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绝密★启用前吉林一中2013--2014学年度上学期高二期末考试数学理测试试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请修改第I 卷的文字说明一、单项选择1. 倾斜角为60︒的直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点，且与抛物线相交于,A B 两点（点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．42. 过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠= ，则椭圆的离心率为 （ ）A B C ．12 D ．133. 若抛物线)0(22>=p px y 的焦点在直线022=--y x 上，则该抛物线的准线方程为（ ）A.2x =-B. 4=xC. 8-=xD. 4-=y4. 若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为 （ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．45. 若抛物线()220y px p =>上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M的横坐标和p 的值分别为（ ） A ．9，2 B ．1，18C ．9，2或1，18D ．9，18或1，26. 双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的一条渐近线为2y x =，则该双曲线的离心率等于（ ） A ．25 B ．5 C ．6 D ．26 7. 抛物线212=y x 截直线62-=x y 所得的弦长等于（ ）A B C ．15 8. 以双曲线4422=-y x 的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是( ) A ．x y 322= B ．x y 522= C ．x y 542= D ．x y 342= 9. $selection$10. 双曲线22221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点为12,F F ,若双曲线上存在一点P ,满足122PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为 （ ） A ．(]1,3 B ．()13， C ．()3+∞， D ．[)3,+∞ 11. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是 （ ） A ．[3,)+∞ B ．(3,)+∞ C ．(1,3] D ．(1,3)12. 中心为)00(，, 一个焦点为)25,0(F 的椭圆,截直线23-=x y 所得弦中点的横坐标为21,则该椭圆方程是 （ ） A ．125275222=+y x B ．1257522=+y x C ．1752522=+y x D ．175225222=+y x 第II 卷（非选择题）二、填空题13. 已知抛物线2:C y x =与直线:1l y kx =+，“0k ≠”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的 条件14. 右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合,则该双曲线15. 的准线方程是16. 已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x=的焦点相同，则双曲线的方程为三、解答题17. 已知点A 是椭圆()22:109x y C t t+=>的左顶点，直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆C 相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B .且当0m =时，△AEF 的面积为163. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ？并请说明理由.18. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形，其中,BA AD CD AD ⊥⊥，2,CD AD AB PA ==⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．(Ⅰ)求证：BE //平面PAD ；(Ⅱ)若BE ⊥平面PCD ，求平面EBD 与平面BDC 夹角的余弦值．19. 已知)1ln()(-=x a x f ,bx x x g +=2)(,)()1()(x g x f x F -+=,其中R b a ∈,. (I)若)(x f y =与)(x g y =的图像在交点(2,k )处的切线互相垂直,求b a ,的值;(II)若2=x 是函数)(x F 的一个极值点,0x 和1是)(x F 的两个零点,且0x ∈()1,+n n N n ∈,求n ;(III)当2-=a b 时,若1x ,2x 是)(x F 的两个极值点,当|1x -2x |>1时,求证:|)(1x F -)(x F |>3-42ln .20. ，（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0,0)l y kx m k m =+≠>与椭圆交于P ，Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ 面积的最大值及此时直线的方程.21. 已知椭圆2214x y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.(I)求椭圆2C 的方程.(II)设O 为坐标原点,点A.B 分别在椭圆C 1和C 2上,2OB OA =,求直线AB 的方程.22. 如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.参考答案一、单项选择1.【答案】C【解析】2.【答案】B【解析】由题意知点P的坐标为（-c,2ba）,或（-c,-2ba），因为1260F PF∠=，那么222c2acba==，这样根据a,b,c，选B3.【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为(,0)2p，代入直线220x y--=得202p-=，即4p=，所以抛物线的准线方程为4222px=-=-=-，选A.4.【答案】D【解析】双曲线22122x y-=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px=的焦点为(2,0),则4p=.5.【答案】C【解析】6.【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为ay xb=±，已知双曲线的一条渐近为2y x=，所以2,ab=2222,24a ab bc a===-，即225,4c a=所以25,4e e==，选A.7.【答案】D.【解析】由⎩⎨⎧==6-2122xyxy得：099-2=+xx，设两交点A(11yx，)B(22yx，),则9xx,92121==+xx，所以8.【答案】C【解析】 9.【答案】C 【解析】10.【答案】A 【解析】 11.【答案】A 【解析】12.【答案】C 【解析】 二、填空题13.【答案】必要不充分 【解析】 14.【解析】15.【答案】2y = 【解析】16.【答案】112422=-y x【解析】抛物线216y x =焦点为（4,0），所以4;c =又2,2;ce a a==∴=于是 22212.b c a =-=所求双曲线线方程为221.412x y -= 三、解答题 17.【答案】（1）当0m =时，直线l 的方程为1x =，设点E 在x 轴上方，由221,91x y tx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,E F ,所以EF =. 因为△AEF的面积为116423⨯=，解得2t =. 所以椭圆C 的方程为22192x y +=. （2）由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=，显然m ∈R . 设1122(,),(,)E x y F x y ,则121222416,2929m y y y y m m --+==++， 111x my =+,221x my =+.又直线AE 的方程为11(3)3y y x x =++，由11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +，同理得226(3,)3y N x +.所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++ ,又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x my my =+=+++++ 1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++ 2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++22264576641285769m m m ---++=0= 所以BM BN ⊥,所以以MN 为直径的圆过点B【解析】18.【答案】设,AB a PA b ==，建立空间坐标系，使得(0,0,0),(,0,0)A B a ，(0,0,)P b ,(2,2,0),(0,2,0)C a a D a ，(,,)2bE a a .