高中数学第1章计数原理章末小结与测评教学案苏教版选修2_3

教学资料参考范本
【精】最新高中数学第一章计数原理1-2第2课时排列的应
用学案苏教版选修2-3
撰写人：__________________
部门：__________________
时间：__________________
学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．
知识点排列及其应用
1．排列数公式
A＝_____________________________________________________________ ___________(n，m∈N*，m≤n)
＝____________.
A＝________________＝______(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝______.
2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤
类型一无限制条件的排列问题
例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？。

高中数学苏教版选修2-3第1章《1.1.1两个基本计数原理》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.能说出分类计数原理和分步计数原理;
2.会用分类计数原理或分步计数原理分析和解决一些简单的实际问题
2重点难点
区分两个基本计数原理,正确地选用两个计数原理解决实际问题
3教学过程
3.1第一学时
教学活动
1【导入】课前预习
完成一件事,有类方式,在第1类方式中有种不同的方法,在第2类方式中有种不同的方法,……,在第类方式中有种不同的方法,那么完成这件事共有
种不同的方法.分类计数原理又称为原理。

注:做一件事有类方式,每一类方式中的每一种方法均完成了这件事。

完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,在第2步有种不同的方法,……,在第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.分类计数原理又称为原理。

注:做一件事要分个步骤完成,只有所有步骤完成时,才完成这件事,也就是说,每一步骤中每种方法均不能完成这件事。

2【讲授】例题剖析
例1某班共有男生28名、女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会。

(1)若学校分配给该班1名代表,则有多少种不同的选法?
(2)若学校分配给该班2名代表,且男、女生代表各1名,则有多少种不同的选法?。

高中数学苏教版选修2-3第1章《1.1.1两个基本计数原理》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1.能说出分类计数原理和分步计数原理;
2.会用分类计数原理或分步计数原理分析和解决一些简单的实际问题
2重点难点
区分两个基本计数原理,正确地选用两个计数原理解决实际问题
3教学过程
3.1第一学时
教学活动
1【导入】课前预习
完成一件事,有类方式,在第1类方式中有种不同的方法,在第2类方式中有种不同的方法,……,在第类方式中有种不同的方法,那么完成这件事共有
种不同的方法.分类计数原理又称为原理。

注:做一件事有类方式,每一类方式中的每一种方法均完成了这件事。

完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,在第2步有种不同的方法,……,在第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.分类计数原理又称为原理。

