初中分段函数及图像教案

２００８·０４

第二步，作函数在区间［ａ，ｂ］上的图像。在区间［ａ，ｂ］对应的线段ＰＱ上取点Ｍ，从而将点Ｍ限定在区间［ａ，ｂ］对应的线段上，度量其横坐标ｘＭ２，计算ｘＭ２，绘制点Ｍ（ｘＭ，ｘＭ２），同时选择点Ｍ、Ｍ′，点击“作图”中的“轨迹”，得到函数ｙ＝ｘ２在区间［ａ，ｂ］上的图像。３．制作函数的动态图像在区间［ａ，ｂ］的对应的线段ＰＱ上取点Ｒ，然后在线段ＰＲ上取点Ｍ，将点Ｍ限定在线段ＰＲ上，度量其横坐标ｘＭ２，计算ｘＭ２，绘制点Ｍ＇（ｘＭ，ｘＭ２），同时选择点Ｍ、Ｍ＇，点击“作图”菜单中的“轨迹”，得到函数ｙ＝ｘ２在线段ＰＲ对应的区间［ａ，ｃ］上的图像。拖动点Ｍ使之与Ｒ重合，然后隐藏点Ｍ，拖动点Ｒ，可以动态描绘函数ｙ＝ｘ２的图像（图１５）。图１５利用“几何画板”绘制函数的图像不仅如同使用直尺、三角板一样方便，而且所制作的图像比手工制作得更为精美、高效，还可以方便地控制暗示的信息量进行适时启发。如果我们能使学生学会把“几何画板”当作直尺、三角板一样使用，把“几何画板”当作“数学实验室”，用它来引导学生探索数学、发现数学规律，让学生获得“做数学”的亲身体验，对于提高其学习数学的兴趣和积极性，加深其对数学知识的理解，培养其实践能力、探索能力和创新精神的意义更大。［参考文献］［１］唐剑岚．“七巧板”与“勾股板”的简便制作原理、方法与运用［Ｊ］．中小学电教，２００７，（４）．［２］吴江媛．函数教学的好帮手———自制《几何画板》描点画图工具［Ｊ］．中学数学月刊，２００７，（２）．（作者单位：钦州学院数学与计算机科学系，广西钦州５３５０００）［特约编辑：咸彦平］教学研究用*几何画板+画分段函数图像的简单方法☆黎凤仁先来看例题：在《几何画板》中画出分段函数Ｆ（ｘ）＝ｆ１（ｘ），ｘ＜１ｆ２（ｘ），１＜ｘ＜２ｆ３（ｘ），ｘ＞"$#$%２的图像，其中ｆ１（ｘ）＝ｘ（ｘ＜１）、ｆ２（ｘ）＝ｘ２（１＜ｘ＜２）、ｆ３（ｘ）＝１ｘ（ｘ＞２）。对于此题，可以有两种方法画出其函数图像。分别介绍如下：方法一（复杂）：逐段画图像，再“拼”成一个分段函数图像。作法如下：第一步，打开《几何画板》，点击“编辑”→“参数选项”→“文本”→，在“所有新建的点”、“度量过的对象”前方框中勾选“√”。第二步，点击“图表”→“定义坐标系”建立直角坐标系；点击“图表”→“绘制点Ｐ”，在直角坐标系下输入点１、０，点击绘制得点Ａ（１，０），输入－１，０得点Ｂ（－１，０）；依次选中Ａ、Ｂ，按“作图”→“射线”作出射线ＡＢ。第三步，选中射线ＡＢ，按“作图”→“射线上的点”得射线ＡＢ上的点Ｃ；选中点Ｃ，右击弹出面板选中横坐标，得ｘＣ值。第四步，点出“图表”→“新建函数”，点击ｘ、确定，得函数ｆ（ｘ）＝ｘ。第五步，点“度量”→“计算”，再依次点击ｆ（ｘ）＝ｘ、ｘＣ，得到ｆ（ｘＣ）值。第六步，依次选中ｘＣ、ｆ（ｘＣ），再点击“图表”→“绘制（ｘ，ｙ）”绘制出点Ｄ。第七步，依次选中Ｃ、Ｄ，点击“作图”→“轨迹”，得ｆ１（ｘ）＝ｘ在ｘ＜１时的图像。重复前面步骤，同法可作ｆ２（ｘ）＝ｘ２（１＜ｘ＜２）、ｆ３（ｘ）＝１ｘ（ｘ＞２）的图像。２００８·０４

分段函数(整理)

什么是分段函数？

分段函数是指一个函数在定义域的不同区间上有不同的表达式或定义方式。通常，分段函数在定义域内被分成了多个不相交的区间，每个区间上有自己的表达式。

分段函数的定义形式

一般而言，分段函数可以用以下形式来表示：

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}

f_1(x), & if\ x \in D_1 \\

f_2(x), & if\ x \in D_2 \\

... \\

f_n(x), & if\ x \in D_n \\

\end{array}

\right. \]

其中，\(f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)\) 是每个区间上的函数表达式，而 \(D_1, D_2, ..., D_n\) 则是定义域的不相交区间。

