3.2.4根式不等式

20209几个含有二次根式的三元不等式宿晓阳（四川省成都实验外国语学校，四川成都611731）众所周知，不等式在数学中有重要的地位，无论是国际数学奥林匹克竞赛（IMO）、世界各国（地区）数学奥林匹克竞赛，还是国内各大高校自主招生数学考试，与不等式有关的试题频频出现，原因是不等式有各种难度，具有较强的挑战性，不仅可以很好地区分考生的水平,还可以反映考生的数学功底和创新水平.本文将给出几个新颖的含有二次根式的三元不等式，供参考与欣赏，同时为我们的英才教育提供一点新鲜血液.命题1设％、y、z是正实数，则TT-B2(4,B,C)7T-C2TT~A2于是有in扌+2zsin=.竺+竺+Zm2xsin£+2ysix y z2B2a—）（其中。

、…和be再由三角形恒等式.4sin——=2s分别为的三边和半周长），设s-a=x,s一b=y,s一c=z,贝V+y)(x+z)*汽z+%)*z2(x+y)7(y+z)(y+x)』(z+%)(z+y)......................................................................①证明：关于443(7的嵌入不等式为x2+y2+z22yzcos A+2z%cos B+2xycos C. ...............................................................................②于是有2z.Asin——=2yz*zxx y(%+y)(x+z)+子M2yzxyz+(%+y)(%+z) (%+y)(y+z)+2xxy(x+z)(y+z)•（说明：由于②式可变形为（X-ycosC-zcos B）2+（ysin C-zsin故②式成立）作代换同理乃+竺+竺x y zyz+(%+y)(%+z)2xZX(%+y)(y+z)+Oxy(X+z)(y+z)•两个不等式相加，得式cos纭+sin2（p=1或sec'（p-tan2^=1实施三角换元，其目的是变二元函数为一元三角函数•例3的三角换元之前把3/+/看成虽然换元后仍含有两个变量R和卩,但它们是“分离”的，可以看作两个独立变量进行处理•消去交叉项本文也提供了几种常用技巧，希望能给读者带来帮助.参考文献：[1]蒋宝童•用三角代换妙解几道征解题[J].中学数学教学,2017（4）：76-79.20209yz zx xy 、—+ — + — (y+z)x y zyz(% + y) (% + z)+ (z + 兀)zx(% + y) (y + z)+ (% + y)xy(x + z) (y + z)在上述不等式中作代换：%, y, z)并化简，即得证式①.命题2设”、y 、z 是正实数，则%2(y + z) y 2(z + %)y + z M [/^5/2(72 + z 2) + z% 丿2 ( , + %2 )+ xy^2(x 2 + y 2) ]2. ............⑤由⑤式知，欲证④式,先试证2—(% 4- y + z) (%2 + y 2 + z 2)+y (% + y) (% + z) 丿(y + Z )(y + %)z 2(% + y)+• — yz + zx + xy.+ %) (z + y)同理可得2,丿(y +z)(y +兀) 兀 + yz 2( % + y) z y 2y Z4-———y + z 2, Z Xy ______________ M +------,丿(z +%)(z +y) J + z z + 兀y 2(z + %)将此三式相加，即不等式③成立.注：由①和③式，我们得到一个有趣的不等式链：设沢y 、z 是正实数，则2 , 2 , 2 _/(了 +Z )x + y + z 3——+V (x + y) (% + z)z 2(% + y)y 2(z + %)______________ H --- ' 八 M y (y + z) (y + x) y (z + x) (z + y)光y + yz + ZX.命题3设沢y 、z 是正实数，则1 1 1x y z③证明：先证(y + V (x + y)(z + %) M 2yz + zx + xy,(z + x) v(^ + y)(y + z ) + 2zx + xy ,(% +y) v(y +z)(z + %) yz + zx + 2xy.事实上，由二元柯西不等式，有a /(兀 + y) (z + 兀)M 兀 +,(y + z) M 2^yz ,于是有(y + z) /(x + y) (z + %)M (y + z) (% + %/yz)=(y + z) + z% + M 2yz + zx + xy.2(% + y + z) (%*2 + y 2 + z 2) M 3[yz^/2(y 2 + z 2) + z %\/2(22 + %2) + xy^/2(x 2 + y 2)]・...............................................................................④证明：由柯西不等式，有[yz(y+z) + z%(z + %) + %y(% + y)]・z{y 2 + z 2 ) * 2zx (z + x 2) * 2xy(x 2 + y 2)x + yZ + X 2同理可证明另外两式.因为x 2(y + z) _ %2(y + z)丿(％ +/)(% +z)JJx + y) (% + z)(% + y)(兀 + z)%2( 2yz + z% + xy')(% + y) (x + z)x 2z(x + y) + x 2y(x + z)(x + y) (% + z)yz(y +z) + zx(z + %) + xy(x + y)2yz(y 2 + z 2)2zx (z 2 + x 2)M+y + zy + x* 2%y(% + y)................% + y⑥2又由不等式? M 2a -6(6 > 0),有(壬(％ + y + z) (/ + y 2 + z 2)yz(y +z)z%(z+%) 4- %y(% + y)29-36欽学歙学2020年第9期M —(x + y + z) (x 2 + y2 + z 2 )_yz(y + z)zx(z + x) + xy(x + y)................................................................................⑦由上述不等式知欲证⑥式,试先证⑦式右边工⑥式右边...............