四川省内江市2014_2015学年高二数学上学期期末试卷理(含解析) (1)

2015-2016学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（理科） 一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．若一个几何体的正视图是一个三角形，则该几何体不可能是（ ）A ．圆锥B ．圆柱C ．棱锥D ．棱柱2．四川省教育厅为确保我省高考使用全国卷平稳过渡，拟召开高考命题调研会，广泛征求参会的教研员和一线教师的意见，其中教研员有80人，一线教师有100人，若采用分层抽样方法从中抽取9人发言，则应抽取的一线教师的人数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．若直线2x ﹣y ﹣4=0在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b ，则a ﹣b 的值为（ ） A ．6 B ．2 C ．﹣2 D ．﹣64．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是（ ）A ．一样大B ．蓝白区域大C ．红黄区域大D ．由指针转动圈数决定 5．若直线x +（1+m ）y +m ﹣2=0与直线2mx +4y +16=0没有公共点，则m 的值是（ ） A ．﹣2 B ．1 C ．1或﹣2 D ．2或﹣16．设α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β B ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βC ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥nD ．若m ∥α，m ∥β，α∩β=n ，则m ∥n若t 与y 之间具有线性相关关系，则其线性回归直线=t +一定过点（ ） A ．（3，9） B ．（9，3） C ．（6，14） D ．（4，11）8．如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，其中茎为十位数，叶为个位数，甲、乙两人得分的中位数为X 甲、X 乙，则下列判断正确的是（ ）A ．X 乙﹣X 甲=5，甲比乙得分稳定B ．X 乙﹣X 甲=5，乙比甲得分稳定C ．X 乙﹣X 甲=10，甲比乙得分稳定D ．X 乙﹣X 甲=10，乙比甲得分稳定9．设直线x ﹣y +3=0与圆心为O 的圆x 2+y 2=3交于A ，B 两点，则直线AO 与BO 的倾斜角之和为（ ） A ． B ． C ． D ．10．为求使不等式1+2+3+…+n＜60成立的最大正整数n，设计了如图所示的算法，则图中“”处应填入（）A．i+2 B．i+1 C．i D．i﹣111．在如图所示的几何体中，三棱锥D﹣ABC的各条棱长均为2，OA，OB，OC两两垂直，则下列说法正确的是（）A．OA，OB，OC的长度可以不相等B．直线OB∥平面ACDC．直线OD与BC所成的角是45°D．直线AD与OB所成的角是45°12．已知正三角形ABC的边长为2，D是BC边的中点，将三角形ABC沿AD翻折，使，若三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．7πB．19πC．D．二．填空题（共4小题，共20分）13．阅读下面程序．若a=4，则输出的结果是．14．将一颗骰子先后抛掷2次，以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=9的内部的概率为．15．一个直棱柱被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该剩余部分的体积为．16．设点P（x0，1），若在以O为圆心的圆O：x2+y2=4上存在一点Q，使∠OPQ=30°，则x0的取值范围是．三．解答题（共6小题，共70分）17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDE．18．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣5=0．（Ⅰ）判断圆C与圆D：（x﹣5）2+（y﹣4）2=4的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若过点（5，4）的直线l与圆C相切，求直线l的方程．19．随着智能手机等电子产品的普及，“低头族”正成为现代社会的一个流行词．在路上、在餐厅里、在公交车上，随处可见低头玩手机的人，这种“低头族现象”冲击了人们面对面交流的温情，也对人们的健康构成一定的影响．为此，某报社发起一项专题调查，记者随机采访了M名市民，得到这M名市民每人在一天内低头玩手机的时间（单位：小时），根据此数（Ⅰ）求出表中的，及图中的值；（Ⅱ）试估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间（同一组的数据用该组的中间值作代表）；（Ⅲ）在所取样本中，从一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民中任取2人，求两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率．20．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC=2AB=4，，E是A1D1的中点．（Ⅰ）在平面A1B1C1D1内，请作出过点E与CE垂直的直线l，并证明l⊥CE；（Ⅱ）设（Ⅰ）中所作直线l与CE确定的平面为α，求直线CC1和平面α所成角的大小．21．已知圆C经过点A（1，1）和B（4，﹣2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程．22．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小；（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点E，使平面PCE⊥平面PCD？若存在，请指出点E的位置并证明，若不存在请说明理由．2015-2016学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．若一个几何体的正视图是一个三角形，则该几何体不可能是（）A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱【考点】简单空间图形的三视图．【分析】圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形．【解答】解：圆锥的正视图有可能是三角形，圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形，棱锥的正视图有可能是三角形，三棱柱放倒时正视图是三角形，∴在圆锥、圆柱、棱锥、棱柱中，正视图是三角形，则这个几何体一定不是圆柱．故选：B．2．四川省教育厅为确保我省高考使用全国卷平稳过渡，拟召开高考命题调研会，广泛征求参会的教研员和一线教师的意见，其中教研员有80人，一线教师有100人，若采用分层抽样方法从中抽取9人发言，则应抽取的一线教师的人数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】分层抽样方法．【分析】先求出抽样比，再求应抽取的一线教师的人数．【解答】解：∵教研员有80人，一线教师有100人，采用分层抽样方法从中抽取9人发言，∴应抽取的一线教师的人数为：=5（人）．故选：C．3．若直线2x﹣y﹣4=0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a﹣b的值为（）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣6【考点】直线的截距式方程．【分析】先将直线的方程化成截距式，结合在x轴和y轴上的截距分别为a和b，即可求出a，b的值，问题得以解决．【解答】解：直线2x﹣y﹣4=0化为截距式为+=1，∴a=2，b=﹣4，∴a﹣b=2﹣（﹣4）=6，故选：A．4．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是（）A．一样大B．蓝白区域大C．红黄区域大D．由指针转动圈数决定【考点】几何概型．【分析】根据矩形的性质和题意得出蓝颜色和白颜色所占区域的角较大，再根据几何概率即可得出答案．【解答】解；∵一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域中蓝颜色和白颜色的角较大，∴指针指向蓝白区域的可能性大；故选：B．5．若直线x+（1+m）y+m﹣2=0与直线2mx+4y+16=0没有公共点，则m的值是（）A．﹣2 B．1 C．1或﹣2 D．2或﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用两条直线平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵直线x+（1+m）y+m﹣2=0与直线2mx+4y+16=0没有公共点，∴两条直线平行．两条直线方程分别化为：y=﹣x+，y=﹣mx﹣4，（1+m≠0），∴﹣=﹣，≠﹣4，解得m=1．故选：B．6．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βB．若α⊥β，m⊥α，则m∥βC．若m∥α，α∩β=n，则m∥n D．若m∥α，m∥β，α∩β=n，则m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，m与β相交、平行或m⊂β；在B中，m∥β或m⊂β；在C中，m与n 平行或异面；在D中，由直线与平面平行的性质定理得m∥n．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在A中，若α⊥β，m⊂α，则m与β相交、平行或m⊂β，故A错误；在B中，若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故B错误；在C中，若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故C错误；在D中，若m∥α，m∥β，α∩β=n，则由直线与平面平行的性质定理得m∥n，故D正确．故选：D．若t 与y 之间具有线性相关关系，则其线性回归直线=t +一定过点（ ） A ．（3，9） B ．（9，3） C ．（6，14） D ．（4，11）【考点】线性回归方程．【分析】求出横坐标和纵坐标的平均数，写出样本中心点，可得结论．【解答】解： =（0+1+2+3+4+5+6）=3， =（8+8+8+9+9+10+11）=9，∴线性回归直线=t +一定过点（3，9），故选：A ．8．如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，其中茎为十位数，叶为个位数，甲、乙两人得分的中位数为X 甲、X 乙，则下列判断正确的是（ ）A ．X 乙﹣X 甲=5，甲比乙得分稳定B ．X 乙﹣X 甲=5，乙比甲得分稳定C ．X 乙﹣X 甲=10，甲比乙得分稳定D ．X 乙﹣X 甲=10，乙比甲得分稳定【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲、乙二人的中位数以及数据分布的稳定性．【解答】解：分析茎叶图可得：甲运动员的得分为：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51共11个，中位数是26，且分布较分散些，不稳定；乙运动员的得分为：18，24，25，31，31，36，36，37，39，44，50共11个，中位数是36，且分布较集中些，相对稳定些；所以X 乙﹣X 甲=10，乙比甲得分稳定．故选：D ．9．设直线x ﹣y +3=0与圆心为O 的圆x 2+y 2=3交于A ，B 两点，则直线AO 与BO 的倾斜角之和为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】联立直线和圆的方程可得点的坐标，分别可得直线的倾斜角，可得答案．【解答】解：由x ﹣y +3=0可得x=y ﹣3，代入x 2+y 2=3整理可得2y 2﹣3y +3=0，解得y 1=，y 2=，分别可得x 1=0，x 2=﹣，∴A（0，），B（﹣，），∴直线AO与BO的倾斜角分别为，，∴直线AO与BO的倾斜角之和为+=，故选：C．10．为求使不等式1+2+3+…+n＜60成立的最大正整数n，设计了如图所示的算法，则图中“”处应填入（）A．i+2 B．i+1 C．i D．i﹣1【考点】程序框图．【分析】先假设最大正整数i使1+2+3+…+i＜60成立，然后利用伪代码进行推理出最后i的值，从而得到我们需要输出的结果．【解答】解：假设最大正整数i使1+2+3+…+i＜60成立，此时满足S＜60，则语句i=i+1，S=S+i，继续运行，此时i=i+1，属于图中输出语句空白处应填入i﹣1．故选：D．11．在如图所示的几何体中，三棱锥D﹣ABC的各条棱长均为2，OA，OB，OC两两垂直，则下列说法正确的是（）A．OA，OB，OC的长度可以不相等B．直线OB∥平面ACDC．直线OD与BC所成的角是45°D．直线AD与OB所成的角是45°【考点】棱锥的结构特征．【分析】在A中，推导出△AOC≌△BOC≌AOB，从而OA，OB，OC的长都相等；在B 中，以O为原点，OA，OB，OC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线OB与平面ACD不平行；在C中，直线OD与BC所成的角是90°；在D中，利用向量法得到直线AD与OB所成的角是45°．【解答】解：在A中，∵棱锥D﹣ABC的各条棱长均为2，OA，OB，OC两两垂直，∴△AOC≌△BOC≌AOB，∴OA，OB，OC的长都相等，故A错误；在B中，以O为原点，OA，OB，OC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，O（0，0，0），B（0，，0），A（，0，0），C（0，0，），D（），=（0，，0），=（﹣，0，），=（0，），设平面ACD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），=﹣，∴直线OB∥平面ACD，故B错误；在C中，=（），=（0，﹣），cos＜＞==0，∴直线OD与BC所成的角是90°，故C错误；在D中，=（0，），=（0，），∴cos＜＞===，∴直线AD与OB所成的角是45°，故D正确．故选：D．12．已知正三角形ABC的边长为2，D是BC边的中点，将三角形ABC沿AD翻折，使，若三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．7πB．19πC．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OD，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．【解答】解：△BCD中，BD=1，CD=1，BC=，所以∠BDC=120°，底面三角形的底面圆半径为：DM=CM=1，AD是球的弦，DA=，∴OM=，∴球的半径OD=．该球的表面积为：4π×OD2=7π；故选：A二．填空题（共4小题，共20分）13．阅读下面程序．若a=4，则输出的结果是16．【考点】伪代码．【分析】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出a=的值，由a=4，即可得解．【解答】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出a=的值，a=4不满足条件a＞4，a=4×4=16．故答案为：16．14．将一颗骰子先后抛掷2次，以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=9的内部的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件总数为36，满足条件的事件可以通过列举得到事件数，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件总数为36，满足条件的事件有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共有4种结果，记点（x，y）在圆x2+y2=9的内部记为事件A，∴P（A）==，即点（x，y）在圆x2+y2=9的内部的概率，故答案为15．