《高等数学(一)》复习资料-姜作廉

南开大学本科课程教学大纲课程名称：高等数学(生化类)英文名称： Advanced Mathematics课号：1010510081 1010510082所属院：数学科学学院日期： 2006 年 3 月 30 日周学时5、5 总学时160 学分 4.5、4.5 教学对象（本课程适合的专业和年级）：化学院、生命科学学院、环境工程与环境科学学院、医学院各专业和周恩来政府管理学院心理学专业及医学委培一年级。

预备知识：三阶行列式和二元、三元线性方程组平面上的直角坐标、曲线及其方程直线与二元一次方程圆锥曲线与二元二次方程极坐标，参数方程函数及其图形（基本初等函数）课程在教学计划中的地位作用：基础课。

课程的基本要求：高等数学是一门重要的基础课，通过学习这门课程，学生将系统地获得微积分（包括向量代数和空间解析几何）与常微分方程等一些最基本的知识，较好地掌握数学分析与常微分方程的基本理论和常用的计算方法（即基本概念，基本理论，基本运算，基本技巧）。

培养学生逻辑思维、推理能力特别是分析问题、解决问题的能力。

进一步提高学生的综合素质。

为物理、力学及其他专业课程的学习做好准备。

同时也为进一步扩大学生的数学知识面打下必要的基础。

3．连续函数的反函数的连续性（不证）4．连续函数的复合函数的连续性5．基本初等函数和初等函数的连续性6．闭区间上连续函数的最大值、最小值定理及介值定理（不证）导数与微分（12）1．导数的定义2．导数的几何意义，平面曲线的切线与法线3．函数的可导性与连续性之间的关系4．函数的和、差、积、商的导数、复合函数、反函数的导数5．基本初等函数的导数公式，初等函数的求导6．高阶导数，隐函数的导数，取对数求导法，由参数方程所确定的函数的导数7．微分的定义与几何意义8．微分的运算法则9．微分形式的不变性*10. 微分在近似计算及误差估计中的应用中值定理与导数的应用（14）1．罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理2．罗必达法则3．带有拉格朗日余项的泰勒公式4．函数增减性的判定法5．函数的极值及其求法、最大值和最小值问题6．曲线的凹性及其判定法，曲线的拐点及其求法7．曲线的渐近线8．函数图形的描绘方法*9．函数方程的近似求解*10 弧微分*11 曲率的定义及计算公式不定积分（12）1．原函数与不定积分的定义2．不定积分的性质3．基本积分公式4．换元积分法和分部积分法5．有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分6．积分表的用法定积分（8）1．定积分的概念，定积分存在定理的叙述2．定积分的性质，定积分中值定理3．积分上限的函数及其求导定理，牛顿-莱布尼兹公式4．定积分的换元法与分部积分法*5. 定积分的近似计算法（矩形法，梯形法与抛物线法）6.广义积分的定义与计算*7. 广义积分的判别法和以及B-函数Γ函数−定积分的应用（6）1．平面图形的面积2．已知平行截面面积求体积，旋转体体积3．曲线的弧长*4．定积分在化学、生物学中的应用向量代数（5）1．空间直角坐标系2．向量的概念3．向量的加减法，向量与数量的乘法4．投影定理5．向量的分解与向量的坐标6．向量的模、单位向量、方向余弦与方向数7．矢径，两点间距离8．向量的数量积，两向量的夹角，两向量平行与垂直的条件9．两向量的向量积，向量的混合积第二学期主要内容：空间解析几何，多元函数微积分，级数，常微分方程曲面与曲线（3）1．曲面方程，球面方程2．母线平行于坐标轴的柱面方程，二次柱面3．曲线及其参数方程4．空间曲线在坐标面上的投影平面与直线（4）1．平面的点法式方程2．平面的一般方程的研究3．平面的截距式方程4．点到平面的距离5．两平面的夹角6．直线的方程7．两直线的夹角8．直线与平面的夹角9．直线与平面的交点二次曲面（3）1．旋转曲面2．椭球面*3. 单叶双曲面双叶双曲面4．椭圆抛物面5．二次锥面级数（12）1．无穷级数概念2．无穷级数的基本性质，收敛的必要条件3．正项级数收敛的充分判别法4．任意项级数、条件收敛与绝对收敛5．函数项级数的一般概念6．幂级数的收敛半径7．幂级数的运算8．泰勒级数及初等函数的展开式*9. 泰勒级数在近似计算上的应用傅立叶级数（4）1．三角级数，三角函数系的正交性2．欧拉—傅立叶公式3．傅立叶级数4．偶函数及奇函数的傅立叶级数5．函数展开的正弦及余弦级数6．任意区间上的傅立叶级数多元函数的微分法（14）1．多元函数的定义，区域的概念2．二元函数的极限及连续性3．偏导数4．全增量及全微分5．复合函数的微分法6．隐函数及其微分法7．空间曲线的切线及法平面8．曲面的切平面及法线9．高阶偏导数10. 多元函数的极值11. 条件极值—拉格朗日乘数法则重积分（13）1．二重积分的概念，二重积分存在定理的叙述2．二重积分的简单性质、中值定理3．二重积分计算法、利用极坐标的计算法4．三重积分的概念及其计算法5．柱面坐标和球面坐标*6. 曲面的面积*7. 重积分的应用举例曲线积分及曲面积分（12）1．对坐标的曲线积分2．对弧长的曲线积分3．格林公式4．曲线积分与路线无关的条件*5. 曲面积分*6. 奥—高公式（不证）微分方程（10）1．微分方程的一般概念2．变量可分离的微分方程3．齐次微分方程4．一阶线性方程5．全微分方程6．高阶微分方程的几个特殊类型7．线性微分方程解的结构8．常系数齐次线性方程9．常系数非齐次线性方程*10. 欧拉方程名称：高等数学（生化类）上，下册 作者：姜作廉，胡龙桥，由同顺，陈怀鹏，陈学民，赖学坚 出版日期：200５年 出版社：天津大学出版社 获奖情况：教材 使用情况：使用情况良好高等数学（上，下册）同济大学应用数学系，高等教育出版社 高等数学习题集 同济大学应用数学系，高等教育出版社 数学分析 陈传章等 复旦大学数学系，高等教育出版社 高等数学 詹瑞清 北京大学数学学院 学苑出版社高等数学 滕桂兰 天津大学出版社专业化学应用数学 胡龙桥，南开大学出版社主要参考书本大纲的特色（在教学内容、方法、手段方面改革的情况）：特别注重对学生进行基本概念，基本理论，基本运算，基本技巧的训练。