⑧将⑥式右边的每一项拆为两项，如2yz(y 2 + z 2) / , 、，yz{y - z)2--------- =yz(y + z) + -------y + z -------------------------------y + z于是⑧式等价于4(% + y + z) (x 2 +y2 +z?) - 6[yz(y + z) + zx (z + %) + xy{x + y)]M 3Z X yz(y - 2)2 ^zx(z - %)2 %y(x - y)2 y + z z + %x + y ⑨⑨式左边=2[ (y 3 +z 3 -y 2z - yz 2) + (z 3 +%3 _z x _zx ) + (x 3 + y 3 -x 2y + xy 2) ] = 2[ (y - 2)(y 2 - z 2) + (z- x) (z 2 - %2) + (% _ y) (x 2 - y 2 )]二 2[(y+z)(y —z)2 + (^+%)(2 -x)2 +(% + y) - y)2],代入⑨式,化简得zF +y + z2z 2 + 2x 2 + z% z 、2 -------------------(z - %) +Z + Xlx 1 + 2y 2 + xy+ ________________________________^(y 2 +z 2)(y+z)(z 2 +x 2)(z+%)c 2 2Zz %+ ~ - —5/(22 +x 2)(z+%)(%2 +y 2)(A ；+y)N —(% + y+ z) + 2( y/xy + Vyz + y/zx ).x + y(% - y)2 M 0.此不等式显然成立，即⑥式成立，于是④式得证.命题4设咒、y 、z 是正实数，则M 73.⑩证明：先证：/ y 2 + Z > 石(y2 + z?) J 4x 2 + y 2 + z 2 2( x 2 + y 2 + z 2) '....................................⑪粧(z 1 + x 2)2(x 2 + y 2 + z 2)> 近(/ +贰)2(x 2 + y 1 +,)事实上，⑪式等价于2(x 2 + y? + z 2) M a /3 (y 2 + z 2) (4x 2 + y 2 + z 2)........................................⑫由二元均值不等式，有2(子 +卡 +,) = 32+/)+(4/ 仪+旳2M J 3 J 寸 +/)(4/ + y2 +/).即⑫式成立•所以⑪式成立.同理可证明另外两式.于是上述三式相加，即得⑩式.注：命题4强于不等式：设兀、y 、z 是正实数，则yz+M 76.+命题5设sy 、z 是正实数，则2 2________x _________+________y ________y(X 2 + /)(X + y) y (/ + Z 2) (y + z)2j+ /〒’ 二- 工〒(衣+ +広)・a /(z + x 2) (z + %) 2...................................⑬证明：⑬式两边平方，等价于不等式x 4 y 4-------------------------+-------------------------(x 2 + y 2)(x + y) (/ + z 2)(y + z)z 4+ -----9----------；----------------------(z +%)(z + x)c 2 22x y+ —■J (x 2 + y 2)(x + y) (y 2 + Z 2) (y + z)2y 2z 2⑭2020年第9期9-37由排序不等式，有7(x *2 + /) (% + y) (y 2 + z 2) (y + z)(/ +/)(^ + y) (y 2 +z 2)(y +z)2 2 ZX(22 +%2)(z+%)'于是知，欲证明⑭式，即先试证44y -----------?------------+------------丫_______(< + /) (x + y) (/ +，) (y + z)z i 小( x 2y 2+ -7-----;--------------+ 2 I — ---------------------(Z 2 +%2)(Z + %) \(/+y)(%+y)y 2z 2 z 2x 2+------------------------ +-----------------------(y 2 + z 2) (y + z) (z 2 + %2) (z + %)M 土[(兀 + y+ z) + 2( y/xy + + J~zx )]...............................................................................⑮+ z 2) (y + 2) (z 2 + x 2) (z + x)a /(z 2 +x 2)(^+x )(x 2 +y 2)(x +y)2 2 2 2% yy zy 16%2/2(/ + y 2)(x + y)16z 2%2(z 2 + x 2) (z + %)4(/+y4)(%2 + y 2) (X + y) J 4(/+/) 1(/ +，) (y + z)'4(/+/)(z 2 + %2) (z + x)」16y 2z 2(/ + z?) (y + z)[兀 + y + 4 y/xy • [y + z + 4 J~yz[z + % + 4 y/zx⑯欲证明⑯式，即证明16x 2y 2o . M%+y + 4 -/xy 一W+y2)(%+y)4(%4 + y 4)(%2 + /)(% + y)'16%2y 2 + 4(%4 + y 4) M (% + y + 4\/xy ) (^2 +/)(% + y)..................................⑰设% + y = a, y/xy = b,则⑰式为3a 4 一 4a 3b 一 14a 2b 2 + Sab 3 + 2464 > 0,即(a - 26)2( 3a 2 + Sab + 6b 2) M 0.此式显然成立，即⑰式成立,故⑬式得证.注：命题5类似于1988年Walther Janous在加拿大数学杂志Curx 提岀的如下问题：又易知y入 )_______________________J乙(/ + /)(% + y) (y 2 +，) (y + z)(z 2 + x 2) (% + x)所以⑮式等价于设兀、y 、z 是正数求证:•兀 + —y/x + y ~Jy + z此题曾被选为2014年印度尼西亚国家集 训队选拔考试题.(上接第9-7页)[9] 朱立明，胡洪强，马云鹏.数学核 心素养的理解与生成路径——以高中数学 课程为例[J].数学教育学报,2018, 27(1 ) ： 42 -46.[10] 徐彦辉•论数学计算及其教学[J].数学教育学报,2011,20(2)： 19-22.[11] 喻平•数学核心素养的培养：知识 分类视角[J]•教育理论与实践,2018,38( 17): 3 — 6.[12] 张奠宙，马文杰•简评“数学核心素养”[J].教育科学研究,2018(9)：62-66.。