注:做一件事要分个步骤完成,只有所有步骤完成时,才完成这件事,也就是说,每一步骤中每种方法均不能完成这件事。

2【讲授】例题剖析
例1某班共有男生28名、女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会。

(1)若学校分配给该班1名代表,则有多少种不同的选法?
(2)若学校分配给该班2名代表,且男、女生代表各1名,则有多少种不同的选法?。

第1章计数原理一、两个数原理的用1．分数原理第一要依据的特色确立一个适合的分准，此后在个准下分；其次，完成件事的任何一种方法必属于某一．分属于不同样的两种方法是不同样的方法．2．分步数原理第一依据的特色确立一个分步的准．其次分步要注意，完成一件事必而且只有完成n 个步后，件事才算完成．二、摆列与合看法及公式1．定从 n 个不同样元素中拿出m( m≤n)个元素，若依据必定的序排成一列，叫做从n 个不同样元素中拿出个元素的一个摆列；若合成一，叫做从n 个不同样元素中拿出个元m m 素的一个合．即摆列和序有关，合与序没关．2．摆列数公式(1)Amn＝n( n－ 1)( n－2) ⋯ ( n－m＋ 1) ，定 A0n＝1.当 m＝ n ，An＝ n ( n－1)( n－2)·⋯·3·2·1.n！(2)Amn＝，此中An＝n！，0！＝1.（n－ m）！三、摆列与合的用1．在求解摆列与合用，注意：(1)把详尽化或摆列或合；(2)通解析确立运用分数原理是分步数原理；(3)解析目条件，防备“ 取” 重复和漏；(4)列出式子算并作答．2．理摆列合的合性，一般思想方法是先元素( 合 ) ，后摆列．按元素的性“分”和按事件生的程“分步”，始是理摆列合的基本方法和原理，通解注意累分和分步的基本技术．3．解摆列合用，常的解策略有以下几种：(1)特别元素先安排的策略；(2)合理分和正确分步的策略；(3)摆列、合混杂先后排的策略；(4)正反、等价化的策略；(5)相捆理的策略；(6)不相插空理的策略；(7)定序除法理的策略；(8)分排直排理的策略；(9)“小集”摆列中先整体后局部的策略；(10)构造模型的策略．四、二式定理及二式系数的性1．二式定理公式 ( a＋b) n＝ C0n a n＋ C1n a n－1b＋⋯＋ Crn a n－r b r＋⋯＋ Cn b n，此中各的系数Crn( r＝ 0，1，2，⋯，n) 称二式系数，第r ＋1 Crn a n－r b r称通．[明](1)二式系数与的系数是不同样的看法，前者只与数有关，此后者与a，b的取有关．(2)运用通求张开式的特定 ( 或特定的系数 ) ，平时先由意列方程求出r，再求所需的 ( 或的系数 ) ．2．二式系数的性(1) 称性：与首末两端“等距离”的两个二式系数相等，体了合数性Cmn＝Cn－ m.(2)增减性与最大：n＋1当 r < 2 ，二式系数Crn逐增大；n＋1当 r >2，二式系数Crn逐减小．n n当 n 是偶数，张开式中一T2＋1的二式系数C2n最大；n＋1n－1n＋ 1当 n 是奇数，张开式中两＋ 1 的二式系数 C 2n，C2 n 相T n＋1与 T22等且最大．(3)各的二式系数之和等于2n，即 C0n＋ C1n＋ C2n＋⋯＋ Cn＝ 2n；奇数的二式系数的和等于偶数的二式系数的和，即C0n＋ C2n＋ C4n＋⋯＝ C1n＋ C3n＋ C5n＋⋯ .[ 明 ]与二张开式各系数的和或差有关的，一般采纳法求解．( 考： 120 分卷分：160分)一、填空 ( 本大共14 小，每小 5 分，共 70 分 )1．从 4 名女同学和 3 名男同学中 1 人主持本班的某次班会，不同样的法种数________．解析：由意可得不同样的法C17＝ 7 种．答案： 715232． ( 湖南高考改 ) 2x－2y的张开式中 x y的系数是 ________．12323解析：由二张开式的通可得，第四T4＝C352x· ( － 2y) ＝－ 20x y，故 x2y3的系数－20.答案：－203821化学三科，共有90 种不同样方案，那么男、女生人数分是________．解析：设男学生有x 人，则女学生有(8 －x) 人，则 C2xC18－ xA3＝ 90，即x( x－ 1)(8 －x) ＝30＝2×3×5，所以x＝3，8－ x＝5.答案： 3， 54．将字母a，a， b，b，c，c 排成三行两列，要求每行的字母互不同样，每列的字母也互不同样，则不同样的摆列方法共有________种．解析：由分步计数原理，先排第一列，有A3种方法，再排第二列，有 2 种方法，故共有 A3× 2＝ 12 种摆列方法．答案： 12．湖北高考改编)若二项式 2x＋a 7的张开式中1的系数是，则实数＝________．5 (x x384a7－r a r7－ r r7－ 2r解析： T r＋1＝Cr7(2 x)x＝ Cr72 a x，令 7－ 2r＝－ 3，得r＝5，即 T5＋1＝C5722a5x－3＝84x－3，解得 a＝1.答案： 16．甲、乙、丙 3 位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同样的选修方案共有________种．解析：从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同样的选修方案共在C24·C34·C34 ＝96种．答案： 967． C16＋ C26＋ C36＋ C46＋ C56＝ ________．解析：∵ C06＋ C16＋ C26＋ C36＋ C46＋ C56＋ C6＝ 26＝ 64，∴ C16＋ C26＋ C36＋ C46＋ C56 ＝ 64－ 2＝62.答案： 628.用 4 种不同样的颜色涂入以以以下图的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同样，则不同样的涂色方法共有 ________种．A BCD解析：分四步挨次涂A，B， C， D.开始涂 A 有4种涂法；再涂 B有3种涂法；此后涂C有2种涂法；最后涂 D，因为 D和 A，B 不相邻，所以 D能够和 A 或 B同色，也能够和 A，B 不同样色，所以共有3 种涂法．由分步计数原理得，共有4×3×2× 3＝ 72( 种 ) ．答案：729．“ 2012”含有数字0， 1， 2，且有两个数字2，则含有数字0， 1， 2，且有两个相同数字 2 或1 的四位数的个数为________．解析：由题意可分状况议论：含有两个 1 或两个 2 的四位数，先排0 有3 个地点能够选，此后排其余一个不重复的数字有 3 个地点能够选，剩下的排重复的数字，所以满足要求的数共有2C13C13C2＝ 18 个．答案：1810．将7 名学生分派到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍最少安排 2 名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．解析：分两类：甲、乙两个宿舍中一个住 4 人、另一个住 3 人或一个住 5 人，另一个C37A2＋ C27A2＝35× 2＋21× 2＝ 112 种．