一个直棱柱被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该剩余部分的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得该剩余部分是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1沿平面ACC1A1切去ABC﹣A1B1C1，剩余部分是三棱柱ADC﹣A1D1C1，由此能求出该剩余部分的体积．【解答】解：由三视图得该剩余部分是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中切去三棱柱BDC﹣B1D1C1，再切去三棱锥A﹣A1B1D1，剩余部分是两个三棱锥B1﹣ABD和A﹣DD1B1的组合体，∴该剩余部分的体积为V=23﹣=．故答案为：．16．设点P（x0，1），若在以O为圆心的圆O：x2+y2=4上存在一点Q，使∠OPQ=30°，则x0的取值范围是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．根据两点间的距离公式表示出OP的长，利用PO2≤16求出x0的范围．【解答】解：由题意x2+y2=4，半径r=2，圆心为O（0，0）圆上存在点q使得∠OPQ=30°需过P点向圆引的两条切线夹角不小于60°即切线与OP的夹角不小于30°那么PO≤4，所以PO2≤16，即x02+1≤16，所以x0的取值范围是．故答案为：．三．解答题（共6小题，共70分）17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE，则PC∥OE，由此能证明PC∥平面BDE．（Ⅱ）推导出PA⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE…∵O是AC的中点，E是PA的中点∴PC∥OE…∵OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE∴PC∥平面BDE…（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥BD∵ABCD是正方形∴BD⊥AC又AC∩PA=A∴BD⊥平面PAC…又BD⊂平面BDE∴平面PAC⊥平面BDE…18．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣5=0．（Ⅰ）判断圆C与圆D：（x﹣5）2+（y﹣4）2=4的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若过点（5，4）的直线l与圆C相切，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用圆C与圆D的连心线长=圆C与圆D的两半径之和，判断圆C与圆D：（x﹣5）2+（y﹣4）2=4的位置关系；（Ⅱ）分类讨论，利用圆心C（2，0）到直线l的距离=半径，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的标准方程是（x﹣2）2+y2=9∴圆C的圆心坐标是（2，0），半径长r1=3…又圆D的圆心坐标是（5，4），半径长r2=2∴圆C与圆D的连心线长为…又圆C与圆D的两半径之和为r1+r2=5∴圆C与圆D外切…（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=5，符合题意…当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣5）+4，即kx﹣y+4﹣5k=0∵直线l与圆C相切∴圆心C（2，0）到直线l的距离d=3，即，解得…∴此时直线l的方程为，即7x﹣24y+61=0…综上，直线l的方程为x=5或7x﹣24y+61=0…19．随着智能手机等电子产品的普及，“低头族”正成为现代社会的一个流行词．在路上、在餐厅里、在公交车上，随处可见低头玩手机的人，这种“低头族现象”冲击了人们面对面交流的温情，也对人们的健康构成一定的影响．为此，某报社发起一项专题调查，记者随机采访了M名市民，得到这M名市民每人在一天内低头玩手机的时间（单位：小时），根据此数（Ⅱ）试估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间（同一组的数据用该组的中间值作代表）；（Ⅲ）在所取样本中，从一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民中任取2人，求两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率=，利用频率分布表频率分布直方图能求出表中的M，p及图中a的值．（Ⅱ）先求出，由此利用频率分布直方图能估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间．（Ⅲ）所取样本中，一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民共有6人，由此利用列举法能求出两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵分组[0，0.5）内的频数是4，频率是0.10∴，得M=40…∵频数之和为M=40∴4+m+10+6+4+2=40，得m=14∴分组[0.5，1）内的频率…∵a是分组[0.5，1）内频率与组距的商，∴…（Ⅱ），设这40名市民一天内低头玩手机的平均时间为x，则x=0.25×0.1+0.75×0.35+1.25×0.25+1.75×0.15+2.25×0.1+2.75×0.05=1.225…（Ⅲ）所取样本中，一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民共有6人…设一天内低头玩手机的时间在区间[2，2.5）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[2.5，3）内的人为b1，b2，则任取2人有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共15种情况…其中两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4）共6种情况…∴两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率为…20．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC=2AB=4，，E是A1D1的中点．（Ⅰ）在平面A1B1C1D1内，请作出过点E与CE垂直的直线l，并证明l⊥CE；（Ⅱ）设（Ⅰ）中所作直线l与CE确定的平面为α，求直线CC1和平面α所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）连接B1E，C1E，则直线B1E即为所求直线l，推导出B1E⊥CC1，B1E⊥C1E，由此能证明l⊥CE．（Ⅱ）连接B1C，则平面CEB1即为平面α，推导出B1E⊥C1F，C1F⊥平面α，从而直线CC1和平面α所成角为∠FCC1，由此能求出直线CC1和平面α所成角．【解答】解：（Ⅰ）如图所示，连接B1E，C1E，则直线B1E即为所求直线l…∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥平面A1B1C1D1∴B1E⊥CC1…∵B1C1=2A1B1=4，E是A1D1的中点∴B1E⊥C1E…又CC1∩C1E=C1∴B1E⊥平面CC1E∴B1E⊥CE，即l⊥CE…（Ⅱ）如图所示，连接B1C，则平面CEB1即为平面α过点C1作C1F⊥CE于F…由（Ⅰ）知B1E⊥平面CC1E，故B1E⊥C1F∵C1F⊥CE，CE∩B1E=E∴C1F⊥平面CEB1，即C1F⊥平面α…∴直线CC1和平面α所成角为∠FCC1…∵在△ECC1中，，且EC1⊥CC1∴…∴直线CC1和平面α所成角为45°．…21．已知圆C经过点A（1，1）和B（4，﹣2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，分析可得圆C的圆心是线段AB的垂直平分线与直线l的交点，先求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线l联立可得圆心C的坐标，进而可得圆的半径，即可得答案；（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r，可以设p的坐标为（m，﹣1﹣m），结合直线与圆的位置关系可得（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m的值，即可得p的坐标，分析可得直线MN的斜率为1，由直线的点斜式方程可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（4，﹣2）∴直线AB的斜率…∴直线AB的垂直平分线的斜率为1 …又线段AB的中点坐标为∴线段AB的垂直平分线的方程是，即x﹣y﹣3=0…∵圆心C在直线l：x+y+1=0上∴圆心C的坐标是方程组的解，得圆心C的坐标（1，﹣2）…∴圆C的半径长…∴圆C的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9…（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r∵M，N是圆C上的两点，且M，N关于直线l：x+y+1=0对称∴点P在直线l：x+y+1=0上∴可以设点P坐标为（m，﹣1﹣m）…∵以MN为直径的圆经过原点O∴以MN为直径的圆的半径长…∵MN是圆C的弦，∴|CP|2+r2=9，即（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m=﹣1或∴点P坐标为（﹣1，0）或…∵直线MN垂直直线l：x+y+1=0，∴直线MN的斜率为1…∴直线MN的方程为：x﹣y+1=0或x﹣y﹣4=0…22．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小；（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点E，使平面PCE⊥平面PCD？若存在，请指出点E的位置并证明，若不存在请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）设M，N分别是AB和CD的中点，连接PM，MN，PN，推导出PM⊥AB，MN⊥AB，从而∠PMN为二面角P﹣AB﹣C的平面角，由此能求出二面角P﹣AB﹣C的大小．（Ⅱ）设E，F，G分别为MB，PN和PC的中点，连接MF，FG，EG，EC，推导出MF⊥PN，CD⊥MF，从而MF⊥平面PCD，推导出四边形EMFG为平行四边形，从而EG⊥平面PCD，由此得到存在点E，使平面PCE⊥平面PCD，此时E为线段MB的中点．【解答】解：（Ⅰ）如图，设M，N分别是AB和CD的中点，连接PM，MN，PN…∵PA=PB，M是AB的中点∴PM⊥AB又在正方形ABCD中有MN⊥AB∴∠PMN为二面角P﹣AB﹣C的平面角…∵，AB=2，M是AB的中点∴PM=2同理可得PN=2，又MN=2∴△PMN是等边三角形，故∠PMN=60°∴二面角P﹣AB﹣C为60°，…（Ⅱ）存在点E，使平面PCE⊥平面PCD，此时E为线段MB的中点．理由如下…如图，设E，F，G分别为MB，PN和PC的中点，连接MF，FG，EG，EC…由（Ⅰ）知△PMN是等边三角形，故MF⊥PN∵CD⊥MN，CD⊥PN，MN∩PN=N∴CD⊥平面PMN，故CD⊥MF又CD∩PN=N∴MF⊥平面PCD…∵F，G分别为PN和PC的中点∴FG=∥又E为线段MB的中点∴FG=∥ME，故四边形EMFG为平行四边形…∴EG∥MF∴EG⊥平面PCD又EG⊂平面PCE∴平面PCE⊥平面PCD．…2016年8月22日。

雅安市2014——2015学年上期期末高中检测高二数学（理科）参考答案和评分意见一 选择题：CDBBD AABCA二 填空题：11.2个 12. ÷øöçèæ41,0 13. 14. 2222BCD ABD ACD ABC S S S S D D D D =++ 15. 3 三 解答题16.(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. ……………………………………1分 若a ≠0，则设l 的方程为x y a a +＝1， ……………………………………2分 ∵l 过点(3,2)，∴32a a+＝1， ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0， ……………………………………5分 综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.……………………6分(2) 设直线方程为x y a b+＝1 (0,0a b >>)，点P (3,2)代入得32a b +，得ab ≥24，………………………8分 从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当32a b=时等号成立，这时6,4,a b ==…10分 从而所求直线方程为23120x y +-=. ………………………………12分17.（1）由已知可得：圆C 的圆心为()2,a ，半径为2，则圆心到直线的距离232-+=a d ，由勾股定理得：422=+d3=\a 或1-=a （6分）（2）当3=a 时，圆的方程为()()42322=-+-y x 由已知切线的斜率存在，设切线方程为)3(5-=-x k y由2153232=++--k k k 可得25±=k \所求的直线方程为5)3(25+-±=x y （12分） 18.解：（1）2a =Q ()0f x \>等价于2230x x +->1x \>或32x <- 即不等式解集为3(,(1,)2-¥-È+¥（2）()()f x g x >Q 恒成立2(2)410a x x a \+++->对一切x R Î恒成立20164(2)(1)0a a a +>ì\í-+-<î即2a >，a \的取值范围是¥(2,+)19.解：（1）ABC BM ABC EA 面面Ì^,Q ，MB EA ^\A EA AC AC MB =Ç^,QMB ACFE \^面EM ACFE ÌQ 面，MB EM ^\，在直角梯形ACFE 中，EA＝3，FC＝1，AC＝4，52=\EF ，在Rt ABC D 中，2,23,1,3,,30==\==\^=ÐMF EM CM AM AC BM BAC o Q ， ,,222MF EM MF EM EF ^\+=Q又BF EM MBF EM M MF MB ^\^\=Ç,,面 （6分）（2）延长EF 交AC 于H，连接BH，BH 即为平面ABC 与平面BEF 的交线（8分）（3）过C 作CG ^BH，垂足为G，连接FGFC Q //EA，ABC EA 面^，,,,,C CG FC FC BH ABC BH ABC FC =Ç^\Ì^\Q Q 面面CGF FG BH FCG FG FCG BH Ð\^\Ì^\，，面面Q ,为平面BEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角，在直角梯形ACFE 中，CH＝2，在D BCH 中，CH＝2，BC＝2，1,120=\=ÐCG BCH o ，在Rt ∆CGF 中，FC＝1，o 45=Ð\CGF ，平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角正切值为1. ………………12分20.解：(1)由题意，知船每小时的燃料费用是kv 2，全程航行时间为s v －p，……2分 于是全程燃料费用y ＝kv 2·s v －p(p <v ≤q )． …………………4分 (2)由(1)，知y ＝kv 2·s v －p…………………………5分 ＝ks ·v 2－p 2＋p 2v －p ＝ks (v ＋p ＋p 2v －p) ＝ks （v －p ＋p 2v －p＋2p ） …………………………7分 ≥ks [2（v －p）·p 2v －p ＋2p ]＝4ksp (当且仅当v －p ＝p 2v －p，即v ＝2p 时等号成立)． …………………………8分①当2p ∈(p ，q ]，即2p ≤q 时，y min ＝4ksp ，此时船的前进速度为2p －p ＝p ； …………………………10分②当2p ∉(p ，q ]，即2p >q 时，函数y ＝kv 2·s v －p在(p ，q ]内单调递减， 所以y min ＝ks ·q 2q －p，此时船的前进速度为q －p . ………………12分 故为了使全程燃料费用最小，当2p ≤q 时，船的实际前进速度应为p 千米/小时；当2p >q 时，船的实际前进速度应为(q －p )千米/小时． ……13分 21.设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x 则有 ïîïíì==Þïîïíì=+=2811422222b a b a b a 所以椭圆的方程为12822=+y x ………………………………4分……5分……7分 ……9分 ……11分 ……12分 ……14分=2m 2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)=0 所以k 1+k 2=0.。

