2018年高考数学(理)二轮复习练习：小题提速练6 “12选择+4填空”80分练 Word版含答案

高考大题专攻练12.函数与导数(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.已知函数f(x)=ln(2ax+a2-1)-ln(x2+1)，其中a∈R. 世纪金榜导学号92494448(1)求f(x)的单调区间.(2)是否存在a的值，使得f(x)在[0，+∞)上既存在最大值又存在最小值？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)f(x)=ln(2ax+a2-1)-ln(x2+1)=ln.设g(x)=，g′(x)=-.①当a=0时，f(x)无意义，所以a≠0.②当a>0时，f(x)的定义域为.令g′(x)=0，得x1=-a，x2=，g(x)与g′(x)的情况如表：-(-a)=>0，所以>-a.-=-<0，所以<.故f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是.③当a<0时，f(x)的定义域为.令g′(x)=0，得x1=-a，x2=，g(x)与g′(x)的情况如表：-(-a)=<0，所以<-a.-=->0，所以>.所以f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是.(2)①当a>0时，由(1)可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)在[0，+∞)上存在最大值f=lna2. 下面研究最小值：由于f(x)的定义域为.(ⅰ)若≥0，即0<a≤1时，结合f(x)的定义域可知f(x)在[0，+∞)上没有最小值，不合题意.(ⅱ)若<0，即a>1时，因为在上单调递增，所以f(x)在上存在最小值f(0)；因为f(x)在上单调递减，所以f(x)在上不存在最小值.所以，要使f(x)在[0，+∞)上存在最小值，只可能是f(0)=ln(g(0)).计算整理g(x)-g(0)=-(a2-1)=.要使f(x)在[0，+∞)上存在最小值，只需x∈[0，+∞)，g(x)-g(0)≥0.因为x2+1>0，则问题转化为x∈[0，+∞)时，(1-a2)x+2a≥0恒成立.设h(x)=(1-a2)x+2a，则只需或解得0≤a≤1，这与a>1相矛盾，所以f(x)在[0，+∞)上没有最小值，不合题意.②当a<0时，由于f(x)的定义域为.(ⅰ)若≤0，即-1≤a<0时，f(x)在[0，+∞)上没有意义，也不存在最大值和最小值.(ⅱ)若>0，即a<-1时，由(1)可知f(x)在上单调递减，f(x)存在最大值，但不存在最小值.综上，不存在a的值，使得f(x)在[0，+∞)上既存在最大值又存在最小值.2.已知函数f(x)=ae x+(2-e)x(a为实数，e为自然对数的底数)，曲线y=f(x)在x=0处的切线与直线(3-e)x-y+10=0平行. 世纪金榜导学号92494449(1)求实数a的值，并判断函数f(x)在区间[0，+∞)内的零点个数.(2)证明：当x>0时，f(x)-1>xln(x+1).【解析】(1)f′(x)=ae x+2-e，由题设，可知曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率k=f′(0)=a+2-e=3-e，解得a=1，所以f(x)=e x+(2-e)x，所以x≥0时，f′(x)=e x+2-e≥e0+2-e>0，所以f(x)在区间[0，+∞)内为增函数，又f(0)=1>0，所以f(x)在区间[0，+∞)内没有零点.(2)当x>0时，f(x)-1>xln(x+1)等价于>ln(x+1)，记g(x)=e x-(x+1)，则g′(x)=e x-1，当x>0时，g′(x)>0，所以当x>0时，g(x)在区间(0，+∞)内单调递增，所以g(x)>g(0)=0，即e x>x+1，两边取自然对数，得x>ln(x+1)(x>0)，所以要证明>ln(x+1)(x>0)，只需证明≥x(x>0)，即证明当x>0时，e x-x2+(2-e)x-1≥0，①设h(x)=e x-x2+(2-e)x-1，则h′(x)=e x-2x+2-e，令φ(x)=e x-2x+2-e，则φ′(x)=e x-2，当x∈(0，ln2)时，φ′(x)<0；当x∈(ln2，+∞)时，φ′(x)>0.所以φ(x)在区间(0，ln2)内单调递减，在区间(ln2，+∞)内单调递增，又φ(0)=3-e>0，φ(1)=0，0<ln2<1，所以φ(ln2)<0，所以存在x0∈(0，1)，使得φ(x0)=0，所以当x∈(0，x0)，或x∈(1，+∞)时，φ(x)>0；当x∈(x0，1)时，φ(x)<0，所以h(x)在区间(0，x0)内单调递增，在区间(x0，1)内单调递减，在区间(1，+∞)内单调递增，又h(0)=h(1)=0，所以h(x)=e x-x2+(2-e)x-1≥0，当且仅当x=1时，取等号，即①式成立.所以f(x)-1>xln(x+1).关闭Word文档返回原板块。

小题提速练(三) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i[答案] B2．已知集合M ＝{x |x 2－2x ＜0}，N ＝{x |x ＜a }，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0][答案] A3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17[答案] B4．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则( )A ．若m ⊥n ，则α⊥βB ．若α⊥β，则m ⊥nC ．若m ∥n ，则α∥βD ．若α∥β，则m ∥n[答案] D5．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( ) A.15 B ．－15C ．5D ．－5[答案] D6．执行如图1所示的程序框图，输出的n 值为( )【导学号：04024180】图1A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B7．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图2，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图2A.18B.17 C.16 D.15[答案] D8．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ＞0)没有零点，则a ＋cb的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞)[答案] D9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sinA ＋sinB 的最大值是( )【导学号：04024181】A ．1 B. 2 C ．3 D. 3[答案] D10．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(1,3] D ．(1,3)[答案] A11．(2016·全国卷Ⅲ)已知( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b[答案] A12．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2nmC.4m nD.2mn[答案] C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图3，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【导学号：04024182】图3[解析] 由题意，得BF →·CF →＝(BD →＋DF →)·(CD →＋DF →)＝(BD →＋DF →)·(－BD →＋DF →)＝DF →2－BD →2 ＝|DF →|2－|BD →|2＝－1，① BA →·CA →＝(BD →＋DA →)·(CD →＋DA →)＝(BD →＋3DF →)·(－BD →＋3DF →) ＝9DF →2－BD →2＝9|DF →|2－|BD →|2＝4.② 由①②得|DF →|2＝58，|BD →|2＝138.∴BE →·CE →＝(BD →＋DE →)·(CD →＋DE →) ＝(BD →＋2DF →)·(－BD →＋2DF →)＝4DF →2－BD →2 ＝4|DF →|2－|BD →|2＝4×58－138＝78.[答案] 7814．如图4，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________．图4[解析] 在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝22＋22－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2 3.设CD ＝x ，则AD ＝23－x ， ∴PD ＝23－x ，∴V P ­BCD ＝13S △BCD ·h ≤13×12BC ·CD sin 30°·PD＝16×2x ×12×(23－x ) ＝16x (23－x )≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23－x 22 ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝12，当且仅当x ＝23－x ，即x ＝3时取“＝”， 此时PD ＝3，BD ＝1，PB ＝2，满足题意． [答案] 1215．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n ＞1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________.[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，∴a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1(n ≥2)，∴数列{a n }从第二项开始为等差数列， 当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2， ∴a 3＝a 2＋2＝4，∴S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋＋2＝91.[答案] 9116．给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题：①y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12； ②点(k,0)是y ＝f (x )的图象的对称中心，其中k ∈Z ； ③函数y ＝f (x )的最小正周期为1；④函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，32上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是________.[解析] 令x ＝m ＋a ，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，m ∈Z ， 所以f (x )＝x －{x }＝a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，所以①正确． 因为f (2k －x )＝2k －x －{2k －x }＝－x －{－x }＝f (－x )≠－f (x )(k ∈Z )，所以点(k,0)不是函数f (x )的图象的对称中心，所以②错误．f (x ＋1)＝x ＋1－{x ＋1}＝x －{x }＝f (x )，又可知小于1的正数都不是f (x )的周期，所以最小正周期为1.所以③正确．显然④错误．所以正确的为①③. [答案] ①③。

