(word完整版)高三数学总复习正弦定理和余弦定理教案

教学过程课堂导入三角形是最基本的几何图形．三角形中的数量关系，有着极其广泛的应用．在初中，我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的测量问题．在实际工作中，我们还会遇到许多其它的测量问题，这些仅用锐角三角函数就不够了．如：1．怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？2．怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？3．怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？4．怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？5．怎样确定航向，才能在航速一定的情况下，尽快与一运动的物体(如轮船)相遇？等等．研究这些问题显然需要明白三角形中的边长与角度之间的数量关系，那么本次课我们就来发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并将它们融入已有的知识体系．复习预习回忆在三角函数中学过的公式A.三角函数诱导公式：B.三角函数的两角和或差公式：C.三角函数的二倍角公式：D.三角函数的辅助角公式：知识讲解考点1 正弦定理和余弦定理考点2 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b解的个数一解两解一解一解无解例题精析【例题1】【题干】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A－2cos Ccos B＝2c－a b.(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B＝14，△ABC的周长为5，求b的长．【解析】(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A .因此sin Csin A ＝2. (2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2. 所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1.因此b ＝2.【例题2】【题干】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状．【解析】∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. (2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°＜B ＜120°，30°＜B ＋30°＜150°， ∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．【例题3】【题干】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C＋3a sin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.【解析】(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.【例题4】【题干】(2012·江西高考)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．【解析】(1)证明：由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C 22sin B ＋22cos B ＝22，⇨(3分) 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1，⇨(5分)由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.⇨(6分)(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.⇨(8分)由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8， c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，⇨(10分)所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.⇨(12分)课堂运用【基础】1．(2012·上海高考)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是() A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定解析：选A由正弦定理得a2＋b2＜c2，故cos C＝a2＋b2－c22ab＜0，所以C为钝角．2．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62 D.3＋394解析：选B由余弦定理得：(7)2＝22＋AB2－2×2AB·cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是AB sin 60°＝33 2.3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝()A.725B．－725C．±725 D.24 25解析：选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C 2 sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.【巩固】4．(2012·福建高考)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析：依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a＞0)，则最大边2a所对的角的余弦值为a2＋2a2－2a22a·2a＝－24.答案：－245．在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝2，AC＝1，∠BAD＝30°，则AD的长度为________．解析：延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM、MC，则四边形ABMC是平行四边形．在△ABM中，由余弦定理得BM2＝AB2＋AM2－2AB·AM·cos∠BAM，即12＝22＋AM2－2·2·AM·cos 30°，解得AM＝3，所以AD＝32.答案：32【拔高】6．已知A、B、C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解：(1)由2cos2A2＋cos A＝0，得1＋cos A＋cos A＝0，即cos A＝－12，∵0<A<π，∴A＝2π3.(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，A＝2π3，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC＝12bc sin A＝ 3.7．(2012·江苏高考)在△ABC中，已知AB·AC＝3BA·BC.(1)求证：tan B＝3tan A；(2)若cos C＝55，求A的值．解：(1)因为AB ·AC ＝3BA ·BC ，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ， 由正弦定理知AC sin B ＝BCsin A ，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0，所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0＜C ＜π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2， 亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－2.由(1)得4tan A1－3tan 2A＝－2， 解得tan A ＝1或－13，因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.课程小结(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.(2)在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sinA<a<ba≥b a>b 解的个数一解两解一解一解。

§3.7正弦定理、余弦定理1．正弦、余弦定理在△ABC中,若角A，B，C所对的边分别是a，b,c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容错误!＝错误!＝错误!＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B; c2＝a2＋b2－2ab cos C变形（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sinC；（2）sin A＝错误!,sin B＝错误!，sin C＝错误!；(5）cos A＝错误!cos B＝错误!；cos C＝错误!(3）a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sinC ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A2.S △ABC ＝12ab sin C ＝错误!bc sin A ＝错误!ac sin B ＝错误!＝错误!(a ＋b ＋c )·r （r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R 、r 。

