数学归纳法证明不等式

一个数列不等式的数学归纳法证明

廖建华(湖南株州市八中

右关数列与不等式的综合题是近年介舒

地预考、

全国统考的热门题、

压阵题.

这关

题逐常是用数学归纳法说明。

但是,

由:二

无时的归纳假设推导:

一沁卜1

时的结沦成立的

这一过程,

其技三卜

丫不强,

难有陈规可袭,

稍有不镇,

则难以_:

句目的。

下而是一道流传甚广的习题。

本文以此

为例若;

炎谈由归织3法假设推导n=无+1

时

绪沦呢立这一月一

呢的儿种重要方法及变形技

巧。

娜肠:

设有正数列{a,

}满足:

嵘成。一k+Ik+1/

奸+`

气在了万乏一

花厄

不孤而仪矛左月一

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十4左十3

一。,二,,

试证明:。,

、

典(:二2,

3,

泥十乙1

k+3.

所以”`

k、1

时结论成立。

配凑法是数学归纳去证题的一种极为重

要的方法因为我们对于:=

k十1时要推出

的结论很清楚,

故往往事先凑上一个所需要

的式子,

再去转证该式与原表达式的某种乡

系式。

方法二:

分段放缩法

前面说了,

通常的直接放缩是难以达到

目的的.

我们可根据a、

的取值情况分段考虑

4,

…)。

自计(。。一。。*,

可得。二*:

蕊a。一

吐,

但

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、

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故

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第二步由:二k时的假设a、

攫

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一几一

、

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一镇

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,

通常脚放缩法是无能为力的虽然有

、毛

击,

但一

:异1

(k+2)2’故砂一

嵘一a

t=a:

(1一a*

)。

z、一1`

1、

1

得

甄,

`

南(’一

南)一

南,

无论(1),

(2)都有二、,

、

击,

故

二k+1

时结论成立。

方法三:

利用函数的单调性,

机值性

并不能简时放大,

不能达到目的。

下而旋重点谈谈这步推导的各种重要技考虑二次函数;一二

(;一

x)

一(二一

粤、二

乙

巧,读者可从中略窥

方法一:

配凑法

口、:一,

毛a。一

时=一斑。

无+1

(k+2)21

一又一一二{一口k少

数学归纳法例题讲解

1

墨庄教育专用 数学归纳法模块

例1．用数学归纳法证明：

1212121751531311nnnn．

请读者分析下面的证法：

证明：①n=1时，左边31311，右边31121，左边=右边，等式成立．

②假设n=k时，等式成立，即：

1212121751531311kkkk．

那么当n=k+1时，有：

3212112121751531311kkkk

3211211211217151513131121kkkk

322221321121kkk

1121321kkkk

这就是说，当n=k+1时，等式亦成立．

由①、②可知，对一切自然数n等式成立．

评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．

正确方法是：当n=k+1时．

3212112121751531311kkkk

3212112kkkk 数学归纳法例题讲解

2

墨庄教育专用 数学归纳法模块 321211232121322kkkkkkkk

1121321kkkk

这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，

例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：

a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)

