七年级数学下册第一章整式的乘除6完全平方公式知识点试题【北师大版】-(9835)

第一章整式的乘除第6节完全平方公式课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________ 评卷人得分一、单选题1．4张长为m ，宽为n （m ＞n ）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（m +n ）的正方形，图中空白部分的面积为S 1，阴影部分的面积为S 2，若3S 1＝2S 2，则m ，n 满足的关系是（ ）A ．m ＝4.5nB ．m ＝4nC ．m ＝3.5nD ．m ＝3n2．下列运算正确的是（ ） A ．(m 2)3=m 6B ．(mn )3=mn 3C ．(m +n )2＝m 2+n 2D ．m 6÷m 2=m 33．如果229(3)x bx x -+=-，则b 的值为（ ） A ．-3B ．3C ．6D ．-64．我国宋代数学家杨辉发现了()na b +（0n =，1，2，3，…）展开式系数的规律：以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，()8a b +展开式的系数和是（ ） A ．64 B ．128C ．256D ．612评卷人 得分二、填空题 5．已知：2a b +=，34ab =，则22a b +=_________，a b -=______．6．如图，长方形ABCD的周长为24，以它的四条边为边长向外作正方形，如果这四个正方形的面积和为160，则长方形ABCD 的面积为________．7．已知（x ﹣2020）2+（x ﹣2022）2＝18，则（x ﹣2021）2的值是___． 8．已知：x +y ＝12，则代数式3x 2+y 2的最小值为___． 评卷人 得分三、解答题 9．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为1S ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为2S ． （1）用含a ，b 的代数式分别表示1S 、2S ； （2）若15a b +=，20ab =，求12S S +的值；（3）当1240S S +=时，求出图3中阴影部分的面积3S ．10．化简求值：()()()()22322x y x x y x y x y +-+++-，其中14x =，2y =．11．有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙．（1）①计算：S甲＝，S乙＝；①用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲S乙．（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正．①该正方形的边长是（用含m的代数式表示）；①小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．12．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值．13．如图，有长为m ，宽为n 的长方形卡片()A mn ，边长为m 的正方形卡片B ，边长为n 的正方形卡片C ，将卡片C 按如图1放置于卡片A 上，其未叠合部分（阴影）面积为1S ，将卡片A 按如图2放置于卡片B 上，其未叠合部分（阴影）面积为2S ．（1）1S =________，2S =________；（用含m 、n 的代数式表示） （2）若1218S S +=，则图3中阴影部分的面积3S =________； （3）若6m n -=，10mn =，求图4中阴影部分的面积4S ．14．图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积(直接用含m ，n 的代数式表示) 方法1：______ 方法2：______（2）根据()1中结论，请你写出下列三个代数式之间的等量关系；代数式：2()m n +，2()m n -，mn _________________________（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知8a b +=，7ab =，求a b -和22a b -的值．15．观察与计算： 152＝225＝1×2×100+25； 252＝625＝2×3×100+25； 352＝1225＝3×4×100+25； …猜想与计算：852＝_________，1052＝ ；发现：末位数字是5的数的平方的结果总是等于 ； 说理：请你用整式的乘法的有关知识说明你发现的结论的正确性． （提示：可以用10a +5表示末位数字是5的数）16．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉高新区某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与农耕劳作。

北师大版七年级数学下册知识点汇总第一章：整式的乘除。

1. 同底数幂的乘法。

- 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即a^m· a^n=a^m + n（m，n 都是正整数）。

- 例如：2^3×2^4=2^3 + 4=2^7。

2. 幂的乘方与积的乘方。

- 幂的乘方：(a^m)^n=a^mn（m，n都是正整数）。

例如(3^2)^3=3^2×3=3^6。

- 积的乘方：(ab)^n=a^nb^n（n是正整数）。

例如(2×3)^2=2^2×3^2=4×9 = 36。

3. 同底数幂的除法。

- 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即a^m÷ a^n=a^m - n（a≠0，m，n都是正整数，且m>n）。

例如3^5÷3^2=3^5 - 2=3^3。

- 零指数幂：a^0=1(a≠0)。

例如5^0=1。

- 负整数指数幂：a^-p=(1)/(a^p)(a≠0,p是正整数)。

例如2^-3=(1)/(2^3)=(1)/(8)。

4. 整式的乘法。

- 单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如3x^2y·(- 2xy^3)=-6x^3y^4。

- 单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

即m(a + b + c)=ma+mb+mc。

- 多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如(x + 2)(x - 3)=x^2-3x+2x - 6=x^2-x - 6。

5. 平方差公式。

- 公式：(a + b)(a - b)=a^2-b^2。

例如(3 + 2)(3 - 2)=3^2-2^2=9 - 4 = 5。

6. 完全平方公式。

- (a + b)^2=a^2+2ab + b^2，(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。

