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计算方法 Gauss 消去法ch05a r

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高斯消去法和列主元高斯消去法解线性方程组的程序(C语言)精品资料

高斯消去法和列主元高斯消去法解线性方程组的程序(C语言)精品资料
高斯消去法和列主元高斯消去法解线性方程组的程序(C语言)
//Gauss消去法解线性方程组
//参考教材《计算方法教程》第二版，西安交通大学出版社
#include<stdio.h>
int main(void)
{
float A[7][7]={{3,-5,6,4,-2,-3,8},
{1,1,-9,15,1,-9 ,2},
for(k=0;k<size-1;k++)
{
max=fabs(A[k][k]);
col=k;
//查找最大元素所在的行
for(i=k;i<size;i++)
{
if(max<fabs(A[i][k]))
{
max=fabs(A[i][k]);
col=i;
}
}
printf("col:%d\n",col);
for(j=k;j<size;j++)
printf("\n\n");
//消去过程
for(k=0;k<size-1;k++)
{
if(!A[k][k])
return -1;
for(i=k+1;i<size;i++)
{
Aik=A[i][k]/A[k][k];
for(j=k;j<size;j++)
{
A[i][j]=A[i][j]-Aik*A[k][j];
{
A[i][j]=A[i][j]-Aik*A[k][j];
}
b[i]=b[i]-Aik*b[k];
}

数值分析Gauss消去法课件

数值分析Gauss消去法课件

高斯消元法的代码实现
初始化矩阵
将系数矩阵A进行初始化，并存储在二维数 组中。
消元过程
通过一系列行变换，将系数矩阵变为上三角 矩阵。
主元选择
选择主元，即系数矩阵中所在行和列的最大 元素。
回带求解
利用上三角矩阵的元素，求解线性方程组的 解。
选主元的优化策略
1 2
自然主元
选择系数矩阵中绝对值最大的元素作为主元。
病态问题
对于一些病态问题，高斯 消元法可能无法得到准确 解，需要采用其他方法进 行求解。
01
Gauss消去法的应 用实例
应用领域与案例介绍
线性方程组求解
01
Gauss消去法是求解线性方程组的一种常用方法，适用于大ห้องสมุดไป่ตู้模
、稀疏矩阵的求解。
矩阵求逆
02
通过Gauss消去法可以计算矩阵的逆，这在许多科学计算和工程
最小二乘主元
选择使所在行和列的绝对值之和最小的元素作为 主元。
3
随机主元
随机选择一个元素作为主元，可以避免某些数值 问题。
数值稳定性与误差控制
01
02
03
数值稳定性
高斯消元法在某些情况下 可能产生数值不稳定性， 如主元接近零或数值误差 累积。
误差控制
在消元过程中，可以通过 一些技巧来控制误差，如 预处理、选主元策略和舍 入误差控制。
领域中都有应用。
特征值和特征向量计算
03
Gauss消去法可以用于计算矩阵的特征值和特征向量，这在物理
、工程和经济学等领域有广泛的应用。
实际应用中的问题与挑战
数值稳定性
Gauss消去法在处理病态问题或 接近奇异矩阵时可能会出现数值 不稳定性，导致计算结果误差较 大。

研究生数值分析第四版第二章2.1Gauss消去法

研究生数值分析第四版第二章2.1Gauss消去法

2.1 Gauss消去法
一 、三角形方程组的解法 1.下三角形方程组 2.上三角形方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a22 x2 a2n xn b2 ann xn bn
b1 a11 x1 a x a x b2 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
a11(1) (1) a21 (1) ( A b) a31 an1(1)
a11(1) 0 0 0
a12
(1)
a13
(1)


a1n1(1)来自a1n(1)b1
a22 a32 an 2
(1) ( 2) ( 2)
第二章 线性方程组的解法
2.1 Gauss消去法
2.2 直接三角分解法 2.3 矩阵的条件数与病态方程组 2.4 迭代法
第二章 线性方程组的解法
2.1 Gauss消去法
一 、三角形方程组的解法 二、Gauss消去法
2.1 Gauss消去法
一 、三角形方程组的解法 1.下三角形方程组 2.上三角形方程组
求解线性方程组的方法可分为两大类： 直接法和迭代法 直接法（精确法）：指在没有舍入误差的情况下经过 有限次运算就能得到精确解。 迭代法（逐次逼近法）：从一个初始向量出发，按照一 定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是 所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。 Cramer（克莱姆）法则是直接方法中的一种，根据 此法则，方程组（2.1）的解为
前代法
x1 b1 / a11
xi (bi aij x j ) / aii ,