根式方程与根式不等式一、根式方程根式方程是指含有根号的方程，它们的解是方程中未知数的值。

在解根式方程之前，我们先了解一些常见的根式方程类型。

1. 平方根方程平方根方程是最常见的根式方程，形如√x = a，其中 a 是一个已知的实数。

解平方根方程的方法是将方程两边进行平方运算，得到 x = a²。

例如，解方程√x = 3，我们将方程两边平方，得到 x = 9。

需要注意的是，在解平方根方程时，我们需要检查解的可行性。

由于根式方程的解需要满足根号的非负性，所以解出的方程可能有实数解和无意义的解。

在上述的例子中，解 x = 9 是一个有效解，因为 9 的平方根是 3，而 3 是一个实数。

2. 二次根式方程二次根式方程是指含有二次根式的方程，形如√(ax² + bx + c) = d，其中 a、b、c、d 是已知的实数。

解二次根式方程的常见方法是平方两次。

例如，解方程√(x² - 4x + 4) = 2，我们可以将方程两边平方两次，得到 x² - 4x + 4 = 4，再进一步化简得到 x² - 4x = 0，最后解得 x = 0 和 x =4 为有效解。

需要注意的是，在解二次根式方程时，我们需要排除无效解。

对于上述的例子，解 x = 0 是一个无效解，因为在方程的根号内部，我们要求 x² - 4x + 4 大于等于 0，而对于 x = 0，根号内部变为 4 大于等于 0，满足要求。

二、根式不等式根式不等式是指含有根号的不等式，解根式不等式的策略与解根式方程有所不同。

在解根式不等式之前，我们需要了解一些关键的概念。

1. 平方根不等式平方根不等式是最常见的根式不等式，形如√x < a，其中 a 是一个已知的正实数。

解平方根不等式的方法是将不等式两边进行平方运算，并根据正负性质得到解。

例如，解不等式√x < 3，我们将不等式两边进行平方，得到 x < 9。

根式不等式的同解法则根式不等式是指含有根号的不等式，其求解方法与普通的不等式有所不同。

对于根式不等式的求解，可以运用同解法则，即将不等式转化为两个不等式，分别求解，最后将两个解集合并得到最终的解。

同解法则的基本思想是将根式不等式分解为两个不等式，分别求解后再合并得到最终的解。

下面通过具体的例子来说明同解法则的应用。

例1：求解根式不等式√(x-2) + √(x+3) < 5。

解：首先，我们将根式不等式分解为两个不等式，得到以下两个不等式：√(x-2) + √(x+3) < 5以及√(x-2) + √(x+3) ≥ 0接下来，分别求解这两个不等式。

对于第一个不等式，我们可以通过平方的方法来求解。

将不等式两边平方，得到：(x-2) + 2√(x-2)(x+3) + (x+3) < 25化简后得到：2√(x-2)(x+3) < 20 - 2x再次平方，得到：4(x-2)(x+3) < (20 - 2x)^2化简后得到：4x^2 - 4x - 64 < 0解这个二次不等式，可以通过求解其对应的方程来完成。

首先求解方程4x^2 - 4x - 64 = 0，得到x = -2或x = 8。

然后，将这两个解代入原不等式，得到-2 < x < 8。

对于第二个不等式，显然，根式的值永远大于等于0，因此√(x-2) + √(x+3) ≥ 0对任意x成立。

将第一个不等式的解集合并上第二个不等式的解集，得到最终的解为-2 < x < 8。

例2：求解根式不等式√(x+1) + 2√(x-1) ≥ 3。

解：同样地，我们将根式不等式分解为两个不等式：√(x+1) + 2√(x-1) ≥ 3以及√(x+1) + 2√(x-1) ≥ 0接下来，分别求解这两个不等式。

对于第一个不等式，我们可以通过平方的方法来求解。

将不等式两边平方，得到：(x+1) + 4√(x+1)(x-1) + 4(x-1) ≥ 9化简后得到：4√(x+1)(x-1) ≥ 8 - x再次平方，得到：16(x+1)(x-1) ≥ (8 - x)^2化简后得到：16x^2 - 64 ≥ x^2 - 16x + 64化简后得到：15x^2 + 16x - 192 ≥ 0解这个二次不等式，可以通过求解其对应的方程来完成。

根式不等式例题（实用版）目录1.根式不等式的基本概念2.根式不等式的解法3.根式不等式的例题及解析4.根式不等式在实际问题中的应用正文根式不等式是代数学中的一种不等式，它是指含有根号的不等式。

在解决这类问题时，我们需要利用数学方法来求解根号下的表达式，然后根据不等式的基本性质进行分析。

一、根式不等式的基本概念根式不等式通常包含两个部分：根号下的表达式和根号外面的符号。

例如，对于不等式√(x+1) > 2，其中√(x+1) 是根号下的表达式，">"是根号外面的符号。

二、根式不等式的解法求解根式不等式，首先要保证根号下的表达式大于等于 0，否则根式无意义。

然后根据根号外面的符号进行分析：1.如果根号外面的符号是">"，表示根号下的表达式大于某个数，此时需要对根号下的表达式进行平方，然后根据平方后的结果进行不等式的求解。