北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列计算中，结果正确的是（ ）A ．3515x x ⋅=B ．248x x x ⋅=C ．()236x x =D ．623x x x ÷=2、已知并排放置的正方形ABCD 和正方形BEFG 如图，其中点E 在直线AB 上，那么DEG ∆的面积1S 和正方形BEFG 的面积的2S 大小关系是（ ）A ．1212=S S B ．12S S C ．122S S = D ．1234S S = 3、下列运算正确的是（ ）A ．326a a a ⋅=B ．32a a a ÷=C ．()222a b a b -=-D ．()325a a = 4、下列运算正确的是（ ）A ．a 3+a 3＝a 6B ．（a 3）2＝a 6C ．（ab ）2＝ab 2D ．2a •3a ＝5a5、一个长方形的面积是321624m m +，长是8m ，则宽是( )A ．223m m -B ．223m m +C ．223m m -+D ．223m m -- 6、若x 2＋mxy ＋25y 2是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）A ．±10B ．－5C ．5D ．±57、下列运算正确的是（ ）A ．235b b b +=B ．33a a a ⋅=C ．824y y y ÷=D ．()3328x x = 8、某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD 的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD 的面积为（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ．839、下列运算正确的是（ ）A ．22a a a ⋅=B ．()2222a a -=C ．()2122a a --=-D ．550a a a -=10、下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．（a +b ）（﹣a ﹣b ）B ．（a +b ）（a ﹣b ）C ．（a +b ）（a ﹣d ）D ．（a +b ）（2a ﹣b ）第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()n a b +（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：0()1a b +=，它只有一项，系数为1；1()a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；()3322333a b a a b ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；… 根据以上规律，()n a b +展开式的系数和为_______．2、计算：2021202023()()32-⨯-=_______ 3、有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为34；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为______．4、长方形的面积为22x xy x -+，其中一边长是x ，则另一边长是_______．5、若a b 、满足224202410a a b b -+=-+=，且1ab ≠，则 1a b -=_____________ 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：（1）()22436310a a a a ⋅+-- （2）()()()211a a a a +-+-2、小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是3316x y -和中间的“÷”号，污染后习题形式如下：33(16x y -〓〓)÷〓〓，小明翻看了书后的答案是“222836x y x x -+”，你能够复原这个算式吗？请你试一试．3、先化简，再求值：（x ﹣2y ）2﹣（x ﹣2y ）（2x +y ）+（x ﹣y ）（x +y ），其中x ＝5y ．4、计算：（1）（23ab 2﹣2ab ）12⋅ab ．（2）（x ﹣2y ）3﹣（x 2﹣2xy +4y 2）（x +2y ）．5、计算：()()()2327x x x x -+-+．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据整式乘法的法则及幂的乘方法则、同底数幂除法法则依次判断．【详解】解：A、3515x x⋅=x2，故该项不符合题意，B、246x x x⋅=，故该项不符合题意，C、()236x x=，故该项符合题意，D、624x x x÷=，故该项不符合题意，故选：C．【点睛】此题考查了整式的计算法则，正确掌握整式乘法的法则及幂的乘方法则、同底数幂除法法则是解题的关键．2、A【分析】设正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为m、n，利用面积和差求出面积即可判断．【详解】解：设正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为m、n，S1＝S正方形ABCD+S正方形BEFG﹣（S△ADE+S△CDG+S△GEF）＝m2+n2﹣[12m（m+n）+ 12m（m﹣n）+ 12n2]＝12n2；S2．∴S1＝12故选：A．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练用面积和差求三角形面积，准确进行计算．3、B【分析】根据幂的运算和乘法公式逐项判断即可．【详解】解：A. 325a a a⋅=，原选项不正确，不符合题意；B. 32÷=，原选项正确，符合题意；a a aC. ()222-=-，原选项不正确，不符合题意；a b a ab b2+D. ()326=，原选项不正确，不符合题意；a a故选：B．【点睛】本题考查了幂的运算和乘法公式，解题关键是熟记幂的运算法则和乘法公式．4、B【分析】根据同类项的合并、幂的乘方、积的乘方和单项式乘单项式的运算法则分别分析即可．【详解】解：A、a3+a3=2a3原计算错误，故该选项不符合题意；B、（a3）2=a6正确，故该选项符合题意；C 、（ab ）2=a 2b 2原计算错误，故该选项不符合题意；D 、2a •3a =6a 2原计算错误，故该选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了同类项的合并、幂的乘方、积的乘方和单项式乘单项式的运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．5、B【分析】根据宽等于面积除以长，即可求解．【详解】解：由题意长方形的宽可表示为：()3221624823m m m m m ÷+=+．故选：B【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式的应用，熟练掌握多项式除以单项式法则是解题的关键．6、A【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值．【详解】解：∵x 2+mxy +25y 2＝x 2+mxy +（5y ）2，∴mxy ＝±2x ×5y ，解得：m ＝±10．故选：A ．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．7、D【分析】根据整式的运算法则逐项检验即可．【详解】解：A 、b 2与b 3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B 、34a a a ⋅=，原计算错误，故该选项不符合题意；C 、826y y y ÷=，原计算错误，故该选项不符合题意；D 、()3328x x =，正确，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法除法，积的乘方等整式的相关运算法则，能够熟记基本的运算法则并灵活运用，正确计算是解决本题的关键．