑓(𝑥)=12sin2𝑥sin⌀+1+cos2𝑥2cos⌀−12cos⌀=12cos(2𝑥−⌀)(0<⌀<𝜋)

∴ 2×𝜋6−⌀=𝑘𝜋

∴ ⌀=𝜋3

（2）𝑓(𝐴)=12cos(2𝐴−𝜋3)=√34𝐴∈(𝜋6，𝜋2)

则2𝐴−𝜋3=𝜋6

所以𝐴=𝜋4

由𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑏𝑐sin𝐴=√2𝑏4=12得𝑏=√2

由余弦定理得𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴=1

所以𝑎=1

17. 至少要准备700瓶水才合适．

18. 解：（1）证明：∵ 𝑂𝑀是△𝐴𝑃𝐶的中位线，∴ 𝑂𝑀 // 𝑃𝐶，∵ 𝑂𝑀⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷，∵ 𝑃𝐶⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃𝐶⊥𝐵𝐷．

又底面𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，∴ 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷．而𝑂𝑀和𝐴𝐶是平面𝑃𝐴𝐶内的两条相交直线，∴ 𝐵𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐶．

（2）△𝐴𝐵𝐶中，有余弦定理求得𝐴𝐶=√3，∵ 侧棱𝑃𝐴与底面所成角为45∘，∴ 𝑃𝐶=√3，

三棱锥𝐸−𝑃𝐴𝐷的体积𝑉𝐸−𝑃𝐴𝐷=12𝑉𝐵−𝑃𝐴𝐷=12 𝑉𝑃−𝐵𝐴𝐷=12×13𝑆△𝐴𝐵𝐷⋅𝑃𝐶

=16(12×1×1⋅sin60∘)√3=18．

（3）∵ 𝑃𝐶⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷，作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，交 𝐴𝐷延长线于𝐹，则𝑃𝐹⊥𝐴𝐷．过点𝑃作𝐴𝐷的平行线𝑙，

则𝑙是平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶所成锐二面角的棱，且𝑙⊥𝑃𝐶，𝑙⊥𝑃𝐹，

故∠𝐶𝑃𝐹为平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶所成锐二面角的平面角．

𝐶𝐹=𝐷𝐶sin60∘=√32，𝑅𝑡△𝑃𝐶𝐹中，tan∠𝐶𝑃𝐹=𝐹𝐶𝑃𝐶=√32√3=12， ∴ cos∠𝐶𝑃𝐹=2√55．

19. 解：(𝑙)因为𝑏𝑛+1=𝑎𝑛+1+𝑎𝑎𝑛+1−𝑎=12(𝑎𝑛+𝑎2𝑎𝑛)+𝑎12(𝑎𝑛+𝑎2𝑎𝑛)−𝑎=(𝑎𝑛+𝑎𝑎𝑛−𝑎)2=𝑏𝑛2．

所以有log3𝑏𝑛+1log3𝑏𝑛=log3𝑏𝑛2log3𝑏𝑛=2，

又log3𝑏1=log33=1．

故数列{log3𝑏𝑛}是首项为1，公比为2的等比数列；

(2)由(𝑙)得log3𝑏𝑛=2𝑛−1，所以𝑏𝑛=32𝑛−1，

由𝑏𝑛=𝑎𝑛+𝑎𝑎𝑛−𝑎⇒𝑎𝑛=𝑎+2𝑎𝑏𝑛−1=𝑎+2𝑎32𝑛−1−1．

当𝑛≥2时，32𝑛−1−1=(1+2)2𝑛−1−1≥(1+2𝑛−1⋅2+𝐶2𝑛−12⋅22)−1=2𝑛+2𝑛−1(2𝑛−1−1)2⋅22=2𝑛+22𝑛−1−2𝑛=22𝑛−1．