第18章平行四边形习题集

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第十八章平行四边形及特殊的平行四边形

第一节 平行四边形的有关概念及性质

方法:利用平行四边形的性质进行计算的方法

平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角或边的重要依据。利用平行四边形的性质，可以求角的度数、线段的长度。

例题

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=10cm，AD=8cm，ACBC，求BC，CD，AC，OA的长以及ABCD的面积.

解析：四边形ABCD是平行四边形，

8BCADcm，10CDABcm.

ACBC，90ACB.

22221086()ACABBCcm

又OAOC，13()2OAACcm.

28648()ABCDSBCACcm

方法:平行线间距离的应用方法

“等面积法”是数学中重要的解题方法，在三角形和四边形中，以不同的边为底，其高也不相同，但面积是定值，从而可以得到不同底上的高的关系。若以相同的边为底，其高都为平行线间的距离，面积仍是定值。

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例题

正方形ABCD与正方形CEFG的位置如图所示，点G在线段CD或CD的延长线上，分别连接BD、BF、FD、得到BFD.

（1）在图○1○3中，若正方形CEFG的边长分别为1、3、4，且正方形ABCD的边长均为3，请通过计算填写下表：

（2）若正方形CEFG的边长为a，正方形ABCD的边长为b,猜想BFDS的大小，并结合图○3证明你的猜想.

解析：（1）

（2）猜想：212BFDSb.

证明：如图，连接CF，由正方形性质可知45DBCFCE，//BDCF，

BFD与BCD在BD边上的高相等，

21.2BFDBCDSSb

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方法:平行四边形的判定方法

根据平行四边形的性质可知，利用平行四边形的性质是证明边角相等的有效途径之一，因此，解题时往往先判定一个四边形是平行四边形，然后再利用性质解决问题，至于使用哪种判定方法应依题目条件灵活确定。

例题：

如图所示，点M、N分别在ABCD的边BC、AD上，且,BMDNMEBD，NFBD，垂足分别为E、F.试说明MN与EF互相平分.

解析：连接EN，MF，如图

四边形ABCD是平行四边形，

//BCAD，12.

MEBD,NFBD.

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//MENF,90MEBNFD.

在BME和DNF中，

1=2MEBNFDBMDN，

BMEDNF

MENF，//MENF且MENF,

四边形EMFN是平行四边形，

MN与EF互相平分.

方法:平行四边形与全等相结合在解题中的应用方法

利用平行四边形的性质，我们可以证明线段平行或线段相等，所以在中考题目中常与全等三角形或等腰三角形的知识相结合。

例题

如图，已知ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，60EFB，DC=EF.

（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；

（2）若BF=EF，求证：AE=AD.

证明 （1）ABC是等边三角形，60B.

60EFB,BEFB,EFDC‖.

又DCEF，四边形EFCD是平行四边形.

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(2)证法一：如图，连接BE.

BEEF，60EFB

EFB是等边三角形.

EBEF,60EBF

DCEF,EBDC.

ABC是等边三角形，60ACB，AB=AC.

EBFACB.AEBADC.AEAD

证法二：如图，ABC是等边三角形，

60ACBBAC，ABAC

过点D做DGAB‖，交AC于点G，

60DGCBAC

60GDC

GDC是等边三角形.

DCEF,BFEF

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DGEF,BFCG.AFAG.

60EFBDGC,AFEAGD.

AFEAGD,AEAD

方法：利用平行四边形的性质证明角相等

如图所示，在ABCD中，2ABBC，E为DC的中点，AE与BC的延长线相交于点F.证明：FFAB.

证明：∵在ABCD中，AB∥CD,AB=CD

AD∥BC,AD=BC, ∴∠F=∠DAF, ∵2ABBC, E为DC的中点∴ED=AD, ∴∠DAE=∠DEA, ∵∠DEA=∠FEC, ∠FEC= ∠FAE,

∴FFAB.

方法：与平行四边形的判定有关的动态问题

已知如图在梯形ABCD中，AD BC ,AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到点D即停止，点Q自点 向 以2cm/s的速度运动，到 点B停止，直线 PQ 截梯形为两个四边形，问当 P ,Q 同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形。

解：设 同时出发t秒四边形PDCQ 或四边形APQB 是平行四边形，由已知得 AP=t,PD=24-t,CQ=2t, BQ=30-2t,

(1) 若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ,24-t=2t,解得t=8,

∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形

(2) 若四边形APQB 是平行四边形，则AP=BQ, t=30-t, ∴t=10,

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∴10秒后四边形APQB 是平行四边形

出发8秒或10秒后其中一个四边形是平行四边形。

第二节 矩形

方法:矩形有关性质的应用方法

矩形的性质是求角度，线段的长度等问题常用的知识，可以用来验证两条线段是否相等、两条直线是否平行、两角是否相等。

例题

如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．求证：OP=OQ．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PDO=∠QBO，

∵O为BD中点，

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∴OB=OD，

∵在△PDO和△QBO中

PDOQBOOBODPODBOQ＝＝＝

∴△PDO≌△BQO（ASA），

∴OP=OQ．

方法：矩形的判定方法

矩形判定方法的使用：在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件即为矩形；在四边形的基础上，有三个角是直角（第四个角必是直角）则可判定为矩形。

题型：

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，求证：四边形ADCE为矩形。

答案：

证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

∴∠MAE=∠CAE，

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∴1180902DAEDACCAE，

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC=∠CEA=90°，

∴四边形ADCE为矩形．

方法：关于矩形中的折叠问题

如图：将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，求证：EF=DF.

证明：∵△ABC和△AEC关于折痕AC对称，

∴△ABC≌△AEC∴AE=AB, ∠B=∠E,

在矩形ABCD中，AB=CD, ∠B=∠BCD=90°

∴AE=CD, ∠E=∠D=90°

∵∠1=∠2∴△AEF ≌△CDF(AAS)

∴EF=DF.

第三节 菱形

方法：菱形有关性质的应用方法

题型：

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如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE=AF．求证：BE=BF．

解析：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，∠A=∠C，

∵在△ABF和△CBE中，

AFCEACABCB＝＝＝

∴△ABF≌△CBE（SAS），

∴BF=BE．

方法：菱形面积的计算方法

题型

如图：已知菱形ABCD的周长=24，一条对角线AC的长=8，求菱形的面积，

解：∵菱形的周长=24，∴AB=6，又∵AC=8，∴OA=4，∵AC⊥BD

∴OB²=AB²-OA²=20，∴OB=25∴BD=45

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∴菱形ABCD的面积=21AC.BD=165

方法:菱形的判定方法

题型：

如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．

若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．

答案：

解析：∵,,AEBCAFCDABCADF

∴BAGDAH

∵AG=AH

∴AHGAGH

∴AHGHAGAGHHAG

∴AGBAHD

又∵AG=AH

△ABG≌△ADH

∴AB=AD

∴平行四边形ABCD为菱形

方法：运用菱形的对称性解决问题

如图：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点 E为 AB 的中点，点 F是 AC上一个动点，若AB =6，试求 EF+BF的最小值。