小题提速练(七)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U ＝R ，A ＝{x ∈N |2x (x －4)＜1}，B ＝{x ∈N |y ＝ln(2－x )}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.由韦恩图知阴影部分表示的是A ∩(∁U B )，∵A ＝{x ∈N |2x (x －4)＜1}＝{1,2,3}，B ＝{x ∈N |y ＝ln(2－x )}＝{0,1}，∴阴影部分对应的集合是A ∩(∁U B )＝{2,3}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为22＝4.2．若复数a ＋3i1＋2i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－6B ．－2C ．4D ．6 解析：选A.∵a ＋3i 1＋2i ＝a ＋－＋－＝a ＋＋－2a5为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3－2a ≠0，解得a ＝－6.3．给出命题p ：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；命题q ：向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.关于以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A ．命题“p ∨q ”为假 B ．命题“p ∧q ”为真 C ．命题“p ∨﹁q ”为假D ．命题“p ∧﹁q ”为真解析：选A.命题p ：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β或相交，因此是假命题；命题q ：向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a·b ＜0，且不异向共线，－2λ－1＜0，解得λ＞－12，由－λ＋2＝0，解得λ＝2，此时a 与b 异向共线，因此向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞且λ≠2，因此是假命题． 4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A ．24πB ．6πC ．4πD ．2π解析：选B.几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为2的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R ＝22＋22，R ＝62，所以外接球的表面积为4πR 2＝6π. 5．下面图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是( )7 8 9 10 116 9 1 3 6 72 9 4 1 58 6 3 1 4图1图2A ．6B ．10C ．91D ．92解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图可知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.6．已知正数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝4－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最小值为( )A ．1 B.14 32 C.116D.132解析：选C.根据约束条件画出可行域，把z ＝4－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y化成z ＝2－2x －y，直线z 1＝－2x －y 过点A (1,2)时，z 1最小值是－4，∴z ＝2－2x －y的最小值是2－4＝116.7．已知函数y ＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ(A ＞0)在一个周期内的图象如图所示，其中P ，Q 分别是这段图象的最高点和最低点，M ，N 是图象与x 轴的交点，且∠PMQ ＝90°，则A 的值为()A. 3B. 2 C ．1D ．2解析：选A.过Q ，P 分别作x 轴的垂线于B ，C ，∵函数的周期T ＝2ππ2＝4，∴MN ＝2，CN ＝1，∵∠PMQ ＝90°，∴PQ ＝2MN ＝4，即PN ＝2，即PC ＝PN 2－NC 2＝4－1＝3，∴A ＝ 3.8．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．0 B ．－100 C ．100D ．10200解析：选B.由题意可得a n ＝n 2cos(n π)＋(n ＋1)2cos[(n ＋1)π]＝(－1)n －1(2n ＋1)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3－5＋7－9＋11－…＋199－201＝50×(－2)＝－100.9．函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x－12x ＋a ，则函数f (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，又∵x ≤0时，f (x )＝2x－12x ＋a ，∴f (0)＝20＋a ＝0，解得a ＝－1，故x ≤0时，f (x )＝2x －12x －1，令f (x )＝2x －12x －1＝0，解得x ＝－1或x ＝0，故f (－1)＝0，则f (1)＝0，综上所述，函数f (x )的零点个数是3个．10．设A 1，A 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点，若双曲线上存在点M 使得两直线斜率kMA 1·kMA 2＜2，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(0，3)B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(0,3)解析：选B.由题意可得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，设M (m ，n )，可得m 2a 2－n 2b 2＝1，即n 2m 2－a 2＝b 2a 2，由题意k MA 1·k MA 2＜2，即为n －0m ＋a ·n －0m －a ＜2，即有b 2a 2＜2，即b 2＜2a 2，c 2－a 2＜2a 2，即c 2＜3a 2，c ＜3a ，即有e ＝ca＜3，由e ＞1，可得1＜e ＜ 3.11．已知△ABC 外接圆O 的半径为1，且OA →·OB →＝－12，∠C ＝π3，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自△ABC 内的概率恰为334π，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.∵OA →·OB →＝－12，圆的半径为1，∴cos∠AOB ＝－12，又0＜∠AOB ＜π，故∠AOB ＝2π3，又△AOB 为等腰三角形，故AB ＝3，从圆O 内随机取一个点，取自△ABC 内的概率为334π，即S △ABC S 圆＝334π，∴S △ABC ＝334，设BC ＝a ，AC ＝b ，∵C ＝π3，∴12ab sin C ＝334，得ab ＝3①，由AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3，得a 2＋b 2－ab ＝3，a 2＋b 2＝6②，联立①②解得a ＝b ＝3，∴△ABC 为等边三角形．12．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f ′(x )＞f (x )成立，则( ) A ．3f (ln 2)＞2f (ln 3) B ．3f (ln 2)＝2f (ln 3) C ．3f (ln 2)＜2f (ln 3)D ．3f (ln 2)与2f (ln 3)的大小不确定 解析：选C.令g (x )＝f xe x ，则g ′(x )＝f x x－f xxe2x＝f x －f xex，因为对任意x ∈R 都有f ′(x )＞f (x )，所以g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，又ln 2＜ln 3，所以g (ln 2)＜g (ln 3)，即feln 2＜feln 3，所以f2＜f3，即3f (ln 2)＜2f (ln 3)，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝________.解析：因为点P (2,2)满足圆(x －1)2＋y 2＝5的方程，所以P 在圆上，又过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为a ＝2－02－1＝2.答案：214．在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．若AB ＝AD ，则△ADC 的周长的最大值为________．解析：∵AB ＝AD ，B ＝π3，∴△ABD 为正三角形，∵∠DAC ＝π3－C ，∠ADC ＝2π3，在△ADC 中，根据正弦定理可得ADsin C ＝43sin 2π3＝DCsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ＋43＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin C ＋32cos C ＋43＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＋43，∵∠ADC ＝2π3，∴0＜C ＜π3，∴π3＜C ＋π3＜2π3，∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3的最大值为1，则△ADC 的周长最大值为8＋4 3.答案：8＋4 315．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为________．解析：由椭圆C ：x 24＋y 23＝1可得a 2＝4，b 2＝3，c ＝a 2－b 2＝1，可得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由AF 2⊥F 1F 2，令x ＝1，可得y ＝±3·1－14＝±32，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，设P (m ，n )，则m 24＋n 23＝1，又－3≤n ≤3，则F 1P →·F 2A →＝(m ＋1，n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32＝32n ≤332，可得F 1P →·F 2A →的最大值为332.答案：33216．定义在R 上的函数，对任意实数都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝2，记a n ＝f (n )(n ∈N *)，则a 2018＝________.解析：∵f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，∴f (x ＋1)＋2≤f (x ＋3)≤f (x )＋3，∴f (x ＋1)≤f (x )＋1，∵f (x ＋1)＋1≥f (x ＋2)≥f (x )＋2，∴f (x ＋1)≥f (x )＋1，∴f (x ＋1)＝f (x )＋1，∴f (x ＋1)－f (x )＝1，∴{a n }是以f (1)为首项，公差为1的等差数列． ∴a 2018＝f (2018)＝f (1)＋(2018－1)×1＝2019. 答案：2019。