《高等数学一》课程复习大纲与练习题第一章函数一、内容小结1.函数的概念（1）函数的定义（2）函数的表示法：公式法（解析法）、图像法和表格法2.函数的基本性质（1）有界性（2）单调性：函数的单调性一般与区间有关（3）奇偶性：偶函数的图像关于y轴对称，而奇函数的图像则是关于原点对称（4）周期性：周期函数的图像呈周期状，即在任意形如nnT+的区间上，函数的图像有相同的形状。

+x+x[T)1](,3.常用的函数类型（1）基本初等函数：常值函数：cy=；幂函数：μμ(y=为实常数)；x指数函数：)1aay x；(≠,0>=a对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a ；三角函数：x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======； 反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ==== （2）反函数 （3）复合函数（4）初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式（公式）表示的函数（5）分段函数：如果)(x f 在其定义域的不同的子区间内，其对应法则有着不同的初等函数表达式，则称)(x f 为分段函数。

二、常见题型1.求函数的自然定义域。

2.判断函数是否相等。

3.已知(x)u ,)(f y ϕ==u ，求复合函数(x))f(ϕ。

4.已知复合函数(x))f(ϕ的表达式，求f(u)或(x)u ϕ=的表达式。

5.判断函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性。

6.求函数的反函数。

7.从实际问题中列函数关系式。

第二章 极限与连续一、内容小结 1.有关定义 （1）数列 （2）数列的极限（3）级数 （4）级数的部分和 （5）级数的敛散 （6）函数的极限 （7）无穷小量 （8）无穷大量 （9）无穷小量的阶 （10）函数的连续性 （11）左连续 （12）右连续（13）函数在闭区间],[b a 上连续 （14）第一类间断点 （15）第二类间断点 2.数列极限的有关性质和结论（1）唯一性：若a a n n =∞→lim ，则极限值是唯一的。