3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a 〈b a ≥b a 〉b解的个数一解 两解 一解 一解【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√"或“×"）（1）在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．（√）（2）若满足条件C＝60°，AB＝错误!，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是（3，2)．( √）(3）若△ABC中,a cos B＝b cos A，则△ABC是等腰三角形．( √) (4）在△ABC中，tan A＝a2,tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．( ×)（5）当b2＋c2－a2〉0时,三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时,三角形为直角三角形;当b2＋c2－a2<0时，三角形为钝角三角形．（×）（6）在△ABC中，AB＝错误!，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于错误!.（×)1．（2013·湖南改编）在锐角△ABC中，角A,B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A＝。

1、1、 2 余弦定理一、【学习目标】1．掌握余弦定理的两种表示形式及其推导过程；2．会用余弦定理解决详细问题；3．经过余弦定理的向量法证明领会向量工具性．【学习成效】：教课目的的给出有益于学生整体的掌握讲堂.二、【教课内容和要求及教课过程】阅读教材第 5—7 页内容，而后回答以下问题（余弦定理）<1>余弦定理及其推导过程？<2>余弦定理及余弦定理的应用？结论：<1>在中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b．由向量加法得：<2>余弦定理：三角形任何一边的平方等于其余两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．余弦定理还可作哪些变形呢？[ 理解定理 ]（1）余弦定理的基本作用为：①已知三角形三边求角；②已知两边和它们的夹角，求第三边。

[ 例题剖析 ]例1评论：五个量中两边及夹角求其余两个量。

例 2 评论：已知三边求三角。

【学习成效】：学生简单理解和掌握。

三、【练习与稳固】依据今日所学习的内容，达成以下练习练习一：教材第 8 页练习第1、 2 题四、【作业】教材第 10 页练习第3---4题.五、【小结】（1）余弦定理合用任何三角形。

（2）余弦定理的作用：已知两边及两边夹角求第三边；已知三边求三角；判断三角形形状。

（ 3）由余弦定理可知六、【教课反省】本节课要点理解余弦定理的运用.要求记着定理。

习题优选一、选择题1．在中，已知角则角 A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或 15°2．中，则此三角形有（）A．一解 B ．两解 C ．无解 D ．不确立3．若是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在中，已知则AD长为（）A．B．C．D．5．在，面积，则BC长为（）A．B．75 C ．51D．496．钝角的三边长为连续自然数，则这三边长为（）A． 1、2、3、B．2、3、4C． 3、 4、5D． 4、 5、67．在中，，则A等于（）A．60°B．45° C ．120°D．30°8．在中，，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形 D ．等边三角形9．在中，，则等于（）A．B．C．D．10．在中，，则的值为（）A．B．C．D．11．在中，三边与面积S的关系式为则角C为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．在中，是的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件二、填空题13．在中，，则14．若的三个内角成等差数列，且最大边为最小边的 2 倍，则三内角之比为 ________。

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余弦定理教案篇一今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。

下面我分别从教材分析。

教学目标的确定。

教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。

一、教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。

平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。

本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。

在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。

二、教学目标的确定基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。

引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。

《余弦定理》教案(一）教学目标1．知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.(三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。