(Ⅰ)(0,,)2bBE a = ，(0,2,0),(0,0,)AD a AP b == ，所以1122BE AD AP =+ ，BE ⊄平面PAD ，//BE ∴平面PAD .(Ⅱ)BE ⊥ 平面PCD ，BE PC ∴⊥，即0BE PC ⋅=(2,2,)PC a a b =- ，22202b BE PC a ∴⋅=-= ，即2b a =.平面BDE 和平面BDC 中，(0,,),(,2,0)BE a a BD a a ==- (,2,0)BC a a =，所以平面BDE 的一个法向量为1(2,1,1)n =- ；平面BDC 的一个法向量为2(0,0,1)n =；12cos ,n n <>=EBD 与平面BDC【解析】19.【答案】(I)1)(-='x ax f ,b x x g +='2)( 由题知⎩⎨⎧-='⋅'=1)2()2()2()2(g f g f ,即⎩⎨⎧-=++=1)4(240b a b解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=221b a(II))()1()(x g x f x F -+==)(ln 2bx x x a +-,b x xax F --='2)( 由题知⎩⎨⎧=='0)1(0)2(F F ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=--01042b b a解得a =6,b =-1∴)(x F =6x ln -(2x -x ),126)(+-='x x x F =xx x )2)(32(-+- ∵x >0,由)(x F '>0,解得0<x <2;由)(x F '<0,解得x >2 ∴)(x F 在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)单调递减, 故)(x F 至多有两个零点,其中1x ∈(0,2),2x ∈(2, +∞) 又)2(F >)1(F =0,)3(F =6(3ln -1)>0,)4(F =6(4ln -2)<0 ∴0x ∈(3,4),故n =3(III)当2-=a b 时,)(x F =])2([ln 2x a x x a -+-,)2(2)(---='a x x a x F =xx a x )1)(2(-+-, 由题知)(x F '=0在(0,+∞)上有两个不同根1x ,2x ,则a <0且a ≠-2,此时)(x F '=0的两根为-2a,1, 由题知|-2a-1|>1,则42a +a +1>1,2a +4a >0又∵a <0,∴a <-4,此时-2a>1 则)(x F 与)(x F '随x 的变化情况如下表:∴|)(1x F -)(x F |=)(x F 极大值-)(x F 极小值=F(-2)―F(1) =ln(a ―2a )+412a ―1, 设141)2ln()(2-+-=a a a a ϕ,则121)2ln()(++-='a a a ϕ,211)(+=''a a ϕ,∵a <-4,∴a 1>―41,∴211)(+=''a a ϕ>0,∴)(a ϕ'在(―∞,―4)上是增函数,)(a ϕ'<=-')4(ϕ012ln <- 从而)(a ϕ在(―∞,―4)上是减函数,∴)(a ϕ>)4(-ϕ=3-42ln 所以|)(1x F -)(x F |>3-42ln . 【解析】20.【答案】（12）面积取最大值1，y =∴224,1a b ==(Ⅱ)设1122(,),(,),P x y Q x y PQ 的中点为00(,)x y将直线y kx m =+与联立得222(14)8440k x kmx m +++-=，222216(41)0,41k m k m ∆=+->∴+> ① 又0x =又（-1，0整理得2341km k =+ ②）面积取最大值1，此时k∴直线方程为y =【解析】21.【答案】解:(1)椭圆的长轴长为4,离心率为∵椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率 ∴椭圆C 2的焦点在y 轴上,2b=4,为∴b=2,a=4 ∴椭圆C 2的方程为;(2)设A,B 的坐标分别为(x A ,y A ),(x B ,y B ), ∵∴O,A,B 三点共线,且点A,B 不在y 轴上 ∴设AB 的方程为y=kx 将y=kx 代入,消元可得(1+4k 2)x 2=4,∴将y=kx 代入,消元可得(4+k 2)x 2=16,∴∵,∴=4,∴,解得k=±1,∴AB 的方程为y=±x【解析】22.【答案】解:(I)EF AC ,AC ABC ⊆平面,EF ABC ⊆平面EF ABC ∴ 平面又EF BEF ⊆平面EF l ∴l PAC ∴ 平面(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)【解析】。
吉林市普通高中201-2014学年度上学期期末教学质量检测 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，共10页，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分） 1．双曲线的焦距为A． B． C． D． 2. 命题“对任意的，都有”的否定为 A. 存在，使 B. 对任意的，都有C. 存在,使D. 存在,使 3. 以下四组向量①,；②,；③,；④, 其中互相平行的. A．②③ B．①④C．①②④D．①②③④ 4. 对抛物线，下列描述正确的是 A开口向上，焦点为B. 开口向上，焦点为 C开口向右，焦点为D. 开口向右，焦点为 5． “关于的不等式对于一切实数都成立”是“” 的 A．充要条件B．充分非必要条件 C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件 6. 在中，，则等于 A．30° B．60° C．60°或120°D．30°或150 7. 已知是等比数列，前项和为，，则 B.C.D. 8. 设为抛物线上的动弦，且, 则弦的中点到轴的最小距离为C.1D. 9．在中，，给出满足的条件，就能得到动点 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程①周长为10②面积为10③中，则满足条件①、②、③的点轨迹方程按顺序分别是 、、B.、、C.、、D.、、 10. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A. B. C. D. 11．是椭圆上的一点, 是焦点, 且, 则△的 面积是 A． B．C. D. 12． 已知直线与双曲线，有如下信息：联立方程组： , 消去后得到方程，分类讨论：（1）当时， 该方程恒有一解；（2）当时，恒成立。
在满足所提供信息 的前提下，双曲线离心率的取值范围是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 13．若实数满足条件，则的最大值为 14．已知F1，F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是1，则第三边的长度为 15．已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4， 则该双曲线的标准方程是 16．，若数列满足， 则 三、解答题 17．（本题满分10分） n项和 （I） 求数列的通项公式,并证明是等差数列； （II）若，求数列的前项和 18．（本题满分12分） 命题p：方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方程无实根，p∨q为真，为真，求实数m的值． 19．（本题满分12分） 在中，角所对的边分别为，已知， I）求的大小；II）若，求和的值。
绝密★启用前吉林一中2014—2015学年度上学期期中高二数学理考试高二数学理试题考试范围：XXX ；考试时间：100分钟；命题人：XXX学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择（注释）1、在△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围是 ( ) A ．2>x B ．2<xC ．3342<<xD ． 3342≤<x2、已知函数2240()40x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 ( )A ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞B ．(1,2)-C ．(2,1)-D ．(,2)(1,)-∞-⋃+∞3、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A ．(3,1)(2,)-+∞B ． (3,1)(3,)-+∞C ． (1,1)(3,)-+∞D ． (,3)(1,3)-∞-4、已知正数,,a b c 满足a b ab +=,a b c abc ++=,则c 的取值范围是______ .5、已知实数x y ，满足2201x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则23z x y =-的最大值是( )A.6-B.1-C.4D.66、设f(x)= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f(x)>2的解集为（ ） A.（1，2）⋃（3，+∞） B.（10，+∞） C.（1，2）⋃ （10 ，+∞） D.（1，2）7、下列不等式(1)m-3>m-5;(2)5-m>3-m;(3)5m>3m ;(4)5+m>5-m 其中正确的有( ) （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个8、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，564a a +=-，n S 取得最小值时n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若28515a a a +=-,则9S 等于（ ）A ．