2013年清华附中2012-2013学年高12级数学试卷

北京市海淀区2012—2013学年度第一学期期末试卷高三数学（文） 2013．1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数21i-化简的结果为 A ．1+i B ．-1+i C ．1-i D ．-1-i2．向量a ＝(1，1)，b ＝(2，t )，若a ⊥b ，则实数t 的值为A ．-2B ．-1C ．1D ．23．在等边△ABC 的边BC 上任取一点P ，则23ABP ABC S S ≤△△的概率是 A ．13B ．23C ．23D ．564．点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的p 为24，则输出的n ，S 的值分别为 A ．n ＝4，S ＝30 B ．n ＝4，S ＝45 C ．n ＝5，S ＝30 D ．n ＝5，S ＝456．已知点A （-1，0），B （cos α，sin α），且||AB =AB 的方程为A ．y =y =B ．y x =或y x =C ．y ＝x +1或y ＝-x -1D．y =y =7．已知函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩则下面结论中正确的是A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的值域是[-1，1]C ．()f x 是偶函数D ．()f x的值域是[2-8．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC1B1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是A．[1,2B．[]42C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．tan 225°的值为________．10．双曲线22133x y -=的渐近线方程为________；离心率为________． 11．数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且268a a a +=，则65S S =______． 12．不等式组0,31x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩，表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx -1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围是________．13．三棱锥D －ABC 及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为______．14．定义,0,,0.a b a b a b a a b b ⨯⨯≥⎧⎪⊕=⎨⨯<⎪⎩设函数()ln f x x x =⊕，则1(2)()2f f +=________；若{}n a 是公比大于0的等比数列，且51a =，123()()()f a f a f a +++…781()()f a f a a ++=，则1a =________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =-+，△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1f A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a ＝7，b ＝5，求c 的值．16．（本小题满分13分）某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100输汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，数据统计如下表：（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A 型车的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．17．（本小题满分14分）如图，在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，且E 是BC的中点．（Ⅰ）求证：A 1B ∥平面AEC 1； （Ⅱ）求证：B 1C ⊥平面AEC 1．18．（本小题满分13分） 已知函数211()22f x x =-与函数()ln g x a x =在点（1，0）处有公共的切线，设()()()(0)F x f x mg x m =-≠． （Ⅰ）当a 的值；（Ⅱ）求()F x 在[1，e ]上的最小值．19．（本小题满分14分）已知椭圆M :2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为F （-1，0），左右顶点分别为A ，B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1-S 2|的最大值．20．（本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为（0，+∞），若()f x y x=在（0，+∞）上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”．（Ⅰ）已知2()f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若()f x 是“一阶比增函数”，求证：1x ∀，2(0,)x ∈+∞，1212()()()f x f x f x x +<+；（Ⅲ）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2013f x >有解．北京市海淀区2012—2013学年度第一学期期末试卷高三数学（文）参考答案及评分标准 2013．1说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为21()cos cos 2f x x x x =-+12cos 22x x =- πsin(2)6x =- ………………6分又π()sin(2)16f A A =-=，(0,)A π∈， ………………7分所以ππ7π2(,)666A -∈-，262A ππ-=，3A π= ………………9分（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得到2π492525cos3c c =+-⨯， 所以25240c c --=……………11分解得c ＝-3（舍）或c ＝8 ……………13分所以c ＝816．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由数据的离散程度可以看出，B 型车在本星期内出租天数的方差较大………………3分（Ⅱ）这辆汽车是A 类型车的概率约为3A 333A,B 10313==+出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和这辆汽车是A 类型车的概率为313………………7分（Ⅲ）50辆A 类型车出租的天数的平均数为3343051567754.6250A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==………………9分50辆B 类型车出租的天数的平均数为310410515610754.850B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==………………11分答案一：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B 类型的出租车的利润较大，应该购买B 型车 ………………13分答案二：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以选择A 型车 ………………13分17．