(完整word版)Gauss消去法Matlab

(完整word版)Gauss消去法Matlab

实验一 用列主元Gauss 消去法求解线性方程组实验目的会使用Matlab 语言编程使用列主元Gauss 消去法求解线性方程组.实验原理1、 列主元Gauss 消去法记线性方程组1112111212222212n n n n nn n n a a a x b a a a x b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 为Ax=b, 其中A ＝111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，x=12n x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭， b=12n b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 记其增广矩阵为()(1)(1)(1)1111(1)(1)(1)(1)(1)2122(1)(1)(1)1n nn nnn a a b aa b Ab a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

设主元(1)11a 0≠，记(1)11(1)11(2,3,,)i i a l i n a =-=，用1i l 乘增广矩阵()(1)(1)A b 的第1行，再分别与第i 行相加,得()(1)(1)(1)(1)111211(1)(1)(2)(2)(2)2222(2)(2)(2)2b 00n nn nnn a a a a a b Ab a a b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中(2)(1)(1)1,ij ij i ij a a l a =+ i ，j=2，3,，n(2)(1)(1)11,i i i b b l b =+ i=2,3，，n又设主元(2)(2)i222i2(2)22a 0,l =-a a≠用乘矩阵()(2)(2)A b 的第二行,再与第i 行相加（i=3，4,,n ），得()(1)(1)(1)(1)(1)1112131n 1(2)(2)(2)(2)22232n 2(3)(3)(3)(3)(3)333n3(3)(3)(3)n3nnn b 0b Ab =0b 00b a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 经过n-1步消去后,增广矩阵最终变为()=)()( n n b A实验程序function x=gaussc(A ，b ） [n,m ］=size(A); A=[A ，b]; for k=1:n —1for p=k+1:nif abs(A （p ，k))>abs(A(k ，k ）) for j=k ：n+1 t=A(k,j ）;A （k,j)=A(p,j ）； A(p,j)=t; end endend %搜索主元并交换 for i=k+1：nl=-A(i ，k ）/A(k,k)； for j=k+1:n+1A （i,j ）=A(i ，j ）+l*A(k,j); end endend ％消去过程结束 x(n)=A （n,n+1)/A （n ，n); for i=n —1：-1:1 s=0；for j=i+1：ns=s+A （i,j)＊x(j ）; endx （i)=（A （i,n+1）-s ）/A （i,i); end实验结果设A=［2,5；4,6］，b=[3；4］，求解线形方程组Ax=b.实验步骤：1） 先在matlab 里输入上面的程序；2） 然后输入A=[2，5；4,6］ b=［3；4]3）再输入x=gaussc(A,b）命令即得出结果.由以上程序可求解得到x=（ 0.2500 0。

Gauss消去法

Gauss消去法

一、实验题目用顺序Gauss 消去法和列主元Gauss 消去法解线性方程组：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⨯-2178.4617.5911212592.112113.6291.51314.59103.0432115x x x x 二、 实验目的 1．掌握顺序Gauss 消去法和列主元Gauss 消去法的基本思路和迭代步骤；2．培养编程与上机调试能力。

三、实验原理1. 顺序Gauss 消去法的原理:（1).消元计算（k=1,2，….，n-1）()()(1)()()(1)()()/,1,...,,,,1,...,,,1,...,.k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k m a a i k n a a m a i j k n b b m b i k n ++==+=-=+=-=+(2).回带公式()()()()()1/,()/,1,...,2,1.n n n n nn ni i i i iii j ii j i x b a x b a x a i n =+==-=-∑2. 列主元Gauss 消去法的原理:设Ax=b.本算法用A 的具有行交换的列主元素法，消元结果冲掉A,乘数m ij 冲掉a ij ,计算解x 冲掉常数项b ，行列式存放在det 中。

