2020版高三新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(文)专题强化训练：28基本初等函数、函数与方程

专题强化训练(二十一)一、选择题1．(2019·广东惠州一调)抛物线x ＝8y 2的准线方程为( ) A ．y ＝12 B ．y ＝－2 C ．x ＝－132D ．x ＝18[解析] 将x ＝8y 2化为标准形式为y 2＝18x ，所以2p ＝18，p ＝116，开口向右，所以抛物线的准线方程为x ＝－132.[答案] C2．(2019·河南南阳一中1月月考)点P 是椭圆x 29＋y 25＝1上的点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，则△PF 1F 2的周长是( )A ．12B ．10C ．8D ．6[解析] 由椭圆方程知a ＝3，c ＝a 2－b 2＝2.由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以△PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6＋4＝10，故选B ．[答案] B3．(2019·豫北五校联考)在平面直角坐标系中，已知双曲线C 与双曲线x 2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P (－2，3)，则双曲线C 的焦距为( )A ． 3B ．2 3C ．3 3D ．4 3[解析] 依题意，设双曲线C 的方程为x 2－y23＝λ(λ≠0)，则由双曲线C 过点P (－2，3)得(－2)2－(3)23＝λ，λ＝3.因此，双曲线C 的方程为x 2－y 23＝3，即x 23－y29＝1，双曲线C 的焦距为23＋9＝43，故选D ．[答案] D4．(2019·郑州一测)椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．1633B ．3233C ．16 3D ．32 3[解析] 解法一：由椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2知，|F 1F 2|＝2c ＝6，在△F 1PF 2中，不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋n ＝2a ＝10，在△F 1PF 2中，由余弦定理|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，得(2c )2＝m 2＋n 2－2m ·n cos60°，即4c 2＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ，解得mn ＝643，所以S △F 1PF 2＝12·|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12mn sin60°＝1633.故选A ．解法二：由椭圆的焦点三角形的面积公式S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2(其中P 为椭圆上的点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，θ＝∠F 1PF 2)得S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2＝16×tan 60°2＝1633.故选A ．[答案] A5．(2019·石家庄二中3月模拟)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A ．13B ．12C ．23D ．3[解析] 如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a 2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A ．[答案] A6．(2019·天津卷)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5[解析] 如图，由题意可知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，∵|AB |＝4|OF |＝4， ∴A (－1,2)，又点A 在直线y ＝－ba x 上， ∴2＝－b a ·(－1)，∴ba ＝2， ∴双曲线的离心率e ＝ 1＋b 2a 2＝1＋4＝ 5.故选D ．[答案] D7．(2019·陕西西安三模)已知圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线相切，则双曲线的离心率为( )A ． 3B ．2 3C ．2 2D ．233[解析] 将圆的一般方程x 2＋y 2－4x ＋3＝0化为标准方程(x －2)2＋y 2＝1.由圆心(2,0)到直线ba x －y ＝0的距离为1，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2b a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝13，所以双曲线的离心率为e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233.故选D ． [答案] D8．(2019·辽宁省五校联考)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为( )A ．22B ． 2C ．322D ．3 2[解析] 如图，不妨设点N 在第二象限，连接EN ，易知F (1,0)，因为∠MNF 为直角，点E 为线段MF 的中点，所以|EM |＝|EF |＝|EN |，又E 在抛物线C 上，所以EN 垂直准线x ＝－1，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，所以N (－1，2)，M (0,22)，所以|NF |＝6，|NM |＝3，所以△MNF 的面积为322，故选C ．[答案] C9．(2019·武汉模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A (5,3)，M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则△MAF 周长的最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13[解析] 当|MA |＋|MF |的值最小时，△MAF 的周长最小．设点M 在抛物线的准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知|MD |＝|MF |，因此|MA |＋|MF |的最小值，即|MA |＋|MD |的最小值，根据平面几何的知识可得，当D ，M ，A 三点共线时，|MA |＋|MD |最小，最小值为x A －(－1)＝5＋1＝6.又|F A |＝(5－1)2＋(3－0)2＝5，所以△MAF 周长的最小值为6＋5＝11.[答案] B10．(2019·宁夏银川一中二模)已知直线y ＝233x 和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点M ，N ，若M ，N 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．32C ．33D ．23[解析] 由题意可知，M ，N 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，则b 2a ＝233c ，则3b 2＝23ac ，即3c 2＋23ac －3a 2＝0.上式两边同除以a 2，整理得3e 2＋23e －3＝0，解得e ＝－3或e ＝33.由0<e <1，得e ＝33.故选C ．[答案] C11．(2019·杭州第一次质检)设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )A ．192 B ．11 C ．12D ．16[解析] 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b 2a ＝3，故|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11.故选B ．[答案] B12．(2019·安徽宣城二模)椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 是椭圆上的一点，且满足F 1M →·F 2M →＝0.则椭圆离心率e 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1[解析] 解法一：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，∵F 1M →·F 2M →＝0，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∴(x 0＋c )·(x 0－c )＋y 20＝0，即x 20＋y 20＝c 2，①又知点M 在椭圆G 上，∴x 20a 2＋y 20b 2＝1，②由①②联立结合a 2－b 2＝c 2解得x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2，由椭圆的性质可得0≤x 20≤a2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2(c 2－b 2)c 2≥0，a 2(c 2－b 2)c 2≤a 2，即⎩⎨⎧c 2≥b 2，c 2－b 2≤c 2，所以c 2≥b 2.又知b 2＝a 2－c 2，∴c 2≥a 2－c 2，即2c 2≥a 2，解得e 2≥12，又知0<e <1，∴22≤e <1，故选D ．