山东省泰安市2017-2018学年高三上学期期末考试理数试题
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⼭东省泰安市2017-2018学年⾼三上学期期末考试理数试
题
⼭东省泰安市2018届⾼三年级考试
数学试题（理科）2018.1
第Ⅰ卷
⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，{3,4,5}M =，{2,3}N =，则集合()U C N M =（ ） A.{2}
B.{1,3}
C.{2,5}
D.{4,5}
2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，525S =，则8a =（ ） A.16
B.15
C.14
D.13
3.已知13
2a =，3
2log 3b =，121
log 3
c =，则（ ） A.a b c >> B.a c b >>
C.c a b >>
D.c b a >>
4.下列命题中正确的是（ ）
A.命题“[0,1]x ?∈，使2
10x -≥”的否定为“[0,1]x ?∈，都有2
10x -≤” B.若命题p 为假命题，命题q 为真命题，则()()p q ?∨?为假命题
C.命题“若a 与b 的夹⾓为锐⾓，则0a b ?>
”及它的逆命题均为真命题
D.命题“若2
0x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则2
0x x +≠” 5.有两条不同的直线m 、n 与两个不同的平⾯α、β，下列命题正确的是（ ） A.m α⊥，//n β，且//αβ，则m n ⊥
B.m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则//m n
C.//m α，m α⊥，且αβ⊥，则//m n
D.//m α，//n β，且//αβ，则//m n
6.设不等式组104x x y x y ≥??
-≤??+≤?表⽰的平⾯区域为M ，若直线2y kx =-上存在M 内的点，则实数k 的取值范围
是（ ）A.[2,5]
B.(,1][3,)-∞-?+∞
C.[1,3]
D.(,2][5,)-∞?+∞ 7.将函数sin 2y x =的图象向右平移(0)??>个单位长度，若所得图象过点1
(,)32
π，则?的最⼩值为（ ）
A.
12
π
B.
6
π C.
4
π D.
3
π 8. 某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（ ）
A ．
883π+ B ．1683π+ C.8163π+ D ．16
163
+π 9.函数cos ()sin x f x x x =-，33[,0)(0,]22
x ππ
∈-
的图象⼤致是（ ）
A. B. C. D. 10.已知函数21()()2
x
x f x e a e e aex b =
+--+，(,)a b R ∈（其中e 为⾃然对数底数）在1x =取得极⼤值，则a 的取值范围是（ ） A.0a <
B.0a ≥
C.0e a -≤<
D. a e <-
11.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b
-=>>，圆2C ：22
23204x y ax a +-+=，若双曲线1C 的⼀条渐近
线与圆2C 有两个不同的交点，则双曲线1C 的离⼼率的范围是（ ）
A.? ??
B.?
+∞
C.(1,2)
D.(2,)+∞
12.定义在1
[
,]ππ上的函数()f x ，满⾜1()()f x f x =，且当1
[,1]x π
∈时，()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在1
[,]ππ
上有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.ln ,0ππ??-
B.[]ln ,0ππ-
C.1ln ,e ππ??
-
D.1,2e π??
--
第Ⅱ卷
⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应的横线上.13.若抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10，则A 到x 轴的距离是_________. 14.已知1sin(
)cos 63π
αα--=，则cos(2)3
π
α+=_________. 15.如图所⽰，在平⾏四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂⾜为P ，且1AP =，则AP AC ?=_________.
16.观察下列各式：1a b +=，2
2
3a b +=，3
3
4a b +=，4
4
7a b +=，5
5
11a b +=，…，则11
11
a b +=_________.
三、解答题：解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17.已知向量(sin ,cos )a x x =
，(cos ,)b x x = ，函数()f x a b =?.
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC ?中，a ，b ，c 是⾓A ，B ，C 的对边，若()0f C =，02C π
<<，1c =，求ABC ?⾯积
的最⼤值.18.已知数列{}n a 满⾜24a =-，35a =-，若{3}n a n +为等⽐数列. （1）证明数列345,,n a a a a 为递增数列；
（2）求数列1123
{}n n n a a -+-的前n 项和为n S .