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO因为ACC 1A 1为正方形，所以O 为A 1C 中点又E 为CB 中点，所以EO 为△A 1BC 的中位线，所以EO ∥A 1B ………………3分 又EO ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面AEC 1所以A 1B ∥平面AEC 1 ………………6分 （Ⅱ）因为AB ＝AC ，又E 为CB 中点，所以AE ⊥BC ………………8分又因为在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ， 又AE ⊂底面ABC ，所以AE ⊥BB 1，又因为BB 1∩BC ＝B ，所以AE ⊥平面BCC 1B 1，又B 1C ⊂平面BCC 1B 1，所以AE ⊥B 1C ………………10分在矩形BCC 1B 1中，111tan tan CB C EC C ∠=∠= 所以∠CB 1C 1＝∠EC 1C ，所以∠CB 1C 1+∠EC 1B ＝90°，即B 1C ⊥EC 1 ……………12分 又AE ∩EC 1＝E ，所以B 1C ⊥平面BCC 1B 1……………14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为(1)(1)0f g ==，所以（1，0）在函数()f x ，()g x 的图象上又()f x x '=，()ag x x'=，所以(1)1f '=，(1)g a '= 所以a ＝1………………3分（Ⅱ）因为211()ln 22F x x m x =--，其定义域为{|0}x x > 2()m x mF x x x x-'=-=………………5分当m ＜0时，2()0m x mF x x x x-'=-=>，所以()F x 在(0，+∞)上单调递增， 所以()F x 在[1，e ]上最小值为(1)0F =………………7分当m ＞0时，令2()0m x mF x x x x-'=-==，得到120,0x x >= (舍)1≤时，即01m <≤时，()0F x '>对(1，e )恒成立，所以()F x 在[1，e ]上单调递增，其最小值为(1)0F = …………9分e ≥时，即2m e ≥时，()0F x '<对(1，e )成立， 所以()F x 在[1，e ]上单调递减， 其最小值为211()22F e e m =-- ………………11分当1e <<，即21m e <<时，()0F x '<对(1成立，()0F x '>对)e 成立所以()F x 在(1单调递减，在)e 上单调递增其最小值为1111ln 22222mF m m m m =--=--……13分 综上，当1m ≤时，()F x 在[1，e ]上的最小值为(1)0F =当21m e <<时，()F x 在[1，e ]上的最小值为11ln 222mF m m =-- 当2m e ≥时，()F x 在[1，e ]上的最小值为211()22F e e m =--.19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为F (-1，0)为椭圆的焦点，所以c ＝1，又23b =，所以24a =，所以椭圆方程为22143x y +=………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y ＝x +1，和椭圆方程联立得到221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y ，得到27880x x +-=………………5分 所以△＝288，1287x x +=，1287x x =所以1224|||7CD x x =-=……………7分（Ⅲ）当直线l 无斜率时，直线方程为x ＝-1，此时3(1,)2D -，3(1,)2C --，△ABD ，△ABC 面积相等，12||0S S -=………………8分当直线l 斜率存在（显然k ≠0）时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠， 设11(,)C x y ，22(,)D x y和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-= 显然△＞0，方程有根，且2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+………………10分此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k =++=+ ………………12分因为k ≠0，上式1234||||k k =≤==+，（2k =±时等号成立） 所以12||S S -………………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题2()f x ax axy ax a x x+===+在(0,)+∞是增函数， 由一次函数性质知当a ＞0时，y ＝ax+a 在(0,)+∞上是增函数， 所以a ＞0………………3分（Ⅱ）因为()f x 是“一阶比增函数”，即()f x x在(0,)+∞上是增函数， 又12,(0,)x x ∀∈+∞，有112x x x <+，212x x x <+ 所以112112()()f x f x x x x x +<+，212212()()f x f x x x x x +<+ ………………5分所以112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+所以11221212121212()()()()()x f x x x f x x f x f x f x x x x x x +++<+=+++所以1212()()()f x f x f x x +<+ ………………8分 （Ⅲ）设0()0f x =，其中00x >，因为()f x 是“一阶比增函数”，所以当0x x >时，00()()0f x f x x x >= 法一：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m =由（Ⅱ）知(2)2f t m >，同理(4)2(2)4f t f t m >>，(8)2(4)8f t f t m >>所以一定存在*n ∈N ，使得(2)22013n n f t m >>，所以()2013f x >一定有解 ………………13分 法二：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t k t = 因为当x ＞t 时，()()f x f t k x t >=，所以()f x kx >对x ＞t 成立 只要2013x k>，则有()2013f x kx >>， 所以()2013f x >一定有解……………13分。

北京市朝阳区2012～2013学年度高二年级第一学期期末统一考试数学理科试卷 2013．1(考试时间l00分钟 满分l00分)一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，填涂在机读卡上)1．已知命题:,sin 0p x R x ∀∈>，下列说法正确的是A ．:,sin 0p x R x ⌝∀∈>B ．:,sin 0p x R x ⌝∀∈≤．C ．00:,sin 0p x R x ⌝∃∈>D ．00:,sin 0p x R x ⌝∃∈≤2．已知直线l 和不重合的两个平面α，β，且l α⊂，有下面四个命题： ①若l ∥β，则α∥β； ②若α∥β，则l ∥β；③若l ⊥β，则α⊥β； ④若α⊥β，则l ⊥β其中真命题的序号是A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①④3．已知过原点的直线l 与圆C ：22(2)3x y +-=无公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是A ．(B ．(-∞，，+∞)C ．(D ．(-∞，+∞) 4．已知△AOB 的顶点O 在坐标原点，A ，B 两点在抛物线24y x =上，且抛物线焦点F 是△AOB 的垂心(三角形三条高线的交点)，则△AOB 的面积等于A ．2B ．C ．D ．255．空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的表面积为A ．B ．C ．57D ．426．如图，在三棱柱ABC-A 1B l C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AB=AC=AA 1=1．则二面角D —AB 1—B 的余弦值是A ．13B ．12CD 7．已知F 1，F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，若在椭圆上存在一点P ，使∠F 1PF 2=120°，则椭圆离心率的范围是A ．（0，12] B ．[12,1） C ．（0 D ．） 8．在正方体ABCD —A l B 1C 1D 1中，P 是正方体的底面A lB 1C 1D 1 (包括边界)内的一动点(不与A 1重合)，Q 是底面ABCD 内一动点，线段A 1C 与线段PQ 相交且互相平分，则使得四边形A 1QCP 面积最大的点P 有A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把正确答案填在答题卡上)9．命题“若a 和b 都是偶数，则a+b 是偶数”的否命题是 ▲ ，该否命题的真假性是 ▲ ．(填“真”或“假”)10．已知圆C 1的方程为223)(3)9x y -+-=（，圆C 2的圆心在原点，若两圆相交于A ，B 两点，线段AB 中点D 的坐标为(2，2)，则直线AB 的方程为 ▲ ．11．一个四棱锥的底面为矩形，其正视图和俯视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ▲ ，侧视图的面积为 ▲ ．12．已知双曲线C ：2222-1x y a b= (a>0，b>0)的一条渐近线方程为12y x =，则此双曲线的离心率e= ▲ ；若双曲线C 过点l)，则双曲线c 的标准方程是 ▲ ．13．已知O 为坐标原点，圆C 的方程为22(2)(2)4x y -+-=，点A(2，0)，点B 在圆C 上运动，若动点D 满足OD OA OB =+，则点D 的轨迹方程是▲ ；||AD 的取值范围是▲．14．已知正六边形ABCDEF 如图，给出下列四个命题：①点C 在以A ，B 为焦点，且经过点D 的椭圆上；②若以A ，C 为焦点，经过点E 的椭圆的离心率为e ，则e=12； ③若以A ，B 为焦点，分别过点C ，D ，E 的椭圆的离心率依次为e 1，e 2，e 3，则e l <e 2=e 3；④若以A ，D 为焦点，经过点B ，C ，E ，F 的椭圆的离心率为e 1，以A ，D 为焦点，经过点B ，C ，E ，F 的双曲线的离心率为e 2，则e 1e 2=2． 其中所有真命题的序号是 ▲ ．三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上)15．(本题满分l0分)已知圆E 经过定点A(-2，0)，B(8，0)，C(0，4)，直线l 平行于AC ，且与圆E 相交于M ，N 两点．(I)求圆E 的方程；(II)若|MN|=|BC|，求直线l 的方程．16．(本题满分l0分)如图，DC ⊥平面ABC ，EA//DC ，AB=AC=AE=12DC ，M 为BD 的中点。