（1）det ←1（2）对于k=1,2,…,n-1按列选主元：,max ik ik k i n a k a ≤≤=如果,0ik a k =，则停止（det （A ）=0）如果k i =k 则转（a ）换行：1*(*)/*det *det/ikkkij ij ik kjni i ij j ii ik kj i nn nn n n nnm a a a m a b b a b a m b a a b b a =+←←←←-←←=←∑（a ）.消元计算对于 i=k+1，…，n① ik a ←ik m =ik a /kk a② 对于j=k+1，…，n*ij ij ik kj a a m a ←←③ *i i ik k b b m b ←←det *det kk a ←（3）.如果0nn a =，则计算停止（det （A ）=0）（4）.回代求解四、实验内容及结果原始数据:A=[0.3e-15,59.14,3,1;5.291,-6.13,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1]; b=[59.17；46.78；1；2];1.顺序Gauss 消去法程序源代码%magauss.mfunction x=magauss(A,b,flag)%用途：顺序Gauss 消去法解线性方程组Ax=b%格式：x=magauss(A,b,flag), A 为系数矩阵, b 为右端项, 若flag=0, 则不 % 显示中间过程，否则显示中间过程, 默认为0, x 为解向量if nargin<3,flag=0;endn=length(b);%消元for k=1:(n-1)m=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-m*A(k,k+1:n);b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(k);A(k+1:n,k)=zeros(n-k,1);if flag~=0, Ab=[A,b], endend%回代x=zeros(n,1);x(n)=b(n)/A(n,n);for k=n-1:-1:1x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k);end输入： A=[0.3e-15,59.14,3,1;5.291,-6.13,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1] b=[59.17；46.78；1；2]magauss2(A,b,0)结果:A =0.0000 59.1400 3.0000 1.00005.2910 -6.1300 -1.0000 2.000011.2000 9.0000 5.0000 2.00001.00002.0000 1.0000 1.0000b =59.170046.78001.00002.0000ans =3.84571.6095-15.476110.41132. 列主元Gauss消去法程序源代码%magauss2.mfunction x=magauss2(A,b,flag)%用途：列主元Gauss消去法解线性方程组Ax=b%格式：x=magauss(A,b,flag), A为系数矩阵, b为右端项, 若flag=0, % 则不显示中间过程，否则显示中间过程, 默认为0, x为解向量if nargin<3,flag=0;endn=length(b);for k=1:(n-1)%选主元[ap,p]=max(abs(A(k:n,k))); p=p+k-1;if p>kt=A(k,:); A(k,:)=A(p,:); A(p,:)=t;t=b(k); b(k)=b(p); b(p)=t;end%消元m=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-m*A(k,k+1:n);b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(k);A(k+1:n,k)=zeros(n-k,1);if flag~=0, Ab=[A,b], endend%回代x=zeros(n,1);x(n)=b(n)/A(n,n);for k=n-1:-1:1x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k);end输入： A=[0.3e-15,59.14,3,1;5.291,-6.13,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1] b=[59.17,46.78,1,2]'magauss(A,b,0)结果:A =0.0000 59.1400 3.0000 1.00005.2910 -6.1300 -1.0000 2.000011.2000 9.0000 5.0000 2.00001.00002.0000 1.0000 1.0000b =59.170046.78001.00002.0000ans =23.68481.0005五、实验结果分析顺序高斯消去法求解线性方程组具有较高的稳定性，但计算过程繁琐。

数值分析-Gauss消去法

数值分析-Gauss消去法

数值分析上机报告1． 考虑方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=+++=+++=+++2557.03927.02786.04002.01784.04240.00643.03781.01920.03645.01550.01129.04015.03872..02246.04043.02943.03678.01234.04069.04.3214.3214.3214.321x x x x x x x x x x x x x x x x （1） 用Gauss 消去法解所给方程组（用四位小数计算）；（2） 用列主元素消去法解所给方程组并且与（1）比较结果。