8、B【分析】设矩形ABCD 的边AB a ，AD b ，根据四个正方形周长之和为24，面积之和为12，得到3a b +=，226a b +=，再根据222[()()]21ab a b a b =+-+，即可求出答案． 【详解】解：设AB a ，AD b ，由题意得，8824a b +=，222212a b +=，即3a b +=，226a b +=，2223[()()]121(96)22ab a b a b ∴=+-+=-=， 即长方形ABCD 的面积为32，故选：B ．【点睛】本题考查完全平方公式的意义和应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．9、C【分析】利用同底数幂乘法运算法则、积的乘方运算法则、去括号法则、合并同类项法则逐项判断解答即可．【详解】解：A 、23a a a ⋅=，故A 选项错误，不符合题意；B 、()2224a a -=，故B 选项错误，不符合题意；C 、()2122a a --=-，故C 选项正确，符合题意；D 、550a a -=，故D 选项错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂相乘、积的乘方运算、去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解答的关键．10、B【分析】根据平方差公式（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2对各选项分别进行判断．【详解】解：A 、（a +b ）（﹣a ﹣b ）＝﹣（a +b ）（a +b ）两项都相同，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；B 、（a +b ）（a ﹣b ）存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C 、（a +b ）（a ﹣d ）中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；D 、（a +b ）（2a ﹣b ）中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．二、填空题1、2n【分析】由前4个等式可以得到一列有规律的数：01232,2,2,2,, 再总结归纳出一般规律即可.【详解】解：0()1a b +=，系数为102；1()a b a b +=+，系数分别为1，1，系数和为21=2；222()2a b a ab b +=++，系数分别为1，2，1，系数和为42=2；()3322333a b a a b ab b +=+++，系数分别为1，3，3，1，系数和为83=2；… 归纳可得：()n a b +展开式的系数和为：2,n故答案为：2n【点睛】本题考查的是数字规律的探究，掌握“从具体到一般的探究方法并总结规律”是解本题的关键. 2、23-【分析】 先把原式化为2020232323⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再计算乘方运算，再算乘法运算，即可得到答案. 【详解】 解：20202021202023232()()32323⎡⎤⎛⎫-⨯-=-⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 2020221.33 故答案为：23-【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法的逆运算，积的乘方运算的逆运算，掌握“nn na b ab ”是解本题的关键.3、8【分析】设长方形的长为a ，宽为b ，由图1可得，（a +b ）2-4ab =34，由图2可得，（2a +b ）（a +2b ）-5ab =100，再利用整体思想进行变形求解ab 即可．【详解】解：设长方形的长为a ，宽为b ，由图1可得，（a +b ）2-4ab =34， 即a 2+b 2=2ab +34①，由图2可得，（2a +b ）（a +2b ）-5ab =100， 即a 2+b 2=50②，由①②得，2ab +34=50， 所以ab =8，即长方形的面积为8，故答案为：8．【点睛】本题考查的是完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，熟练的应用整式的乘法运算解决问题是解本题的关键.4、21x y -+【分析】根据长方形的面积公式列式即可求解．【详解】依题意可得另一边长是()22x xy x -+÷x =21x y -+ 故答案为：21x y -+．【点睛】此题主要考查整式的除法，解题的关键是根据题意列式，根据整式的除法运算法则求解．5、【分析】配方法解一元二次方程得2a =b =1ab ≠，可知有两种取值组合2a =+b =2a =b = 【详解】解：由2420a a -+=，解得2a =由22410b b -+=，解得b =1ab ≠2a ∴=b =12a b -===2a ∴=b =12a b -==-=故答案为：【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，根式加减中分母有理化，绝对值等知识点．解题的关键在于正确的配方求值以及用平方差将分母有理化．三、解答题1、（1）0；（2）21a +【分析】（1）分别计算同底数幂的乘法，积的乘方运算，再合并同类项即可；（2）先计算多项式乘以多项式，结合平方差公式进行简便运算，再合并同类项即可.【详解】解：（1）()22436310a a a a ⋅+-- 6669100a a a =+-=（2）()()()211a a a a +-+-2221a a a=21a【点睛】本题考查的是幂的运算，合并同类项，整式的乘法运算，掌握“利用平方差公式进行简便运算”是解本题的关键.2、3332(16612)(2)x y x y x y xy -+-÷-【分析】先根据单项式除以单项式得到商，再用此商去乘以多项式除以单项式的答案即可还原．【详解】解：33221682x y x y xy -÷=-．22233322(836)16612xy x y x x x y x y x y --+=-+-．故原式为：3332(16612)(2)x y x y x y xy -+-÷-【点睛】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3、25y xy -，0【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、整式的乘法，再计算整式的加减法，然后将5x y =代入计算即可得．【详解】解：原式22222244(242)x xy y x xy xy y x y =-+-+--+-，22222244242x xy y x xy xy y x y =-+--+++-，25y xy =-，将5x y =代入得：原式2550y y y =-⋅=．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式和运算法则是解题关键．4、（1）13a2b3﹣a2b2．（2）﹣6x2y+12xy2﹣16y3【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则求解即可；（2）根据乘法公式以及多项式乘多项式的法则展开，再合并求解即可．（1）解：（23ab2﹣2ab）12⋅ab＝23ab2⋅12ab﹣2ab⋅12ab＝13a2b3﹣a2b2．（2）解：（x﹣2y）3﹣（x2﹣2xy+4y2）（x+2y）＝（x﹣2y）3﹣（x3+8y3）＝x3﹣6x2y+12xy2﹣8y3﹣x3﹣8y3＝﹣6x2y+12xy2﹣16y3．【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握整式乘法的运算法则以及乘法公式是解题的关键．5、2314x x--【分析】根据整式乘法、整式加减法的性质，先算乘法、后算加减法，即可得到答案．【详解】()()()2327x x x x -+-+2226514x x x x =-++-2314x x =--．【点睛】本题考查了整式运算的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法、整式加减法的性质，从而完成求解．。

