脉冲时滞Cohen—grossberg神经网络的指数稳定性

带反应扩散项的神经网络模型动力学研究由于神经网络在诸多实际应用领域有着巨大潜力,很多学者都致力于神经网络的理论研究,并取得了许多很好的成果.本文主要涉及三类带反应扩散项的神经网络模型的动力学研究.其中包括:一类具有反应扩散项的时滞脉冲Cohen-Grossberg神经网络的指数稳定性;一类具有反应扩散项和离散时滞的非自治Cohen-Grossberg神经网络解的有界性和正不变集,及其全局指数稳定性;一类具有反应扩散项的脉冲模糊细胞神经网络的指数稳定性及其正不变集和吸引集.本文的主要内容可以概述如下:1.首先在第一节第一部分介绍了神经网络的产生,发展和意义.随后的第二部分介绍了各种类型的神经网络模型及其部分研究成果,主要是Cohen-Grossberg神经网络以及模糊细胞神经网络.第三部分介绍了带反应扩散项的神经网络模型的部分研究成果.最后给出了本文的组织结构.2.在第二节中,我们讨论了一类具有反应扩散项和无穷分布时滞的脉冲Cohen-Grossberg神经网络,在系统存在平衡点的假设下,利用不等式技巧和构造Lyapunov泛函方法,证明了其平衡点的唯一性,并给出了平衡点全局指数稳定的充分性条件.最后给出一个例子来显示所得结论的有效性.本节中,我们所研究模型的脉冲为一般形式,而不是线性形式脉冲.3.在第三节中,主要讨论一类具有反应扩散项的非自治Cohen-Grossberg神经网络.在这一部分中,我们首先利用M-矩阵和常数变易法讨论了系统解的有界性和正不变集,然后通过构造Lyapunov泛函,证明了系统的全局指数稳定性.最后给出两个例子来验证结果.4.在第四节中,主要针对一类具有反应扩散项的脉冲模糊细胞神经网络的动力学性质进行了分析讨论.在存在唯一平衡点的假设下,利用推广了的Halanay不等式,得到了平衡点全局指数稳定的充分性条件,以及该神经网络的全局吸引集和正不变集.最后给出一个例子来说明结果的有效性.【关键词相关文档搜索】：运筹学与控制论; 神经网络; 反应扩散; 时滞;脉冲; 全局指数稳定性【作者相关信息搜索】：新疆大学;运筹学与控制论;蒋海军;李晓波;。

分数阶Cohen-Grossberg神经网络的Mittag-Leffler稳定性刘孝磊;顾丽娟;刘晓燕;郭立娜【摘要】在整数阶Cohen-Grossberg神经网络与分数阶理论及分数阶神经网络的基础上,提出了分数阶Cohen-Grossberg神经网络.为了研究该类型神经网络,引入Mittag-Leffler函数并利用Mittag-Leffler函数及分数阶导数的相关性质,进而通过构造Lyapunov函数的方法,研究了分数阶Cohen-Grossberg神经网络的Mittag-Leffler稳定性,并最终给出了相应的充分性条件.最后,通过实例仿真验证了结论的正确性.【期刊名称】《海军航空工程学院学报》【年(卷),期】2019(034)002【总页数】4页(P257-260)【关键词】分数阶;CG神经网络;Mittag-Leffler稳定【作者】刘孝磊;顾丽娟;刘晓燕;郭立娜【作者单位】海军航空大学,山东烟台264001;海军航空大学,山东烟台264001;海军航空大学,山东烟台264001;南山学院,山东烟台265706【正文语种】中文【中图分类】O175自1983年，Cohen和Grossberg提出了一种广义的整数阶神经网络模型[1]以来，对该类模型的研究就日益深入，并逐步推广到时滞Cohen-Grossberg神经网络模型[2]、Cohen-Grossberg神经网络模型鲁棒稳定性[3]、带随机项Cohen-Grossberg神经网络模型的研究。

而在2009年，由Arefeh Boroomand和Mohammad B.Menhaj提出了分数阶Hopfield神经网络模型[4]：式（2）中：i=1,2,…,n； 0＜α＜1；为Caputo型分数阶导数。

自此，分数阶神经网络伴随着分数阶微积分理论、分数阶微分方程及其稳定性相关理论的日渐成熟，对分数阶神经网络的稳定性研究也日益丰富[5-8]。

而分数阶Cohen-Grossberg神经网络是分数阶Hopfield神经网络的一种推广，本文提出一类分数阶Cohen-Grossberg神经网络模型：进而讨论了该类型Cohen-Grossberg模型稳定性的充分条件。

时滞忆阻Cohen-Grossberg神经网络周期解的存在性王有刚;武怀勤【摘要】研究了一类具有时变时滞的忆阻Cohen-Grossberg神经网络的周期动力行为.借助M-矩阵理论,微分包含理论和Mawhin-like收敛定理,证明了网络系统周期解的存在性.最后,用一个数值算例验证了本文结论的正确性和可行性,并通过图形模拟直观地描述了周期解和平衡点的存在性.%The objective of this paper is to investigate the periodic dynamical behaviors for a class of Memristive Cohen-Grossberg neural networks with time-varying delays. By employing M-matrix theory, differential inclusions theory and the Mawhin-like coin-cidence theorem in set-valued analysis, the existence of the periodic solution for the network system was proved. Finally, an illustra-tive example was given to demonstrate the validity of the theoretical results and the existence of periodic solution and equilibrium point was described visually by graphical simulation.【期刊名称】《西华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(036)005【总页数】10页(P22-30,35)【关键词】忆阻;Cohen-Grossberg神经网络;周期解;时变时滞【作者】王有刚;武怀勤【作者单位】吕梁学院数学系,山西吕梁 033001;燕山大学理学院,河北秦皇岛066004【正文语种】中文【中图分类】TP1831971年, 华裔科学家蔡少棠(Leon O. Chua)从理论推断在电阻、电容和电感器之外,应该还有一种组件,代表着电荷与磁通量之间的关系。