解法二：∵椭圆G 上存在点M 使F 1M →·F 2M →＝0，∴MF 1⊥MF 2，即△MF 1F 2是以M 为直角顶点的直角三角形，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，∴椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|，又知(|MF 1|＋|MF 2|)2≤2(|MF 1|2＋|MF 2|2) ＝2|F 1F 2|2＝8c 2，∴|MF 1|＋|MF 2|≤22c ， ∴e ＝|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|≥2c 22c ＝22，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝2c 时，等号成立，又知0<e <1，∴e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.故选D ．[答案] D 二、填空题13．(2019·武汉调研)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.[解析] 双曲线的两条渐近线为y ＝±1a x ，3x ＋y ＝0可化为y ＝－3x ，所以－1a ＝－3，得a ＝33.[答案]3314．(2019·福州3月质检)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为________．[解析] 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线对称轴的距离为6，若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离为10，根据抛物线的定义得x 0＋p2＝10.①因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.②由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，所以抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .[答案] y 2＝4x 或y 2＝36x15．(2019·重庆一中月考)如图，F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆C 上的点，Q 是线段PF 1上靠近F 1的三等分点，△PQF 2为正三角形，则椭圆C 的离心率为________．[解析] 解法一：由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则32|PQ |＋|PF 2|＝2a ，因为△PQF 2为正三角形，所以|PF 2|＝4a 5，|PF 1|＝6a5.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得4c 2＝1625a 2＋3625a 2－2×4a 5×6a 5×cos60°＝2825a 2，则e 2＝725，e ＝75.解法二：由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，由已知得，32·|PQ |＋|PF 2|＝2a ，因为△PQF 2为正三角形，所以|PF 2|＝4a 5，|PF 1|＝6a 5，由|PF 1|·|PF 2|＝2b 21＋cos60°，可得24a 225＝4b 23，b 2a 2＝1825，e ＝1－b 2a 2＝75.[答案]7516．(2019·太原五中月考)如图，双曲线的中心为原点O ，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ．若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是________．[解析] 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由e ＝c a ＝2知，c ＝2a ，又c 2＝a 2＋b 2，则b ＝3a .所以A (0，3a )，C (0，－3a )，B (－a,0)，F (－2a,0)，则BA →＝(a ，3a )，CF →＝(－2a ，3a )，结合图象可知，cos ∠BDF ＝cos 〈BA →，CF →〉＝BA →·CF →|BA →||CF →|＝－2a 2＋3a 22a ·7a ＝714. [答案]714。

2020新高考文科数学二轮培优基础保分强化试题二1．已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{|x ∈R 12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A 解析因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A解析 因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( )A ．1B ．3C ．7D ．13 答案 C解析 因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C. 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3 答案 A解析 由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析 因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A.6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0 C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称 答案 B解析 函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B 正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k ＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C 错误；当x ＝－π8时，f ⎝⎛⎭⎪⎫－π8＝0.故D 错误，故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64B.14C.26D.36 答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋(6)2－222×2×6＝64.故选A.8．如图，在矩形区域ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，且在A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．2－π2 B.π2－1 C ．1－π4 D.π4 答案 C解析 由条件得扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积均为π4，又矩形区域ABCD 的面积为2×1＝2，根据几何概型概率公式可得所求概率为P ＝2－2×π42＝1－π4，即在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是1－π4.9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0答案 A解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.10．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析 依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x 24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝( )A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析 由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y －3＝0上，∴4m －2×m 2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA →＋OB →＝(2,1)，∴|OA →＋OB →|＝ 5.故选C.12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.答案 －35解析 设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝25，可得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝－35.13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案 91解析 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.答案 38解析 在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADCsin ∠ACD.同理，在△BCD 中，得BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47AB＝sin ∠BDCsin ∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB ⇒AC ＝34BC ，由正弦定理，得sin B ＝34sin A ，又B ＝2A ，即sin B ＝2sin A cos A ，求得cos A ＝38.。