住 2 人，所以不同样的分配方案共有答案：11211．一次考试中，要求考生从试卷上的9 个题目中选 6 个进行答题，要求最少包含前________．5 个题目中的 3 个，则考生答题的不同样选法的种数是解析：分三类：第一类，前 5 个题目的 3 个，后 4 个题目的 3 个C35C34；第二类，前 5 个题目的 4 个，后 4 个题目的 2 个 C45C24；第三类，前 5 个题目的 5 个，后 4 个题目的 1 个 C5C14，由分类计数原理得C35C34＋ C45C24＋ C5C14＝74.答案： 7412．( 重庆高考改编 ) 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出序次，则同类节目不相邻的排法种数是________．解析：依题意，先仅考虑 3 个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A3A34＝144，此中3个歌舞类节目互不相邻但 2 个小品类节目相邻的排法种数为A2A2A3＝ 24，所以满足题意的排法种数为144－ 24＝ 120.答案： 120n213.x＋x2张开式中只有第六项的二项式系数最大，则张开式中的常数项是________．(x)10－ r 2 r＝ 2r Cr10解析：只有第六项的二项式系数最大，则 n＝10，T r＋1＝Cr10·x2 5x5－2r ，5令 5－2r＝0，得r＝2，T3＝ 4C210＝ 180.答案： 180414. (x＋1)( x－ 1) 5的张开式中x4的系数为________．4解析： ( x＋1) (x－1)5＝(x－1)5(x2＋4x x＋6x＋4x＋1)，x4的系数为C35×(－31) ＋ C25× 6＋ C15× ( － 1) ＝ 45.二、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 90 分，解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤)15．( 本小题满分 14 分 ) 有三个袋子，此中第一个袋子装有红色小球 20 个，每个球上标有1 至 20 中的一个号码．第二个袋子装有白色小球 15 个，每个球上标有 1 至 15 中的一个号码．第三个袋子装有黄色小球 8 个，每个球上标有 1 至 8 中的一个号码．(1)从袋子里任取一个小球，有多少种不同样的取法？(2)从袋子里任取红、白、黄色球各一个，有多少种不同样的取法？解： (1)从第一个袋子中取一个小球有20 种取法；从第二个袋子中取一个小球有15种取法；从第三个袋子中取一个小球有8 种取法．由分类计数原理可知共有20＋15＋ 8＝43种取法．(2)分三步：第一步，从第一个袋子中取一个红色球有20 种取法；第二步，从第二个袋子中取一个白色球有15 种取法；第三步，从第三个袋子中取一个黄色球有8 种取法．由分步数原理可知共有20×15× 8＝ 2 400 种取法．16． ( 本小分14 分 ) 有 0，1， 2， 3， 4， 5 共六个数字．(1)能成多少个没有重复数字的四位偶数；(2)能成多少个没有重复数字且5 的倍数的五位数．解： (1)切合要求的四位偶数可分三：第一，0 在个位有A35个；第二，2在个位有A14A24个；第三， 4 在个位有A14A24个；由分数原理知，共有四位偶数A35＋A14A24＋ A14A24＝ 156( 个 ) ．(2) 五位数中 5 的倍数可分两；第一，个位上的数字是0 的五位数有A45个；第二，个位上的数字是 5 的五位数有A14A34个．故足条件的五位数有A45＋ A14A34＝ 216( 个 ) ．17． ( 本小分14 分 ) 在(1 －x2) 20的张开式中，假如第4r和第r ＋2的二式系数相等，(1)求 r 的；(2)写出张开式中的第 4r和第r＋ 2 ．解： (1) 第 4r和第r＋ 2 的二式系数分是C4r20－ 1和 Cr20＋ 1，C4r20－ 1＝ Cr20＋ 1? 4r－ 1＝r＋ 1 或 4r－ 1＋r＋ 1＝ 20，2解得 r ＝4或 r ＝3(舍去)．所以 r ＝4.(2) T4r＝T16＝ C1520·( －x2) 15＝－ 15 504 x30，T r＋2＝ T6＝C520(－ x2)5＝－15 504 x10.18． ( 本小分16 分 ) (2 x－ 1) 10＝a0＋a1x＋a2x2＋⋯＋a10x10，求以下各式的．(1)a0＋ a1＋ a2＋⋯＋ a10；(2)a6.解： (1) 令x＝ 1，得 a0＋ a1＋ a2＋⋯＋ a10＝(2－1)10＝1.(2)a6即含 x6的系数，T r＋1＝Cr10(2 x)10－r(－1)r＝Cr10(－1)r210－r x10－r，所以当 r ＝4时， T5＝C410(－1)426x6＝13 440 x6，即 a6＝13 440.19． ( 本小题满分16 分 )6 个人坐在一排10 个座位上，问：(1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4 个空位只有 3 个相邻的坐法有多少种？(3)4个空位至多有 2个相邻的坐法有多少种？解： 6 个人排有 A6种坐法， 6 人排好后包含两端共有7 个“间隔”能够插入空位．(1) 空位不相邻相当于将 4个空位安插在上述 7 个“间隔”中，有C47＝ 35 种插法，故空位不相邻的坐法有A6C47＝ 25 200 种．(2) 将相邻的 3 个空位看作一个元素，另一空位看作另一个元素，往7 个“间隔”里插，有 A27种插法，故 4 个空位中只有 3 个相邻的坐法有A6A27＝30 240种．(3)4个空位至多有 2个相邻的状况有三类：① 4个空位各不相邻有C47种坐法；② 4个空位 2 个相邻，还有 2 个不相邻有 C17C26种坐法；③ 4个空位分两组，每组都有 2 个相邻，有 C27种坐法．综上所述，应有A6(C47＋ C17C26＋C27) ＝ 115 920 种坐法．20．( 本小题满分16 分 )10 双互不同样的鞋子混装在一只口袋中，从中任意拿出 4 只，试求各有多少种状况出现以下结果：(1)4 只鞋子没有成双的；(2)4 只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有 2 只成双，另 2 只不能够双．解： (1)从10 双鞋子中采纳 4 双，有C410种不同样选法，每双鞋子中各取一只，分别有2 种取法，依据分步计数原理，采纳种数为N＝C410·24＝3 360(种 ) ．即 4 只鞋子没有成双有 3 360种不同样取法．(2)从 10 双鞋子中采纳 2 双有 C210种取法，所以采纳种数为N＝C210＝45(种)即 4 只鞋子恰成两双有45 种不同样取法．(3) 先采纳一双有C10种选法，再从9 双鞋中采纳 2 双有 C29种选法，每双鞋只取一只各有 2 种取法．依据分步计数原理，不同样取法为N＝C10C29·22＝1 440(种)．。