从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具:直尺、投影仪、计算器(四）教学设想［创设情景］ C 如图1．1—4，在∆ABC 中,设BC=a ，AC=b,AB=c ，已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B（图1．1-4）[探索研究］联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求,发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题. A如图1．1-5,设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1—5）同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理和余弦定理（对应学生用书（文）、（理）５３～５４页）考情分析考点新知正余弦定理及三角形面积公式．掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.１．（必修５P１0习题１．１第１（２）题改编）在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝４５°，BC＝３错误!，则AC＝________．答案：２错误!解析：在△ABC中，错误!＝错误!，∴AC＝错误!＝错误!＝２错误!.２．（必修５P２４复习题第１（２）题改编）在△ABC中，a＝错误!，b＝１，c＝２，则A＝________．答案：60°解析：由余弦定理，得cosA＝错误!＝错误!＝错误!，∵0＜A＜π，∴A＝60°.３．（必修５P１7习题１．２第6题改编）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a＝２bcosC，则此三角形一定是________三角形．答案：等腰解析：因为a＝２bcosC，所以由余弦定理得a＝２b·错误!，整理得b２＝c２，故此三角形一定是等腰三角形．４．（必修５P１7习题6改编）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a２＋b２—c２＝ab，则∠C ＝________．答案：60°解析：cosC＝错误!＝错误!＝错误!.∵0°＜C＜１80°，∴∠C＝60°.５．（必修５P１１习题１．１第6（１）题改编）在△ABC中，a＝３错误!，b＝２错误!，cosC＝错误!，则△ABC的面积为________．答案：４错误!解析：∵ cosC＝错误!，∴sinC＝错误!，∴S△ABC＝错误!absinC＝错误!×３错误!×２错误!×错误!＝４错误!.１．正弦定理：错误!＝错误!＝错误!＝２R（其中R为△ABC外接圆的半径）．２．余弦定理a２＝b２＋c２—２bccosA，b２＝a２＋c２—２accosB；c２＝a２＋b２—２abcosC或cosA＝错误!，cosB＝错误!，cosC＝错误!.３．三角形中的常见结论（１）A＋B＋C＝π.（２）在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinＢ．（３）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（４）△ABC的面积公式１S＝错误!a·h（h表示a边上的高）；２S＝错误!absinC＝错误!acsinB＝错误!bcsinA＝错误!；３S＝错误!r（a＋b＋c）（r为内切圆半径）；４S＝错误!，其中P＝错误!（a＋b＋c）．[备课札记]题型１正弦定理解三角形例１在△ABC中，a＝错误!，b＝错误!，B＝４５°.求角A、C和边Ｃ．解：由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴sinA＝错误!.∵a>b，∴A＝60°或A＝１２0°.当A＝60°时，C＝１80°—４５°—60°＝7５°，c＝错误!＝错误!；当A＝１２0°时，C＝１80°—４５°—１２0°＝１５°，c＝错误!＝错误!.错误!在△ABC中，（１）若a＝４，B＝３0°，C＝１0５°，则b＝________．（２）若b＝３，c＝错误!，C＝４５°，则a＝________．（３）若AB＝错误!，BC＝错误!，C＝３0°，则∠A＝________．答案：（１）２错误!（２）无解（３）４５°或１３５°解析：（１）已知两角和一边只有一解，由∠B＝３0°，∠C＝１0５°，得∠A＝４５°.由正弦定理，得b＝错误!＝错误!＝２错误!.（２）由正弦定理得sinB＝错误!＝错误!>１，∴无解．（３）由正弦定理错误!＝错误!，得错误!＝错误!，∴sinA＝错误!.∵BC>AB，∴A>C，∴∠A＝４５°或１３５°.题型２余弦定理解三角形例２在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且错误!＝—错误!.（１）求角B的大小；（２）若b＝错误!，a＋c＝４，求△ABC的面积．