湖南省益阳市2021届新高考一诊数学试题含解析

湖南省益阳市第三中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出的值为24，则判断框中填入的条件可以为（）(参考数据：)A．B．C．D．参考答案：C2. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.参考答案：3. 设函数与函数的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：C 令ax2= 得a2x3=|lnx+1|，显然a＞0，x＞0．作出y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象，如图所示：设a=a0时，y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象相切，切点为（x0，y0），则，解得．∴当0＜a＜时，y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象有三个交点．故选：C．4. 在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为A．[，1) B．[，2) C．[1，) D．[，)参考答案：A解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0＜t1＜1)，E(0，1，)，G(，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以＝(t1，－1，－)，＝(－，t2，－1)．因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜．又＝(t1，－t2，0)，＝\s\do4(12＝\s\do4(22＝，从而有≤＜1．5. 已知为虚数单位，则复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：C6. 已知集合A={0，1，2，3}，集合B={（x,y）|},则B中所含元素的个数为A．3 B．6 C．8 D．10参考答案：C当时，；当时，；当时，；当时，.共有8个元素.7. 在复平面内，与复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：D【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D. 【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.8. 集合，则= （）A． B． C. D.参考答案：C9. 某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为（）A．30B．24C．18D．12参考答案：B略10. 若集合，则A． B． C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为．参考答案：[0，2]考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x+a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围．解答： 解：由于f （x ）=，则当x=0时，f （0）=a 2， 由于f （0）是f （x ）的最小值， 则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0， 则有a 2≤x +a ，x ＞0恒成立，由x≥2=2，当且仅当x=1取最小值2，则a 2≤2+a，解得﹣1≤a≤2． 综上，a 的取值范围为[0，2]． 故答案为：[0，2]．点评： 本题考察了分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题，也是易错题．12. 从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．参考答案：74【知识点】系统抽样方法I2解析：样本间隔为80÷10=8，设第一个号码为x ，∵编号为58的产品在样本中，则58=8×7+2，则第一个号码为2，则最大的编号2+8×9=74，故答案为：74. 【思路点拨】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可得到结论．13. 已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为．参考答案：考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：利用正切函数的定义求得三角函数的值，再求角α的最小正值．解答： 解：由题意，点在第四象限∵==∴角α的最小正值为故答案为：点评：本题重点考查三角函数的定义，考查诱导公式的运用，属于基础题．14. （坐标系与参数方程）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点A 和B ，则。