2014-2015学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某个小组7个人在一项技能测试后的成绩统计结果是平均分为75分，标准差为10．其中：同学甲因生病没有正常发挥出自己的水平，只得分50分；同时，同学乙则超常发挥了，得分100分．正常情况下，这两位同学得分在75分左右，如果将这两位同学的成绩都改为75分，则（）A．平均分不变，标准差缩小B．平均分不变，标准差扩大C．平均分增大，方差缩小D．平均分减小，方差扩大4．（5分）设f（x）=15x5﹣24x4+33x3﹣42x2+51x，用秦九韶算法求f（2）的值为（）A．147B．294C．699D．13985．（5分）给出一下四个命题（）①平面α外的一条直线l上有两个不同点到平面α的距离相等，则直线l平行于平面α②平面α外有三个不共线的点到面α的距离相等，则经过这三个点的平面平行于平面α③空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行④空间中垂直于同一平面的两个平面可以平行其中真命题有（）A．①②③④B．①②④C．②③④D．③④6．（5分）从四面体的四个面中任意取出一个面，这个面的形状恰好为直角三角形的概率最大值为（）A．1B．C．D．7．（5分）如图的语句是求S=1+2+3+…+100的一个程序，语句i=i+1应当在这个程序中的①②③④四处的哪一处才能实现上述功能（）A．①B．②C．③D．④8．（5分）已知区域A={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，区域B={（x，y）|（x﹣1）2+（y+1）2≤4}，在区域A上取一个点P，点P不在区域B上的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在x∈[0，2）时，f（x）=，若直线kx﹣y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个不同交点，则k 的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）设点A（1，﹣1），B（0，1），C（1，1），直线l：ax+by=1，已知直线l与线段AB（不含B点）无公共点，且直线l与包含端点的线段AC有公共点，则z=2a+b的最小值为（）A．5B．4C．2D．1二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则命题￢p为：．12．（5分）某班有男生30人，女生25人，男女生体育活动量和活动强度明显不同，为调查体育活动景和活动强度对于男生和女生的区别等相关情况，决定在这个班按恰当的方式抽取一个容量为11的样本调查，应当抽取的女生人数是个．13．（5分）已知两个圆的圆心都在直线x﹣y+1=0上且相交于两个不同的点，若其中一个交点的坐标为A（﹣2，2），则另一个交点的坐标是．14．（5分）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费y（万元）有如下的统计资料：由资料可知y和x呈线性相关关系，由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计，使用年限为10年时的维修费是万元．15．（5分）四面体ABCD中，AD=x，其余各棱长均为2，给出下列论断①x的取值范围是（0，）；②异面直线AB与CD成角最大为90°；③直线AB与平面BCD成角最大为60°；④体积最大时，二面角A﹣CD﹣B平面角的正切值为2．其中正确的命题有（写出所有正确命题的序号）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．17．（12分）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）郑州市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车，为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：（Ⅰ）估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；（Ⅱ）若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．19．（12分）用向量方法证明定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行则这两个平面平行．20．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E 是BC中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AEC1；（Ⅱ）若棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求AM的长；（Ⅲ）求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．21．（14分）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．2014-2015学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：因为直线x+y﹣1=0的斜率为：﹣，直线的倾斜角为：α．所以tanα=﹣，α=120°故选：C．2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，显然平行；而由两直线平行可得：a（a+1）﹣2=0，解得a=1，或a=﹣2，故不能推出“a=1”，由充要条件的定义可得：“a=1”是“直线l1：ax+2x﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）某个小组7个人在一项技能测试后的成绩统计结果是平均分为75分，标准差为10．其中：同学甲因生病没有正常发挥出自己的水平，只得分50分；同时，同学乙则超常发挥了，得分100分．正常情况下，这两位同学得分在75分左右，如果将这两位同学的成绩都改为75分，则（）A．平均分不变，标准差缩小B．平均分不变，标准差扩大C．平均分增大，方差缩小D．平均分减小，方差扩大【解答】解：设其他5个同学的成绩分别为x1，x2，x3，x4，x5；则本次测试的平均分是=（50+100+x1+x2+x3+x4+x5）=75，方差是s2=[（50﹣75）2+（100﹣75）2++…+]=102=100；修改数据后，测试成绩的平均分是=（75+75+x1+x2+x3+x4+x5）=（50+100+x1+x2+x3+x4+x5）=75=，方差为s′2=[（75﹣75）2+（75﹣75）2++…+]=[+…+]＜[（50﹣75）2+（100﹣75）2++…+]=100=s2；∴s′＜s．故选：A．4．（5分）设f（x）=15x5﹣24x4+33x3﹣42x2+51x，用秦九韶算法求f（2）的值为（）A．147B．294C．699D．1398【解答】解：∵f（x）=15x5﹣24x4+33x3﹣42x2+51x=（（（（15x﹣24）x+33）x﹣42）x+51）x，∴v0=15，v1=15×2﹣24=6，v2=6×2+33=45，v3=45×2﹣42=48，v4=48×2+51=147，v5=147×2=294．故选：B．5．（5分）给出一下四个命题（）①平面α外的一条直线l上有两个不同点到平面α的距离相等，则直线l平行于平面α②平面α外有三个不共线的点到面α的距离相等，则经过这三个点的平面平行于平面α③空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行④空间中垂直于同一平面的两个平面可以平行其中真命题有（）A．①②③④B．①②④C．②③④D．③④【解答】解：①平面α外的一条直线l上有两个不同点到平面α的距离相等，则如果两点在平面α同侧，则l∥α；如果两点在平面α异侧，则l与α相交，故错误；②当平面α与平面β相交时，α内在平面β的两侧存在三点到平面β的距离相等，故错误；③正方体从同一顶点出发的三条直线，即可判断空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行，正确；④空间中垂直于同一平面的两个平面可以平行、相交，故正确，故选：D．6．（5分）从四面体的四个面中任意取出一个面，这个面的形状恰好为直角三角形的概率最大值为（）A．1B．C．D．【解答】解：如图所示，四面体V﹣ABC中，面VAB，面VAC，面VBC与面ABC都是直角三角形，∴从这个四面体的四个面中任意取出一个面，这个面恰好为直角三角形的概率是=1．故选：A．7．（5分）如图的语句是求S=1+2+3+…+100的一个程序，语句i=i+1应当在这个程序中的①②③④四处的哪一处才能实现上述功能（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：∵程序运行后输出“1+2+…+100”，∴每次累加的值都增大1，∴用i来进行计数增大，则i=i+1，又S表示的是依次累加的值，∴S=S+i，模拟运算如下：S=0，i=1，此时i=1≤100，S=0+1=1，i=1+1=2，此时i=2≤100，S=1+2，i=2+1=3，此时i=3≤100，依次运行，…，S=1+2+…+99，i=99+1=100，此时i=100≤100，S=1+2+…+100，i=100+1=101，此时i=101＞100，不符合条件，运行结束，输出S=1+2+ (100)所以i=i+1应在③处．故选：C．8．（5分）已知区域A={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，区域B={（x，y）|（x﹣1）2+（y+1）2≤4}，在区域A上取一个点P，点P不在区域B上的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：A={（x，y）||x|≤1，|y≤|1}对应的区域为矩正方形，面积S=2×2=4，区域B对应的区域为阴影部分，对应的面积S=4﹣π，如图，则若向区域A内随机取一点P，由几何概型公式得，点P不落入区域A的概率P=；故选：B．9．（5分）函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在x∈[0，2）时，f（x）=，若直线kx﹣y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个不同交点，则k 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由kx﹣y+k=0（k＞0）得y=k（x+1），（k＞0），则直线过定点A（﹣1，0），当x∈[0，2）时，f（x）=，即（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），对应的根据为圆心在（1，0）的上半圆，∵f（x）满足f（x+2）=f（x），∴当x∈[2，4）时，（x﹣3）2+y2=1，（y≥0），此时圆心为（3，0），当直线和圆（x﹣1）2+y2=1，（y≥0）相切时此时有2个交点，此时圆心（1，0）到直线的距离d=，解得k=或k=﹣（舍）．当线和圆（x﹣3）2+y2=1，（y≥0）相切时此时有4个交点，此时圆心（3，0）到直线的距离d=，解得k=或k=﹣（舍）．若若直线kx﹣y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个不同交点，则直线在AB和AC之间，则＜k＜，故选：A．10．（5分）设点A（1，﹣1），B（0，1），C（1，1），直线l：ax+by=1，已知直线l与线段AB（不含B点）无公共点，且直线l与包含端点的线段AC有公共点，则z=2a+b的最小值为（）A．5B．4C．2D．1【解答】解：如图，将直线改l：ax+by=1写为ax+by﹣1=0，直线l与线段AB（不含B点）无公共点，且直线l与包含端点的线段AC有公共点，得，画出可行域如图，化z=2a+b为b=﹣2a+z，由图可知，当直线b=﹣2a+z过（0，1）时直线在b轴上的截距最小，为z=2×0+1=1．故选：D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则命题￢p为：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．【解答】解：命题是全称命题，则￢p为：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，故答案为：∃x0∈R，x02+x0+1≤012．（5分）某班有男生30人，女生25人，男女生体育活动量和活动强度明显不同，为调查体育活动景和活动强度对于男生和女生的区别等相关情况，决定在这个班按恰当的方式抽取一个容量为11的样本调查，应当抽取的女生人数是5个．【解答】解：由分层抽样可得应当抽取的女生人数是，故答案为：513．（5分）已知两个圆的圆心都在直线x﹣y+1=0上且相交于两个不同的点，若其中一个交点的坐标为A（﹣2，2），则另一个交点的坐标是（1，﹣1）．【解答】解：由题意可得另一个交点B是点A（﹣2，2）关于直线x﹣y+1=0的对称点，设点B（m，n），则由，求得，故点B的坐标为（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1）．14．（5分）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费y（万元）有如下的统计资料：由资料可知y和x呈线性相关关系，由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计，使用年限为10年时的维修费是11.84万元．【解答】解：∵由表格可知=4，=5，∴这组数据的样本中心点是（4，5），根据样本中心点在线性回归直线上，∴5=a+1.14×4，∴a=0.44，∴这组数据对应的线性回归方程是y=1.14x+0.44，∵x=10，∴y=1.14×10+0.44=11.84，故答案为：11.84．15．（5分）四面体ABCD中，AD=x，其余各棱长均为2，给出下列论断①x的取值范围是（0，）；②异面直线AB与CD成角最大为90°；③直线AB与平面BCD成角最大为60°；④体积最大时，二面角A﹣CD﹣B平面角的正切值为2．其中正确的命题有①②③④（写出所有正确命题的序号）【解答】解：对于①，如图，四面体ABCD中，AD=AC=DC=BD=BC=2，取CD中点G，连结AG，BG，在等边三角形ACD和等边三角形BCD中，可求得AG=BG=，∴要构成四面体ABCD，A，B不能重合，即x＞0，点A不能在平面BCD上，即AB＜AG+BG，x＜2．∴①正确；对于②，因为异面直线所成角的最大值是90°，当x=2时几何体是正四面体，异面直线AB⊥CD，异面直线AB与CD成角最大为90°．∴②正确．对于③，当侧面ABC与底面BCD垂直时，AB与底面BDC所成角取得最大值，三角形ABC是正三角形，所以最大值为60°，∴③正确．对于④，当侧面ABC与底面BCD垂直时，A到底面BCD的距离最大，底面BCD 面积是定值，此时体积最大，如图，作AO⊥BC于O，作OE⊥BD于E，连结AE，则二面角A﹣CD﹣B平面角为∠AEO，此时O是BC的中点，AO=2OE，二面角A﹣CD﹣B平面角的正切值为2，∴④正确；故答案为：①②③④．