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高三数学第一轮复习—-数列一、知识梳理数列概念1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项。

2。

通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3。

递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项）,且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ,其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4。

数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21; ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6。

数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列,递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列,无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ，均有n n a a >+1.②递减数列：对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1。

第一节集合的概念与运算1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表示集合的关系及运算．1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.1．集合的运算性质 并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . 补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A . 2．判断集合关系的三种方法 (1)一一列举观察．(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32 D ．A ∪B ＝R解析： 因为B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32，A ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}．故选A.答案： A2．已知集合P ＝{x |x <2}，Q ＝{x |x 2<2}，则( ) A ．P ⊆Q B ．P ⊇Q C ．P ⊆∁R QD ．Q ⊆∁R P解析： 解x 2<2，得－2<x <2，∴P ⊇Q . 答案： B3．(2017·天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{1,2,3,4}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1,2,4} C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}解析： 由题意知A ∪B ＝{1,2,4,6}，∴(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}，故选B. 答案： B4．已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，则(∁R A )∩B ＝________. 解析： 因为∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}，所以(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}． 答案： {x |2<x <3或7≤x <10}5．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 019＝________. 解析： 由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.答案： －1或0考向一 集合的基本概念自主练透型1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1B ．3C ．6D ．9解析： 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2. 故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素． 答案： C2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.解析： 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2. 答案： 23．设集合A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围为________．解析： 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2<1，(3－a )2≥1即⎩⎪⎨⎪⎧1<a <3，a ≤2或a ≥4，所以1<a ≤2. 答案： (1,2]求解集合基本问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. 考向二 集合间的基本关系互动讲练型(1)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A ⊆BD ．B ⊆A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析： (1)因为A ＝{x |x >－3}，B ＝{x |x ≥2}，结合数轴可得：B ⊆A . (2)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 答案： (1)D (2)(－∞，3](1)判断两集合的关系的三种常用方法①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．②变形：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断(如例(1))．③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(2)根据两集合的关系求参数的方法①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．[注意] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论(如例(2)). [跟踪训练]1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 因为A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．答案： D2．已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．解析： 当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，∵A ＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，有∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .∴0<m ≤1.综上所述，m 的范围为m ≤1. 答案： (－∞，1]考向三 集合的基本运算分层深化型(1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}(2)(2017·广东七校联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{x |x >2或x <0}B ．{x |1<x <2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析： (1)∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B ， ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)解不等式x 2－2x >0，即x (x －2)>0，得x <0或x >2，故A ＝{x |x <0或x >2}．集合B 是函数y ＝lg(x －1)的定义域，由x －1>0，解得x >1，所以B ＝{x |x >1}．易知∁U A ＝{x |0≤x ≤2}，所以(∁U A )∩B ＝{x |0≤x ≤2}∩{x |x >1}＝{x |1<x ≤2}．答案： (1)C (2)C集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(3)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集.[同类练]1．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：因为A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．答案： B2．(2017·南昌市第一次模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，集合B＝{y|y＝x＋1}，那么A∩(∁U B)＝()A．