北京市清华附中初12级2014年12月月考数学试卷初三月考试卷 数 学（清华附中初12级）2014年12月一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1.一个袋中只装有3个红球，从中随机摸出一个是红球（ ） A 概率为13B 是不可能事件C 是必然事件D 是随机事件 2.若反比例函数1k y x-=的图象位于第一，三象限，则（ ） A 1k > B 1k < C 1≥k D 1≤k3.已知2x =是方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ）A 1B 3C 0D 3-4.将抛物线22y x =（ ）可得到抛物线22(3)4y x =++. A 先向左平移3个单位，再向上平移4个单位 B 先向左平移3个单位，再向下平移4个单位 C 先向右平移3个单位，再向上平移4个单位 D 先向右平移3个单位，再向下平移4个单位5.如果两个相似三角形的周长比是1:2，那么它们的面积比是（ ） A 1:2 B 1:4 C 1:2 D 2:16.二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则点(a , c )在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限7.如图是三个反比例函数123123,,k k ky y y x x x===在x 轴上方的图象，由此得到（ ）O xyA 123k k k >>B 213k k k >>C 321k k k >>D 312k k k >>8．如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）、（3）所示.给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价； ②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本． 其中所有正确说法的序号是（ ）A ①③B ②③C ①④D ②④ 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.已知关于x 的方程220x x a -+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_________．10.已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为 ．11.如图是一次函数1y kx b =+和反比例函数2my x=的图象，结合图象写出：当12y y >时，x 的取值范围是 ．12. 对于任意的实数,p q ，定义运算*“”：qp q p q*=+（p q ≠-）. 已知1a x =，211a a =*，321a a =*，431a a =*，…，依此类推，可以得到一列数1234,,,a a a a ，…….当2x =时，3a = _______，2014a = ________；xyOA-111经小丁探究发现，当x 取某些特定的值，例如当1x =-时，无法计算出4a 的值，这样的x 的取值还可能为__________.（请写出所有满足条件的值）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.解方程：2240x x --=14.如图，在直角三角形ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，D 是垂足，求证：△ACD ∽△ABC ．15.如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，OC ⊥AB 于C ，求OC 的长．16. 如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点．以O 为位似中心，在网络图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC 位似，且 2''AB A B =．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中， 一次函数2y x =-的图象与反比例函数ky x=的图象的一个交点为()1,A n -． （1）求反比例函数ky x=的解析式；（2）若P 是坐标轴上一点，且满足P A =OA ，直接写出点P 的坐标．18.已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=有两个整数根，求正整数k 的值．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.已知二次函数()2240y ax ax a=+-≠的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12，求此二次函数的解析式．DCA BCO A B20.近视眼镜的度数与镜片焦距成反比．小丁到眼镜店调查了一些数据如下表：眼镜度数y （度） 400 625 800 镜片焦距x （cm ）2516 12.5（1）求眼镜度数y （度）与镜片焦距x （cm ）之间的函数关系式； （2）若小丁所戴眼镜度数为500度，求该镜片的焦距． 21．如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，交⊙O 于点P ，点B 是⊙O 上一点，连接BP 并延长，交直线l 于点C ，使得 AB=AC .（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若PC =25，OA =5，求⊙O 的半径和线段PB 的长．22. （1）在图1中，已知线段AB ，CD ，它们的中点分别为E ，F ． ①若A ()1,0-，B ()3,0，则E 点坐标为 ； ②若C()2,2-，D ()2,1--，则F 点坐标为 ；（2）在图2中，无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A （a ，b ），B （c ，d ），AB 中点为D （x ，y ）时，请直接写出x 、y 的值：x = ，y = ；（用含a 、b 、c 、d 的式子表示）（3）如图3，一次函数2y x =-与反比例函数3y x=的图象交于A 、B 两点，若以A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出顶点P 的坐标： ．lPCBAO五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知直线l 1:12y x =+与抛物线22(0)y ax x c a =-+>的一个公共点A 恰好在x轴上，点(4,)B m 在抛物线上．（Ⅰ）用含a 的代数式表示c ．（Ⅱ）抛物线在A ，B 之间的部分（不包含点A ，B ）记为图形G ，请结合函数图象解答：若图形G 在直线l 下方，求a 的取值范围．24. 在直角三角形ABC 中，∠C =90°，CA =CB =1，点P 是边AC 一动点，点Q 在边CB 的延长线上，且AP =BQ ，连接PQ 交线段AB 于点O .(Ⅰ) 如图1，小丁过点P 作PH ∥CB 交线段AB 于H ，发现△OPH ≌△OQB ，请证明小丁发现的结论．(Ⅱ)如图2，过点O 作OM ，ON 分别垂直于AC ，BC 于点M ，N ，若四边形OMCN 的面积为29，求线段CP 的长度． (Ⅲ)如图3，点P 关于直线AB 的对称点为P’，连接OP ’，CP’，试说明'45OP C ∠=︒． PCNM PCPC yx O25. 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，定义“外延矩形”：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴垂直，且点A ，B ，C 在该矩形的内部或边界上.则该矩形称为A ，B ，C 的“外延矩形”．我们把点A ，B ，C 的所有的“外延矩形”中，面积最小的称为点A ，B ，C 的“最佳外延矩形”． （Ⅰ）已知点(2,0)A -，(4,3)B ，(0,)C t ．①若2t =，则点A ，B ，C 的“最佳外延矩形”的面积为_______；②若点A ，B ，C 的“最佳外延矩形”的面积为24，请直接写出t 的值．（Ⅱ）已知(0,8)M ，(6,0)N ，点(,)P x y 是抛物线243y x x =-+上一点，求点M ，N ，P 的“最佳外延矩形”面积的最小值，以及此时点P 的横坐标x 的取值范围． （Ⅲ）已知(1,1)D ，点(),E m n 是函数4y x=的图象上一点，求点O ，D ，E 的“最佳外延矩形”面积的最小值，以及此时点E 的横坐标m 的取值范围．参考答案： 一、选择题：1.C2.C3.D4.A5.B6.B7.C8.B二、填空题：9.1a < 10.3π 11.20x -<<或3x > 12.25；24027；12-和13- 13.15x =±14.略15．3OC = 16.17. （1）2y x=-； （2）P （0，4）或P （2-，0）或P （0，0）18.1k =或2k = 19.2142y x x =+-（()()1422y x x =+-或()219122y x =+-也对）20.21. （1）略（2）半径为3，655 PB22.23.（1）44c a =-- （2）504≤a <24． （1）略 （2）23CP =（3）连CO ，证明△OCP’为等腰直角三角形即可25.（1）①18 ②4t =或1t =-（2）面积为48，01≤≤x 或35≤≤x （3）面积为4，14≤≤m。