专题强化训练(二十六)1．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 230概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．[解] (1)记“该同学至少参加上述一个社团为事件A ”， 则P (A )＝8＋2＋545＝13.所以该同学至少参加上述一个社团的概率为13.(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的基本事件有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 5，B 1)，(A 5，B 2)，(A 5，B 3)共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．其中A 1被选中且B 1未被选中的基本事件有(A 1，B 2)，(A 1，B 3)共2个，所以A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.2．(2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频率分布表．y 的分组 [－0.20,0)[0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)企业数22453147值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：74≈8.602.[解] (1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14＋7100＝0.21.产值负增长的企业频率为2100＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)y －＝1100(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s 2＝1100 i ＝15n i (y i －y －)2＝1100[2×(－0.40)2＋24×(－0.20)2＋53×02＋14×0.202＋7×0.402]＝0.0296，s ＝0.0296＝0.02×74≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.3．(2019·广东江门3月模拟)为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用“传统教学”和“导学案”两种教学方式分别在甲、乙两个平行班进行教学试验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级各随机抽取20名学生的成绩进行统计，得到如下茎叶图．记成绩不低于70分者为“成绩优良”.(1)请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳，并说明理由； (2)构造一个教学方式与成绩优良的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．⎝ ⎛⎭⎪⎫附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d独立性检验临界值表：P (K 2≥k 0)0.100.05 0.025 0.010k 02.7063.841 5.024 6.635[解] 理由1：乙班样本数学成绩大多在70分以上，甲班样本数学成绩70分以下的明显更多．理由2：甲班样本数学成绩的平均分为70.2；乙班样本数学成绩的平均分为79.05.理由3：甲班样本数学成绩的中位数为68＋722＝70，乙班样本数学成绩的中位数为77＋782＝77.5.(2)2×2列联表如下：甲班乙班总计成绩优良 10 16 26 成绩不优良 10 4 14 总计202040由上表可得K 2＝20×20×26×14≈3.956>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．4．(2019·河北衡水中学5月模拟)已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关．为了确定某一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的时段控制温度x (单位：℃)对某种鸡的时段产蛋量y (单位：t)和时段投入成本z (单位：万元)的影响．为此，该企业选取了7个鸡舍的时段控制温度x i 和产蛋量y i (i ＝1,2，…，7)的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图及一些统计量的值．x －y －k －∑i ＝17(x i －x －)2 ∑i ＝17(k i －k －)2 ∑i ＝17(x i －x －)(y i －y －) ∑i ＝17(x i －x －)(k i －k －) 17.40 82.30 3.60140.009.702935.1035.00其中k i ＝ln y i ，k －＝17∑i ＝17k i .(1)根据散点图判断，y ＝bx ＋a 与y ＝c 1e c 2x (e 为自然对数的底数)哪一个适宜作为该种鸡的时段产蛋量y 关于鸡舍的时段控制温度x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断及表中的数据，建立y 关于x 的回归方程； (3)已知时段投入成本z 与x ，y 的关系为z ＝e －2.5y －0.1x ＋10，当鸡舍的时段控制温度为28 ℃时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值是多少？附：对于一组具有线性相关关系的数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝βu ＋α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(u i －u －)(v i －v －)∑i ＝1n(u i －u －)2，α^＝v －－β^u －.参考数据： e －2.5 e －0.75 e e 3 e 7 0.080.472.7220.091096.6312段产蛋量y 关于鸡舍的时段控制温度x 的回归方程类型．(2)令k ＝ln y ，建立k 关于x 的线性回归方程k ＝dx ＋c (d ＝c 2，c＝ln c 1)．由题意，得d ^＝∑i ＝17(x i －x －)(k i －k －)∑i ＝17(x i －x －)2＝35.00140.00＝0.25，c ^＝k －－d ^x－＝3.60－0.25×17.40＝－0.75，所以k 关于x 的线性回归方程为k ^＝0.25x －0.75，c 2＝0.25，c 1＝e－0.75＝0.47，故y 关于x 的回归方程为y ^＝0.47e 0.25x .(3)由(2)知，当x ＝28时，鸡的时段产蛋量y 的预报值y ^＝0.47e 0.25×28＝0.47e 7＝0.47×1096.63≈515.42(t)，时段投入成本z 的预报值z ^＝e －2.5×515.42－0.1×28＋10＝0.08×515.42－2.8＋10≈48.43(万元)．即鸡舍的温度为28℃时，鸡的时段产蛋量的预报值为515.42，时段投入成本的预报值为48.43.。

专题强化训练(二十八)1．(2019·东北四校联考)一个袋中有大小、质地完全相同的4个红球和1个白球，共5个球，现从中每次随机取出2个球，若取出的有白球必须把白球放回去，红球不放回，然后取第二次，第三次，……，直到把红球取完只剩下1个白球为止．用ξ表示终止时取球的次数．(1)求ξ＝2的概率；(2)求ξ的分布列及数学期望．[解](1)∵随机变量ξ＝2表示从袋中随机取球2次且每次取的都是红球，∴P (ξ＝2)＝C 24C 25×C 22C 23＝15，即ξ＝2的概率为15.(2)由题意知随机变量ξ的所有可能取值为2,3,4，由(1)知P (ξ＝2)＝15.又P (ξ＝4)＝C 14C 11C 25×C 13C 11C 24×C 12C 11C 23×C 11C 11C 22＝215，∴P (ξ＝3)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝4)＝1015＝23，∴ξ的分布列为ξ234P 1523215E (ξ)＝2×15＋3×23＋4×215＝4415.2．(2019·太原一模)2019年10月1日上午，在天安门广场举行了庆祝新中国成立70周年集会活动.70年众志成城，70年砥砺奋进，70年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台收到了来自全国各地的纪念新中国成立70年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“新中国成立70年图片展”，其作者年龄集中在[25,85]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如下：(1)求这100位作者年龄的样本平均数x－和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(2)由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x－，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(60<X≤73.4)；②央视媒体平台从年龄在[45,55)和[65,75)的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念新中国成立70年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[45,55)的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望．