数学同步教案

六年级上册数学教案同步教程：比的应用人教版教学内容本节课将深入探讨比的应用，着重于理解比的概念及其在实际问题中的应用。

通过具体案例，让学生掌握比的基本性质，并能够运用比来解决实际问题。

教学目标1. 理解比的概念，掌握比的基本性质。

2. 学会运用比来比较不同物体或数量的大小。

3. 能够在实际问题中灵活运用比的知识，解决相关问题。

教学难点1. 比的概念及其性质的深入理解。

2. 如何将比的知识应用于实际问题，特别是当问题情境较为复杂时。

教具学具准备1. 教具：比的概念图示、实际案例图示、比的计算示例。

2. 学具：练习册、计算器、草稿纸。

教学过程1. 导入：通过生活中的实例引入比的概念，激发学生的兴趣。

2. 讲解：详细讲解比的定义、性质以及比的计算方法。

3. 案例解析：分析具体案例，让学生理解比的应用。

4. 小组讨论：分组讨论，让学生在实际问题中运用比的知识。

6. 练习：布置相关练习，让学生巩固所学知识。

板书设计1. 比的定义和性质。

2. 比的计算方法。

3. 比的应用案例。

作业设计1. 基础练习：计算给定比例的大小。

2. 应用题：解决实际问题，运用比的知识。

3. 挑战题：解决更复杂的问题，提高学生的应用能力。

课后反思本节课后，教师应反思教学效果，检查学生是否掌握了比的概念和性质，是否能够灵活运用比的知识解决实际问题。

同时，针对学生的掌握情况，及时调整教学策略，以提高教学效果。

教学难点本节课的教学难点在于如何将比的概念和性质应用于实际问题，尤其是在面对较为复杂的问题情境时。

学生往往能够理解比的基本概念，但在具体应用时可能会遇到困难。

因此，如何有效地帮助学生将理论知识转化为解决实际问题的能力，是教学过程中的一个重点和挑战。

补充和说明为了突破这一教学难点，教师需要采取一系列策略来帮助学生深化理解并能够灵活运用比的知识。

1. 案例教学法：教师应准备多样化的案例，这些案例应涵盖不同的生活场景，如购物、烹饪、运动等，让学生在具体情境中学习比的应用。

运用数形结合解决问题课时目标导航一、教学内容算术与图形的转换。

(教材第107～108页例1、例2) 二、教学目标1．通过观察、实验,认识图形和相应的数字之间的联系。

2．结合图形的变化规律发现相应的数字之间的联系。

3．探索规律,发现规律,运用规律提高计算能力。

4．运用数形结合的思想方法,经历猜想与验证的过程,培养积极探究,大胆猜想验证,灵活运用的能力。

三、重点难点重点：理解图形和数字的对应关系,并结合图形的变化规律,发现相应的数字变化规律。

难点：探索规律并验证规律。

一、情境引入让学生观看视频(一些有规律可循的建筑物),根据视频中的经典画面激趣设疑导入。

师：今天我们就来一起探究这些奥妙。

请同学们先完成这道题： 口算：13＋16,15＋110,17＋114,110＋120,125＋150。

师：这些算式有什么特点？(引导学生回答：它们都是分数相加的形式)师：我们知道,求两个分数之和(差),首先要将这两个分数化为同分母的分数,再进行加减。

想一想,我们可以怎样用图形来表示这些数字呢？课件出示算式的求法,以及在图形中表示出来。

师：你知道这是什么意思吗？你能总结出什么规律吗？(引发学生思考) 师：这就是我们今天要学习的内容。

(板书课题：运用数形结合解决问题) 二、学习新课1.教学教材第107页例1。

(课件出示教材第107页例1) (1)师：算式左边的加数有什么特点？ 算式左边的加数是连续的奇数。

(2)师：算式左边的加数与构成的图形之间有什么关系？算式左边的加数是大正方形左下角的小正方形和其他“┑”形图形所包含的小正方形个数之和,且正好是每行或每列小正方形个数的平方。

(3)师：算式右边括号里的数字与构成的图形之间有什么关系？ 算式右边括号里的数字是正方形中每列的小正方形的个数。

(4)师：算式左边加数(第1个算式除外)与右边括号里的数字之间有什么关系？算式左边的加数是1,3,5,…,2n ＋1,右边括号里的数字用a 表示,那么你能用字母表示其关系吗？算式左边首、尾的加数和的一半等于右边括号里的数字。