第一章计数原理学目 1. 整理本章的知重点.2. 能合详尽的特色，合理两个数原理来解析和解决一些的.3. 理解摆列、合的看法，能利用数原理推排列数和合数公式，掌握合数的两个性，并能用它解决.4. 掌握二式定理和二张开式的性，并能用它解决与二张开式有关的算和明．1．分数原理完成一件事有n不一样样的方案，在第1 方案中有m1种不一样样的方法，在第2 方案中有m2种不一样样的方法，⋯，在第n方案中有m n种不一样样的方法，那么完成件事共有N＝____________________ 种不一样样的方法．2．分步数原理完成一件事需要n 个步，做第1步有 m1种不一样样的方法，做第2步有 m2种不一样样的方法，⋯，做第n 步有n 种不一样样的方法，那么完成件事有＝ ____________________________ m N种不一样样的方法．3．摆列数与合数公式及性摆列与摆列数合与合数摆列数公式 Amn＝n( n－ 1)( n－合数公式 Cmn＝ ________公式2) ⋯ ____________＝ ________________________＝ ____________＝ ________________当 m＝ n ，Amn全摆列；An＝ n！；0！＝C0n＝ Cn＝ 1；性Cmn＝ ________；______Cmn＋ Cmn－ 1＝ ________注n， m∈N*，且 m≤ n4.二式定理(1)二式定理的内容：( a＋b) n＝ ______________________________________________________________.(2)通公式： T k＋1＝Ckn a n－k b k， k∈{0,1,2，⋯， n}．(3)二式系数的性：①与首末两端等距离的两个二式系数相等；②若 n偶数，中一nn 奇数，中两第＋ 1 的二式系数最大；若2第n＋1和第n＋1＋ 1的二式系数相等且最大．22③ C0n＋ C1n＋ C2n＋⋯＋ Cn＝2n；C0n＋ C2n＋⋯＝ C1n＋C3n＋⋯＝ 2n－1.型一数学思想方法在求解数中的用命角度 1分思想例 1 有 11 名工人，此中 5 名男工是工， 4 名女工是工，其余两名老傅既能当工又能当工，在要在 11 名工人里派 4 名工， 4 名工维修一台机床，有多少种派方法？反思与感悟解含有束条件的摆列、合，按元素的性行分，分需要足两个条件： (1) 与之要互斥( 保不重复 ) ． (2) 数要完 ( 保不漏 ) ．追踪 1从 1,2,3,4,5,6 6 个数字中，任取 3 个数字成无重复数字的三位数，其中如有 1 和 3 ，3 必排在 1 的前方；若只有 1 和 3 中的一个，它排在其余数字的前方，不一样样的三位数共有________个． ( 用数字作答 )命题角度2“正难则反”思想例 2设会集S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，会集A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且满足 a1<a2<a3， a3－ a2≤6，那么满足条件的会集 A 的个数为________．反思与感悟关于正面办理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对峙面去思虑．追踪训练2由甲、乙、丙、丁 4 名学生参加数学、写作、英语三科比赛，每科最少( 且每人仅报一科) ，若学生甲、乙不可以同时参加同一比赛，则不一样样的参赛方案共有a1， a2， a31 人________种．种类二摆列与组合的综合应用例 3在高三一班元旦晚会上，有 6 个演唱节目， 4 个舞蹈节目．(1)当 4 个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不一样样的节目安排序次？(2)当要求每 2 个舞蹈节目之间最少安排 1 个演唱节目时，有多少种不一样样的节目安排序次？(3) 若已定好节目单，今后状况有变，需加上诗朗诵和快板 2 个节目，但不可以改变本来节目的相对序次，有多少种不一样样的节目演出序次？反思与感悟摆列与合的合，第一要分清何摆列，何合．含有特别元素的摆列、合，一般先行合，再行摆列．特别元素的地点有要求，在合取，就要行分，分的原是不重、不漏．在用接法数，要注意考全面，除掉干．追踪 3会集 A＝{( x ， x ，x ，x ，x )| x∈ { － 1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么会集12345iA中足条件“ 1≤ |x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤ 3” 的元素个数___________________________ ．型三二式定理及其用命角度 1二张开式的特定x－2例 4已知在n的张开式中，第 5 的系数与第 3 的系数之比是 56∶ 3.3x(1)求张开式中的所有有理；(2)求张开式中系数最大的；(3)求 n＋9C2n＋81C3n＋⋯＋9n－1Cn的．反思与感悟(1) 确立二式中的有关元素：一般是依据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二式中的有关元素．(2)确立二张开式中的常数：先写出其通公式，令未知数的指数零，从而确立数，此后代入通公式，即可确立常数．(3)求二张开式中条件的系数：先写出其通公式，再由条件确立数，此后代入通公式求出此的系数．(4)求二张开式中各系数的和差：代入．(5)确立二张开式中的系数最大或最小：利用二式系数的性．追踪 4 已知二式 5x－1n 张开式中各系数之和是各二式系数之和的16 x倍．(1)求 n；(2)求张开式中二式系数最大的；(3)求张开式中所有 x 的有理．命角度 2二张开式的“ ”例 5 若 ( x2－ 3x＋ 2) 5＝a0＋a1x＋a2x2＋⋯＋a10x10.(1)求 a2；(2)求 a1＋ a2＋⋯＋ a10；22(3) 求 ( a0＋a2＋a4＋⋯＋a10) － ( a1＋a3＋⋯＋a7＋a9) .反思与感悟与二式系数有关，包含求张开式中二式系数最大的、各的二式系数或系数的和、奇数也许偶数的二式系数或系数的和以及各系数的的和，主要方法是法，通察张开式右的构特色和所求式子的关系，确立字母所的，有后获得的式子比所求式子多一或少一，此要求出一，而在求奇数也许偶数的二式系数或系数的和，常常要两次，再由方程求出果．追踪 5 若 (x 2＋ 1)( － 3)9＝0＋1(－2) ＋2(x－ 2)2＋3(－2)3＋⋯＋a11(x－ 2) 11，x a a x a a xa ＋a ＋a ＋⋯＋ a的 ________．123111． 4 名大学生到三家企聘，每名大学生至多被一家企用，每家企最少用一名大学生的状况有 ________种．a2．已知关于x的二式x＋n 张开式的二式系数之和32，常数80，a3x的 ________．3．六个人从左至右排成一行，最左端只好排甲或乙，最右端不可以排甲，不一样样的排法共有 ________种．4．若 (1 ＋x＋x2) 6＝a0＋a1x＋a2x2＋⋯＋a12x12，a2＋a4＋⋯＋a12＝ ________.5．航天在太空授，准行号0,1,2,3,4,5的六，向全球人民普及太空知，此中 0 号不可以放在第一，最后一的号小于它前方相一的号，序的排方法种数 ________． ( 用数字作答 )1．摆列与合(1)摆列与合的区在于摆列是有序的，而合是无序的．(2)摆列平时分无量制条件和有限制条件，于有限制条件的摆列，平时从以下两种门路考：①元素解析法：先考特别元素的要求，再考其余元素．②地点解析法：先考特别地点的要求，再考其余地点．(3)摆列与合合用是本章内容的重点与点，一般方法是先分，后分配．2．二式定理(1)与二式定理有关，包含定理的正向用、逆向用，型如明整除性、近似算、明一些的合恒等式等，此主若是要构造二式，合理用张开式．