1． Matlab 程序>> clearA=input('输入系数矩阵A ：');b=input('输入b 向量（按行向量）：');B=[A b'];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解.\n')returnendif RA==RBif RA==nfprintf('请注意：因为RA=RB=%d ，所以此方程组有唯一解.\n',n) X=zeros(n,1);for p=1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endend%把方程组系数矩阵A 化为同解的上三角矩阵b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);end%从xn 至x1逐个求解上三角方程组elsedisp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')returnendenddisp('方程组的解为：');X运行后输入系数矩阵A：[0.4096 0.1234 0.3678 0.2943;0.2246,0.3872,0.4015,0.1129;0.3645 0.1920 0.3781 0.0643;0.1784 0.4002 0.2786 0.3927]输入b向量（按行向量）：[0.4043 0.1550 0.4240 -0.2667]请注意：因为RA=RB=4，所以此方程组有唯一解.方程组的解为：X =-0.2603-1.73242.3280-0.44712．Matlab程序>> clearA=input('输入系数矩阵A：');b=input('输入b向量（按行向量）：');B=[A b'];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.\n')endif RA==RBif RA==nfprintf('请注意：因为RA=RB=%d，所以此方程组有唯一解.\n',n)X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:);B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endend%把方程组系数矩阵A化为同解的上三角矩阵b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);end%从xn至x1逐个求解上三角方程组elsedisp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')returnendenddisp('方程组的解为：');X运行结果输入系数矩阵A：[0.4096 0.1234 0.3678 0.2943;0.2246,0.3872,0.4015,0.1129;0.3645 0.1920 0.3781 0.0643;0.1784 0.4002 0.2786 0.3927]输入b向量（按行向量）：[0.4043 0.1550 0.4240 -0.2667]请注意：因为RA=RB=4，所以此方程组有唯一解.方程组的解为：X =-1.7324 2.3280 -0.4471。

线性代数 高斯(Gauss)消元法ppt课件


2
x1 x1
x2 2x3 1 x2 x3 2
x1 4 x2 3 x3 3
① ② ③
② 2① ③ ①
x1 x2 2 x3 1 3x2 3x3 0 3x2 x3 2
① ② ③
2 1 1 2 1 1 2 1 2 8 6 6 1 1 2 1 2 1 1 2 1 4 3 3 1 1 2 1 0 3 3 0 0 3 1 2
c22 x2 c2r xr c2n xn d2
crr xr crn xn dr
0 dr1
0 0
0 0
16
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 三、线性方程组求解结果的一般性讨论
四 章
2. 第二种情况
若 d r +1= 0 且 r = n，方程组具有形式
线
性
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1
c22 x2 c2r xr c2n xn d2
crr xr crn xn dr
0 dr1
0 0
0 0
14
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 三、线性方程组求解结果的一般性讨论
四 章
1. 第一种情况
线
若 dr1 0, 方程组中出现矛盾方程
性
0 dr1
方
程
因此，方程组无解。
组
注 此时，方程组的系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩 .
即 r( A) r( A~) .
15
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 三、线性方程组求解结果的一般性讨论
四 章
2. 第二种情况
若 d r +1= 0 且 r = n，方程组具有形式
线
性 方 程 组

Matlab程序Gauss列主元消去法

Matlab程序Gauss列主元消去法编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（Matlab程序Gauss列主元消去法）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为Matlab程序Gauss列主元消去法的全部内容。

．Gauss 列主元消去法求解线性方程组迭代法计算停止的条件为：．采用用用Gauss 列主元消去法时，Matlab 计算程序为： clearclcA=［2 2 1 2;4 1 3 —1;—4 —2 0 1;2 3 2 3］;B=［1；2；1；0];n=length(B);X=zeros （n,1)；c=zeros(1，n)；d1=0；for i=1：n —1max=abs(A(i ，i ））;m=i;for j=i+1:nif max<abs （A （j,i ））max=abs （A （j,i))；m=j;endendif （m ～=i)for k=i ：nc(k)=A(i ，k);A （i,k)=A(m ，k);A （m,k)=c （k ）;endd1=B(i)；12346212425027,2085113270x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6)()1(3110max -+≤≤<-k j k j j x xB（i)=B（m);B(m）=d1；endfor k=i+1:nfor j=i+1：nA(k，j）=A(k，j)—A（i，j)*A（k,i）/A（i,i);endB（k）=B(k）—B（i)*A（k，i)/A(i，i）;A（k,i)=0;endendX(n)=B（n）/A(n，n)；for i=n-1：—1:1sum=0；for j=i+1：nsum=sum+A（i，j）*X(j）;endX(i）=（B(i)-sum)/A（i,i);endX计算结果为：X =（1。