2.如果根号外面的符号是"<"，表示根号下的表达式小于某个数，此时也需要对根号下的表达式进行平方，然后根据平方后的结果进行不等式的求解。

三、根式不等式的例题及解析例题：求解不等式√(x-3) > 1。

解析：首先，保证根号下的表达式大于等于 0，即 x-3 >= 0，解得 x >= 3。

然后对根号下的表达式进行平方，得到 x-3 > 1，解得 x > 4。

因此，该不等式的解集为 x > 4。

四、根式不等式在实际问题中的应用根式不等式在实际问题中广泛应用，例如求解某个数的平方根大于另一个数，或者求解某个比例的平方根在一定范围内等。

通过掌握根式不等式的解法，我们可以更好地解决这类实际问题。

不等式的幂函数与根式幂函数和根式是高中数学中常见的数学概念和工具，它们在解决各种数学问题和应用中扮演着重要角色。

当这两个数学工具与不等式结合时，能够更加灵活地处理和求解各种不等式问题。

本文将重点介绍不等式的幂函数和根式，并展示它们在不等式求解中的应用。

1. 幂函数的性质与不等式幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n是实数。

幂函数具有以下性质：- 当n为奇数时，幂函数是增函数；当n为偶数时，幂函数是关于原点对称的，即f(x) = f(-x)。

- 当n>1时，幂函数在整个定义域上都是正的；当0<n<1时，幂函数在正数域上是增函数，且约束域为正数。

对于不等式而言，利用幂函数的性质能够达到快速求解不等式的目的。

举个例子，我们来看一道简单的幂函数不等式：x^2 > 4由于幂函数在正数域上是增函数，我们可以将不等式进行平方根处理，得到：|x| > 2这时可以发现，不等式的解为x < -2或者x > 2。

通过这个例子，我们可以看到幂函数的性质与不等式的关系，并能够将不等式的求解转化为解析解。

2. 根式的性质与不等式根式是指形如√(x)或者∛(x)的函数，其中√(x)表示x的平方根，∛(x)表示x的立方根。

根式具有以下性质：- 根式的定义域为非负实数，即x≥0。

- 根式函数也是增函数，即当x1 < x2时，f(x1)<f(x2)。

这一性质同样适用于根式的多项式复合函数。

根式在不等式的求解中经常被用到，举个例子：√(x+3) > 2因为根式函数为增函数，我们可以将不等式两边进行平方操作，得到：x + 3 > 4解得：x > 1，然后再对根式的定义域进行检查，x ≥ 0。

综合考虑，原不等式的解为：x > 1。

通过这个例子，我们可以看到根式的性质与不等式的关系，并能够灵活应用根式来求解不等式问题。

3. 幂函数与根式的组合与不等式在实际应用中，不等式的求解经常涉及到幂函数和根式的组合。

初中数学知识归纳解根式不等式的问题解根式不等式是初中数学中的一个重要内容，它是解决代数式中含有根号且可能存在不等号的问题。

本文旨在对初中数学知识归纳解根式不等式的问题进行详细解析。

一、根式不等式的基本概念根式不等式是指含有根号的形如√x（或∛x，∛∛x）的不等式，其中x是一个实数。

初步了解根式不等式的基本概念对于解题至关重要。

二、解根式不等式的方法解根式不等式的方法主要分为两种：1.变形法；2.平方取正法。

接下来将分别对这两种方法进行详细介绍。

1. 变形法变形法是解根式不等式最常用的方法之一。

其基本思想是通过将根式不等式进行有序变形，将根式不等式转化为更简单的形式。

变形法的关键步骤包括：1. 将根式不等式两侧进行平方；2. 根据平方的性质进行变形，将根号去掉；3. 将不等式进行等价变形，得出解。

2. 平方取正法平方取正法是解根式不等式的另一种重要方法。

其基本思想是通过平方取正的操作，将根式不等式中的根号去掉。

平方取正法的主要步骤包括：1. 对根式不等式两侧进行平方；2. 根据平方的性质进行变形，把根号去掉；3. 对不等式的正负情况进行讨论，得出解。

三、解根式不等式的案例分析为了更好地理解解根式不等式的方法，接下来通过一些具体的案例进行分析。

案例1：解不等式√(x-3) > 2解析：首先，我们可以使用变形法解决这个问题。

1. 将不等式两侧进行平方，得到x-3 > 2^2，即x-3 > 4；2. 对不等式进行等价变形，得到x > 4+3，即x > 7；因此，不等式√(x-3) > 2的解为x > 7。

案例2：解不等式√(2x+1) ≤ 3解析：我们可以使用平方取正法解决这个问题。

1. 对不等式的两侧进行平方，得到2x+1 ≤ 3^2，即2x+1 ≤ 9；2. 对不等式进行等价变形，得到2x ≤ 9-1，即2x ≤ 8；3. 进一步进行变形，得到x ≤ 8/2，即x ≤ 4；因此，不等式√(2x+1) ≤ 3的解为x ≤ 4。