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．17．（12分）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题P函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；∴0＜a＜1（3分）又∵命题Q不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立；∴a=2（2分）或，（3分）即﹣2＜a≤2（1分）∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是0＜a≤2，且a≠1（5分）18．（12分）郑州市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车，为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：（Ⅰ）估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；（Ⅱ）若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．【解答】解：（Ⅰ）由图表得到15人中候车时间少于12分钟的人数为9，设45名乘客中候车时间少于12分钟的人数为n，由，得n=27．则45名乘客中候车时间少于12分钟的人数为27人；（Ⅱ）记第四组的3人为A、B、C，第五组的2个人为a、b，则从这5人中随机抽取2人的不同结果（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）共10种，两人恰好来自两组的情况有共6种，则抽到的2人恰好来自不同组的概率P=．19．（12分）用向量方法证明定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行则这两个平面平行．【解答】已知：a∩b=P，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β．求证：α∥β．证明：设为平面β的法向量，∵a∥β，b∥β．∴，，又a∩b=P，a⊂α，b⊂α，∴，∴α∥β．20．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E 是BC中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AEC1；（Ⅱ）若棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求AM的长；（Ⅲ）求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分14分）（I）证明：连接A1C交AC1于点O，连接EO，因为ACC1A1为正方形，所以O为A1C中点，又E为CB中点，所以EO为△A 1BC的中位线，所以EO∥A1B，…（2分）又∵EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，所以A1B∥平面AEC1．…（4分）（Ⅱ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系所以A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C1（0，2，2），E（1，1，0），设M（0，0，m），0≤m≤2，所以，=（1，﹣1，﹣2），因为B1M⊥C1E，所以=0，解得m=1，所以AM=1．…（8分）（Ⅲ）解：因为=（1，1，0），=（0，2，2），设平面AEC1的法向量为=（x，y，z），则有，得，令y=﹣1，则x=1，z=1，所以取=（1，﹣1，1），…（10分）因为AC⊥平面ABB1A1，取平面ABB1A1的法向量为=（0，2，0），…（11分）所以cos＜＞==﹣，…（13分）平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．…（14分）21．（14分）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．【解答】（Ⅰ）解：设M的坐标为（x，y），由已知得|x+2|=且圆C2上的点位于直线x=﹣2的右侧∴=x+5化简得曲线C1的方程为y2=20x（Ⅱ）证明：当点P在直线x=﹣4上运动时，P的坐标为（﹣4，y0），∵y0≠±3，∴过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y﹣y0=k（x+4），即kx﹣y+y0+4k=0，∴，整理得①设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根∴②由，消元可得③设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，∴y1，y2是方程③的两个实根∴④同理可得⑤由①②④⑤可得==6400∴当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．。

2014-2015学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱锥B．棱台C．圆锥D．棱柱2．（5分）下列关于随机抽样的说法不正确的是（）A．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样B．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等C．有2006个零件，先用随机数表法剔除6个，再用系统抽样方法抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为D．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样3．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线AC1与BB1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．“a、b都是有理数”的否定是“a、b都不是有理数”C．命题“若x=y，则sinx=si ny”的逆否命题为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β6．（5分）在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是（）A．＜，乙比甲成绩稳定B．＜，甲比乙成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定D．＞，乙比甲成绩稳定7．（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN垂直以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．③9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的y=（）A．B．1C．﹣1D．210．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，以顶点A为球心，4为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得的两段弧长之和等于（）A．B．C．πD．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）读如图两段程序，完成下面题目．若Ⅰ、Ⅱ的输出结果相同，则程序Ⅱ中输入的值x为．12．（5分）一段细绳长10cm，把它拉直后随机剪成两段，则两段长度都超过4的概率为．13．（5分）在分别标有号码2，3，4，6，8，9的6张卡片中，随机取出两张卡片，记下它们的标号，则较大标号能被较小标号整除的概率是．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它表面积是．15．（5分）对于四面体A﹣BCD，有以下命题：①若AB=AC=AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心；③四面体A﹣BCD的四个面中最多有四个直角三角形；④若点A到底面三角形BCD三边的距离相等，则侧面与底面所成的二面角相等；⑤若四面体A﹣BCD是棱长为1的正四面体，则它的内切球的表面积为．其中，正确的命题是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），q：x∈（2，3]（1）若命题“若q，则p”为真，求实数a的取值范围；（2）若p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．17．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点D是AB 的中点．求证：（1）平面CA1D⊥平面AA1B1B；（2）BC1∥平面CA1D．18．（12分）某校早上7：30开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：00﹣7：20之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为多少？19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求点D到平面BEC的距离．20．（13分）某企业员工共500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；（2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数；（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．21．（14分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE 上的点．且BF⊥平面ACE．（1）求证：平面ADE⊥平面BCE；（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小；（3）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．2014-2015学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱锥B．棱台C．圆锥D．棱柱【解答】解：由题意不难判断几何体是三棱柱，故选：D．2．（5分）下列关于随机抽样的说法不正确的是（）A．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样B．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等C．有2006个零件，先用随机数表法剔除6个，再用系统抽样方法抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为D．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样【解答】解：A．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样，正确．B．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等，正确．C．有2006个零件，先用随机数表法剔除6个，再用系统抽样方法抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为，故C错误，D．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样，正确．故选：C．3．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线AC1与BB1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，连接AC，∵B1B∥C1C，∴∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角．在Rt△AC1C中，AC1====3，cos∠AC1C==．故选：C．4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．“a、b都是有理数”的否定是“a、b都不是有理数”C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以A不正确；对于B，“a、b都是有理数”的否定是“a、b不都是有理数”，所以B不正确；对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”，因为原命题是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以C正确；对于D，“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，所以D不正确；故选：C．5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β【解答】解：若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥α或m⊂α，故C错误；若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．6．（5分）在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是（）A．＜，乙比甲成绩稳定B．＜，甲比乙成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定D．＞，乙比甲成绩稳定【解答】解：由茎叶图可知=（77+76+88+90+94）=，=（75+86+88+88+93）==86，则＜，乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，故选：A．7．（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选：D．8．（5分）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN垂直以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．③【解答】解：由展开图可得正方体．由正方体可得：①BM与ED为异面直线，不正确；②四边形BCNE为平行四边形，可得CN∥BE，因此不正确；③由于△BEM为等边三角形，BE∥CN，可得CN与BM成60°角，正确；④由正方体的性质可得：DM⊥平面BCN，∴DM与BN垂直，正确．9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的y=（）A．B．1C．﹣1D．2【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下：y=2，i=1，1≥2014？，否，y=1﹣=；i=1+1=2，2≥2014？，否，y=1﹣=﹣1；i=2+1=3，3≥2014？，否，y=1﹣=2；i=3+1=4，4≥2014？，否，y=1﹣=；，…，i=2012+1=2013，2013≥2014？，否，y=1﹣=2；i=2013+1=2014，2014≥2014？，是，输出y：2．故选：D．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，以顶点A为球心，4为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得的两段弧长之和等于（）A．B．C．πD．【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA 1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=4，AA1=2，则∠A1AE=．