附：180≈13.4，若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545.[解](1)这100位作者年龄的样本平均数x－和样本方差s2分别为x－＝30×0.05＋40×0.1＋50×0.15＋60×0.35＋70×0.2＋80×0.15＝60，s2＝(－30)2×0.05＋(－20)2×0.1＋(－10)2×0.15＋0×0.35＋102×0.2＋202×0.15＝180.(2)①由(1)知，X～N(60,180)，从而P(60<X≤73.4)≈1P(60－213.4<X≤60＋13.4)＝0.34135.②根据分层抽样，可知这7人中年龄在[45,55)内的有3人，在[65,75)内的有4人，故Y可能的取值为0,1,2,3.P (Y ＝0)＝C 03C 3437＝4，P (Y ＝1)＝C 13C 2437＝18，P (Y ＝2)＝C 23C 14C 37＝1235，P (Y ＝3)＝C 33C 04C 37＝135，所以Y 的分布列为Y0123P 43518351235135所以Y 的数学期望为E (Y )＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97.3．(2019·北京海淀调研)为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．[解]设A i (i ＝1,2,3,4,5)表示方案甲所需化验次数为i 次；B j (j ＝2,3)表示方案乙所需化验的次数为j 次，方案甲与方案乙相互独立．(1)P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (A 4)＝16，P (A 5)＝13，P (B 2)＝C 25C 36C 13＋C 35C 36C 13＝13，P (B 3)＝1－P (B 2)＝23，用事件D 表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数，则P (D )＝P (A 2B 2＋A 3B 3)＝P (A 2)P (B 2)＋P (A 3)P (B 3)＝16×13＋16×23＝1.(2)η的可能取值为1,2,3,4,5.ξ的可能取值为2,3.由(1)知P (η＝1)＝P (η＝2)＝P (η＝3)＝P (η＝4)＝16，P (η＝5)＝13，所以E (η)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×26＝103，P (ξ＝2)＝P (B 2)＝13，P (ξ＝3)＝P (B 3)＝23，所以E (ξ)＝2×13＋3×23＝83.因为E (ξ)<E (η)，所以从经济角度考虑方案乙最佳．4．(2019·河北衡水中学5月模拟)已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关．为了确定某一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的时段控制温度x (单位：℃)对某种鸡的时段产蛋量y (单位：t)和时段投入成本z (单位：万元)的影响．为此，该企业选取了7个鸡舍的时段控制温度x i 和产蛋量y i (i ＝1,2，…，7)的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图及一些统计量的值．x－y －k －错误!(x i －x －)2错误!(k i －k －)2错误!(x i －x －)(y i －y －)错误!(x i －x －)(k i －k －)17.4082.30 3.60140.009.702935.1035.00其中k i ＝ln y i ，k －＝17错误!k i .(1)根据散点图判断，y ＝bx ＋a 与y ＝c 1e c 2x (e 为自然对数的底数)哪一个适宜作为该种鸡的时段产蛋量y 关于鸡舍的时段控制温度x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断及表中的数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知时段投入成本z 与x ，y 的关系为z ＝e －2.5y －0.1x ＋10，当鸡舍的时段控制温度为28℃时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值是多少？附：对于一组具有线性相关关系的数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝βu ＋α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝错误!，α^＝v －－β^u －.参考数据：e －2.5e －0.75ee 3e 70.080.472.7220.091096.63[解](1)由题中散点图可以判断，y ＝c 1e c 2x 适宜作为该种鸡的时段产蛋量y 关于鸡舍的时段控制温度x 的回归方程类型．(2)令k ＝ln y ，建立k 关于x 的线性回归方程k ＝dx ＋c (d ＝c 2，c＝ln c 1)．由题意，得d ^＝错误!＝35.00140.00＝0.25，c ^＝k －－d ^x －＝3.60－0.25×17.40＝－0.75，所以k 关于x 的线性回归方程为k ^＝0.25x －0.75，c 2＝0.25，c 1＝e －0.75＝0.47，故y 关于x 的回归方程为y ^＝0.47e 0.25x .(3)由(2)知，当x ＝28时，鸡的时段产蛋量y 的预报值y ^＝0.47e 0.25×28＝0.47e 7＝0.47×1096.63≈515.42(t)，时段投入成本z 的预报值z ^＝e －2.5×515.42－0.1×28＋10＝0.08×515.42－2.8＋10≈48.43(万元)．。

2020新高考文科数学二轮培优基础保分强化试题三1．已知1－iz ＝(1＋i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( ) A ．－12－12i B ．－12＋12i C.12－12i D.12＋12i答案 B解析 ∵1－i z ＝(1＋i)2，∴z ＝1－i (1＋i )2＝1－i 2i ＝1＋i －2＝－12－12i ，∴z －＝－12＋12i.故选B.2．设命题p ：∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0，则綈p 为( ) A ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 B ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 C ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 D ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0 答案 A解析 ∵命题p ：∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0，∴綈p 为∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0.故选A.3．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x <0}，B ＝{x ∈Z |0<log 5x <1}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0<x <5} B ．{x |1<x <4} C ．{2,3} D ．{1,2,3,4}答案 C解析 因为A ＝{x ∈Z |x 2－4x <0}，所以A ＝{1,2,3}，因为B ＝{x ∈Z |0<log 5x <1}，所以B ＝{2,3,4}，根据集合交集运算，可得A ∩B ＝{2,3}，所以选C.4．执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x 的值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 根据题意，该框图的含义是： 当x ≤2时，得到函数y ＝x 2－1； 当x >2时，得到函数y ＝log 2x . 因此，若输出的结果为1时，①若x ≤2，得到x 2－1＝1，解得x ＝±2； ②若x >2，得到log 2x ＝1，解得x ＝2(舍去)．因此，可输入的实数x 的值可能为－2，2，共有2个．故选B. 5．已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π 答案 A解析 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，故选A.6．如图所示的几何图形中，ABCD 为菱形，C 为EF 的中点，EC ＝CF ＝3，BE ＝DF ＝4，BE ⊥EF ，DF ⊥EF ，现在几何图形中任取一点，则该点取自Rt △BCE 的概率为( )A.19 B.18 C.17 D.16答案 D解析 ∵EC ＝3，BE ＝4，BE ⊥EC ，∴BC ＝5.又由题可知BD ＝EF ＝6，AC ＝2BE ＝8，∴S △BEC ＝S △DFC ＝12×3×4＝6，S菱形ABCD＝12·AC ·BD ＝24，由几何概型概率公式可得，所求概率为P ＝624＋6＋6＝16，即该点取自Rt △BCE 的概率为16.故选D.7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.272 B ．27 C ．27 2 D ．