小题提速练(八) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数3i1－i对应的点在( )【导学号：07804222】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [3i1－i＝＋－＋＝－3＋3i 2，故其对应的点在第二象限，选B.]2．已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.]3．某小区有1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( ) (参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.27%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.45%，P (μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.73%) A ．17 B ．23 C ．34D ．46B [P (ξ＞320)＝12×[1－P (280＜ξ＜320)]＝12×(1－95.45%)≈0.023， 0．023×1 000＝23，∴用电量在320度以上的户数约为23.故选B.]4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6B ．y ＝－cos 2xC ．y ＝cos 2xD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6A [依题意得，y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6.故选A.]5．已知向量a ＝(1，cos α)，b ＝(sin α，1)，且0＜α＜π，若a ⊥b ，则α＝( )A.2π3 B ．3π4C.π4D ．π6B [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1.又α∈(0，π)， ∴α＝3π4.故选B.]6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 3 B ． 2 C ．2D ．3A [设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1中得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝3，选A.]7．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．19D ．20D [令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0.又由(2x －1)10的展开式的通项可得a 1＝－20， 所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.]8．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1B [S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝45°或135°.若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.] 9．某几何体的三视图如图20所示(网格线中每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )图20A ．48B ．54C ．64D ．60D [根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积S ＝6×3＋12×6×4＋2×12×3×5＋12×6×5＝60，故选D.]10．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0，若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则直线2x ＋y ＋k ＝0被圆(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦长的最大值为( )【导学号：07804223】A ．10B ．2 5C ．4 5D ．3 5B [作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，不等式2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥(－2x －y )max ，设z ＝－2x －y ，则由图可知，当直线y ＝－2x －z 经过点A (－2，－2)时，z 取得最大值，即z max ＝－2×(－2)－(－2)＝6，所以k ≥6.因为圆心(1,2)到直线2x ＋y ＋k ＝0的距离d ＝|2＋2＋k |22＋12＝|4＋k |5，记题中圆的半径为r ，则r ＝5，所以直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝2－k ＋2＋1255，所以当k ＝6时，L 取得最大值，最大值为25，故选B.]11．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1CF 的面积为123，则准线l 的方程为( )A ．x ＝－ 2B ．x ＝－2 2C ．x ＝－2D ．x ＝－1A [由题意，知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l 的方程为x ＝－p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2.由AF →＝3FB →，得p 2－x 1＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，即x 2＝13(2p －x 1) ①.由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程，消去y ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0，所以x 1x 2＝p 24 ②.联立①②，得x 1＝32p 或x 1＝p2(舍去)，所以|y 1|＝3p .因为S 四边形AA 1CF ＝|y 1|⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋p2＋p 2＝123，将x 1，|y 1|的值代入，解得p ＝22，所以准线l 的方程为x ＝－2，故选A.] 12．已知函数f (x )＝ax ＋eln x 与g (x )＝x 2x －eln x的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＜－e B ．a ＞1C ．a ＞eD ．a ＜－3或a ＞1B [由ax ＋eln x ＝x 2x －eln x (x ＞0)，得a ＋eln x x ＝11－eln x x.令h (x )＝eln xx，且t＝h (x )，则a ＋t ＝11－t，即t 2＋(a －1)t －a ＋1＝0 (*)．由h ′(x )＝－ln xx 2＝0，得x ＝e ，函数h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，且x →＋∞时，h (x )→0，h (x )的大致图象如图所示．由题意知方程(*)有一根t 1必在(0,1)内，另一根t 2＝1或t 2＝0或t 2∈(－∞，0)．当t 2＝1时，方程(*)无意义，当t 2＝0时，a ＝1，t 1＝0不满足题意，所以t 2∈(－∞，0)，令m (t )＝t 2＋(a －1)t －a ＋1，由二次函数的图象，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝02＋a －－a ＋1＜0m＝12＋a －－a ＋1＞0，解得a ＞1，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．运行如图21所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为________．图21[解析] 依次运行程序框图中的语句可得n ＝2，x ＝2t ，a ＝1；n ＝4，x ＝4t ，a ＝3；n ＝6，x ＝8t ，a ＝3.此时结束循环，输出的a x＝38t， 由38t≥3，得8t ≥1，t ≥18.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ 14．从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．[解析] 依题意共有8类不同的和声，当有k (k ＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C k10种不同的和声，则和声总数为C 310＋C 410＋C 510＋…＋C 1010＝210－C 010－C 110－C 210＝1 024－1－10－45＝968. [答案] 96815．已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)·OA →(λ∈R )(O 是坐标原点)，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．[解析] 因为AP →＝(λ－1)OA →，所以OP →＝λOA →，即O ，A ，P 三点共线，因为OA →·OP →＝72，所以OA →·OP →＝λ|OA →|2＝72，设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP →||cos θ|＝|λ||x |＝72|x ||OA →|2＝72|x |x 2＋y 2＝721625|x |＋9|x |≤72216×925＝15，当且仅当|x |＝154时取等号．故线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. [答案] 1516．已知三棱锥D ­ABC 的体积为2，△ABC 是等腰直角三角形，其斜边AC ＝2，且三棱锥D ­ABC的外接球的球心O 恰好是AD 的中点，则球O 的体积为________.【导学号：07804224】[解析] 设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，则由O 是AD 的中点得，点D 到平面ABC 的距离等于2d ，所以V D ­ABC ＝2V O ­ABC ＝23×12×2×2×d ＝2，解得d ＝3，记AC 的中点为O ′，则OO ′⊥平面ABC .在Rt△OO ′A 中，OA 2＝OO ′2＋O ′A 2，即R 2＝d 2＋12＝10，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝43π×1010＝40103π. [答案] 40103π。