18B ．36C ．45D ．6010、S={1,2,…,2003}，A 是S 的三元子集，满足：A 中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A 的个数是（ ） A ．32003CB ．2100221001C C + C ．2100221001A A +D ．32003A11、设等差数列{}n a 满足：12741=++a a a ,则=++++7321a a a a （ ） A ．14 B ．21 C ．28 D ．3512、在ABC 中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，已知a ，b ，c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为( )A.12二、填空题（注释）13、已知210,0,1x y x y>>+=,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围_________14、已知不等式（x+y ）1()9a x y+≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为__________15、在△ABC 中，若222sin sin sin 0A B C +-<，则△ABC 的形状是16、在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝________.三、解答题（注释）17、设数列{}n a 满足下列关系：12(0,a a a a =≠为常数），212n n a a a a -=-；数列{}n b 满足关系：1n n b a a=-． （1）求证：n a a ≠（2）证明数列{}n b 是等差数列．18、已知集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝{x |1＜43x +}． (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a 、b 的值．19、已知数列}{n a 的各项均为正整数,且12n a a a <<<,设集合1{|101}1，，或，或（≤≤）nk i i ii i i A x x a k n λλλλ====-==∑.性质 1 若对于k x A ∀∈,存在唯一一组i λ(1,2,，i k =⋅⋅⋅)使1ki i i x a λ==∑成立,则称数列}{n a 为完备数列,当k 取最大值时称数列}{n a 为k 阶完备数列.性质 2 若记（1≤≤）kk i m a k n=∑,且对于任意≤k x m ,x ∈Z ,都有k x A ∈成立,则称数列}{n a 为完整数列,当k 取最大值时称数列}{n a 为k 阶完整数列.性质3 若数列}{n a 同时具有性质1及性质2,则称此数列}{n a 为完美数列,当k 取最大值时}{n a 称为k 阶完美数列;(Ⅰ)若数列}{n a 的通项公式为12-=n a n ,求集合2A ,并指出}{n a 分别为几阶完备数列,几阶完整数列,几阶完美数列;(Ⅱ)若数列}{n a 的通项公式为110-=n n a ,求证:数列}{n a 为n 阶完备数列,并求出集合n A 中所有元素的和n S .(Ⅲ)若数列}{n a 为n 阶完美数列,试写出集合n A ,并求数列}{n a 通项公式. 20、已知数列{}n a 为等差数列,公差0≠d ,其中n k k k a a a ,,,21 恰为等比数列, 若21=k ,52=k ,113=k , ⑴求等比数列{}n k a 的公比q ⑵试求数列{}n k 的前n 项和n S21、已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且1212112()a a a a +=+, 34534511164()a a a a a a ++=++; (1)求{}n a 的通项公式; (2)设21()n n nb a a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .22、在数列{}n a 中,*112,21,n n a a a n n N +==-+∈. (1)证明数列{}n a n -是等比数列;(2)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,求使12n n S S +>的最小n 值.参考答案一、单项选择 1、【答案】C 2、【答案】C【解析】由题知()f x 在R 上是增函数，由题得22a a ->，解得21a -<<，故选择C 。
2014-2015学年度吉林一中11月考高二数学理试卷第I 卷 选择题 （共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、已知集合{}{}=>=>-<=B A x x B x x x A 则或,0log ,112（ ） A ．{}1>x xB ．{}0>x xC ．{}1-<x xD ．{}11>-<x x x 或2、已知向量=(3,4),=(2,-1),如果向量x +与-垂直，则x 的值为（ ） A.52-B.323C. 233 D.2 3、已知3332212, () , ()52P Q R -===，则 P 、 Q 、 R 的大小关系是（ ）A ．P Q R <<B ．Q R P <<C ．Q P R <<D ．R Q P << 4、已知{}n a 是等差数列，245710,22a a a a +=+=，则62S S -等于（ ） A ．26 B ．30 C ．32 D ．365、在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =的伸缩变换是（ ）A. ⎪⎩⎪⎨⎧==''213)(y y x x AB. ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x B 213)('' C.⎪⎩⎪⎨⎧==''23)(y y x x C D.⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x D 23)(''6、下列函数中，图像的一部分如右上图所示的是（ ）A ．sin()6y x π=+B ．sin(2)6y x π=-C ．cos(4)3y x π=-D ．cos(2)6y x π=-7.给出如下四个命题：①||||yz xy z y x >⇒>>；②y x y a x a >⇒>22；③db c a abcd d c b a >⇒≠>>0,,； ④2011b ab ba <⇒<<．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、如图：样本A 和B 分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为Ax 第7题图和B x ，样本标准差分别为A s 和B s ，则（ ） A. ,A B A B x x s s >> B. ,A B A B x x s s <> C. ,A B A B x x s s >< D. ,A B A B x x s s <<9、右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（ ） A.25 B. 710 C. 45 D.91010、一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如右图所示，则该几何体的表面积和体积分别为（ ）A ．4243ππ++和 B．2π+和43πC．43π和 D．83π和11、若直线42y kx k =++与曲线24x y -=有两个交点，则k 的取值范围是（ ）． A ．[1,+∞) B ． [-1,-43) C ． (43,1] D ．(-∞,-1] 12、定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2012）的值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题 （本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13、已知0,0,lg 2lg8lg 2,x y x y >>+=则113x y+的最小值是 14、(改编)在区间[0,2]上随机取一个数x ，sin2xπ的值介于0到2之间的概率为__________ 15、如右图，圆锥SO 中，AB 、CD 为底面圆的两条直径，O CD AB = ，且CD AB ⊥，2==OB SO ，P 为SB 的中点.异面直线SA 与PD 所成角的正切值为 .16、已知平行四边形ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在四边形ABCD 的内部（包括边界），则z=2x-5y第10题图第15题图的取值范围是___________.三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余12分,共70分）17、（本题满分10分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为,,a b c ，且4co s 5B =，2b =。