同理∠BAF=，所以∠EAF=，故弧EF的长为：4×=，而这样的弧共有三条．在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为2，∠FBG=，所以弧FG的长为：1×=．于是，所得的曲线长为：+=．故选：D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）读如图两段程序，完成下面题目．若Ⅰ、Ⅱ的输出结果相同，则程序Ⅱ中输入的值x为0．【解答】解：根据题意，Ⅰ中伪代码运行后输出的是x=3×2=6；Ⅱ中运行后输出的也是y=6，∴x2+6=6，∴x=0；即输入的是0．故答案为：0．12．（5分）一段细绳长10cm，把它拉直后随机剪成两段，则两段长度都超过4的概率为0.2．【解答】解：记“两段的长都超过4厘米”为事件A，则只能在中间2厘米的绳子上剪断，此时剪得两段的长都超过4厘米，所以事件A发生的概率P（A）==0.2故答案为：0.2．13．（5分）在分别标有号码2，3，4，6，8，9的6张卡片中，随机取出两张卡片，记下它们的标号，则较大标号能被较小标号整除的概率是．【解答】解：分别标有号码2，3，4，6，9的6张卡片中，随机取出两张卡片的基本事件有（2，3），（2，4），（2，6），（2，8），（2，9），（3，4），（3，6），（3，8），（3，9），（4，6），（4，8），（4，9），（6，8），（6，9），（8，9）故15种，较大标号被较小标号整除有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（3，9），（4，8），共6种，故较大标号被较小标号整除的概率是P=．故答案为：14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它表面积是20+4．【解答】解：由题意，几何体为底面边长为2，高为3的长方体，切去一个角得到，切面的面积为2×=4，表面积为：2×2+2×4×2+4=20+4，故答案为：20+4．15．（5分）对于四面体A﹣BCD，有以下命题：①若AB=AC=AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心；③四面体A﹣BCD的四个面中最多有四个直角三角形；④若点A到底面三角形BCD三边的距离相等，则侧面与底面所成的二面角相等；⑤若四面体A﹣BCD是棱长为1的正四面体，则它的内切球的表面积为．其中，正确的命题是①③⑤（写出所有正确命题的编号）．【解答】解：对于①，因为AB=AC=AD，设点A在平面BCD内的射影是O，因为sin∠ABO=，sin∠ACO=，sin∠ADO=，所以sin∠ABO=sin∠ACO=sin∠ADO，即则AB，AC，AD与底面所成的角相等；故①正确；对于②设点A在平面BCD内的射影是O，则OB是AB在平面BCD内的射影，因为AB⊥CD，根据三垂线定理的逆定理可知：CD⊥OB 同理可证BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，故②不正确；对于③：如图：直接三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4．故③正确对于④，四面体A﹣BCD，点A到三边距离相等，则点A在平面BCD内射影是△BCD的内心，所以侧面与底面所成的二面角不相等．故④不正确．对于⑤如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为：1；所以OE为内切球的半径，BF=AF=，BE=，所以AE==，因为BO2﹣OE2=BE2，所以（﹣OE）2﹣OE2=（）2，所以OE=，所以球的表面积为：4π•OE2=，故⑥正确．故答案为：①③⑤三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），q：x∈（2，3]（1）若命题“若q，则p”为真，求实数a的取值范围；（2）若p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），得（x﹣a）（x﹣3a）＜0，则a＜x＜3a，即p：x∈（a，3a），若命题“若q，则p”为真，即q是p的充分条件，即（2，3]⊆（a，3a），即，即，解得1＜a≤2．（2）￢q：x∈（﹣∞，2]∪（3，+∞），若p是￢q的充分条件，则（a，3a）⊆（﹣∞，2]∪（3，+∞），∵a＞0，∴或a≥3，解得0＜a≤或a≥3，即实数a的取值范围是0＜a≤或a≥3．17．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点D是AB 的中点．求证：（1）平面CA1D⊥平面AA1B1B；（2）BC1∥平面CA1D．【解答】证明：（1）由AC=BC，D是AB的中点，得AB⊥CD，由AA1⊥面ABC，得AA1⊥CD，∵AA1∩AB=A∴CD⊥面AA1B1B，∵CD⊂平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B．（2）连接AC1交A1C于点E，连接DE因为四边形AA1C1C是矩形，知E为AC1的中点又D是AB的中点，得到DE∥BC1，从而可得BC1∥面CA1D．18．（12分）某校早上7：30开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：00﹣7：20之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为多少？【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|0≤x ≤20，0≤y≤20}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ADE，联立得，即D（15，20），联立得，即E（0，5），=×15×15，则S△ADE几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=．19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求点D到平面BEC的距离．【解答】解：（1）证明：取EC中点N，连接MN，BN．在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且．由已知AB∥CD，，所以MN∥AB，且MN=AB．（3分）所以四边形ABNM为平行四边形．所以BN∥AM．（4分）又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，所以AM∥平面BEC．（5分）（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD．又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．（7分）在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得．在△BCD中，，所以BD2+BC2=CD2．所以BC⊥BD．（8分）所以BC⊥平面BDE．（10分）（3）由（2）知，BC⊥平面BDE又因为BC⊂平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC．（11分）过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度（12分）在直角三角形BDE中，所以所以点D到平面BEC的距离等于．（14分）20．（13分）某企业员工共500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；（2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数；（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知，a=0.08×5×500=200，b=0.02×5×500=50，（Ⅱ）根据频率分布直方图可得，平均年龄为=（27.5×0.02+32.5×0.02+37.5×0.08+42.5×0.06+47.5×0.02）×5=38.5，估计中位数为：35+=35.75，（III）因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为6×=1第2组的人数为6×=1第3组的人数为=4设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1，C2，C3，C4，则从六位同学中抽两位同学有：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共15种可能．其中2人年龄都不在第3组的有：（A，B），共1种可能，所以至少有1人年龄在第3组的概率为1﹣．21．（14分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE 上的点．且BF⊥平面ACE．（1）求证：平面ADE⊥平面BCE；（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小；（3）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．【解答】证明：（Ⅰ）∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE，BF⊥CE，∵EB=BC，∴F是CE的中点，又∵AD⊥平面ABE，AD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABE，∵平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB∴BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE，且BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又AE⊂平面ADE，故平面平面ADE⊥平面BCE．（2）由（1）知AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，即∠AEB=90°，取AB的中点O，连接OE，则OE⊥AB，建立以O为原点，OA，OE，OH为x，y，z轴的空间坐标系如图：∵AE=EB=BC=2，∴AB=2，OA=OE=，则A（，0，0），E（0，，0），B（﹣，0，0），H（O，0，2），C（﹣，0，2），则平面ACB的一个法向量为=（0，1，0），设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则=（﹣2，0，2），=（﹣，，0），由，得，令x=1，则y=1，z=，即=（1，1，），则cos＜＞==，即＜＞=60°，故二面角E﹣AC﹣B的大小为60°．（3）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，∴CN=CE．∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE．同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，∴平面MGE∥平面ADE．又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE．故N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2014-2015学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）刘徽是我国古代最伟大的数学家之一，他的（）是极限思想的开始，他计算体积的思想是积分学的萌芽．A．割圆术B．勾股定理C．大衍求一术D．辗转相除法2．（4分）在极坐标系中，极坐标方程ρ=4sinθ表示的曲线是（）A．圆B．直线C．椭圆D．抛物线3．（4分）直线l的方程为x+3y﹣1=0，则直线l的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．（4分）下列关于统计的说法正确的是（）A．一组数据只能有一个众数B．一组数据可以有两个中位数C．一组数据的方差一定是非负数D．一组数据中的每一个数据都加上同一非零常数后，平均数不会发生变化5．（4分）有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1件次品与至多有1件正品B．至少有1件次品与都是正品C．至少有1件次品与至少有1件正品D．恰有1件次品与恰有2件正品6．（4分）某市要对辖区内的中学教师的年龄进行调查，现从中随机抽出200名教师，已知抽到的教师年龄都在[25，50）岁之间，根据调查结果得出教师的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市辖区内中学教师的年龄的中位数大约是（）A．37.1岁B．38.1岁C．38.7岁D．43.1岁7．（4分）执行如图的程序框图，任意输入一次x（x∈Z，﹣2≤x≤2）与y（y ∈Z，﹣2≤y≤2），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．8．（4分）已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若△POF的面积为6，则|PF|=（）A．B．C．D．9．（4分）若方程=2x+m有实数解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，0}）∪[2，+∞）B．[﹣，0）∪（0，]C．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）10．（4分）已知点P是椭圆（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是以线段PF1为直径的圆上一点，且M到∠F1PF2两边的距离相等，则的取值范围是（）A．（0，）B．（0，2）C．[，）D．（3，2）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）设A（3，2，1），B（1，0，5），则AB的中点M的坐标为．12．（4分）如图算法最后输出的结果是．13．（4分）质检部门对某超市甲、乙、丙三种商品共750件进行分层抽样检查，抽检员制作了如下的统计表格：表格中甲、丙商品的有关数据已被污染看不清楚（分别用x1，x2，x3，x4表示），若甲商品的样本容量比丙商品的样本容量多6，则根据以上信息可求得丙商品数量x2的值为．14．（4分）已知F1是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，以线段F1O为边作正三角形F1OM，若顶点M在双曲线上，则双曲线的离心率是．15．（4分）已知椭圆（a＞b＞0）及内部面积为S=πab，A1，A2是长轴的两个顶点，B1，B2是短轴的两个顶点，在椭圆上或椭圆内部随机取一点P，给出下列命题：①△PA1A2为钝角三角形的概率为1；②△PB1B2为钝角三角形的概率为；③△PA1A2为钝角三角形的概率为；④△PB1B2为锐角三角形的概率为．其中正确的命题有．（填上你认为所有正确的命题序号）三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（10分）直线l经过两直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点，且与直线l1：x+y ﹣6=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．17．（10分）甲、乙两个竞赛队都参加了10场比赛，比赛得分情况记录如下（单位：分）：甲队：57，41，51，40，49，39，52，43，45，53乙队：30，50，67，47，66，34，46，30，64，66（1）根据得分情况记录，请将茎叶图补充完整，并求乙队得分的中位数；（2）如果从甲、乙两队的10场得分中，各随机抽取一场不小于50分的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．18．