时滞细胞神经网络的全局渐近稳定性和指数稳定性
张发明
【期刊名称】《中南大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2005(36)1
【摘要】利用Brouwer不动点定理,证明了具有变时滞的细胞神经网络模型平衡点的存在性;利用Barbarlet引理、Dini导数与导数之间的关系,构造了一个特殊的Lyapunov函数,表明具有变时滞的细胞神经网络模型存在惟一全局指数平衡点并且全局渐近稳定;在此基础上,通过构造一个新的M-矩阵,利用Halanay时滞微分不等式和M-矩阵的特性,得出:细胞神经网络模型在一定的条件下,在平衡点处,全局指数稳定且与时滞无关.
【总页数】5页(P128-132)
【作者】张发明
【作者单位】株洲工学院,信息与计算科学系,湖南,株洲,412008
【正文语种】中文
【中图分类】O231.5
【相关文献】
1.多时滞和分布时滞细胞神经网络的全局渐近稳定性 [J], 王占山;张化光;关焕新
2.一类具比例时滞细胞神经网络的全局渐近稳定性 [J], 郭盼盼;周立群
3.一类具比例时滞细胞神经网络的全局渐近稳定性 [J], 刘学婷;周立群
4.基于LMI的比例时滞细胞神经网络的全局渐近稳定性 [J], 刘纪茹;周立群
5.周期多比例时滞细胞神经网络全局渐近稳定性的平均准则 [J], 王小伟;胡霁芳;肖玉柱;宋学力;;;;
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几类时滞神经网络模型的动力学分析的开题报告时滞神经网络模型是一类非线性动力学系统，具有广泛的应用领域，如控制、优化、图像处理等。

本文将从时滞神经网络模型的动力学分析角度出发，介绍几类时滞神经网络模型及其动力学分析方法。

一、Hopfield神经网络模型Hopfield神经网络模型是一种全连通的对称神经网络模型，能够实现模式识别和模式恢复等功能。

在实际应用中，由于噪声、失真等影响因素的存在，网络往往存在不稳定的状态。

因此，需要对Hopfield神经网络模型进行动力学分析和稳定性分析。

目前已有很多关于Hopfield神经网络模型的动力学分析研究，如基于Lyapunov稳定性理论的方法、基于LMI（线性矩阵不等式）的方法等。

二、Cohen-Grossberg神经网络模型Cohen-Grossberg神经网络模型是一种具有多个负反馈回路的神经网络模型，能够实现分类、优化等功能。

与Hopfield神经网络模型不同的是，Cohen-Grossberg神经网络模型的权重矩阵是不对称的，因此对网络的动力学分析与Hopfield神经网络模型不同。

目前已有很多关于Cohen-Grossberg神经网络模型的动力学分析研究，如基于Lyapunov稳定性理论的方法、基于李亚普诺夫函数的方法等。

三、竞争型神经网络模型竞争型神经网络模型是一种基于竞争机制的神经网络模型，能够实现分类、聚类等功能。

竞争型神经网络模型具有复杂的非线性动力学行为，因此需要对其进行动力学分析。

目前已有很多关于竞争型神经网络模型的动力学分析研究，如基于Lyapunov稳定性理论的方法、基于LMI的方法等。

本文将通过对Hopfield神经网络模型、Cohen-Grossberg神经网络模型、竞争型神经网络模型等几类时滞神经网络模型的动力学分析方法进行介绍，以期能够探索出更为高效的时滞神经网络模型的动力学分析方法。