《高等数学1》考前辅导一、考试复习所用教材《高等数学(第5版)》（上册） 同济大学应用数学系 高等教育出版社 2002年7月二、考试题型介绍单项选择（每题5分，共5个小题）、填空（每题5分，共5个小题）、计算题（每题10分，共4个小题）、证明题（每题15分，共1个小题）三、针对性习题讲解第一章 函数与极限1. 掌握常见初等函数的性质(包括定义域、值域、奇偶性等)、复合函数的求法 例1试问函数1x y e+=的单调性.1x y e +=在R 上都是单调递增的例2133()(1),(),[()]f x x g x x g f x =-==则解：[()]g f x =1x =-例3试问1()f x x=+ 解：240x -≥解得22x -≤≤，又因为0x ≠，所以定义域为{|220}x x x -≤≤≠且 例4如何判断函数的奇偶性？解：偶函数的定义：()()f x f x -=；奇函数的定义：()()f x f x -=-。

另外：奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数*奇函数=偶函数， 偶函数*偶函数=偶函数，奇函数*偶函数=奇函数2. 掌握极限的计算方法（重点如例5的洛必达法则等）例1n n →∞=例2()()-1-1222+-1-1lim =1+lim=1n n n n n n n→∞→∞例31lim =03n n →∞ 例421lim=0n n →∞例532000-sin 1-cos sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→=== 例6()3211-1lim =lim +1=3-1x x x x x x →→+ 3.了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限.例11sin()1lim 2sin()2lim2121x x x x xx→∞→∞==⨯= 例2()1lim 1xx x e →∞+=例3 222n 111lim (+)2n n n n n πππ→∞++=+++解：2222222222222222222n n n 22n n 2n 111(+)n 111+2n 111(+)n 111n +2n n 111n lim lim (+)lim 2n n n lim =lim =11lim (n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ππππππππππππππππππππππ→∞→∞→∞→∞→∞→∞+++++≤+++++≤+++++≤++≤+++++≤++≤+++++++++则而，则2211+)=12n n n ππ+++4.了解无穷小、无穷大，有界以及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限.例1sin 0lim xx x →=1 注：极限值为一个非零的常数，因此这是一个有界量。

《高等数学》（上）期中复习大纲（2012年11月9日上午9:25-11:20） 1.极限1)极限的定义：七种，三类（数列极限，函数在有限点处的极限，函数在无穷远处的极限）。

lim ();n f n a →∞= lim (),lim (),lim ();x x x f x a f x b f x c →∞→-∞→+∞=== 0lim (),lim (),lim ().x x x x x xf x a f x b f x c -+→→→===2)极限的定理：左右极限与极限；函数极限与数列极限。

lim ()lim ()lim ();x x x f x a f x f x a →∞→-∞→+∞=⇔==lim ()lim ()lim ().x x x x x xf x a f x f x a -+→→→=⇔==0lim (){}:lim 都有lim ().n n n x x n n f x a x x x f x a →→∞→∞=⇔∀==3)极限的性质唯一性；（局部）保序性，保号性；（局部）有界性。

4)极限的公式： 二个重要极限公式sin 1lim1;lim (1).x x x xe xx→→∞=+=5)极限的法则：求极限的加，减，乘，除，复合，幂指公式lim ()()设lim (),lim ();则lim （kf(x)+lg(x)）=lim ()lim ();lim (()())lim ()lim ();lim ()()lim (),(0);()lim ()lim ()(lim ()),(0).g x g x b f x a g x b k f x l g x ka lb f x g x f x g x ab f x f x a b g x g x b f x f x a a ==+=+====≠==>6)极限的准则：夹逼准则，数列单调有界就收敛。

7)极限的应用：求渐进线（垂直，水平，斜渐近线）。

高等数学Ⅰ（经济类）下册考试复习大纲空间解析几何与向量代数理解向量的概念。

掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行的条件、了解混合积。

熟悉单位向量，方向余弦及向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算。

熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。

理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形。

熟悉以作坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

了解空间曲线的参数方程和一般方程。

会求两曲面的交线在坐标面上的投影。

作业习题7-1 1，2，5，6，7，8，10，12，13，15，16，17，18，19，习题7-2 1，2，3，6，7，8，9，10习题7-3 2，3，4，7，8（3）（4），9，10，11习题7-4 2，3，4，7习题7-5 1，2，3，4（1）（3）（5）（7），5，8，9习题7-6 1，2，3，6，7，10，11，12，13，15，16(1)(3)总习题七多元函数微分学理解多元函数的概念。