解：（１）由余弦定理知：cosB＝错误!，cosC＝错误!.将上式代入错误!＝—错误!，得错误!·错误!＝—错误!，整理得a２＋c２—b２＝—aＣ．∴ cosB＝错误!＝—错误!＝—错误!.∵B为三角形的内角，∴B＝错误!π.（２）将b＝错误!，a＋c＝４，B＝错误!π代入b２＝a２＋c２—２accosB，得b２＝（a＋c）２—２ac—２accosB，∴１３＝１6—２ac错误!，∴ac＝３．∴S△ABC＝错误!acsinB＝错误!.错误!（２0１４·南京期末）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知c＝２，C＝错误!.（１）若△ABC的面积等于错误!，求a、b；（２）若sinC＋sin（B—A）＝２sin２A，求△ABC的面积．解：（１）由余弦定理及已知条件，得a２＋b２—ab＝４．因为△ABC的面积等于错误!，所以错误!absinC＝错误!，得ab＝４．联立方程组错误!解得a＝２，b＝２．（２）由题意得sin（B＋A）＋sin（B—A）＝４sinAcosA，所以sinBcosA＝２sinAcosＡ．当cosA＝0时，A＝错误!，所以B＝错误!，所以a＝错误!，b＝错误!.当cosA≠0时，得sinB＝２sinA，由正弦定理得b＝２a，联立方程组错误!解得a＝错误!，b＝错误!.所以△ABC的面积S＝错误!absinC＝错误!.题型３三角形形状的判定例３在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角∠A、∠B、∠C的对边，如果（a２＋b２）sin（A—B）＝（a２—b２）sin（A＋B），判断三角形的形状．解：已知等式可化为a２[sin（A—B）—sin（A＋B）]＝b２[—sin（A＋B）—sin（A—B）]，∴２a２cosAsinB＝２b２cosBsinＡ．由正弦定理得sin２AcosAsinB＝sin２BcosBsinA，∴sinAsinB（sinAcosA—sinBcosB）＝0，∴sin２A＝sin２Ｂ．由0<２A<２π，0<２B<２π得２A＝２B或２A＝π—２B，即△ABC为等腰或直角三角形．错误!已知△ABC中，错误!＝错误!，试判断△ABC的形状．解：由已知，得错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!.由正弦定理知错误!＝错误!，∴错误!＝错误!.∴sinCcosC＝sinBcosB，即sin２C＝sin２B，因为∠B、∠C均为△ABC的内角．所以２∠C＝２∠B或２∠C＋２∠B＝１80°，所以∠B＝∠C或∠B＋∠C＝90°，故三角形为等腰或直角三角形．题型４正弦定理、余弦定理的综合应用例４在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且bcosB是acosC、ccosA的等差中项．（１）求B的大小；（２）若a＋c＝错误!，b＝２，求△ABC的面积．解：（１）由题意，得acosC＋ccosA＝２bcosＢ．由正弦定理，得sinAcosC＋cosAsinC＝２sinBcosB，即sin（A＋C）＝２sinBcosＢ．∵A＋C＝π—B，0＜B＜π，∴sin（A＋C）＝sinB≠0．∴cosB＝错误!，∴B＝错误!.（２）由B＝错误!，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴ac＝２．∴S△ABC＝错误!acsinB＝错误!.错误!已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，acosC＋错误!asinC—b—c＝0．（１）求A；（２）若a＝２，△ABC的面积为错误!，求b、Ｃ．解：（１）由acosC＋错误!asinC—b—c＝0及正弦定理得sinAcosC＋错误!sinAsinC—sinB—sinC ＝0．因为B＝π—A—C，所以错误!sinAsinC—cosAsinC—sinC＝0．由于sinC≠0，所以sin错误!＝错误!.又0<A<π，故A＝错误!.（２）△ABC的面积S＝错误!bcsinA＝错误!，故bc＝４．而a２＝b２＋c２—２bccosA，故b２＋c２＝8．解得b＝c＝２．１．（２0１３·安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若b＋c＝２a，３sinA ＝５sinB，则角C＝________．答案：错误!解析：根据正弦定理，３sinA＝５sinB可化为３a＝５b，又b＋c＝２a，解得b＝错误!，c＝错误!.令a＝５t（t>0），则b＝３t，c＝7t，在△ABC中，由余弦定理得cosC＝错误!＝错误!＝—错误!，所以C ＝错误!.２．（２0１３·贵州）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝２，B＝错误!，C＝错误!，则△ABC的面积为________．答案：错误!＋１解析：∵ b＝２，B＝错误!，C＝错误!，∴由正弦定理得错误!＝错误!，解得c＝２错误!.又A＝π—（B＋C）＝错误!，S△ABC＝错误!bcsinA＝错误!