除数是整数的小数除法（一）教学目标1．初步体会小数除法的意义，在熟悉的情境中探索并掌握除数是整数的小数除法的计算方法，体会转化的思想方法在小数除法中的应用。

能解决一些简单的实际问题，提高计算能力。

2．探索并掌握由小数点位置的左移引起的小数大小变化的规律，并能应用这一规律口算相应的算式或解决一些简单的实际问题。

3．在活动中感受数学与实际生活的联系，感受小数除法的实际应用价值，提高学好数学的信。

（二）教学重难点重点：掌握除数是整数的小数除法的计算方法。

难点：小数点位置的左移引起的小数大小变化的规律。

（三）知识讲解【知识点一】除数是整数的小数除法的计算方法问题导入下表是妈妈购买水果的数量和总价。

算出每种水果的单价并填入下表。

（教材59页例4）过程讲解1．理解题意求每种水果的单价，就是求每千克苹果、每千克香蕉和每千克橘子分别是多少钱，根据数量关系“单价=总价÷数量”，用除法计算，列式分别为9.6÷3，12÷5，5.7÷6。

2．探究9.6÷3的计算方法方法一把以元为单位的数转化成以角为单位的数。

9.6元是96角，用96除以3。

按照整数除法的计算方法计算。

思想方法提示把以元为单位的数改写成以角为单位的数进行计算的过程，体现了转化的思想方法。

32角是3.2元，所以9.6÷3=3.2（元）。

方法二把9.6元分成几元和几角，计算后再把结果相加。

把9.6元分成9元和6角。

先用9和6分别除以3，再把两个商加起来，最后把结果改写成以元为单位的数。

9÷3=3（元） 6÷3=2（角）3元+2角=3元2角=3.2元所以9. 6÷3=3.2（元）。

方法三用竖式计算。

9.6÷3=3.2（元）答：每千克苹果3.2元。

3．用竖式计算12÷512÷5=2.4（元）答：每千克香蕉2. 4元。

4．用竖式计算5.7÷65. 7÷6=0. 95(元)`````````````````````````````````````````答：每千克橘子0. 95元。

五年级上册数学同步教案-7.2 数学广角2教学内容本节课主要围绕《数学广角2》展开，教学内容包括对平面几何图形的基本概念复习，重点探讨图形的周长和面积问题。

通过实际操作和观察，使学生理解周长和面积的定义，掌握计算方法，并能解决简单的实际问题。

教学目标1. 知识与技能：学生能够准确理解周长和面积的概念，掌握计算不同几何图形周长和面积的方法。

2. 过程与方法：通过观察、操作和小组讨论，培养学生合作学习和解决问题的能力。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生对几何图形美的感知。