北师大版七年级数学下册知识点汇总第一章：整式的乘除。

1. 同底数幂的乘法。

- 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a^m· a^n=a^m + n（m，n 都是正整数）。

- 例如：2^3×2^4=2^3 + 4=2^7。

2. 幂的乘方与积的乘方。

- 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(a^m)^n=a^mn（m，n都是正整数）。

例如：(3^2)^3=3^2×3=3^6。

- 积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)^n=a^nb^n（n为正整数）。

例如：(2×3)^2=2^2×3^2=4×9 = 36。

3. 同底数幂的除法。

- 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a^m÷ a^n=a^m - n(a≠0,m,n 都是正整数，且m>n)。

例如：5^6÷5^3=5^6 - 3=5^3。

- 零指数幂：a^0=1(a≠0)。

例如：3^0=1。

- 负整数指数幂：a^-p=(1)/(a^p)(a≠0,p是正整数)。

例如：2^-3=(1)/(2^3)=(1)/(8)。

4. 整式的乘法。

- 单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如：2x^2·3x^3=(2×3)(x^2·x^3) = 6x^5。

- 单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：a(b + c)=ab+ac。

- 多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd。

5. 平方差公式。

- 公式：(a + b)(a - b)=a^2-b^2。

- 例如：(3 + 2)(3 - 2)=3^2-2^2=9 - 4 = 5。

第一章整式的乘除知识点总结一、单项式：数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

注意：π是数字，而不是字母，它的系数是π，次数是0. 二、多项式几个单项式的代数和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。

五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：),(都是正整数n m aa a nm nm+=∙2、幂的乘方：),(都是正整数）（n m a a mnn m =3、积的乘方：)()(都是正整数n b a ab nnn= 4、同底数幂的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a nm nm都是正整数六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：);0(10≠=a a 2、负整数指数幂：),0(1是正整数p a aa p p≠=- 七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

5、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

八、整式乘法公式：1、平方差公式： 22))((b a b a b a -=-+2、完全平方公式： 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-七年级数学（下）第一章《整式的运算》一、 知识点：1、都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式。