一类分数阶Cohen-Grossberg神经网络的有限时间稳定性分析杨占英; 李静文; 杨玺【期刊名称】《《中南民族大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(038)004【总页数】5页(P626-630)【关键词】分数阶; Cohen-Grossberg神经网络; 有限时间稳定; Gronwall不等式【作者】杨占英; 李静文; 杨玺【作者单位】中南民族大学数学与统计学学院武汉430074【正文语种】中文【中图分类】O193分数阶神经网络在数据优化、信号处理、联想记忆、并行计算、模式识别、人工智能等方面有着非常重要的应用，而其主要因素是人工神经网络的动态行为，特别是稳定性.因此，分数阶神经网络的稳定性问题已经成为目前最活跃的研究课题之一.随着研究的不断扩大，多种不同的稳定性不断涌现，例如：指数稳定性、有限稳定性、一致稳定性和Mittag-Leffler稳定性等.Cohen-Grossberg神经网络模型是由Cohen和Grossberg在1983年构造的，该模型包含了熟知的Hopfield神经网络和细胞神经网络，因此更具有一般性，它在信号处理、联想记忆和最优化问题等方面有着非常重要的应用价值.对于Cohen-Grossberg神经网络的有限时间稳定性问题，已有大量的文献进行了深入的研究.然而，这些研究所涉及的主要是整数阶Cohen-Grossberg神经网络.由于分数阶微积分理论的复杂性，这些结论并不能完全推广至分数阶Cohen-Grossberg神经网络，因此对于分数阶Cohen-Grossberg神经网络稳定性的研究是很有必要的.目前，已经有少量的文献对于分数阶Cohen-Grossberg神经网络的稳定性进行了不同的研究.例如，ZHENG 等在文献[1]中研究了一类分数阶忆阻Cohen-Grossberg神经网络的有限时间稳定性和同步问题；YANG 和LI 在文献[2]中研究了一类分数阶Cohen-Grossberg神经网络的有限时间稳定性问题；WAN和WU在文献[3]中研究了一类有偏差变元的分数阶模糊Cohen-Grossberg神经网络的Mittag-Leffler稳定性问题.本文对于阶数在(0,0.5]和(0.5,1)的分数阶Cohen-Grossberg神经网络达到有限时间稳定的问题分别给出了一个充分条件，通过MATLAB仿真验证了其有效性.1 基础知识首先回顾Caputo导数的定义和一些重要不等式.定义1[4] f(t)是R上的连续函数，对于任意的α∈[0,+∞),f(t)的α阶积分定义为:其中Γ(·)为Gamma函数，即Γ(s)=ts-1e-tdt.定义2[4] 假设n∈Z+,x(t)∈Cm([0,+∞),Rn)且m-1<α<m, x(t)的α阶Caputo导数定义为:特别地，当0<α<1时，我们简记为Dαx(t).引理1[5] 设m∈Z+且m-1<α<m.令x(t)∈Cm([0,+∞),Rn)，则有:引理2(Hölder不等式[6]) 设p,q>1,且若|f(x)|p，|g(x)|q∈L1(E),则：f(x)g(x)∈L1(E)且特别地，当p=q=2，则退化为Cauchy-Schwartz不等式，即：引理3[6] 假设σ<1且σ≠0.对于0<r<1，我们有(1-σ)r<1-rσ,(1-(1+σ)r)-1<(rσ)-1.引理 4(推广的Gronwall不等式[7]) 设u(t),w(t)和v(t)是R上的非负连续函数，且r≥1. 如果u(t)≤u0(t)+w(t)(v(s)ur(s)ds)1/r,t∈R+,那么:v(s)ur(s)ds≤其中W(t)=exp(-v(s)ωr(s)ds).2 模型介绍假设n为网络的神经元个数，x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T表示t时刻的状态向量,fj 和gj分别表示在t和t-τ时的激励函数,αi(xi(t))是放大函数，βi(xi(t))是行为函数，τ表示时滞， aij, bij分别表示连接权重，Ii表示第i个神经元的外部输入.分数阶时滞Cohen-Grossberg神经网络可以用如下微分方程来描述:(1)其中0<α<1,i=1,2,…,n.记C([-τ,0],Rn)是定义在区间[-τ,0]上的全体n维连续向量函数的全体.系统(1)的初始条件为:x(t)=φ(t),t∈[-τ,0],(2)其中φ(t)∈C([-τ,0],Rn),其范数定义为假设系统(1)满足以下条件:(H1) 对于i=1,2,…,n,函数αi(x)在R上连续且满足其中和是正常数;(H2) 对于i=1,2,…,n,函数βi(x)在R上是可微的且导数满足其中和为两个正常数; (H3) 对于i=1,2,…,n,激励函数fj和gj满足Lipschitz条件,即:存在常数ξj>0和ηj>0满足|fj(x)-fj(y)|≤ξj|x-y|,|gj(x)-gj(y)|≤ηj|x-y|,∀x,y∈R;(H4) 参数和ηj满足:其中引理5[8] 假设条件(H1)～(H4)成立，则系统(1)存在唯一的平衡点.定义3 假设条件(H1)～(H4)成立，δ和ε是两个任意正常数且δ<ε，x*是系统(1)的平衡点，x(t)为系统(1)满足条件(2)的一个解.如果‖φ-x*‖<δ,那么:‖x(t)-x*‖<ε,∀t∈[0,T],其中则系统(1)是有限时间稳定的.3 主要结果对于0<α≤0.5和0.5<α<1，以下分别给出系统(1)达到有限时间稳定的充分条件. 定理1 假设条件(H1)～(H4)成立，给定两个任意正常数δ和ε，且δ<ε.