湖南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（•永州一模）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（）A．（﹣1，1] B．（﹣1，1）C． [﹣1，2）D．（﹣1，2）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算进行求解．解答：解：由A={x|﹣1＜x＜2}，又B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B={x|﹣1＜x＜2}∩{x|﹣1≤x≤1}=（﹣1，1]．故选A．点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的运算题．2．（5分）（•永州一模）“x≠3”是“|x﹣3|＞0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意看命题“x≠3”与命题“|x﹣3|＞0”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：对于“x≠3”⇒“|x﹣3|＞0”；反之“|x﹣3|＞0”⇒“x≠3”一定成立，因此“x≠3”是“|x﹣3|＞0”的充分必要条件，故选C..点评：本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．3．（5分）（•永州一模）如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是边长为2的等边三角形，我们易得圆解答：解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是边长为2的等边三角形，∴r=1，h=∴v==π故选D．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何的形状及相关几何量（底面半径，高等）的大小是解答的关键．4．（5分）（•永州一模）cos2xdx=（）A．B．1C．2D．考点：定积分．专题：计算题．分析：由于cos2x的一个原函数为sin2x故根据牛顿﹣莱布尼茨公式即可求解．解答：解：cos2xdx=sin2x=（sin﹣sin0）=．故选A．点评：本题主要考查了定积分的计算．解题的关键是要能求出被积函数的一个原函数然后再根据牛顿﹣莱布尼茨公式求解．5．（5分）（•永州一模）甲、乙两人在淘宝网各开一家网店，直销同一厂家的同一种产品，厂家为考察两人的销售业绩，随机选了10天，统计两店销售量，得到如图所示的茎叶图，由图中数据可知（）A．甲网店的极差大于乙网店的极差B．甲网店的中位数是46C．乙网店的众数是42 D．甲网店的销售业绩好考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．分析：只要运用求平均数公式：=，即可求出甲网店的销售业绩好．或利用极差的概念，极差就是这组数据中的最大值与最小值的差，等计算极差或中位数或众数，再进行判断即可．解答：解：甲网店数据分别为：6，11，12，32，43，45，47，51，51，58．故平均数=（6+11+12+32+43+45+47+51+51+58）=35.6；极差就是这组数据中的最大值与最小值的差，即58﹣6=52．甲网店的中位数是44．乙网店数据分别为：5，7，13，13，13，22，34，42，42，58．故平均数=（5+7+13+13+13+22+34+42+42+58）=24.9；极差就是这组数据中的最大值与最小值的差，即58﹣5=53．乙网店的众数是13．∴甲网店的销售业绩好．故选D．．点评：本题考查的是样本平均数以及极差等统计量的求法，是比较简单的问题．6．（5分）（•永州一模）等差数列{an}的前n项和为Sn，S9=﹣18，S13=﹣52，等比数列{bn}中，b5=a5，b7=a7，则b6的值（）D．2或﹣2A．B．2C．或考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的前n项和公式和性质可得S9=9a5=﹣18，S13=13a7=﹣52，故可求得a5、a7，即求出b5、b7，由等比数列的通项公式即可求出q，进而求出b6．解答：解：∵S9=（a1+a9）=9a5=﹣18，S13=（a1+a13）=13a7=﹣52，∴a5=﹣2，a7=﹣4，又∵b5=a5，b7=a7，∴b5=﹣2，b7=﹣4，∴q2=2，即q=±，则b6=b5•q=﹣2×（±）=2或﹣2．故选C点评：本题考查了等差数列的前n项和公式、性质和等比数列的通项公式，熟练记忆及灵活运用公式是正确解题的关键．A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用诱导公式求得cos（+α）的值，再利用二倍角的余弦公式求得=2﹣1的值．解答：解：∵=cos（+α），∴=2﹣1=﹣，故选A．点评：本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．8．（5分）（2012•山东）设函数f（x）=，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A．当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0 B．当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C．当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0 D．当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞0考点：根的存在性及根的个数判断；二次函数的性质．专题：计算题；压轴题．分析：画出函数的图象，利用函数的奇偶性，以及二次函数的对称性，不难推出结论．解答：解：当a＜0时，作出两个函数的图象，如图，因为函数f（x）=是奇函数，所以A与A′关于原点对称，显然x2＞﹣x1＞0，即x1+x2＞0，﹣y1＞y2，即y1+y2＜0故选B．点评：本题考查的是函数图象，直接利用图象判断；也可以利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解．要求具有转化、分析解决问题，由一般到特殊的能力．题目立意较高，很好的考查能力．二、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分）．