北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。

为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。

这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。

完全平方公式要点归纳知识要点完全平方公式当堂检测一选择题计算（2x+1）2的结果是（）A2x2+4x+1 B4x2-4x-1 C.4x2-4x+1 D.4x2+1 下列各式利用完全平方公式计算正确的是（）（x+3）2=x2+9（-2a+b）2=4a2+4ab+b2（a-2b）2=a2-2ab+4b2（0.5-x）2=x2-x+0.25若（x+a）2=x2-10x+b，则a，b的值分别为（）A.2,4B.5，-25C.-2,25D.-5,25填空题计算：（x-2）2=（m+2n）2=若a2+ab+b2+M=（a-b）2，则M=解答题7.计算：（-x-y）2（-xy+5）2（3）（x+1）2-（x+2）（x-2）已知ab=2，求（2a+3b）2-（2a-3b）2的值课堂达标训练运用完全平方公式计算（x+3）2的结果是（）X2+9 B.x2-6x+9 C.x2+6x+9 D.x2+3x+9 下列计算正确的是（）（x+2）2=x2+4 B.（2x-2y）2=4x2-4xy+4y2C.（y-4）2=y2-8y+16D.（3-2x）2=9-12x-4x2计算（2x-1）（1-2x）的结果为（）A.4x2-1B.1-4x2 C-4x2+4x-1 D.4x2-4x+1若x+y=4，则x2+2xy+y2的值是（）A.2B.4C.8D.165.若（3x-b）2=ax2-12x+4，则a，b的值分别为（）A.3,2B.9,2C.3,-2D.9,-26.计算：（1）（x-3y）2=（2）（x+1）2-2x=7.一个圆的半径为r，如果半径增加2，则面积增加8.计算：（1）（2x-3y）2 （2）（-a+0.5b）2 （-0.5ab2-3a2b）2课后巩固提升一选择题若x2+mx+16是一个完全平方式，则m等于（）A.4B.4C.8D.8下列各式，计算正确的是（ ）（2x-y ）2=4x2-2xy+y3（a2+2b ）2=a2+4a2b+4b2（0.5x+1）2=0.25x2+1+x（x-2y ）2=x2-4xy+y2若（x-2y ）2=（x+2y ）2+m ，则m 等于（ ）A.4xy B-4xy C.8xy D.-8xy填空题若（x-2）2=2，则代数式x2-4x+7=若整式A 与m2+2mn+n2的和是（m-n ）2，则A=三、解答题7.利用乘法公式计算下列各题：（1）（-3a+31b ）2（2）（x+3）（x-3）（x2-9）（3）【（a-b ）2-（a+b ）2】2（4）（a+b+c ）28.已知x 满足x2-2x-1=0，求代数式（2x-1）2-x （x+4）+（x-2）（x+2）的值参考答案：要点归纳： 平方和 2倍 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2当堂检测：1.C 2.D 3.D 4.（1）x2-4x+4 （2）m2+4mn+4n25.（a+b ）2=a2+2ab+b2 6 （-3ab ）7.（1）x2+2xy+y2 （2）x2y2-10xy+25 （3）2x+5 8.48 课堂达标训练：1-5CCCDB 6.（1）x2-6xy+9y2 （2）x2+17.4πr+4π 8.（1）4x2-12xy+9y2 （2）a2-ab+0.25b2（3）0.25a2b4+3a3+b3+9a4b2课后巩固提升1-3DCD 4.5 5.-4mn7.（1）9a2-2ab+91b2 （2）x4-18x2+81 （3）16a2b2（4）a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 8.1。

word整理版七年级数学下册——第一章整式的乘除（复习）单项式整式多项式整同底数幂的乘法幂的乘方式积的乘方的幂运算同底数幂的除法零指数幂运负指数幂整式的加减算单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完整平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式第1章整式的乘除单元测试卷一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1.以下运算正确的选）项是（A.a4a5a9B.a3a3a33a3C.2a43a56a9D.a34a720123201 22.52（）135A.1B.1C.0D.19973.设5a3b25a3b2A，则A=（）A.30abB.60abC.15abD.12ab4.已知x y5,xy3,则x2y2（）A.25.B25C19D、195.已知x a3,x b5,则x3a2b（）A、27B、9C、3D、52251056..如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四a b a种表示该长方形面积的多项式：m学习参照资料nword 整理版①(2a+b)(m+n);②2a(m+n)+b(m+n);③m(2a+b)+n(2a+b); ④2am+2an+bm+bn ，你以为此中正确的有A 、①②B 、③④C 、①②③D 、①②③④（）7．如(x+m)与(x+3) 的乘积中不含 x 的一次项，则m 的值为（）A 、–3B 、3C 、0D 、12128．已知.(a+b)=9，ab=－12，则a2+b 的值等于（）A 、84B、78C 、12D 、62 244）9．计算（a －b ）（a+b ）（a+b ）（a －b ）的结果是（A ．a 8+2a 4b 4+b 8B ．a 8－2a 4b 4+b 8C ．a 8+b 8D ．a 8－b 810. 已知P7 m 1,Qm 28m （m 为随意实数），则P 、Q 的大小关系为15 15（）A 、P QB 、P QC 、PQ D、不可以确立二、填空题（共 6小题，每题4分，共 24分）11. 设4 x 2mx 121 是一个完整平方式，则m=_______。