当0.5<α<1时，若:其中:则系统(1)是有限时间稳定的.证明假设x(t)=(x1(t), x2(t),…, xn(t))T是系统(1)的满足初始条件(2)的一个解，x*是系统(1)的平衡点，则有:令由引理1得:由Cauchy-Schwartz不等式得:‖z(t)‖≤而(t-s)2α-2e2sds=e2tu2α-2e-2udu=则有:‖z(t)‖≤其中：注意到t∈[-τ,0]且‖φ(0)‖≤‖φ‖=supθ∈[-τ,0]‖φ(θ)‖,则有:e-2s‖z(s-τ)‖2ds=e-2τe-2s‖z(s)‖2ds+e-2τe-2s‖z(s)‖2ds≤‖φ‖+e-2τe-2s‖z(s)‖2ds,从而:令u0(t)=‖φ‖e-t+γ2‖φ‖,ω(t)=(γ1+γ2e-t),u(t)=e-t‖z(t)‖,v(t)=1,则由引理3和引理4得:W(t)=e-(γ1+γ2e-τ)2t,所以:‖z(t)‖e-t≤(‖φ‖e-t+γ2‖φ‖)+(‖φ‖+γ2‖φ‖)2e(γ1+γ2e-τ)2t,从而‖z(t)‖≤‖φ‖{1+γ2et+2(1+γ2)e[(γ1+γ2e-τ)2+1]t}.如果且‖φ‖<δ,那么‖z(t)‖<ε,则系统(1)是有限时间稳定的.定理2 假设0<α≤0.5,记假设(H1)～(H4)成立，给定两个任意常数δ和ε，且δ<ε.如果其中:则系统(1)是有限时间稳定的.定理3的证明与定理2的类似，在此从略.4 数值仿真在本节中，我们给出数值实验来证实主要结果的正确性.考虑如下分数阶Cohen-Grossberg神经网络模型:(3)其中β1(x1)=1.25x1,β2(x2)=3x2,β3(x3)=2.5x3,a11=0.2,a12=0.1,a13=-0.1,a21=0.25,a22=-0.15,a23=-0.1,a31=-0.1,a32=0.1,a33=0.2,b11=-0.1,b12=0.1,b13=0.2,b21=0.15,b22=-0.15,b23=-0.1,b31=0.15,b32=-0.15,b33=0.25,I1=0.0012,I2=0.0015,I3=0.0050,fj(xj)=gj(xj)=0.02(|xj+1|-|xj-1|).通过计算,可得:从而系统(3)有唯一的平衡点x*,且满足如下方程组:解得其中初值为x(t)=(0.003,0.0025,0.004)T,∀t∈[-0.1,0].取δ=0.01,ε=1，则系统(3)达到有限时间稳定的时间T=2.5824.图1展示了系统(3)的状态变量.图1 系统的时间响应曲线Fig.1 Time response curve of the system5 结论本文主要讨论了一类分数阶时滞Cohen-Grossberg神经网络的有限时间稳定性问题.首先，我们给出了一个系统平衡点存在且唯一的充分条件;然后，对于阶数在区间(0,0.5]和(0.5,1)内分别给出了一个保证系统有限时间稳定的充分条件.我们的证明方法主要是利用分数阶导数的性质、Hölder不等式和推广的Gronwall不等式.特别地,我们得到的充分条件是一些比较容易计算的代数不等式;最后，运用MATLAB仿真证实了主要结果的有效性.参考文献【相关文献】[1] ZHENG Mingwen,LI Lixiang,PENG Haipeng,et al.Finite-time stability and synchronization for memristor-based fractional-order Cohen-Grossberg neuralnetwork[J].Eur Phys J B,2016,89:204.[2] 杨占英,李静文,谌永荣.一类分数阶神经网络的有限时间稳定(英文)[J].中南民族大学学报(自然科学版),2019,38(2):309-313.[3] WAN Liguang,WU Ailong.Mittag-leffler stability analysis of fractional-order fuzzy Cohen-Grossberg neural networks with deviating argument[J].Advances in Difference Equations,2017(2017):308.[4] PODLUBNY I.Fractional differential equations[M].New York:Academic Press,1999.[5] LI Changpin,DENG Weihua.Remarks on fractional derivatives[J].Applied Mathematics and Computation,2007,187:777-784.[6] MITRINOVIC D.Analytic inequalities[M].Berlin:Springer,1970.[7] WILLETT D.Nonlinear vector integral equations as contraction mappings[J].Archive for Rational Mechanics and Analysis,1964,15:79-86.[8] KE Yunquan,MIAO Chunfang.Stability analysis of fractional-order Cohen-Grossberg neural networks with time delay[J].Int J Comput Math,2015,92:1102-1113.。

