微分几何第一章

第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。

第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。

第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t )(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t e ，所以 r ×'r = ' （e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e求微商得'r =' e + 'e ，于是r ×'r =2 （e ×'e ）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。

当)(t = 0时，)(t r=0 可与任意方向平行；当0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e= 0） ，所以'e =0 ，即e为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。

证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r·n = 0 。

微分几何主要习题解答第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。

微分几何几何学是数学的一个重要分支，它采用不同方法对几何图形及其数量关系进行研究。

微分几何是高师数学专业（本）的专业基础课之一，其出发点是微分几何。

本课程重点讲授微分几何中最基础的部分——二维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论，在方法上给以更新，这样使学生能够从较浅的内容去学习近代的处理方法，对新方法接受起来阻力比较小一些；另一发面，对微分几何有兴趣的学生，在掌握新方法之后，可运用这些方法去学习微分几何的近代内容。

本课程教学时数为60小时。

第一章曲线论目的要求：在中学教材中，对于曲线的概念，平面曲线的参数方程中参数的个数问题，都只初步涉及，进一步理解有赖于对曲线的精确定义。

1）掌握曲线的概念，空间曲线的基本三棱形，曲面挠率和Frenet公式。

2）掌握特殊曲线：平面曲线、一般螺线3）理解Bertrand曲线4）了解曲线上一点邻近的结构和空间曲线论的基本定理。

计划课时数：24学时教学内容：第一节向量代数复习（2学时）向量的基本概念、运算及有关定理第二节向量函数（2学时）向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等第三节曲线的概念（4学时）曲线的基本概念、切线和法面的求法，曲线的弧长，自然参数的引进第四节空间曲线（10学时）曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率、Frenet公式，曲线的局部结构和基本定理第五节特殊曲线（6学时）平面曲线论、一般螺线，Bertrand曲线第二章曲面论目的要求：1）曲面的局部概念是建立整体概念和过渡到微分流行研究的基础，简单曲面的向量参数表示要与中学所讲曲线、曲面的参数方程对照，从理论上理解中学教材内容中遗留的问题。

掌握：（1）曲面的概念及其参数表示（2）曲面的第一基本形式（3）曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率，主方向与曲率线网（4）主曲率、Gauss曲率和平均曲率2）直纹面和可展曲面是常见的特殊曲面，联系解析几何中的直纹面，理解直纹面的构成，掌握曲面可展的含义和可展的条件。