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B = （ ） （A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）(,1)(0,)-∞-+∞2．在复平面内，复数5i 2i-的对应点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ） （A ）416(,)55（B ）4(,16)5（C ）(1,16) （D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ） （A ）221（B ）463（C ）121（D ）263第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k =_____．10．如图，R t △A B C 中，90ACB ︒∠=，3A C =，4B C =．以A C 为直径的圆交AB 于点D ，则 BD = ；C D =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______．12．已知椭圆22142xy+=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12P F F 的面积是______．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2xf x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos 2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2B C =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ； （Ⅱ）求证：平面P A D ⊥平面A B C D ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]元件A 8 1240 32 8 元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数2()x f x x b=+，其中b ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线A F ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线M N 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()nniji j l A r A cA ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6；12． 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③． 注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）21cos 2B B =-，所以 2cos 2sin B B B =． ………………3分因为 0B <<π， 所以 sin 0B >，从而 tan B = (5)分所以 π3B =． (6)分解法二： 依题意得2cos 21B B +=， 所以 2sin(2)16B π+=， 即 1sin(2)62B π+=． (3)分因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=． (5)分所以 π3B =． (6)分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得sin sin A CB CB A=， (7)分所以 sin sin B C B A C A⋅==． (8)分因为 512C A B π=π--=， (9)分所以 5sin sinsin()12464C πππ==+=， (11)分所以 △ABC 的面积13sin 22S AC BC C +=⋅=． (13)分解法二：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得sin sin A CB CB A=， (7)分所以 sin sin B C B A C A⋅==． (8)分根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， (9)分化简为 2220AB AB --=，解得 1AB =+ (11)分所以 △ABC 的面积1sin 22S AB BC B =⋅=………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． ………………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，所以⊥CD 平面PAD ． (7)分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． (8)分（Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线D z AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以D z ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． (9)分设4A B =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ． 所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.E A A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． (11)分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． (12)分所以 |||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． (13)分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． (14)分解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ．由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---． 所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.E A A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． (11)分易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． (12)分所以|||cos,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． (13)分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． (14)分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． (1)分元件B 为正品的概率约为4029631004++=． (2)分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=；411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． (7)分所以，随机变量X 的分布列为:X 90 45 30 15- P3532015120 (8)分3311904530(15)66520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=． (9)分（ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥．所以 4n =，或5n =． ………………11分设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ，则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=．故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分② 当0b >时，222()()b xf x x b -'=+． (3)分令()0f x '=，得1x =，2x = ()f x 和()f x '的情况如下：)故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(． (5)分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b xf x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间． (7)分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈． (9)分设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =． (11)分则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤．所以，b 的取值范围是1(0,]4． (13)分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． (4)分从而128y y =-． (5)分（Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． (7)分设直线A M 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ，整理得 2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分 同理可得 244y y =-． ………………11分 故112121223412444k y y y y y y k y y y y ++===--+-+． (13)分由（Ⅰ）得122k k =，为定值． (14)分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．1- 1- 1- 1- 1 1 1 1 1 1 1 1 1111………………3分（Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤，所以1()r A ，2()r A ， ，9()r A ，1()c A ，2()c A ， ，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ． 一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ①另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅ 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅ 也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． (8)分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅ ； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅ ．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ． ③ ………………10分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤．下面考虑1()r A ，2()r A ， ，()n r A ，1()c A ，2()c A ， ，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -，所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分 对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n = ，显然0()2l A n =． 将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ． 即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤ ，其余1ij a =． 所以 12()()()1k r A r A r A ====- ，12()()()1k c A c A c A ====- ． 所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -= ． (13)分。

2012—2013学年度学期末考试高二理科数学试卷姓名： 分数：一、选择题：（12×5分＝60分）1、若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，求点P 落在圆x 2＋y 2＝16外部的概率是( ). A ．95 B ．32C ．97D ．982、如果直线x ＋2y －1＝0和y ＝kx 互相平行，则实数k 的值为( )． A 、2B 、21C 、－2D 、－213、一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为( )．A 、1B 、2C 、3D 、44、同时掷两枚骰子,所得点数之和为5的概率为( ).A 1/4B 1/9C 1/6D 1/125、某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为 5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生（ ）A 、100人B 、60人C 、80人D 、20人 6、直线y ＝2x ＋1关于y 轴对称的直线方程为( )．A 、y ＝－2x ＋1B 、y ＝2x －1C 、y ＝－2x －1D 、y ＝－x －17、已知两条相交直线a ，b ，a ∥平面 α，则b 与 α 的位置关系是( )．A 、b ⊂平面αB 、b ⊥平面αC 、b ∥平面αD 、b 与平面α相交，或b ∥平面α开始a=3n=1输出an=n+1n>5a=0.5a+0.58、在空间中，a ，b 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出a ∥b 的是( )．A 、a ⊂α，b ⊂β，α∥βB 、a ∥α，b ⊂βC 、a ⊥α，b ⊥αD 、a ⊥α，b ⊂α9、圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系是( )．A 、外切B 、内切C 、外离D 、内含10、圆(x －1)2＋(y －1)2＝2被x 轴截得的弦长等于( )．A 、1B 、23C 、2D 、311、四面体S ABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，,E F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）A 、090B 、060C 、045D 、030 12、某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的最后一个 数是( ).A 、1617 B 、89C 、45D 、23二、填空题（每题4分，共16分）。

清华附中高三2012年10月月考练习数学 （理科）一、选择题 1．A 2．D 3．C 4．C 5．A 6．C 7．D 8．B二、填空题9．]22,22[- ，10．2 ， 11．3 ， 12．2 ，13. 4，14．5；2013三、解答题15．(1)cos ∠BOC ＝cos(60°＋∠AOC )＝12×35－32×45＝3－4310. (2)y ＝3＋AC ＋BD ＝3＋2sin x 2＋2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 2 ＝3＋2sin x 2＋3cos x 2－sin x 2＝3＋sin x 2＋3cos x 2＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3. ∵0＜x ＜23π，∴x 2＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3∈⎝⎛⎦⎤32，1. ∴当x ＝π3时，y max ＝5. 16. （Ⅰ）cos 8bc θ⋅= 2222o s 4b c b c θ+-= 即2232b c +=又222b c bc +≥ 所以16bc ≤ ，即bc 的最大值为16即816cos θ≤ 所以 1cos 2θ≥ ， 又0＜θ＜π 所以0＜θ3π≤ ……6分 （Ⅱ）()3[1cos(2)]1cos 2332cos 212f πθθθθθ=-+++-=++ 2sin(2)16πθ=++ ………………9分 因0＜θ3π≤，所以6π＜5266ππθ+≤， 1sin(2)126πθ≤+≤ ………10分 当5266ππθ+= 即3πθ=时，min 1()2122f θ=⨯+= ……………11分 当262ππθ+= 即6πθ=时，max ()2113f θ=⨯+= ………12分17．