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第一章 多元正态分布的参数估计
一、填空题
1.设X、Y为两个随机向量，对一切的u、v，有 ，则称X与Y相互独立。
2.多元分析处理的数据一般都属于 数据。
3．多元正态向量pXXX,,1的协方差阵是 ，则X的各分量是相互独立的随机变量。
4．一个p元函数pxxxf,,,21能作为pR中某个随机向量的密度函数的主要条件是
和 。
5．若p个随机变量1X，2X，，pX的联合分布等于 ，则称1X，2X，，pX是相互独立的。
6.多元正态分布的任何边缘分布为 。
7.若,~pNX，A为ps阶常数阵，d为s维常数向量，则~dAX 。
8.多元正态向量X的任何一个分量子集的分布称为X的 。
9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。
10.多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。
11.多元正态总体均值向量和协差阵的估计量X、Sn11具有 、
和 。
12．设X和S分别是多元正态总体,pN的样本均值向量和离差阵，则
~X ，X和S 。
13.若,~pNX，n,,2,1且相互独立，则样本离差阵nXXXXS1~ 。
14．若,~ipinWS，ki,,1，且相互独立，则~21kSSSS 。
思考与练习
2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。
2.2 设随机向量12(,)XX′=X服从二元正态分布，写出其联合分布密度
函数和1X、2X各自的边缘密度函数。
2.3 已知随机向量12(,)XX′=X的联合分布密度函数为：
()()()()()()()
()()121122222,dcxabaxcxaxcfxxbadc−−+−−−−−2⎡⎤⎣⎦=−−
其中，。求： 12,axbcxd≤≤≤≤
⑴ 随机变量1X和2X各自的边缘密度函数、均值与方差。
⑵ 随机变量1X和2X的协方差和相关系数。
⑶ 判断1X和2X是否相互独立。
2.4 设随机向量12(,,,)pXXX′=XL服从正态分布，已知其协差阵
为对角阵，证明Σ
X的分量是相互独立的随机变量。
2.5 从某企业全部职工中随机抽取一个容量为6的样本，该样本中各职工的目前工资、受教育年限、初始工资和工作经验资料如下表所示：
职工编号 目前工资
（美元） 受教育年限
（年） 初始工资
（美元） 工作经验
（月）
1 1
2
3
4
5
6 57,000
40,200
21,450
21,900
45,000
28,350 15
16
12
8
15 8 27,000
18,750
12,000
13,200
21,000
12,000 144
36
381
190
138
26
设职工总体的以上变量服从多元正态分布，根据样本资料求出均值向量和协
差阵的最大似然估计。
2.6 均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？
2.7 试证多元正态总体的样本均值向量(,)pNμΣ1~(,pNnXμΣ)。
2.8 试证多元正态总体的样本协差阵S为(,)pNμΣΣ的无偏估计。
2.9 设()1x、()2x、…、()nx是从多元正态总体中独立抽取的一
个随机样本，试求样本协差阵的分布。 (,)pNμΣ
S
2.10 设()iiXnp×是来自(),piiNμΣ的数据阵，1,,ik=L，
精心整理
第一章多元分析概述
第一节引言
多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法。近30年来，随着计算机应用技术的发展和科研生产的迫切需要，多元统计分析技术被广泛地应用于地质、气象、水文、医学、工业、农业和经济等许多领域，已经成为解决实际问题的有效方法。然而，随着Internet的日益普及，各行各业都开始采用计算机及相应的信息技术进行管理和决策，这使得各企事业单位生成、收集、存储和处理数据的能力大大提高，数据量与日俱增，大量复杂信息层出不穷。在信息爆炸的今天，人们已经意识到数据最值钱的时代已经到来。
显然，大量信息在给人们带来方便的同时也带来一系列问题。比如：信息量过大，超过了人们掌握、消化的能力；一些信息真伪难辩，从而给信息的正确应用带来困难；信息组织形式的不一致性导致难以对信息进行有效统一处理等等，这种变化使传统的数据库技术和数据处理手段已经不能满足要求.Internet的迅猛发展也使得网络上的各种资源信息异常丰富，在其中进行信息的查找真如大海捞针。这样又给多元统计分析理论的发展和方法的应用提出了新的挑战。
多元统计分析起源于上世纪初，1928年Wishart发表论文《多元正态总体样本协差阵的精确分布》，可以说是多元分析的开端。20世纪30年代R.A.Fisher、H.Hotelling、、许宝騄等人作了一系列得奠基性工作，使多元分析在理论上得到了迅速得发展。20世纪40年代在心理、教育、生物等方面有不少得应用，但由于计算量大，使其发展受到影响，甚至停滞了相当长得时间。20世纪50年代中期，随着电子计算机得出现和发展，使多元分析方法在地质、气象、医学、社会学等方面得到广泛得应用。20世纪60年代通过应用和实践又完善和发展了理论，由于新的理论、精心整理
新的方法不断涌现又促使它的应用范围更加扩大。20世纪70年代初期在我国才受到各个领域的极大关注，并在多元统计分析的理论研究和应用上也取得了很多显着成绩，有些研究工作已达到国际水平，并已形成一支科技队伍，活跃在各条战线上。
连续变量正态分布检验
对连续变量的正态性进行检验可以使用多种方法，以下是一些常见的方法：
1. 直方图或密度图检验：首先可以画出数据的频数分布直方图或概率密度图，通过观察图形来判断数据是否呈现正态分布形态。
2. 正态概率图检验：通过做出正态概率图，将数据的实际分位数和正态分布的理论分位数进行比较，如果点呈现近似直线分布，则表明数据近似正态分布。
3. KS检验：KS检验是常用的分布拟合检验方法之一，可以通过将数据与正态分布进行比较，计算KS统计量，判断数据是否符合正态分布假设。
4. Shapiro-Wilk检验：Shapiro-Wilk检验也是一种常用的正态性检验方法，该方法对于样本量较小的数据具有更好的鲁棒性，可以在显著性水平上进行检验，以此来判断数据是否符合正态分布。
需要注意的是，上述方法并非绝对准确，其结果也受样本量和数据分布等因素的影响。在实际应用中，需要结合多种方法来综合判断数据是否符合正态分布假设。