目录绪论 (1)内容简介 (1)第一章预备知识 (2)引言 (2)§ 1.1 三维欧氏空间中的标架 (2)一、向量代数复习 (2)二、标架 (3)三、正交标架流形 (3)四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换 (3)§ 1.2 向量函数 (4)第二章曲线论 (6)§ 2.1 参数曲线 (6)§ 2.2 曲线的弧长 (9)§ 2.3 曲线的曲率和Frenet标架 (10)§ 2.4 曲线的挠率和Frenet公式 (14)§ 2.5 曲线论基本定理 (16)§2.7 存在对应关系的曲线偶 (21)§2.8 平面曲线 (21)绪论几何学是数学中一门古老的分支学科. 几何学产生于现实生产活动. “geometry”就是“土地测量”.Pythagoras定理和勾股定理(《周髀算经》). 数学：人类智慧的结晶，严密的逻辑系统. 以欧几里德(Euclid)的《几何原本》(Elements)为代表.《自然辩证法》和《反杜林论》：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入.对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann). 克莱因(Klein)关于变换群的观点. E. Cartan的活动标架方法.微分几何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用.内容简介第一章：预备知识. 第二章：曲线论. 第三章至第五章：曲面论. 第六章：曲面上的曲线，非欧几何. 第七章*：活动标架和外微分.第一章 预备知识本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数 计划学时：3学时难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群引言为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数()y f x =的图像是xy 平面上的一条曲线，二元函数(,)z f x y =的图像是空间中的一张曲面.采用参数方程，空间一条曲线可以表示成()()(),(),()r r t x t y t z t ==.这是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数.所有这些例子中，都是先取定了一个坐标系. 所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁.§ 1.1 三维欧氏空间中的标架一、向量代数复习向量即有向线段：AB ，r ，r . 向量相等的定义：大小和方向. 零向量：0，0. 反向量：a -.向量的线性运算. 加法：三角形法则，多边形法则. 向量的长度. 三角不等式. 数乘. 内积的定义：:||||cos (,)ab a b a b =∠ 外积的定义.二重外积公式：()()()a b c a c b b c a ⨯⨯=⋅-⋅；()()()a b c a c b a b c ⨯⨯=⋅-⋅ba⨯a b内积的基本性质：对称性，双线性，正定性. 外积的基本性质：反对称性，双线性.二、标架仿射标架{};,,O OA OB OC . 定向标架.正交标架(即右手单位正交标架)：{};,,O i j k . 笛卡尔直角坐标系. 坐标. 内积和外积在正交标架下的计算公式. 两点距离公式. 三维欧氏空间3E 和3.三、正交标架流形取定一个正交标架{};,,O i j k (绝对坐标系). 则任意一个正交标架{}123;,,P e e e 被P 点的坐标和三个基向量{}123,,e e e 的分量唯一确定：123111121322122233313233,,,.OP a i a j a k e a i a j a k e a i a j a k e a i a j a k ⎧=++⎪=++⎪⎨=++⎪⎪=++⎩ (1.6) 其中123(,,)a a a a =可以随意取定，而(,1,2,3)ij a i j =应满足31ikjk ij k aa δ==∑， (1.7)即过渡矩阵()ij a A =是正交矩阵. 又因为123,,e e e 是右手系，det 1A =，即矩阵111213212223313233(3)a a a A a a a SO a a a ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭(1.8, 1.9) 是行列式为1的正交矩阵. 我们有一一对应：{正交标架}←→3(3)E SO ⨯，{}123;,,(,)P e e e a A ←→.所以正交标架的集合是一个6维流形.四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换QOPki1e j2e 3e空间任意一点Q 在两个正交标架{};,,O i j k 和{}123;,,P e e e 中的坐标分别为(,,)x y z 和(,,)x y z ，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式：111213121222323132333,,.x a xa ya za y a xa ya za z a xa ya za =+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩ (1.10) 如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这种运动称为刚体运动.在刚体运动33:E E σ→下，若σ将正交标架{};,,O i j k 变为{}123;,,P e e e ，则空间任意一点(,,)Q x y z 和它的像点(,,)Q x y z (均为在{};,,O i j k 中的坐标)之间的关系式为111213121222323132333,,.x a xa ya za y a xa ya za z a xa ya za =+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩ (1.11) 定理1.1 3E 中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于3E 中的任意两个正交标架，必有3E 的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架.空间3E 到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换33:E E σ→称为等距变换.刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动. 一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(复合映射).仿射坐标变换与仿射变换.§ 1.2 向量函数所谓的向量函数是指从它的定义域D 到3中的映射3::()r p r p →D .设有定义在区间[,]a b 上的向量函数()((),(),()),r t x t y t z t a t b =≤≤.如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续函数，则称向量函数()r t 是连续的；如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续可微函数，则称向量函数()r t 是连续可微的. 向量函数()r t 的导数和积分的定义与数值函数的导数和积分的定义是相同的，即QO ()P O σ=ki1e j2e 3e ()Q Q σ=000()()limt t t r t t r t dr dtt∆→=+∆-=∆0000000()()()()()()lim ,,t x t t x t y t t y t z t t z t t t t ∆→+∆-+∆-+∆-⎛⎫= ⎪∆∆∆⎝⎭()000(),(),()x t y t z t '''=，0(,)t a b ∈， (2.6)()1()lim ()(),(),()nbb bbi i aaaai r t dt r t t x t dt y t dt z t dt λ→='=∆=∑⎰⎰⎰⎰， (2.7)其中01n a t t t b =<<<=是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +∆=-，1[,]i i i t t t -'∈，并且{}max |1,2,,i t i n λ=∆=. (由向量加法和数乘的定义可以得到)向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性.