∅B．(0,1]C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：由题知，A＝{x|y＝lg x}＝{x|x>0}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝x＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以A∩(∁U B)＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0,1)．答案： C[变式练]3．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A＝() A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}解析：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁U B)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁U B，则(∁U B)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．答案： D4．(2017·洛阳市第一次统一考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所表示阴影部分所示的集合为()A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析： 依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因为∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}．答案： D [拓展练]5．(2017·江西南昌模拟)已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m <x <5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析： 由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，则m ＋n ＝7.答案： C6．已知集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析： 因为A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，B ＝(－∞，1]∪[4，＋∞)，由已知A ∩B ＝∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥1，a ＋1≤4，所以2≤a ≤3. 答案： [2,3]常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解、解决创新问题的能力．(1)设U ＝{1,2,3}，M ，N 是U 的子集，若M ∩N ＝{1,3}，则称(M ，N )为一个“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M ，N )与(N ，M )不同)为________；(2)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.解析： (1)符合条件的理想配集有①M ＝{1,3}，N ＝{1,3}；②M ＝{1,3}，N ＝{1,2,3}；③M ＝{1,2,3}，N ＝{1,3}．共3个．(2)由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )，结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．答案： (1)3 (2){0}∪[2，＋∞)解决集合中新定义问题的两个关键点(1)紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.[跟踪训练]1．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B .已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析： 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则BA ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．答案： B2．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－94，x ∈R ，B ＝{x |x <0，x ∈R }，则A ⊕B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－94，0 B ．⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析： 依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－94，x ∈R ，故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．答案： C(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析： 集合A 表示以原点O 为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合， 集合B 表示直线y ＝x 上的所有点的集合． 结合图形可知，直线与圆有两个交点， 所以A ∩B 中元素的个数为2. 故选B. 答案： B2．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤3}，则(∁U A )∪B ＝( ) A ．(2,3] B ．(－∞，1]∪(2，＋∞) C ．[1,2)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)解析： 因为∁U A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{y |1≤y ≤3}，所以(∁U A )∪B ＝(－∞，0)∪[1，＋∞)． 答案： D3．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析： ∵A ∩B 有4个子集，∴A ∩B 中有2个不同的元素，∴a ∈A ，∴a 2－3a <0，解得0<a <3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.答案： B4．(2017·湖北武昌一模)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}解析： ∵A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}＝{x |2<x <5}，A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，∴A －B ＝{0,1,2,5}．故选D. 答案： D5．(2017·河北衡水中学七调)已知集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{x |0<x <c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析： A ＝{x |log 2x <1}＝{x |0<x <2}，因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以c ≥2，所以c ∈[2，＋∞)，故选D.答案： D6．(2017·江苏卷)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．解析： ∵B ＝{a ，a 2＋3}，A ∩B ＝{1}，∴a ＝1或a 2＋3＝1， ∵a ∈R ，∴a ＝1.经检验，满足题意． 答案： 17．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x －1x ＝0，则满足A ∪B ＝{－1,0,1}的集合B 的个数是________． 解析： 解方程x －1x ＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以A ＝{1，－1}，又A ∪B ＝{－1,0,1}，所以B ＝{0}或{0,1}或{0，－1}或{0,1，－1}，集合B 共有4个．答案： 48．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∩(∁I B )＝________. 解析： 因为集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1,0,1,2}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，所以∁I B ＝{0,1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．答案： {1}9．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解析： (1)∵9∈(A ∩B )， ∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝3或a ＝－3.