(2) 与通公式有关，主若是求特定，比方常数、有理、x 的某次等，此要特注意二张开式中第r ＋1的通公式是 T r＋1＝Crn a n－r b r( r＝ 0,1 ，⋯，n) ，此中二式系数是 Crn，而不是Crn＋ 1，是一个极易点．(3)与二式系数有关，包含求张开式中二式系数最大的、各的二式系数或系数的和、奇数也许偶数的二式系数或系数的和以及各系数的的和等主要方法是法．答案精析知梳理1．m1＋m2＋⋯＋m n2．m1×m2×⋯×m n3． ( n－m＋ 1)!!!! 1 C! C!n n－ 11n－ k k n*4． (1)C0n a＋ C1n a b ＋⋯＋Ckn a b ＋⋯＋Cn b ( n∈N )例 1解方法一A， B代表2位老傅．A， B都不在内的派方法有C45C4＝ 5( 种 ) ，，都在内且当工的派方法有C2C25C4＝ 10( 种 ) ，A BA， B都在内且当工的派方法有C2C45C24＝ 30( 种 ) ，A， B都在内且一人当工，一人当工的派方法有A2C35C34＝80( 种 ) ，A， B有一人在内且当工的派方法有C12C35C4＝ 20( 种 ) ，A， B有一人在内且当工的派方法有C12C45C34＝ 40( 种 ) ，因此共有 C45C4＋ C2C25C4＋C2C45C24＋A2C35C34＋ C12C35C4＋ C12C45C34＝ 185( 种) ．方法二 5 名男工有 4 名被上的方法有 C45C4＋ C45C34C12＋ C45C24C2＝ 75( 种 ) ，5 名男工有 3 名被上的方法有C35C12C4＋C35C34A2＝ 100( 种 ) ，5 名男工有 2 名被上的方法有C25C2C4＝10( 种 ) ，因此共有75＋ 100＋ 10＝185( 种 ) ．方法三 4 名女工都被上的方法有C4C45＋ C4C35C12＋C4C25C2＝ 35( 种 ) ，4 名女工有 3 名被上的方法有C34C12C45＋C34C35A2＝ 120( 种 ) ，4 名女工有 2 名被上的方法有C24C2C45＝30( 种 ) ，因此共有35＋ 120＋ 30＝185( 种 ) ．追踪 1 60解析 1 与 3 是特别元素，以此分准行分．分三：①没有数字 1 和3 ，有A34个；②只有 1 和3 中的一个，有2A24个；③同有 1 和3，把 3 排在 1 的前方，再从其余 4 个数字中 1 个数字插入 3 个空中间的 1 个即可，有 C14·C31个．因此足条件的三位数共有A34＋ 2A24＋ C14·C31＝ 60( 个) ．例2 83解析若从正面考，需分当a3＝9， a2可以取8,7,6,5,4,3，共 6；当 a3＝8，a2 可以取7,6,5,4,3,2，共6；⋯分多，而其立面a3－a2>6包含的状况少，当a ＝9 ，a取 2，a取 1 一种状况，利用正反思想解决．321会集S 的含有三个元素的子集的个数C39 ＝ 84. 在些含有三个元素的子会集能足a 1<2< 3且3－ 2>6的会集只有{1,2,9}，故足意的会集A的个数84－ 1＝ 83.a a a a追踪 230解析从 4 人中出两个人作一个元素有C24种方法，同其余两个元素在三个地点上摆列有C24A3＝36( 种 ) 方案，此中有不切合条件的，即学生甲、乙同参加同一有A3种果，∴不一样样的参方案共有36－6＝30( 种) ．例 3排，有解(1) 第一步先将 4 个舞蹈目捆起来，看作 1 个目，与 6 个演唱目一起A7＝ 5 040( 种 ) 方法；第二步再松， 4 个目排序，有A4＝ 24( 种 ) 方法．依据分步数原理，一共有 5 040 ×24＝ 120 960( 种 ) 安排序．(2)第一步将 6 个演唱目排成一列 ( 以下中的“□” ) ，一共有 A6＝720( 种 ) 方法．×□×□×□×□×□×□×第二步再将 4 个舞蹈目排在一一尾或两个演唱目中，相当于7 个“×” 4个来排，一共有 A47＝ 840( 种 ) 方法．依据分步数原理，一共有720×84 0＝ 604 800(种 ) 安排序．(3) 若所有目没有序要求，所有摆列，有A12种排法，但本来的目已定好序，A12需要除掉，因此目演出的方式有A10＝ A212＝ 132( 种 ) 摆列．追踪 3130解析由“ 1≤ | x1| ＋ | x2|＋ | x3| ＋ | x4| ＋ | x5| ≤ 3”考x1，x2，x3，x4，x5 的可能取，会集 M＝{0}， N＝{－1,1}．当 x1，x2，x3， x4， x5中有2个取 0，其余 3 个从N中取，共有3C25×2种方法；当 x，x2，x3， x4， x5中有 3个取 0，其余 2 个从N中取，共有21C35×2种方法；当 x1，x2，x3， x4， x5中有 4个取 0，其余 1 个从N中取，共有C45× 2 种方法．故共有32种 ) 方法，即足意的元素个数130. C25×2＋ C35×2＋ C45× 2＝ 130(例 4 解(1)由 C4n( － 2)4∶ C2n( － 2)2＝56∶ 3，解得n＝ 10，2因通 T r＋1＝Cr10( x)10－ r －r3xr5－5 rCr10 x6， r ＝0,1,2，⋯，10.＝(－2)5r当 5－整数，r可取 0,6 ， 6于是有理T1＝ x5和 T7＝13 440.(2)第 r ＋1系数的最大，Cr102r ≥C10r－12r － 1，Cr102r ≥C10r＋ 12r ＋ 1，r≤22，3解得又因 r ∈{1,2,3，⋯，9}，19r ≥3，－5因此 r ＝7，当 r ＝7， T ＝－15 360x6，8又因当r ＝0 ，1＝x5，T当 r ＝10，－10－10T11＝(－2)10 x3＝1 024x 3，T ＝－15 360x－5因此系数的最大的6.8(3) 原式＝ 10＋ 9C210＋ 81C30＋⋯＋ 910－1C109C10＋ 92C210＋ 93C310＋⋯＋ 910C10＝9C010＋ 9C10＋92C210＋93C310＋⋯＋ 910C10－ 1＝9＝!＝!.追踪 4解 (1)令 x＝1，得二式5x－1n 张开式中各系数之和(5 － 1) n＝ 4n，x各二式系数之和2n，由意，得n n n4 ＝16·2，因此 2 ＝ 16，n＝ 4.(2) 通T r＋1＝ Cr4(5 x)4－ r1r －x高中数学第一章计数原理章末复习课教学设计苏教版选修23word 格式r4－r4－ 3r· x2 ,＝ ( － 1) Cr45张开式中二 式系数最大的 是第3T 3＝ ( －1) 2C2452x ＝ 150x .3(3) 由 (2) ，得 4－ 2r ∈ Z( r ＝ 0,1,2,3,4) ，即 r ＝ 0,2,4 ，因此张开式中所有x 的有理1＝ ( －1) 0C0454 x 4＝ 625 4，Tx22x ＝ 150x ，T 3＝ ( －1) C2455＝ ( －1) 4C450x － 2＝ x －2.T例 5 解 (1)( x 2－ 3x ＋ 2) 5＝ ( x － 1) 5( x － 2) 5，a 2 是张开式中 x 2 的系数，∴ a 2＝ C5( － 1) 5C35( － 2) 3＋ C45( －1) 4·C 5(4 －2) 4＋ C35( － 1) 3·C 5( － 2) 5＝ 800.(2) 令 x ＝ 1，代入已知式，可得a 0＋ a 1＋ a 2＋⋯＋ a 10＝ 0，而令 x ＝ 0，得 a 0＝ 32，∴ a 1＋ a 2＋⋯＋ a 10＝－ 32.(3) 令 x ＝－ 1，可得( a 0＋ a 2＋a 4＋⋯＋ a 10) － ( a 1＋ a 3＋⋯＋ a 7＋ a 9) ＝ 65，再由 ( a 0＋ a 2＋ a 4＋⋯＋ a 10) ＋ ( a 1＋ a 3＋⋯＋ a 7＋ a 9) ＝0，把 两个等式相乘可得，( a 0＋ a 2＋a 4＋⋯＋ a 10) 2－ ( a 1＋ a 3＋⋯＋ a 7＋a 9) 2＝ 65× 0＝ 0.追踪5 5解析令 x ＝ 2，得 a 0＝ (2 2＋ 1)(2 － 3) 9＝－ 5，令 x ＝ 3， a 0＋a 1＋ a 2＋ a 3＋⋯＋ a 11＝ (3 2＋1)(3 － 3) 9＝0，因此 a 1＋ a 2＋ a 3＋⋯＋ a 11＝－ a 0＝ 5.当堂1．。