由(1.6)可得()()()()()(),()()()()()()a t b t a t b t t a t t a t t a t λλλ''''''+=+=+.定理2.1 (Leibniz 法则) 假定(),(),()a t b t c t 是三个可微的向量函数，则它们的内积、外积、混合积的导数有下面的公式：(1) ()()()()()()()a t b t a t b t a t b t '''⋅=⋅+⋅；(2) ()()()()()()()a t b t a t b t a t b t '''⨯=⨯+⨯；(3) ()()()()(),(),()(),(),()(),(),()(),(),()a t b t c t a t b t c t a t b t c t a t b t c t ''''=++.定理2.2 设()a t 是一个处处非零的连续可微的向量函数，则 (1) 向量函数()a t 的长度是常数当且仅当()()0a t a t '⋅≡. (2) 向量函数()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '⨯≡.(3) 设()a t 是二阶连续可微的. 如果向量函数()a t 与某个固定的方向垂直，那么 ()(),(),()0a t a t a t '''≡.反过来，如果上式成立，并且处处有()()0a t a t '⨯≠，那么向量函数()a t 必定与某个固定的方向垂直.证明 (1) 因为()()22()()()()|()|a t a t a t a t a t '''==，所以|()|a t 是常数2|()|a t ⇔是常数()()0a t a t '⇔⋅≡.(2) 因为()a t 处处非零，取()a t 方向的单位向量1()|()|()b t a t a t -=. 则()()()a t f t b t =，其中()|()|f t a t =连续可微. 于是()()2()()()()()()()()()()(),.a t a t f t b t f t b t f t b t f t b t b t t ''''⨯=⨯+=⨯∀“⇒”由条件知()b t c =是常向量，()0b t c ''==. 从而()()0a t a t '⨯≡.“⇐”由条件得()()0b t b t '⨯≡，所以()b t ，()b t '处处线性相关. 因为()b t 是单位向量，处处非零，所以()()()b t t b t λ'=. 用()b t 作内积，得()12()()()()()0t b t b t b t b t λ''=⋅=⋅≡. 于是()0b t '≡，()b t c =是常向量.(3) 设向量函数()a t 与某个固定的方向垂直，那么有单位常向量1e 使得1()0a t e ⋅≡. 求导得到1()0a t e '⋅≡，1()0a t e ''⋅≡. 从而(),(),()a t a t a t '''共面，()(),(),()0a t a t a t '''≡.反之，设()(),(),()0a t a t a t '''≡. 令()()()b t a t a t '=⨯. 由条件，()b t 处处非零. 且()b t '=()()a t a t ''⨯连续. 根据二重外积公式，()()()()()()()()()()()(),(),()()(),(),()()(),(),()()0.b t b t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t ''''⨯=⨯⨯⨯''''''=-'''=≡ 根据已经证明的(2)，()b t 的方向不变. 设这个方向为1e . 则1()|()|b t b t e =. 用()a t 作内积，得()1|()|()()()()()()0b t a t e a t b t a t a t a t '⋅=⋅=⋅⨯≡.由于()b t 处处非零，得到1()0a t e ⋅≡，即()a t 与固定方向1e 垂直. □课外作业： 1. 证明定理2.1.2. 设33:E E σ→为等距变换. 在3E 中取定一个正交标架{};,,O i j k . 令3为3E 中全体向量构成的向量空间. 定义映射33::()()AB A B σσ→. 如果()O O σ=，证明是线性映射.3. 设向量函数()r t 有任意阶导(函)数. 用()()k r t 表示()r t 的k 阶导数，并设()(1)()()k k r t r t +⨯处处非零. 试求()()(1)(2)(),(),()0k k k r t r t r t ++≡的充要条件.第二章 曲线论本章内容：弧长，曲率，挠率；Frenet 标架，Frenet 公式；曲线论基本定理 计划学时：14学时，含习题课3学时. 难点：曲线论基本定理的证明§ 2.1 参数曲线三维欧氏空间3E 中的一条曲线C 是一个连续映射3:[,]p a b E →，称为参数曲线. 几何上，参数曲线C 是映射p 的象.取定正交标架{};,,O i j k ，则曲线上的点()([,])p t t a b ∈与它的位置向量()Op t 一一对应. 令()()r t Op t =. 则()()()()((),(),())r t x t i y t j z t k x t y t z t =++=，[,]t a b ∈， (1.3) 其中t 为曲线的参数，(1.3)称为曲线的参数方程.由定义可知()()01()lim(),(),()()()t r t x t y t z t r t t r t t∆→''''==+∆-∆，(,)t a b ∈. (1.4)如果坐标函数(),(),()x t y t z t 是连续可微的，则称曲线()r t 是连续可微的. 此概念与标架的取法无关. (为什么？)导数()r t '的几何意义：割线的极限位置就是曲线的切线.如果r ()r t '是该曲线在()r t 处的切线的方向向量，称为该曲线的 曲线在正则点的切线方程为()()()X u r t ur t '=+， 其中t 是切线上点的参数，()X u 是切线上参数为u 的点的位置向量定义. 如果()r t 是至少三次以上的连续可微向量函数，并且处处是正则点，即对任意的t ，()0r t '≠，则称曲线()r t 是正则参数曲线. 将参数增大的方向称为曲线的正向.上述定义与3E 中直角坐标系的选取无关. 正则曲线：正则参数曲线的等价类.曲线的参数方程中参数的选择不是唯一的. 在进行参数变换时，要求参数变换()t t u =满足：(1) ()t u 是u 的三次连续可微函数；(2) ()t u '处处不为零. 这样的参数变换称为可允许的参数变换. 当()0t u '>时，称为保持定向的参数变换.根据复合函数的求导法则，[]()(())()()d d du dt t t u r t u r t t u ='=⋅.这种可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系. 等价的正则参数曲线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线. 以下总假定()r t 是正则曲线.如果一条正则参数曲线只允许作保持定向的参数变换，则这样的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向正则曲线. (返回Frenet 标架)()r t y()X u ()r t t +∆()r t '2-1例1.1 )，其中()()sin ,cos ,r t a t a t b '=-，22|()|0()0r t a b r t ''=+>⇒≠所以圆柱螺线是正则曲线.例1.2 半三次曲线32()(,),()r t t t t =∈.2()(3,2)r t t t '=，(0)0r '=.这条曲线不是正则曲线.连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念. （与数学分析中的结论比较） 平面曲线的一般方程()y f x =和隐式方程(,)0F x y =. 