×２×２错误!×错误!＝错误!＋１．３. （２0１３·盐城期末）在△ABC中，若9cos２A—４cos２B＝５，则错误!＝________．答案：错误!解析：由9cos２A—４cos２B＝５，得9（１—２sin２A）＝５＋４（１—２sin２B），得9sin２A＝４sin２B，即３sinA＝２sinＢ．由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!.４．已知△ABC中，∠B＝４５°，AC＝４，则△ABC面积的最大值为________．答案：４＋４错误!解析：AC２＝AB２＋BC２—２AB·BC·cos４５°，即１6＝c２＋a２—２ac·cos４５°，则有２ac—２ac·cos４５°≤１6，即ac≤错误!＝错误!＝8（２＋错误!）．S max＝错误!acsin４５°＝错误!×8（２＋错误!）＝４＋４错误!.１．（２0１４·南通一模）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且c＝—３bcosA，tanC＝错误!.（１）求tanB的值；（２）若c＝２，求△ABC的面积．解：（１）由正弦定理，得sinC＝—３sinBcosA，即sin（A＋B）＝—３sinBcosＡ．所以sinAcosB ＋cosAsinB＝—３sinBcosＡ．从而sinAcosB＝—４sinBcosＡ．因为cosAcosB≠0，所以错误!＝—４．又tanC＝—tan（A＋B）＝错误!，由（１）知，错误!＝错误!，解得tanB＝错误!.（２）由（１），得sinA＝错误!，sinB＝错误!，sinC＝错误!.由正弦定理，得a＝错误!＝错误!＝错误!.所以△ABC的面积为错误!acsinB＝错误!×错误!×２×错误!＝错误!.２．（２0１４·苏州期末）在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC＋错误!c ＝Ｂ．（１）求角A的大小；（２）若a＝错误!，b＝４，求边c的大小．解：（１）用正弦定理，由acosC＋错误!c＝b，得sinAcosC＋错误!sinC＝sinＢ．∵sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC，∴错误!sinC＝cosAsinＣ．∵sinC≠0，∴cosA＝错误!.∵0<A<π，∴A＝错误!.（２）用余弦定理，得a２＝b２＋c２—２bccosＡ．∵a＝错误!，b＝４，∴１５＝１6＋c２—２×４×c×错误!.即c２—４c＋１＝0．则c＝２±错误!.３．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、Ｃ．（１）若c＝２，C＝错误!，且△ABC的面积为错误!，求a、b的值；（２）若sinC＋sin（B—A）＝sin２A，试判断△ABC的形状．解：（１）∵ c＝２，C＝错误!，∴由余弦定理c２＝a２＋b２—２abcosC，得a２＋b２—ab＝４．又△ABC的面积为错误!，∴错误!absinC＝错误!，即ab＝４．联立方程组错误!解得a＝２，b＝２．（２）由sinC＋sin（B—A）＝sin２A，得sin（A＋B）＋sin（B—A）＝２sinAcosA，即２sinBcosA ＝２sinAcosA，∴cosA·（sinA—sinB）＝0，∴cosA＝0或sinA—sinB＝0．当cosA＝0时，∵0＜A ＜π，∴A＝错误!，△ABC为直角三角形；当sinA—sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴ △ABC为等腰三角形或直角三角形．４．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a＝１，b＝２，cosC＝错误!.求：（１）△ABC的周长；（２）cos（A—C）的值．解：（１）因为c２＝a２＋b２—２abcosC＝１＋４—４×错误!＝４．所以c＝２．所以△ABC的周长为a＋b＋c＝１＋２＋２＝５．（２）因为cosC＝错误!，所以sinC＝错误!＝错误!＝错误!.所以sinA＝错误!＝错误!＝错误!.因为a＜c，所以A＜C，故A为锐角，所以cosA＝错误!＝错误!＝错误!.所以cos（A—C）＝cosAcosC＋sinAsinC＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.１．（１）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．（２）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．２．（１）根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键．（２）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．３．在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解．错误![备课札记]。