则∠AED=．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：如图所示，连接OE．利用切线的性质及CD与⊙O相切于点E，可得OE⊥CD．即可得出∠COE，由OE=OA，可得∠OEA即可．解答：解：如图所示，连接OE．∵CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD．∵，∴．∵OA=OE，∴．∴．故答案为．点评：熟练掌握圆的切线的性质、圆的性质是解题的关键．10．（5分）（•永州一模）已知x，y，z∈R，且x2+y2+z2=1，则x+2y+3z的最大值是．考点：一般形式的柯西不等式；柯西不等式在函数极值中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：分析题目已知x2+y2+z2=1，求x+2y+3z的最大值．考虑到应用柯西不等式（ax+by+cz）2≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2），首先构造出柯西不等式求出（x+2y+3z）2的最大值，开平方根即可得到答案．解答：解：因为已知x2+y2+z2=1根据柯西不等式（ax+by+cz）2≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）构造得：即（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）≤1×14=14故x+2y+3z≤．当且仅当x==时取等号．则x+2y+3z的最大值是．故答案为：．11．（•永州一模）已知在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（α为参数），与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则圆C截直线l所得的弦长为4．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题．分析：化圆的参数方程为直角坐标方程，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，由圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则圆C截直线l所得的弦长可求．解答：解：由，得①2+②2得x2+（y﹣1）2=4．所以圆是以C（0，1）为圆心，以2为半径的圆．又由，得．即．所以直线l的直角坐标方程为．所以圆心C到直线l的距离为d=．则直线l经过圆C的圆心，圆C截直线l所得的弦长为4．故答案为4．点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标化直角坐标，考查了直线与圆的位置关系，是基础题．三、必做题（12～16题），每小题5分．12．（5分）（•永州一模）二男二女共四个学生站成一排照相，两个女生必须相邻的站法有12种．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：根据题意，使用捆绑法，2名女生相邻，将其排在一起当做一个元素，有2种情况，再将其与其他四名志愿者全排列，由分步计数原理乘法公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，分2步进行，先将2名女生排在一起，看成做一个元素，考虑其顺序，有A22种情况，再将其与其他2名男生全排列，有A33种情况，则其不同的排列方法为A33A22=12种，故答案为：12．点评：本题考查排列、组合的运用，注意相邻问题一般用捆绑法，不相邻问题用插空法或间接法．13．（5分）（•永州一模）已知A，B是圆C（为圆心）上的两点，||=2，则•=2．考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：计算题．分析：由圆的性质得出cos∠CAD==，由数量积的定义可得答案．解答：解：如图所示：在直角三角形ACD中，cos∠CAD==，而•=AB×AC×cos∠CAD=2×AC×=2．故答案为：2点评：本题考查数量积的求解，涉及圆的知识和数量积的定义，属基础题．14．（5分）（•永州一模）双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上一动点，点Q的坐标是（1，4），则|PF1|+|PQ|的最小值为11．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意，|PF1|﹣|PF2|=6，从而可得|PF1|+|PQ|≥|PF2|+|PQ|+6≥|QF2|+6．解答：解：∵F1、F2是双曲线C：﹣=1的左、右焦点，∴F1（﹣4，0），F2（4，0）；又P是C右支上一动点，∴由双曲线的定义知，|PF1|﹣|PF2|=6，∴|PF1|=|PF2|+6，又Q的坐标是（1，4），∴|PF1|+|PQ|=|PF2|+|PQ|+6≥|QF2|+6．∵|QF2|==5．∴|QF2|+6=11．∴|PF1|+|PQ|≥11．故|PF1|+|PQ|的最小值为11．故答案为：11．15．（5分）（•永州一模）执行如图所示的程序框图，则输出的复数z是．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由z0的值可知：z0为1的一个3次虚根，再根据判断框可知需要计算的次数即可得出答案．解答：解：计算可得：z02=﹣﹣i，z03=1，即z0为1的一个3次虚根．由循环结构可得：当n= 时，还要计算一次得z=z0202X=z0 671×3+1=z0．而n← +1＞，由判断框可知：要跳出循环结构．故输出的值为z0←．故答案为：．点评：熟练掌握循环结构的功能及1的一个3次虚根的周期性是解题的关键．16．