2008年高考数学考试试题分类汇编——数列

2008年高考数学考试试题分类汇编——数列

1 / 21 2008年高考数学试题分类汇编

数列

一． 选择题：

1.（全国一5）已知等差数列na满足244aa，3510aa，则它的前10项的和10S（ C ）

A．138 B．135 C．95 D．23

2.（上海卷14） 若数列{an}是首项为1，公比为a－32的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值是（B ）

A．1 B．2 C．12 D．54

3.（北京卷6）已知数列na对任意的*pqN，满足pqpqaaa，且26a，那么10a等于（ C ）

A．165 B．33 C．30 D．21

4.（四川卷7）已知等比数列na中21a，则其前3项的和3S的取值范围是(D )

（Ａ）,1 （Ｂ）,01,

（Ｃ）3, （Ｄ）,13,

5.（天津卷4）若等差数列{}na的前5项和525S，且23a，则7aB

（A）12 （B）13 （C）14 （D）15

6.（江西卷5）在数列{}na中，12a， 11ln(1)nnaan，则na A

A．2lnn B．2(1)lnnn C．2lnnn D．1lnnn

7.（陕西卷4）已知{}na是等差数列，124aa，7828aa，则该数列前10项和10S等于（ B ）

A．64 B．100 C．110 D．120

8.（福建卷3)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为C

A.63 B.64 C.127 D.128 2008年高考数学考试试题分类汇编——数列

2 / 21 9.（广东卷2）记等差数列{}na的前n项和为nS，若112a，420S，则6S（ D ）

A．16 B．24 C．36 D．48

10.（浙江卷6）已知na是等比数列，41252aa，，则13221nnaaaaaa=C

（A）16（n41） （B）16（n21）

（C）332（n41） （D）332（n21）

11.（海南卷4）设等比数列{}na的公比2q，前n项和为nS，则42Sa（ C ）

A. 2 B. 4 C. 152 D. 172

二． 填空题：

1.（四川卷16）设等差数列na的前n项和为nS，若4510,15SS，则4a的最大值为______4_____。

安徽卷（14）在数列{}na在中，542nan，212naaaanbn，*nN,其中,ab为常数，则limnnnnnabab的值是 1

2.（江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．262nn

3.（湖北卷14）已知函数()2xfx,等差数列{}xa的公差为2.若246810()4faaaaa,则212310log[()()()()]fafafafa .－6

4.（湖北卷15）观察下列等式：

2111,22niinn 2008年高考数学考试试题分类汇编——数列

3 / 21 2321111,326niinnn

34321111,424niinnn

454311111,52330niinnnn

5654211151,621212niinnnn

67653111111,722642niinnnnn

……………………………………

212112101,nkkkkkkkkkiiananananana

可以推测，当x≥2（*kN）时，1111,,12kkkaaak 12k

2ka .，0

5.（重庆卷14)设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .-72

三． 解答题：

1.（全国一22）．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）

设函数()lnfxxxx．数列na满足101a，1()nnafa．

（Ⅰ）证明：函数()fx在区间(01)，是增函数；

（Ⅱ）证明：11nnaa；

（Ⅲ）设1(1)ba，，整数11lnabkab≥．证明：1kab．

解析：

（Ⅰ）证明：()lnfxxxx，'ln,0,1'ln0fxxxfxx当时，

故函数fx在区间(0,1)上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，101a，11ln0aa， 2008年高考数学考试试题分类汇编——数列

4 / 21 211111()lnafaaaaa

由函数()fx在区间(01)，是增函数，且函数()fx在1x处连续，则()fx在区间(01]，是增函数，21111()ln1afaaaa，即121aa成立；

（ⅱ）假设当(*)xkkN时，11kkaa成立，即1101kkaaa≤

那么当1nk时，由()fx在区间(01]，是增函数，1101kkaaa≤得

1()()(1)kkfafaf.而1()nnafa，则121(),()kkkkafaafa，

121kkaa，也就是说当1nk时，11nnaa也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，11nnaa恒成立.

（Ⅲ）证明：由()lnfxxxx．1()nnafa可得

kkkkaababaln111lnkiiiabaa

1， 若存在某ik≤满足iab≤，则由⑵知：1kiabab≥0

2， 若对任意ik≤都有bai，则kkkkaababaln1

11lnkiiiabaa11lnkiiabab11()lnkiiababbkabaln11

bkabaln11)(11baba0，即1kab成立.

2.（全国二20）．（本小题满分12分）

设数列na的前n项和为nS．已知1aa，13nnnaS，*nN．

（Ⅰ）设3nnnbS，求数列nb的通项公式；

（Ⅱ）若1nnaa≥，*nN，求a的取值范围．

解：

（Ⅰ）依题意，113nnnnnSSaS，即123nnnSS，

由此得1132(3)nnnnSS． ······································································· 4分

因此，所求通项公式为

13(3)2nnnnbSa，*nN．① ······························································ 6分 2008年高考数学考试试题分类汇编——数列

5 / 21 （Ⅱ）由①知13(3)2nnnSa，*nN，

于是，当2n≥时，

1nnnaSS

1123(3)23(3)2nnnnaa

1223(3)2nna，

12143(3)2nnnnaaa

22321232nna，

当2n≥时，

21312302nnnaaa≥≥

9a≥．

又2113aaa．

综上，所求的a的取值范围是9，． ························································· 12分

3.（四川卷20）．（本小题满分12分）

设数列na的前n项和为nS，已知21nnnbabS

（Ⅰ）证明：当2b时，12nnan是等比数列；

（Ⅱ）求na的通项公式

【解】：由题意知12a，且

21nnnbabS

11121nnnbabS

两式相减得1121nnnnbaaba

即12nnnaba ①

（Ⅰ）当2b时，由①知122nnnaa

于是1122212nnnnnanan 2008年高考数学考试试题分类汇编——数列

6 / 21 122nnan

又111210na，所以12nnan是首项为1，公比为2的等比数列。

（Ⅱ）当2b时，由（Ⅰ）知1122nnnan，即112nnan

当2b时，由由①得

1111122222nnnnnababb

22nnbbab

122nnbab

因此11112222nnnnababb

212nbbb

得121122222nnnnabbnb

4.（天津卷20）（本小题满分12分）

在数列{}na中，11a，22a，且11(1)nnnaqaqa（2,0nq）．

（Ⅰ）设1nnnbaa（*nN），证明{}nb是等比数列；

（Ⅱ）求数列{}na的通项公式；

（Ⅲ）若3a是6a与9a的等差中项，求q的值，并证明：对任意的*nN，na是3na与6na的等差中项．

本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．

（Ⅰ）证明：由题设11(1)nnnaqaqa（2n），得

11()nnnnaaqaa，即1nnbqb，2n．

又1211baa，0q，所以{}nb是首项为1，公比为q的等比数列．

（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）