了解二元函数的极限和连续性的概念，知道有界闭域上连续函数的性质。

理解偏导数和全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件。

掌握方向导数与梯度的概念及其计算方法。

掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求出它们的方程。

理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的的极值。

了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

作业习题8-1 2，4，5，6，7，8习题8-2 1，3，4，6(2)(3)，7，8，9(2)习题8-3 1,2,3,4习题8-4 2,4,5,6,8,9,10,11,12(2)(4)7习题8-5 1,3,4,6,7,9,10(2)(3)(4),11习题8-6 2,3,4,5,7,8,9,10习题8-7 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10习题8-8 1,3,4,5,7,8,9,10总习题八多元函数积分学理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。

《高等数学（一）》考试大纲第一章函数及其图形（一）考核的知识点1.一元函数的定义及其图形2.函数的表示法（包括分段函数）3.函数的几个基本特性4.反函数及其图形5.复合函数6.初等函数7.简单函数关系的建立（二）自学要求函数是数学中最基本的概念之一，它从数学上反映各种实际现象中量与量之间的依赖关系，是微积分的主要研究对象。

本章总的要求是：理解一元函数的定义及函数与图形之间的关系；了解函数的几种常用表示方法；理解函数的几种基本特性；理解函数的反函数及它们的图形之间的关系；掌握函数的复合和分解；熟练掌握基本初等函数及其图形的性态；知道什么是初等函数；知道几种常用的经济函数；能根据比较简单的实际问题建立其中蕴含的函数关系。

本章重点：函数概念和基本初等函数难点：函数的复合（三）考核要求1.一元函数的定义及其图形，要求达到“领会”层次。

1.1 清楚一元函数的定义，理解确定函数的两个基本要素――定义域和对应法则（映射），知道什么是函数的值域。

1.2 清楚函数与其图形之间的关系1.3 对给定的解析式，会求出由它所确定的函数的自然定义域。

2.函数的表示法，要求达到“识记”层次。

2.1 知道函数的三种表示法――解析法，表格法，图像法，并知道它们各自的特点。

2.2 清楚分段函数的概念3.函数的几个基本特性，要求达到“简单应用”层次。

3.1 函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的含义，并会判定比较简单的函数是否具有这些特性。

4.反函数及其图形，要求达到“领会”层次。

4.1 知道函数的反函数的概念，清楚单调函数必有反函数4.2 会求比较简单的定义域、值域和图形与其反函数的定义域、值域和图形之间的关系5.复合函数，要求达到“简单应用”层次。

5.1 清楚函数的复合运算的含义，会求比较简单的复合函数的定义域。

5.2 会做多个函数按一定顺序的复合，并会把一个函数分解成简单函数的复合6.初等函数，要求达到“简单应用”层次。

6.1 知道什么是基本初等函数，熟悉其定义域、基本特性和图形（不含余切、正割、余割及其反函数的图形）。

高等数学（化地生类专业）（下册）姜作廉主编《习题解答》习题102222221.0x 0(3)arcsin ||||0(4)cot ()(n )14(6))x y y yz xy x x z x y x y n x y u r R y z r x y π+>->=≤≠=++≠≤+≤<<++=+2求定义域（1）z=lnxyxy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0且且为正整数（5）定义域为介于x 和2222(,)(,)(,),0.()110,(,)(,),,(1,)(,)(,)(1,),(1,)(),f (,)k k k k k z R z f x y f tx ty t f x y t yF xy t f tx ty t f x y t f f x y x x xy y y f x y x f f F x y x x x x +===≠∀≠======k 之间的空间部分以及球面若函数满足关系式则称该函数为k 次齐次函数。

