勾股定理与生活

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预习课程˙勾股定理

1. 勾股定理的内容：

如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么222abc．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

CABcba

2. 勾股定理的证明：

（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

22222142.ABCDSabcababc正方形 DCBA

（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

22222142.Scabababc正方形EFGH GFEH

（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

2()()112222ABCDababSabc梯形

222.abc

cbacbaEDCBA

3. 勾股定理的逆定理：

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即222,,ABCACBCABABC在中如果那么是直角三角形。 勾股定理

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预习课程˙勾股定理

4. 勾股数：

满足222abc的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

一、应用勾股定理求直角三角形的第三边

【例1】 （2013黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）

A5 B C D5或

【练一练】（2012广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ）

A. 365 B. 1225 C. 94 D. 334

勾股定理

一、知识归纳

1．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc

2．勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

3．勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

二、题型

题型一：直接考查勾股定理

例１. 在ABC中，90C

⑴已知6AC，8BC．求AB的长

⑵已知17AB，15AC，求BC的长

解：

题型二：应用勾股定理建立方程

例２.⑴在ABC中，90ACB，5ABcm，3BCcm，CDAB于D，CD＝

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为

⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为

BAC21EDCBAABCDE例３.如图ABC中，90C，12，1.5CD，2.5BD，求AC的长

例4.如图RtABC，90C3,4ACBC,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m

三、勾股定理的逆定理知识归纳

1. 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

2. 常用的平方数

112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．

2

证法 1】（课本的证明）

做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、 c 的正

方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 .

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等 . 即

证法 2】（邹元治证明）

∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠ BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.

∴ ∠HEF = 180 o― 90o= 90 o.

∴ 四边形 EFGH是一个边长为 c 的 正方形 . 它的面积等于 c2.

∵ Rt Δ GDH≌ Rt ΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,

∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180 o.

∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于

∠HEF = 90 o.

EFGH是一个边长为 b―a 的正方形，它的面积等于1 ab

以 a、 b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上， B、F、C三点在一条直线上， 把这四个直角三 C、G、D三点在一条直线上 b2 4 12 ab c2 4 1 ab

2 整理得 c2

1 4 ab 2 c2

a2 b2 c2

【证法 3】（赵爽证明）

以 a、 b 为直角边（ b>a）， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab

三角形的面积等于 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状

∵ Rt Δ DAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，

∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，

勾股定理与生活

勾股定理是数学中一个基本的定理，主要描述了在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理在生活中有非常广泛的应用：

1. 建筑和工程：在建筑和工程领域，勾股定理被用来确保结构的准确性和稳定性。例如，工人会用它来检查墙壁、地板是否垂直或水平，或者在测量电线杆、塔等的高度时。

2. 装修设计：在室内设计中，比如确定家具的位置，计算最佳视角等，都会用到勾股定理。

3. 体育运动：在篮球、足球、田径等运动中，运动员利用勾股定理来判断投篮角度、传球距离等。

4. 导航和地理：在地图制作和导航系统中，勾股定理用于计算两点之间的最短距离。

5. 电子设备：手机、电脑等电子设备的屏幕尺寸，往往通过勾股定理来计算对角线长度。

6. 日常生活：比如测量窗户、门的尺寸，计算梯子的安全角度等，都会用到勾股定理。

7. 交通：驾驶员在倒车入库时，可以通过勾股定理判断车尾与障碍物的距离。

这些都是勾股定理在我们日常生活中的实际应用，体现了数学的实用性和普遍性。