教学难点1. 学生对周长和面积概念的理解和区分。

2. 学生对不规则图形周长和面积计算方法的掌握。

3. 学生在实际问题中应用周长和面积知识解决具体问题的能力。

教具学具准备1. 几何图形模型（如三角形、矩形、圆形等）。

2. 直尺、圆规等测量工具。

3. 白板或黑板，粉笔。

4. 学生练习本、计算器（可选）。

教学过程1. 导入：通过回顾上一节课的内容，引导学生自然过渡到本节课的学习。

利用几何图形模型，让学生直观感受周长和面积。

2. 新课讲解：- 讲解周长和面积的定义，强调两者的区别和联系。

- 通过示例，展示如何计算规则图形（如矩形、圆形）的周长和面积。

- 引导学生探索不规则图形周长和面积的计算方法。

3. 小组讨论：将学生分组，每组分配不同的几何图形，让学生合作计算周长和面积，并分享计算过程和结果。

4. 巩固练习：在黑板上展示几个不同的几何图形，让学生独立计算其周长和面积，并邀请个别学生上台展示解题过程。

5. 总结：对本节课的重点内容进行总结，强调周长和面积在实际生活中的应用。

板书设计板书将围绕以下要点进行设计：- 周长和面积的定义。

- 计算规则图形和不规则图形周长、面积的步骤。

- 学生练习题及其解答过程。

作业设计1. 让学生回家后，选择家中的物品，测量并计算其周长和面积。

2. 设计一些综合性的实际问题，让学生运用所学知识解决。

1.4 充分条件与必要条件最新课程标准：(1)通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(2)通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(3)通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.知识点一充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件(sufficient condition)，q是p的必要条件(necessary condition)．q．此时，我状元随笔如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．知识点二充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(sufficient and necessary condition)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．状元随笔p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．[教材解难]1．教材P17思考(1)(4)是真命题，(2)(3)是假命题．2．教材P18思考不唯一，两组对边分别平行，一组对边平行且相等．3．教材P19思考不唯一，两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等．4．教材P20思考命题(1)(4)和它的逆命题是真命题．命题(2)是真命题，它的逆命题是假命题．命题(3)是假命题，它的逆命题是真命题．5．教材P21探究“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件．[基础自测]1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件．答案：B2．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的( )A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为(－1,3)(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．答案：C3．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：A、B是两个集合，则由“A∩B＝A”可得“A⊆B”，由“A⊆B”可得“A∩B＝A”，所以A、B 是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.答案：C⇒”填空：4．用符号“⇒”与“(1)x2>1________x>1；(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．⇒x>1.解析：(1)命题“若x2>1，则x>1”是假命题，故x2>1(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．⇒(2)⇒答案：(1)题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断[教材P18例1、P19例2]例1 (1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；④若x2＝1，则x＝1；⑤若a＝b，则ac＝bc；⑥若x，y为无理数，则xy为无理数．(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边对应成比例；③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；④若x＝1，则x2＝1；⑤若ac＝bc，则a＝b；⑥若xy为无理数，则x，y为无理数．【解析】(1)①这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．②这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．③这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．⇒q，所以p不是q的充分条件．④由于(－1)2＝1，但－1≠1，p⑤由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件．⇒q，所以p不是q的充分条件．⑥2为无理数，但2×2＝2为有理数，pp⇒q由充分条件的定义来判断．(2)①这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件．②这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件．⇒q，所以，q不是p的必要条件．③如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p④显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件．⇒q，所以，q不是p的必要条件．⑤由于(－1)×0＝1×0，但－1≠1，p⇒q，所以，q不是p的必要条件.⑥ 由于1×2＝2为无理数，但1，2不全是无理数，pp⇒q由必要条件的定义来判断．教材反思充分条件、必要条件、充要条件的判断方法1．定义法(1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．D ．x≤－12或x≥3【解析】 由2x 2－5x －3≥0，得x≥3或x≤－12，所以选项中只有x∈{－1,3,5}是使不等式2x 2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件．【答案】 C先求出满足题意的充要条件―――――――→结合集合关系从选项中选出充分不必要条件 方法归纳本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据{x|x≥3或x≤－12}{x|x>2或x<0}，误选B.事实上，“不等式2x 2－5x －3≥0成立”为结论q ，我们只需找到条件p 使p ⇒q 且q⇒p 即可．跟踪训练2 2x 2－5x －3<0的必要不充分条件是( ) A ．－12<x<3B ．0<x<2C ．－1<x<2D ．－12<x<4解析：2x 2－5x －3<0⇒－12<x<3，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4， ∴－12<x<4是2x 2－5x －3<0的必要不充分条件．答案：D使2x 2－5x －3<0成立的x 为－12<x<3，再求必要不充分条件．题型三 充分条件、必要条件、充要条件的应用 [经典例题]例3 已知p ：2x 2－3x －2≥0，q ：x 2－2(a －1)x ＋a(a －2)≥0，若p 是q 的充分不必要条件．求实数a 的取值范围．【解析】 令M ＝{x|2x 2－3x －2≥0}＝{x|(2x ＋1)(x －2)≥0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≤－12或x≥2；N ＝{x|x 2－2(a －1)x ＋a(a －2)≥0}＝{x|(x －a)[x －(a －2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}， 由已知p ⇒q 且q ⇒p ，得MN.∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a<2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a≤2，解得32≤a<2或32<a≤2，即32≤a≤2，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.状元随笔构造集合M ＝{x|p (x )}； N ＝{x|q (x )}―――→求解M 、N 由已知M N ―――→构造a 的不等式解关于a 的不等式组―→结果 方法归纳根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．跟踪训练3 已知M ＝{x|(x －a)2<1}，N ＝{x|x 2－5x －24<0}，若M 是N 的充分条件，求a 的取值范围． 解析：由(x －a)2<1得，x 2－2ax ＋(a －1)(a ＋1)<0， ∴a－1<x<a ＋1.则M ＝{x|a －1<x<a ＋1}， 又由x 2－5x －24<0得－3<x<8. 则N ＝{x|－3<x<8}．∵M 是N 的充分条件，∴M ⊆N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，解得－2≤a≤7.故a 的取值范围是－2≤a≤7.先求M 、N ，再利用充分条件得M ⇒N ，即M ⊆N 来求a 的取值范围．课时作业 5一、选择题1．已知集合A ＝{1，a}，B ＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A ⊆B”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：因为A ＝{1，a}，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ，所以a ＝3⇒A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆Ba ＝3，所以“a＝3”是“A ⊆B”的充分而不必要条件．答案：A2．函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝1解析：函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于x ＝1对称⇔－m 2＝1⇔m ＝－2.答案：A3．王昌龄的《从军行》中有两句诗：“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”．其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B. 答案：B4．已知p ：x>1或x<－3，q ：x>a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]解析：令A ＝{x|x>1或x<－3}，B ＝{x|x>a}， ∵q 是p 的充分不必要条件， ∴B A ， ∴a≥1. 答案：A二、填空题5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x 2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________； (2)“x<5”是“x<3”的________．解析：(1)设A ＝{x|x 2－1＝0}＝{－1,1}，B ＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A ＝B ，即“x 2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．(2)设A ＝{x|x<5}，B ＝{x|x<3}，因为A B ，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件． 答案：(1)充要条件 (2)必要不充分条件6．如果命题“若A 则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件． 解析：因为逆否命题为假，那么原命题为假，即A ⇒B ，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A ，所以A 是B 的必要不充分条件．答案：必要不充分7．函数y ＝x 2＋bx ＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________． 解析：对称轴x ＝－b2≤0，即b≥0.答案：b≥0 三、解答题8．指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A>∠B，q ：BC>AC ；(2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y≠8，q ：x≠2或y≠6；(3)已知x ，y∈R，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0. 解析：(1)在△ABC 中，显然有∠A>∠B ⇔BC>AC ，所以p 是q 的充要条件． (2)因为p ⇒q ，但q⇒p ，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)因为p ：A ＝{(1,2)}，q ：B ＝{(x ，y)|x ＝1或y ＝2}，AB ，所以p 是q 的充分不必要条件．9．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m>0)，若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数m 的取值范围．解析：由命题p 得：x>10或x<－2，由命题q 得：x 2－2x ＋1－m 2>0(m>0)⇔[x －(1＋m)]·[x－(1－m)]>0⇔x<1－m ，或x>1＋m(m>0)． 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以p ⇒q ，且q⇒p ，{x|x>10或x<－2}{x|x<1－m 或x>1＋m(m>0)}，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m≥－2，1＋m≤10，两等号不能同时成立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m≤3，m≤9，即m≤3.所以正实数m 的取值范围为(0,3]． [尖子生题库]10．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． 解析：(1)a ＝0时，可得x ＝－12，符合题意．1．5 全称量词与存在量词最新课程标准：(1)全称量词与存在量词．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．(2)全称量词命题与存在量词命题的否定．①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.知识点一全称量词和全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“∀x∈M，p(x)”知识点二存在量词和存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号记为“∃x∈M，p(x)”状元随笔全称量词命题与存在量词命题的区别(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．知识点三全称量词命题和存在量词命题的否定1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x)．2．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)．状元随笔全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．[教材解难]1．教材P24思考语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．2．教材P25思考(1)(2)不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题．[基础自测]1．下列命题中全称量词命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的正方形不是菱形；④三角形的内角和是180°.A．0 B．1C．2 D．3解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，③是存在量词命题，故有三个全称量词命题．答案：D2．下列命题中存在量词命题的个数是( )①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2≤0；③有的奇数能被2整除．A．0 B．1C．2 D．3解析：①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．