gauss列主元消去法条件 -回复

gauss列主元消去法条件-回复Gauss列主元消去法是一种常用的线性方程组求解方法，它通过高斯消元和行交换的方式将一个线性方程组转化为上三角形方程组，从而方便地求解未知数的值。

在实际操作中，我们需要注意一些条件和步骤，以确保计算过程的正确性和可行性。

一、线性方程组的条件在使用Gauss列主元消去法求解线性方程组时，需要满足以下两个条件：1. 方程组必须是齐次或非齐次的线性方程组。

所谓齐次的线性方程组是指常数项全部为零的线性方程组，即右端项为零向量；非齐次的线性方程组则是指右端项不为零的线性方程组。

2. 方程组的未知数个数必须等于方程组的方程个数。

这意味着方程组必须是方阵，即系数矩阵的行数和列数相等。

满足以上两个条件后，可以应用Gauss列主元消去法对线性方程组进行求解。

二、Gauss列主元消去法的步骤下面我们一步一步来详细解释Gauss列主元消去法的过程。

步骤1：构造增广矩阵首先，将线性方程组的系数矩阵和右端项向量排列在一起，构成增广矩阵。

例如，对于一个3×3的线性方程组：a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3构造的增广矩阵为：[ a11 a12 a13 b1 ][ a21 a22 a23 b2 ][ a31 a32 a33 b3 ]步骤2：选取主元在消元过程中，我们需要选取一个主元素进行消元，目的是将主元素所在的列下方的元素全部消为零。