2016-2017学年高中数学第一章计数原理章末分层突破学案苏教版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章计数原理章末分层突破学案苏教版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第一章计数原理章末分层突破学案苏教版选修2-3的全部内容。

第一章计数原理章末分层突破［自我校对］①排列数公式②组合数公式③组合数性质④通项公式⑤二项式系数性质两个计数原理的应用分类或者分步进而分析求解．（1)“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情．“分步”表现为必须把各步骤均完成,才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件．（2）分步计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法。

王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．(1）若他从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法?(2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法?（3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？【精彩点拨】解决两个原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法使这件事是否完成，从而区分加法原理和乘法原理．【规范解答】(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书、还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定为应用分类计数原理,结果为5＋4＋3＝12（种）．(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步计数原理，结果为5×4×3＝60（种)．（3)选1本外语书和选1本数学书应用分步计数原理，有5×4＝20种选法；同样,选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法．即有三类情况，应用分类计数原理，结果为20＋15＋12＝47(种）．应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题：1要做什么事;2如何去做这件事;3怎样才算把这件事完成了。

1.3 组合学 习 目 标核 心 素 养1.理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)2．会推导组合数公式，并会应用公式进行计算．(重点)1.通过对组合学习，发展数学抽象素养．2．借助组合数公式的推导及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.1．组合与组合数的概念 (1)组合一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示．思考1：组合与组合数有何区别？[提示] 从n 个不同元素中任意取出m (m ≤n )个元素并成一组即为一个组合，一个组合就是完成事情的一种方法，而组合数是指所有组合的个数；组合可以是由任何元素组成的，而组合数是一个数字，是所有组合的个数．2．组合数公式及性质(1)组合数公式：C m n＝A m n A m m ＝n ！m ！(n －m )！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！.(2)组合数的性质：①C mn ＝C n －mn ；②C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .思考2：区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？[提示] 关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题．1．下列问题是组合问题的有( )①从5名同学中选4名组成代表团参加对外交流；②一个小组有7名学生，现抽调5人参加劳动；③从5名同学中选4名组成代表团去4个单位参加对外交流．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ A [①②与顺序无关是组合问题，③与顺序有关是排列问题．]2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________种．3 [甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C 23＝3×22＝3.]3．C 26＝________，C 1718＝________. 15 18 [C 26＝6×52＝15，C 1718＝C 118＝18.]4．方程C x14＝C 2x －414的解为________．4或6 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6.]组合的概念【例1】 (1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？[思路探究] 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关． [解] (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别． (2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．2．区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．1．从5个不同的元素a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，写出所有不同的组合．[解] 要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de .组合数的计算与证明【例2】 85(2)计算：C 38－n3n ＋C 3n21＋n .[思路探究] (1)直接运用组合数公式进行计算； (2)先求出n ，再按组合数公式进行运算． [解] (1)3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)由组合数的意义可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤38－n ≤3n ，0≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤38，0≤n ≤212，∴192≤n ≤212. ∵n ∈N *，∴n ＝10，∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466.关于组合数计算公式的选取(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．2．求等式C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝195中的n 值． [解] 原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，C 5n －1＝145C 3n －3，即(n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)5！＝145·(n －3)(n －4)(n －5)3！，化简整理，得n 2－3n －54＝0.解此二次方程，得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，所以n ＝9为所求．组合数性质及应用[探究问题]1．试用两种方法求：从a ，b ，c ，d ，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？[提示] 法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C 35＝5×4×33×2×1＝10(种)选法．法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C 25＝5×42＝10(种)不同选法．经求解发现C 35＝C 25.推广到一般结论有C m n ＝C n －mn .2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？ [提示] 共有C 610＝10×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法．3．在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2,3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？[提示] 若队长必须参加，共C 59＝126(种)选法．若队长不能参加，共C 69＝84(种)选法． 由探究2,3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类计数原理可得：C 610＝C 59＋C 69.一般地：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .【例3】 (1)化简C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 019的值为________． (2)解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4； (3)解不等式C 4n ＞C 6n .[思路探究] 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式． (1)C 42 020－1 [C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 019 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 32 019－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 019－1＝… ＝C 42 019＋C 32 019－1＝C 42 020－1.](2)[解] 由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·(x －3)！(x －7)！4！＝5·(x －4)！(x －6)！， 则3(x －3)4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40. ∴x 2－9x －22＝0，解得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根． ∴方程的根为x ＝11. (3)由C 4n ＞C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！＞n ！6！(n －6)！n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10＜0，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜n ＜10，n ≥6.又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．1．性质“C mn ＝C n －mn ”的意义及作用意义反映的是组合数的对称性，即从n 个不同的元素中取m 个元素的一个组合与剩下的(n －m )个元素的组合相对应作用当m >n2时，计算C m n 通常转化为计算C n －mn2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m ，n 的X 围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．3．(1)化简：C 9m －C 9m ＋1＋C 8m ＝________； (2)已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，求n 的值．(1)0 [原式＝(C 9m ＋C 8m )－C 9m ＋1＝C 9m ＋1－C 9m ＋1＝0.] (2)[解] 根据题意，C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ， 变形可得C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ， 由组合数的性质，可得 C 7n ＋1＝C 8n ＋1，故8＋7＝n ＋1， 解得n ＝14.1．本节课的重点是组合的概念、组合数公式及其性质、简单的组合应用问题，难点是组合数的性质及应用．2．正确区分排列与组合的关键是看问题所涉及的这件事与顺序是否有关，与顺序有关则是排列，无关是组合．3．本节课的易错点是利用组合数性质C xn ＝C yn 解题时，易误认为一定有x ＝y ，从而导致解题错误．事实上，C x n ＝C yn ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 或x ＋y ＝n ，x ≤n ，y ≤n ，x ，y ∈N *.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.( )(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．( )(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．( )(5)现有4枚抗战胜利纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．( )[解析] (1)√因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．(2)√由组合数的定义可知正确．(3)×因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．(4)√因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．(5)×因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题．[答案] (1)√(2)√(3)×(4)√(5)×2．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )A．60种B．48种C．30种D．10种C[从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加周日的公益活动有C23种方法，故共有C25·C23＝30种．]3．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．2或3 [设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生有2人或3人．]4．C58＋C68的值为________．84 [C58＋C68＝C69＝9！6！×3！＝9×8×73×2×1＝84.]5．平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上(4个点之间的距离各不相等)，此外任何三点不共线．(1)过每两点连线，可得几条直线？(2)以每三点为顶点画三角形可画几个？[解] (1)从9个点任取2个点，除去共线的情况即C29－C24＋1＝31(条)．(2)从9个点任取3个点，除去共线的情况即C39－C34＝80(个)．。

章末总结知识点一两个计数原理应用两个计数原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成事件．能完成便是分类，否则便是分步，对于有些较复杂问题可能既要分类又要分步，此时应注意层次分明，不重不漏．例1现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．例2某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用周六组织学生到某工厂进行社会实践活动．(1)任选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？(2)三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？(3)选两个班的学生参加社会实践，要求这两个班来自不同年级，有多少种不同选法？知识点二排列组合应用题解排列组合应用题的关键在于区别它是排列问题，还是组合问题，也就是看它有无“顺序”．解答排列组合应用题还应善于运用转化思想，把一些问题与排列组合基本类型相联系，从而把这些问题转化为基本类型，然后加以解决．例3有四名男生和三名女生排成一排，按下列要求各有多少种不同的排法？(1)男甲排在正中间；(2)男甲不在排头，女乙不在排尾．例4用1,2,3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有多少个？知识点三二项式定理及应用二项式定理的重点是二项展开式及通项公式的联系和应用．二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础；二项展开式的性质是解题的关键；利用二项展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等．赋值法与待定系数法是解决二项式定理相关问题常用的方法．例5二项式(2＋x)n的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式的第8项的系数为________．(用数字表示)例6已知(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，那么a1＋a2＋a3＋…＋a11＝________.例7求证：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n为大于1的偶数)．章末总结答案重点解读例148例2解(1)分三类：第一类从高一年级选一个班，有6种不同方法，第二类从高二年级选一个班，有7种不同方法，第三类从高三年级选一个班，有8种不同方法，由分类计数原理，共有6＋7＋8＝21(种)不同选法．(2)分三步：第一步从高一年级选一个班，有6种不同的方法；第二步从高二年级选一个班，有7种不同的方法；第三步从高三年级选一个班，有8种不同的方法，由分步计数原理，共有6×7×8＝336(种)不同的选法．(3)分三类，每类又分两步，第一类要从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选一个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三两个年级各选一个班，有7×8种不同方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146(种)不同选法．例3解(1)男甲排在正中间位置，其他六人排在余下的六个位置上，共有A66＝720(种)不同的排法．(2)分四类考虑(特殊元素法)：①男甲不在排头，女乙不在排尾，男甲也不在排尾，女乙也不在排头(即男甲、女乙在中间5个位置上)，有A25A55种排法；②女乙在排头男甲不在排尾，有A15A55种排法；③男甲在排尾女乙不在排头，有A15A55种排法；④男甲在排尾且女乙在排头，共有A55种排法．根据分类计数原理，共有A25A55＋2A15A55＋A55＝3 720(种)排法．例4解将1、2,3、4,5、6看成3个整体，进行全排列有A33种排法，3个整体间分别进行排列有A22·A22·A22种方法．在由3个整体形成的4个空档中选出2个插入7、8两个数，共有A24种方法，故共有A22·A22·A22·A33·A24＝576(种)排法．例516解析第1项为2n，第2项为C1n2n－1x，第3项为C2n2n－2x2. ∴2C1n·2n－1＝2n＋C2n2n－2.∴n＝8.∴T8＝C782x7，其系数为2C78＝16.例6－65解析令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－64；∴a1＋a2＋…＋a11＝－65.例7证明因为1＋3＋32＋…＋33n－1＝1－33n1－3＝12(33n－1)＝12(27n－1)＝12[(26＋1)n－1]，而(26＋1)n－1＝C0n26n＋C1n26n－1＋…＋C n－1n26＋C n n260－1＝C0n26n＋C1n26n－1＋…＋C n－1n 26.因为n为大于1的偶数，所以原式能被26整除．。