（5分）（•永州一模）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面至多埋一个雷，如果无雷掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（至多八个）中雷的个数（0常省略不标），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则上方左起八个方块中（方块正上方对应标有字母），能够确定一定不是雷的有A、C、E，一定是雷的有B、D、F、G．（请填入方块上方对应字母）分析：根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的“？”中有一个雷，中间D、E对应“？”中有一个雷且最右边的“4”周围4个“？”中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．由此得到本题答案．解答：解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷．结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的“？”中有一个雷；同理可得最右边的“4”周围4个“？”中有3个雷，中间D、E对应“？”中有一个雷；由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示：进行下一步推理：因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷；而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷．因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷，根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷．综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．故答案为：A、C、E；B、D、F、G点评：本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识，属于中档题．四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（•永州一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，b=4，．（1）求△ABC的面积；（2）求sin（B﹣C）的值．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）在△ABC中，依题意可求得sinC，从而可得△ABC的面积；（2）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=9+16﹣16=9可求得c，再由正弦定理=可求得sinB，继而可求得cosB，最后利用两角差的正弦即可求得sin（B﹣C）．解答：解：（1）在△ABC中，∵cosC=，∴sinC===．…（2分）∴c=3．…（7分）又由正弦定理得，=，∴sinB===．…（9分）cosB==…（10分）∴sin（B﹣C）=sinBcosC﹣cosBsinC=×﹣×=．…（12分）点评：本题考查余弦定理与正弦定理，考查同角三角函数间的基本关系，考查两角差的正弦，属于中档题．18．（12分）（•永州一模）永州市举办科技创新大赛，某县有20件科技创新作品参赛，大赛组委会对这20件作品分别从“创新性”和“实用性”两个方面进行评分，每个方面评分均按等级采用3分制（最低1分，最高3分），若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，得到统计结果如下表，若从这20件产品中随机抽取1件．x作品数y创新性1分2分3分实用性1分 2 0 2 2分 1 4 1 3分 2 2 6（1）求事件A：“x≥2且y≤2”的概率；（2）设ξ为抽中作品的两项得分之和，求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）确定事件A：“x≥2且y≤2”的作品数量，即可求得概率；（2）方法一：分别求出“创新性”、“实用性”得分的分布列与期望，即可求得ξ的数学期望；方法二：确定作品的总得分ξ的可能取值，求出其分布列，即可求得ξ的数学期望．解答：解：（1）从表中可以看出，事件A：“x≥2且y≤2”的作品数量为7件，故“x≥2且y≤2”的概率为．…（5分）（2）方法一：由表可知“创新性”得分y有（1分）、（2分）、（3分）三个等级，每个等级分别有5件，6件，9件，“创新性”得分x的分布列为：x 1 2 3p则“创新性”得分的数学期望为Ex=；…（8分）“实用性”得分y有（1分）、（2分）、（3分）三个等级，每个等级分别有4件，6件，10件，“实用性”得分y的分布列为：y 1 2 3故“实用性”得分的数学期望为Ey=…（10分）所以ξ数学期望Eξ=E（x+y）=Ex+Ey=2.2+2.3=4.5…（12分）方法二：作品的总得分ξ的可能取值为（2分），（3分），（4分），（5分），（6分），由表中可知对应的作品数量分别为2件，1件，8件，3件，6件，…（8分）则作品的总得分ξ的分布列为：…（10分）ξ 2 3 4 5 6P所以ξ数学期望为Eξ=…（12分）点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）（•永州一模）如图所示，直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AD=2，AB=3，CD=4，P在线段AB上，BP=1，O在CD上，且OP∥AD，将图甲沿OP折叠使得平面OCBP⊥底面ADOP，得到一个多面体（如图乙），M、N分别是AC、OP的中点．