273 答案 D解析 在长、宽、高分别为3,33，33的长方体中，由几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥C －BAP ，其中底面BAP 是∠BAP ＝90°的直角三角形，AB ＝3，AP ＝33，所以BP ＝6，又棱CB ⊥平面BAP 且CB ＝33，所以AC ＝6，所以该几何体的表面积是12×3×33＋12×3×33＋12×6×33＋12×6×33＝273，故选D.8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且倾斜角为120°的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ，BF 的中点在y 轴上的射影分别为M ，N ，且|MN |＝43，则抛物线C 的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x ＝－32D ．x ＝－3答案 D解析 设AF ，FB 的中点分别为D ，E ，则|AB |＝2|DE |，由题得|DE |＝43sin π3＝8，所以|AB |＝16，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＋p ＝16，∴x 1＋x 2＝16－p ，联立直线和抛物线的方程得⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， ∴3x 2－5px ＋34p 2＝0，所以16－p ＝5p3，∴p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3.故选D.9．在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCD S △ABD＝( )A.16B.13C.12D.23 答案 B解析 如图，由题意可知，点D 在平行于AB 边的中位线EF 上且满足DE ＝13AB ，S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，∴S △BCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，∴S △BCDS △ABD＝13，故选B.10．如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E .从D 点测得∠ADC ＝67.5°，从C 点测得∠ACD ＝45°，∠BCE ＝75°，从E 点测得∠BEC ＝60°.若测得DC ＝23，CE ＝2(单位：百米)，则A，B 两点间的距离为( )A. 6 B ．2 2 C ．3 D ．2 3 答案 C解析 根据题意，在△ADC 中，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝67.5°，DC ＝23，则∠DAC ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC ＝DC ＝23，在△BCE 中，∠BCE ＝75°，∠BEC ＝60°，CE ＝2，则∠EBC ＝180°－75°－60°＝45°，则有EC sin ∠EBC ＝BCsin ∠BEC ，变形可得BC ＝EC ·sin ∠BEC sin ∠EBC ＝2×3222＝3，在△ABC 中，AC ＝23，BC ＝3，∠ACB ＝180°－∠ACD －∠BCE ＝60°，则AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝9，则AB ＝3.故选C.11．已知直线l 与曲线y ＝x 3－6x 2＋13x －9相交，交点依次为A ，B ，C ，且|AB |＝|BC |＝5，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－2x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝3x －5D ．y ＝－3x ＋2答案 B解析 设f (x )＝x 3－6x 2＋13x －9，则f ′(x )＝3x 2－12x ＋13，设g (x )＝3x 2－12x ＋13，则g ′(x )＝6x －12，令g ′(x )＝0，得x ＝2，所以曲线y ＝x 3－6x 2＋13x －9的对称中心为(2,1)．由|AB |＝|BC |可知直线l 经过点(2,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－6x 2＋13x －9，(x －2)2＋(y －1)2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，因此可得直线l 过点(1，－1)，(3,3)，(2,1)，所以直线l 的方程为y ＝2x －3.故选B.12．已知x ∈(0，π)，且cos x ＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝________.答案 7210解析 因为x ∈(0，π)，且cos x ＝45，所以sin x ＝35， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22sin x ＋22cos x ＝7210.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的取值范围是________．答案 [4,6]解析 由已知，以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，又AB 的中点为原点，则|AB |＝2m ，则|m －1|≤(0－3)2＋(0－4)2≤m ＋1，解得4≤m ≤6，即m 的取值范围是[4,6]．14．已知四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC 于点E ，EC ＝1，AB ＝6，BC ＝3，PE ＝2，则四棱锥P －ABCD 的外接球半径为________．答案 2解析 如图，由已知，设三角形PBC 外接圆圆心为O 1，由正弦定理可求出三角形PBC 外接圆半径为102，设F 为BC 边的中点，进而求出O 1F ＝12，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＋O 1F 2＝4，所以四棱锥外接球半径为2.。

教课资料范本2020版高三新课标专题指导与增分攻略数学（文）专题加强训练：转变与化归思想含分析编辑： __________________时间： __________________一、选择题1．(20xx ·甘肃兰州一诊 )若命题 “? x 0∈R.使得 x20＋mx 0＋2m － 3<0”为假命题 .则实数 m 的取值范围是 ()A ．[2,6]B ．[－6.－2]C ． (2,6)D ．(－6.－2)[ 分析] 因为命题 “? 0∈R.使得 x20＋mx 0＋2m －3<0”为假命x题.所以命题 “? x ∈R.使得 x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题 .所以Δ≤ 即2－4(2m －3)≤0.所以 2≤m ≤6.应选 A.0. m [答案 ] A2．(2019 ·浙江宁波模拟 )已知等差数列 { a n }的前 n 项和为 S n .若a 3＋a 5＋a 7＝24.则S 9等于 () A ．36B ．72C ． 144D ．288[分析 ] 解法一：因为 { a n } 是等差数列 .又 a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝24.所以 a 5＝8.S 9＝错误 ! ＝9a 5＝72.应选 B.解法二：不如设等差数列 { a n } 的公差为 0.则由 a 3＋a 5＋a 7＝24.得 a 1＝a n ＝8.则 S 9＝9a 1＝9×8＝72.应选 B.[答案 ]Bx2 y23．(20xx ·湖北宜昌一模 )过双曲线 a2－b2→＝1上随意一点 P.引与实轴平行的直线 .交两渐近线于 R.Q 两点 .则PR ·→PQ 的值为 ()A ．a 2B ．b 2．．2＋b 22/10[答案 ]A20xx 是函数 f(x)＝x34 ．(20xx ·四川成都联考) 等差数列n中的 3{ a }a .a－6x 2＋4x －1的两个不一样的极值点 .则log 1a 1011的值为 ()41A ．－2B ．－ 21C ． 2D.2[分析 ]由题易得 f ′(x)＝3x 2－12x ＋4.因为 a 3.a 20xx 是函数 f(x)＝x 3－6x 2＋4x －1 的两个不一样的极值点 .所以 a 3.a 20xx 是方程 3x 2－12x ＋4＝0 的两个不等实数根 .所以 a 3＋a 20xx ＝4.又数列 { a n 为等差数列.} 1 11 所以 a 3＋a 20xx ＝ 2a 1011.即 a 1011＝2.进而 loga 1011＝log 2＝－ .应选 B.442[答案] B5．(20xx ·山西太原 4月联考 )已知圆 O ：x 2＋y 2＝8.点A(2,0).动点 M在圆上 .则∠ OMA 的最大值为 ()ππ π πA. 6B.3C.4D.2[ 分析 ] 设|MA|＝a>0.因为 |OM|＝2 2.|OA|＝2.由余弦定理知 cos|OM|2＋|MA|2－|OA|2∠OMA ＝＝错误! ＝错误! ×错误 ! ≥错误 ! ×22|OM|·|MA|42 πa ×a＝ 2 .当且仅当 a ＝2 时等号建立 .所以∠ OMA ≤ 4 .即∠ OMAπ的最大值为 4 .[答案]C6．(20xx ·河南郑州模拟 )若抛物线 y ＝ x 2上的全部弦都不可以被直线y ＝k(x －3)垂直均分 .则k 的取值范围是 ( )A. －∞，1B. －∞，1223/10C. 1D. 1－ ，＋∞ － ，＋∞2 2[分析 ]当 k ＝0 时.明显切合题意．当 k ≠0 时 .