空间曲线的一般方程(),()y f x z g x == (1.6)和隐式方程(,,)0,(,,)0.F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (1.8) 这些方程可以化为参数方程. (习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)曲线(1.8)的切线方向，正则性.y()r t btQαβγ课外作业：习题2，5§ 2.2 曲线的弧长设3E 中一条正则曲线C 的方程为(),[,]r r t t a b =∈. 则|()|bas r t dt '=⎰ (2.1)是该曲线的一个不变量，即它与正交标架的选取无关，也与曲线的可允许参数变换无关.不变量s 的几何意义是该曲线的弧长，因为1max||01|()|lim|()()|i nbi i at i s r t dt r tr t +∆→='==-∑⎰.其中01n a t t t b =<<<=是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +∆=-，max λ={|1,i t i ∆=}2,,n . (为什么？)令()|()|tas t r d ττ'=⎰. (2.4)则()s s t =是曲线C 的保持定向的可允许参数变换，称为弧长参数. 它是由曲线本身确定的，至多相差一个常数，与曲线的坐标表示和参数选择都是无关的. 因此任何正则曲线都可以采用弧长s 作为参数，当然，允许相差一个常数.注意|()|ds r t dt '=也是曲线的不变量，称为曲线的弧长元素(或称弧微分).虽然理论上任何正则曲线都可以采用弧长参数s ，但是具体的例子中，曲线都是用一般的参数t 给出的. 由(2.4)，即使|()|r t '是初等函数，()s t 也不一定是初等函数. 下面的定理给出了判别一般参数是否是弧长参数的方法.定理2.1 设(),[,]r r t t a b =∈是3E 中一条正则曲线，则t 是它的弧长参数的充分必要条件是|()|1r t '=. 即t 是弧长参数当且仅当(沿着曲线C )切向量场是单位切向量场.证明. “⇐”由(2.4)可知，s t a =-. “⇒”如果t 是弧长参数，则s t =，从而|()|1dsr t dt'==. □以下用“﹒”表示对弧长参数s 的导数，如()r s ，()r s 等等，或简记为,r r 等等. 而“'”则用来表示对一般参数t 的导数.课堂练习：4课外作业：习题1，2(1)，3.§ 2.3 曲线的曲率和Frenet 标架设曲线C 的方程为()r r s =，其中s 是曲线的弧长参数. 令()()s r s α=. (3.1)对于给定的s ，令θ∆是()s α与()s s α+∆之间的夹角，其中0s ∆≠是s 的增量.定理 3.1 设()s α是曲线()r r s =的单位切向量场，s 是弧长参数. 用θ∆表示向量()s s α+∆与()s α之间的夹角，则lim|()|ss s θα∆∆∆→=. (3.2)证明. ()001||lim lim ()()s s d s s s ds s s ααααα∆→∆→∆===+∆-∆∆ ()()2200022sin sin lim lim lim ||s s s s s s θθθθθ∆∆∆∆→∆→∆→∆∆===∆∆∆， 因为arccos[()()]s s s θαα∆=+∆，所以0lim 0s θ∆→∆=. □定义 称函数():|()|s s κκα==为曲线()r r s =在s (即()r s )点处的曲率，称()s α为该曲线的曲率向量.把曲线C 的单位切向量()s α平移到原点，其端点所描出的曲线称为曲线的切线象. 其方程就是()s αα=. (3.3)例如圆柱螺线的切线象是单位球面上的一个圆.()r s 0s =图2-5O()s αs L=()s s α+∆()r s s +∆()s s α+∆()s α()()s s s αα+∆-θ∆圆柱螺线的切线象2()πα圆柱螺线()(cos r t a =()(r t a '=-221()(a b t a α+=-(0)α(0)α2()πα()απ()απ32()πα32()πα当然，s . 切线象()s αα=的弧长元素为|()|()ds s ds s ds ακ==. (3.4)所以dss dsκ==， (3.5) 即曲率κ是切线象的弧长元素与曲线的弧长元素之比.由|(α()()0s s αα⋅=. 所以曲率向量()s α是曲线的一个如果在一点s 处()s κ≠，则向量11()|()|()()()s s s s s βαακα--==称为曲线在该点的. 于是在该点有()()()s s s ακβ=. (3.6)在(s κ处，令()()()s s s γαβ=⨯. (3.7)它是曲线的第二个法向量场，称为在该点的次法向量场(副法向量场). 这样，在正则曲线上()0s κ≠的点，有一个完全确定的正交标架}(),()s s γ，称为曲线在该点的Frenet 标架(见图2-2). 它的确定不受曲线的保持定向的参数变换的影响.注意. 如果在一点0s 处0()0s κ=，则一般来说无法定义在该点的Frenet 标架. 1. 若()0s κ≡，则C 是直线，可以定义它的Frenet 标架.2. 若0s 是κ的孤立零点, 则在0s 的两侧都有Frenet 标架. 如果00()()s s ββ-+=，则可以将Frenet 标架延拓到0s 点.3. 在其他的情况下将曲线分成若干段来考察.切线、主法线和次法线，法平面、从切平面和密切平面，以及它们的方程.切线：()()()u r s u s ρα=+；主法线：()()()u r s u s ρβ=+；次法线：()()()u r s u s ργ=+ 法平面：[()]()0X r s s α-=；从切平面：[()]()0X r s s β-=；密切平面：[()]()0X r s s γ-=在一般参数t 下，曲率κ和Frenet 标架的计算方法.3|()()|()|()|r t r t t r t κκ'''⨯=='，()|()|r t r t α'='，()()|()()|r t r t r t r t γ'''⨯='''⨯，βγα=⨯. (3.13)证明. 设()s s t =为弧长参数，()t t s =为其反函数. 则由(2.4)，()|()|dss t r t dt''==. 故(())()()()|()|(())()(),():(())|()|dr s t ds t r t r t r t s t s t t s t ds dt r t αααα''''====='. (3.12)由曲率κ的定义，||0κα=≥，可知主法向量||αβα=满足ακβ=. 上式再对t 求导，得 2d d dsr s s s s s s dt ds dtααααακβ'''''''''''=+=+=+.于是2333()()||r r s s s s s r r s αακβκαβκγκ'''''''''''''⨯=⨯+=⨯=⇒⨯=.所以33|()()||()()||()|r t r t r t r t s r t κ''''''⨯⨯==''. 代入上式得()()|()()|r t r t r t r t γ'''⨯='''⨯. □例3.1 求圆柱螺线()(cos ,sin ,),()r t a t a t bt t =∈的曲率和Frenet 标架，其中0a >.解. ()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=-，()(cos ,sin ,0)r t a t a t ''=-，2|()|r t a '=+2(sin ,cos ,)(sin ,cos ,)r r ab t ab t a a b t b t a '''⨯=-=-，2||r r a a '''⨯=所以密切平面()s α()s γ()s β()r s322()()||()|r t r t r t a b '''⨯='+21()t a α=22()()1(sin |()()|r t r t b r t r t a bγ'''⨯=='''⨯+(cos ,sin ,0)t t βγα=⨯=--维维安尼(Viviani)曲线2221,.y z y x +==一般方程例3.2 标架. 解法()(cos r t =. 点(0,0,1)对应的参数为2t k ππ=+，其中k 不妨设t π=22()(2sin cos ,cos sin ,cos )r t t t t t '=--， ()(2cos2r t t ''=-于是当/2t π=时，(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1)r r r '''=-=，||1,(1,0,2)r r r ''''=⨯=(0,1,0)α=-，15(1,0,2)γ=，15(2,0,1)βγα=⨯=-.