分段函数的图像

由于分段函数在不同区间上拥有不同的表达式，因此其图像通常表现为多个不相交的线段、曲线或点的集合。

分段函数的应用

分段函数广泛应用于各个领域，例如经济学、数学、物理学等。它可以模拟和描述各种现实情况和实验结果。在经济学中，分段函数可以用于描述不同经济阶层的收入分配情况；在物理学中，分段函数可以用于描述物体在不同时期的运动状态。

分段函数的性质

分段函数具有以下性质：

1. 分段函数的图像是不连续的，因为不同区间上的表达式存在不连续点。

2. 分段函数在定义域的各个区间上具有不同的特性和性质，需要根据具体情况进行分析和讨论。

3. 分段函数的导数在不同区间上可能存在不连续点。

总结 分段函数是一种以不同表达式定义的函数，它在定义域内的不同区间上具有不同的特性和性质。分段函数在模拟和描述各种现实情况中起着重要的作用，并且在数学和其他学科中都有广泛的应用。

《分段函数》示范教案

整体设计

教学分析

本节教材通过两个实例分析了分段函数的概念及简单应用．分段函数能够考查学生的逻辑思维能力，所以有关分段函数问题是高考热点和重点，在新课标中也有明确说明．因此要重视本节的教学．

三维目标

掌握分段函数的含义及其简单应用，提高学生的逻辑思维能力和应用能力，树立应用意识．

重点难点

教学重点：分段函数的含义及应用．

教学难点：理解分段函数的含义．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.随着生活水平的提高，坐出租车的人越，费用为y元，请结合当地实际，判断y是否为x的函数？学生回答后，教师让学生书写其解析式，此时，点出课题．

思路2.在今后的学习中，会经常遇到一类函数，是高考的重点和热点，教师点出课题．

推进新课

新知探究

提出问题

已知变量x，y满足下列等式，y是x的函数吗？①|y|＝x；②y＝1，x1 >3，2，x≤2；③y＝x，x≥0，－x，x3，2，x≤2与函数y＝x，x≥0，－x，x

讨论结果：(1)根据函数的定义，仅有②和③中，y是x的函数．

(2)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，我们称这类函数为分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．

(3)函数y＝1，x>3，2，x≤2的定义域是(－∞，2]∪(3，＋∞)．

函数y＝x，x≥0，－x，x<0的定义域是(－∞，0)∪[0，＋∞)，即R.

由以上可见，分段函数的定义域是“每段”自变量取值范围的并集．

应用示例

思路1

例1已知一个函数y＝f(x)的定义域为区间[0,2]，当x∈[0,1]时，对应法则为y＝x，当x∈(1,2]时，对应法则为y＝2－x，试用解析法与图象法分别表示这个函数．

1，2]， 解：已知的函数用解析法可表示为y＝x，x∈[0，1]，2－x，x∈

分段函数教案

一、教学目标

1. 知识与技能：了解和理解分段函数的概念和性质，掌握绘制分段函数图像的方法。

2. 过程与方法：通过讲解、示例和练习，帮助学生从实际问题中抽象出分段函数，并正确绘制其图像。

3. 情感态度价值观：培养学生对数学思维的兴趣和探索精神，增进对分段函数在实际问题中应用的认识和理解。

二、教学重难点

1. 教学重点：分段函数的概念和性质，分段函数图像的绘制方法。

2. 教学难点：从实际问题中抽象分段函数，正确绘制分段函数图像。

三、教学过程

1. 导入新知识：通过一个实际问题引入分段函数的概念。例如：小明买东西总共花费了60元，如果货物单价小于等于10元，他要支付的运费是5元；如果货物单价大于10元，他要支付的运费是2元。那么买货物的单价x和小明支付的总费用y之间的关系可以用一个分段函数来表示。

2. 介绍分段函数的定义和表示方法。例如：一个分段函数可以写成f(x) = {x^2, x ≥ 0； 1/x, x < 0}。

3. 结合具体的实例，让学生通过思考和讨论，从实际问题中抽象出分段函数的定义和表示方法。例如：一个池塘里有鱼，如果鱼的数量小于等于50条，鸟儿每天吃10条鱼；如果鱼的数量大于50条，鸟儿每天吃20条鱼。那么鱼的数量x和鸟儿每天吃的鱼的数量y之间的关系可以用一个分段函数来表示。

4. 讲解分段函数图像的绘制方法。例如：对于一个分段函数f(x) = {2x + 1, x ≥ 0；-x + 1, x < 0}，可以先分别绘制两个子函数的图像，然后将两个子函数的图像连接起来，形成整个分段函数的图像。

5. 示例演练：给出一个分段函数的例子，让学生根据定义和绘图方法，绘制出该函数的图像。例如：f(x) = {2x + 1, x ≥ 0；-x

+ 1, x < 0}。

6. 课堂练习：让学生根据实际问题，抽象出分段函数，并正确绘制出该函数的图像。

7. 总结与拓展：对学生进行总结回顾，巩固已学知识。引导学生思考分段函数的应用领域，例如在经济学、物理学、生物学等领域中的实际问题。