2016年7月重庆师范大学学报(自然科学版)J u l.2016第33卷第4期J o u r n a l o fC h o n g q i n g N o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.33N o.4D O I:10.11721/c q n u j20160422双向联想记忆神经网络的指数输入-状态稳定性*李建军,杨志春(重庆师范大学数学科学学院,重庆401331)摘要:研究关于具有多个时滞效应和时变外部输入双向联想记忆神经网络模型的指数输入-状态稳定性分析㊂首先,建立了双向联想记忆神经网络模型,该模型具有多个时滞效应并且外部输入是时变的㊂而且模型中非线性神经元激励函数不要求是有界的,也不要求是光滑的㊂然后给出双向联想记忆神经网络指数输入-状态稳定性的一个定义,利用L y a p u n o v 泛函和线性矩阵不等式-m X T Q X+2l X TπYɤl2Y TπT(m Q)-1πY和X T Y+Y T XɤεX TΛX+ε\Y TΛ-1Y的方法,获得含有多时滞效应和时变外部输入的双向联想记忆神经网络模型指数输入-状态稳定性的一个充分条件㊂关键词:时滞;双向联想记忆神经网络;指数输入-状态稳定;L y a p u n o v泛函中图分类号:O175文献标志码:A文章编号:1672-6693(2016)04-0079-06 1研究背景双向联想记忆(B i d i r e c t i o n a l a s s o c i a t i v em e m o r y,B AM)神经网络模型[1-3]是由K o s k o首次提出来的一种经典的递归神经网络㊂K o s k o假设神经元在处理输入信号和输出信号的过程都是被即时处理的,同时处理输入信号时也是被神经元即时的吸收㊂但是由于神经元轴突种类大小比较繁多㊁传输路径比较长以及神经元的个数较大等各种因素的影响,神经元在传输信号过程中并不一定总是即时被传输的,所以处理过程通常有时间延迟[4-5],由于双向联想记忆神经网络模型的应用比较广泛,在模式辨识和模式分类等各领域应用中具有较大的实际应用前景,从而目前已有许多学者获得了不少判别稳定性的一些相关判据[6-15]㊂比如,W a n和T a n等人[7]研究了双向联想记忆神经网络模型平衡点的局部稳定的性质,得到了在平衡点指数收敛速度的一些估计以及确定指数吸引域的若干方法和技巧㊂D o n g和J i a n g等人[12]通过构造线性矩阵不等式的方法以及构造新的L y a p u n o v 泛函技术,得到了关于神经网络的稳定性㊁指数稳定性的一些条件与结果㊂但是,神经网络输入-状态稳定的研究成果不多[16-17]㊂J i a n g和S h e n等人[16]针对非自治的动态神经网络模型,将其等效成非线性仿射控制系统,建立数学模型,给出了输入-状态稳定的一些充分条件,并分析了平衡点的存在唯一性以及渐近稳定性,通过构造新的L y a p u n o v函数的方法,获得了该模型渐近稳定性的若干充分条件㊂Y a n g和Z h o u[17]研究了有时变的动态神经网络,通过运用一些线性矩阵不等式的方法以及构造新的L y a p u n o v泛函的技术,得到该神经网络模型的输入-状态稳定性的一个充分条件㊂然而,相对于神经网络的输入-状态稳定,神经网络指数输入-状态稳定的结果更少[18-19]㊂比如,Y a n g和Z h o u等人[18]对含有变时滞递归神经网络模型的指数对输入-状态稳定性进行了分析,从而得到了变时滞递归神经网络模型指数输入-状态稳定性的一些充分条件㊂X u和Z h o u等人[19]研究了变时滞的C o h e n-G r o s s b e r g神经网络模型,利用R a z u m i k h i n技术和构造新的H a l a n a y微分不等式方法,获得了该模型指数输入-状态稳定性的一些充分条件㊂但是仍然未涉及到对含多时滞和外部输入含时延的双向联想记忆神经网络模型的指数输入-状态稳定性的研究㊂下面将主要研究外部输入随时间变化和多时滞效应的双向联想记忆神经网络模型,建立双向联想记忆神经网络模型指数输入-状态稳定性的一个判据㊂*收稿日期:2015-10-23修回日期:2016-05-16网络出版时间:2016-07-0716:33资助项目:国家自然科学基金(N o.11471061);重庆市自然科学基金(N o.C Q C S T C2014J C Y J A40004);重庆市高校创新团队计划(N o.K J T D201308);重庆市研究生科研创新项目(N o.C Y S16149)作者简介:李建军,男,研究方向为微分方程与动力系统,E-m a i l:c q n u l i j i a n j u n@163.c o m;通信作者:杨志春,教授,E-m a i l:y a n g z h c h@126.c o m网络出版地址:h t t p://w w w.c n k i.n e t/k c m s/d e t a i l/50.1165.N.20160707.1633.036.h t m l2模型建立主要研究如下形式的双向联想记忆神经网络:d x i (t )d t =-a i x i (t )+ðnj =1u i j f j y j t -τ()()j +s i (t ),i =1, ,n ,d y j (t )d t =-b j y j (t )+ðni =1v j i g i (x i (t -σi ))+h j (t ),j =1, ,n ìîíïïïï㊂(1)其中x i (t ),y j (t )为神经元的状态,f j ,g i 在R 上连续,a i ,b j 是正常数,τj ,σi 为非负常数,u i j ,v j i ,s i ,h j 是常数,双向联想记忆神经网络模型是由两层神经元构成,分别记为第X 层和第Y 层,其中第X 层是由n 个神经元组成的,其对应的状态向量的表示记为x =(x 1,x 2, ,x n )T,外部输入记为s i (t );同样,第Y 层是由n 个神经元组成的,其对应的状态向量的表示记为y =(y 1,y 2, ,y n )T ,外部输入记为h j (t )㊂为了叙述方便,记:A =d i a g {a 1,a 2, ,a n },B =d i a g {b 1,b 2, ,b n },W =(u i j )n ˑn ɪR n ˑn ,V =(v ji )n