1.5 二项式定理第1课时二项式定理问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的．若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C14种，式子为C14a3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C24种，式子为C24a2b2.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．2．二项展开式的通项C r n a n－r b r叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r．3．二项式系数C r n(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．(a＋b)n中，n∈N*，a，b为任意实数．2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．3．二项式系数依次为组合数C0n，C1n，…，C r n，…，C n n.4．(a＋b)n的二项展开式中，字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐次减1直到0；字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n.[例1] 求下列各式的展开式：(1)(a＋2b)4；(2)2x－32x25.[思路点拨] 可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开．[精解详析] (1)根据二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n，得(a＋2b)4＝C04a4＋C14a32b＋C24a2(2b)2＋C34a(2b)3＋C44(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.(2)法一：2x－32x25＝C05(2x)5＋C15(2x)4－32x2＋C25(2x)3－32x22＋C35(2x)2－32x23＋C45(2x)·－32x24＋C55－32x25＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.法二：2x－32x25＝（4x3－3）532x10＝132x10[C05(4x3)5＋C15(4x3)4·(－3)＋…＋C45(4x3)·(－3)4＋C55·(－3)5]＝132x10(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243)＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.[一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．含负号的二项展开式形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．1．写出(1＋2x)4的展开式．解：(1＋2x)4＝C04×14×(2x)0＋C14×13×(2x)1＋C24×12×(2x)2＋C34×11×(2x)3＋C44×10×(2x)4＝1＋8x＋24x2＋32x3＋16x4.2．求x－12x4的展开式．解：法一：x－12x4＝C04()x4－C14()x3·12x＋C24(x)2·12x2－C34x·12x3＋C4412x4＝x2－2x＋32－12x＋116x2.法二：x－12x4＝2x－12x4＝116x2(2x－1)4＝116x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋32－12x＋116x2.[例2] 已知二项式x2＋12x10.(1)求展开式中的第5项；(2)求展开式中的常数项．[思路点拨] (1)直接利用通项公式求解；(2)利用通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r a＝x2，b＝12x，设第r＋1项为常数项，令x的指数等于0即可求出r.[精解详析] (1)x2＋12x10的展开式的第5项为T5＝C410·(x2)6·12x4＝C410·124·　x12·1x4＝1058x10.(2)设第r＋1项为常数项，则T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r·12xr＝C r10·x 20－52r ·12r(r ＝0，1，2，…，10)，令20－52r ＝0，得r ＝8，所以T 9＝C 810·128＝45256，即第9项为常数项，其值为45256. [一点通](1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r nan －rb r表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，通项T r ＋1依赖于r ，公式中的二项式的第一个量a 与第二个量b 的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n .(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r 项、常数项、含某字母的r 次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定T r ＋1中r 的值或取值范围以满足题设的条件．3．(x －2y )6展开式中的第4项为________．解析：由二项展开式的通项得，(x －2y )6展开式中的第4项为C 36x6－3·(－2y )3＝－160x 3y 3.答案：－160x 3y34．二项式x 3＋1x2n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________．解析：二项展开式的通项是T r ＋1＝C r nx3n －3rx －2r＝C r nx3n －5r，令3n －5r ＝0，得n ＝5r3(r ＝0，1，2，…，n )，故当r＝3时，n 有最小值 5.答案：55．求x －124x8的展开式中的有理项．解：x －124x8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r－124xr＝－12r C r8x 16－3r 4(r ＝0，1，2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0，4，8，故共有3个有理项，分别是T 1＝－120C 08x 4＝x 4，T 5＝－124C 48x ＝358x ，T 9＝－128C 88x －2＝1256x2.[例3]已知二项式3x －23x10.(1)求展开式中第4项的二项式系数；(2)求展开式中第4项的系数．[思路点拨]利用二项式的通项直接求第4项的二项式系数及第4项的系数．[精解详析]3x －23x10的二项展开式的通项是T r ＋1＝Cr 10()3x 10－r·－23xr (r ＝0，1，…，10)．(1)第4项的二项式系数为C 310＝120.(2)第4项的系数为C 31037－233＝－77 760.[一点通]要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C rn ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．6．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中，x 2的系数等于________．解析：x 2的系数是四个二项展开式中4个含x 2的系数和，则有－C 02(－1)0＋C 13(－1)1－C 24(－1)2＋C 35(－1)3＝－(C 02＋C 13＋C 24＋C 35)＝－20. 答案：－20 7．在二项式(1－x 2)20的展开式中，第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，则r ＝________．解析：第4r 项与第r ＋2项的二项式系数分别为C4r －120和C r ＋120，由题设得C4r －120＝C r ＋120.由组合数性质得4r －1＝r ＋1或4r －1＝20－(r ＋1)．4r－1＝r＋1没有整数解．由4r－1＝20－(r＋1)，得r＝4. 答案：48．求2x2＋1x9的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数．解：通项公式为T r＋1＝C r9(2x2)9－r·1xr＝29－r·C r9x18－3r，故第3项的二项式系数为C29＝36，第4项的系数为 26C39＝5 376.1．求二项展开式特定项的一般步骤2．求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r项；②求含x r(或x p y q)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．3．二项式系数与项的系数的区别二项式系数C r n与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负．课下能力提升(八)一、填空题1．(a＋2b)10展开式中第3项的二项式系数为________．解析：第3项的二项式系数为C210＝10！8！×2！＝45.答案：452．(四川高考改编)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为________．解析：只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C26＝15. 答案：153．二项式x3－1x25的展开式中的常数项为________．解析：∵T r＋1＝C r5(－1)r x15－5r，令15－5r＝0，∴r＝3.故展开式中的常数项为C35(－1)3＝－10.答案：－104．若(x＋1)n＝x n＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________．解析：a＝C n－3n，b＝C n－2n，又∵a∶b＝3∶1，∴C n－3nC n－2n＝C3nC2n＝31，即n（n－1）（n－2）·２6n（n－1）＝3，解得n＝11.答案：115.x2＋1x9的展开式中有理项共有________项．(用数作答)解析：由T r＋1＝C r9(x2)9－r 1xr＝C r9x18－3r, 依题意需使18－3r为整数，故18－3r≥0，r≤6，即r＝0，1，2，3，4，5，6共7项．答案：7二、解答题6．求()x－2y37的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？解：∵T4＝C37()x 7－3(－2y3)3＝C37x2(－2)3y9＝－280x2y9，∴第四项的二项式系数为C37＝35，第四项的系数为－280.7．若x－ax26展开式的常数项为60，则常数a的值．解：二项式x－ax26展开式的通项公式是T r＋1＝C r6x6－r()－a rx－2r＝C r6x6－3r()－ar.当r＝2时，T r＋1为常数项，即常数项是C26a，根据已知C26a＝60，解得a＝4.8．已知x＋12xn的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x项的系数及二项式系数．解：x＋12xn展开式的通项公式为T r＋1＝C r n·()x n－r12xr＝12rC r n xn－2r2.由题意知，C0n，12C1n，14C2n成等差数列，则C1n＝C0n＋14C2n，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．∴T r＋1＝12rC r8x4－r.令4－r＝1，得r＝3.∴含x项的系数为123C38＝7，二项式系数为C38＝56.第2课时二项式系数的性质及应用(a ＋b )n的展开式的二次式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：问题1：你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．问题2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？提示：2，4，8，16，32，64，…，其系数和为2n.问题3：二项式系数最大值有何规律？提示：n ＝2，4，6时，中间一项最大，n ＝3，5时中间两项最大．二项式系数的性质一般地，(a ＋b )n展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C n n有如下性质：(1)C m n＝C n －m n ；(2)C m n ＋Cm －1n＝Cm n ＋1；(3)当r ＜n －12时，C r n＜Cr ＋1n；当r ＞n －12时，Cr ＋1n＜C r n；(4)C 0n＋C 1n＋C 2n＋…＋C n n＝2n．1．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．2．