2014—2015学年度吉林一中“教与学”质量检测1高三数学试题(理科)(答题时间120分钟，满分150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合{}210,,M =，{}M x ,x y |y N ∈==2，则集合=N M A ．{}0 B ．{}10, C ．{}21, D ．{}20, 2．已知向量()()2,1,,2a b x ==-，若//a b ，则a b +等于 A ．()3,1-B ．()3,1-C ．()2,1D ．()2,1--3． 若命题P ：1≤∈∀cosx ,R x ，则P ⌝： A ．100>∈∃x cos ,R xB ．1,>∈∀x cos R xC ．1,00≥∈∃x cos R xD ．1,≥∈∀x cos R x4．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 A ．a km B.2a kmC ．2a kmD.3a km5．某程序框图如图所示，若输出的S = 57，则判断框内应为 A ．k ＞5? B ．k ＞4? C ．k ＞7? D ．k ＞6?6．过点()a ,a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为A ．3-<a 或1>aB ．23<a C ．13<<-a 或23>aD ．3-<a 或231<<a 7. 若00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值为3，则a 的值是A ．1B ．2C ．3D ．4 8．函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=22ππ,x ,x sin x x f ，若()()21x f x f >，则下列不等式一定成立的是 A ．2221x x >B ．021>+x xC ．21x x >D ．2221x x <9．已知函数()()ϕ+=x sin x f 2，其中ϕ为实数，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤6πf x f 对x R ∈恒成立， 且 ()ππf f >⎪⎭⎫⎝⎛2，则()f x 的单调递增区间是 A ． ()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-63ππππ B ．()Z k k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，2πππ C ． ()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++326ππππ D ．()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ2 10．已知等比数列{}n a 的公比0>q 且1≠q ，又06<a ，则 A ．5748a a a a +>+ B ．5748a a a a +<+C ．5748a a a a +=+D ．5748||||a a a a +>+11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，21F ,F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上任一点，12F PF ∆的重心为G ，内心I ，且有12IG F F λ=（其中λ为实数），椭圆C 的离心率=eA ．12B ．13C ．23D12．已知函数742)(23---=x x x x f ，其导函数为)(x f '．①)(x f 的单调减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛2,32； ②)(x f 的极小值是15-； ③当2>a 时，对任意的2>x 且a x ≠，恒有))(()()(a x a f a f x f -'+> ④函数)(x f 有且只有一个零点．其中真命题的个数为 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每小题5分，共20分)13．设()[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=e ,x ,x,x ,x x f 11102 (其中e 为自然对数的底数)，则()dx x f e ⎰0的值为 _________．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点()05,A -和()05,C ，顶点B 在双曲线191622=-y x 上，则Csin A sin B sin -为___________.15．设P 是不等式组,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩表示的平面区域内的任意一点，向量()()1211,,,==，若n m OP μλ+=，则μλ+2的最大值为 ．16．已知函数()()()()⎩⎨⎧>≤--=-77336x ax x a x f x ，若数列{}n a 满足()n a f n =（n N *∈），且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 ___________． 三、解答题17．(本小题满分10分) 已知6π=x 是函数()()21-+=x cos x cos x sin a x f 图象的一条对称轴． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）化简()x f 的解析式，并作出函数()x f 在()π,x 0∈上的图象简图（不要求写作图过程）．18．(本小题满分12分)已知等差数列{n a }的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2722,,a a a 成等比数列，（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）若数列{1nS }的前n 项和为n T ，求证：1368n T ≤<．19．(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为c ,b ,a ，其外接圆半径为6，241=-Bcos b，34=+C sin A sin（Ⅰ）求B cos ；（Ⅱ）求ABC ∆的面积的最大值．20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆与直线043=--y x 相切． （Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）若已知点()23,P ，过点P 作圆O 的切线，求切线的方程．21．(本小题满分12分) 已知函数()()0>++=a c xbax x f 的图象在点()()11f ,处的切线方程为1-=x y . （Ⅰ）用a 表示出b ，c ；（Ⅱ）若()x ln x f ≥在[)∞+,1上恒成立，求a 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B . 经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.数学 (理科)参考答案及评分标准一、选择题1． D ； 2． D ；3． A ；4． D ； 5． B ；6． D ；7. A ；8． A ；9． C ；10． A ；11．A ；12． C ．二、填空题13．34；14． 54；15． 5 ；16．（2,3）．三、解答题17． (本小题满分10分) 解：（I ）方法1：x x a x f 2cos 212sin 21)(+=， ………………2分 ∵6π=x 是函数)(x f 图象一条对称轴，∴)3()0(πf f =，…………… 4分 即)3(2cos 21)3(2sin 2121ππ+=，∴3=a ； ………………6分方法2：∵x x a x f 2cos 212sin 21)(+=，∴)(x f 最值是1212+±a ，………………2分∵6π=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴，∴1216(2+±=a f π，………………4分∴121)6(2cos 216(2sin 212+±=+a a ππ， 整理得0232(2=-a ，∴3=a ；………………6分（II ）()⎪⎭⎫⎝⎛+=62πx sin x f ………………7分()x f 在()π,x 0∈上的图象简图如下图所示． ………………10分18．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由已知，5335,14S a a =∴=， ………………2分又2722,,a a a 成等比数列，由2111(6)()(21)a d a d a d +=++且0d ≠可解得132a d =， ………………4分16,4a d ∴==，故数列{n a }的通项公式为42,*n a n n N =+∈；………………6分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)，21()24,2n n n a a S n n +==+ ………………7分211111()2442n S n n n n ==-++，………………9分1111113111(1)()432428412n T n n n n ∴=-+-++-=-++++ 显然，1368n T ≤<． ………………12分19．(本小题满分12分) (Ⅰ)解：26sin 24241cos 1cos b BB B⨯=⇒=-- ，2(1cos )sin B B -=………………3分224(1cos )sin (1cos )(1cos )B B B B -==--31cos 0,4(1cos )1cos ,cos 5B B B B -≠∴-=+∴=，……………………6分 (Ⅱ) 34sin sin =+C A ，4,12123a c ∴+=即16a c +=. 又34cos ,sin 55B B =∴=. ………………………………8分12S ac ∴=2sin 5B =22128()525a c ac +≤=. ……………………10分而8a c ==时，max 1285S =. …………………………………………12分20．