当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}； 当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2， 不满足集合元素的互异性；当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}， 所以a ＝5或a ＝－3. (2)由(1)可知，当a ＝5时， A ∩B ＝{－4,9}，不合题意， 当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}． 所以a ＝－3.10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解析： A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5或m <－3.故m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．1．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析： 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)．答案： (－∞，－1]∪(0,1)2．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)·(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________．解析： 若a >1，则集合A ＝{x |x ≥a 或x ≤1}，利用数轴可知，要使A ∪B ＝R ，需要a －1≤1，则1<a ≤2；若a ＝1，则集合A ＝R ，满足A ∪B ＝R ，故a ＝1符合题意；若a <1，则集合A ＝{x |x ≤a 或x ≥1}，显然满足A ∪B ＝R ，故a <1符合题意．综上所述，a 的取值范围为(－∞，2]．答案： (－∞，2]3．已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0<x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]<0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围．(1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅.解析： 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0<x ≤1)的值域， 所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3>1，即－2<a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]． (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. 故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1)． 4．设集合A ＝{x ∈R |2x 2＋ax －a 2＝0},1∈A ，－2∉A . (1)求a 的值，并写出A 的所有子集；(2)若集合B ＝{x ∈R |x 2＋(m －3)x ＋m ＝0}，(∁R A )∩B ＝∅，求实数m 的值构成的集合． 解析： (1)因为1∈A ，所以2×12＋a ×1－a 2＝0，解得a ＝－1,2，当a ＝2时，A ＝{x ∈R |2x 2＋2x －4＝0}＝{1，－2}，与已知－2∉A 矛盾，所以a ≠2；当a ＝－1时，A ＝{x ∈R |2x 2－x －1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1，符合题意．所以A 的所有子集为∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，{1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1.(2)因为(∁R A )∩B ＝∅，所以B ⊆A ，因为方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m －3)2－4m ＝m 2－10m ＋9， 所以按照判别式的符号分类讨论如下：①当Δ<0即1<m <9时，集合B 为空集，符合题意．②当Δ＝0即m ＝1或m ＝9时，若m ＝1，则B ＝{1}，符合题意，若m ＝9，则B ＝{－3}，不符合题意，舍去．③当Δ>0即m <1或m >9时，集合B 有两个元素，所以B ＝A ，所以⎩⎨⎧－12＋1＝－(m －3)，⎝⎛⎭⎫－12×1＝m ，矛盾，舍去．所以实数m 的值构成的集合为[1,9)．第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.1．四种命题及其关系 (1)四种命题若原命题为“若p ，则q ”，则其逆命题是若q ，则p ；否命题是若綈p ，则綈q ；逆否命题是若綈q ，则綈p .(2)四种命题间的关系2．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．1．四种命题间的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．(2)两个命题互为逆命题或者互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q，且q⇒r”⇒“p⇒r”或“p⇐q，且q⇐r”⇒“p⇐r”．1．在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理知asin A＝bsin B＝2R(R为△ABC外接圆半径)．若sin A>sin B，则a2R>b2R，即a>b，所以A>B；若A>B，则a>b，所以2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，所以“A>B”是“sin A>sin B”成立的充要条件．答案： C2．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.答案： D3．“x>1”是“x2＋2x>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.答案： A4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”5．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案： 3考向一四种命题及其相互关系自主练透型1．(2017·河南八市联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.答案： A2．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若1x>1，则x >1”的逆否命题解析： 对于A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故为假命题；对于B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x >1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.答案： B3．(2017·河北衡水二中模拟)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析： 将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题，因此“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，所以选C.答案： C四种命题的关系及真假判断(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断.考向二 充分必要条件的判定互动讲练型(1)(2017·天津卷)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： (1)由2－x ≥0，得x ≤2；由|x －1|≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2，因为[0,2]－∞，2]，所以“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．(2)法一：S 4＋S 6>2S 5等价于(S 6－S 5)＋(S 4－S 5)>0，等价于a 6－a 5>0，等价于d >0.法二：∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∴S 4＋S 6－2S 5＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d －2(5a 1＋10d )·d ，即S 4＋S 6>2S 5等价于d >0.答案： (1)B (2)C充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p ，则q ”，“若q ，则p ”的真假(如本例(1))．(2)集合法：若A ⊆B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件或“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件；若A ＝B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充要条件(如本例(2))．