2018-2019学年人教A版高中数学必修一3.1.2用二分法求方程的近似解练习含解析

2019-2020学年高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解教案 新人教必修1

教学目标：

知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．

情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点：

重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

教学程序与环节设计：

创设情境

组织探究

探索发现

尝试练习

作业回馈

课外活动 由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．

二分法的意义、算法思想及方法步骤．

体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围．

二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题．

二分法应用于实际．

1． 二分法为什么可以逼近零点的再分析；

2． 追寻阿贝尔和伽罗瓦． 教学过程与操作设计：

环节 教学内容设计 师生双边互动

创

设

情

境 材料一：二分查找(binary-search)

（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（ ）个单元。

Ａ．1000 Ｂ．10 Ｃ．100 Ｄ．500

二分法检索（二分查找或折半查找）演示．

材料二：高次多项式方程公式解的探索史料

由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(xfy的零点（即0)(xf的根），对于)(xf为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．

在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．

1 3.1.2 用二分法求方程的近似解

一、用二分法求函数()fx零点近似值的步骤

通过上述问题的分析解答总结：在给定精确度，用二分法求函数()fx零点的近似值的步骤是：

1．确定区间[,]ab，验证()()0fafb，给定精确度；

2．求区间(,)ab的中点12abx；

3．计算1()fx：

（1）若1()fx=0，则1x就是函数的零点，计算终止；

（2）若1()()0fafx，则令1bx（此时零点01(,))xax；

（3）若1()()0fxfb，则令1ax（此时零点01(,))xxb。

4．判断是否达到精确度：即若ab，则得到零点近似值ab或；否则重复2~4。

由函数的零点与相应方程根的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解。由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算。

二、二分法的评注

1．用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不使用；

2．从引入函数零点的概念到函数零点的研究和求解，应用到由特殊到一般的转化思想，通过学习提高函数思想和数形结合的能力。

三、例题讲解

例1．借助计算器或计算机用二分法求方程237xx的近似解（精确到0.1）。

解：原方程即2370,()237xxxfxx令，用计算器或计算机作出函数()237xfxx的对应值表与图象：

x

0 1 2 3 4 5 6 7

237xyx -6 -2 3 10 21 40 75

142

观察右图和表格，可知(1)(2)0ff，说明在区间（1，2）内有零点0x。 y

取区间（1，2）的中点11.5x，用计算器可的得(1.5)0.33f。 o x

因为(1)(1.5)0ff，所以0(1,1.5)x，再取(1,1.5)的中点21.25x， 2 用计算器求得(1.25)0.87f，因此(1.25)(1.5)0ff，所以0(1.25,1.5)x。

2018-2019学年人教A版高中数学必修1练习含解析

1 第三章3.13.1.2

1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()

A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点

B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值

C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点

D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一

定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正

确，只有A正确．

答案：A

2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()

A．[－2,1] B．[－1,0]

C．[0,1] D．[1,2] 解析：∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，

f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．答案：A

3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

f(1.600 0)＝0.200f(1.587 5)＝0.133f(1.575 0)＝0.067

f(1.562 5)＝0.003f(1.556 2)＝－0.029f(1.550 0)＝－0.060

据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为()

A．1.55 B．1.56

C．1.57 D．1.58 解析：由参考数据知，f(1.562 5)＝0.003＞0，

f(1.556 2)＝－0.029＜0，即f(1.562 5)·f(1.556 2)＜0，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01为1.56)．

答案：B

4．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)＜0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中

点，则f(x0)＝________.

高中数学必修一用二分法求方程的近似解

知识梳理

一.零点存在性定理

如果函数xfy在一个区间ba,上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即0bfaf,则这个函数在这个区间上至少有一个零点,即存在bax,0使00xf.

1.变号零点与不变号零点

如果函数图像通过零点时穿过x轴,即函数xf在零点0x左右两侧的函数值异号,则称该零点为变号零点.如函数42)(xxf的零点2x是变号零点.如果函数图象通过零点时不穿过x轴,即函数xf在零点0x左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数xf的不变号零点.如函数2)(xxf的零点0x是不变号零点.

2.已知函数xf在区间ba,上的图象是一条连续的曲线,若0bfaf，则xf在区间ba,内有零点，反之不成立.

二.二分法的定义

对于区间ba,上连续不断且0bfaf的函数xfy,通过不断地把函数xf的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

三.用二分法求函数xfy零点近似值的步骤：

1.确定区间ba,，验证0bfaf，给定精确度.

2.求区间ba,的中点c.

3.计算cf:

⑴若0cf,则c就是函数的零点;

⑵若0cfaf,则令cb(此时零点cax,0);

⑶若0bfcf,则令ca(此时零点bcx,0);

4.判断是否达到精确度,即若ba,则得到零点的近似值)(ba或（区间内的每一个数都可作为零点近似值）,否则重复⑵~⑷,直到ba为止.

典例解析

题型一:二分法的概念

例1.下列选项所示函数中,不能用二分法求零点的是( )

规律方法:

判断一个函数能否用二分法求零点的依据是:函数在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.