（1）求证：MN⊥平面ACD；（2）求平面ABC与底面OPAD所成角（锐角）的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取CD中点Q，结合已知条件，利用线面垂直的判定定理证出OQ垂直于平面ACD，通过证明四边形OQMN为平行四边形得到OQ平行于MN，从而证出要证的结论；（2）以O为坐标原点，分别以OP，OD，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABC 与底面OPAD的一个法向量，利用法向量所成角的余弦值得到平面ABC与底面OPAD所成角（锐角）的余弦值．解答：（1）证明：如图，取CD的中点为Q，连接MQ，OQ，因为OC=OD，所以OQ⊥CD，依题意知：面OCD⊥底面OPAD，AD⊥OD，AD⊥平面OCD，而OQ⊂面OCD，AD⊥OQ，又CD∩AD=D，所以OQ⊥面ACD，MQ是△ACD的中位线，故MQ∥，MQ=，NO∥，NO=，则MQNO，所以MN∥OQ，故MN⊥平面ACD；（2）解：如图所示，分别以OP，OD，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．B（2，0，1），A（2，2，0）C（0，0，2），底面OPAD的一个法向量，设平面ABC的法向量为，，依题知：，即，令x=1，则y=1，z=2，，所以，故平面ABC与底面OPAD所成角的余弦值为．点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答的关键是明确折叠问题在折叠前后的变量和不变量，是中档题．20．（13分）（•永州一模）提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x≤200时，车流速度v与车流密度x满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．（Ⅰ）当0＜x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v （x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到个位，参考数据）考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（I）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在50≤x≤200时的表达式，根据分式函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（II）先在区间（0，50]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（50）=1500，然后在区间[50，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．解答：解：（I）由题意：当0＜x≤50时，v（x）=30；当50≤x≤200时，由于，再由已知可知，当x=200时，v（0）=0，代入解得k=2000．故函数v（x）的表达式为．…（6分）（II）依题意并由（I）可得，当0≤x≤50时，f（x）=30x，当x=50时取最大值1500．当50＜x≤200时，f（x）=40x﹣=12000﹣[40（250﹣x）+]≤12000﹣2=12000﹣4000≈12000﹣4000×2.236=3056．取等号当且仅当，即x=250﹣50≈138时，f（x）取最大值．（这里也可利用求导来求最大值）综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时．…（14分）点评：本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．21．（13分）（•永州一模）在直角坐标系xoy中，椭圆C1：的离心率，F 是抛物线C2：y2=4x的焦点，C1与C2交于M，N两点（M在第一象限），且|MF|=2．（1）求点M的坐标及椭圆C1的方程；（2）若过点N且斜率为k的直线l交C1于另一点P，交C2于另一点Q，且MP⊥MQ，求k的值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线方程可求得p值，设M（x0，y0），由抛物线定义及|MF|=2可得x0+，解得x0=1，进而得y0=2，由离心率e=及a2=b2+c2可得a，b关系，从而椭圆方程可变为含b的方程，把M坐标代入即可求得b值，进而得到a值；（2）点N（1，﹣2），则直线l的方程为y+2=k（x﹣1），分别与椭圆方程、抛物线方程联立消掉y、x得x、y的二次方程，由韦达定理可用k表示点P、Q的坐标，从而可得向量的坐标，由MP⊥MQ有，得关于k的方程，解出即可；解答：解：（1）抛物线C2：y2=4x，2p=4，p=2，设M（x0，y0），则|MF|=x0+，解得x0=1，所以y0=2，即M（1，2），椭圆C1：的离心率，得，，a=2b，椭圆C1：过点M（1，2），所以，求得，，所以椭圆C1的方程是．（2）点N（1，﹣2），直线l的方程为y+2=k（x﹣1），与C1：y2+4x2=8，联立消去y得：4x2+（kx﹣k﹣2）2=8，整理得（4+k2）x2﹣2k（k+2）x+k2+4k﹣4=0（i），设P（x1，y1），易知1，x1是方程（i）的两根，x1=，代入直线l的方程得，y+2=k（x﹣1）与y2=4x联立消去x得：ky2﹣4y﹣4k﹣8=0（ii），显然k≠0，设点Q（x2，y2），易知﹣2，y2是方程（ii）的两根，﹣2•y2=，得，代入抛物线得，故，M（1，2），，由MP⊥MQ有，即，整理得k2+5k+2=0，解得．点评：本题考查直线方程、椭圆和抛物线方程及其位置关系，考查向量的数量积运算及韦达定理的应用，考查学生综合解决问题的能力．22．