§ 不等式的解法一一线名师精讲基础知识串讲解不等式的基本原则：1、解不等式实质是一个等价变形的过程,当元的取值范围扩大时,应与原有取值范围求交集;2、解不等式是一个由繁到简的转化过程,其转化的总思路为：3、解含有等号的不等式时,应该将等式与不等式分开解答后取并集;基本类型不等式的解法： 一、整式不等式的解法 1、一元一次不等式标准形式：b ax >或)0(≠<a b ax .解法要点：在不等式的两端同时除以a 后,若0<a 则不等号要反向;2、一元二次不等式标准形式：02>++c bx ax 或02<++c bx ax 其中0>a ;解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行：1整形：将不等式化为标准形式; 2求根：求方程02=++c bx ax 的根; 3写解：根据方程02=++c bx ax 根的情况写出对应不等式的解集;当两根明确时,可由“大于0,两根外；小于0,两根内”的口诀写解,当0≤∆时,则可由函数c bx ax y ++=2的草图写解;3、一元高次不等式可分解因式型标准形式：0)())((21>---n x x x x x x a 或0)())((21<---n x x x x x x a ()0>a ;解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便,一般可按如下步骤进行：1整形：将不等式化为标准形式; 2求根：求出对应方程的根;3穿根：将方程的根标在数轴上,用一条曲线从右上方开始依次穿过;方程有重根时,奇数重根按正常情况穿过,偶数重根则不穿过,反弹回来后继续穿根;即“奇过偶不过”;4写解：数轴上方所对应曲线的区间为0)())((21>---n x x x x x x a 的解,数轴下方所对应曲线的区间为0)())((21<---n x x x x x x a 的解;二、分式不等式的解法 标准形式：0)()(>x f x g ,或0)()(<x f x g ; 解法要点：解分式不等式的关键是去分母,将分式不等式转化为整式不等式求解;若分母的正负可定,可直接去分母；若分母的正负不定,则按以下原则去分母：0)()(0)()(>⋅⇔>x g x f x g x f 0)()(0)()(<⇔<x g x f x g x f 三、根式不等式的解法 标准形式：)()(x g x f >；)()(x g x f >；以及)()(x g x f <;解法要点：解根式不等式的关键是去根号,应抓住被开方数的取值范围以及不等式乘方的条件这两大要点进行等价变换：⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>)()(0)(0)()()(2x g x f x f x g x g x f 或⎩⎨⎧≥<0)(0)(x f x g ⎪⎩⎪⎨⎧<≥>⇐<)()(0)(0)()()(2x g x f x f x g x g x f 基本题型指要【例1】 解下列不等式或不等式组：1⎪⎩⎪⎨⎧+<<-+220)1)(3(2x x x x 20)4)(2()3(2≤-+-x x x 3x x x x x <-+-+222322402)1(2≥---x x x1思路导引：按规范化程序操作,化为标准形式后求解,可以有效的防止错误;解析：将0)1)(3(<-+x x 化为标准形式0)1)(3(>-+x x ,易得：1,3>-<x x 或;由222+<x x 得01)1(2>+-x ,所以R x ∈; 综上所述,原不等式组的解集为{}13|>-<x x x 或，;2解析：由已知,0)4)(2()3(2≥-+-x x x , 用数轴穿根法易得原不等式的解集为：{}342|=≥-≤x x x x 或，，或误区警示：若不化为标准形式求解,易将解集错写为{}42|≤≤-x x ;另外,建议将这类等式与不等式的混合式中的“等式”单独求解,以防止漏掉3=x 这类解;3思路导引：解分式不等式的关键是去分母;但本题分母正负不明,若直接去分母应分类讨论,较为复杂,使用移项通分化为标准形式的方法较好;解析：将x x x x x <-+-+222322化为标准形式,得：0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ,因为12>++x x 恒成立,所以,0)1)(3()2(>+--x x x ;用数轴穿根法易得原不等式的解集为：{}321|><<-x x x 或，;4思路导引：解根式不等式关键是抓住乘方的条件,对原不等式实施等价转换,去除根号;解析：原不等式等价于：02)1(2>---x x x (1)或02)1(2=---x x x (2)由1得：⎪⎩⎪⎨⎧>->--01022x x x ,解得2>x ；由2得12-==x x ，或;所以,原不等式的解集为{}12|-=≥x x x ，或; 误区警示：请找出下面解法的错误： 由022≥--x x ,得01≥-x ,所以,原不等式的解为1≥x ;点评：解等式与不等式的混合型不等式,最好将等式与不等式分开求解,以避免错误; ◆题型二：解含参数的不等式不少同学都怕解含参数的不等式,究其原因,关键是没有把握住解题技巧;其实,解含有参数的不等式在总思路上与解普通不等式完全相同,当参数不影响式子的变形时,与解普通不等式没有差异,在参数影响式子的变形时,就需弄清参数的取值范围或者予以分类讨论,才能顺利的解出不等式;例2解下列关于x 的不等式： 102>+ax 2x t tx )2(22+>+3)1,0(1log 22log 3≠>-<-a a x x a a 1思路导引：本题在求解x 时必须去除系数a ,由于a 的范围不明,无法直接变形,若将a 按变形的要求分为正、负、零三类,则在每一小类中式子就能顺利变形了;解析：由已知,2->ax ; ①、当0>a 时,a x 2->； ②、当0<a 时, ax 2-<； ③、当0=a 时,20->恒成立,R x ∈ ;故,原不等式解集当0>a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->a x x 2|,当0<a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<a x x 2|,当0=a 时为R ;2思路导引：解含参数的二次不等式通常是在以下三个地方实施分类讨论：一是平方项系数有参数时需分正、负、零讨论,二是判别式△有参数时的需分正、负、零讨论,三是两根有参数时需根据他们的大小关系分类讨论;本题中的不等式即0)2)(1(>--tx x ,在求解过程中参数会在两个地方影响式子变形：一是平方项系数t 的正、负、零,二是对应的二次方程的根1与t2是否存在、谁大谁小;此时,同一字母t 形成了不同的分类,可将t 在0、2处分段统筹安排进行分类如图;解析：原不等式即0)2)(1(>--tx x ;① 当0<t 时,可以化为0)2)(1(<+--tx x , 易知12<t ,所以12<<x t; ② 当0=t 时,原不等式即022>+-x ,所以 1<x ;③ 当20<<t 时,易知12>t,可得，1<x tx 2>或; ④ 当2=t 时,原不等式即0)1(22>-x ,所 以1≠∈x R x ，且;⑤ 当2>t 时,易知12<t ,可得，tx 2< 1>x 或;综上所述,原不等式的解集当0<t 时,为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<12|x t x ；当0=t 时,为{}1|<x x ；当20<<t 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><t x x x 21|，或；当2=t 时,为{}1|≠∈x R x x ，且；当2>t 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><12|x t x x ，或;误区警示：本题易漏掉20==t t 和两种特殊情况的讨论;另外,在0<t 时,解集易错为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><12|x t x x ，或;3思路导引：本题关键是抓住根式不等式的解题特点,对不等式进行乘方处理,去除根号;若令t x a =log 