（10分）已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求过点P（1，3）且与圆C相切的直线方程；（2）问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直线的圆经过原点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由．19．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），O为坐标原点，点G（1，）在椭圆上，过点F的直线l交椭圆于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，P为x轴上一点，若PA、PB是菱形的两条邻边，求点P横坐标的取值范围．2014-2015学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）刘徽是我国古代最伟大的数学家之一，他的（）是极限思想的开始，他计算体积的思想是积分学的萌芽．A．割圆术B．勾股定理C．大衍求一术D．辗转相除法【解答】解：刘徽是我国古代最伟大的数学家之一，他的“割圆术”是极限思想的开始，他计算体积的思想是积分学的萌芽．故选：A．2．（4分）在极坐标系中，极坐标方程ρ=4sinθ表示的曲线是（）A．圆B．直线C．椭圆D．抛物线【解答】解：由ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，∴x2+（y﹣2）2=4，它表示一个以（0，2）为圆心，以2为半径的圆，故选：A．3．（4分）直线l的方程为x+3y﹣1=0，则直线l的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：由直线l的方程为x+3y﹣1=0，可得直线的斜率为k=﹣，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=，∴α=150°．故选：D．4．（4分）下列关于统计的说法正确的是（）A．一组数据只能有一个众数B．一组数据可以有两个中位数C．一组数据的方差一定是非负数D．一组数据中的每一个数据都加上同一非零常数后，平均数不会发生变化【解答】解：一组数据可能有多个众数，A错误，一组数据只能有一个中位数，B错误，一组数据的方差一定是非负数，C正确，一组数据中的每一个数据都加上同一非零常数后，平均数发生变化，D错误，故选：C．5．（4分）有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1件次品与至多有1件正品B．至少有1件次品与都是正品C．至少有1件次品与至少有1件正品D．恰有1件次品与恰有2件正品【解答】解：A、至少有1件次品与至多有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件．B、至少有1件次品与都是正品是对立事件，故不满足条件．C、至少有1件次品与至少有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件．D、恰有1件次品与恰有2件正是互斥事件，但不是对立事件，因为除此之外还有“两件都是次品”的情况，故满足条件．故选：D．6．（4分）某市要对辖区内的中学教师的年龄进行调查，现从中随机抽出200名教师，已知抽到的教师年龄都在[25，50）岁之间，根据调查结果得出教师的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市辖区内中学教师的年龄的中位数大约是（）A．37.1岁B．38.1岁C．38.7岁D．43.1岁【解答】解：根据频率和等于1，得；年龄在[30，35）岁之间的频率为1﹣（0.01+0.08+0.05+0.02）×5=0.2∵0.01×5+0.2=0.25＜0.5，0.25+0.08×5=0.65＞0.5，∴令0.25+0.08×x=0.5，解得x=3.125；∴该市辖区内中学教师的年龄的中位数大约35+3.125≈38.1岁．故选：B．7．（4分）执行如图的程序框图，任意输入一次x（x∈Z，﹣2≤x≤2）与y（y ∈Z，﹣2≤y≤2），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：估计题意，得；所有的基本事件Ω={（x，y）|}={（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，﹣2），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），（1，﹣2），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2）}共25个；设能输出数对（x，y）为事件A，则A={（x，y）|}={（1，1），（2，1），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，2），（1，﹣2），（0，﹣1），（2，﹣1）}共9个；∴所求概率为P（A）=，故选：C．8．（4分）已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若△POF的面积为6，则|PF|=（）A．B．C．D．【解答】解：O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若△POF的面积为6，可得抛物线的焦点坐标为：（，0），∴，可得y P=6，x P=3，则|PF|==．故选：C．9．（4分）若方程=2x+m有实数解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，0}）∪[2，+∞）B．[﹣，0）∪（0，]C．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：方程=2x+m可化为m=﹣2x；作函数m=﹣2x的图象如下，结合选项可得，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）；故选：C．10．（4分）已知点P是椭圆（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是以线段PF1为直径的圆上一点，且M到∠F1PF2两边的距离相等，则的取值范围是（）A．（0，）B．（0，2）C．[，）D．（3，2）【解答】解：由题意得c===2，当P在椭圆的短轴顶点处时，M与O重合，|OM|取得最小值等于0．当P在椭圆的长轴顶点处时，M与F1重合，|OM|取得最大值等于c=2．由于xy≠0，故|OM|的取值范围是（0，2），故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）设A（3，2，1），B（1，0，5），则AB的中点M的坐标为（2，1，3）．【解答】解：∵A（3，2，1），B（1，0，5），∴设AB中点M坐标为（x，y，z），可得x=（3+1）=2，y=（2+0）=1，z=（1+5）=3，即得M坐标为（2，1，3）故答案为：（2，1，3）12．（4分）如图算法最后输出的结果是18．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=2满足条件i＜5，i=3，S=8满足条件i＜5，i=5，S=18不满足条件i＜5，退出循环，输出S的值为18．故答案为：18．13．（4分）质检部门对某超市甲、乙、丙三种商品共750件进行分层抽样检查，抽检员制作了如下的统计表格：表格中甲、丙商品的有关数据已被污染看不清楚（分别用x1，x2，x3，x4表示），若甲商品的样本容量比丙商品的样本容量多6，则根据以上信息可求得丙商品数量x2的值为180．【解答】解：根据题意，三种商品的抽样比例是相等的，为=，∴样本容量为=50；又∵x3﹣x4=6…①，x3+x4+20=50…②，∴由①、②组成方程组，解得x3=18，x4=12；∴x2=12×15=180．故答案为：180．14．（4分）已知F1是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，以线段F1O为边作正三角形F1OM，若顶点M在双曲线上，则双曲线的离心率是．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F1为（﹣c，0），以线段F1O为边作正三角形F1OM，则可设M（﹣，c），由M在双曲线上，则﹣=1，由e=，b2=c2﹣a2，则e2﹣=1，则e4﹣8e2+4=0，解得，e2=4，即有e=+1或﹣1（舍去）．故答案为：．15．（4分）已知椭圆（a＞b＞0）及内部面积为S=πab，A1，A2是长轴的两个顶点，B1，B2是短轴的两个顶点，在椭圆上或椭圆内部随机取一点P，给出下列命题：①△PA1A2为钝角三角形的概率为1；②△PB1B2为钝角三角形的概率为；③△PA1A2为钝角三角形的概率为；④△PB1B2为锐角三角形的概率为．其中正确的命题有①②④．（填上你认为所有正确的命题序号）【解答】解：如图，以短轴两个顶点为直径的两个端点作圆O，则圆O的面积为：πb2．易得当点P位于圆O内（含边界）时，△PB1B2为钝角三角形，∴△PB1B2为钝角三角形的概率为：=，当点P位于圆O外、椭圆内（含边界）时，△PB1B2为锐角三角形，∴△PB1B2为锐角三角形的概率为：1﹣=1﹣=，以长轴两个顶点为直径的两个端点作圆O′，则在椭圆上或椭圆内部随机取一点P，△PA1A2为钝角三角形，∴△PA1A2为钝角三角形的概率为1，故答案为：①②④．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（10分）直线l经过两直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点，且与直线l1：x+y ﹣6=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．【解答】解：（1）由，解得．即两直线的交点为（1，6），∵直线l1：x+y﹣6=0的斜率为﹣1，∴直线l的斜率为﹣1，∴直线l的方程为y﹣6=﹣（x﹣1），即x+y﹣7=0；（2）由题意知，，整理得：|a﹣6|=1．解得：a=7或a=5．17．（10分）甲、乙两个竞赛队都参加了10场比赛，比赛得分情况记录如下（单位：分）：甲队：57，41，51，40，49，39，52，43，45，53乙队：30，50，67，47，66，34，46，30，64，66（1）根据得分情况记录，请将茎叶图补充完整，并求乙队得分的中位数；（2）如果从甲、乙两队的10场得分中，各随机抽取一场不小于50分的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．【解答】解：（1）补全的茎叶图如图．乙队的中位数为（47+50）÷2=48．（2）甲队中得分不小于50（分）的有4场，乙队中得分不小于50（分）的有5场，∴各从中抽取一场进行比较，共有20种情况．其中，甲的得分大于乙的得分仅有取到乙的得分为50的情况，共4种情况．∴所求的概率为．18．（10分）已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求过点P（1，3）且与圆C相切的直线方程；（2）问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直线的圆经过原点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）圆C的方程可化为（x+1）2+y2=4，即圆心为（﹣1，0），半径为r=2．若过点P的直线斜率不存在，即x=1，与圆C相切，满足条件；…（1分）若过点P的切线斜率存在，设为k，则切线的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+3=0，∴，解得k=．∴切线方程为5x﹣12y+31=0．综上，所求的切线方程为x=1或5x﹣12y+31=0．…（4分）（2）假设直线存在，设方程为y=x+b，设A（x1，y1），B（x2，y2），若以l被圆C截得的弦AB为直线的圆经过原点，则OA⊥OB，即，即x1x2+y1y2=0，联立消去y得2x2+（2b+2）x+b2﹣3=0，则判别式△=（2b+2）2﹣4×2×（b2﹣3）=﹣4b2+8b+28＞0，得1﹣2＜b＜1+2，则x1+x2=b﹣1，x1x2=，则y1y2=（x1+b）（x2+b）=x1x2+b（x1+x2）+b2=+b（﹣b﹣1）=，由+=0得b2﹣b﹣3=0，解得b=或b=，检验都满足条件，故直线方程为y=x+或y=x﹣19．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），O为坐标原点，点G（1，）在椭圆上，过点F的直线l交椭圆于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，P为x轴上一点，若PA、PB是菱形的两条邻边，求点P横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题意有a2﹣b2=1，且=1，解得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．…（2分）（2）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则x=，y=当x1=x2时，M点的坐标为（﹣1，0）．当x1≠x2时，∵2=1，2=1，两式相减得，∴．又AB过F点，于是AB的斜率为，∴=﹣，整理得x2+2y2+x=0．∵（﹣1，0）也满足上式，∴M的轨迹方程为x2+2y2+x=0．…（6分）（3）设P（m，0），AB的中点M（a，b），由（2）知，a2+2b2+a=0．①∵|PA|=|PB|，∴PM⊥AB．∴k AB•k MP=﹣1，即=﹣1，整理得b2=﹣a2﹣a+am+m，②将②代入①中，得a2+a﹣2am﹣2m=0，化为（a+1）（a﹣2m）=0，∵a≠﹣1，∴m=．由2b2=﹣a2﹣a＞0（当b=0时，AB与x轴垂直，不合题意，舍去），得﹣1＜a＜0，于是﹣＜m＜0，即P点的横坐标的取值范围为（﹣，0）．…（10分）。

遂宁市高中2016级第三学期教学水平监测数学(理科）试题本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

总分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题,满分50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0。

5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上.并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0。

5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题(本题共10小题,每小题5分，共50分)1．直线0122:=+-yxl的倾斜角为A．30°B．45°C．60°D．90°2．已知命题:p x∀∈R，2x>,那么命题p⌝为A．002Rx x∃∈≤，B．002Rx x∀∈<，C．002Rx x∀∈≤，D．002Rx x∃∈<，3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件,80件，60件。