所以在点处的曲率5κ=，Frenet 标架为(0,0,1)r =，(0,1,0)α=-，15(2,0,1)β=-，15(1,0,2)γ=□解法2. 设曲线的弧长参数方程为(),(),()x x s y y s z z s ===，(,)s εε∈-，(0,0,1)对应的参数为0s =. 则有(0)((0),(0),(0))(0,0,1)r x y z ==， (1)以及22222222()()()1,(,).()()()0,()()()1,x s y s z s s x s y s x s x s y s z s εε⎧++=⎪∀∈-+-=⎨⎪++=⎩ (3.14) 求导得到()()()()()()0,2()()2()()()0,()()()()()()0.x s x s y s y s z s z s x s x s y s y s x s x s x s y s y s z s z s ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩(3.15)令0s =，由(1)和上述方程组得到(0)(0)0x z ==，(0)1y =±. 通过改变曲线的正方向，可设(0)1y =，于是(0)((0),(0),(0))(0,1,0)x y z α==. (3.16)对(3.15)前两式再求导，利用(3.14)得22()()()()()()1,2()()2()2()()2()()0.x s x s y s y s z s z s x s x s x s y s y s y s x s ++=-⎧⎨+++-=⎩ (3.17) 令0s =，由(3.15)和(3.16)得(0)0y =；由(1)和(3.17)第1式得(0)1z =-；再由(3.17)第2式得(0)2x =. 所以(0)(0)((0),(0),(0))(2,0,1)r x y z α===-.由此得(0)(0,0,1)r =处的曲率(0)|(0)|5κα==，Frenet 标架为：(0)(0,0,1)r =；(0)(0,1,0)α=，11(0)5(0)(0)(2,0,1)κβα==-，15(0)(0)(0)(1,0,2)γαβ=⨯=--. □课外作业：习题1(2,4)，4，7§ 2.4 曲线的挠率和Frenet 公式密切平面对弧长s 的变化率为||γ，它刻画了曲面偏离密切平面的程度，即曲线的扭曲程度. 定义4.1 函数τγβ=-⋅，即()()()s s s τγβ=-⋅称为曲线的挠率. 注. 由0γγ⋅=，()0γαγαγκβ⋅=-⋅=-⋅=可知//γβ. 因此可设γτβ=-， (4.1)从而||||τγ=，即挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度.定理4.1 设曲线C 不是直线，则C 是平面曲线的充分必要条件是它的挠率0τ≡. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，[0,]s L ∈. 因为C 不是直线，0κ≠(见定理3.2 )，存在Frenet 标架{};,,r αβγ.“⇒” 设C 是平面曲线，在平面:()0X a n ∏-=上，其中a 是平面上一个定点的位置向量，n 是平面的法向量，a 和n 均为常向量. 则有(())0,[0,]r s a n s L -=∀∈.求导得()0,()()0()0,s n s s n s n s ακββ==⇒=∀.于是()//s n γ, 由于|()|||1s n γ==，所以()s n γ=±是常向量，从而0γ≡，||||0τγ=≡. 即有0τ≡.“⇐”设0τ≡. 由(4.1)得0γτβ=-=. 所以()0s c γ=≠是常向量. 由(())()()()0dr s c r s c s s dsαγ=== 可知()r s c 是一个常数，即0()()r s c r s c =，其中0[0,]s L ∈是固定的. 于是曲线C 上的点满足平面方程0[()()]0r s r s c -=，其中0()r s 是平面上一个定点的位置向量，c 是平面的法向量. □设正则曲线C 上存在Frenet 标架. 对Frenet 标架进行求导，得到Frenet 公式,,,.r αακββκατγγτβ⎧=⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=-⎩ (4.8)上式中的后三式可以写成矩阵的形式00000ακαβκτβγτγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (4.9)作为Frenet 公式的一个应用，现在来证明定理4.2 设曲线()r r s =的曲率()s κ和挠率()s τ都不为零，s 是弧长参数. 如果该曲线落在一个球面上，则有222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (4.10) 其中a 为常数.证明. 由条件，设曲线所在的球面半径是a ，球心是0r ，即有()220()r s r a -=. (4.11)求导得到()0()()0r s r s α-=.这说明0()r s r -垂直于()s α，可设0()()()()()r s r s s s s λβμγ-=+. (4.12)再求导，利用Frenet 公式得()()()()[()()()()]()()()()()s s s s s s s s s s s s s αλβλκατγμγμτβ=+-++-.比较两边,,αβγ的系数，得1λκ=-，λμτ=，μλτ=-， (4.13)其中略去了自变量s . 所以1λκ=-，111d d ds ds λλμτττκ⎛⎫===- ⎪⎝⎭. (4.14)将(4.12)两边平方可得()22220r r a λμ+=-=，再将(4.14)代入其中，即得(4.10). □注记 由证明过程中的(4.13)第3式还可得110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (4.16) 在一般参数下挠率的计算公式.2(,,)||r r r r r τ''''''='''⨯. (4.18)证明. 因为()|()|dss t r t dt''==，利用Frenet 公式，有 ()()(())ds dr r t s t s t dt dsα''==，2()()(())()(())(())r t s t s t s t s t s t ακβ'''''=+，23(())()()(())3()()(())(())()(())()(())[(())(())(())(())].d s t r t s t s t s t s t s t s t s t s t dts t s t s t s t s t s t κακββκκατγ''''''''''=++'+-+ 于是3()()()(())(())r t r t s t s t s t κγ''''⨯=，从而()362()()()()(())(())()(),(),()()(())(()).r t r t r t s t s t s t r t r t r t r t s t s t s t κγκτ''''''''''''''''=⨯⋅=⋅'=由(3.13)可知622()(())|()()|s t s t r t r t κ''''=⨯，代入上式即得(4.18). □定理4.3 曲线()r r t =是平面曲线的充要条件是(,,)0r r r ''''''=. □ 例 求圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的挠率.解. ()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=-，()(cos ,sin ,0)r t a t a t ''=-，2|()|r t a '=+2(sin ,cos ,)(sin ,cos ,)r r ab t ab t a a b t b t a '''⨯=-=-，2||r r a a '''⨯=()(sin ,cos ,0)r t a t t '''=- 所以2(,,)r r r a b ''''''=，22b a b τ=+. □课外作业：习题1(2, 4)，4，10§ 2.5 曲线论基本定理已经知道正则参数曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向的参数无关，都是曲线本身的内在不变量. 在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变(为什么？). 