设抛物线 y ＝x 2上 两点 A(x 12对于直线 ＝－ 对称.AB 的中点为0 0.x21).B(x .x2)yk(x 3)P(x .y ).则 x 0＝ x1＋x22 .x21＋x2y 0＝2.x21－ x2 1 x1＋x21由题设知 x1－x2＝－k .所以2 ＝－ 2k .x21＋x2又 AB 的中点 P(x 0.y 0)在直线 y ＝k(x －3)上.所以2 ＝kx1＋x2－3 ＝－ 6k ＋1 所以中点P － 1 ，－ 6k ＋1 .22 .2k2因为点 P 在 y>x 2的地区内 .则－ 6k ＋1 － 1 2 整理得＋22 >2k.(2k 1)(6k1－ 2k ＋1)<0.解得 k<－2.1所以当 k<－2时 .抛物线 y ＝x 2上存在两点对于直线 y ＝k(x －3)对1称.于是当 k ≥－2时.抛物线 y ＝x 2 上不存在两点对于直线 y ＝k(x －3)对称．1所以实数 k 的取值范围为 －2，＋∞ .应选 D.[答案]D二、填空题7．(20xx ·广西南宁模拟 )若二次函数 f(x)＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p＋ 1在区间 [ －1,1]内起码存在一个值 c.使得 f(c)>0.则实数 p 的取值范围为________．[ 分析 ]假如在[－1,1]内没有值知足f(c)>0.则错误!?错误!? p≤33－3 或 p≥2.取补集为－ 3<p<2.即为知足条件的p 的取值范围．故实3数 p 的取值范围为－3，2.[答案 ]3－3，28．(20xx ·广东汕头模拟 )设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1.若t在[－2,2]上变化时 .y恒取正当 .则x的取值范围是 ________．[ 分析 ] 设 y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1.则 f(t)是一次函数 .当 t∈[ －2,2]时.f(t)>0 恒建立 .则由错误!即错误!解得 log2x<－1 或 log2x>3.1即 0<x<2或 x>8.1故 x 的取值范围是0，2∪(8.＋∞)．[答案 ]0，1∪＋∞) 2(8.9．(20xx ·吉林模拟 )如图 .四边形 ABCD和四边形 BCEG均为直角π梯形 .AD∥BC.CE∥BG.∠BCD＝∠ BCE＝2 .平面 ABCD⊥平面 BCEG. BC＝ CD＝CE＝ 2AD＝2BG＝ 2.则五面体 EGBADC的体积为 ________．[分析 ]如下图.连结DG.BD.π由平面 ABCD⊥平面 BCEG.∠BCD＝∠ BCE＝2 .可知 EC⊥平面ABCD.又 CE∥GB.所以 GB⊥平面 ABCD.又 BC＝CD＝CE＝2.AD＝BG＝1.所以 V 五面体EGBADC＝V 四棱锥D－BCEG＋V 三棱锥G－ABD11 1 2＋1 1 1＝3S梯形BCEG·DC＋3S△ABD·BG＝3×2×2×2＋3×2×1×2×1 77＝3.故填3.7[答案 ]3三、解答题10．(20xx ·建龙岩一模福)如图 .在四棱锥P－ABCD中 .侧面PAD 是边长为2的正三角形 .且与底面垂直 .底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形.M为 PC的中点．(1)求证： PC⊥AD；(2)求点 D到平面 PAM的距离．[ 解] (1)证明：如图 .取 AD 的中点 O.连结 OP.OC.AC.由题意可知△ PAD.△ACD 均为正三角形 .所以 OC⊥AD.OP⊥AD.又 OC∩OP＝O.所以 AD⊥平面 POC.又 PC? 平面 POC.所以 PC ⊥ AD.(2)点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离 .由(1)可知.PO ⊥AD.又平面 PAD ⊥平面 ABCD.平面 PAD ∩平面 ABCD ＝AD.PO? 平面 PAD.所以 PO ⊥平面 ABCD.即 PO 为三棱锥 P －ACD 的高．在 Rt △POC 中.PO ＝OC ＝ 3.PC ＝6.在△ PAC 中.因为 PA ＝ ＝ ＝ 6.所以边 PC 上的高 AM ＝ － ＝－ 6 2 AC 2.PCPA2 PM22221011 10 15＝2 .所以△ PAC 的面积 S△PAC＝2PC ·AM ＝2× 6× 2 ＝ 2 .设点 D 到平面 PAC 的距离为 h.由 V D －PAC ＝V P － ACD .得113S△PAC·h ＝3S△ACD·PO.11151又 S △ ACD ＝2×2× 3＝ 3.所以 3× 2 ×h ＝3× 3× 3.解得 h 2 15 2 15 ＝ 5.故点 D 到平面 PAM 的距离为5.11．(20xx 武·汉外国语中学 4月模拟 )已知直线 l ：4x ＋3y ＋10＝0.半径为 2的圆 C 与l 相切 .圆心 C 在x 轴上且在直线 l 的右上方．(1)求圆 C 的方程；(2)如图 .过点 M(1,0)的直线与圆 C交于 A.B两点 (A在x轴上方 ).问在x轴正半轴上能否存在定点 N.使得 x轴均分∠ ANB？若存在 .恳求出点 N 的坐标；若不存在 .请说明原因．5|4a ＋10|[ 解](1)设圆心 C(a,0) a>－2 .则5＝2? a＝0或a＝－5(舍去 )．所以圆 C 的方程为 x2＋y2＝4.(2)当直线 AB⊥x 轴时 .x 轴均分∠ ANB.当直线 AB 的斜率存在时 .设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1).N(t,0).A(x1.y1).B(x2.y2).由错误 ! 得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0.所以 x1＋x2＝2k21 2＝k2－4k2＋1.x xk2＋1.y1y2若 x 轴均分∠ ANB.则 k AN＝－ k BN? x1－t＋x2－t＝0? 错误!＋错误 ! ＝0? 2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0?错误 ! －错误 ! ＋2t＝0? t＝4.所以当点 N 为(4,0)时.能使得∠ ANM＝∠ BNM 总建立．12．(20xx 安·徽淮北一模 )已知函数 f(x)＝lnx－(x＋1)．(1)求函数 f(x)的极大值；1 11(2)求证： 1＋2＋3＋＋n>ln(n＋1)(n∈N* )．[ 解] (1)∵f(x)＝ln x－(x＋1).1∴f′ (x)＝x－1(x>0)．令 f′(x)>0.解得 0<x<1；令 f′(x)<0.解得 x>1.∴函数 f(x)在(0,1)上单一递加 .在(1.＋∞)上单一递减 .∴f(x)极大值＝f(1)＝－2.(2)证明：由 (1)知 x＝1 是函数 f(x)的极大值点 .也是最大值点 .∴f(x)≤f(1)＝－ 2.即 lnx－(x＋1)≤－2? lnx≤x－1(当且仅当 x＝1 时等号建立 ).t x 1. t≥ln(t 1)(t> 1).1t n(n N*) .11n 1n>ln 1 n ln n.1 3 141n 1 1>ln2.2>ln2.3>ln3. .n>ln n.1111 2 3n >ln 34n 12·· · ·n ln(n 1)23111 1 2 3n>ln(n 1)。

教课资料范本2020版高三新课标专题指导与增分攻略数学（文）专题加强训练：分类议论思想含分析编辑： __________________时间： __________________一、选择题y2 1．(20xx ·杭州模拟 )若m是2和8的等比中项 .则圆锥曲线 x2＋m ＝1的离心率是 ()3A. 2B.3353C.2或2D.2或 5[分析 ]∵m 是 2 和 8 的等比中项 .∴m2＝2×8＝16.∴m＝±4.若 m＝4.则曲线为椭圆 .焦点在 y 轴上 .a2＝4.b2＝1.c 3c2＝ 3.∴e＝a＝2 .若 m＝－ 4.则曲线为双曲线 .a2＝1.b2c＝ 5.选 D.＝4.c2＝5.e＝a[答案 ]D2．(20xx ·山西大同二模 )已知函数 f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域是实数集 R.则实数 m的取值范围是 ()A ．(0,4)B．[0,4]C． (0,4]D．[0,4)[ 分析 ]由于函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域是实数集R.因此m≥0.当 m＝0 时.函数 f(x)＝1.其定义域是实数集 R；当 m>0 时 .则＝m2－4m≤0.解得 0<m≤4.综上所述 .实数 m 的取值范围是 0≤m≤4.[答案]B3．(20xx ·四川教育结盟质检 )一个盒中有形状、大小、质地完整同样的 5张扑克牌 .此中 3张红桃 .1张黑桃 .1张梅花．现从盒中一次性2/114721A. 5B.10C.5D.2[分析 ]设 3 张红桃为红 1.红 2.红 3,1 张黑桃为黑 1,1 张梅花为梅 1.则全部可能出现的状况有 (红 1.黑 1).(红 1.梅 1).(红 2.黑 1).(红 2. 梅 1).(红 3.黑 1).(红 3.梅 1).(红 1.红 2).(红 1.红 3).(红 2.红 3).(黑 1.梅1).共 10 种．此中切合花色不一样的状况有(红 1.黑 1).(红 1.梅 1).(红 2.黑 1).(红 2.梅 1).(红 3.黑 1).(红 3.梅 1).(黑 1.梅 1).共 7 种 .依据古典概7型的概率公式得扑克牌花色不一样的概率P＝10.应选 B.[答案]B4．(20xx ·河北石家庄质检 )函数 f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2] 上有最大值f(2).则实数 a的取值范围为 ()A ．(－∞ .－1]B．[－1.＋∞ )C． (－∞ .0)D．(0.＋∞ )[ 分析 ]当a＝0时.f(x)＝4x－3在[0,2]上为单一递加函数.最大值为 f(2).知足题意．24当 a≠0 时.