小题提速练(四) “12选择＋4填空”80分练 (时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1的定义域为( )【导学号：04024184】A ．(－∞，0]B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)B [由已知得1x －1＞0，x ≠0，所以1－x x ＞0，x ≠0，所以x －1x＜0，x ≠0，所以0＜x ＜1.故选B.]2．复数(1－i)(2＋2i)＝( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2A [(1－i)(2＋2i)＝2＋2i －2i ＋2＝4.]3．已知等比数列{a n }的公比为－12，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6的值是( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2A [a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5－12a 1＋a 3＋a 5＝－2.]4．若m ＝6，n ＝4，则运行如图1所示的程序框图后，输出的结果是( )图1A.1100B ．100C ．10D ．1D [因为m ＞n ，所以y ＝lg(m ＋n )＝lg(6＋4)＝1.故选D.]5．设α，β，γ为不重合的平面，m ，n 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件是( )【导学号：04024185】A ．α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥nB ．α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γC ．α⊥γ，β⊥γ，m ⊥αD ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥αD [因为n ⊥α，m ⊥α，所以m ∥n ，又n ⊥β，所以m ⊥β，故选D.]6．若实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0，则3x ＋y 的最大值为( )A ．0 B. 3 C ．2 3D.233C [如图所示，画出不等式组表示的平面区域，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移直线l ，当直线l 经过点A (1，3)时，3x ＋y 取得最大值，即(3x ＋y )max ＝23，故选C.]7．在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( )A.13AC →＋23AB →B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB →D.23AC →＋13AB → D [根据题意画出图形如图所示．因为BD →＝2DC →，所以AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，所以3AD →＝AB →＋2AC →，所以AD →＝13AB →＋23AC →.]8．一个几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积等于( )图2A ．5π B.556π C.1256π D.716π D [由三视图可知，该几何体为直径为5的球中挖去一个底面直径是3，高是4的圆柱后剩余的几何体，所以该几何体的体积为43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫523－π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322×4＝716π.]9．将函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称B [依题意有g (x )＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin 2x ，显然g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数．故选B.]10．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆(x －2)2＋y 2＝1上的点的最小距离与其到直线x ＝－1的距离相等，则P 点的轨迹方程是( )【导学号：04024186】A ．y 2＝8x B ．x 2＝8y C ．y 2＝4xD ．x 2＝4yA [由题意知点P 在直线x ＝－1的右侧，且点P 在圆的外部，故可将条件等价转化为“P 点到定点(2,0)的距离与其到定直线x ＝－2的距离相等”．根据抛物线的定义知，P 点的轨迹方程为y 2＝8x .] 11．若函数f (x )＝－m xx 2＋m的图象如图3所示，则m 的取值范围为( )图3A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．(1,2)D [由图可知，函数图象过原点，即f (0)＝0，所以m ≠0.当x >0时，f (x )>0，所以2－m >0，即m <2.函数f (x )在[－1,1]上单调递增，所以f ′(x )>0在[－1,1]上恒成立，因为f ′(x )＝－mx 2＋m －2x －m x x 2＋m 2＝m －x 2－m x 2＋m2，且m －2<0，所以x 2－m <0在[－1,1]上恒成立，所以m >1.综上得1<m <2.故选D. ]12．已知直角三角形ABC 的两直角边AB ，AC 的长分别为方程x 2－2(1＋3)x ＋43＝0的两根，且AB ＜AC ，斜边BC 上有异于端点B ，C 的两点E ，F ，且EF ＝1，设∠EAF ＝θ，则tan θ的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤239，6311 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤39，2311 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤39，4311 D.⎝⎛⎦⎥⎤439，16311C [由已知得，AB ＝2，AC ＝23，BC ＝AB 2＋AC 2＝4，建立如图所示的直角坐标系，可得A (0,0)，B (2,0)，C (0,23)．设BF →＝λBC →⎝⎛⎭⎪⎫λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，34，BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫λ＋14BC →，则F (2－2λ，23λ)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2λ，23λ＋32，所以AE →·AF →＝3－4λ－3λ＋4λ2＋12λ2＋3λ＝16λ2－4λ＋3＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－182＋114∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9.而点A 到BC 的距离d ＝AB ·AC BC ＝3，则S △AEF ＝12EF ·3＝32，所以S △AEF AE →·AF →＝12|AE →||AF →|sin θ|AE →||AF →|cos θ，所以tan θ＝2S △AEF AE →·AF →＝3AE →·AF→∈⎝ ⎛⎦⎥⎤39，4311.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝ln x －ax 2，且函数f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的斜率是－32，则a＝________.[解析] 由题意知，f ′(2)＝－32，又f ′(x )＝1x －2ax ，所以－32＝12－2a ×2，得a ＝12.[答案] 1214．在距离某晚会直播不到20天的时候，某媒体报道，由两位明星合演的小品节目被毙，为此，某网站针对“是否支持该节目上晚会”对网民进行调查，得到如下数据：为________．[解析] 由分层抽样法的特点得，从持“支持”态度的网民中抽取的人数为48×8 0008 000＋6 000＋10 000＝48×13＝16.[答案] 1615．已知三棱锥P ­ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝2，PB ＝PC ＝1，则三棱锥P ­ABC 的外接球的体积为________．[解析] 三棱锥P ­ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝2，PB ＝PC ＝1，则该三棱锥的外接球就是三棱锥扩展成的长方体的外接球．易得长方体的体对角线长为12＋12＋22＝6，所以该三棱锥的外接球的半径为62，所以三棱锥P ­ABC 的外接球的体积为4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＝6π.[答案]6π16．在△ABC 中，b cos C ＋c cos B ＝a cos C ＋c cos A ＝2，且a cos C ＋3a sin C ＝a ＋b ，则△ABC 的面积为________．【导学号：04024187】[解析] 由已知条件与余弦定理，得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2，a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc＝2，解得a ＝2，b ＝2.又a cos C ＋3a sin C ＝a ＋b ，即2cos C ＋23sin C＝4，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，所以C ＋π6＝π2，得C ＝π3，所以△ABC 的面积S ＝12×2×2sin π3＝3. [答案] 3。