反之，这三个量也是曲线的完备不变量系统，对确定空间曲线的形状已经足够了，即有定理5.1 (唯一性定理) 设111222:(),:()C r r s C r r s ==是3E 中两条以弧长s 为参数的正则参数曲线，[0,]s l ∈. 如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函数和挠率函数，即12()()s s κκ=，12()()s s ττ=，则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .证明 选取3E 中的刚体运动σ将2C 在0s =处的Frenet 标架{}2222(0);(0),(0),(0)r αβγ变为1C 在0s =处的Frenet 标架{}1111(0);(0),(0),(0)r αβγ. 则这个刚体运动σ将2C 变为正则曲线3C . 设3C 的弧长参数方程为33()r r s =. 由于在刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变，1C 与3C 也有相同的曲率和挠率函数：13()()s s κκ=，13()()s s ττ=.且在0s =处它们有相同的Frenet 标架：13131313(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0).r r ααββγγ====令{}1111();(),(),()r s s s s αβγ和{}3333();(),(),()r s s s s αβγ分别为1C 和3C 的Frenet 标架. 则它们都满足一阶线性常微分方程组初值问题,,,.r αακββκατγγτβ⎧=⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=-⎩ (5.6) 1111(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0).r r ααββγγ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (5.7)根据解的唯一性(见附录定理1.1)，有13()()r s r s =，即1C 与3C 重合. □注 常微分方程组(5.6)中，共有12个未知函数：()()(),(),()r s x s y s z s =，()123()(),(),()s s s s αααα=，()123()(),(),()s s s s ββββ=，()123()(),(),()s s s s γγγγ=.初始条件为：()1123(0)(,,)(0),(0),(0)r a a a x y z ==，()123111213(0),(0),(0)(,,)a a a ααα=，()123212223(0),(0),(0)(,,)a a a βββ=，()123313233(0),(0),(0)(,,)a a a γγγ=.定理5.2设111222:(),:()C r r t C r r u ==是3E 中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为零. 如果存在三次以上的连续可微函数()u t λ=([,]t a b ∈)，()0t λ'≠，使得这两条曲线的弧长函数、曲率函数和挠率函数之间满足121212()(()),()(()),()(())s t s t t t t t λκκλττλ===， (5.4) 则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .证明 不妨设()0t λ'>. 对2C 作可允许参数变换()u t λ=，可将2C 的参数方程写成32()(())r t r t λ=. 则1C 的弧长为11()|()|tas t r d ξξ'=⎰，2C 的弧长为()23322()()|()||()|(())()ttt aa a dr s t r d d d s t r du λλξξλξξηλη'''====⎰⎰⎰. 由条件，可取132()()()s s t s t s t λ===作为1C 和2C 的弧长参数. 因为13()()s t s t =有相同的反函数()t s μ=，即111111322()s s s s μλλ-----====，12s λμ-=. 于是1111112222()()()()()()s s s s s s s s κκκμκλμκκ--≡===≡.同理，21()()s s ττ= 根据定理5.1，有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C . □定理 5.3 (存在性定理) 设(),()s s κτ是定义在区间[,]a b 上的任意二个给定的连续可微函数，并且()0s κ>. 则除了相差一个刚体运动之外，存在唯一的3E 中的正则曲线:()C r r s =，[,]s a b ∈，使得s 是C 的弧长参数，且分别以给定的函数()s κ和()s τ为它的曲率和挠率.证明 唯一性由定理5.1即得. 只要证明存在性.考虑含有12个未知函数的一阶线性常微分方程组初值问题(5.6)，(5.7).：,,,.drds d ds d ds d dsαακββκατγγτβ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=-+⎪⎪⎪=-⎩ (5.6) 0000(0),(0),(0),(0).r r ααββγγ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (5.7)根据解的唯一存在定理(见附录定理1.1)，对任意给定的初始条件(5.7)，(5.6)都有定义在区间[,]a b 上的解. 取(5.6)的满足初始条件(0)0,(0),(0),(0)r i j k αβγ==== (5.7)’的解，其中{};,,O i j k 是一个正交标架(即右手单位直角标架). 为了使用求和号，记123,,,ij i j e e e g e e αβγ====, (5.9)[,]a b 11[,]a b [0,]l λ1s 2s 1κ2κμ11121321222331323300000a a a a a a a a a κκττ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. (5.5) 因为123,,,r e e e 是(5.6)的解，所以()r r s =是三阶连续可微的. 下面来证明()r r s =就是所要求的曲线. 由(5.6)可得311,,1,2,3iij j j de dre a e i dsds ====∑ (5.6)’ 首先来证明(),,1,2,3ij ij g s i j δ==. (5.10)由(5.6)得333111()()ij i j j ij i ik k j jk i k ik kj jk ki k k k dg d e e de de e e a e e a e e a g a g dsds ds ds =====+=+=+∑∑∑， 由初始条件(5.7)’可知有(0)(0)(0)ij i j ij g e e δ==，,1,2,3i j =. 这说明9个函数()ij g s 满足一阶线性常微分方程组初值问题31()ij ik kj jk ki k dF a F a F ds==+∑，(0)ij ij F δ=，,1,2,3i j =.另一方面由(5.5)可知ij ji a a =-，,1,2,3i j =. 于是9个函数()ij ij F s δ=也满足上面的一阶线性常微分方程组初值问题. 由解的唯一性，必有()()ij ij ij g s F s δ==.因此123(),(),()e s e s e s 是两两正交的单位向量. 从而混合积()123(),(),()1e s e s e s =±. 但是函数()123()(),(),()f s e s e s e s =是连续的，并且由初始条件得()123(0)(0),(0),(0)1f e e e ==. 所以123(),(),()e s e s e s 构成右手系.现在，由(5.6)’可知11dre ds==. 所以()r r s =是正则曲线，并且s 是:()C r r s =的弧长参数，1()()s e s α=是C 的单位切向量场. 由(5.6)第2式及()0s κ>可知C 的曲率为()s κ，主法向量场为2()()s e s β=. 最后，因为123(),(),()e s e s e s 是右手单位正交基，所以3()()s e s γ=是次法向量场. 