铭智教育一对一个性化教案学生姓名教师姓名授课日期授课时段课题正弦定理和余弦定理重难点1.正弦定理和余弦定理2.正弦定理和余弦定理的灵活应用教学步骤及教学内1．正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c ＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C．余弦定理可以变形：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角教育要对民族的未来负责教育要对民族的未来负责容图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解[难点正本 疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．1． 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.答案 2解析 由正弦定理及等比性质知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ， 而由A ＝60°，a ＝3，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝a sin A ＝3sin 60°＝2.2． (2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．答案 －24解析 设三角形的三边长从小到大依次为a ，b ，c ， 由题意得b ＝2a ，c ＝2a . 在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22×a ×2a＝－24.教育要对民族的未来负责3． (2012·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c＝________. 答案145解析 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665. 由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.4． (2011·课标全国)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.教育要对民族的未来负责5． 已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D.22答案 C解析 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝116abc ＝116×162＝ 2.题型一 利用正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32. ∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin Csin B ＝6－22.探究提高 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________． 答案 π6教育要对民族的未来负责解析 ∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二 利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．思维启迪：由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵0<B <π，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.教育要对民族的未来负责探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.教育要对民族的未来负责又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ， 由正弦定理得a ＝b ，教育要对民族的未来负责即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．代数化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．审题视角 (1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示．(2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以 下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化 角．规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二 由正弦定理、余弦定理得： a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，[6分] ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，教育要对民族的未来负责∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.[10分] 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断．(2)本题也可分析式子的结构特征，从式子看具有明显的对称性，可判断图形为等腰或直角三角形． (3)易错分析：①方法一中由sin 2A ＝sin 2B 直接得到A ＝B ，其实学生忽略了2A 与2B 互补的情况，由于计算问题出错而结论错误．方法二中由c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)不少同学直接得到c 2＝a 2＋b 2，其实是学生忽略了a 2－b 2＝0的情况，由于化简不当致误．②结论表述不规范．正确结论是△ABC 为等腰三角形或直角三角形，而不少学生回答为：等腰直角三角形．高考中的解三角形问题典例：(12分)(2012·辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．(1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．考点分析 本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转化能力和运算求解能力． 解题策略 根据三角形内角和定理可直接求得B ；利用正弦定理或余弦定理转化到只含角或只含边的式子，然后求解． 规范解答解 (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°， 所以cos B ＝12.[4分](2)方法一 由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，[8分] 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.[12分]教育要对民族的未来负责方法二 由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，解得a ＝c ，[8分]所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34.[12分]解后反思 (1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断．(2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向.方法与技巧1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C － 2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 失误与防范1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·广东)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.32答案 B教育要对民族的未来负责解析 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A， ∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.2． (2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )A ．－12B.12C ．－1D ．1答案 D解析 ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin B sin B ， 即sin A cos A －sin 2B ＝0，∴sin A cos A －(1－cos 2B )＝0， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1.3． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形答案 C解析 因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，因此三角形一定是等腰三角形．4． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)．∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 二、填空题(每小题5分，共15分)教育要对民族的未来负责5． (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.答案523解析 根据正弦定理应有a sin A ＝b sin B， ∴a ＝b sin Asin B ＝5×1322＝523.6． (2011·福建)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．答案 2解析 由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， ∴3＝12×2·AC ·32，∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形．∴AB ＝2.7． 在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.答案 4或5解析 设BC ＝x ，则由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C 得5＝25＋x 2－2·5·x ·910，即x 2－9x＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5. 三、解答题(共22分)8． (10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．解 (1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，∴sin A ＝45.又AB →·AC →＝3，∴bc cos A ＝3，∴bc ＝5.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×45＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，教务处签字：日期：年月日课后评价一、学生对于本次课的评价○特别满意○满意○一般○差二、教师评定1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差作业布置.s.5.u.根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A＝36－10－10×35＝20，∴a＝2 5.教育要对民族的未来负责教师留言教师签字：家长意见家长签字：日期：年月日教育要对民族的未来负责。