试证k 次齐次函数z=f(x,y)可以表示为z=x 的形式证：对均有不妨令则即令则222222222()3(,),(,)(,)()(72)4(,,),(,,)(,,)()()5(,)tan ,(,)(,)()()tan(tan vx y w u v xy x yF x f u v u f xy x y f xy x y xy P f u v w u w f x y x y xy f x y x y xy x y xy xf x y x y xy f tx ty yxf tx ty tx ty t xy yxt x y xy y ++=++==++-+-=++=+-=+-=+-得证已知求解：已知求解：已知求解：0000002)61)2cos (2)lim123cos 123lim cos cos lim 1123lim(123)sin (3)limx y x x y y x x y x x xy x o y x y x y e y x y y x y e ye y x y x y xy →→→→→→→→→→→→→→→→==++++==++++x 求下列极限（1）解：解：由e 与在（0,0）连续则原式=00222200sin lim1lim 2ln(1)(4)lim x x y y x y x xyy y xy x y x y →→→→→→===+++解：2222222200000000y 00ln(1)lim lim 17lim )0(0,0)1ii (0,0).2x x y y x y x x y x y x y x y x y x y i y →→→→→→→→→→+++===++=+==解：试问解：沿趋于原极限=0x ）沿y=趋于原极限，由于沿不同的路径趋于x-1（0,0）极限值不等，故原极限不存在。

一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断）（一）、单项选择部分1．函数x x x f )321()321()(-++=为（）。

（A ）奇函数；（B ）周期函数；（C ）幂函数；（D ）偶函数★考核知识点:函数的性质，参见P4-7附1.1.1（考核知识点解释及答案）：函数的基本特性：有界性：设函数f (x )的定义域为D ，如果有0>M ，使得对D x ∈∀，都有M x f ≤)(，则称f (x )在D 上有界。

如果对D x ∈∀，使得M x f ≤)(，则称f (x )在D 上有上界。

单调性：设函数f (x )的定义域为D ，如果对D x x ∈∀21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f ≤，就称上在D x f )(为单调递增函数。

同理，可以定义单调递减函数。

我们统称单调递增和单调递减函数为单调函数。

奇偶性：设f (x )的定义域为D ，对D x ∈∀，如果(i))()(x f x f =-，则称该函数为奇函数；(ii))()(x f x f -=-，则称该函数为偶函数．周期性：设函数f (x )的定义域为D ，如果存在T ≠0，使得对D x ∈∀，总有则称f (x )为D 上的周期函数，T 为f (x )的一个周期．通常周期函数有无穷多个周期．习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期计算过程如下：----(-)===f(x)x xx xx xf x=+++答案：（D）偶函数。

2．函数()ln(1sin) (0)f x x x=+→为（）。

（A）无穷小量；（B）无穷大量；（C）零函数；（D）常数函数★考核知识点:无穷小与无穷大，参见P25-27附1.1.2（考核知识点解释及答案）：当xx→时，如果函数)(xf的绝对值大于任意预先给定的正数M，则我们称函数)(xf为当xx→时的无穷大量，记为∞=→)(limxfxx。

若0)(lim=→xfxx，则称函数)(xf在该极限过程中为无穷小量．简称无穷小。

《高等数学》（上）期中复习大纲（2012年11月9日上午9:25-11:20）1.极限1)极限的定义：七种，三类（数列极限，函数在有限点处的极限，函数在无穷远处的极限）。

2)极限的定理：左右极限与极限；函数极限与数列极限。

3)极限的性质唯一性；（局部）保序性，保号性；（局部）有界性。

4)极限的公式：二个重要极限公式5)极限的法则：求极限的加，减，乘，除，复合，幂指公式6)极限的准则：夹逼准则，数列单调有界就收敛。

7)极限的应用：求渐进线（垂直，水平，斜渐近线）。

2.连续1)连续的定义：2)连续的定理：左右连续与连续，连续与收敛。

3)连续的性质：连续函数的和，差，积，商，复合，反函数连续。

4)连续的公式：5)连续的法则：6)间断：间断点的确定，间断点的分类。

7)连续的应用：闭区间上连续函数的四个定理（有界性定理，最大值最小值定理，介值定理，零点定理）。

3.导数1)导数的定义：2)导数的定理：左右导数和导数，可导与连续，可导与可微，导函数极限定理。

3)导数的性质：可导函数的和，差，积，商，复合，反函数仍可导。

4)导数的公式：基本初等函数的求导公式。

5)导数的法则：6)微分中值定理：费马定理，罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，泰勒定理（迈克劳林定理）。

7)导数的应用：求切线，法线；求极限（罗必塔法则）；单调极值；凹凸拐点；证明不等式，恒等式；讨论方程的根，函数的零点；最大值，最小值问题。

注：以下内容不考（1）微分近似计算；（2）高阶微分；（3）曲率；（4）函数作图。

希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。

2、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。

——罗曼·罗兰3、人生就像爬坡，要一步一步来。

——丁玲。