当n 为偶数时，二项式系数中，以C n2n 最大；当n 为奇数时，二项式系数中以C n －12n和C n ＋12n(两者相等)最大．3．二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等．[例1] 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.[思路点拨] 根据展开式的特点，对x合理赋值，将系数分离出来，通过式子的运算求解．[精解详析] 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1①令x＝－1，则a0－a1＋a2＋…－a7＝37②(1)令x＝0，则a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1 093.(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝37＝2 187.[一点通](1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)一般地，二项式展开式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为12[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为12[f(1)＋f(－1)]．1．设(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________．解析：∵T r＋1＝C r6(2x)6－r(－1)r＝(－1)r26－r C r6x6－r，∴a r＝(－1)r26－r C r6.∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝[2×(－1)－1]6＝36.答案：362．二项式x2－1xn的展开式中各项系数的和为________．解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为12－11n＝0.答案：03．已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)求a1＋a3＋a5.解：(1)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.①(2)令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－243.②∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5)，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝243.(3)a1＋a3＋a5＝①＋②2＝－121.[例2] (1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[思路点拨] 求(a＋bx)n的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A1，A2，…，A n＋1，再设第r＋1项系数最大，由不等式组A r＋1≥A r，A r＋1≥A r＋2，确定r的值．[精解详析] T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n25＝C6n26?n＝8.∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48(2x)4＝1 120x4.设第r＋1项系数最大，则有C r8·2r≥C r－18·2r－1，C r8·2r≥C r＋18·2r＋1，解得5≤r≤6.∴r＝5或r＝6.∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.[一点通](1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得．4．已知(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝________．解析：∵（a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n＋1＝9，∴n＝8.答案：85．在二项式x＋3xn的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为________．解析：令x＝1，得各项系数的和为4n，而各项的二项式系数的和等于2n，根据已知，得方程4n＋2n＝72，解得n＝3.所以二项展开式的通项T r＋1＝C r3()x 3－r3xr＝3r C r3x32－32r，显然当r＝1时，T r＋1是常数项，值为3C13＝9.答案：96．在x 23＋3x25的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项．解：(1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝C25(x 23)3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x23)2(3x2)3＝270x223.(2)设展开式中第r＋1项系数最大，则T r＋1＝C r5x 235－r(3x2)r＝3r C r5x10＋4r3，∴3r C r5≥3r－1C r－15，3r C r5≥3r＋1C r＋15，∴72≤r≤92，∴r＝4.即展开式中第5项系数最大，T5＝C45(x 23)(3x2)4＝405x263.[例3] 求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N*)能被25整除．[思路点拨] 将2n＋2·3n＋5n－4＝4·６n＋5n－4转化为25的倍数即可证明．[精解详析] 原式＝4·６n＋5n－4＝4·(5＋1)n＋5n－4＝4·（C0n·5n＋C1n·5n－1＋C2n·5n－2＋…＋C n n)＋5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋…＋C n－2n·52＋C n－1n·51)＋4C nn＋5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋…＋C n－2n·52)＋20n＋4＋5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋…＋C n－2n·52)＋25n.以上各项均为25的整数倍，故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除．[一点通] 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数．7．求证：5151－1能被7整除．证明：5151－1＝(49＋2)51－1＝C051·4951＋C151·4950·2＋…＋C5051·49·250＋C5151·251－1.易知除C5151·251－1以外各项都能被7整除．又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C017717＋C117·716＋…＋C1617·7＋C1717－1＝7·（C017·716＋C117·715＋…＋C1617)．显然能被7整除，所以5151－1能被7整除．8．求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除．证明：当n＝0时，原式＝0，可被676整除．当n＝1时，原式＝0，也可被676整除．当n≥２时，原式＝27n －26n －1＝(26＋1)n－26n －1 ＝(26n＋C 1n26n －1＋…＋Cn －2n·262＋Cn －1n·26＋1)－26n －1＝26n＋C 1n 26n －1＋…＋Cn －2n·262.每一项都含262这个因数，故可被262＝676整除．综上所述，对一切非负整数n ，33n－26n －1可被676整除．1．用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．2．二项式系数的性质(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第r ＋1项的系数T r ＋1最大，则满足不等式T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2，由不等式组解出r 的值．3．余数及整除问题(1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析．若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生．(2)整除问题整除问题实际上就是求余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路．课下能力提升(九)※精品试卷※一、填空题1．已知x＋12n的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．解析：由题设，得C0n＋14×C2n＝2×12×Ｃ1n，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(不合题意，舍去)，则x＋128的展开式的通项为T r＋1＝C r8x8－r 12r，令r＋1＝4，得r＝3，则第四项为T4＝C38x5123＝7x5.答案：7x52．若3x－1xn的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：令x＝1，2n＝64?n＝6.由T r＋1＝C r6·36－r·x 6－r2·(－1)r·x－r2＝(－1)r C r636－r x3－r，令3－r＝0?r＝3. 所以常数项为－C3633＝－20×27＝－540. 答案：－5403．若x3＋1x2n展开式中只有第6项的系数最大，则n＝________.解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n＝10. 答案：104．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________．解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通项公式为：T r＋1＝C r10210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．所以a8＝C81022(－1)8＝180.答案：1805．若C3n ＋123＝Cn ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝________．解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解，舍去)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1，即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝[3－(－1)]4＝256. 答案：256 二、解答题6．二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，①令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，②将①②两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和．7．求(1－x )8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．解：(1)因为(1－x )8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x )8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T 5＝C 48(－x )4＝70x 4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T 4＝C 38(－x )3＝－56x 3，T 6＝C 58(－x )5＝－56x 5.8．求证：32n ＋2－8n －9能被64整除．证明：∵３2n ＋2－8n －9＝9n ＋1－8n －9＝(1＋8)n＋1－8n－9n＋1－8n－9 ＝C0n＋1＋C1n＋1·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋C n＋1n＋1·8＝1＋(n＋1)·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1－8n－9＝C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1＝82(C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1)，又∵C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除.。