ˑn ɪR n ˑn,f (y (t -τ))=(f 1(y 1(t -τ1)),f 2(y 2(t -τ2)), ,f n (yn (t -τn )))T,g (x (t -σ))=(g 1(x 1(t -σ1)),g 2(x 2(t -σ2)), ,gn (x n (t -σn )))T ,s (t )=(s 1(t ),s 2(t ), ,s n (t ))T,h (t )=(h 1(t ),h 2(t ), ,h n (t ))T㊂那么(1)式可简写为:d x (t )d t=-A x (t )+W f (y (t -τ))+s (t ),d y (t )dt =-B y (t )+V g (x (t -σ))+h (t ìîíïïïï)㊂(2)对∀x ,y ɪR n ,ξ,ψɪC ,其中C :C ([-r ,0],R n)(r >0)为连续函数映射,s ,h 为有界函数,定义x =(x T x )12,(x ;y )=(x T x +y T y )12,(ξ;ψ)r =s u p t ɪ[-r ,0](ξ(t );ψ(t )),r =m a x (τ,σ),(s ;h )ɕ=s u p t ɪ[0,+ɕ)(s (t );h (t ))㊂定义γ:R +ңR +为连续函数,如果满足严格递增且γ(0)=0,称函数γ为K -函数㊂定义函数β:R +ˑR +ңR +,如果满足对每一个t ȡ0函数β(㊃,t )为一个K -函数,且对于每一个s ȡ0,当t ңɕ都有函数β(㊃,t )递减且趋于0,称函数β(㊃,t )为K L -函数㊂为了证明结论,下面引入一些定义与引理㊂定义1 双向联想记忆神经网络(2)称为输入-状态稳定的㊂若存在一个K L -函数β:R +ˑR +ңR +和一个K -函数γ(㊃)满足:(x (t );y (t ))ɤβ((ξ;ψ),t )+γ((s ;h )ɕ),(3)其中ξ,ψɪC ,s (t ),h (t )ɪL nɕ,t >0,(x (t );y (t ))=(x (t ,[ξ;ψ]);y (t ,[ξ;ψ]))为模型(2)神经元的状态量,而x (s )=ξ(s )y (s )=ψ(s {)为该模型的初始值㊂定义2 双向联想记忆神经网络(2)称为指数输入-状态稳定的㊂若存在一个λ>0和两个K -函数γ,β满足:(x (t );y (t ))ɤβ((ξ;ψ)τ)e -λt+γ((s ;h )ɕ),(4)其中ξ,ψɪC 为初值,s (t ),h (t )ɪL nɕ,t >0㊂引理1[20] 设X 和Y 为两个n 维向量,Q 和π为两个n 阶矩阵并且Q >0,对于任意两个正数m >0和l >0有以下不等式成立:-m X ΤQ X +2l X T πY ɤl 2Y T πT (m Q )-1πY ㊂(5)引理2[21] 设X 和Y 为两个n 阶矩阵,Λ是一个n 阶矩阵且ΛT =Λ>0,对于任意ε>0有,X T Y +Y T X ɤεX T ΛX +1εY T Λ-1Y ㊂(6)3主要结果为了获得神经网络(2)的指数输入状态稳定性,假设激励函数f ,g 满足:(A 1)存在βj ,αi >0使得对于∀θ,ρɪR ,有0ɤf j (θ)-f j (ρ)θ-ρɤβj ,0ɤg i (θ)-g i (ρ)θ-ρɤαi ,i ,j =1,2, ,n ㊂定理 假设(A 1)成立,如果:08重庆师范大学学报(自然科学版) h t t p ://w w w.c q n u j.c n 第33卷-α-1A α-1+WW T -2A α-1+I +V T B -1V +ε2I <0,(7)-β-1B β-1+V V T -2B β-1+I +W T A -1W +ε4I <0,(8)其中I 为单位矩阵,ε1,ε2,ε3,ε4为正实数,f j (0)=0,g i (0)=0,β=d i a g (β1,β2, ,βn )T,α=d i a g (α1,α2, ,αn ),i ,j =1,2, ,n ,那么双向联想记忆神经网络(2)是指数输入-状态稳定的㊂证明 首先选择两个适当的数ξ*,ζ*<0和正数ε>0使得:g T (x (t ))(-α-1A α-1+WW T -2A α-1+I +V T B -1V +ε2I )g (x (t ))ɤξ*g T(x (t ))g (x (t )),(9)f T (y (t ))(-β-1B β-1+V V T -2B α-1+I +W T A -1W +ε4I )f (y (t ))ɤζ*f T(y (t ))f (y (t )),(10)并且满足:ε+εαi +ε1+ξ*α2i +(α2i +η1α2i )σεe εσ<0,(11)ε+εβj +ε3+ζ*β2j +(β2j +η2β2j )τεe ετ<0,(12)其中η1,η2满足g T (x (r ))V T B -1V g (x (r ))ɤη1g T (x (r ))g (x (r )),f T (y (σ))W T A -1W f (y (σ))ɤη2f T(y (σ))f (y (σ))㊂下面构造如下的L y a pu n o v 函数:V (x (t ),y (t ))=x T(t )x (t )+2ðni =1ʏx i (t)0g i (ξ)d ξ+ðni =1ʏtt-σg 2i(x i (ζ))d ζ+y T(t )y (t )+2ðnj =1ʏy j(t )0f j (ρ)d ρ+ðnj =1ʏtt -τf 2j(y j (η))d η+ʏtt -σg T(x (r ))V T B -1V g (x (r ))d r +ʏtt -τf T(y (σ))W T A -1W f (y (σ))d σ㊂(13)(13)式沿方程组(2)式关于t 求导,可得:V ㊃(x (t ),y (t ))=-2x T (t )A x (t )+2x T (t )W f (y (t -τ))+2x T (t )s (t )-2g T(x (t ))A x (t )+2g T (x (t ))W f (y (t -τ))+2g T (x (t ))s (t )+g T (x (t ))g (x (t ))-g T(x (t -σ))g (x (t -σ))-y T (t )B y (t )-y T (t )B y (t )+2y T (t )V g (x (t -σ))+2y T (t )h (t )-2f T(y (t ))B y (t )+2f T (y (t ))V g (x (t -σ))+2f