2014届高三数学总复习 3.7正弦定理和余弦定理教案 新人教A版1. (必修5P 10习题1.1第1(2)题改编)在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．答案：2 3解析：在△ABC 中，AC sinB ＝BC sinA ，∴ AC ＝BC·sinB sinA＝32×2232＝2 3.2. (必修5P 24复习题第1(2)题改编)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________． 答案：60°解析：由余弦定理，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝60°.3. (必修5P 17习题1.2第6题改编)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．答案：等腰解析：因为a ＝2bcosC ，所以由余弦定理得a ＝2b·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，故此三角形一定是等腰三角形．4. (必修5P 17习题6改编)已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C＝________．答案：60°解析：cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.∵ 0°＜C ＜180°，∴ ∠C ＝60°.5. (必修5P 11习题1.1第6(1)题改编)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，则△ABC的面积为________．答案：4 3解析：∵ cosC ＝13，∴ sinC ＝223，∴ S △ABC ＝12absinC ＝12×32×23×223＝4 3.1. 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)．2. 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 或cosA ＝b 2＋c 2－a22bc，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab.3. 三角形中的常见结论 (1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB. (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)；② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R ；③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)；④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)．[备课札记]题型1 正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c. 解：由正弦定理，得a sinA ＝b sinB ，即3sinA ＝2sin45°， ∴ sinA ＝32. ∵ a>b ，∴ A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsinC sinB ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝bsinC sinB ＝6－22.变式训练 在△ABC 中，(1) 若a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，则b ＝________．(2) 若b ＝3，c ＝2，C ＝45°，则a ＝________．(3) 若AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，则∠A＝________． 答案：(1) 2 2 (2) 无解 (3) 45°或135°解析：(1) 已知两角和一边只有一解，由∠B＝30°，∠C ＝105°，得∠A＝45°.由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝4sin30°sin45°＝2 2.(2) 由正弦定理得sinB ＝bsinC C ＝32>1，∴ 无解．(3) 由正弦定理BC sinA ＝AB sinC ，得6sinA ＝312，∴ sinA ＝22.∵ BC>AB ，∴ A>C ，∴ ∠A ＝45°或135°. 题型2 余弦定理解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosB cosC ＝－b2a ＋c .(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理知：cosB ＝a 2＋c 2－b22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cosB cosC ＝－b 2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac.∴ cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵ B 为三角形的内角，∴ B ＝23π.(2) 将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accosB ，∴ 13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ ac ＝3. ∴ S △ABC ＝12acsinB ＝334.备选变式（教师专享）(2014·南京期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4. 因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA. 当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233.当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ， 解得a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.题型3 三角形形状的判定例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角∠A、∠B、∠C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A－B)＝(a 2－b 2)sin(A ＋B)，判断三角形的形状．解：已知等式可化为a 2[sin(A －B)－sin(A ＋B)]＝ b 2[－sin(A ＋B)－sin(A －B)]，∴ 2a 2cosAsinB ＝2b 2cosBsinA.由正弦定理得sin 2AcosAsinB ＝sin 2BcosBsinA ，∴ sinAsinB(sinAcosA －sinBcosB)＝0，∴ sin2A ＝sin2B.由0<2A<2π，0<2B<2π得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 为等腰或直角三角形．备选变式（教师专享）已知△ABC 中，b·cosC c ·cosB ＝1＋cos2C1＋cos2B ，试判断△ABC 的形状．解：由已知，得1＋cos2C 1＋cos2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b·cosCc ·cosB ， ∴ cosC cosB ＝b c. 由正弦定理知b c ＝sinB sinC ，∴ sinB sinC ＝cosCcosB .∴ sinCcosC ＝sinBcosB ，即sin2C ＝sin2B ，因为∠B、∠C 均为△ABC 的内角．所以2∠C＝2∠B 或2∠C＋2∠B＝180°，所以∠B＝∠C或∠B＋∠C＝90°，故三角形为等腰或直角三角形．题型4 正弦定理、余弦定理的综合应用例4 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且bcosB 是acosC 、ccosA 的等差中项．(1) 求B 的大小； (2) 若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由题意，得acosC ＋ccosA ＝2bcosB.由正弦定理，得sinAcosC ＋cosAsinC ＝2sinBcosB ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosB. ∵ A ＋C ＝π－B ，0＜B ＜π， ∴ sin(A ＋C)＝sinB ≠0.∴ cosB ＝12，∴ B ＝π3.