特色专项考前增分集训小题提速练(一) “12选择＋4填空”80分练 (时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( )A ．3，－2B ．3,2C ．3，－3D ．－1,4[答案] A2．设集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1＜0}，则A ∪B 等于( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)[答案] C3．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )【导学号：04024172】A.π6B.π4C.π3D.56π [答案] A4．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ [答案] A5．点O 为坐标原点，点F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，点P 为C 上一点．若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4[答案] C6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( )A ．100B ．101C ．200D ．201[答案] A7．某空间几何体的三视图如图1所示，则该几何体的表面积为( )图1A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2[答案] D8．将函数f (x )＝cos(π＋x )(cos x －2sin x )＋sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )【导学号：04024173】A ．最大值为2，图象关于直线x ＝π2对称B ．周期为π，图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π4，0对称C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上单调递增，为偶函数D ．在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数[答案] D9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图2所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3,2，则输出v 的值为( )图2A ．9B ．18C ．20D ．35[答案] B10．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815 B.18 C.115D.130[答案] C11．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2[答案] D12．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( )【导学号：04024174】A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________．[解析] 注意到与直线x －y －2＝0平行且距离为1的直线方程分别是x －y －2＋2＝0和x －y －2－2＝0，要使圆上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，需满足在两条直线x －y －2＋2＝0和x －y －2－2＝0中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以|2－2|2＜r ＜|－2－2|2，即2－1＜r ＜2＋1.[答案] (2－1，2＋1)14．如图3，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，PA ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则实数a 的取值范围是________.【导学号：04024175】图3[解析] 如图，连接AQ .∵PA ⊥平面AC ，∴PA ⊥QD ，又PQ ⊥QD ，PQ ∩PA ＝P ，∴QD ⊥平面PQA ，于是QD ⊥AQ ，∴在线段BC 上存在一点Q ，使得QD ⊥AQ ，等价于以AD 为直径的圆与线段BC 有交点，∴a2≥1，a ≥2.[答案] [2，＋∞)15．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是________．[解析] 依题意知，x ＞0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x，令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)．当－m4≤0时，g (0)＝1＞0恒成立，∴m ≥0时，g (x )＞0恒成立， 当－m4＞0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m ＜0，综上，m 的取值范围是m ≥－2 2. [答案] －22，＋∞)16．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．[解析] 设生产产品A x 件，产品B y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． [答案] 216 000。