第一章整式的乘除第6节完全平方公式课堂练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________ 评卷人 得分一、单选题1．在下列多项式的乘法中，不可以用乘法公式计算的是（ ） A ．()()22m n n m +- B ．113322m m ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()5353m n m n -+D ．()()m n m n -+-2．已知4x y -=，3xy =-，则22x y +=（ ） A ．22B ．19C ．16D ．103．计算（x ＋1）2的结果是（ ） A ．x 2＋1B ．2x ＋1C ．x 2＋2x ＋1D ．x 2＋2x4．若216x ax -+是完全平方式，则a 的值等于（ ） A ．2B ．4或4-C ．2或2-D ．8或8-5．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到的数学公式是：()2222m n m mnn +=++．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）A ．()222m n m n -=- B ．()2222m n m mn n +=++C ．()2222m n m mn n -=-+ D ．()()22m n m n m n -=+-6．下列运算，正确的是（ ） A ．235x y x += B ．()2239x x +=+ C ．()2224xy x y =D ．632x x x ÷=7．已知：8x y +=，12xy =，则22x y +的值是（ ） A ．40B ．48C ．52D ．888．下列运算中正确的是（ ）A ．33()a a -=- B ．55()1a a ÷-=-C ．32351128ab a b⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．222(3)9a b a b -=-9．已知a ＝5+4b ，则代数式a 2﹣8ab +16b 2的值是（ ） A ．16 B ．20C ．25D ．30评卷人 得分二、填空题 10．若221x x m -+-是一个完全平方式，则m =______． 11．a b c d叫做二阶行列式，它的算法是：ad ﹣bc ，请计算1223a a a a +---＝_______．12．若多项式x 2﹣kxy +9y 2可以分解成（x ﹣3y ）2．则k 的值为___．13．已知多项式a 2+4与一个单项式的和是一个多项式的平方，则满足条件的单项式是___（写出一个即可）． 评卷人 得分三、解答题 14．学完整式的乘法公式后，爱思考的小丽同学为了探究公式之间的联系，她把一个长为2a ，宽为2b 的长方形沿图1中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后拼成一个大正方形（如图2）．请你根据小丽的操作回答下列问题：（1）图1中每个小长方形的长和宽分别为______，图2中大正方形的边长为______，中间小正方形（阴影部分）的边长为______（均用含a ，b 的式子表示）；（2）小丽发现可以用两种方法求图2中小正方形（阴影部分）的面积，请你帮她写出来（直接用含a ，b 的式子表示，不必化简）：方法1：________________________，方法2：________________________； （3）根据（2）中的结论，探究()2a b +，()2a b -，ab 间的等量关系；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：知a ，b 满足5a b +=，1a b -=，请求出ab 的值．15．如图①所示，把一个长2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成如图①所示的一个正方形．（1）直接写出图①中阴影部分图形的边长；（2）请你用两种不同的方法表示图①中阴影部分的面积（用含m ，n 的代数式表示）； （3）根据（2）中的结论，请你写出代数式()2m n +，()2m n -和mn 之间的数量关系，并利用计算加以验证．16．图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b 的形状拼成一个正方形．（1）你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于________． （2）请用两种不同的方法求图b 中阴影部分的面积． 方法1：______________________； 方法2：______________________．（3）观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗? 代数式：22(),(),m n m n mn +-．______________________．（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若9,8m n mn +==，求： ①22m n +的值； ①2()m n -的值．17．已知a ﹣b ＝4，ab ＝2，求下列各式的值： （1）（a ＋b ）2 （2）a 3b ＋ab 318．已知x ﹣y ＝6，xy ＝7，求下列代数式的值： （1）3x ﹣y （3+4x ）； （2）x 2+y 2．19．先化简，再求值：()()()222222x x y x y x y -+---，其中12x =，1y =．20．如图：用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形． （1）用两种不同代数式表示图中的阴影部分的面积，写出你得到的等式．（2）利用（1）中的结论计算：当a +b =2，ab =34时，求a ﹣b ；（3）根据（1）中的结论，直接写出x +1x 和x ﹣1x 之间的关系；若x +1x =3时，求x ﹣1x的值．参考答案：1．A 【解析】 【分析】根据完全平方公式及平方差公式逐一判断即可． 【详解】解：A 、()()22m n n m +-属于多项式乘多项式，不符合乘法公式，故符合题意；B 、2111333222m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，符合完全平方公式进行运算，故不符合题意； C 、()()5353m n m n -+符合平方差公式进行运算，故不符合题意；D 、()()()2m n m n m n -+-=--，符合完全平方公式进行运算，故不符合题意； 故选A ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式及平方差公式，熟练掌握完全平方公式-()2222a b a ab b ±=±+及平方差公式-()()22a b a b a b +-=-是解题的关键．