都成立，并证明你的结论．

数学归纳法在证明不等式中的应用

一、数学归纳法概析

随着近几年考试命题对于考查学生的探索和归纳问题的能力的侧重，很多的考试题目开始广泛出现了利用数学归纳法进行不等式证明的应用.所谓数学归纳法，是用来证明和自然数有关系的命题的一种特殊技巧和方法，主要用来探讨与正整数有关的一系列数学问题，在高考试题和数学联赛试题中应用非常频繁和广泛.数学归纳法的历史非常悠久，早在1575年就出现了数学家巧妙地利用递推关系证明出了前n个奇数的总和为n2，以此成功地总结出了数学归纳法的证明.数学归纳法总结起来有四种，分别是第一类数学归纳法、第二类数学归纳法、倒退归纳法（反向归纳法）以及螺旋式归纳法.最常见并且最简单的数学归纳法是用来证明当n隶属于全部的正整数时一个数学表达式是否成立，主要由两个步骤组成：进行递推的基础条件是证明当n为1时所要证明的数学表达式成立，进行递推的依据是证明假如n为正整数m时数学表达式成立，那么当n为m+1时数学表达式同样成立.此方法包含的原理是由第一步的递推基础证明起始数值在数学表达式中能够成立，然后证明从一个数值到另一个数值的证明过程是有效的，那么任意一个数值的证明都可以包括在这种不断重复的证明过程中.将这种方法类比于多米诺效应理解起来更容易：对于一排直立着的很长的多米诺骨牌，如果可以确定第一张牌将会倒下，只要是某一个牌倒下了，与它相

邻的下一个牌也会倒下，那么就可以以此确定出相应的递推关系来推断所有的多米诺骨牌都会倒下.

二、数学归纳法证明不等式之应用

1.数学归纳法证明不等式的方法

利用数学归纳法来证明不等式的方法可以分为两个步骤：第一步是验证当n取第一个初始数值n0时所要证明的不等式成立，第二步是对于任意的正整数k，假设当n的值等于k时不等式能够成立，以此来证明当n为k+1时所要证明的不等式是否成立.如果第一步和第二步都能够顺利证明完成，那么可以得出结论，即对于所有大于或等于n0的正整数n不等式成立.运用数学归纳法来证明不等式的方法中的这两个步骤体现了数学中的递推思想，对于证明格式要求比较严格，第一个步骤是递推思想应用的基础，第二个步骤是递推思想应用的依据.而且第二个步骤的变形是不等式证明的关键点，需要运用假设方法来作为递推证明的基础.利用数学归纳法证明不等式涉及的主要知识点有整除、恒等式、不等式和与几何教学相关的知识内容.数学归纳法来证明不等式的难点重点在于由n等于k时不等式成立来推出n等于k+1时不等式同样成立这一步骤.为了顺利完成这一步的推断，不仅仅要合理使用假设和归纳的方法，还要灵活地使用所给问题的其他相关条件和知识，证明时先比较n=k和n=k+1这两个等式间的共同点和差异，然后决定后者做哪一种变形，再利用分析、放缩、比较、综合的方法和不等式的传递

数列、极限、数学归纳法·用数学归纳法证明不等式

教学目标

1．牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程．

2．通过事例，学生掌握运用数学归纳法证明不等式的思想方法．

3．培养学生的逻辑思维能力，运算能力，和分析问题、解决问题的能力．

教学重点与难点

重点：巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路．

难点：应用数学归纳法证明的不同方法的选择及解题技巧．

教学过程设计

（一）复习回顾

师：上次课我们已经学习了数学归纳法以及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们联想“多米诺骨牌”游戏，说出数学归纳法的步骤？

生：数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．

师：演示小黑板或运用投影仪讲评作业．

（讲评作业的目的是从错误中进一步强调恰当地运用归纳假设是数学归纳法的关键）

作业中用数学归纳法证明：

2+4+6+8+…+2n=n（n+1）．

如采用下面的证法，对吗？

证明：（1）当n=1时，左=2，右=2，则等式成立．

（2）假设n=k时（k∈N，k≥1），等式成立，即 2+4+6+…+2k=k（k+1）．

当n=k+1时，

2+4+6+…+2k+（k+1）

所以n=k+1时，等式也成立．

根据（1）（2）可知，对于任意自然数n，原等式都能成立．

生甲：证明过程正确．

生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，没有应用归纳假设．

师：从形式上看此种证明方法是数学归纳法，但实质在要证明n=k+1正确时，未用到归纳假设，直接采用等差数列求和公式，违背了数学归纳法的本质特点递推性，所以不能称之为数学归纳法．因此告诫我们在运用数学归纳法证明时，不能机械套用两个步骤，在证明n=k+1命题成立时，一定要利用归纳假设．