函数 f(x)＝ax2＋4x－3＝a x＋a2－3－a.2其对称轴为 x＝－a.当 a>0 时.f(x)＝ax2＋4x－3 在 [0,2] 上为单一递加函数 .最大值为f(2).知足题意．2当 a<0 时.只有当－a≥2.即－ 1≤a<0 时.f(x)＝ax2＋4x－3 在[0,2]上为单一递加函数 .最大值为 f(2).知足题意．综上 .当 a≥－ 1 时.函数 f(x)＝ax2＋4x－ 3 在[0,2] 上有最大值f(2)．应选 B.[答案]B5．(20xx ·湖北七市联考 )已知圆 C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r>0)．设条件p ：0<r<3.条件 q ：圆 C 上至多有 2个点到直线 x － 3y ＋3＝0的距离为 1.则p 是q 的()A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件 [ 分析 ] 圆 ： － 1) 2＋y 2＝r 2 的圆心 (1,0)到直线 x － 3y ＋3＝0 C (x的距离 d ＝错误 ! ＝2.当 0<r<1 时.直线在圆外 .圆上没有点到直线的距离为 1；当 r ＝1 时.直线在圆外 .圆上只有 1 个点到直线的距离为 1；当 1<r<2 时.直线在圆外 .此时圆上有 2 个点到直线的距离为 1；当 r ＝2 时.直线与圆相切 .此时圆上有 2 个点到直线的距离为 1；当 2<r<3 时.直线与圆订交 .此时圆上有 2 个点到直线的距离为 1.综上 .当 0<r <3 时.圆 C 上至多有 2 个点到直线 x － 3y ＋3＝0 的距离为 1.由圆 C 上至多有 2 个点到直线 x － 3y ＋3＝0 的距离为 1 可得 0<r<3.故 p 是 q 的充足必需条件 .应选 C.[答案]Ca6．(20xx ·南平调研 )已知函数 f(x)＝ ex ＋ex(a ∈R)在区间 [0,1] 上单一递加 .则实数 a 的取值范围是 ()A ．(－1,1)B ．(－1.＋∞ )C ． [－1,1]D ．[0.＋∞ )[ 分析 ] ①a ＝0 时.f(x)＝e x .明显在 [0,1]上单一递加 .清除 D.②a>0时.f(x)＝e x＋ a.f ′(x)＝e x－ae －x.则 f ′(x)≥0 对 x ∈ [0,1] 恒建立 .即 exa ≤e 2x对 x ∈ [0,1]恒建立 .∴a ≤1.清除 A.B. 选 C.[答案]C二、填空题7．(20xx ·郑州模拟 )过点 P(3,4)与圆 x 2－2x ＋y 2－3＝0相切的直线方程为 ______________．[ 分析 ] 圆的标准方程为 (x －1)2＋y 2＝4.当直线的斜率不存在时 .直线 x ＝3 合适；当直线的斜率存在时 .不如设直线的方程为y －4＝k(x －3).即 kx －y ＋4－3k ＝0.|k －0＋4－3k|3由k2＋1＝2.得 k ＝4.3此时直线方程为y －4＝ 4(x －3).即 3x －4y ＋7＝0.综上所述 .所求切线的方程为 x ＝ 3 或 3x －4y ＋7＝0.[ 答案 ] x ＝3 或 3x －4y ＋7＝0 8．(20xx ·辽宁沈阳模拟 )设F 1.F 2为椭圆 x2 y2 9 ＋4＝1的两个焦点 .P 为椭圆上一点．已知 P.F 1.F 2是一个直角三角形的三|PF1|个极点 .且|PF 1|>|PF 2|.则 |PF2| 的值为 ________．[分析 ] 若∠ PF 2F 1＝90°.则 |PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2.又由于 |PF ＋＝＝5.1 | |PF 2| 6.|F 1F 2| 2解得 |PF 1 ＝ 142＝4因此|PF1|＝7| 3 .|PF | 3.|PF2| 2.若∠ F 1PF 2＝90°.则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.因此 |PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20.|PF1|因此 |PF 1|＝4.|PF 2|＝2.因此 |PF2| ＝2.|PF1|7综上知 .|PF2| ＝2或 2.[答案 ]7 或 229．(20xx ·湖北武汉调研 )已知实数 x.y知足拘束条件x－y≥0，x＋2y≤4，x－2y≤2，16假如目标函数 z＝x＋ay的最大值为3 .则实数 a的值为 ________．[ 分析 ]先画出线性拘束条件所表示的可行域.目标函数化为 y＝1 1－a x＋a z.目标函数 z＝x＋ay 取最大值只要直线的横截距最大 .1当 a>0 时.－a<0.11①若－2<－a<0.即 a>2.最优解为4 416z＝3＋3a＝3 .a＝3.切合题意；11②若－a<－2.即 0<a<2.最优解为11614z＝3＋2a＝3 .a＝3 .不切合题意1当 a<0 时.－a>0.4 4 A3，3.1 B3，2 ..舍去．③若 0<－1 1即－ 最优解为 － － ＝－ － ＝ 16a <2.a<2.C(2. 2).z22a3 .a11＝－ 3 .切合题意；④若－ 1 11 .a > .即－ 2<a<0.最优解为 B 3，2 2 1 16 14z ＝3＋2a ＝ 3 .a ＝ 3 .不切合题意 .舍去；11综上可知实数a 的值为 3 或－ 3 .11[答案 ] 3或－ 3 三、解答题10．(20xx ·东七校联考广 )已知△ ABC 的三个内角的对边分π3别为 a.b.c.若a ＝2.A ＝ 3 .且 2 －sin(B －C)＝sin2B.求△ ABC 的面积．[ 解] 解法一：由已知及 A ＋B ＋ C ＝ π可得322 －sin 2B －3π ＝sin2B.23即 sin2B ＋sin 2B －3π ＝ 2 .313∴ sin2B － 2 cos2B －2sin2B ＝ 2 .π 3即 sin 2B － 3 ＝ 2 .π2ππ∵ A ＝ 3 .∴ 0<B<3π.∴－ 3 <2B － 3 <π.π π 2ππ π∴ 2B －3＝3或 3 .∴B ＝3或2.ππ当 B ＝2时.C ＝6.1π 2 3∴S△ABC＝2×2×2×tan 6＝3；π当 B＝3时.△ABC 是边长为 2 的等边三角形 .3 3∴S△ABC＝4 a2＝4×4＝ 3.2 3综上可知 .△ABC 的面积为3或3 .π3解法二：∵ A＝3 .且2－sin(B－C)＝sin2B.3∴2＝sin2B＋sin(B－C).即 sinA＝sin2B＋sin(B－C).又 sinA＝sin(B＋C).∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosB＋sinBcosC－cosBsinC.即cosBsinC＝sinBcosB.ππ当 cosB＝ 0 时.可得 B＝2 .C＝6 .11π 2 3∴S△ABC＝2ac＝2×2×2×tan 6＝3；当 cosB≠0 时.sinB＝sinC.由正弦定理可知 b＝c.π∴△ ABC 为等腰三角形 .又∵ A＝3 .∴a＝b＝c＝2.3∴ S△ABC＝4 a2＝ 3.2 3综上可知△ ABC 的面积为3或3 .11．(20xx 安·徽合肥 4月模拟 )已知椭圆 C的两个焦点分别为 F1(－1,0).F2(1,0).且F2到直线 x－3y－9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆 C的方程；(2)若圆 P的圆心为 P(0.t)(t>0).且经过 F1.F2两点 .Q是椭圆 C上的动3 2点且在圆 P外 .过Q作圆 P的切线 .切点为 M.当|QM|的最大值为时.求t的值．x2 y2[ 解](1)设椭圆的方程为a2＋b2＝1(a>b>0).依题意可得 2b＝|1 －9|＝4.2因此 b＝2.又 c＝1.因此 a2＝b2＋c2＝5.x2 y2因此椭圆 C 的方程为5＋4＝1.x2 y2(2)设 Q(x.y) 知足5＋4＝1 .圆 P 的方程为 x2＋(y－t)2＝t2＋1.连结 PM.由于 QM 为圆 P 的切线 .因此 PM⊥QM.因此 |QM|＝|PQ|2 －t2 －1＝错误!＝错误!.1①若－ 4t≤－2.即 t≥2时.当 y＝－ 2 时.|QM|获得最大值 .3 2且 |QM|max＝ 4t ＋3＝2 .3 1解得 t＝8<2(舍去 )．1②若－ 4t>－2.即 0<t<2.当 y＝－ 4t 时.|QM|获得最大值 .3 222112解得 t2＝8.又 0<t<2.因此 t＝4 .2 3 2综上 .当 t＝4时.|QM|的最大值为 2 .112．(20xx 广·东汕头一模 )已知 f(x)＝－2ax2＋ax＋(x－2)e x(a>0)．(1)议论函数 f(x)的单一性；(2)若函数 f(x)存在 3个零点 .务实数 a的取值范围．[ 解](1)f′(x)＝－ ax＋a＋e x＋(x－2)e x＝(x－1)(e x－a)．由于 a>0.由 f′(x)＝0.得 x1＝1 或 x2＝lna.①当 0<a<e 时.1>lna.在 (－∞.lna)和(1.＋∞)上 .f′(x)>0.因此 f(x)单一递加；在 (lna,1)上.f′(x)<0.因此 f(x)单一递减．②当 a＝e 时.1＝lna.在(－∞.＋∞)上.f′(x)≥0.当且仅当 x＝1时.f′(x)＝0.因此 f(x)单一递加．③当 a>e 时.lna>1.在 (－∞.1)和(lna.＋∞)上 .f′(x)>0.f(x)单一递加；在 (1.lna)上.f′(x)<0.f(x)单一递减．综上所述 .当 0<a<e 时.f(x)在(－∞.lna).(1.＋∞)上单一递加 .在(lna,1)上单一递减；当 a＝e 时.f(x)在(－∞.＋∞)上单一递加；当 a>e时.f(x)在(－∞.1).(lna.＋∞)上单一递加 .在(1.lna)上单一递减．11(2)f(x)＝－2ax2＋ax＋(x－2)e x＝(x－2)－2ax＋ex .因此 f(x)有一个零点为 x＝2.要使 f(x)有 3 个零点 .1则方程－2ax＋e x＝0(x≠2)有 2 个不一样的实数根 .2ex即方程 a＝x (x≠2,0)有 2 个不一样的实数根．2ex令 h(x)＝x (x≠2,0).即函数 y＝a 与 y＝h(x)的图象有 2 个交点．2xex－2ex由 h′(x)＝＝错误!＝0.得x＝1.x2当 x 变化时 .h(x).h′(x)状况以下表：x(－∞.0)(0,1)1(1,2)(2.＋∞) h′(x)－－0＋＋h(x)极小值当 x<0 时.h(x)<0.又 h(1)＝2e.h(2)＝e2.因此 h(x)的大概图象如图．因此要使 f(x)有 3 个零点 .实数 a 的取值范围为 (2e.e2)∪(e2.＋∞)．。