再由(5.6)第3式可知C 的挠率为()()()s s s γβτ-=. □例 求曲率和挠率分别是常数00κ>，0τ的曲线C 的参数方程.解 我们已经知道圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的曲率和挠率都是常数，分别为22a a b +和22b a b +. 根据定理5.1，曲线C 一定是圆柱螺线. 由022a a b κ=+和022ba b τ=+解出02200a κκτ=+，02200b τκτ=+. 因此所求曲线C 的参数方程为()00022001()cos ,sin ,rt t t t κκτκτ=+. 因为C 的弧长参数s ==，将上式中的t 就可得到C 的弧长参数方程：))()0022001()cos,sin,r s κκτκτ=+. □课外作业：习题1，4，6§ 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开对于定义在区间[,]a b 上的n 次连续可微的函数()f x ，可以在区间(,)a b 内任意一点0x 邻近展开为Taylor 展式：2()11000000002!!()()()()()()()()()n n n n f x f x f x x x f x x x f x x x o x x '''=+-+-++-+-.同样，对于一条三次连续可微的弧长参数曲线(),(,)r r s s εε=∈-，可在0s =处展开为233112!3!()(0)(0)(0)(0)()r s r sr s r s r o s =++++， (6.1)其中3()o s 是一个向量函数，满足330()lim 0s o s s→=. (6.2) 由Frenet 公式可得2(0)(0),(0)(0)(0),(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r ακβκακβκτγ===-++ (6.3)代入(6.1)得23233300000()(0)(0)(0)(0)()6266r s r s s s s s o s κκκκταβγ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中000(0),(0),(0)κκκκττ===.以0s =处的Frenet 标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ建立右手直角坐标系，则曲线C 在0s =附近的参数方程为2330123300233003(),6(),26().6x s s o s y s s o s z s o s κκκκτ⎧=-+⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎩(6.4)上式称为曲线:()C r r s =在0s =处的标准展开式.在标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ下，考虑C 的近似曲线232300000011:(),,(0)(0)(0)(0)2626C r s s s s r s s s κκτκκταβγ⎛⎫=≡+++ ⎪⎝⎭. (6.5)近似曲线1C 与原曲线C 在0s =处有相同的Frenet 标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ，有相同的曲率0κ和相同的挠率0τ. 这是因为s 是1C 的一般参数，并且1(0)(0,0,0)(0)r r ==，1(0)(1,0,0)(0)r α'==，100(0)(0,,0)(0)r κκβ''==，10000(0)(0,0,)(0)r κτκτγ'''==， 从而1(0)1r '=，111(0)(0)(0)(0)r r αα'=='，()1100(0)(0)(0)(0)(0)r r ακβκγ'''⨯=⨯=，110(0)(0)r r κ'''⨯=，111031(0)(0)(0)(0)r r r κκ'''⨯=='，11111(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r r γγ'''⨯=='''⨯，111(0)(0)(0)(0)(0)(0)βγαγαβ=⨯=⨯=，2111001022011(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r r r κτττκ''''''⨯⋅==='''⨯. 在0s =邻近，近似曲线1C 的性状近似地反映了原曲线C 的性状. 近似曲线1C 的图形见下图，其在各坐标平面上的投影见书上图2-6.在密切平面上的投影是抛物线：20,,02x s y s z κ===，在从切平面上的投影是三次曲线：300,0,6x s y z s κτ===，在法平面上的投影是半三次曲线：230000,,26x y s z s κκτ===.定义 设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==相交于0p ，012(0)(0)Op r r ==. 取1122,p C p C ∈∈，使得0102p p p p s ==∆. 若有正整数n 使得121200|||()()|limlim 0n n s s p p r s r s s s ∆→∆→∆-∆==∆∆，1210|()()|lim 0n s r s r s s +∆→∆-∆≠∆， (6.9) 则称1C 与2C 在0p 处有n 阶切触.定理 6.1 设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==在0s =处相交. 则它们在0s =处有n 阶切触的充分必要条件是()()12(0)(0)k k r r =，1,2,,k n =，(1)(1)12(0)(0)n n r r ++≠. (6.10)证明 在0s =处，有0s s s ∆=-=. 因为12,C C 在0s =处相交，所以12(0)(0)r r =. 根据Taylor 公式，α0γ0β(0)r12()()12121()()()(0)(0)!k n n k k k s r s r s o s r r k ++=-=+⎡⎤-⎣⎦∑. 充分性. 由(6.10)，12(1)(1)1212()()()(0)(0)(1)!n n n n s r s r s o s r r n ++++-=+⎡⎤-⎣⎦+，所以 2(1)(1)12121210001()||()()lim lim lim ||0(0)(0)(1)!n n n n n n s s s o s p p r s r s s r r n s s s++++∆→→→-===+⎡⎤-⎣⎦+∆， 2(1)(1)1212121110001()||()()lim lim lim 0(0)(0)(1)!n n n n n n s s s o s p p r s r s r r n s s s++++++∆→→→-==≠+⎡⎤-⎣⎦+∆. 即12,C C 在0s =处有n 阶切触.必要性. 由条件，12,C C 在0s =处有n 阶切触，则1n ≥. 如果12(0)(0)r r ''≠，则12121200||()()lim lim 0(0)(0)s s p p r s r s r r s s∆→→-''==>-∆， 从而120||lim0n s p p s ∆→≠∆，矛盾. 设1m ≥是满足 ()()12(0)(0)k k r r =，1,2,,k m =，(1)(1)12(0)(0)m m r r ++≠的正整数. 由充分性，12,C C 在0s =处有m 阶切触. 由条件得m n =，故(6.10)成立. □ 推论 (1) 一条曲线与它在一点的Taylor 展开式中的前1n +项之和(即略去()n s ∆的高阶无穷小)至少有n 阶切触；与它在一点的切线至少有1阶切触；与它在一点的近似曲线至少有2阶切触.(2) 两条相交曲线在交点处有二阶以上切触的充分必要条件是这两条曲线在该点处相切，且有相同的有向密切平面和相同的曲率.曲率圆(密切圆)：在弧长参数曲线:()C r r s =上一点()r s 处的密切平面上，以曲率中心1()()()r s s s βκ+为圆心，以曲率半径1()R s κ=为半径的圆. 它的方程是： ()11()()()cos ()sin ()()()X t r s s t s t s s s βαβκκ=+++. 曲线与曲面的切触阶，密切球面，曲率轴. (略)课外作业：习题2，3§2.7 存在对应关系的曲线偶设两条正则参数曲线111222:(),:()C r r t C r r u ==之间存在一个一一对应关系()t u t ↔=，()0u t '≠. 