为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n =A ．9B ．10C ．12D ．13 4．圆1C ：2220xy x ++=与圆2C ：224840x y x y +-++=的位置关系是A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离5．椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m 的值是A ．6或2B ．5C ．1或9D ．3或5 6．已知α，β，γ是三个互不重合的平面,l 是一条直线,下列命题中正确命题是A ．若α⊥β,l ⊥β，则l ∥αB ．若l 上有两个点到α的距离相等，则l ∥αC ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥βD ．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β7．若执行右面的程序框图，输出S 的值为A ．22log 3 B ．2log7C ．3D ．28．2021401250x y y x y z x x y -+≥⎧+⎪+-≥=⎨+⎪--≤⎩已知,求的范围 A ．37[,]42 B ．37[,]84 C ．37[,]44 D ．37[,]829．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形,其中俯视图中椭圆的离心率为A 2B ．12C 2D 210．已知椭圆C :2212x y +=,点125,,,M M M 为其长轴AB 的6等分点,分别过这五点作斜率为(0)k k ≠的一组平行线，交椭圆C 于1210,,,P P P ,则直线1210,,,AP AP AP 这10条直线的斜率乘积为A ．132-B ．116-C ．164D ．11024-第Ⅱ卷（非选择题，满分100分)注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2015-2016学年四川省内江市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．椭圆+=1的长轴长是（）A．2 B．2C．4 D．42．设函数f（x）=，则f′（π）=（）A．0 B．C．﹣D．﹣3．设i为虚数单位，a，b∈R，则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交但不垂直5．在如图的空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BD1上的一点，且BP=2PD1，则点P的坐标是（）A．（，，）B．（，，）C．（，，）D．（，，）6．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．命题“∃x∈R，使x2+x+1＜0”的否定为：“∀x∈R，使x2+x+1＜0”C．命题“若f（x）=x3﹣2x2+4x+2，则2是函数f（x）的极值点”为真命题D．命题“若抛物线的方程为y=﹣4x2，则焦点到其准线的距离为”的逆否命题为真命题7．直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（）A．5 B．6 C．7 D．88．函数f（x）=1nx﹣x3+1的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A．B．C．D．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（）A．B．C．D．11．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至I2日值班，每人4天，甲说：我在2日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期有（）A．6日和12日B．5日和6日C．1月和5月D．1月和11日12．设a，b是两个不相等的正数，且alna+b=blnb+a，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＞0 B．0＜a+b＜2 C．ab＞1 D．0＜ab＜1二、填空题:本大题共4小题。

四川省宜宾市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“若x＞a2+b2，则x＞2ab”的逆命题是（）A．“若x＜a2+b2，则x＜2ab”B．“若x＞a2+b2，则x≥2ab”C．“若x＞2ab，则x＞a2+b2”D．“若x≥a2+b2，则x＜2ab”2．（5分）与向量=（1，﹣3，2）垂直的一个向量的坐标为（）A．（1，3，2）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣2，﹣2，﹣2）D．（1，﹣3，﹣2）3．（5分）投球3次，事件A1表示“投中i次”，其中i=0，1，2，3．那么A=A1∪A2∪A3表示的是（）A．全部投中B．必然投中C．至少有1次投中D．投中3次4．（5分）如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．12 B．20 C．30 D．405．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．C．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”．D．命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”是假命题．6．（5分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且n⊂β，则下列叙述正确的是（）A．m∥n，m⊂α⇒α∥βB．m∥n，m⊥α⇒α⊥βC．α⊥β，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，m⊂α⇒m∥n7．（5分）如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1和平面A1B1CD所成角（）A．B．C．D．8．（5分）在区间上随机地取一个实数a，使得二次方程x2+2ax﹣2a+3=0有实根的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．B．（4+π）C．D．10．（5分）把一个底面边长和高都为6的正三棱锥（底面是正三角形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面的中心的三棱锥）P﹣ABC的底面ABC放置在平面α上，现让三棱锥绕棱BC 逆时针方向旋转，使侧面PBC落在α内，则在旋转过程中正三棱锥P﹣ABC在α上的正投影图的面积取值范围是（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）某班有男生25名，女生20名，采用分层抽样的方法从这45名学生中抽取一个容量为18的样本，则应抽取的女生人数为名．12．（5分）如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点．异面直线SA与PD所成角的正切值为．13．（5分）某校为了解数学学科的教学情况，在一次考试中随机地抽取了100个同学的成绩（满分为100分）作为样本，并根据这个样本数据得到了如图所示的频率分布直方图，估计这次数学考试成绩的中位数为．14．（5分）已知命题p：∃x∈，a≤e x，命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围是．15．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下命题：①直线A1B与B1C所成的角为60°；②动点M在表面上从点A到点C1经过的最短路程为1+；③若N是线段AC1上的动点，则直线CN与平面BDC1所成角的正弦值的取值范围是；④若P、Q是线段AC上的动点，且PQ=1，则四面体PQB1D1的体积恒为．则上述命题中正确的有．（填写所有正确命题的序号）三、解答题（共6个题，共75分，要求写出解答过程）16．（12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：AC⊥PB．17．（12分）每年暑期，学校老师都会要求学生在家附近的图书馆查阅大量学习资料，如图所示的茎叶图中记录了暑期中甲组3名同学去图书馆A查阅资料的次数和乙组4名同学去图书馆B查阅资料的次数．且乙组同学去图书馆B查阅资料次数的平均数是9.25．（Ⅰ）求x的值；（Ⅱ）在茎叶图中，从查阅资料次数大于8的同学中任选2名，求选出的2名同学查阅资料的次数之和大于20的概率．18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，两家商场对购买该商品的顾客奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为20°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球2个红球1个黄球的盒子中一次性随机地摸出2个球，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？20．（13分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）求直线AC与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅱ）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EF∥BC，AC=BC=2EF=2，AE=EC=．（Ⅰ）求证：AE⊥EF；（Ⅱ）求平面ABF与平面BDE所成的锐二面角的正切值；（Ⅲ）若点G在线段DE上，求直线CG与平面ABF所成的角的正弦值的取值范围；并求该正弦值取最大值时，多面体ABCDFG的体积．四川省宜宾市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“若x＞a2+b2，则x＞2ab”的逆命题是（）A．“若x＜a2+b2，则x＜2ab”B．“若x＞a2+b2，则x≥2ab”C．“若x＞2ab，则x＞a2+b2”D．“若x≥a2+b2，则x＜2ab”考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：将命题的题设和结论进行互换，从而得到命题的逆命题．解答：解：命题“若x＞a2+b2，则x＞2ab”的逆命题是：若x＞2ab，则x＞a2+b2，故选：C．点评：本题考查了四种命题之间的关系，是一道基础题．2．（5分）与向量=（1，﹣3，2）垂直的一个向量的坐标为（）A．（1，3，2）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣2，﹣2，﹣2）D．（1，﹣3，﹣2）考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：不等式的解法及应用．分析：设与向量=（1，﹣3，2）垂直的一个向量=（x，y，z），可得=x﹣3y+2z=0，经过验证即可得出．解答：解：设与向量=（1，﹣3，2）垂直的一个向量=（x，y，z），∴=x﹣3y+2z=0，经过验证：只有（﹣2，﹣2，﹣2）满足，故选：C．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．3．（5分）投球3次，事件A1表示“投中i次”，其中i=0，1，2，3．那么A=A1∪A2∪A3表示的是（）A．全部投中B．必然投中C．至少有1次投中D．投中3次考点：互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：由题意可得，事件A1、A2、A3，是彼此互斥的事件，且A0∪A1∪A2∪A3为必然事件，A=A1∪A2∪A3表示的是投球三次至少击中一次，从而得到答案．解答：解：由题意可得，事件A1、A2、A3，是彼此互斥的事件，且A0∪A1∪A2∪A3 为必然事件，A=A1∪A2∪A3表示的是投球三次至少击中一次，故选：C．点评：本题主要考查互斥事件和必然事件，并事件的定义，属于基础题．4．（5分）如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．12 B．20 C．30 D．40考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=5时，不满足条件i＜5，退出循环，输出S的值为20．解答：解：执行程序框图，可得i=1，S=0满足条件i＜5，S=2，i=2满足条件i＜5，S=6，i=3满足条件i＜5，S=12，i=4满足条件i＜5，S=20，i=5不满足条件i＜5，退出循环，输出S的值为20．故选：B．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环S的值是解题的关键，属于基础题．5．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．C．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”．D．命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”是假命题．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：运用特殊值判断出错误命题，解答：解：∵若x+y≠5，则x≠2，y=3，或x=2，y≠3，也有可能，∴命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”是假命题故选：D点评：本题考查了命题的判断，融合了充分必要条件的定义，逻辑连接词等问题．6．（5分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且n⊂β，则下列叙述正确的是（）A．m∥n，m⊂α⇒α∥βB．m∥n，m⊥α⇒α⊥βC．α⊥β，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，m⊂α⇒m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理分别分析解答．解答：解：对于A，m∥n，m⊂α，n⊂β，⇒α与β可能相交；故A 错误；对于B，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，又n⊂β，⇒α⊥β；故B正确；对于C，n⊂β，α⊥β，m⊥n⇒n与α可能相交；故C错误；对于D，n⊂β，α∥β，m⊂α⇒m∥n或者异面；故D 错误；故选B．点评：本题考查了面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理，熟练运用相关的定理是关键．7．（5分）如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1和平面A1B1CD所成角（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1和平面A1B1CD所成角．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则A（1，0，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），D（0，0，0），=（0，1，1），=（1，1，1），=（0，1，0），设平面A1B1CD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，﹣1），设直线AB1和平面A1B1CD所成角为θ，sinθ=|cos＜＞|=||=，∴．故选：A．点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．8．（5分）在区间上随机地取一个实数a，使得二次方程x2+2ax﹣2a+3=0有实根的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：求出二次方程x2+2ax﹣2a+3=0有实根时，a的范围，以长度为测度，即可求出概率．解答：解：∵二次方程x2+2ax﹣2a+3=0有实根，∴△=4a2+8a﹣12≥0，∴﹣3≤a≤1，其长度为4，∵在区间上随机地取一个实数a，其长度为7，∴所求概率为，故选：D．点评：本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定二次方程x2+2ax﹣2a+3=0有实根时，a的范围是关键．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．B．（4+π）C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，做出圆锥的高，根据圆锥和圆柱的体积公式得到结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，∴几何体的体积是=，故选D．点评：本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．10．