专题03 导数与应用-2014年高考数学试题分项版解析(解析版)

专题3 导数与应用

1. 【2014高考安徽卷文第15题】若直线l与曲线C满足下列两个条件：

)(i直线l在点00,yxP处与曲线C相切；)(ii曲线C在P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.

下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)

①直线0:yl在点0,0P处“切过”曲线C：3yx

②直线1:xl在点0,1P处“切过”曲线C：2)1(xy

③直线xyl:在点0,0P处“切过”曲线C：xysin

④直线xyl:在点0,0P处“切过”曲线C：xytan

⑤直线1:xyl在点0,1P处“切过”曲线C：xyln

3. 【2014高考湖南卷文第9题】若1201xx，则（ ）

A.2121lnlnxxeexx B.2121lnlnxxeexx

C.1221xxxexe D.1221xxxexe

①②解得1,2,ab所以3ab．

【考点】导数与切线斜率．

5. 【2014高考江西卷文第10题】在同意直角坐标系中，函数22322()2ayaxxyaxaxxaaR与的图像不可能的是（ ）

6. 【2014高考江西卷文第11题】若曲线Pxxy上点ln处的切线平行于直线Pyx则点,012的坐标是_______.

【答案】(,)ee

【解析】

试题分析：因为ln1yx，设切点(,)ab，则ln12,,kaae又ln,baae(,).Pee

考点：利用导数求切点

7. 【2014高考辽宁卷文第12题】当[2,1]x时，不等式32430axxx恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．[5,3] B．9[6,]8 C．[6,2] D．[4,3]

【答案】C

【解析】

试题分析：不等式32430axxx变形为3243axxx．当0x时，03，故实数a的取值8. 【2014高考全国1卷文第12题】已知函数32()31fxaxx，若()fx存在唯一的零点0x，且00x，则a的取值范围是（ ）

2, （B）1, （C）,2 （D）,1

9. 【2014高考全国2卷文第11题】若函数fxkxInx在区间1,单调递增，则k的取值范围是（ ）

（A）,2 （B）,1 （C）2, （D）1, 10. 【2014高考上海卷文第9题】设,0,()1,0,xaxfxxxx若(0)f是()fx的最小值，则a的取值范围是

. 12. 【2014高考北京卷文第20题】已知函数3()23fxxx.

（1）求()fx在区间[2,1]上的最大值；

（2）若过点(1,)Pt存在3条直线与曲线()yfx相切，求t的取值范围；

（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)ABC分别存在几条直线与曲线()yfx相切？（只需写出结论）

【答案】(1)2;(2) (3,1);(3)详见解析.

【解析】试题分析：（1）求导数，导数等于0求出x，再代入原函数解析式，最后比较大小，即可；（2）设切点，由相切得出切线方程，然后列表并讨论求出结果;(3)由（2）容易得出结果. 同零点”， '()gx21212xx=12(1)xx，

()gx与'()gx的情况如下：

x (,0) 0 (0,1) 1 (1,)

'()gx + 0  0 +

()gx t+3 1t

所以，(0)3gt是()gx的极大值，(1)1gt是()gx的极小值，

当(0)30gt，即3t时，此时()gx在区间(,1]和(1,)上分别至多有1个零点，所以

()gx至多有2个零点，

当(1)10gt，1t时，此时()gx在区间(,0)和[0,)上分别至多有1个零点，所以

()gx至多有2个零点.

当(0)0g且(1)0g，即31t时，因为(1)70gt，(2)110gt，

所以()gx分别为区间[1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点，由于()gx在区间(,0)和(1,)上单调，所以()gx分别在区间(,0)和[1,)上恰有1个零点.

综上可知，当过点(1,)Pt存在3条直线与曲线()yfx相切时，t的取值范围是(3,1). 13. 【2014高考大纲卷文第21题】函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围. 考点：1.函数的导数；2.导数性质的应用.

14. 【2014高考福建卷文第22题】已知函数()xfxeax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线()yfx在点A处的切线斜率为1.

（1）求a的值及函数()fx的极值；

（2）证明：当0x时，2xxe

（3）证明：对任意给定的正数e，总存在0x，使得当0(,)xx时，恒有xxce

（3）思路一：对任意给定的正数c，取01xc，

根据2xxe.得到当0xx时，21xexxc.

思路二：令1(0)kkc，转化得到只需lnlnxxk成立.

分01k，1k，应用导数研究()lnlnhxxxk的单调性.

思路三：就①1c，②01c，加以讨论.

试题解析：解法一：

②若01c，

令()xhxcex，则'()1xhxce，

令'()0hx得1lnxc.

当1lnxc时，'()0hx，()hx单调递增.

取022lnxc，

22ln0222()2ln2(ln)chxceccc，

易知22ln0cc，又()hx在0(,)x内单调递增，

所以当0(,)xx时，恒有0()()0hxhx，即xxce.

综上，对任意给定的正数c，总存在0x，当0(,)xx时，恒有xxce.

考点：导数的计算及导数的应用，全称量词与存在量词，转化与化归思想，分类讨论思想.

15. 【2014高考广东卷文第21题】已知函数32113fxxxaxaR.

（1）求函数fx的单调区间；

（2）当0a时，试讨论是否存在0110,,122x，使得012fxf.

（2）3232000011111111233222fxfxxaxa

323200011113222xxax

20000001111113224222xxxxxax

20000111236122xxxxa

200011414712122xxxa，

若存在0110,,122x，使得012fxf， 【考点定位】本题以三次函数为考查形式，考查利用导数求函数的单调区间，从中渗透了利用分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题，并考查了利用作差法求解不等式的问题，综合性强，属于难题.

16. 【2014高考湖北卷文第21题】为圆周率，71828.2e为自然对数的底数.

（1）求函数xxxfln)(的单调区间；

（2）求3e，e3，e，e，3，3这6个数中的最大数与最小数；

（3）将3e，e3，e，e，3，3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

【答案】（1）单调增区间为),0(e，单调减区间为),(e；（2）最大数为3，最小数为e3；（3）e3，3e，e，e，3，3.

【解析】

试题分析：（1）先求函数)(xf的定义域，用导数法求函数)(xf的单调区间；（2）利用（1）的结论结合函

17. 【2014高考湖南卷文第21题】已知函数()cossin1(0)fxxxxx.

（1）求()fx的单调区间；

（2）记ix为()fx的从小到大的第(*)iiN个零点，证明：对一切*nN，有2221211123nxxx.

【答案】(1) 单调递减区间为2,21*kkkN,

单调递增区间为21,22*kkkN.(2)详见解析

【解析】

试题分析:(1)对函数fx求导得到导函数'0fxx,求'fx大于0和小于0的解集得到单调减区间和单调增区间,但是必须注意正余弦的周期性和原函数的定义域0,.

的,故11nnxn,因此,

当1n时,2211423x;

当2n时,222121112413xx;

当3n时,

22222221231111111+4121nxxxxn222221231111111+51221nxxxxnn

2222212311111111+51221nxxxxnn221162613n,

综上所述,对一切的*nN,2221211123nxxx.

【考点定位】导数 单调性 放缩法 裂项求和

18. 【2014高考江苏第19题】已知函数()xxfxee，其中e是自然对数的底数.

（1）证明：()fx是R上的偶函数；

（2）若关于x的不等式()1xmfxem在(0,)上恒成立，求实数m的取值范围；

（3）已知正数a满足：存在0(1,)x，使得3000()(3)fxaxx成立，试比较1ae与1ea的大小，并证明你的结论.