(3)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假(如跟踪训练3).[跟踪训练]1．(2017·兰州市高考实战模拟)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，若a ⊥b ，则a ·b ＝0，即(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，解得x ＝2或x ＝－12，∴x ＝2⇒a ⊥b ，反之a ⊥b ⇒x ＝2或x ＝－12，∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．答案： B2．设p ：x 2－x －20>0，q ：log 2(x －5)<2，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析： ∵x 2－x －20>0，∴x >5或x <－4，∴p ：x >5或x <－4.∵log 2(x －5)<2，∴0<x －5<4，即5<x <9，∴q ：5<x <9，∵{x |5<x x |x >5或x <－4}，∴p是q 的必要不充分条件，故选C.答案： C3．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件解析： 法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．法二：(等价转化法)x ＝y ⇒cos x ＝cos y ， 而cos x ＝cos y ⇒/ x ＝y . 答案： C考向三 充分条件与必要条件的探求分层深化型已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析： 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，所以由已知x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，得A B ，所以m ＋1>3，即m >2.答案： (2，＋∞)根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍(如本例)，处理不当容易出现漏解或增解的现象.[同类练]1．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．解析： 由|x －m |<1得m －1<x <m ＋1， 若13<x <12是|x －m |<1成立的充分不必要条件， 则⎩⎨⎧m －1≤13m ＋1>12或⎩⎨⎧m －1<13m ＋1≥12得－12≤m ≤43.答案： ⎣⎡⎦⎤－12，43 [变式练]2．是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？解析： 欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只要{x |x <－1，或x >3}⊆⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2，这是不可能的． 故不存在实数m 使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件． [拓展练]3．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]解析： 由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1.答案： A解”的求解策略，对于一个难以入手的命题，可以把命题转化为易于解决的等价命题，每一个等价命题都能提供一个解题思路．设p ：|4x －3|≤1；q ：a ≤x ≤a ＋1，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析： 设A ＝{x ||4x －3|≤1}，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． 由綈p 是綈q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1， 故所求实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案： A本例将“綈p 是綈q 的必要而不充分条件”转化为“p 是q 的充分而不必要条件”；将p 、q 之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用．,[跟踪训练]证明：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.证明： 命题“若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1”的逆否命题是“ 若a －b ＝1，则a 2－b 2＋2a －4b －3＝0”．由a －b ＝1，得a 2－b 2＋2a －4b －3＝(a ＋b )(a －b )＋2(a －b )－2b －3＝a －b －1＝0，所以原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题．即若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．若非空集合M ，N ，则“a ∈M 或a ∈N ”是“a ∈M ∩N ”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析： 因为“a ∈M ∩N ”可以推出“a ∈M 或a ∈N ”，但是反过来不能推出，所以“a ∈M 或a ∈N ”是“a ∈M ∩N ”的必要不充分条件．答案： C2．已知命题：若a >2，则a 2>4，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： 原命题显然是真命题，其逆命题为“若a 2>4，则a >2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题．答案： B3．(2017·北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由存在负数λ，使得m ＝λn ，可得m 、n 共线且反向，夹角为180°，则m·n ＝－|m ||n |<0，故充分性成立．由m·n <0，可得m ，n 的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．答案： B4．使a >0，b >0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a ＋b >0 B ．a －b >0 C ．ab >1D ．ab>1解析： 因为a >0，b >0⇒a ＋b >0，反之不成立，而由a >0，b >0不能推出a －b >0，ab >1，a b>1. 答案： A5．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题D ．“tan x ＝1”是“x ＝π4”的充分不必要条件解析： 由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，即A 不正确；因为x 2－x －2＝0⇔x ＝－1或x ＝2，所以由“x ＝－1”能推出“x 2－x －2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 正确；由x ＝π4能推得tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x ＝π4，所以“x ＝π4”是“tan x＝1”的充分不必要条件，即D不正确．答案： C6．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)7．(2017·山东临沂模拟)有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，真命题．答案：②③8．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．解析：由x2>1得x>1或x<－1.由题意知{x|x<a x|x>1或x<－1}，所以a≤－1，从而a的最大值为－1.答案：－19．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解析：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．10．指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ； (2)非空集合A ，B 中，p ：x ∈(A ∪B )，q ：x ∈B ；(3)已知x ，y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0.解析： (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ⇒sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A ＝B .故p 是q 的充要条件．(2)显然x ∈(A ∪B )不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈(A ∪B )，所以p 是q 的必要不充分条件． (3)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2， 所以p ⇒q 但q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．