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2， …………………………1分由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故r ＝44＝2， ……………………3分∴圆的方程是x 2＋y 2＝4；………………………………4分(Ⅱ)∵|OP |＝32＋22＝13>2，∴点P 在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．……………………………6分故可设所求切线方程为y －2＝k (x －3)， 即kx －y ＋2－3k ＝0. ……………………………8分又圆心为O (0,0)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|－3k ＋2|k 2＋1＝2，即|3k －2|＝2k 2＋1, ………………9分 ∴k ＝125或k ＝0， …………………………………11分 故所求切线方程为12x －5y －26＝0或y －2＝0． ……………………12分21．(本小题满分12分) 解： (Ⅰ)2'()bf x a x=-， ………………………………………1分由题设，则有(1)0(1)1f a b c f a b =++=⎧⎨'=-=⎩，…………………………3分解得⎩⎨⎧+-=-=121a c ab .………………………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，1()12a f x ax a x-=++-， 令1()()ln 12ln a g x f x x ax a x x-=-=++--，[)1,x ∈+∞ 则 (1)0g =，………………………………………5分22221(1)()11(1)'()aa x x a ax x a a g x a x x x x -------=--==……………7分①当 12o a <<，11aa -> 若 11ax a -<<，则'()0g x <，()g x 是减函数，所以，当⎪⎭⎫⎝⎛-∈a a ,x 11时，有()()01g =<x g ， 即()ln f x x >， 故()ln f x x ≥在[)1,+∞上不能恒成立．……………………………9分②当12a ≥时，有11aa-≤ 若1≥x ，则()0>'x g ，()x g 在()∞+,1上为增函数．所以，当()∞+∈,x 1时，()()01=>g x g ， 即()ln f x x >， 故当1x ≥时，()ln f x x ≥．……………………………………11分综上所述，所求a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭……………………12分22．(本小题满分12分)解：（I ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点,所以1,c =又23,b =所以24,a =所以椭圆方程为22143x y += …………………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45,所以直线的斜率为1,所以直线方程为1y x =+,和椭圆方程联立得到221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y ,得到27880x x +-= …………………………5分所以121288288,,77x x x x ∆=+=-=所以1224|||7CD x x =-=…………………………6分（Ⅲ）当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-,此时33(1,),(1,)22D C ---, ,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -= …………7分 当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设1122(,),(,)C x y D x y和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-= 显然0∆>，方程有根，且221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++ ………………8分此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k =++=+ ………………………………10分因为0k ≠,上式1234||||k k =≤==+（k =所以12||S S -………………………………12分另解：（Ⅲ）设直线l 的方程为：1-=my x ()R m ∈，则由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x my x 得，()0964322=--+my y m ．设()11y ,x C ，()22y ,x D ，则436221+=+m m y y ，0439221<+-=⋅m y y ． ………………8分 所以，2121y AB S ⋅=，1221y AB S ⋅=，()21122142121y y y y AB S S +⨯⨯=-=-43122+=m m ……………………10分 当0=m 时，=-21S S 343212431222=⨯≤+=mmm m ()R m ∈． 由432=m ，得 332±=m ． 当0=m 时，3021<=-S S 从而，当332±=m 时，21S S -取得最大值3．…………………………12分。
吉林一中2014-2015届高二年级下学期期末数学理试卷数学理测试试卷学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分一、单项选择（注释）1、抛物线22x y =的准线方程是( ) A.21=x B.81=y C.21-=y D.81-=y2、双曲线22221x y a b-=的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A 、2B 、3C 、2D 、323、在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C:22(0y px p =>）的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积9，则p=（ ） A ．2 B 2 C ．3 D 34、函数ax x x f +-=3)(在),0[+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞ C ．()0,+∞ D ．[)0,+∞5、已知()x f 是可导的函数，且()()x f x f <'对于R x ∈恒成立，则（ ） A 、2015(1)(0),(2015)(0)f ef f e f <> B 、2015(1)(0),(2015)(0)f ef f e f >> C 、2015(1)(0),(2015)(0)f ef f e f >< D 、2015(1)(0),(2015)(0)f ef f ef <<6、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 （ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=7、已知1>a ，则=+--∞→xxx a a 321lim（ ） A ．21 B ．31- C ．21或31- D ．不存在 8、已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）（A ）10 （B ）20 （C ）241（D ） 4149、若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－210、过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点()0,c F -作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ，O 为原点，若()+=21，则双曲线的离心率为（ ） A ．333+ B ．251+ C ．25D ．231+11、已知函数()ln xf x e a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题： ①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数； ②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点． 其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12、已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（ ） （A ）2132a = （B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 评卷人 得分二、填空题（注释）13、双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。