教课资料范本2020版高三新课标专题指导与增分攻略数学（文）专题加强训练：数形联合思想含分析编辑： __________________时间： __________________一、选择题1．(20xx ·山西长治二模 )在矩形 ABCD中.AB＝2.AD＝1.E为线段 B → →C上的点 .则AE·DE的最小值为 ()15A ．2 B. 417C. 4D．4[分析 ]如下图 .以点 B 为坐标原点 .BC 所在的直线为 x 轴 .BA所在的直线为 y 轴成立平面直角坐标系.则 A(0,2).D(1,2).E(x,0).因此→ →x－12＋15由于为线段AE·＝(x.－2) ·(x－1.－2)＝x2－x＋4＝DE2 4 .E BC1→ →15上的点 .因此 x∈ [0,1].故当 x＝时.AE·获得最小值应选B.2DE 4.[答案]Bx－y＋2≥0，2．(20xx ·广东广州测试 )若x.y知足拘束条件2y－1≥0，x－1≤0，则z＝x2＋2x＋y2的最小值为 ()1113A. 2B.4C．－2D．－4[ 分析 ]画出拘束条件对应的平面地区.如图中暗影部分所示 .z＝x2＋2x＋ y2＝ (x＋1)2＋y2－1.其几何意义是平面地区内的点 (x.y)到定点(－1,0)的距离的平方再减去 1.察看图形可得 .平面地区内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为1故＝2＋2x＋y2的最小值为 z＝1－1 2.z x min43＝－4.选 D.[答案 ]D3.(20xx 安·徽江南十校 4月联考 )记实数 x1.x2. .x n中最小数为min{ x1 2n 则定义在区间[0.＋∞上的函数f(x)＝2＋1.x＋3,13－ x}.x ..x }.)min{ x 的最大值为 ()A ．5B．6C． 8D．10在同一坐标系中作出三个函数 y＝x2＋1.y＝x＋3.y＝13－x 的图象如图：由图可知 .在实数集 R 上.min{ x2＋1.x＋3,13－x} 为 y＝x＋3 上 A 点下方的射线 .抛物线 AB 之间的部分 .线段 BC.与直线 y＝13－x 点 C 下方的部分的组合图．明显 .在区间 [0.＋∞)上.在 C 点时 .y＝min{ x2＋＋－获得最大值．解方程组y＝x＋3，3,13y＝13－x1.x x}得点 C(5,8)．因此 f(x)max＝8.[答案 ]C4．(20xx ·云南昆明模拟 )函数 f(x)＝lnx－x－a有两个不一样的零点 .则实数 a的取值范围是 ()A ．(－∞ .－1]B．(－∞ .－1)C． [－1.＋∞ )D．(－1.＋∞ )[分析 ]函数 f(x)＝lnx －x －a 的零点 .即对于 x 的方程 lnx －x －a ＝0 的实根.将方程 lnx －x －a ＝0 化为方程 lnx ＝x ＋a.令 y 1＝lnx.y 2＝x ＋a.由导数知识可知 .直线 y 2＝x ＋ a 与曲线 y 1＝ln x 相切时有 a ＝－ 1.如下图 .若对于 x 的方程 lnx －x － a ＝0 有两个不一样的实根 .则实数 a 的取值范围是 (－∞.－1)．应选 B.[答案] B 5 ． (20xx ·九江十校联考 )设 A.B 在圆 2＋y 2＝1上运动 .且|AB|＝ 3. x→ →点P 在直线 l ：3x ＋4y －12＝0上运动 .则|PA ＋PB 的最小值为()|A ．3B ．41719C. 5D. 5分析设的中点为则 → → →[ ]AB＋PB ＝2PDD. PA .→ →∴当且仅当 O.D.P 三点共线时 .|PA ＋PB 获得最小值.|此时 OP ⊥AB.且 OP ⊥l .∵圆心到直线的距离为12123 1＝5 .|OD|＝1－4＝9＋16 2.→ →12－ 119∴ |PA ＋PB 的最小值为2 52 ＝5.|[答案 ] Dy26．(20xx ·广西南宁模拟 )设P 为双曲线 x 2－15＝ 1右支上一点 .M.N 分别是圆 C 1：(x ＋4)2＋ y 2＝4和圆 C 2：(x －4)2＋y 2＝ 1上的点 .设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为 m.n.则|m －n|＝( )A ．4B ．5C ． 6D ．7[ 分析 ]由题意得.圆C1：(x＋4)2＋y2＝4的圆心为(－4,0).半径为 r1＝2；圆 C2：(x－4)2＋y2＝1 的圆心为 (4,0).半径为 r2＝ 1.y2设双曲线 x2－15＝1 的左、右焦点分别为F1(－4,0).F2(4,0)．如图所示 .连结 PF1.PF2.F1M.F2N.则 |PF1|－|PF2|＝2.又 |PM|max＝ |PF1|＋r 1.|PN|min＝|PF2|－r2.因此 |PM|－ |PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r 1＋r2＝5.又|PM|min＝|PF1|－r1.|PN|max＝|PF2|＋r2.所以|PM|－|PN|的最小值 n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－ 1.因此 |m－n|＝6.应选 C.[答案]C二、填空题7．(20xx ·河北衡水中学二调 )函数 f(x)＝3－x＋x2－4的零点个数是________．1[ 分析 ]令f(x)＝0.则x2－4＝－3x.分别作出函数g(x)＝x2－14.h(x)＝－3x的图象 .由图可知 .明显 h(x)与 g(x)的图象有 2 个交点 .故函数 f(x)的零点个数为 2.[答案] 28．(20xx ·广东珠海一中 4月模拟 )设函数 f(x)＝x|x－a|的图象与函数g(x)＝ |x－1|的图象有三个不一样的交点 .则a的取值范围是________．[ 分析 ] 易知 a＝0 时不知足题意．当 a<0 时.f(x)与 g(x)的图象如图(1).不知足题意．8/13当 a>0 时.f(x)与 g(x)的图象如图 (2)．依据图 (2)知要知足 f(x)与g(x)的图象有三个不一样交点.需 a>1.∴ a 的取值范围是 (1.＋∞)．[答案 ] (1.＋∞)9．(20xx ·山西四校模拟 )设等差数列 { a n} 的前 n项和为 S n.若S4≥1 0.S5≤15.则a4的最大值为 ________．[ 分析 ]由题意可得4×34a1＋2d≥10，5×45a1＋2d≤15，2a1＋3d≥5，即又 a4＝a1＋3d.故本题可转变为线性规划问a1＋2d≤3.题．画出可行域如图暗影部分所示．作出直线 a1＋3d＝0.经平移可知当直线 a4＝a1＋3d 过可行域内点 A(1,1)时.纵截距最大 .此时 a4取最大值 4.[答案] 4三、解答题10．(20xx ·南海口模拟海 )设对于θ的方程 3cosθ＋sinθ＋a＝0在区间 (0,2 π)内有相异的两个实数α、β.(1)务实数 a的取值范围；(2)求α＋β的值．[ 解]πa(1)原方程可化为 sin θ＋3＝－2.π作出函数 y＝sin x＋3 (x∈(0,2 π的))图象．由图知 .方程在 (0,2 π)内有相异实根α.β的充要条件是a－1<－2<1，即－ 2<a<－3或－3<a<2.a 3－2≠2，(2)由图知：当－a3a 3<a<2.即－∈ －1，2时.直线 y＝－与三22角函数＝sin x＋π 的图象交于、D两点它们中点的横坐标为y3C. 7πα＋β7π6 .因此2＝6 .7π因此α＋β＝3 .当－ 2<a<－a3a3.即－∈2，1时.直线 y＝－与三角函数 y＝22sin x＋π的图象有两交点 A、B.3α＋βππ由对称性知 .2＝6 .因此α＋β＝3 .π7π综上所述 .α＋β＝3或3 .11．(20xx ·东德州模拟山 )已知直线 l：x－y＝1与圆 M：x2＋y2－2 x＋2y－1＝0订交于 A.C两点 .点B.D分别在圆 M上运动 .且位于直线 AC 双侧 .求四边形 ABCD面积的最大值．[ 解]把圆 M：x2＋y2－ 2x＋2y－1＝0 化为标准方程： (x－ 1)2＋(y＋1)2＝3.圆心 (1.－1).半径 r＝ 3.直线 l 与圆 M 订交 .圆心到直线 l 的距离 d＝错误!＝错误! .因此弦长 |AC|＝2×错误!＝错误! .又 B.D 两点在圆上 .且位于直线 l 的双侧 .四边形 ABCD 的面积能够当作是两个三角形△ ABC 和△ ACD 的面积之和 .如下图 .当 B.D为如下图地点 .即 BD 为弦 AC 的垂直均分线时 (即为直径时 ).两三角形的面积之和最大 .即四边形 ABCD 的面积最大 .11最大面积为 S＝2|AC|×|BE|＋2|AC|×|DE|11＝2|AC|×|BD|＝2× 10×2 3＝30.x2 y2 12．(20xx ·川成都调研四 )已知 A(1,1)为椭圆9＋5＝1内一点 .F1为椭圆的左焦点 .P为椭圆上一动点 .求 |PF1|＋|PA|的最大值和最小值．[ 解]由x2＋y25.c＝2.左焦点 F1(－2,0).右焦9＝1 可知 a＝3.b＝5点 F2(2,0)．由椭圆定义 .知|PF1|＝2a－|PF2|＝ 6－|PF2|.∴|PF1|＋|PA|＝6－|PF2|＋|PA|＝6＋|PA|－ |PF2|.如图 .由||PA|－|PF2||≤|AF2|＝错误!＝错误! .知－错误!≤|PA|－|PF2|≤ 2.当点 P 在 AF2的延伸线上的点P2处时 .取右“＝”.当点 P 在 AF2的反向延伸线上的点P1处时 .取左“＝”.即 |PA|－|PF2|的最大、最小值分别为 2.－ 2.于是 |PF1|＋ |PA|的最大值是 6＋ 2.最小值是 6－ 2.。