1．(2017·四川南山模拟)已知条件p ：14<2x <16，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0，若p 是q 的充分而不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．[－4，＋∞)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4]D ．(4，＋∞)解析： 由14<2x <16，得－2<x <4，即p ：－2<x <4.方程(x ＋2)(x ＋a )＝0的两个根分别为－a ，－2.①若－a >－2，即a <2，则条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－2<x <－a ，由p 是q 的充分而不必要条件可得－a >4，则a <－4；②若－a ＝－2，即a ＝2，则(x ＋2)(x ＋a )<0无解，不符合题意；③若－a <－2，即a >2，则q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－a <x <－2，不符合题意． 综上可得a <－4，故选B. 答案： B2．(2017·山西五校4月联考)已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为____________．解析： p 对应的集合A ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4<x <1}，由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，∴m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.答案： (－∞，－7]∪[1，＋∞)3．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”． (1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．解析： (1)否命题：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”． (2)命题p 的否命题为真命题，证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根． 4．已知p ：x 2－7x ＋12≤0，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.(1)是否存在实数a ，使綈p 是綈q 的充分不必要条件，若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数a ，使p 是q 的充要条件，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解析： 因为p ：3≤x ≤4， q ：a ≤x ≤a ＋1.(1)因为綈p 是綈q 的充分不必要条件， 所以綈p ⇒綈q ，且綈q ⇒/ 綈p ， 所以q ⇒p ，且p ⇒/ q ， 即q 是p 的充分不必要条件， 故{x |a ≤x ≤a ＋x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >3，a ＋1≤4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1<4，无解，所以不存在实数a ，使綈p 是綈q 的充分不必要条件． (2)若p 是q 的充要条件， 则{x |a ≤x ≤a ＋1}＝{x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＋1＝4，解得a ＝3.故存在实数a ＝3，使p 是q 的充要条件．第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“且”“或”“非”． (2)命题p ∧q 、 p ∨q 、綈p 的真假判断2.(1)全称量词和存在量词1．含逻辑联结词命题真假判断(1)p∧q中一假即假．(2)p∨q中一真必真．(3)綈p真，p假；綈p假，p真．2．全(特)称命题的真假判断方法1．命题“∃x0∈R，x20－x0－1>0”的否定是()A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1>0C．∃x0∈R，x20－x0－1≤0 D．∃x0∈R，x20－x0－1≥0解析：依题意得，命题“∃x0∈R，x20－x0－1>0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≤0”，选A.答案： A2．下列命题中为真命题的是()A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，－1<sin x<1C．∃x0∈R,2x0<0 D．∃x0∈R，tan x0＝2解析：因为∀x∈R，x2≥0，故A错；∀x∈R，－1≤sin x≤1，故B错；∀x∈R,2x>0，故C错．答案： D3．命题p：∀x∈R，sin x＜1；命题q：∃x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是()A．p∧q B．綈p∧qC．p∨綈q D．綈p∧綈q解析：p是假命题，q是真命题，所以B正确．答案： B4．命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为________________________．答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”5．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________.解析： 若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3， 因为“綈q ”为假，则q 为真，即x ∈Z ， 又因为“p ∧q ”为假，所以p 为假， 故－3<x <－1，由题意，得x ＝－2. 答案： －2考向一 全称命题与特称命题自主练透型1．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则非p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤0 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解析： 命题p 为全称命题，所以非p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1. 答案： B2．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若m 满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项中的命题为真命题的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)<f (m )B ．∃x 0∈R ，f (x 0)>f (m )C ．∀x ∈R ，f (x 0)≤f (m )D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (m )解析： 由2am ＋b ＝0，得m ＝－b2a ，又a >0，∴f (m )是函数f (x )的最小值， 即∀x ∈R ，有f (x )≥f (m )，故选D. 答案： D3．若命题“∃x ∈R ，使得sin x cos x >m ”是真命题，则m 的值可以是( ) A ．－13B ．1 C.32D ．23解析： ∵sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，∴m <12.故选A. 答案： A1．全称(特称)命题否定的两步曲(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．[提醒] 若命题p 是真命题，则綈p 是假命题；若命题p 是假命题，则綈p 是真命题． 2．全称命题与特称命题真假的判断方法考向二 含有逻辑联结词的命题的真假判断互动讲练型(1)(2017·贵州省适应性考试)已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋4)≥2，命题q ：y ＝x12是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∨(綈q )B ．p ∧qC ．(綈p )∨qD ．(綈p )∧(綈q )(2)(2017·山东卷)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q解析： (1)命题p ：函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2，即命题p 是真命题，因此綈p 为假命题；命题q ：y ＝x 12在定义域上是增函数，故命题q是假命题，綈q 是真命题．因此选项A 是真命题，选项B 是假命题，选项C 是假命题，选项D 是假命题，故选A.(2)p ：x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，∴∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0成立．故命题p 为真． q ：a 2<b 2⇒a 2－b 2<0⇒(a ＋b )(a －b )<0，。