吉林一中2014-2015届高二年级下学期期末数学理试卷数学理测试试卷考试范围：XXX ；考试时间：100分钟；命题人：XXX学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择（注释）1、抛物线22x y =的准线方程是( ) A.21=x B.81=y C.21-=y D.81-=y2、双曲线22221x y a b-=的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A 、2B 、323、在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C:22(0y px p =>）的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若∆OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积9π，则p=（ ）A ．2B ．3 D 4、函数ax x x f +-=3)(在),0[+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞C ．()0,+∞D ．[)0,+∞5、已知()x f 是可导的函数，且()()x f x f <'对于R x ∈恒成立，则（ ） A 、2015(1)(0),(2015)(0)f ef f e f <> B 、2015(1)(0),(2015)(0)f ef f e f >>C 、2015(1)(0),(2015)(0)f ef f e f ><D 、2015(1)(0),(2015)(0)f ef f e f <<6、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 （ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+=D ．430x y ++=7、已知1>a ，则=+--∞→xxx a a 321lim（ ） A ．21 B ．31- C ．21或31- D ．不存在 8、已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）（A ）10 （B ）20 （C ）241（D ） 4149、若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－210、过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点()0,c F -作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ，O 为原点，若()+=21，则双曲线的离心率为（ ） A ．333+ B ．251+ C ．25D ．231+11、已知函数()ln x f x e a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题： ①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数； ②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12、已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（ ） （A ）2132a = （B ）213a = （C ）212b = （D ）22b =二、填空题（注释）13、双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。
2016级高二期末考试试卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．i 为虚数单位，则2013i = （ ）A ．i -B ．1-C ．iD ．1 2．若()e x f x x =，则(1)f '＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．2e3．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点坐标是()5,0,则双曲线的渐近线方程是 （ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C．y x = D．y x = 4．下列叙述：①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行； ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行. 其中正确的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有( )A ．7个B ．12个C ．24个D ．35个 6．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{}n a 的前n 项和为n S .由21n a n =-，求出2221231,2,3,S S S ===，…，推断：2n S n =B ．由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对∀x ∈R 都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数C ．由圆222x y r +=的面积2S r π=，推断：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积S ab π=D ．由()()()222123112,212,312,+>+>+>…，推断：对一切n ∈N *，()212n n +>7．已知函数32()393f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点，则m 的取值范围为( ) A ．(－24,8)B ．(－24,1]C ．[1,8]D ．[1,8)8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=.过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为ABC ．1D二、 75分，共35分．9．204sin xdx π=⎰10．已知01a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1,则复数z 对应的点Z 到原点距离的取值范围是 11．曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线方程是 . 12．棱长均为3的三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则SP 的最小值为 .13．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 .14．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12A A 、，点P 在椭圆C 上，记直线2PA 的斜率为2k ，直线1PA 的斜率为1k ，则 1k ·2k = . 15．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，则实数a 的范围是 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分） 设p :实数x 满足22430x ax a -+<, :q 实数x 满足31x -<. (1)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 17．（本小题满分12分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===. （1）求证:11AB BC ⊥；（2）求二面角111C AB A －－的大小.18．（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）. 19．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S (即123n n S a a a a =++++)，且方程20n n x a x a --=有一根为n S －1，n ＝1,2,3…….（1）求12,a a ；（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明．20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）已知),1ln()(+=x x f bx ax x g +=221)( （1）若0=a ，1=b 时，求证：0)()(≤-x g x f 对于),1(+∞-∈x 恒成立； （2）若2=b ，且)()1()(x g x f x h --=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）利用（1）的结论证明：若y x <<0，则2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+．CCBBDADA 9．4 10．()1,2 11．1y x =- 12．6 13．24 14．－34 15．10,2⎛⎫⎪⎝⎭16．解:（1）. 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<当1a =时，13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.……………2分由31x -<, 得131x -<-<, 得24x <<即q 为真时实数x 的取值范围是24x <<,……4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.……6分(2) 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝, ……………8分设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则AB ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x≥4或x≤2}，……………10分 则02a <≤,且34a ≥所以实数a 的取值范围是423a ≤≤12分 17．