如图，在直角三角形ABC 中，∠B ＝30°，AC ＝a ，设有动点P 、Q 同时从A 点出发，沿三角形周界运动，若点P 沿A →B →C 方向运动，点Q 沿A →C →B 方向运动，到相遇为止．已知点Q 运动的速度为点P 运动速度的3倍，设AP ＝x ，AP ，AQ 与PQ 所围成的图形的面积为y .(I)求P 、Q 相遇时x 的值；(II)试求以x 为自变量的函数y 的解析式．[解答] (1)由题意可得BC ＝2a ，AB ＝3a ，∴AC ＋BC ＝3a <33a ＝3AB ，∴点P 与点Q 只能在AB 上相遇，相遇时有x ＋3x ＝a ＋2a ＋3a ，解得x ＝3＋34a . ∴当x ＝3＋34a 时，点P 与点Q 在AB 上相遇． (2)由(1)可得，x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3＋34a . ①当点Q 在AC 上，即0≤x ≤a 3时，有AP ＝x ，AQ ＝3x . 此时除点P 与点A 重合即x ＝0外，y ＝S △APQ ＝32x 2， 显然当x ＝0时，函数关系也成立．∴当0≤x ≤a 3时，y ＝32x 2. ②当点Q 在BC 上，即a 3<x <a 时，y ＝S △APQ . 过点Q 作QH ⊥AB 于H (如图所示)，由Rt △BHQ ∽Rt △BAC 可得QH ＝32(a －x )， ∴y ＝34(a －x )x . ③当点Q 在AB 上，即a ≤x ≤3＋34a 时，y ＝0. 综上①②③可得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧32x 2⎝⎛⎭⎫0≤x ≤a 3，34(a －x )x ⎝⎛⎭⎫a 3<x <a ，0⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≤x ≤3＋34a .18.(1)证明：A ＝0时，a n ＋S n ＝B ，当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋S n ＝B ，a n －1＋S n －1＝B ，得a n －a n －1＋(S n －S n －1)＝0， 即a n a n －1＝12，所以，数列{a n }是等比数列． (2)设数列的公差为d ，分别令n ＝1,2,3得： ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋S 1＝A ＋B ，a 2＋S 2＝2A ＋B ，a 3＋S 3＝3A ＋B ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝A ＋B ，2d ＋3＝2A ＋B ，5d ＋4＝3A ＋B ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝1，B ＝1，d ＝0，即等差数列{a n }是常数列，所以S n ＝n ；又1S p ＋1S q ＝1S 11，则1p ＋1q ＝111， pq －11p －11q ＝0，(p －11)(q －11)＝112，因p <q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ p －11＝1，q －11＝112，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝132.19. (I)定义域为1x >- 单增区间为1(1,1)aa e ---;减区间为1(1,)aa e --+∞(Ⅱ) ()1ln 21,02t ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭20. Ⅰ）A ：1，2，6；B ：5，4，39|36||24||15|=),(=++B A d ---（Ⅱ）先证明：对于n n 2),12(,,3,2,1- 任何一种分组方式，),(B A 的一组对应元素k a 和k b 中一定有一个数大于n ，而另一个数不大于n ；考虑A ：n k a a a a a <<<<<<321 和B ：n k b b b b b >>>>>>321 ，假设k a 和k b 均大于n ，则由n k a a n <<< 及n b b b b k >>>>>321 知共有1+=+)1(n k k n --个数大于n ，这与题设矛盾；假设k a 和k b 均不大于n ,即n a k ≤且n b k ≤,则由n a a a a k ≤<<<<321 及n n k b b b n >>>≥1- 可知，不超过n 的数共有1+=)1(+n k n k --个，这与题设矛盾.由此可知在每组k a 和k b 中必有一个大于n 而另一个不大于n ,不妨设{}{}),,2,1=(≤,min =,>,max =n k n b a d n b a c k k k k k k ,则)++++++=),(2121n n d d d c c c B A d (- =2(-n n n n n =)++2+12++)2+(+)1+(。

清华附中2012-2013学年初一第二学期期中试卷数学（清华附中初12级） 2013.4一、选择题（每小题3分，共30分）1．164-的立方根是（）A ．－14B ．－18C ．14D ．14±2．下列语句中，不是命题的是（）A ．对顶角相等B ．直角的补角是直角C ．过直线l 外一点A 作直线AB ⊥l 于点BD ．两个锐角的和是钝角3．在实数53，3π， 1212212221.0，3.1415926，34，81-中，无理数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 4．已知点P 位于第二象限，且距离x 轴4个单位长度，距离y 轴3个单位长度，则点P 的坐标是（）A ．（-3，4）B ．（3，-4）C ．（-4，3）D ．（4，-3） 5．若2a 的算术平方根为a -，则a 的取值范围是（）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤ 6．点)3,(+x x P 一定不在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．关于y x ,的二元一次方程1832=+y x 的正整数解的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知a b c <<<0，则下列不等式中一定正确的是（）A ．ac ab -<-B ．c a b +<C ．2a bc <D ．2b bc < 9．若1-=-b a ，21=-c a ，则8522)(3++--c b c b 的值是（） A ．41B ．83C ．1D ．－110．已知b a ,为常数，若0>+b ax 的解集为32>x ，则0<-a bx 的解集是（） A ．23>x B ．23<x C ．23->x D ．23-<x二、填空题（每小题3分，共18分）11．把点)1,1(P 向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为. 12．若式子332x x -++有意义，则x 的取值范围是.13．若方程6=+ny mx 的两个解为⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1,2,1,1y x y x ，则=n m . 14．若关于x y ，的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+1293y x y ax 无解，则=a .15．已知满足条件⎩⎨⎧-=-+=--1212z y x z y x 的x 和y 都是正数，则z 的取值范围是.16．如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2013次，点P 依次落在点2013321,,,P P P P 的位置，记),(i i i y x P ，2013,3,2,1 =i ，则2013P 的横坐标201x =________；如果1+=n n x x ，则=+2n x (请用含有n 的式子表示). 三、解答题（共52分）17．（4分）计算：23218-1625⎪⎭⎫⎝⎛-+.18．（4分）解方程组⎩⎨⎧-=-=+1547123y x y x .19．（5分）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->+x x x x 237121)1(315，并把它的解集在数轴上表示出来．20．（5分）如图，CD 是∠ACB 的平分线，∠EDC =25º，∠DCE =25º，∠B =70º．（1）试证明：DE ∥BC ； （2）求∠BDC 的度数．21．（5分）已知在四边形ABCD 中，A (1，0)，B (4，0)，C (5，3)，D (0，4)，请EDC B A画出四边形ABCD ，并求四边形ABCD 的面积． 22．（5分）已知正整数x 满足x x +<52，整数y 是x 的算术平方根，且x y <，求代数式20132013)3()3(y x ---的值． 23．（6分）为了支援地震灾区，某市要将一批救灾物资运往灾区，运输公司准备使用甲、乙两种货车分三次完成此项任务，如果每辆车运的物资都正好达（1（2）已知第三次使用了3辆甲种货车和4辆乙种货车刚好运完这批物资，问：第三次的物资共有多少吨？