进行换元,会使书写变得更简便;解析：按根式不等式的解题思路,易知原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>--<-≥-)3(01log 2)2()1log 2(2log 3)1(02log 32 x x x x a a a a由1得,32log ≥x a 由2得,1log ,43log ><x x a a 或 由3得.21log >x a 由此得,1log ,43log 32><≤x x a a 或 当1>a 时,易求得原不等式的解集为}|{4332a xa x a x ><≤，或；当10<<a 时,易求得原不等式的解集为}0|{3243a x a x ax <<≤<，或;误区警示：在乘方去除根号的过程中,要注意不等式乘方的条件以及根号内式子的取值范围,保证不等式的变形为等价变形;点评：从本例的解答过程可以看出,解含参数的不等式关键是抓住以下两个要点来处理不等式中的参数：一是由“参数是否影响不等式变形”来确定该不该对参数进行分类讨论,二是由“参数是怎样影响不等式变形” 来确定怎样对参数进行分类讨论;已知不等式的解集求参数值或范围是一类很常见也很重要的题型;由于该题型解法较为灵活,我们在解题时若不能把握住它的解题规律,往往会觉得变化莫测而无可适从;解答本题型关键是要抓住以下两个要点：一是按其正向题型“解不等式”变化,试解原不等式；二是利用已知的解集或解集的部分信息去逆向推测它们与参数的关系;两个要点结合,就会比较容易找到所求参数的方程或不等式,从而求出它们的值或范围;例3已知不等式022>++bx ax 1若不等式的解集为31,21-,求b a +；2若不等式的解集为R,求b a 、应满足的条件; 1思路导引：从解集的形式可知：原不等式必为二次不等式；再从解不等式的角度来看,原不等式的解集可由方程022=++bx ax 的二根来得出,但二根不方便写出,自然会想到用韦达定理列式解题;解析：由题意,方程022=++bx ax 的二根为3121和-, 所以,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯--=+->⨯-<aa b a b a 23121312102402易解得212-=-=b a ，, 所以,14-=+b a ;误区警示：不能遗漏条件0242>⨯-a b 和0<a ;2思路导引：原不等式022>++bx ax 的系数b a 、范围未定,可能形成二次型、一次型、常数型三类不等式;因为原不等式的解集为R,故原不等式只能为二次型、常数型不等式;解析：1当0==b a 时, 原不等式为02>,其解集显然为R,符合题意;2当0≠a 时,因为原不等式解集为R ,所以,⎪⎩⎪⎨⎧<⨯->02402a b a化简得a b a 802<>，且;综上所述,b a 、应满足的条件为：0==b a ；或a b a 802<>且;点评： 已知二次不等式的解集求参数值可分为两种类型：若解集为“两根内外”型,一般用韦达定理求解；若解集为R 或φ,则通常用数形结合解题;例4若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)25(20222k x k x x x 的整数解只有－2,求实数k 的取值范围;思路导引：本题的解题思路与已知不等式的解集求参数值相似,只是要注意不等式组的解集应是各个不等式解集的交集;解析： ⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--)2(05)25(2)1(0222 k x k x x x由1解得12-<>x x ，或;由2得0))(52(<++k x x ;因为－2是不等式组的解,故0)2](5)2(2[<+-+-⨯k ,得 2<k ,所以25->-k ,2的解为k x -<<-25; 由此可知,原不等式组的解为Ⅰ⎪⎩⎪⎨⎧-<<--<k x x 251,或⎪⎩⎪⎨⎧-<<->k x x 252;因为2<k ,所以2->-k ,故Ⅰ的整数解为－2;而原不等式组的整数解只有－2,所以Ⅱ应该没有整数解,所以33-≥≤-k k ，即;综上所述,23<≤-k ;阅卷老师评题例51996年全国高考解不等式.1)11(log >-xa命题目的：本题综合考查了对数不等式、分式不等式、二次不等式的解法,以及分类讨论的思想和运算能力;考情分析：该题本身的能力要求并不高,但在解答的过程中却多次涉及易错点,故当年考生的得分率较低,区分度达;思路导引：因为对数函数的单调性与a 有关,故应对a 分类讨论去除对数符号,将原不等式化为分式不等式,然后再化为整式不等式求解;解析：Ⅰ当1>a 时,原不等式等价于： ⎪⎩⎪⎨⎧>->-)2(11)1(011 a x x 因1>a ,故只需解2式,由此得 )3(11 xa >- 因为,01<-a 所以,0<x 由3可得 .011<<-x aⅡ当10<<a 时,原不等式等价于： ⎪⎩⎪⎨⎧<->-)5(11)4(011 a xx 由4得,,01<>x x 或 由5得,011>->a x,故0>x , 易解得5的解为ax -<<111; 所以ax -<<111; 综上所述:当1>a 时,不等式的解集为 };011|{<<-x ax 当10<<a 时,不等式的解集为}.111|{ax x -<< 点评：解不等式要注意不等式变形的等价性,对常见的易错点应熟记于心,这样才能有效地避免错误;此外,在解题时注意充分使用已知条件,常常会得到简便解法;如解不等式25时利用a 的范围判断出x 的正负后,就能很方便的去分母了;本题也可由011>-x得出10><x x ，或后,分0<x 和1>x 两类解答;例62004年上海高考记函数fx=132++-x x 的定义域为A,g x =lg x －a －12a －xa <1 的定义域为B;1 求A ；2 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.命题目的：本小题主要考查集合的有关概念, 考查二次不等式、分式不等式、对数不等式的解法,以及分析问题和推理计算能力;考情分析：此题型在各地高考中经常出现;本题难度较小,得分率较高,但有的考生在求a 的范围时没充分使用1>a 的条件,引起解题过程复杂或出错;解析：1由2－13++x x ≥0, 得11+-x x ≥0, 解得 x <－1或x ≥1, 即A=－∞,－1∪1,+ ∞2 由x －a －12a －x >0, 得x －a －1x －2a <0.因为a <1,所以a +1>2a ,故B=2a ,a +1; 由B ⊆A 知：2a ≥1或a +1≤－1, 解得a ≥21或a ≤－2; 因为a <1, 所以21≤a <1或a ≤－2, 故当A B ⊆时, 实数a 的取值范围是－∞,－2∪21,1 ． 好题优化训练基础巩固1、1652->+-x x x 的解集为 A )1,(-∞ B ),2(+∞ C )35,1[ D )35,(-∞答案：D解析:取0=x 可排除B 、C ；取1=x 可排除A;故选D; 2、满足3121-><xx 与的x 的取值范围是 A 2131<<x B 21>x C 31-<x D 3121-<>x x ，或 答案：D解析:解不等式组或验证排除; 3、解不等式212->-x x答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤521|x x解析:原不等式等价于Ⅰ⎩⎨⎧<-≥-02012x x ,或Ⅱ⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(1202012x x x x由Ⅰ解得221<≤x , 由Ⅱ解得52<≤x所以,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤521|x x ;点评：若令t x =-12,则该不等式可化为一个关于t 的二次不等式求解;4、解关于x 的不等式04)1(22<++-x a ax ; 答案：原不等式的解集当0=a 时,为{}2|>x x ；当10<<a 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 22|；当1=a 时为 φ；当1>a 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<22|x