19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 是矩形，11AB B C ⊥，平⾯1A BC ⊥平⾯11AB C.
（1）求证：11AB A B ⊥；
（2）若113B C =，4AB =，160ABB ?∠=，求⼆⾯⾓1A AC B --的余弦值.20.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>
经过点(1,
，焦距为（1）求椭圆E 的标准⽅程；
（2）
直线:()l y m m R +∈与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交y 轴交于点M ，
若tan AMB ∠=-m 的值. 21. .已知函数()ln f x x =.
（1）求过点(0,1)P -的()f x 图象的切线⽅程； （2）若函数()()mg x f x mx x
=-+
存在两个极值点1x ，2x ，求m 的取值范围； （3）当1,12x ??∈
时，均有()(2)x f x x x e a <--+恒成⽴，求a 的取值范围. 22.选修4-4：坐标系与参数⽅程.
在平⾯直⾓坐标系xOy 中，圆C
的⽅程为22((2)4x y +-=，直线l的参数⽅程为13x t y ?=?
=+
（t
为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系. （1）求圆C 和直线l 的极坐标⽅程；
（2）若圆C 与直线l 交于P 、Q 两点，求||||OP OQ ?的值.
23.选修4-5：不等式选讲. 设函数1()||||f x x m x m
=++-
. （1）当1m =时，求()4f x ≤的解集； （2）证明：()2f x ≥.
⾼三数学试题（理）参考答案及评分标准
⼀、选择题1-5：DBCDA
6-10：ACACD
11、12：AB
⼆、填空题13.9
14.
79
15.2
16.199
三、解答题17.解：（1）由题意得：
2()sin cos f x x x x =，
1sin 221)2x x =+，
sin(2)3x π=- 令2222
3
2
k x k π
ππ
ππ-
+≤-
≤
+，k z ∈，
整理得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k z ∈， ∴函数()f x 的单调增区间为5
[,]1212
k k ππππ-++，k z ∈. （2）由题意得：
()sin(2)03f C C π=-=，
∴sin(2)3
C π-=
， ∵02C π
<<，
∴2
23
33
C π
π
π-
<-
<， ∴23
3
C π
π
-=
，∴3
C π
=
，由余弦定理可得：2212cos
3
a b ab ab π
+-==，
⼜22
ab a b ≤+，
∴1ab ≤，
故1sin 2ABC S ab c ?==≤
∴ABC ?
18.解：（1）设数列{3}n a n +公⽐为q ，则，
32334
2322
a q a +?=
==+?，
⼜216312
a a ++=
=， ∴132n n a n -+=， ∴123n n a n -=-. 当3n ≥时，
1123(1)23n n n n a a n n -+-=-+-+，
123410n -=-≥->，
∴1n n a a +>，
∴数列345,,n a a a a 为递增数列.
（2）由题意得：令111123n n n
n n n n n a a b a a a a -+++--==
111n n a a +=-， ∴12n n S b b b =++ ，
12231
111111
()()()n n a a a a a a +=-+-++- ， 11
11
n a a +=
-
， 11223(1)n n =---+，1231266
n n n n +--=---.
19. 证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11AB B C ⊥
AB BC ∴⊥
⼜ 四边形11BB C C 是矩形，1BC BB ∴⊥，1AB BB B ?=BC ∴⊥平⾯11AA B B
设1AB 与1A B 相交于点E ，1AC 与1AC 相交于点F ，连接EF 11AA B B 与11AAC C 均是平⾏四边形
//EF BC ∴，EF ⊥平⾯11AA B B
1EF AB ∴⊥，1EF A B ⊥
EF ∴⊥⾯11ABB A ，
1EF A B ∴⊥
⼜平⾯1A BC ⊥平⾯11AB C1A B ∴⊥⾯1ABC 11AB A B ∴⊥
（2）以E 为坐标原点，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系E xyz - 由（1）及题设可知，11AA B B 是菱形，160ABB ?∠= 14AB AB ∴==
∴(0,0,0)E ，(2,0,0)A
，1(0,A -，C
1(2,AA ∴=--
，(AC =-
设平⾯1AAC 的法向量(,,1)m x y =
00
m AA m AC ??=?∴??=??