小题提速练(三) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设命题p ：∀x ＞0，log 2x ＜2x ＋3，则﹁p 为( )A ．∀x ＞0，log 2x ≥2x ＋3B ．∃x ＞0，log 2x ≥2x ＋3C ．∃x ＞0，log 2x ＜2x ＋3D ．∀x ＜0，log 2x ≥2x ＋3B [由全称命题的否定为特称命题，知﹁p 为∃x ＞0，log 2x ≥2x ＋3，故选B.] 2．已知集合A ＝{0,1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 D [∵x ∈A ，y ∈A ，A ＝{0,1}， ∴x ＝0或x ＝1，y ＝0或y ＝1， ∴z ＝x ＋y ＝0或1或2， ∴B ＝{0,1,2}，∴集合B 的子集个数为23＝8.故选D.]3．已知复数m ＝4－x i ，n ＝3＋2i ，若n m∈R ，则实数x 的值为( )【导学号：07804208】A ．－6B ．6 C.83D ．－83D [因为n m ＝3＋2i4－x i＝＋＋x －x＋x＝12－2x ＋＋3x16＋x2∈R ，所以8＋3x ＝0，解得x ＝－83，故选D.]4．已知双曲线x 2a －3＋y 22－a＝1，焦点在y 轴上．若焦距为4，则a 等于( )A.32 B ．5 C ．7 D.12D [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0a －3＜0，解得a ＜2，所以22＝2－a ＋3－a ，解得a ＝12，故选D.]5．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2θ＝－79，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋θ的值等于( )A.13 B ．±13C ．－19D ．19B [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－2π3＋π＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－79，即cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝79， 所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π62＝19， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝±13，故选B.] 6．如图6是某个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )图6A ．2＋π2B ．2＋π3C ．4＋π3D ．4＋π2A [由三视图知该几何体是一个三棱柱与一个半圆柱的组合体，其中三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形，高为2，半圆柱的底面半径为1，高为1，所以该几何体的体积为12×2×2×2＋12×π×12×1＝2＋π2，故选A.]7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图7所示，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，f (π)＝－1，则φ的值为( )图7A ．－π6B ．－5π6C ．－π3D ．－2π3B [设函数f (x )的最小正周期为T ，由题意得，T 2＝π－π2＝π2，所以T ＝π，故ω＝2ππ＝2，故f (x )＝2sin(2x ＋φ)，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，故π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )．所以φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )或φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π，故φ＝－5π6或φ＝－π6.结合函数f (x )的单调性可知，φ＝－5π6，φ＝－π6(舍去)．]8．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”现用程序框图描述，如图8所示，则输出结果n ＝( )【导学号：07804209】图8A ．5B ．4C ．3D ．2B [第一次循环，得S ＝0＋1＋1＝2＜10，不满足条件，继续循环；第二次循环，得n ＝2，a ＝12，A ＝2，S ＝2＋12＋2＝92＜10，不满足条件，继续循环；第三次循环，得n ＝3，a ＝14，A ＝4，S ＝92＋14＋4＝354＜10，不满足条件，继续循环；第四次循环，得n ＝4，a ＝18，A ＝8，S ＝354＋18＋8＝1358＞10，结束循环，输出n ＝4，故选B.]9．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A.5－1 B ．5＋1 C ．25＋2D ．25－2D [由题意，得a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝6－25，所以24－85＝4(a 2＋ab ＋ac ＋bc )≤4a2＋4ab ＋b 2＋c 2＋4ac ＋2bc ＝(2a ＋b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以2a ＋b ＋c ≥25－2，所以2a ＋b ＋c 的最小值为25－2，故选D.]10．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( ) A.55 B ．655C.855D ．455C [设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|ME |)＋(25－|NE |)．因为|ME |＋|NE |≥|MN |，所以|MN |－|ME |－|NE |≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|ME |－|NE |≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|EF |＝12×2×45×2＝855，故选C.]11．四面体A ­BCD 中，AB ＝CD ＝10，AC ＝BD ＝234，AD ＝BC ＝241，则四面体A ­BCD 外接球的表面积为( ) A ．50π B ．100π C ．200πD ．300πC [由题意，可将四面体补成一个长方体，此长方体的三对相对的侧面矩形的对角线长分别为10，234，241，易知此长方体的外接球就是四面体的外接球，长方体的体对角线就是长方体外接球的直径．设长方体同一顶点发出的三条棱的长度分别为x ，y ，z ，球的半径为R ，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝102y 2＋z 2＝342z 2＋x 2＝412，三式相加，得2(x 2＋y 2＋z 2)＝400，即x2＋y 2＋z 2＝200，所以(2R )2＝x 2＋y 2＋z 2＝200，即R 2＝50，所以四面体外接球的表面积为4πR 2＝4π×50＝200π，故选C.]12．设函数f (x )满足2x 2f (x )＋x 3f ′(x )＝e x，f (2)＝e28.则x ∈[2，＋∞)时，f (x )的最小值为( ) A.e 22 B ．3e 22C.e 24D ．e 28D [由已知，得2xf (x )＋x 2f ′(x )＝e xx ，即[x 2f (x )]′＝e xx，因此令F (x )＝x 2f (x )，则F ′(x )＝e x x ，F (2)＝4f (2)＝e 22.又由已知得f ′(x )＝e x －2x 2fxx 3＝e x－2F xx 3，此时再令φ(x )＝e x－2F (x )，则φ′(x )＝e x－2F ′(x )＝e x－2·e xx＝exx －x，所以当0＜x ＜2时，φ′(x )＜0，当x ＞2时，φ′(x )＞0，所以φ(x )min ＝φ(2)＝e 2－2F (2)＝0，所以当x ∈[2，＋∞)时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (2)＝e28，故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22()cos α＋sin α＝22cos 2α，即cos α＋sin α＝4cos 2α， (cos α＋sin α)2＝16cos 22α. 1＋sin 2α＝16(1－sin 22α)， 解得sin 2α＝1516或sin 2α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈()0，π，∴sin 2α＝－1不合题意，舍去． [答案]151614．已知(1＋ax 2)n(a ，n ∈N *)的展开式中第3项与第4项的二项式系数最大，且含x 4的项的系数为40，则a 的值为________.【导学号：07804210】[解析] 由二项式系数的性质可得n ＝5，T r ＋1＝C r 515－r(ax 2)r ＝C r 5a r x 2r，由2r ＝4，得r ＝2，由C 25a 2＝40，得a 2＝4，又a ∈N *，所以a ＝2.[答案] 215．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤10，－2x ＋y ＋k ≥0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为8，则其最大值为________．[解析] 如图所示，作出可行域(阴影部分)，易知目标函数z ＝3x ＋y 在A (2,4－k )处取得最小值，所以6＋4－k ＝8，即k ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，－2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，则C 点坐标为(4,6)，目标函数z ＝3x ＋y 在C 点处取得最大值z max ＝3×4＋6＝18. [答案] 1816．在△ABC 中，∠A ＝π3，O 为平面内一点，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，M 为劣弧BC ︵上一动点，且OM →＝pOB →＋qOC →，则p ＋q 的取值范围为________．[解析] 因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以O 为△ABC 外接圆的圆心，且∠BOC ＝2π3.以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设圆的半径为1，则B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设M (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤2π3，则OB →＝(1,0)，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，由OM →＝pOB →＋qOC →， 得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝p －q2sin θ＝32q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝cos θ＋13sin θq ＝23sin θ，所以p ＋q ＝cos θ＋3sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，由0≤θ≤2π3，知π6≤θ＋π6≤5π6，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，p ＋q 取得最大值2；当θ＋π6＝π6或θ＋π6＝5π6，即θ＝0或θ＝2π3时，p ＋q 取得最小值1.故p ＋q 的取值范围是[1,2]． [答案] [1,2]。

