第三章平稳时间序列分析

第三章平稳时间序列分析

t P

p t t

t t t x B x x B x Bx

x ===---M

221第3章 平稳时间序列分析

一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。 3.1 方法性工具 3.1.1 差分运算

一、p 阶差分

记t x ?为t x 的1阶差分：1--=?t t t x x x

记t x 2?为t x 的2阶差分：2112

2---+-=?-?=?t t t t t t x x x x x x

以此类推：记t p x ?为t x 的p 阶差分：111---?-?=?t p t p t p

x x x 二、k 步差分

记t k x ?为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=?

3.1.2 延迟算子 一、定义

延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。记B 为延迟算子，有

延迟算子的性质：

1.10

=B

2.若c 为任一常数，有1)()(-?=?=?t t t x c x B c x c B

3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B

4.n t t n x x B -=

5.)!

(!!

,)1()1(0

i n i n C B C B i n

i

i n

n

i i

n

-=

-=-∑=其中

二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分

t p t p x B x )1(-=? 2、k 步差分

t k k t t t k x B x x x )1(-=-=?-

3.2 ARMA 模型的性质 3.2.1 AR 模型

定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型，简记为AR(p):

t

s Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p t

p t p t t t πΛ?=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,02

22110εεεσεεφεφφφφε (3.4)

AR(p)模型有三个限制条件：

条件一：0≠p φ。这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。

条件二：t s E Var E t s t t ≠===,0)(,)(,0)(2

εεσεεε。这个限制条件实际上是要求随机干扰序列}{t ε为零均值白噪声

序列。

条件三：t s Ex t s π?=,0ε。这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。 通常把AR(p)模型简记为：

t p t p t t t x x x x εφφφφ+++++=---Λ22110 (3.5) 当00=φ时，自回归模型式(3.4)又称为中心化AR(p)模型。非中心化AR(p)序列可以通过下面变化中心化AR(p)系列。

令

μφφφφμ-=----= t t p

x y ,1210

Λ

则{t y }为{t x }的中心化序列。 AR(p)模型又可以记为：

t t x B ε=Φ)(，其中p p B B B B φφφ----=ΦΛ2211)(称为p 阶自回归系数多项式 二、AR 模型平稳性判断

P45【例3.1】 考察如下四个AR 模型的平稳性：

t t t x x ε+=-18.0)1( t t t x x ε+-=-11.1)2( t t t t x x x ε+-=--215.0)3( t t t t x x x ε++=--215.0)4( 拟合这四个序列的序列值，并会绘制时序图，发现(1)(3)模型平稳，(2)(4)模型非平稳

1、特征根判别

任一个中心化AR(p)模型t t x B ε=Φ)(都可以视为一个非齐次线性差分方程。 t p t p t t t x x x x εφφφφ=-+------Λ22110

则其齐次线性方程0)(=Φt x B 的特征方程为：02211=------p p

p p x x x φφφΛ

设p λλλ,,,21Λ为齐次线性方程0)1()(221=----=Φt p p t x B B B

x B φφφΛ的p 个特征根。所以 AR(p)模型平稳的充要条件是它的p

个特征根p λλλ,,,21Λ都在单位圆内。 同时等价于：AR 模型的自回归系数多项式的根，即0)(=Φu 的根，都在单位圆外。

证明：设p λλλ,,,21Λ为齐次线性方程0)(=Φt x B 的p 个特征根，任取)2,1(,p i i Λ∈λ，带入特征方程： 02211=------p p i p i p i

φλφλφλΛ

把i

i u λ1

=

带入0)(=ΦB 中，有

0][1

1

1

1 1)(2

21

12

2

1

=----=

----=Φ--p p i

p i p i p

i

p

i

p

i

i

i u φλφλφλλλφλφλφΛΛ

根据这个性质，)(B Φ可以因子分解成：∏=-=

Φp

i i

B B 1

)1()(λ，

于是可以得到非其次线性方程t t x B ε=Φ)(的一个特解：t p

i i i

p

i i

t

t

t B

k B B x ελλεε∑

∏==-=-=

Φ= 11

1)

1()

(

2、平稳域判别

使得特征方程022110=-+------p t p t t t x x x x φφφφΛ的所有特征根都在单位圆内的系数集合 }|,,,{21特征根都在单位圆内p φφφΛ

被称为AR(p)模型的平稳域。

(1)AR(1)模型的平稳域

AR(1)模型为：t t t x x εφ+=-1，其特征方程为：0=-φλ，特征根为：φλ=。则AR （1）模型平稳的充要条件是1

AR(2)模型为：t t t t x x x εφφ++=--2211。其特征方程为：0212

=--φλφλ，特征根为：

2

4,2

42

21122

2111φφφλφφφλ-+=

++=

。则AR （2）模型平稳的充要条件是：1121<

{1

212

21φλλφλ

λ=+=?1

1,21<

因此可以导出：

1

)1)(1(1)31)1)(1(1)21 )12121211221212121212<++-=---=-<---=++-=+<=λλλλλλφφλλλλλλφφλλφ 所以 AR(2)模型的平稳域：

}1,1|,{21221<±

【例3.1续】 分别用特征根判别法和平稳域判别法检验如下四个AR 模型的平稳性： t t t x x ε+=-18.0)1( t t t x x ε+-=-11.1)2( t t t t

x x x ε+-=--215.0)3( t t t t x x x ε++=--215.0)4( 其中),0(~}{2εδεWN

t

三、平稳AR 模型的统计性质 1、均值

假如AR(p)满足了平稳性条件，于是

)(22110t p t p t t t x x x E Ex εφφφφ+++++=---Λ (3.12) 由平稳序列均值为常数的性质得：)(T t Ex t ∈?=μ，因为),0(~}{2εδεWN t ，所以 (3.12)等价于 μφφφ=----)1(21p Λp

φφφφμ----=?Λ210

1

特别对于中心化AR(p)模型有0=t Ex 。

2、方差

(1)Green 函数。设p λλλ,,,21Λ为平稳AR(p)模型的特征根，则平稳AR(p)模型可以写成：

∑∑∑∑∑∑∞

=-∞==-=∞=====-=Φ=0

01101?)(1)(j j

t j j p i j t j i i p i j t j

i i t p

i i i t

t G k B k B k B x εελελελε (3.13)

其中∑===

p

i j

i

i j j k G 1 ),2,1(Λλ

，系数），

Λ2,1(=j G j 称为Green 函数。 记j

p

i j

B

G ∑==

1

G(B)，则(3.13)简记为：t G (B)ε=t x (3.14)

再将(3.14)带入AR(p)模型t t x B ε=Φ)(中，得到

t B εε=Φt G (B))( Green 函数的递推公式为：

Λ,2,1,1

1

0='==∑=-j G G G j

k k j k

j φ

其中{,,0='≤>k

p

k p

k k φφ

1) 8.01=λ

8.0=φ

平稳 2) 1.11-=λ

1.1-=φ

非平稳 3) 2

1,2121i

i -=+=

λλ 5.1,5.0,5.012212-=-=+=φφφφφ

平稳 4)

2