答案：D3．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．答案：C4．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．解析：该命题是全称量词命题，因为含有量词“任意”，其否定应该是存在量词命题，既要改变量词，又要否定结论，故命题的否定是：“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3题型一全称量词命题与存在量词命题的判断与其真假[经典例题]例1 判断下列命题哪些是全称量词命题，并判断其真假．(1)对任意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)对顶角相等；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．【解析】(1)(3)(5)是全称量词命题，(1)是假命题，∵x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(5)是真命题.正确地识别命题中的全称量词，是解决问题的关键．方法归纳(1)要判定全称量词命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．(2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题．跟踪训练1 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0；(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tanx2；(3)存在一个x∈R，使x2＋1<0.解析：(1)(2)是全称量词命题，(3)是存在量词命题．(1)∵a x>0(a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)对任意x∈R，x2＋1>0.∴命题(3)是假命题．状元随笔判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词，有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据命题含义判断形式．题型二含有一个量词的命题的否定[教材P29例5]例2 写出下列命题的否定，并判断真假：(1)任意两个等边三角形都相似；(2)∃x∈R，x 2－x ＋1＝0.【解析】 (1)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．因此这是一个假命题． (2)该命题的否定：∀x∈R，x 2－x ＋1≠0.因为对任意x∈R，x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以这是一个真命题.先把命题否定，再判断真假．教材反思全称量词命题的否定是一个存在量词命题，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，因此在书写他们的否定时，相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，同时否定结论．跟踪训练2 (1)命题“对于任意的x∈R，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )A.不存在x∈R，x 3－x 2＋1≤0B ．存在x∈R，x 3－x 2＋1≥0C ．对任意的x∈R，x 3－x 2＋1>0D ．存在x∈R，x 3－x 2＋1>0(2)命题“∃x∈R，x 3－2x ＋1＝0”的否定是( )A ．∃x∈R，x 3－2x ＋1≠0B ．不存在x∈R，x 3－2x ＋1≠0C ．∀x∈R，x 3－2x ＋1＝0D ．∀x∈R，x 3－2x ＋1≠0解析：(1)全称量词命题的否定是存在量词命题，故排除C ；由命题的否定只否定结论，不否定条件，故排除A ，B.(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A ；由命题的否定要否定结论，故排除C ；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”，故排除B.答案：(1)D (2)D∀x∈M，p(x)的否定为∃x∈M，綈p(x)．∃x∈M，p(x)的否定为∀x∈M，綈p(x)．课时作业 6一、选择题1．下列语句不是存在量词命题的是( )A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z,2x是偶数D．存在x∈R,2x＋1是奇数解析：A、B、D中含有存在量词是存在量词命题，C中含有全称量词是全称量词命题．答案：C2．判断下列命题是存在量词命题的个数( )①每一个一次函数都是增函数；②至少有一个自然数小于1；③存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0；④圆内接四边形，其对角互补．A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：①④是全称量词命题，②③是存在量词命题．答案：B3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为( )A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>0解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0”，故选C.答案：C4．已知命题p：∃x0>0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，选D.答案：D二、填空题5．下列命题，是全称量词命题的是____________；是存在量词命题的是____________．①正方形的四条边相等；②有些等腰三角形是正三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称量词命题，②④是存在量词命题．答案：①③②④6．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题的否定为真命题的序号是________．解析：写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者根据命题①、②是真命题，③、④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题．答案：③④7．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“∃x∈R，|x|＋x2<0”．答案：∃x∈R，|x|＋x2<0三、解答题8．用量词符号表述下列命题：(1)任意一个实数乘以－1都等于它的相反数；(2)对任意实数x，都有x3>x2；(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(4)某个四边形不是平行四边形．解析：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.(2)∀x∈R，x3>x2.(3)∃x0∈Z，x0既能被2整除，又能被3整除．(4)∃x0∈{x|x是四边形}，x0不是平行四边形．9．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的梯形对角线相等；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有一个函数，图象是直线；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．解析：(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．(4)含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．[尖子生题库]10．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(2)∃x，y∈Z,3x－4y＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的绝对值是它本身．解析：(1)由于α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以命题为假命题，否定为：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(2)真命题，否定为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20；(3)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；(4)是全称量词命题，省略了量词“所有”，命题为真命题．否定为：有的正数的绝对值不是它本身．。