高三理科一轮复习知识点在高三阶段，理科的复习显得尤为重要，因为理科知识点繁多，需要掌握的内容较多。

为了帮助同学们有条理地进行一轮复习，下面将对高三理科一轮复习的知识点进行整理和归纳。

一、数学数学是理科复习中必不可少的一部分，下面列举了一些重要的数学知识点：1. 函数与方程- 一次函数和二次函数的基本性质- 指数函数和对数函数的定义和性质- 三角函数的定义和相关公式- 概率与统计中的函数和方程2. 空间几何- 空间中点、线、面、体的基本性质及相互关系- 平行线、垂直线、角的性质- 圆锥曲线的基本性质和方程3. 导数与微分- 导数的定义和性质- 函数的极值、单调性和曲线的凹凸性- 微分的概念和应用二、物理物理学作为自然科学的基础学科，需要同学们牢固掌握一些核心知识点：1. 力学- 牛顿三定律及其应用- 运动学中的位移、速度、加速度等概念- 动力学中的力、功、能及其守恒定律2. 光学- 光、光的传播、光的反射和折射- 光的波粒二象性- 光的干涉和衍射现象3. 电磁学- 电荷、电场、电势及其相互作用- 电流、电阻和电路中的欧姆定律- 磁场的概念和磁场中的电流运动规律三、化学化学作为一门实验性科学，需要同学们熟悉实验操作和化学反应的原理：1. 化学反应- 物质的性质及其分类- 化学反应的基本概念和化学方程式- 化学反应中的平衡状态和化学平衡条件2. 有机化学- 有机物的基本结构和官能团- 有机物的命名规则和同分异构体- 有机反应的机理和反应类型3. 离子反应- 酸碱反应及酸碱中的物质计算- 氧化还原反应和电化学反应- 化学反应热力学和动力学的基本概念四、生物生物学是理科中的重要部分，涉及到生命的起源、组成和演化过程：1. 细胞生物学- 细胞的组成和结构- 细胞的代谢和生命活动- 细胞的分裂和遗传的基本规律2. 生物分类学- 生物的分类体系和分类方法- 动植物的主要分类特征和代表性物种- 生态系统的结构和功能3. 分子生物学- DNA的结构和功能- 基因的表达和调控- 蛋白质的合成和功能以上仅为高三理科一轮复习的一部分知识点，同学们在备考过程中需要根据自身情况进行具体的复习规划和安排。

高三理科一轮知识点总结随着高三学习的逐渐深入，理科学生们正逐渐进入备考阶段。

高中理科的学习内容丰富多样，各个学科之间相互交织，相互渗透。

在这个总结中，我们将对高三理科的一轮知识点进行梳理和总结，希望能为同学们温习和复习提供一些参考。

一、物理知识点总结1. 力学力学是物理学的基础，其涉及质点运动、力的作用、运动学和动力学等。

掌握牛顿力学、运动规律和动量定理等内容是高三物理学习的重点。

2. 热学热学是关于热量传递和热力学过程的学科。

理解温度、热量、热传导和热容的概念，并掌握热力学定律和热力学过程的计算方法是热学学习的关键。

3. 光学光学是研究光的传播和光与物质相互作用的科学。

学习光的折射、反射、干涉和衍射等规律，了解光的波粒二象性，以及应用光学原理解决问题是光学学习的核心。

二、化学知识点总结1. 无机化学无机化学是研究无机物质及其反应的学科。

学习元素周期表的构成和性质，了解无机物质的命名和化学键结构，掌握无机反应的平衡和速率等是无机化学学习的重点。

2. 有机化学有机化学是研究有机物质及其反应的学科。

掌握有机物的命名、结构和性质，了解有机反应的机理和方法，理解有机物质的结构与性能之间的相互关系是有机化学学习的核心。

3. 化学反应化学反应是指物质之间发生的化学变化过程。

学习化学反应的平衡、速率和电化学反应等内容，掌握化学反应式的平衡计算和电化学实验的分析方法是化学学习的关键。

三、生物知识点总结1. 生物基础知识生物基础知识包括生物的组成、结构和功能等方面的内容。

了解细胞的组成和结构，掌握生物分子的合成和降解，理解生物分子与细胞功能之间的关系是生物学习的基础。

2. 生物进化与分类生物进化与分类是研究生物种类和它们进化关系的学科。

学习生物的分类方法和分类进程，了解生物进化的基本原理和证据，掌握相关实验技巧和数据分析方法是生物进化与分类学习的重点。

3. 生物生态学生物生态学研究生物与环境之间的相互关系和生物群落的结构与功能。

数列一、 知识梳理概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n=.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n na a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n na a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n nq a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==nS a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（ ） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

高三数学一轮复习：基础知识归纳第一部分 集合1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2.数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素与集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. （2）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . （3）A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况.（4）集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；非空真子集有2n –2个.4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分 函数与导数1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、 绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（xa 、x sin 、x cos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y = ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。