2．D 【解析】 【分析】根据完全平方公式的变形即可求解． 【详解】①4x y -=，3xy =-，①22x y +=()2x y -+2xy =16－6=10 故选D ． 【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的特点． 3．C 【解析】 【分析】根据完全平方公式计算即可．【详解】解：（x＋1）2＝x2＋2x＋1，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解决本题的关键．4．D【解析】【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值．【详解】解：①x2-ax+16=x2-ax+42，①-ax=±2•x•4，解得a=8或-8．故选：D．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．5．C【解析】【分析】图乙中求边长为（m-n）的正方形的面积得到数学公式．【详解】解：图乙可得边长为（m-n）的正方形的面积=（m-n）2=m2-2mn+n2．故选C．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．6．C【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算即可得出答案． 【详解】解：A 、2x 和3y 不是同类项，不能合并，故 A 错误；B 、()22369x x x +=++，故 B 错误；C 、()2224xy x y =，故 C 正确；D 、63633x x x x -÷==，故 D 错误；故选：C ． 【点睛】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和积的乘方运算、同底数幂的乘除运算,正确掌握相关运算法则是解题关键． 7．A 【解析】 【分析】由完全平方公式变形：222()2x y x y xy +=+-，代入计算即可得到答案． 【详解】解：①8x y +=，12xy =， ①222()2x y x y xy +=+- =28212-⨯ =40； 故选：A ． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，以及求代数式的值，解题的关键是掌握完全平方公式进行解题．【解析】 【分析】根据负指数幂的运算法则、同底数幂的除法及积的乘方、完全平方公式依次计算即可确定正确选项． 【详解】 A 、331a a -=，故A 选项错误； B 、()55551a a a a ⎡⎤÷-=÷-=-⎣⎦，B 正确，符合题意；C 、32361128ab a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故C 选项错误；D 、()222396a b a ab b -=-+，故D 选项错误． 故选：B ． 【点睛】题目主要考查了负指数幂、同底数幂的除法及积的乘方运算法则及完全平方公式，掌握运算方法及技巧是解题关键． 9．C 【解析】 【分析】利用完全平方公式得到：()2228164a ab b a b -+=-，然后根据54a b =+求解即可得到答案. 【详解】 解：①54a b =+ ①45a b -=①()2228164a ab b a b -+=- ①()22228164525a ab b a b -+=-== 故选C. 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式.【解析】 【分析】根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：①221x x m -+-是一个完全平方式， ①()22211x x m x -+-=-， ①11m -=， ①2m =； 故答案为2． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 11．2a ﹣7 【解析】 【分析】根据二阶行列式的计算法则列出算式，再利用整式的混合运算顺序和运算法则化简即可得． 【详解】解：原式＝（a +1）（a －3）－（a －2）2 ＝a 2－3a +a －3－（a 2－4a +4） ＝a 2－3a +a －3－a 2+4a －4 ＝2a －7故答案为：2a －7． 【点睛】此题考查整式的混合运算，正确掌握多项式乘以多项式的计算法则以及完全平方公式是解题的关键． 12．6 【解析】 【分析】利用完全平方公式展开后对应系数相等，即可得出．【详解】解：①（x ﹣3y ）2＝x 2﹣6xy +9y 2，由题意得：x 2﹣kxy +9y 2= x 2﹣6xy +9y 2，①k ＝6．故答案为：6．【点睛】此题考查了因式分解一运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．4a 或-4a 或4116a 【解析】【分析】根据完全平方公式分析即可解答．【详解】解：添加的方法有3种，分别是：添加4a ，得2244(2)a a a ++=+；添加4a -，得2244(2)a a a -+=-；添加4116a ，得4222114(2)164a a a ++=+， 综上所述，满足条件的单项式为414,4,16a a a -， 故答案为：4,4a a -，或4116a （任填一个）． 【点睛】 此题考查完全平方公式，熟记完全平方式的特点是解题的关键．完全平方公式：()2222ab a ab b ±=±+．14．（1）a 、b ，a +b ，a -b ；（2）()24a b ab +-，()2a b -；（3）()()224a b ab a b +-=-；（4）6【解析】【分析】（1）由“一个长为2a ，宽为2b 的长方形沿图1中虚线用剪刀平均分成四个小长方形”可得每个长方形的长和宽，然后根据图形可求解问题；（2）根据图形及割补法可进行求解问题；（3）由（2）可直接进行求解；（4）由5a b +=，1a b -=可得()225a b +=，()21a b -=，然后根据（3）的关系式可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：图1中每个小长方形的长和宽分别为a 、b ，图2中大正方形的边长为a +b ，中间小正方形（阴影部分）的边长为a -b ；故答案为a 、b ，a +b ，a -b ；（2）方法1：利用大正方形的面积减去四个小长方形的面积=小正方形的面积，即为()24a b ab +-；方法2：由（1）中小正方形的边长为a -b ，然后根据正方形面积公式求解，即为()2a b -；故答案为()24a b ab +-，()2a b -；（3）由（2）中的结论可得()2a b +，()2a b -，ab 间的等量关系为()()224a b ab a b +-=-； （4）①5a b +=，1a b -=，①()225a b +=，()21a b -=， 由（3）可得()()224a b ab a b +-=-，①2541ab -=，①6ab =．