（5分）把一个底面边长和高都为6的正三棱锥（底面是正三角形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面的中心的三棱锥）P﹣ABC的底面ABC放置在平面α上，现让三棱锥绕棱BC 逆时针方向旋转，使侧面PBC落在α内，则在旋转过程中正三棱锥P﹣ABC在α上的正投影图的面积取值范围是（）A．B．C．D．考点：棱锥的结构特征；平面图形的直观图．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，面PBC⊥面α，正投影图的面积最小，求出正投影图的面积最大值，即可得出结论．解答：解：如图1所示，当平面PBC⊥平面α时正三棱锥P﹣ABC在α上的正投影图的面积最小，此时PP′=6，P′D=，PD=，所以cos∠PDP′=，当面PBC⊥面α，cos∠ADA′=，所以A′D=3×=，所以S△A′BC==．如图2所示，当平面ABC在平面α内时正三棱锥P﹣ABC在α上的正投影图的面积最大，此时投影图的面积=S△ABC+S△P′BC，因为S△ABC==9，S△P′BC=P′D×BC=××6=3，∴投影图的面积=S△ABC+S△P′BC=9+3=12所以在旋转过程中正三棱锥P﹣ABC在α上的正投影图的面积取值范围是．故选：A．点评：本题考查图形的旋转，考查面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）某班有男生25名，女生20名，采用分层抽样的方法从这45名学生中抽取一个容量为18的样本，则应抽取的女生人数为8名．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先求出抽取样本的比例是多少，再计算应抽取的女生人数．解答：解：根据题意，抽取样本的比例是=，∴应抽取的女生人数为20×=8．故答案为：8．点评：本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题目．12．（5分）如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点．异面直线SA与PD所成角的正切值为．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：由于SA与PD是异面直线，所以需要平移为相交直线才可以找到异面直线SA与PD 所成角，因此连接OP在利用中位线可达到这一目的．解答：解：连接OP则OP SA，故∠OPD即为SA与PD的夹角．∵SO=OB=2∴SA=∴OP=又在△PCD中PO⊥CD∴在Rt△POD中OD=2，OP=∴tan＜SA，PD＞==故答案为：点评：此题关键是构造出△PCD并且利用圆锥的对称性得到△PCD为直角三角形进而求解．13．（5分）某校为了解数学学科的教学情况，在一次考试中随机地抽取了100个同学的成绩（满分为100分）作为样本，并根据这个样本数据得到了如图所示的频率分布直方图，估计这次数学考试成绩的中位数为68．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图中，中位数的两边频率相等，由此求出中位数的值．解答：解：根据频率分布直方图，得；0.01×10+0.02×10=0.3＜0.5，0.3+0.025×10=0.55＞0.5，令0.3+0.025x=0.5，解得x=8，∴这次数学考试成绩的中位数为60+8=68．故答案为：68．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数的计算问题，是基础题目．14．（5分）已知命题p：∃x∈，a≤e x，命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围是＜a≤e．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：本题的关键是给出命题p：∃x∈，a≤e x，命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，为真时a 的取值范围．解答：解∵命题p：∃x∈，a≤e x∴若p为真，那么a≤（e x）max∴a≤e又∵命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，∴若q为真，那么△=1﹣4a＜0∴∵命题p∧q是真命题∴p真，q真综上，实数a的取值范围是：＜a≤e故答案为：＜a≤e点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．15．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下命题：①直线A1B与B1C所成的角为60°；②动点M在表面上从点A到点C1经过的最短路程为1+；③若N是线段AC1上的动点，则直线CN与平面BDC1所成角的正弦值的取值范围是；④若P、Q是线段AC上的动点，且PQ=1，则四面体PQB1D1的体积恒为．则上述命题中正确的有①③④．（填写所有正确命题的序号）考点：棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角；简易逻辑．分析：①先证明A1B与A1D所成角为60°，又B1C∥A1D，可得直线A1B与B1C所成的角为60°，判断①正确；②将面AB1与面A1C1展开，那么动点M在表面上从点A到点C1经过的最短路程为判断②错误；③由平面BDC1⊥平面ACC1，结合线面角的定义分别求出直线CN与平面BDC1所成角的正弦值最大值与最小值判断③正确；④在PQ变化过程中，四面体PQB1D1的顶点D1到底面B1PQ的距离不变，底面积不变，则体积不变，求出体积判断④正确．解答：解：①在△A1BD中，每条边都是，即为等边三角形，∴A1B与A1D所成角为60°，又B1C∥A1D，∴直线A1B与B1C所成的角为60°，正确；②将面AB1与面A1C1展开，那么动点M在表面上从点A到点C1经过的最短路程为AC1，AC1=，错误；③如图，由正方体可得平面BDC1⊥平面ACC1，当N点位于AC1上，且使CN⊥平面BDC1时，直线CN与平面BDC1所成角的正弦值最大为1，当N与C1重合时，连接CN交平面BDC1所得斜线最长，直线CN与平面BDC1所成角的正弦值最小等于，∴直线CN与平面BDC1所成角的正弦值的取值范围是，正确；④连接B1P，B1Q，设D1到平面B1AC的距离为h，则h=，B1到直线AC的距离为，则四面体PQB1D1的体积V=，正确．∴正确的命题是①③④．故答案为：①③④点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间点线面的位置关系，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．三、解答题（共6个题，共75分，要求写出解答过程）16．（12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：AC⊥PB．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）欲证PB∥面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与面AEC 内一直线平行即可，连接BD交AC于点O，并连接EO，根据中位线可知EO∥PB，PB⊄面AEC，EO⊂面AEC满足定理所需条件．（Ⅱ）欲证AC⊥PB，可先证AC⊥面PAB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与面PAB内两相交直线垂直，根据PA⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，可得PA⊥AC，又因AB⊥AC，PA∩AC=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，满足定理所需条件；解答：证明：（Ⅰ）连接BD交AC于点O，并连接EO，∵四边形ABCD为平行四边形，∴O为BD的中点又∵E为PD的中点，∴在△PDB中EO为中位线，EO∥PB，∵PB⊄面AEC，EO⊂面AEC∴PB∥面AEC．（Ⅱ）∵PA⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴PA⊥AC，又∵AB⊥AC，PA∩AC=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，∴AC⊥面PAB，∴AC⊥PB．点评：本题考查了空间两直线的位置关系，以及直线与平面平行的判定等有关知识，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．17．（12分）每年暑期，学校老师都会要求学生在家附近的图书馆查阅大量学习资料，如图所示的茎叶图中记录了暑期中甲组3名同学去图书馆A查阅资料的次数和乙组4名同学去图书馆B查阅资料的次数．且乙组同学去图书馆B查阅资料次数的平均数是9.25．（Ⅰ）求x的值；（Ⅱ）在茎叶图中，从查阅资料次数大于8的同学中任选2名，求选出的2名同学查阅资料的次数之和大于20的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）直接利用平均数定义求出x值（2）用列举法列举所有的基本事件有10个，满足这两名同学分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的基本事件有7个，根据古典概型概率计算公式求得结果．解答：解：（ I）在茎叶图中，（x+8+9+12）=9.25，解得x=8，（ II）茎叶图中，查阅资料次数大于8的同学共5人，设其中查阅资料次数为9的二个同学分别为a，b，查阅资料次数为11的同学为c，查阅资料次数为12的二个同学分别为d，e，从中任选两人的结果共10种：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de其中查阅资料的次数之和大于20（记为事件A ）的结果共有7个：ad，ae，bd，be，cd，ce，de∴P（A）=．点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，茎叶图的应用，属于基础题．18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．解答：解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]点评：充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．19．（12分）甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，两家商场对购买该商品的顾客奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为20°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球2个红球1个黄球的盒子中一次性随机地摸出2个球，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：分别计算两种方案中奖的概率．先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到．解答：解：设甲、乙商场中奖的事件分别为A，B，则P（A）==，…（4分）对乙商场：设三个白球分别为a，b，c、黄球为d、二个红球分别为x，y，从盒中随机地摸出2个球的结果共15种：ab，ac，ad，ax，ay，bc，bd，bx，by，cd，cx，xy，dx，dy，xy …（8分）其中是2个红球的结果共1种，P（B）=…（10分）∴P（A）＞P（B），即在购买该商品的顾客在甲商场中奖的可能性大．…（12分）点评：本题考查等可能事件的概率计算，关键是正确列举事件的全部情况．20．（13分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）求直线AC与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅱ）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，分别求出直线AC与平面PCD的法向量，然后根据两个向量的数量积公式，求出直线AC与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅱ）求出平面PFD的法向量，及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出tG点位置，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），设平面PCD的法向量为=（a，b，c），则，∵=（1，2，﹣1），=（0，2，﹣1），∴，∴=（0，1，2），∵=（1，2，0），∴直线AC与平面PCD所成角的正弦值为=．（6分）（Ⅱ）设平面PFD的法向量为=（x，y，z），则∵=（1，1，﹣1），=（0，2，﹣1）∴，得=（1，1，2）．（8分）设G点坐标为（0，0，m），E（，0，0），则=（﹣，0，m），要使EG∥平面PFD，只需•=0，即﹣+2m=0，得m=，从而=3．（12分）点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查直线AC与平面PCD所成角的正弦值的计算，考查逻辑推理能力，考查向量法的运用，考查空间想象能力．21．（14分）在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EF∥BC，AC=BC=2EF=2，AE=EC=．（Ⅰ）求证：AE⊥EF；（Ⅱ）求平面ABF与平面BDE所成的锐二面角的正切值；（Ⅲ）若点G在线段DE上，求直线CG与平面ABF所成的角的正弦值的取值范围；并求该正弦值取最大值时，多面体ABCDFG的体积．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明AE⊥平面BCEF即可证明AE⊥EF；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面ABF与平面BDE所成的锐二面角的正切值；（Ⅲ）确定直线CG与平面ABF所成的角的正弦值的取值范围，结合棱锥的体积公式进行求解即可．解答：证明：（I）∵平面ACE⊥平面ABCD，平面ACE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，BC⊥AC∴BC⊥平面ACE，结合AE⊂平面ACE，得AE⊥BC，∵△AEC中，AE=EC=，AC=2，∴AE2+EC2=2=AC2∴∠AEC=90°，即AE⊥EC∵BC∩EC=C，∴AE⊥平面BCEF；∵EF⊂平面BCEF，∴AE⊥EF（II）建立如图空间直角坐标系，∵AC=BC=2EF=2，AE=EC=．则AD=2，∴则由题意得A（0，0，0），B（2，﹣2，0），C（2，0，0），E（1，0，1），D（0，2，0），=（2，﹣2，0），=（0，2，0），F（1，﹣1，1），=（﹣1，1，1）．设平面ABF的法向量为=（x，y，z），由，得，令x=1，则y=1，z=0，即=（1，1，0），设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则=（0，2，0），=（1，﹣2，1），由，得，则y=0，x=﹣z，令x=1，则z=﹣1，即=（1，0，﹣1），∴cos＜，＞==，即＜，＞=，∴tan＜，＞=tan=，即平面A BF与平面BDE所成的锐二面角的正切值为．（3）由（2）知平面ABF的法向量=（1，1，0），∵点G在线段DE，=（1，﹣2，1），=（﹣2，2，0），则||=，||=2，||=，则cos ＜，＞==，cos ＜，＞===，则sin ＜，＞=|cos ＜，＞|=||=，sin ＜，＞=|cos ＜，＞|=，∴直线CG与平面ABF 所成的角的正弦值的取值范围为≤sinθ≤，故当G位于点D时，正弦值取最大值，取AC的中点M，∵AE=EC=，∴EM⊥AC，EM=1，AC=2，此时E到平面ABCD的距离FM到平面ABCD的距离，则S ABCD=AD•AC=2×2=4，则多面体ABCDFG的体积V=S ABCD •EM==．点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的性质定理以及利用向量法求解二面角的应用，综合性较强，难度较大．21。