a x ；当0<a 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><22|x a x x ，或;解析: 原不等式即0)2)(2(<--x ax ,a 的范围明显会影响不等式的解集,故需分类讨论： 10=a 时,原不等式即042<+-x ,解得2>x ; 210<<a 时,22>a ,不等式的解为ax 22<<; 31=a 时,原不等式为0)2(2<-x ,Φ∈x ; 41>a 时,22<a ,不等式的解为22<<x a; 50<a 时,原不等式可化为0)2)(2(>-+-x ax , 易知22<a ,所以不等式的解为22><x a x ，或; 5、不等式13642222<++++x x m mx x 对一切实数x 均成立,求m 的取值范围; 答案：1,3;解析:已知分母恒正,故原不等式可化为：3642222++<++x x m mx x , 即0)3()26(22>-+-+m x m x , 由题意,该式对一切实数x 恒成立; 所以,0)3(8)26(2<---=∆m m , 容易解得31<<m ;技能培训6、不等式0343>---x x 的解集为：_______; 答案：3,＋∞;解析:原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-34303043x x x x ,解得3≥x ;7、设1)(2+-=ax x x f ;若方程0)(=x f 没有正根,则a 的取值范围为____________; 答案：)2(，-∞;解析:因为方程0)(=x f 没有正根,由图 易知；⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=∆0242aa , 或042<-=∆a ; 解得：2<a ; 8、若关于x 的不等式0342>+++x x a x 的解是13-<<-x ,或2>x ,则a 的值为 A 2 B 2- C21D 21-答案：B解析:原不等式即0)3)(1)((>+++x x a x ,由其解集易知2-=a ;9、若0)1(3)1()1()(2<-+--+=m x m x m x f 对于 一切实数x 恒成立,则m 的取值范围是 A ),1(+∞ B )1,(--∞ C )1113,(--∞ D ),1()1113,(+∞--∞ 答案：C解析:由已知,⎪⎩⎪⎨⎧<-+--<+0)1)(1(12)1(012m m m m ,解得1113-<x ; 10、解关于x 的不等式)1(12)1(≠>--a x x a ; 答案：不等式的解集当0<a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--212|x a a x ；当10<<a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<122|a a x x ；当0=a 时为Φ；当1>a 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<>122|a a x x x ，或; 解析: 原不等式可化为02)2()1(>--+-x a x a ,所以0)]2()1)[(2(>-+--a x a x ; 1当0<a 时,21201<--<-a a a ，,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--212|x a a x ； 2当10<<a 时,212>--a a ,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<122|a a x x ；3当0=a 时,原不等式为10>,所以∈x Φ； 4当1>a 时,212<--a a ,,所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<>122|a a x x x ，或;11、某工厂生产商品M,若每件定价80元,则每年可销售80万件;税务部门对市场销售的商品征收附加费,为了既增加国家收入又有利于活跃市场,必须合理确定征收的税率;根据调查分析,若政府对商品M 征收的税率为p ％时,每年销售减少10p 万件,试问：1若税务部门对商品M 每年所收税金不少96万元,求p 的取值范围;2在所收税金不少于96万元的前提下,要让厂家获得最大的销售金额,因如何确定p 值3若仅考虑每年税收金额最高,又应如何确定p 值答案：162≤≤p ;22=p ;34=p ;解析: 1税率为%p 时,销售量为p 1080-万件,销售金额为)1080(80p -万元80<<p ;由题意易得：⎩⎨⎧<<≥⋅-8096%)1080(80p p p ,解得62≤≤p ;2销售金额最大即)1080(80p -最大,由1可知,62≤≤p ,所以,当2=p 时 ,最大销售金额为4800万元;3由1知易知,销售金额为)1080(80p -,故税金为128)4(8%)1080(802+--=⋅-p p p , 因为80<<p ,所以,4=p 时,国家所得税金最多,为128万元;12、若不等式02>++c bx ax 的解集为),(βα,且βα<<0,求不等式02<++a bx cx 的解集; 答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ1,1|x x x 或解析:依题意,方程02＝c bx ax ++的二根为βα、,故有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=)2(0)1(0)( αββαac ab所以,)(βα+-=a b ,)(αβa c =,这样即可将不等式02<++a bx cx 化为0)()(2<++-a x a x a βααβ,由题意易知0<a ,所以0)1)(1(>--x x βα; 因为βα<<0,所以αβ110<<,故所求不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11|x x x ，或;13、解不等式)0(122>->-a x a ax答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥2|a x x解析:原不等式可化为：Ⅰ⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-)2()1(2)1(0122 x a ax x 或Ⅱ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-)4(02)3(012a ax x 由1得1≤x ,由2得a a x a a 2121++<<-+, 由3得1>x , 由4得2ax ≥; 因为0>a ,所以121>++a a ； 1当20≤<a 时,121≤-+a a ,12≤a,故不等式组Ⅰ的解为121≤<-+x a a ,不等式组Ⅱ的解为1>x ,此时,原不等式的解为a a x 21-+>;2当2>a 时,121>-+a a ,12>a,此时不等式组Ⅰ的解为Φ,不等式组Ⅱ的解为2ax ≥,原不等式的解为2a x ≥; 综上所述,原不等式的解集当20≤<a 时为{}a a x x 21|-+>,当2>a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥2|a x x ;点评：本题也可用图形法求解;思维拓展14、k 为何值时,方程0412=++-k kx x 的二实根的绝对值都小于1 答案： 5285-≤<-k 解析: 作函数41)(2++-==k kx x x f y ;因为方程0412=++-k kx x 的二实根的绝对值都小于1,所以函数图象与x 轴的交点的横坐标在－1与1之间如图 ; 分析图形特点可得：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>+=->=<⨯--<-≥+--0452)1(045)1(11210)41(4)(2k f f k k k 解得5285-≤<-k ; 点评：已知一元二次方程的根在某个指定区间内时,常常数形结合,抓住判别式△、对称轴的位置以及区间端点的函数值列式解题;。