对曲线2C 作参数变换，可设222:()C r r t =，从而12,C C 之间的一一对应就是参数相同的点之间的一一对应.定义7.1 如果两条互不重合的曲线12,C C 之间存在一个一一对应，使得它们在对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand 曲线偶，其中每一条曲线称为另一条曲线的侣线，或共轭曲线.每一条正则曲线(:()(C r r s x ==证明 设s ()()(),()s x s y s α=是C 的单位切向量场，()()(),()n s y s x s =-. 取充分小的非零实数λ使得|()|1s λκ<∀11:()()()C r s r s n s λ=+是曲线C 的侣线.事实上，因为21n n x y αα⋅=+=⋅=，所以0nn =，n n ⊥. 另一方面由0n =可知n α⊥. 因此//n α. 设r n κα=. 于是C 的曲率()22()|()|||()()|()|||(),()r s s x s y s n s x s y s κακ===+==.当常数λ充分小时，1()[1()]()0r r s s s λκα'=+≠，所以1C 是正则参数曲线. 因为0λ≠，所以曲线C 和1C 不重合.现在来证明在对应点C 和1C 有相同的主法线. 在相同的参数s 点处，C 的主法线l 是过()r s (的终)点且垂直于()s α的直线，所以l 的方程为()()()X u r s un s =+，u ∈.同理，在相同的参数s 点处，1C 的主法线1l 是过1()r s 点且垂直于1()//()rs s α'的直线. 所以1//l l (因为它们都垂直于()s α). 由定义可知1()r s 在直线l 上，所以l 与1l 重合. □下面考虑空间挠曲线，即挠率0τ≠的曲线.定理7.1 设1C 和2C 是Bertrand 曲线偶. 则1C 和2C 在对应点的距离是常数，并且1C 和2C 在对应点的切线成定角.证明 设曲线1C 的弧长参数方程为11()r r s =，Frenet 标架为{}1111();(),(),()r s s s s αβγ，曲率和挠率分别为1()s κ和1()s τ. 因为1C 和2C 之间存在一一对应，设2C 上与1()r s 对应的点是22()r r s =，s 是2C 的一般参数，2C 的Frenet 标架为{}2222();(),(),()r s s s s αβγ，曲率和挠率分别为2()s κ和2()s τ. 再设2C 的弧长参数为()s s s =.由条件，2()r s 在曲线1C 上的点1()r s 处的主法线11()()()X u r s u s β=+上，所以()121//()()()s r s r s β-，并且12()()s s ββ=±. 因此可设211()()()()r s r s s s λβ=+，21()()s s βεβ=， (7.3)αn其中1ε=±是常数，()121()()()()s s r s r s λβ=-是可微函数.将(7.3)两边对s 求导，利用Frenet 公式，得21111()()()()()()[()()()()]s s s s s s s s s s s ααλβλκατγ''=++-+111[1()()]()()()()()()s s s s s s s s λκαλβλτγ'=-++. (7.4)以21βεβ=分别与上式两边作内积，可得()0s λ'=，()s c λ=是常数. 再由(7.3)得211|()()||()()|||r s r s s s c λβ-==，即1C 和2C 在对应点的距离是常数||(0c >，因为1C 和2C 不重合).设12()((),())s s s θαα=∠，则()12()()cos ()s s s ααθ=. 因为()112212122211120d s s dsκβακαβεκβαεκαβαα''=+=+=， 所以()cos ()s θ是常数，从而()s θ是常数. □定理7.2 设正则曲线C 的曲率κ和挠率τ都不为零. 则C 是Bertrand 曲线的充分必要条件是：存在常数,λμ，且0λ≠，使得1λκμτ+=.证明 必要性. 设曲线C 有侣线1C ，它们的参数方程分别是()r s 和1()r s ，其中s 是C 的弧长参数. 如同定理7.1的证明过程一样，设{}();(),(),()r s s s s αβγ和{}1111();(),(),()r s s s s αβγ分别是C 和1C 的Frenet 标架，11,κτ分别是1C 的曲率和挠率，s 是1C 的弧长参数. 现在(7.3)和(7.4)分别成为 1()()()r s r s s λβ=+，1()()s s βεβ=， (7.3)1()()[1()]()()()s s s s s s s αλκαλτγ'=-+. (7.5)其中0λ≠是常数. 因此由0τ≠得|()|[10s s '=≠，1()[1s s ε'=其中11ε=±也是一个常数.由定理7.1，1()()s s c αα=是常数. 用()s α与(7.5)两边作内积，得22221()(1)[1()][()]c s c s c s ελκλκλτ=-⇒--=.由()0s λτ≠可知2(1)0c -≠，从而1()()s s λκμτ-== 是常数. 这就是说，存在常数0,λμ≠，使得1λκμτ+=.充分性. 设正则弧长参数曲线:()C r r s =的曲率κ和挠率τ满足1λκμτ+=，其中,λμ是常数，且0λ≠. 令1()()()r s r s s λβ=+，则1()[1()]()()()()[()()]0r s s s s s s s s λκαλτγτμαλγ'=-+=+≠.所以由参数方程11()r r s =定义的曲线1C 是正则曲线，并且与曲线C 不重合(因为0λ≠).由于21||r τλ'=1C 的单位切向量场1()[sin ()cos ()]s s s αθαθγ=±+，其中arctan(/)θμλ=是常数，满足sin θ=，cos θ=.设s 是1C 的弧长参数，利用Frenet 公式，有111(sin cos )d ds ds dsακβθκθτβ==±-. 如果sin cos 0θκθτ-≠，则有1ββ=±，从而曲线1C 是C 的侣线，1C 和C 是Bertrand 曲线偶(在参数s 相同的点，1C 和C 得主法线有相同方向，并且1()r s 在()r s 处的主法线上).如果sin cos 0θκθτ-=，则μκλτ=. 结合1λκμτ+=可知κ和τ都是非零常数，C 是圆柱螺线，从而是Bertrand 曲线. □定义7.2 如果两条曲线12,C C 之间存在一个一一对应，使得曲线1C 在任意一点的切线正好是2C 在对应点的法线(即垂直于2C 在该点的切线)，则称曲线2C 是1C 的渐伸线. 同时称曲线1C 是2C 的渐缩线.定理7.3 设:()C r r s =是正则弧长参数曲线. 则C 的渐伸线的参数方程为1()()()()r s r s c s s α=+-. (7.7)证明 设渐伸线1C 上与()r s 对应的点为1()r s . 则1()r s 在曲线C 上()r s 点处的切线上，故有函数()s λλ=使得1()()()()r s r s s s λα=+. (7.8)由渐伸线的定义，1()()r s s α'⊥，所以10()()[()()()()()()]()1()r s s s s s s s s s s ααλαλκβαλ'''==++=+.由此得()1s λ'=-，()s c s λ=-. 代入(7.8)即得(7.7). □曲线C 的渐伸线可以看作是该曲线的切线族的一条正交轨线，位于C 的切线曲面∑上. 定理7.4设:()C r r s =是正则弧长参数曲线. 则C 的渐缩线的参数方程为()111()()()tan ()()()()r s r s s s ds s s s βτγκκ=+-⎰. (7.10) 证明 设渐缩线1C 上与()r s 对应的点为1()r s . 由定义，1[()()]()()rs r s r s s α-⊥=，可设 1()()()()()()r s r s s s s s λβμγ=++. (7.11)求导得1()()()()()[()()()()]()()()()()r s s s s s s s s s s s s s s αλβλκατγμγμτβ'''=++-++- [1()()]()[()()()]()[()()()]()s s s s s s s s s s s λκαλμτβμλτγ''=-+-++.。