为了提高计算的精确性，我们在选取主元素时通常选择当前列的绝对值最大的元素。

即，在第i列中，选取使得a[i][i]最大的行k，然后将第k行与第i行进行交换，将主元素移动到当前位置。

步骤3：高斯消元通过选取主元后，我们开始进行高斯消元的操作。

对于第i行以下的每一行j，执行如下操作：1. 计算倍数m，使得第j行的第i列元素消为零。

倍数m的值为第j行第i列的元素除以主元素所在位置的元素值，即m=a[j][i]/a[i][i]。

gauss消去法及其某些变形时解低阶稠密方程组的有效方法。

gauss消去法及其某些变形时解低阶稠密方程组的有效方法。

一、引言Gauss消去法作为一种经典的线性方程组求解方法，在数学、物理、计算机科学等领域具有广泛的应用。

其在低阶稠密方程组求解中表现出了较高的效率，成为了一种有效的解决方法。

本文将对Gauss消去法及其某些变形进行详细介绍，并分析其在低阶稠密方程组解中的应用情况，以期为相关领域的研究提供参考。

二、Gauss消去法原理Gauss消去法是一种基于高斯消元的过程，通过初等行变换将增广矩阵转化为阶梯形矩阵，从而求解线性方程组。

具体步骤如下：1.选取一个方程的系数矩阵，将其与增广矩阵进行相乘，得到一个新的矩阵。

2.用新矩阵减去原矩阵，得到一个上三角矩阵。

3.重复步骤1和2，直到所有方程的系数矩阵都被替换为1。

4.将上三角矩阵的右侧部分替换为对应的方程右端项，得到一个新的增广矩阵。

5.按照步骤2-4的方法，将新矩阵转化为阶梯形矩阵。

6.从阶梯形矩阵中提取线性方程组的解。

三、Gauss消去法的变形1.列文逊-逆平方根法：在Gauss消去法的基础上，对矩阵进行列文逊分解，然后求解低阶线性方程组。

该方法在一定程度上提高了求解速度，但计算过程中需要进行多次矩阵乘法，可能导致计算量大。

2.列文逊-逆平方根法的改进型：针对原方法的时间复杂度问题，通过对列文逊分解过程中的矩阵进行优化，降低了计算量。

这种改进型在低阶稠密方程组求解中具有较高的效率。

3.其他相关变形方法：例如列文逊-托马斯法、托马斯算法等，这些方法在低阶稠密方程组求解中也有一定的应用价值。

四、低阶稠密方程组的解法1.低阶稠密方程组的定义和特点：低阶稠密方程组指的是系数矩阵的阶数较小，且元素较多的线性方程组。

这类方程组在实际应用中具有一定的特点，如系数矩阵非奇异、右端项较小等。

2.Gauss消去法在低阶稠密方程组中的应用：Gauss消去法在低阶稠密方程组中具有较好的解题效果，能够有效克服直接求解所带来的计算量大、存储空间不足等问题。

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xn bn an , xi bi
mik aik akk
(
j i 1
a x)
ij j
n
aii , i n 1, ..., 2,1
19
PLU 分解
列主元 Gauss 消去法对应的矩阵分解为 PLU 定理：若 A 非奇异，则存在排列矩阵 P，使得 PA = LU 其中 L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵
A( k )
( k = 1, …, n-1)
( k 1)
则 其中：
A(k) 与
A(k+1) 之间的关系式可以表示为：
A
1 1 Lk mk 1, k 1 mn,k 1
Lk A
(k)
(k) (k) mik aik akk
4
预备知识
预备知识
向量与矩阵
特征值与特征向量
Ax x
矩阵的谱：
( C , x C n , x 0)
(A) = { A 的所有特征值 }
矩阵的谱半径： ( A) max ( A )
矩阵的迹： tr( A) a11 a22 ann
aij 0 for i j 1
a11 a 21 a12 a22 a32 a13 a23 a33 an, n1 a1n a2 n a3 n ann
7
性质
定理 1 定理 2 定理 3 定理 4
（解的存在唯一性，教材 141 页） （对称正定矩阵的性质，教材 141 页） （对称正定矩阵的充分条件，教材 141 页） （Jordan 标准型，教材 141 页）
x3 1 x2 8 7 x3 1 x1 2 2x2 2x3 2
9
Gauss 消去法
考虑 n 阶线性方程组：
a11 x 1 a21 x 1 an1 x1 a x ... 1a n xn 1 b 12 2 a x ... 2a n xn 2 b 22 2 an 2 x 2 ... ann x n bn
8
Gauss 消去法
例：直接法解线性方程组 解：
x1 2 x2 2 x3 2 2 x1 Байду номын сангаас 3 x2 3 x3 4 4 x1 x2 6 x3 3
2 2 1 2 0 1 7 8 0 9 2 1 1
1 2 2 2 ( A, b) 2 3 3 4 4 1 6 3 2 2 1 2 0 1 7 8 0 0 61 61
(i, j 3, ..., n)
11
第 k 步：消去第 k列 高斯消去法 (k) (k) (k) 0，计算 mik aik akk 设 akk
( k 1) (k) (k) 计算 aij aij mikakj
Gauss 消去法
(i k 1, ..., n)
( k ) ( i = k+1, …, n ) bi( k 1) bi( k ) mikbk
作业
1. 教材 175 页，习题 1 2. 教材 176 页，习题 7（只需解方程组） 3. 教材 177 页，习题 11
22
依此类推，直到第 n-1 步，原方程化为
(1) (1) (1) a11 a12 a1(1) b x n 1 1 (2) (2) b(2) x a22 a2 n 2 2 ( n) ( n) x b a n nn n
计算方法
第五章 解线性方程组的直接方法
—— Gauss 消去法
1
本章内容
预备知识 Gauss 消去法 矩阵三角分解法 误差分析
2
本讲内容
预备知识
向量与矩阵 特征值与谱半径 一些特殊矩阵
Gauss 消去法
一般过程 对应的矩阵三角分解
列主元Gauss消去法
(1) b1 b ，即 a(1) a , b(1) b 。 ij ij i i b(1) n
A
( 2)
b
(2)
(1) bi(2) bi(1) mi1b1
(i, j 2, ..., n)
第二步：消去第二列 (2) (2) (2) 设 a22 0 ，计算 mi 2 ai2 a22 (i 3, ..., n) 依次将上述矩阵的 第 i 行 - mi2 第 2 行，得
( 1) ( 1) ( 1) a11 a12 ... a1 n (2) (2) a22 ... a2n ( 1) b1 (2) b2
A
(3)
b
(3)
其中 a (3) a (2) m a (2) ij ij i2 2 j (3) (2) (2) b b m b i i i2 2
k k
k i, j n