24．（6分）阅读材料：解方程组104()5x y x y y --=⎧⎨--=⎩①②时，可由①得1x y -=③，然后再将③代入②得415y ⨯-=，求得1y =-，从而进一步求得01x y =⎧⎨=-⎩．这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解下列方程组：（1）⎩⎨⎧+=-=-12432x y x y x ；（2）⎩⎨⎧=+-=-6)43)(3(326y x y x y x ．25．（6分）已知四个互不相等的实数从小到大依次为d c b a ,,,，且c d a b -<-，它们两两之和分别是37,39,44,48,53,55． （1）填空：=+b a ____，=+d c ____； （2）求d c b a ,,,的值．26．（6分）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”、“<”或“=”，并完成后面的问题.432_____4322⨯⨯+，)5(42_____)5(422-⨯⨯-+，)6()4(2_____)6()4(22-⨯-⨯-+-，772_____7722⨯⨯+，…… 试用含有b a ,的式子表示上述规律为：____________；（2）用（1）中的结论，解决下面的问题：已知实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且422=+-b ab a .①求ab 的取值范围；②令22b ab a k ++=，求k 的取值范围. 附加题（每小题4分，共20分）1．已知2ππ+--+-+=b a b a c ，则=+⋅)(b a c ____________． 2．不论m 取什么值，等式051)32()12(=-+-++m y m x m 都成立，则=x ，=y ．3．写出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--5111y x y x 的所有解：____________．4．阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：. 小明的方法：∵<3k =+（01k <<），∴22(3)k =+， ∴21396k k =++，∴1396k ≈+，解得46k ≈43 3.676≈+≈. （上述方法中使用了完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，下面可参考使用） 问题：（1）请你依照小明的方法，估算≈37__________（结果保留两位小数）； （2）请结合上述具体实例，的公式：已知非负整数a 、b 、m ，若1a a <+，且2m a b =+，≈__________(用含a 、b 的代数式表示).5.设a ,b ,c ,d 均为整数，且关于x 的四个方程 (a -2b )x =1, (b -3c )x =2, (c -4d )x =3，x +100=d 的解都是正数，则a 的最小值为.初一第二学期期中考试数学答案及评分标准（清华附中初12级） 2013.4三、解答题（共52分）17．（4分）计算：23218-1625⎪⎭⎫⎝⎛-+.解：原式=41)2(45--+…………………………………………………….3分1-=.……………………………………………………………………4分18．（4分）解方程组⎩⎨⎧-=-=+1547123y x y x .解：由①得：246=+y x ③，②+③得：1313-=x ，所以1-=x ，………………………………...2分 把1-=x 代入①，得123=+-y ，解得：2=y ，……………….....3分所以原方程组的解为⎩⎨⎧=-=21y x .………………………………………..4分（其它方法可酌情给分）19．（5分）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->+x x x x 237121)1(315，并把它的解集在数轴上表示出来．解：由①得：2->x ，……………………………………………………..1分由②得：4≤x ，……………………………………………………….2分 所以原不等式组的解集为：42≤<-x ．……………..……………..4分20．（5分） 解：（1）∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠DCB =∠DCE =25º…………………….…..1分 又∵∠EDC =25º，∴∠EDC =∠DCB …….…..2分 ∴DE ∥BC ；…………………………………...3分 （2）由（1）可知：DE ∥BC ， ∴∠BDE =180º-∠B =180º-70º=110º，………...4分 ∴∠BDC =∠BDE -∠EDC =110º-25º=85º．….5分 21．（5分）解：画图（略）………………………………………………………….….1分 过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，则E （5，0）， 所以=ABCD S 四边边BCE O AD O D CE S S S ΔΔ形--梯CE BE OD OA OE OD CE ⋅-⋅-⋅+=2121)(21 312141215)43(21⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯= 14=……………………………………………………………………….5分 （中间步骤或其它方法可酌情给分） 22．（5分）解：由x x +<52得5<x ，………………………………………….……...1分又∵x 为正整数，∴x 可能取1，2，3，4，…………………….…..2分 ∵整数y 是x 的算术平方根，且x y <，∴2,4==y x ，…………..4分 ∴20132013)3()3(y x ---=20132013)23()43(---=211-=--….……..5分 23．（6分） 解：（1）设甲、乙两种货车的最大运载量分别为x ,y 吨，则………..….1分⎩⎨⎧=+=+30561432y x y x ，…………………………………………………...3分 解得⎩⎨⎧==35.2y x ．…………………………………………………....4分（2）第三次的物资共有5.19345.2343=⨯+⨯=+y x 吨．………….5分 答：甲、乙两种货车的最大运载量分别为2.5吨和3吨，第三次的物资共有19.5吨．………………………………………………………………….6分24．（6分）（1）⎩⎨⎧+=-=-12432x y x y x ；解：由①得：624=-y x ③，…………………………………….….…...1分把③代入②得：16+=x ，∴5=x ，……………………….………2分 把5=x 代入①得：310=-y ，∴7=y ，所以原方程组的解为⎩⎨⎧==75y x .………………………………….……...3分（2）⎩⎨⎧=+-=-6)43)(3(326y x y x y x ．解：由①得：233=-y x ③，………………………………………………4分把③代入②得：6)43(23=+y x ，∴443=+y x ，………………….5分再解方程组⎩⎨⎧=+=-443326y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2132y x ，所以原方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2132y x ...6分25．（6分） 解：（1）=+b a 37 ，=+d c 55 ；………………………..…………...2分 （2）由题意d c b a <<<，所以d c d b c b c a b a +<+<+<+<+， 且d c d b d a c a b a +<+<+<+<+ 又∵c d a b -<-，∴d a c b +<+，∴d c d b d a c b c a b a +<+<+<+<+<+∴55,53,48,44,39,37=+=+=+=+=+=+d c d b d a c b c a b a ，…….4分 可解得：32,23,21,16====d c b a .………………………………….….6分 26．（6分） 解：（1）>，>，>，=，……………………………………………............1分规律为：ab b a 222≥+；…………………………………………....2分 （2）①由422=+-b ab a 得422+=+ab b a ； ∵ab b a 222≥+，∴ab ab 24≥+， ∴4≤ab （当2==b a 时等号成立），………………..........................3分 又∵0,0≥≥b a ，∴0≥ab （当2,0==b a 或0,2==b a 时等号成立），∴40≤≤ab ………………………………………………………….…4分 ②424)(2222+=++=++=++=ab ab ab ab b a b ab a k ，……….5分 ∵40≤≤ab ，∴12424≤+≤ab ，∴k 的取值范围为124≤≤k .………………………………………...6分（其它方法可酌情给分）附加题（每小题4分，共20分） 1．π2．2．1=x ，1-=y ．3．⎩⎨⎧=-=42y x ，⎩⎨⎧==22y x ．4．（1）≈37 6.08；（2aba 2+. 5. 2433.。