(2) 由B ＝π3，得a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即（a ＋c ）2－2ac －b 22ac ＝12，∴ ac ＝2.∴ S △ABC ＝12acsinB ＝32.变式训练已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，acosC ＋3asinC －b －c ＝0. (1) 求A ；(2) 若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b 、c.解：(1) 由acosC ＋3asinC －b －c ＝0及正弦定理得sinAcosC ＋3sinAsinC －sinB －sinC ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sinAsinC －cosAsinC －sinC ＝0.由于sinC ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A<π，故A ＝π3.(2) △ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c＝2.1. (2013·安徽)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若b ＋c ＝2a ，3sinA ＝5sinB ，则角C ＝________．答案：2π3解析：根据正弦定理，3sinA ＝5sinB 可化为3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，解得b ＝3a 5，c ＝7a5.令a ＝5t(t>0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，在△ABC 中，由余弦定理得cosC ＝a 2＋b 2－c22ab ＝25t 2＋9t 2－49t 22×5t ×3t ＝－12，所以C ＝2π3.2. (2013·贵州)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________． 答案：3＋1解析：∵ b＝2，B ＝π6，C ＝π4，∴ 由正弦定理得b sin π6＝csinπ4，解得c ＝2 2.又A＝π－(B ＋C)＝7π12，S △ABC ＝12bcsinA ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.3. (2013·盐城期末)在△ABC 中，若9cos2A －4cos2B ＝5，则BCAC ＝________．答案：23解析：由9cos2A －4cos2B ＝5，得9(1－2sin 2A)＝5＋4(1－2sin 2B)，得9sin 2A ＝4sin 2B ，即3sinA ＝2sinB.由正弦定理得BC AC ＝sinA sinB ＝23.4. 已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为________． 答案：4＋4 2解析：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos45°，即16＝c 2＋a 2－2ac·cos45°， 则有2ac －2ac·cos45°≤16，即ac≤81－cos45°＝16（2＋2）2＝8(2＋2)．S max ＝12acsin45°＝24×8(2＋2)＝4＋4 2.1. (2014·南通一模)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且c ＝－3bcosA ，tanC ＝34.(1) 求tanB 的值；(2) 若c ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由正弦定理，得sinC ＝－3sinBcosA ，即sin(A ＋B)＝－3sinBcosA.所以sinAcosB ＋cosAsinB ＝－3sinBcosA.从而sinAcosB ＝－4sinBcosA.因为cosAcosB ≠0，所以tanAtanB＝－4.又tanC ＝－tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB tanAtanB －1，由(1)知，3tanB 4tan 2B ＋1＝34，解得tanB ＝12. (2) 由(1)，得sinA ＝25，sinB ＝15，sinC ＝35.由正弦定理，得a ＝csinAsinC＝2×2535＝453. 所以△ABC 的面积为12acsinB ＝12×453×2×15＝43.2. (2014·苏州期末)在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且acosC ＋12c＝b.(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝15，b ＝4，求边c 的大小．解：(1) 用正弦定理，由acosC ＋12c ＝b ，得sinAcosC ＋12sinC ＝sinB.∵ sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ， ∴ 12sinC ＝cosAsinC. ∵ sinC ≠0，∴ cosA ＝12.∵ 0<A<π，∴ A ＝π3.(2) 用余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA. ∵ a ＝15，b ＝4， ∴ 15＝16＋c 2－2×4×c×12.即c 2－4c ＋1＝0.则c ＝2± 3.3. 在△ABC 中，∠A 、∠B、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c. (1) 若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a 、b 的值；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．解：(1) ∵ c＝2，C ＝π3，∴ 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，得a 2＋b 2－ab ＝4.又△ABC 的面积为3，∴ 12absinC ＝3，即ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.(2) 由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，得sin(A ＋B)＋sin(B －A)＝2sinAcosA ，即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴ cosA ·(sinA －sinB)＝0，∴ cosA ＝0或sinA －sinB ＝0.当cosA ＝0时，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴ △ABC 为等腰三角形或直角三角形．4. 在△ABC 中，∠A 、∠B、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，b ＝2，cosC ＝14.求：(1) △ABC 的周长； (2) cos(A －C)的值．解：(1) 因为c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4.所以c ＝2.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2) 因为cosC ＝14，所以sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.所以sinA ＝asinC c ＝154 2＝158.因为a＜c，所以A＜C，故A为锐角，所以cosA＝1－sin2A＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78.所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝78×14＋158×154＝1116.1. (1) 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2) 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．2. (1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键．(2) 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．3. 在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解．请使用课时训练（B）第7课时（见活页）.[备课札记]。