初中数学知识归纳解根式方程不等式的问题数学中，根式方程和不等式是我们经常遇到的问题，解决这些问题需要我们具备一定的基础知识和解题技巧。

在初中数学学习过程中，我们需要归纳和总结解决根式方程和不等式的方法，以便更好地应对各种题型。

本文将对初中数学中解根式方程和不等式的问题进行归纳和解析。

一、解根式方程的问题根式方程是指方程中包含有根号的方程，我们要通过解根式方程找到符合方程条件的未知数的值。

根式方程的求解一般有以下几种方法：1. 幂等法幂等法是解决根式方程的一种常用方法，它的基本思想是通过变换等式中的根式，将整个方程转化为关于一个未知数的一次方程或二次方程，从而求解出未知数的值。

例如，对于方程√(2x+3) = 5，我们可以将其转化为2x+3 = 5^2，即2x+3 = 25，然后继续求解x的值。

2. 平方法平方法也是一种常见的解根式方程的方法，它的基本思想是通过对方程两边同时平方来消去方程中的根号符号，从而将根式方程转化为二次方程或更高次方程，再用求解二次方程的方法解决问题。

例如，对于方程√(x+2) + 3 = 7，我们可以两边同时平方得到x+2 + 3^2 = 7^2，即x+2 + 9 = 49，然后继续求解x的值。

3. 代换法代换法是指通过引入新的未知数代换方程中的根式，从而将根式方程转化为线性方程或二次方程，再利用线性方程或二次方程的解法求解问题。

例如，对于方程√x + √(x+4) = 5，我们可以令y = √x，那么方程可以转化为y + √(y^2+4) = 5，然后继续求解y的值，最后通过y的值来求解x的值。

二、解不等式的问题不等式是指方程中含有大于号或小于号等符号的方程，不同于方程一次只有一个解，不等式存在着一系列的解集。

解决不等式问题需要我们掌握以下几种方法：1. 图像法图像法是解决不等式问题的一种直观方法，它的基本思想是将不等式通过绘制图形的方式来表示，进而通过观察图形找到符合不等式条件的解集。