云南省2020届高三第二次模拟考试 数学(理)试题(含答案)

·1· 云南2020届高三第二次模拟考试

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）

1. 已知集合)2lg(xyxA，集合4241xxB，则BA=（ ）

A．2xx B．22xx C．22xx D．2xx

2. 若复数)(122Raiia是纯虚数，则ia22在复平面内对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 定义运算）（）（babbaaba，则函数xxf21)(的图象大致为（ ）

A． B． C． D．

4. 抛物线方程为xy42，一直线与抛物线交于BA、两点，其弦AB的中点坐标为（1,1），则直线的方程为（ ）

A．012yx B．012yx

C．012yx D．012yx

5. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）

A．2550100,,777 B．252550,,1477 C．100200400,,777 D．50100200,,777 ·2· 6. 若p是q的充分不必要条件，则p是q的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31，

则①处应填的数字为（ ）

A．3 B．4

C．5 D．6

8. 已知yx,满足100xyxyx，则32yx的取值范围为（

）

A．3[,4]2 B．(1]，2

C．(,0][2)， D．(,1)[2)，

9. 已知点(30),(03)AB，，，若点P在曲线21xy上运动，则PAB△面积的最小值为（ ）

A．6 B．22329 C．3 D．22329

10．已知双曲线2222:100xyabab，的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线的左、右两支分别交于AB，两点，延长BF交右支于C点，若AFFB，3CFFB，则双曲线的离心率是（ ）

A．173 B．32 C．53 D．102

11. 已知)172(log22xxy的值域为),[m,当正数ba,满足mbaba2132时,则ba47的最小值为（ ）

A．49 B．5 C．4225 D．9

12. 已知函数)()(Rxexxfx,若关于x的方程01)(mxf恰好有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ） ·3· A．），（122ee B．），（ee220 C．），（111e D．)1221(ee，

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）

13. 522xx的展开式中4x的系数为______.

14. 在平行四边形ABCD中，2AB，1AD,则ACBDuuuvuuuv的值为_____.

15. 在直三棱柱111ABCABC内有一个与其各面都相切的1O，同时在三棱柱111ABCABC外有一个外接球2O.若ABBC,3AB，4BC,则球2O的表面积为______.

16. 在数列}{na中，11a，nnana21，则数列}{na的通项公式na______.

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每

道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

17.（本小题满分12分）已知函数)(,212cossin23)(2Rxxxxf

(1) 当],0[x时，求函数的值域；

(2) ABC△的角CBA,,的对边分别为cba,,且 ,1)(,3Cfc求AB边上的高h的

最大值.

18.（本小题满分12分）如图，三棱锥ABCP中，

3PCPBPA,BCACCBCA,2

(1) 证明：ABCPAB面面；

(2) 求二面角BPAC的余弦值．

·4·

19.（本小题满分12分）治疗某种慢性病的创新药研发成了当务之急．某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A的研发费用x（百万元）和销量y（万盒）的统计数据如下：

研发费用x（百万元）

2

3

6

10

13

15

18

21

销量y（万盒） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6

（1）求y与x的相关系数r精确到0.01，并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r时，可用线性回归方程模型拟合）；

（2）该药企准备生产药品A的三类不同的剂型1A，2A，3A，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A，2A，3A合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A，2A，3A合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A，2A，3A三类剂型合格的种类数为X，求X的数学期望．

附：（1）相关系数1222211niiinniiiixynxyrxnxyny

（2）81347iiixy，8211308iix，82193iiy，178542.25．

20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆)0(12222babyax的左右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，离心率NMe,,22是直线caxl2:上的两个动点，且满足021NFMF.

(1) 若5221NFMF，求ba,的值；

(2) 证明：当MN取最小值时，NFMF21与21FF共线．

·5·

21.（本小题满分12分）设函数）），（（其中0,1)1()(2-xkxeexfx，且函数)(xf在2x处的切线与直线0)2(2yxe平行.

(1) 求k的值；

(2) 若函数xxxgln)(，求证：)()(xgxf恒成立.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.

22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

已知直线l的参数方程：12xtyt（t为参数）和圆C的极坐标方程：2sin

（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）已知点1,3M，直线l与圆C相交于A、B两点，求MAMB的值.

23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

已知函数bxaxxf)(，（其中0,0ba）

(1) 求函数)(xf的最小值M.

(2) 若Mc2，求证：abccaabcc22.

数学（理科）参考答案 ·6· 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答

案

C

B

A A D B C D C D A

D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.40 14. -3 15. 29

16.

)(1)(为偶数为奇数nnnn

三、解答题（本大题共6个小题，共70分）

17.（本小题满分12分）

解：(1)21cos2121sin23)(xxxf=)6sin(x

x0

676x 1)6sin(21x

函数的值域为]1,21[(6分)

(2) 1)6sin()(CCf

26C 3C

2123cos22abbaC ababba2322 3ab

CabhSsin2132134323323

23h h的最大值为23(12分)

18.（本小题满分12分）

解：(1)取AB中点O，连结PO，OC.

∵PA＝PB，∴PO⊥AB，

∵PB=AP＝3 ·7· ∴PO＝2，CO＝1

∴∠POC为直角

∴PO⊥0C

∴PO⊥平面ABC，∴面PAB⊥面ABC（6分）

(2)如图所示，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1,0,0)，P(0,0，2)，C(0,1,0)，可取m＝OC→＝(0,1,0)为平面PAB的一个法向量．

设平面PAC的一个法向量为n＝(l，m，n)．

则PA→·n＝0，AC→·n＝0，其中PA→＝(1,0，－2)，AC→＝(－1,1,0)，

∴ l－2n＝0，－l＋m＝0.∴ n＝22l，m＝l.

不妨取l＝2，则n＝(2，2，1)．

cos〈m，n〉＝m·n|m||n|

＝0×2＋1×2＋0×102＋12＋02·22＋22＋12＝105.

∵C－PA－B为锐二面角，

∴二面角C－PA－B的余弦值为105.（12分）

19.（本小题满分12分）

【详解】

解：（1）由题意可知2361021131518118xr，

1122.563.53.54.538yur，

由公式3478113830.983402121785r，

0.980.75rQ，∴y与x的关系可用线性回归模型拟合；

（2）药品A的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为