T(y (t ))h (t )+f T (y (t ))f (y (t ))-f T (y (t -τ))f (y (t -τ))+g T (x (t ))V T B -1V g (x (t ))-g T(x (t -σ))V T B -1V g (x (t -σ))+f T(y (t ))W T A -1W f (y (t ))-f T (y (t -τ))W T A -1W f (y (t -τ))㊂(14)由引理1有:-x T (t )A x (t )+2x T (t )W f (y (t -τ))-f T (y (t -τ))W T A -1W f (y (t -τ))=-(A 12x (t )-A -12W f (y (t -τ)))T (A 12x (t )-A -12W f (y (t -τ)))ɤ0,-y T (t )B y (t )+2y T (t )V g (x (t -σ))-g T(x (t -σ))V T B -1V g (x (t -σ))=-(B 12y (t )-B -12V g (x (t -σ)))T(B 12y (t )-B -12V g (x (t -σ)))ɤ0,-g T (x (t -σ))g (x (t -σ))+2f T(y (t ))V g (x (t -σ))ɤf T (y (t ))V V T f (y (t )),-f T (y (t -τ))f (y (t -τ))+2g T (x (t ))W f (y (t -τ))ɤg T(x (t ))WW T g (x (t ))㊂(15)由引理2有:2x T (t )s (t )ɤε1x T (t )x (t )+1ε1s T (t )s (t ),2g T (x (t ))s (t )ɤε2g T(x (t ))g (x (t ))+1ε2s T (t )s (t ),2y T (t )h (t )ɤε3y T (t )y (t )+1ε3h T (t )h (t ),2f T (y (t ))h (t )ɤε4f T(y (t ))f (y (t ))+1ε4h T (t )h (t )㊂(16)将(15),(16)式以及假设条件(A 1)代入(14)式以及由(9),(10)式可得:V ㊃(x (t ),y (t ))ɤ-g T (x (t ))α-1A α-1g (x (t ))+g T (x (t ))WW T g (x (t ))-2g T(x (t ))A α-1g (x (t ))+g T (x (t ))g (x (t ))+g T (x (t ))V T B -1V g (x (t ))-f T (y (t ))β-1Bβ-1f (y (t ))+f T (y (t ))V V T f (y (t ))-2f T (y (t ))B β-1f (y (t ))+f T (y (t ))f (y (t ))+f T (y (t ))W T A -1W f (y (t ))+ε1x T (t )x (t )+ε2g T (x (t ))g (x (t ))+ε3y T (t )y (t )+ε4f T(y (t ))f (y (t ))+1ε1+1εæèçöø÷2s (t )2+1ε3+1εæèçöø÷4h (t )2=g T (x (t ))(-α-1A α-1+WW T -2A α-1+I +V T B -1V +ε2I )g (x (t ))+ε1x T (t )x (t )+ε3y T (t )y (t )+f T (y (t ))(-β-1B β-1+V V T -2B β-1+I +W T A -1W +ε4I )f (y (t ))+εᶄ1s (t )2+εᶄ2h (t )2ɤξ*g (x (t ))2+ζ*f (y (t ))2+ε1x T (t )x (t )+ε3y T(t )y (t )+εᶄ1s (t )2+εᶄ2h (t )2,(17)18第4期 李建军,等:双向联想记忆神经网络的指数输入-状态稳定性其中εᶄ1=1ε1+1ε2,εᶄ2=1ε3+1ε4㊂下面对e εtV (x (t ),y (t ))求导并将(17)式带入有:d (e εt V (x (t ),y (t )))d t =εe εt V (x (t ),y (t ))+e εt V ㊃(x (t ),y (t ))ɤεe εt [x T(t )x (t )+2ðn i =1ʏx i (t)0g i (ξ)d ξ+ðni =1ʏtt-σg 2i(x i (ζ))d ζ+y T(t )y (t )+2ðnj =1ʏy j(t )0f j (ρ)d ρ+ðnj =1ʏtt -τf 2j(y j (η))d η+ʏt t -σg T(x (r ))V T B -1V g (x (r ))d r +ʏtt -τf T (y (σ))W T A -1W f (y (σ))d σ]+e εt [ξ*g (x (t ))2+ζ*f (y (t ))2+ε1x T (t )x (t )+ε3y T(t )y (t )+εᶄ1s (t )2+εᶄ2h(t )2]ɤεe εt[x T(t )x (t )+2x T(t )αx (t )+ðni =1ʏtt-σg 2i (x i (ζ))d ζ+y T(t )y (t )+2y T(t )y (t )+ðnj =1ʏtt -τf 2j(y j(η))d η+ʏtt -σg T (x (r ))V TB -1V g (x (r ))d r +ʏtt -τf T(y (σ))W TA -1W f (y (σ))d σ]+e εt ξ*ðni =1α2i x2i(t )+ζ*ðnj =1β2j y 2i(t )+ε1x (t )2+ε3y (t )2+εᶄ1s (t )2+εᶄ2h(t )[]2ɤeεtðn i =1(ε+εαi+ε1+ξ*α2i)x i(t )2+ðnj =1(ε+εβj +ε3+ζ*β2j)y j (t )2+ðni =1εᶄ1s i (t )2[+ðn j =1εᶄ2h j (t )2+ðni =1ʏtt -σεg 2i(x i (ζ))d ζ+ðnj =1ʏtt -τεf 2j (y j (η))d η+ʏtt -σεg T(x (r ))V T B -1V g (x (r ))d r +ʏtt -τεf T(y (σ))W T A -1W f (y (σ))d ]σ㊂(18)(18)式两边同时积分可得:e εtV (x (t ),y (t ))-V (x (0),y (0))ɤðni =1(ε+εαi +ε1+ξ*α2i )ʏt 0e εsx i (s )2d s +ðnj =1(ε+εβj +ε3+ζ*β2j)ʏte εsy j (s )2d s +ðn i =1εα2iʏteεsʏss -σx i (ξ)2d ξd s +ðnj =1εβ2j ʏt 0e εsʏss -τy j (ζ)2d ζd s +ðni =1η1εα2iʏte εs ʏss -σx i(ξ)2d ξd s +ðnj =1η2εβ2jʏte εsʏss -τy i(ζ)2d ζd s +ðni =1εᶄ1ʏte εss i(s )2d s +ðnj =1εᶄ2ʏte εsh j(s )2ds (19)通过交换积分顺序,有下面两个积分成立:ðni =1(α2i+η1α2i)ʏteεsʏss -σx i (ξ)2d ξd s =ðni =1(α2i+η1α2i)ʏ0-σx i (ξ)2ʏm i n (t ,ξ+σ)m a x (0,ξ)e εsd s d ξɤðni =1(α2i+η1α2i)ʏt-σσe εγe εξx i(ξ)2d ξɤðni =1(α2i+η1α2i )σe εγʏ0-σx i(s )2d s +σe εσʏte εsx i(s )2d()s ,ðnj =1(β2j+η2β2j)ʏte εsʏss -τy j(ζ)2d ζd s =ðnj =1(β2j+η2β2j)ʏt-τy j(ξ)2ʏm i n (t ,ξ+τ)m a x (0,ξ)e εsd s d ξɤðnj =1(β2j+η2β2j)ʏt-ττe ετe εξy j(ξ)2d ξɤðnj =1(β2j+η2β2j)τe ετʏ0-τy j(s )2d s +τe ετʏte εsy j(ξ)2d()s (20)将(20)式带入(19)式可得:e εtV (x (t ),y (t ))-V (x (0),y (0))ɤðni =1(ε+εαi +ε1+ξ*α2i +(α2i +η1α2i )σεe εσ)ʏte εsx i (s )2d s +ðn j =1(ε+εβj+ε3+ζ*β2j+(β2j+η2β2j)ετe ετ)ʏte εsy j(s )2d s +ðmi =1(α2i+η1α2i)σεe εσʏ0-σx i(s )2d s +ðnj =1(β2j+η2β2j)τεe ετʏ0-τy j(s )2d s +ðni =1εᶄ1ʏte εss i(s )2d s +ðmj =1εᶄ2ʏte εsh j(s )2ds (21)由(21),(11),(12)式可得:28重庆师范大学学报(自然科学版) h t t p ://w w w.c q n u j.c n 第33卷V (x (t ),y (t ))ɤðn i =1α2i+η1α2()iσεe εσʏ-σx i (s )2d s +ðn i =1x i (0)2+ðni =1α2i ʏ-σx i (ξ)2d ξ{+2ðnj =1ʏy j(0)0f j (ρ)d ρ+ðni =1η1α2i ʏ0-σx i (s )2d s +ðnj =1β2j+η2β2()jτεe ετʏ0-τy j (s )2d s +ðnj =1y j (0)2+2ðn i =1ʏx i (0)0g i(ξ)d ξ+ðnj =1β2jʏ0-τy j(ξ)2d ξ+ðnj =1η2β2jʏ0-τy j(ξ)2d ξ}e -εt +n εᶄ1εs 2ɕ+n εᶄ2εh 2ɕ㊂则:x (t )2+y (t )2ɤ{x (0)2+y (0)2+ðni =1α2i+η1α2()iσεe εσ+ðni =1α2i(+ðni =1η1α2)iʏ-σx i (s )2d s +ðnj =1βjx i (0)2+ðni =1αi yi (0)2+ðnj =1β2j+η2β2()jτεe ετ+ðnj =1β2j (+ðnj =1η2β2)jʏ-τy j (s )2d s }e -εt +n εᶄ1εs 2ɕ+n εᶄ2εh 2ɕɤ췍(x (0)2+y (0)2)+ðn i =1(α2i+η1α2i )σεe εσ+ðn i =1α2i+ðni =1η1α2()iʏ-σx i (s )2d s +ðnj =1(β2j+η2β2j )τεe ετ({+ðnj =1β2j+ðnj =1η2β2)jʏ-τyi (s )2d }s e -εt +n εᶄ1ε S 2ɕ+n εᶄ2ε h 2ɕ,其中췍:=m a x 1ɤi ,j ɤn{1+βj ,1+αi }㊂由定义的范数可得:(x (t );y (t ))ɤe -εt22췍(x (0)2+y (0)2)+ðni =1(α2i+η1α2i)σεe εσ+ðni =1α2i+ðni =1η1α2()i ʏ0-σx i (s )2d s {[+ðnj =1(β2j+η2β2j)τεe ετ+ðnj =1β2j+ðnj =1η2β2()jʏ-τy j (s )2d }]s 12+2n εᶄæèçöø÷ε12s2ɕ+h2()ɕ12,其中εᶄ=m a x (εᶄ1,εᶄ2),θ=m a x ðn i =1(α2i+η1α2i)σεe εσ+ðni =1α2i+ðni =1η1α2i,ðnj =1(β2j+η2β2j)τεe ετ+ðnj =1β2j+ðnj =1η2β2{}j ㊂下面将定义两个新的函数为β(s )=2췍s +4θ,γ(s )=s 2n εᶄæèçöø÷ε12㊂显然β(㊃),γ(㊃)为K -函数㊂取λ=ε2,则有(x (t );y (t ))ɤβ((ξ;ψ)r )e -λt+γ((s ;h )ɕ)㊂根据定义,双向联想记忆神经网络(2)是指数输入-状态稳定的㊂证毕4结束语主要研究了外部输入随时间变化的多时滞双向联想记忆神经网络,通过L y a pu n o v 泛函方法及构造新的线性矩阵不等式的技术,获得了关于双向联想记忆神经网络模型的指数对输入-状态稳定性分析的一个充分条件,后期将通过构造新的积分微分不等式的技术进一步研究含脉冲和随机的神经网络模型的输入-状态稳定性问题㊂参考文献:[1]K o s k oB .A d a p t i v eb i d i r e c t i o n a l a s s o c i a t i v e m e m o r i e s [J ].A p p l i e dO pt i c s 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