寒假作业(六) 不等式(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ≥0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －12≤x ≤32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <32 解析：选C 将不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≤0，解得－12≤x ≤32.2．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解析：选D 由于a <b <0，不妨令a ＝－2，b ＝－1，可得1a ＝－12，1b ＝－1，∴1a >1b ，－1a <－1b，故A 不正确，D 正确．可得ab ＝2，b 2＝1，∴ab >b 2，故B 不正确．可得－ab＝－2，－a 2＝－4，∴－ab >－a 2，故C 不正确．3．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.4．若a >1，则a ＋1a －1的最小值是( )A ．2B ．aC ．3D.2a a －1解析：选C ∵a >1， ∴a －1>0，a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2＋1＝3，当a ＝2时取到等号，故选C.5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则y x的取值范围是( )A ．[2,5]B ．(－∞，2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，3]∪[5，＋∞)D ．[3,5]解析：选A 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，y x表示可行域内一点(x ，y )与原点连线的斜率，由图易得A (2,4)，B (1,5)，故y x的取值范围是[2,5]．6．(2018届高三·石家庄摸底)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A.12B.32C.34D.34解析：选D 因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b 2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝24－44a 2＋b 2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.t ＝a1＋2b 2＝122×(22a )×1＋2b 2≤122×12×[]22a 2＋1＋2b 22＝142[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34.7．(2017·兰州诊断)设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则x 2＋y 2的最小值是( )A.322B.92C.5D ．25解析：选B 约束条件所表示的可行域为一个三角形，而目标函数可视为可行域内的点到原点的距离的平方，其距离的最小值为原点到直线x ＋y ＝3的距离．∵原点到直线x ＋y ＝3的距离为32＝322，∴x 2＋y 2的最小值为92. 8．已知函数f (x )＝ax 2－(a 2＋1)x ＋a ，若a >0时，f (x )<0在x ∈(1,2)上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B ．[2，＋∞)C ．(0,2]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 解析：选D 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f 2≤0，解得0<a ≤12或a ≥2.9．某工厂用A ，B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A 配件，耗时1 h ，每生产一件乙产品需用4个B 配件，耗时2 h ，该厂每天最多可从配件厂获得24个A 配件和16个B 配件，每天生产总耗时不超过8 h ．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为( )A ．24万元B ．22万元C ．18万元D ．16万元解析：选B 设该工厂分别生产甲、乙两种产品x 件，y 件，每天获得的利润为z 万元，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤24，4y ≤16，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(6,1)，所以z max ＝3×6＋4×1＝22(万元)，故选B.10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a 2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.11．(2018届高三·惠州调研)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y的最小值为－4，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2×a －53＝－4，解得a ＝2.12．在实数集R 中定义一种运算“⊕”，具有以下性质： ①对任意a ，b ∈R ，a ⊕b ＝b ⊕a ； ②对任意a ∈R ，a ⊕0＝a ；③对任意a ，b ，c ∈R ，(a ⊕b )⊕c ＝c ⊕(ab )＋(a ⊕c )＋(b ⊕c )－2c . 则函数f (x )＝x ⊕1x(x >0)的最小值为( )A ．4B ．3C ．22D ．1解析：选B 根据题意，得f (x )＝x ⊕1x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ⊕1x ⊕0＝0⊕⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋(x ⊕0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x⊕0－2×0＝1＋x ＋1x，即f (x )＝1＋x ＋1x.∵x >0，可得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x＝1，即x ＝1时等号成立．∴1＋x ＋1x ≥2＋1＝3，可得函数f (x )＝x ⊕1x(x >0)的最小值为f (1)＝3.13．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2，则m的取值范围是________．解析：∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2，∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m <2，∴m 的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0)14．(2017·南京调研)已知a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．解析：令log a b ＝t ，由a >b >1，得0<t <1，由2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t＝7，解得t＝12，即log a b ＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －1·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．答案：315．(2017·长春质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，3x ＋y ≤18，x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y2的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数的方程化成斜截式为y ＝－2x ＋2z ，结合线性规划知识知，使目标函数z ＝x ＋y2取得最大值的最优解为M (4，6)，故z ＝x ＋y2的最大值为7.答案：716．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为1，则1a ＋4b的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝ax ＋by (a >0，b >0)得，y ＝－a b x ＋z b ，平移直线y ＝－a b x ＋z b ，数形结合可知，当y ＝－abx ＋zb过点A (1,1)时，目标函数取得最大值1，即a ＋b ＝1，则1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝1＋4＋b a＋4a b≥5＋2b a ·4ab ＝5＋4＝9，当且仅当b a ＝4ab ，即b ＝2a ＝23时取等号，故1a ＋4b的最小值为9.答案：9二、能力拔高练1．已知互不相等的正数a ，b ，c 满足a 2＋c 2＝2bc ，则下列等式中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >a >b解析：选B 若a >b ，则a 2＋c 2>b 2＋c 2≥2bc ，不符合条件，排除A 、D ； 又由a 2－c 2＝2c (b －c )，故a －c 与b －c 同号，排除C ；当b >a >c 时，a 2＋c 2＝2bc 有可能成立， 例如取a ＝3，b ＝5，c ＝1，故选B. 2．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝2,2a ＋b ＝8，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．log 23解析：选B ∵a x ＝b y ＝2，∴x ＝log a 2，y ＝log b 2， ∴1x ＝log 2a ，1y＝log 2b ，∴1x ＋1y＝log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ，∵2a ＋b ＝8≥22a ·b ，∴ab ≤8(当且仅当2a ＝b 时，取等号)， ∴1x ＋1y ≤log 28＝3，即1x ＋1y的最大值为3.3．给出如下四个命题： ①若a ≥0，b ≥0，则2a 2＋b 2≥a ＋b ；②若ab >0，则|a ＋b |<|a |＋|b |；③若a >0，b >0，a ＋b >4，ab >4，则a >2，b >2； ④若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则(a ＋b ＋c )2≥3. 其中正确的命题是( ) A ．①② B ．①④ C ．②③D ．③④解析：选B ①若a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴2a 2＋b 2≥a ＋b ，故①正确；②若ab >0，则|a ＋b |＝|a |＋|b |，故②不正确；③若a >0，b >0，a ＋b >4，ab >4，取a ＝5，b ＝1.5，结论不成立，故③不正确；④若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3(ab ＋bc ＋ca )＝3，故④正确． 综上知，正确的命题是①④.4．(2018届高三·皖南八校联考)当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx －y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0 解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，x －y ＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)； 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－4，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)．要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0. 5．设a <0，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为________． 解析：当a <b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0，故(3x 2＋a )·(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－3x 2，所以a ≤－3a 2，所以－13≤a <0，所以b －a <13；当a <0<b 时，令x ＝0，则(3x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上不恒成立，不符合题意；当a <0＝b 时，由题意知x ∈(a,0)，2x (3x 2＋a )≥0恒成立，所以3x 2＋a ≤0，所以－13≤a <0，所以b －a ≤13.综上所述，b －a 的最大值为13. 答案：136．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (n ∈N *)，若m >1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1对于任意的正整数恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n 表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx ＋3n围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有n 个，所以a n ＝3n ，所以1a n a n ＋1＝13n ·3n ＋3＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1趋近于19，所以m ≥19. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞。