解：：方法一：（1）∵11,AC BC AC CC BCCC C ⊥⊥=且∴11AC C CBB ⊥平面，又111BC C CBB ⊂平面∴1111,,AC BC B C BC AC B C C ⊥⊥=且 ∴1111BC AB C AB AB C ⊥⊂平面，又平面 ∴11AB BC ⊥（2）取11A B 的中点为H ，在平面11A ABB 内过H 作1HQ AB ⊥于点Q ，连接1C Q 则111C H A ABB ⊥平面，∴11C H AB ⊥，而1C H HQ H =∴1111AB C HQ AB C Q ⊥∴⊥平面，∴1C QH ∠是二面角111C AB A －－的平面角，又1162C H A AB HQ ==，在内，解得∴111tan 3,60C HC QH C QH HQ∠==∠=︒∴二面角111C AB A －－为60°.18．解：（1）因为4x =时，21y =， 代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=， 解得10m =.……………………4分 （2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--，……………5分 所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦……………………8分从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减， ……………………10分所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分19．解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.……………3分当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.……5分 (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3…. ……………7分下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．……………8分(ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，……………10分 即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．……………12分综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．……………13分1CA BC1A1B20．解：（1）设椭圆的焦距为2c，则由题设可知2221a c ca a cb ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解此方程组得a =1b =. 所以椭圆C 的方程是2212x y +=. ……………………5分 （2）解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-， 将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ …………………9分 当且仅当0TA TB =恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. …………………11分 当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件. …………………13分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++=……………7分 由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩.由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. ………………8分 事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--= 设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………10分因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. …………………13分 21．解：（1）设x x x g x f x -+=-=)1ln()()()(ϕ，则.1111)('+-=-+=x x x x ϕ………………….2分当时，)(x 有最大值0 ∴0)(≤x 恒成立。
2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题第I 卷（选择题）请修改第I 卷的文字说明一、单项选择1. 已知点M 到两个定点A （-1，0）和B （1，0）的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹（ ）A ．一个椭圆B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线AB2. 设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )12D. 123. 已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4. 正整数集合k A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集1759A A 中的元素个数为（ ）．A ．119B ．120；C ．151；D ．154．5. 题:R p x ∀∈，函数2()2cos 23f x x x =+≤，则（ ）A ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+≤B ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+>C ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+≤D ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+>6. 已知双曲线19222=-y ax ()0>a 的中心在原点, 右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( ) A. 54 B. 55558 C. 45D. 7747. 如果命题“p q ⌝∨⌝”是假命题，则在下列各结论中，正确的为 （ ） ①命题“p q ∧”是真命题； ②命题“p q ∧” 是假命题； ③命题“p q ∨”是真命题； ④命题“p q ∨”是假命题。
A ．②③ B ．②④ C ．①③ D ．①④8. 不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log 2222x x 的解集为（ ） A ．（0，3） B ．（3，2） C ．（3，4） D ．（2，4）9. 若函数(1)4a x y e x -=+（x ∈R ）有大于零的极值点，则实数a 范围是（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >- D ．13a <-10. 下列语句是命题的一句是( )A ．请把窗户打开B ．2+3=8C ．你会说英语吗D ．这是一棵大树11. 已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为12F F ，，点P 在椭圆上，当12F PF △的面积为1时，12PF PF =·（ ） Ａ．0 Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．1212. 设U=R,A={x|mx 2+8mx+21>0},A=∅,则m 的取值范围是（ ）A.0≤m<1621 B.m>1621或m=0 C.m ≤0 D.m ≤0或m>1621第II 卷（非选择题）请修改第II 卷的文字说明 二、填空题13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = 14. 抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形面积是 .15. 设01a a >≠且，函数2lg(23)()xx f x a-+=有最大值，则不等式2log (57)0a x x -+>的解集为 ．16. 设函数()||f x x x bx c =++，给出下列四个命题：①0c =时，()f x 是奇函数 ②0,0b c =>时，方程()0f x =只有一个实根 ③()f x 的图象关于点(0,)c 对称 ④方程()0f x =至多两个实根 其中正确的命题是 三、解答题17. 已知函数f(x)＝x 3－ax 2＋3x.(1) 若x ＝3是f(x)的极值点,求f(x)在x ∈[1,a]上的最大值和最小值． (2) 若f(x)在x ∈[1,＋∞)上是增函数,求实数a 的取值范围;18. 已知n 为正整数,在数列}{n a 中,,12,111+==+n n a a a 在数列}{n b 中,,11a b =当2≥n 时,.111121-+∙∙∙++=n n n a a a a b (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)求nn n n a b a b 111+-++ 的值; (3)当2≥n 时,证明.223)1()1)(1(2121n n n b b b b b b ->⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++19. 已知函数)1ln()(+-=x e x f x (1)求)(x f 最小值; (2)已知210x x <≤,求证11ln11212+++>-x x ex x ; (3))(x f 图象上三点A 、B 、C,它们对应横坐标为1x ,2x ,3x ,且1x ,2x ,3x 为公差为1 等差数列,且均大于0,比较||AB 和||BC 长大小.20. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，933=+b a ，1125=+b a .（Ⅰ）求{}n a ， {}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．21. P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 为它的一个焦点，求证：以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．22. 设a ∈R ,函数2()()e x f x x ax a =--.(Ⅰ)若1a =,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)求函数()f x 在[2,2]-上的最小值.参考答案一、单项选择 1.【答案】B【解析】定值2等于|AB|，选B2.【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则F （c,0）,B(0,b)直线FB ：bx+cy-bc=0与渐近线y=b x a 垂直，所以1-=⋅-abc b ，即b 2=ac所以c 2-a 2=ac,即e 2-e-1=0,所以e =或e =（舍去）.3.【答案】A4.【答案】C ；用k A 表示集k A 的元素个数，设1k A n =+，由20071nk =+，得2006n k =，于是 172006111917A =+=，59200613559A =+=，175910032006131759A A A ==+=⨯；从而 175917591003119353151A A A A A =+-=+-=5.【答案】D【解析】3)62sin(212sin 32cos 12sin 3cos 2)(2≤++=++=+=πx x xx x x f ；P 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =>；6.【答案】D7.【答案】B 8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】B 11.【答案】Ａ【解析】由已知得a=2，|P 1F |+2PF =4，平方后结合余弦定理和面积公式可得12PF PF =·0。
12.【答案】A【解析】∵A=∅,∴A=R,即mx 2+8mx+21>0恒成立.当m=0时,不等式恒成立.当m ≠0时,则⇒⎩⎨⎧<⨯-=∆>0214)8(,02m m m 0<m<1621. ∴m 的取值范围为［0,1621）.二、填空题 13.【答案】9 【解析】{}n a 为等差数列，9553995S a S a ∴== 14.【答案】1815.【答案】23（，）【解析】设22lg(23)lg[(1)2],t x x x =-+=-+当x ∈R 时，min lg 2t =.又函数y=f(x)有最大值，所以20 1.log (57)0a a x x <<-+>由得20571x x <-+<,解得2 3.x <<16.【答案】①②③ 三、解答题 17.【答案】18.【答案】(1)∵1121,1n n a a a +=+= ∴()21213,12,14,121n n a a a a a +=+=+=+=+ ∴{}1n a +是以2为首项,2为公比的等比数列. ∴11222n n n a -+=⨯=,即21n n a =- (2)∵2112111,1b b a a a ==== ∴21211121b b a a +-=-=- ∴当1n =时,1111n n n n b b a a +++-=- 当2n ≥时,∵121111n n n b a a a a -=+++ ∴11121111111n n nn n n n n nb b b a a a a a a a a ++-+=++++=+= ∴1110n n n nb b a a +++-=…… 综上可知当1n =时,1111n n n n b b a a +++-=-;当2n ≥时,1110n n n nb b a a +++-=.(3)由(2)知2112111,1b b a a a ====,即223b a ==. 当2n ≥时,1110n n n n b b a a +++-=,即111n nn n b a b a +++=∴当2n ≥时,()()()12121212121111n n nnb b b b b b b b b b b b ++++++=1311212111231123411111111n n n nn n n n n n b b a a a b b b a b b b b b b b b b a a a a --+++++++++==11121211112n n n n b b b a b b a a +++++==⨯212111112212121n n a a a ⎛⎫⎛⎫=+++=+++⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭121111124221213122212n n n-⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥>+++=+=- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∴当2n ≥时,()()()1212111232n n nb b b b b b +++>-19.【答案】(1))1(11)(->+-='x x e x f x ,0>x 时0)(>'x f ,01<<-x 时0)(<'x f ,故)(x f 在0=x 时,)(x f 取最小值,1)0(=f (2)由(1)可得1)(≥x f ,故)0()1ln(1>++>x x e x ,)1ln(11212+-+>-x x e x x只需比较112+-x x 与11112+-+x x x 大小 ∵01>x ,∴121121x x x x x -<+- 11ln1)1ln(11212+++>+-+x x x x 故结论成立(3)2122122)()(||y y x x AB -+-= 2232232)()(||y y x x BC -+-=∵)(x f 在0>x 为增函数,∴12y y >,23y y >∴比较||AB 和||BC 大小,只需比较12y y -和23y y -大小)]1ln()1ln([)]1ln([2)(2)(3123122312312x e x e x e y y y y y y y x x x +-++--+-=+-=---)]1ln(2)1)(1[ln()](2[231312x x x e e e x x x +-++++-=∵2313122x x x x xe e ee =>++ 2223131)1()22()1)(1(x x x x x +=++<++ ∴12y y -<23y y - ∴||||BC AB <20.【答案】（Ⅰ）依题意得⎩⎨⎧=++=++11492121q d a q d a 得22d q =⎧⎨=⎩，121,2n n n a n b -=-=（Ⅱ）1212n n n a n b --=，()01211111135212222n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12n S =()()12111111323212222n nn n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12n S =()02111111122122222nn n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅++++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111121211212nn n --⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭- 3232nn+=-13262n n nS -+=-21.【答案】如右图，设1PF 的中点为M ，则两圆圆心之间的距离为211111(2)222OM PF a PF a PF ==-=-， 即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差．∴两圆内切，即以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．22.【答案】(Ⅰ)2()(2)e ()e x x f x x a x ax a '=-+--(2)()e x x x a =+-. 当1a =时,(0)2f '=-,(0)1f =-,所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)2y x --=-,即210x y ++=. (Ⅱ)令()0f x '=,解得2x =-或x a =.① 2a ≥,则当(2,2)x ∈-时,()0f x '<,函数()f x 在(2,2)-上单调递减, 所以,当2x =时,函数()f x 取得最小值,最小值为2(2)(43)e f a =-. ② 22a -<<,则当()2,2x ∈-时, 当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表x2-(2,)a - a(,2)a 2()f x ' -0 +()f x 2(4)e a -+ 递减极小值 递增2(43)e a -所以,当x a =时,函数()f x 取得最小值,最小值为()e a f a a =-⋅.③ 2a ≤-,则当(2,2)x ∈-时,()0f x '>,函数()f x 在(2,2)-上单调递增, 所以,当2x =-时,函数()f x 取得最小值,最小值为2(2)(4)e f a --=+.综上,当2a ≤-时,()f x 的最小值为2(4)e a -+;当22a -<<时,()f x 的最小值为e a a -⋅; 当2a ≥时,()f x 的最小值为2(43)e a -.。