② if ik k then 交换第 k 行和第 ik 行 if jk k then 交换第 k 列和第 jk 列 ③ 消元 列交换改变了 xi 的顺序，须记录交换次序，解完后 再换回来
全主元高斯消去法具有更好的稳定性，但很费时， 在实际计算中很少使用
21
5
预备知识
相关性质
Ax x A x x
1 1
tr( A) 1 2 n det( A) 12 n
A 与 AT 有相同的特征值
6
特殊矩阵
一些特殊矩阵
对角矩阵、三角矩阵、三对角矩阵 对称矩阵、Hermite对称矩阵、对称正定矩阵 正交矩阵、酉矩阵 初等置换阵、置换阵（排列阵） 上 Hessenberg 矩阵
矩阵形式
Ax b
高斯消去法的主要思路：
将系数矩阵 A 化为上三角矩阵，然后回代求解。
=
10
(1) ) nn A, b(1) 记 A(1) (aij
Gauss 消去法
第一步：消去第一列 (1) (1) (1) 设 a11 0 ，计算 mi1 ai1 a11 (i 2, ..., n) 依次将增广矩阵的 第 i 行 - mi1 第 1 行，得 (2) (1) (1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 其中 aij a11 a12 ... a1 b1 aij mi1a1 n j
k in
) if ai( k =0 then stop kk if ik k then swap k-th and ik-th row (including b) for i=k+1 to n
aij aij mikakj , j k 1, k 2, ..., n bi bi mikbk end end
( k = 1, …, n-1)
1 1 1 ( n) L L , U A 记： L L ，则 1 2 n
A LU
LU 分解 (杜利脱尔Doolittle分解)
其中：L --- 单位下三角矩阵，U --- 上三角矩阵
16
LU 分解存在唯一性
LU 分解存在
高斯消去法不被中断
(k) akk 0
( i = k + 1, …, n )
15
( n) A 分解 Ln1 L2L1 A(1) 于是有： LU LU 分解
A A(1) ( Ln1 L2L1)1 A(n)
容易验证：
1 1 1 Lk mk 1, k mn, k 1 1
(i) ii
(1) (i) 推论： a11 D1, aii Di Di 1 , i 2,, n
13
运算量
计算机中做乘除运算的时间远远超过做加减运算时间， 故我们只估计 乘除运算 的次数
第 k 步：消第 k 列 2次 (k) (k ) ( n – k ) 计算 mik aik akk (i k 1, ..., n) ( k 1) (k ) (k ) 计算 aij aij mikakj ( i, j = k+1, …, n ) n–k次 ( k 1) (k ) (k )
回代求解： x b(n) a(n) n n nn
xi bi(i )
(
j i 1
(i) a ij x j
n
)
(i) aii ( i = n-1, …, 1 )
12
几点注记
主元： a
(i) ii
(i 1, 2, ..., n)
Gauss 消去法能进行到底的条件：主元全不为 0 定理： a 0 （i=1, 2, ..., n）的充要条件是 A 的顺 序主子式不为零，即 a11 a1i D1 a11 0, Di 0, i 1, 2,, n ai1 aii
14
LU 分解
Gauss消去过程其实就是一个矩阵的三角分解过程
将 Gauss 消去过程中第 k-1 步消元后的系数矩阵记为：
(1) (1) a11 a1 k (k) akk (k) a nk (1) a1 n (k) akn (k) ann
① 先选取列主元： | a
(k) ik k
(k) max | a | = k i n ik | 0
② if ik k then 交换第 k 行和第 ik 行
③ 消元
18
列主元 Gauss 消去法
算法 (列主元Gauss消去法 )
for k=1 to n-1 (k) | ai(kkk) | = max | aik | 0