小题提速练(九) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}，则下列结论正确的是( )A ．N ⊆MB ．N ∩M ＝∅C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝RC [集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}＝{x |－2＜x ＜3}，则M ⊆N ，故选C.] 2．设(1＋i)(x ＋y i)＝2，其中x ，y 是实数，则|2x ＋y i|＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D. 5 D [由(1＋i)(x ＋y i)＝2得x －y ＋(x ＋y )i ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2，x ＋y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴|2－i|＝ 5.]3．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( ) A.13 B ．15 C.19D ．320A [“A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的安排方法中，另外3人中任何一个人第一个出场的概率都相等，故“C 第一个出场”的概率是13.]4．已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,1)，则a 在b 方向上的投影为( )A ．－22B ．22C ．－55D ．55A [∵a ＝(2,1)，b ＝(－1,1)，∴a·b ＝－1，|b |＝2， ∴a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－22，故选A.] 5．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 3＝2a 1，则下列结论错误的是( )A ．a 4＝0B ．S 4＝S 3C ．S 7＝0D ．{a n }是递减数列D [∵S 3＝2a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝2a 1，∴a 2＋a 3＝a 1＝a 1＋a 4，∴a 4＝0，∴S 4＝S 3，S 7＝7a 4＝0，故选项A ，B ，C 正确，选D.]6.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为( ) A ．－120 B ．－100 C ．100D ．120D [令x ＝1，可得a ＋1＝3，故a ＝2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 25－r C r 5x5－2r，令5－2r ＝－1，得r ＝3，∴1x项的系数为C 3522(－1)3，令5－2r ＝1，得r ＝2，∴x 项的系数为C 2523，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中的常数项为C 3522(－1)3＋C 2524＝120.]7．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠F 1PQ ＝60°，|PF 1|＝|PQ |，则椭圆的离心率为( ) A.33 B ．23 C.233D ．13A [∵∠F 1PQ ＝60°，|PF 1|＝|PQ |，∴△F 1PQ 为等边三角形，∴直线PQ 过右焦点F 2且垂直于x 轴，∴△F 1PF 2为直角三角形．∵|F 1P |＋|F 1Q |＋|PQ |＝4a ，∴|F 1P |＝43a ，|PF 2|＝23a ，由勾股定理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋(2c )2，即a 2＝3c 2， ∴e ＝ca ＝33.] 8．如图22，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )【导学号：07804225】图22A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.] 9．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －7≥0x ＋3y －13≤0x －y －1≤0，则z ＝|2x －3y ＋4|的最大值为( )A ．3B ．5C ．6D ．8 C [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －7≥0x ＋3y －13≤0x －y －1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (2,1)，B (1,4)．设t ＝2x －3y ，平移直线y ＝23x ，则直线经过点B 时，t ＝2x －3y 取得最小值－10，直线经过点A 时，t ＝2x －3y 取得最大值1，所以－6≤t ＋4≤5，所以0≤z ≤6.所以z 的最大值为6，故选C.]10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田(如图23)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径为4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )图23A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米B [弦长为2×4sin π3＝43，圆心到弦的距离为d ＝4×cos π3＝2，所以弧田面积为12×[43×(4－2)＋(4－2)2]＝43＋2≈9(平方米)．]11．对于函数f (x )，如果存在x 0≠0，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(e ，＋∞)D ．[1，＋∞)B [因为存在实数x 0(x 0≠0)，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则e x 0－a ＝－e -x 0＋a ，即e x 0＋1e x 0＝2a ，又x 0≠0，所以2a ＝e x 0＋1ex 0＞2e x 0·1ex 0＝2，即a ＞1，故选B.]12．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )满足xf ′(x )＋f (x )＝ln xx，且f (e)＝1e ，其中e 为自然对数的底数，则不等式f (x )＋e ＞x ＋1e 的解集是( ) A ．(0，e)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)A [令g (x )＝xf (x )，则f (x )＝g x x，g ′(x )＝ln xx，∴f ′(x )＝g xx －g xx 2＝ln x －g xx2，令h (x )＝ln x －g (x )，则h ′(x )＝1x－g ′(x )＝1－ln x x，当0＜x ＜e 时，h ′(x )＞0，当x ＞e 时，h ′(x )＜0，∴h (x )≤h (e)＝1－g (e)＝1－e f (e)＝0，∴f ′(x )≤0.令φ(x )＝f (x )－x ，则φ′(x )＝f ′(x )－1≤－1＜0，∴φ(x )为减函数，又不等式f (x )＋e ＞x ＋1e 可化为φ(x )＞φ(e)，∴0＜x ＜e ，故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．我们可以用随机数法估计π的值，如图24所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为________．(保留小数点后3位)图24[解析] 在空间直角坐标系O ­xyz 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜10＜y ＜10＜z ＜1表示的区域是棱长为1的正方体区域，相应区域的体积为13＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜10＜y ＜10＜z ＜1x 2＋y 2＋z 2＜1表示的区域是棱长为1的正方体区域内的18球形区域，相应区域的体积为18×43π×13＝π6，因此π6≈5211 000，即π≈3.126. [答案] 3.12614．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________.[解析] 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，题中的抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0,1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1)．由⎩⎨⎧x 2＝4y x ＝3y －，消去x 得3(y－1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，y 1＋y 2＝103，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163.[答案]16315．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝8，对所有正整数n 均有a n ＋2＋a n ＝a n ＋1，则∑n ＝12 017a n ＝________.[解析] ∵a 1＝2，a 2＝8，a n ＋2＋a n ＝a n ＋1，∴a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a 3＝a 2－a 1＝8－2＝6，同理可得a 4＝－2，a 5＝－8，a 6＝－6，a 7＝2，a 8＝8，…，∴a n ＋6＝a n ，又2 017＝336×6＋1，∴∑n ＝12 017a n ＝336×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6)＋a 1＝2.[答案] 216．球内有一个圆锥，且圆锥底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为3π，已知球的半径R ＝2，则此圆锥的体积为________.【导学号：07804226】[解析] 设圆锥底面半径为r ，由πr 2＝3π得r ＝ 3. 如图所示，O 为球心，O 1为圆锥底面圆的圆心， 设O 1O ＝x ，则x ＝R 2－r 2＝4－3＝1， 所以圆锥的高h ＝R ＋x ＝3或h ＝R －x ＝1，所以圆锥的体积V ＝13×3π×3＝3π或V ＝13×3π×1＝π.[答案] 3π或π。

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高考小题专攻练4.数列小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=( )A.-1B.1C.3D.7【解析】选B.因为a1+a3+a5=105，即3a3=105，所以a3=35.同理可得a4=33，所以公差d=a4-a3=-2，所以a20=a4+(20-4)×d=1.2.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( )A.错误！未找到引用源。

B.-错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.-错误！未找到引用源。

【解析】选 C.设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=错误！未找到引用源。

.3.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( )A.错误！未找到引用源。

B.-错误！未找到引用源。

C.±错误！未找到引用源。

D.±3【解析】选A.依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.4.等差数列{a n}中,a1>0,公差d<0,S n为其前n项和,对任意自然数n,若点(n,S n)在以下4条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )【解析】选C.因为S n=na1+错误！未找到引用源。

d,所以S n=错误！未找到引用源。