过河(一)教学目标1、结合具体情境，体会小括号的作用。

2、掌握有小括号的混合运算的运算顺序，并能正确计算。

3、培养提出问题和解决问题的能力。

（二）教学重难点重点：掌握有小括号的混合运算的运算顺序。

难点：理解小括号的作用。

（三）知识讲解【知识点】有小括号的算式的运算顺序问题（1）导入同学们都坐大船，需要几条船？（教材8页中间例题）过程讲解1．理解题意从图中可知：男生有29人，女生有25人，这些人要乘船过河，一条大船坐学生9人，如果同学们都坐大船，求需要几条船。

2．明确解题方法(1)要想求需要几条船，必须先求出一共有多少人乘船，即把男生和女生的人数合起来，用加法计算，列式为29+25=54（人）。

(2)一共有54人，一条大船坐学生9人，求需要几条船，就是求54里面有几个9，用除法计算，列式为54÷9=6（条）。

3．明确小括号的作用(l)使用小括号的必要性：根据分析可知，题中两个算式可以写成一个综合算式。

如果列成29+25÷9，计算时要先算除法，与题意不符，题中要求先算加法，即求出一共有多少人，这时就需要添加小括号“( )”，列式为(29+25)÷9，小括号具有改变运算顺序的作用。

(2)带有小括号的算式的运算顺序：在进行混合运算时，要先算小括号里面的，即先算29加25，再算小括号外面的，即后算54除以9。

4．正确解答(29+25)÷9=54÷9=6（条）答：需要6条船。

问题（2）导入一条大船坐学生9人，每条小船比大船少坐学生3人。

如果54人都坐小船，需要多少条船？（教材8页下面例题）过程讲解1.整理数学信息，明确已知条件和所求问题已知条件：一条大船坐学生9人，每条小船比大船少坐学生3人。

54人都坐小船。

所求问题：需要多少条船？2．明确解题方法(l)要想求54人都坐小船，需要多少条船，必须先求出一条小船坐多少人，根据“一条大船坐学生9人，每条小船比大船少坐学生3人”求出一条小船坐的人数，用减法计算，列式为9-3 =6（人）。

第五章 一元一次方程1 认识方程1.从生活的实际问题出发，通过小组讨论、教师引导发现数学与生活密不可分.2.通过列方程的过程，感受方程作为刻画现实世界的数学模型的意义，体会到由算式到方程式是数学的一大进步，从而体会方程思想.重点：初步认识一元一次方程的特征，形成一元一次方程的概念.难点：理解方程的解的概念.一、情境导入二、合作探究探究点一：方程及一元一次方程的概念【类型一】 方程的识别下列各式是方程的有（ ）（1）2x －3＝7；（2）8＋5＝13；（3）2m －3n ＝0；（4）2＋5x ；（5）x ＋2＞3.A .0个B .1个C .2个D .3个解析：（1）2x －3＝7，（3）2m －3n ＝0是含有未知数的等式，属于方程；（2）8＋5＝13中不含有未知数，不是方程；（4）2＋5x 不是等式，不是方程；（5）x ＋2＞3不是等式，不是方程.故选C .方法总结：含有未知数的表示量相等的等式称为方程.下列方程中，是一元一次方程的是（ ）A .2x ＋3y ＝5B .x 2－x ＋2＝0C .3x －5＝4x ＋1D .1x－x ＝1 解析：紧扣一元一次方程的概念，A 中含有两个未知数；B 中未知数的最高次数是2；D 中分母含有未知数.故选C .方法总结：识别一个方程是否为一元一次方程，不能仅以未知数的个数和次数去判断，必须先化简保证未知数的系数不为0.【类型二】 利用一元一次方程的概念求字母的值方程（m ＋1）x |m|＋1＝0是关于x 的一元一次方程，则（ ）A .m ＝±1B .m ＝1C .m ＝－1D .m ≠－1解析：由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足指数为1，系数不等于0，所以⎩⎨⎧|m|＝1，m ＋1≠0，解得m ＝1.故选B . 方法总结：解决此类问题要明确：若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程.据此可求方程中字母的值.探究点二：检验方程的解检验下列各数是不是方程5x －2＝7＋2x 的解，并写出检验过程.（1）x ＝2； （2）x ＝3.解析：将未知数的值代入，看左边是否等于右边，即可判断是不是方程5x －2＝7＋2x 的解.解：（1）将x ＝2代入方程，左边＝8，右边＝11，左边≠右边，故x ＝2不是方程5x －2＝7＋2x 的解.（2）将x ＝3代入方程，左边＝13，右边＝13，左边＝右边，故x ＝3是方程5x －2＝7＋2x 的解.方法总结：检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右两边相等.探究点三：由实际问题抽象出一元一次方程某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元.该店在“6·1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元.若设铅笔卖出x 支，则依题意可列得的一元一次方程为（ ）A .1.2×0.8x ＋2×0.9（60＋x ）＝87B .1.2×0.8x ＋2×0.9（60－x ）＝87C .2×0.9x ＋1.2×0.8（60＋x ）＝87D .2×0.9x ＋1.2×0.8（60－x ）＝87解析：设铅笔卖出x 支，根据“铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元”，得出等量关系：x 支铅笔的售价＋（60－x ）支圆珠笔的售价＝87，据此列出方程为1.2×0.8x ＋2×0.9（60－x ）＝87.故选B .方法总结：解题的关键是读懂题意，设出未知数，找到题目当中的等量关系，最后列方程.三、板书设计认识方程 ⎩⎪⎨⎪⎧方程→含有未知数的表示量相等的等式叫作方程．一元一次方程→只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数是1的方程叫作一元一次方程．方程的解→使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．教学过程中，通过对多种实际问题情境的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义，通过观察、归纳一元一次方程的概念，使学生在分析实际问题情境的活动中体会数学与现实的密切联系.。