【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．15．（1）m n -；（2）()2m n -，()24m n mn +-；（3）()()224m n m n mn -=+-，理由见解析【解析】【分析】（1）根据拼图即可得图①中的阴影部分的正方形的边长；（2）根据正方形和长方形的面积即可用两种不同的方法表示图①中阴影部分的面积： （3）根据（2）中的结论，即可写出三个代数式（m ＋n ）2，（m −n ）2，mn 之间的等量关系，再根据完全平方公式化简进行验证．【详解】解：（1）（1）观察图①中的阴影部分的正方形的边长为：m −n ．故答案为：m n -；（2）两种不同的方法表示图①中阴影部分的面积：方法1：（m −n ）2；方法2：（m ＋n ）2−4mn故答案为：①()2m n -，①()24m n mn +-；（3）由（2）可得()()224m n m n mn -=+-理由：左边=222()2m n m n mn -=+-右边=222()424m n mn m n mn mn +-=++-222m n mn =+-22()()4m n m n mn ∴-=+-． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是熟练掌握完全平方公式． 16．（1）（m -n ）；（2）（m -n ）2；（m +n ）2-4mn ；（3）（m -n ）2=（m +n ）2-4mn ；（4）①65；①49．【解析】【分析】（1）根据小长方形的长减去小长方形的宽即可得到阴影部分的正方形的边长；（2）①根据小长方形的长减去小长方形的宽即可得到阴影部分的正方形的边长，进而求得阴影部分的面积；①根据大正方形的面积减去4个长方形的面积求得阴影部分的正方形的面积，进而求得阴影部分的面积；（3）根据完全平方公式的变形即可求得；（4）①根据222()2m n m n mn +=+-，将已知代入求解即可；①根据22()()4m n m n mn -=+-，将已知代入求解即可．【详解】（1）根据小长方形的长减去小长方形的宽即可得到阴影部分的正方形的边长， 小长方形的长为m ，宽为n ，∴阴影部分的正方形的边长为()m n -，故答案为：()m n -，（2）①方法同（1），则面积为：2()m n -，①根据大正方形的面积减去4个长方形的面积求得阴影部分的正方形的面积，即2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-；（3）222222()2,()2m n m mn n m n m mn n +=++-=-+，22()()4m n m n mn ∴+--=，即22()()4m n m n mn -=+-，故答案为：22()()4m n m n mn -=+-，（4）①222()2m n m n mn +=+-，9,8m n mn +==，222916811665m n ∴+=-=-=，①22()()4m n m n mn -=+-，9,8m n mn +==，22()948813249m n ∴-=-⨯=-=．【点睛】本题考查了完全平方式与几何面积，掌握完全平方公式是解题的关键．17．（1）24；（2）40【解析】【分析】（1）利用（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab ，变形整式后整体代入求值；（2）先因式分解整式，再利用a 2+b 2＝（a ﹣b ）2+2ab 变形整式后代入求值．【详解】解：（1）①a﹣b＝4，ab＝2，①原式＝（a﹣b）2+4ab＝42+4×2＝16+8＝24；（2）①a﹣b＝4，ab＝2，①原式＝ab（a2+b2）＝ab[（a﹣b）2+2ab]＝2×（16+2×2）＝2×20＝40．【点睛】本题考查了整式的恒等变形和整体代入的思想方法，掌握和熟练运用完全平方公式的几个变形，是解决本题的关键．18．（1）3（x﹣y）﹣4xy，﹣10；（2）（x﹣y）2+2xy，50．【解析】【分析】（1）去括号化简，再代入求值即可；（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【详解】解：（1）3x﹣y（3+4x）＝3x﹣3y﹣4xy＝3（x﹣y）﹣4xy①x﹣y＝6，xy＝7，①原式＝3×6﹣4×7＝18﹣28＝﹣10．（2）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy①x﹣y＝6，xy＝7，①原式＝62+2×7＝36+14＝50．【点睛】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的变形是解此题的关键．19．4xy ，2【解析】【分析】根据多项式乘法和完全平方公式，平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：原式()()222222444x x y x xy y =----+222222444x x y x xy y =-+-+-4xy =当12x =，1y =时，原式14122=⨯⨯= 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的计算方法． 20．（1）22(a b)(a b)+--或4ab ；（2）1a b -=；（3）15x x-=±． 【解析】【分析】（1）根据阴影部分的面积=4个小长方形的面积=大正方形面积-小正方形的面积，利用完全平方公式即可得出答案；（2）根据完全平方和与完全平方差公式之间的结构关系进行转化，然后将已知代入求解即可得出答案；（3）先把已知式子进行转化，即2310x x -+=转化为130x x -+=，再根据（1）得到的等式计算即可得出答案.【详解】解：（1）阴影部分的面积为22(a b)(a b)+--或4ab得到等式22=4a ()()b a b a b +--说明：222222=a 2(a (()2))4ab b ab b a a b a b b ++--+=+--左边=右边，等式成立.（2）2223=(a+b)4ab=24)4(1a b --⨯=- ①1a b -=（负值舍去）（3）根据（1）中结论，可得22114x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ①2310x x -+=两边同时除以()0x x ≠可得130x x -+= ①13x x+= ①221145x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ①15x x-=± 【点睛】 本题考查的是完全平方公式，注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.。