上海交通大学附属中学2012-2013学年度第二学期高二数学期终试卷本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 若复数3a ii+-（R a ∈）是纯虚数，则a = . 【答案】31 2. 7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有 种不同的排法。

【答案】2403. 在5(32)x y -的展开式中，若各项的系数和为a ，各项的二项式系数和为b ，则a b += ． 【答案】334.若在nxx )1(2-展开式中，x 的一次项是第六项，则n = 。

【答案】85. 从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 。

【答案】216解析:首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有14C 种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。

则共有11234333216C C C P =6. 从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为 ．（结果用最简分数表示） 【答案】5117. 若复数z 满足61()31i z i i-+-+≤（i 为虚数单位），则z 在复平面内所对应的图形的面积为 . 【答案】3π8. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球面积的比为______. 【答案】3:29. 已知1321===z z z，则122331123z z z z z z z z z ++=++ 。

【答案】110 在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是 ．（结果用最简分数表示） 【答案】1311. 不等式31416151----+<+n n n n C C C C 的解集为 。

北京师大附中2012－2013学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 共150分第I 卷（模块卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知过点A （－2，m ）和B （－8,4）的直线与直线01-2=+y x 平行，则m 的值为（ ）A. 0B. －8C. 2D. 10 2. 圆4)2(22=++y x 与圆91)()2(22=-+-y x 的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切D. 相离3. 关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是（ ） A. 若M b M a //,//，则b a // B. 若a b M a ⊥,//，则M b ⊥C. 若,,a M b M ⊂⊂且,l a l b ⊥⊥，则l M ⊥D. 若N a M a //,⊥，则M N ⊥4. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A.122ππ+ B. 144ππ+ C. 12ππ+ D. 142ππ+ 5. 若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A. []3,1--B. []1,3-C. []3,1-D. ),1[]3,(+∞--∞Y 6. 如图，在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ）A. BC//平面PDFB. DF ⊥平面PAEC. 平面PDF ⊥平面ABCD. 平面PAE ⊥平面ABC7. 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于A.46B. 410C. 22D. 23 8. 如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ）A. 点H 是△A 1BD 的垂心B. AH 垂直平面CB 1D 1C. AH 的延长线经过点C 1D. 直线AH 和BB 1所成角为45°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京西城区(北区) 2012-2013学年度第一学期学业测试高二数学（理科）(录入byiC ) 2013.01试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为且倾斜角为的直线方程为( )1-34πA ．B ．C ．D ． 10x y ++=10x y +-=10x y -+=10x y --=2．已知向量，且，那么实数等于( ) (1,2,1),(3,,)x y =-=a b a b A x y +A ．3B ．C ．9D ．3-9-3．已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，则球的表面积是( )A ．B ．C ．D ．24π12π8π6π4．若椭圆的离心率为，则实数m 等于( ) 221(0)4x y m m +=>12A ．3B ．1或3C ．3或D ．1或1631635．已知直线和两个平面，给出下列两个命题： a ,αβ命题p ：若，，则； a αA a β⊥αβ⊥命题q ：若，，则； a αA a βA αβA 那么下列判断正确的是( )A ．p 为假B ．为假C ．为真D ．为真q ⌝p q ∧p q ∨6．设，则“”是“且”的( )R ,x y ∈40x y +-<0x <0y <A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．即不充分也不必要条件D ．充分必要条件7．设点为双曲线C ：的左、右焦点，P 为C 为一点，若△的面积为6，则12,F F 2213x y -=12PF F 12PF PF ⋅ 的值是( ) A ．B ．3C ．D ．93±9±8．已知矩形ABCD ，，，将△ABD 沿矩形对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，1AB =BC x =则()A ．，都存在某个位置，使得 (0,2)x ∀∈AB CD ⊥B ．，都不存在某个位置，使得 (0,2)x ∀∈AB CD ⊥C ．，都存在某个位置，使得1x ∀>AB CD ⊥D ．，都不存在某个位置，使得1x ∀>AB CD ⊥二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．命题“”的否定是_____________________.2R,0x x ∀∈>10．设，若直线与直线垂直，则实数_______． R ,a b ∈0ax y b +-=310x y -+=a =11．抛物线的焦点坐标是__________.24x y =12．下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体的表面积是__________.正视图左视图俯视图D 1C 1B 1A 1DC BA第12题图 第13题图13．如图，在长方体中，设，1111ABCD A B C D -11,2AD AA AB ===则__________，__________.11||CC BD =- 11CC CA ⋅=14．在直角坐标系xOy 中，设P 为两动圆 222222(2)(2),(2)(1)y x y r x r r +++=+-=>的一个交点，记动点P 的轨迹为C ．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称； ③设点，则有．(,)P x y |||2|y x <其中，所有正确的结论序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤． 15．（本小题13分）如图，在正方体中，设．M ，N 分别是，的中点． 1111ABCD A B C D -12AA =11C D 1CC （1）求异面直线与所成角的其余弦值； 1A N MC （2）设P 为线段AD 上任意一点，求证：．MC PN ⊥D 1C 1B 1A 1N MP DCBA16．（本小题13分）已知圆C 经过点A （1，3），B （5，1），且圆心C 在直线上． 10x y -+=（1）求圆C 的方程；（2）设直线l 经过点（0，3），且l 与圆C 相切，求直线l 的方程． 17．（本小题13分）如图，在直三棱柱中，，，M 为AB 的中点． 111ABC A B C -AC BC ⊥1AC BC CC ==（1）求证：平面；1BC A 1MA C （2）求直线与平面所成角的大小．1BC 11AA B B18．（本小题13分）已知椭圆：，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．1C 2214x y +=2C 1C 1C （1）求椭圆的方程；2C （2）设O 为坐标原点，过O 的直线l 与相交于A ，B 两点，且l 与相交于C ，D 两点．若1C 2C ，求直线l 的方程．||2||CD AB =C 1B 1A 1MCBA。