（13分）（•永州一模）已知函数．（1）若函数f（x）在定义域内为减函数，求实数p的取值范围；（2）如果数列{an}满足a1=3，，试证明：当n≥2时，．数列递推式；函数的定义域及其求法．考点：专综合题；导数的综合应用．题：分析：（1）由题意得f′（x）≤0在定义域[0，+∞）上恒成立，分离参数得到，利用基本不等式即可求得；（2）由a1=3可得a2=4，作差可判断an+1＞an，根据单调性可得对n∈N*（n≥2），都有an≥4．由及an≥4，得，两边取对数，借助（1）问结论，利用累加法即可证得；解解：（1）函数的定义域为[0，+∞），答：．依题意，恒成立，所以，由，知，∴p≥1，∴p的取值范围为[1，+∞）．（2）首先，由a1=3，得，而当an＞0时有，∴a n+1＞an，所以，对n∈N*（n≥2），都有an≥4．再由及an≥4，又得，∴，∴．由（1）知当p≥1时f（x）为减函数，取p=1，则f（x）=ln（1+x）﹣，当x＞0时f（x）＜f（0）=0，故ln（1+x）≤（x＞0），∴， ∴，，…．，， 将这n ﹣2个式子相加得， ∴，将a2=4代入得，故当n≥2时，．点评： 本题考查数列递推式、利用导数研究函数的单调性、不等式的证明，考查累加法求和，考查学生分析解决问题的能力．。

湖南省益阳市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．中，如果，则的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】 化简得lgcosA ＝lg＝﹣lg2，即，结合， 可求，得代入sinC＝sinB ，从而可求C ，B ，进而可判断.【详解】 由，可得lgcosA ＝＝﹣lg2，∴，∵，∴，，∴sinC ＝sinB ＝＝，∴tanC ＝，C＝，B ＝.故选：B 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题．2．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF V 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e = A ．13B ．33C ．12D ．22【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】设2||BF t =，则12||BF a t =-，||AB a t =+，因为1||AF a =，所以1||||AB AF >．若11||||AF BF =，则2a a t =-，所以a t =， 所以11||||||2A A a BF B F =+=，不符合题意，所以1||||BF AB =，则2a t a t -=+， 所以2a t =，所以1||||3BF AB t ==，1||2AF t =，设12BAF θ∠=，则sin e θ=，在1ABF V 中，易得1cos23θ=，所以2112sin 3θ-=，解得3sin 3θ=（负值舍去），所以椭圆Г的离心率33e =．故选B ． 3．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )A ．αγβ>>B ．αβγ=>C ．γβα>>D ．αβγ>=【答案】B 【解析】 【分析】利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，1111111，D C CC C E AC ==，设O 为11A C 的中点，1O 为11C E 的中点， 由图可知过1AB 且与1BC 平行的平面α为平面11AB D ，所以直线l 即为直线1AD ， 由题易知，11，D AB O CB ∠∠的补角，1D AC ∠分别为αβγ，，， 设三棱柱的棱长为2，在1D AB ∆中，1125225，，D B AB AD ===2212542555cos cos 2225D AB α+-∠==∴=⨯⨯；在1O BC ∆中，111125，，O B BC OC = (221541155cos cos 225O CB β+-∠==∴=⨯⨯； 在1D AC ∆中，114225，，CD AC AD ===，155cos cos 5525D AC α∠==∴=cos cos cos ，αβγαβγ=<∴=>Q .故选：B 【点睛】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.4．若函数()x f x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ）A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)e【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，可转化为曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点，可转化为方程2ln ax x -=有两解，构造函数2ln ()xh x x+=，利用导数研究函数单调性，分析即得解 【详解】函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在ln y x =上，即曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点， 即方程2ln ax x -=有两解，即2ln xa x+=有两解， 令2ln ()xh x x +=，则21ln ()xh x x --'=，则当10x e<<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<，故1x e =时()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值， 当0x →时，()h x →-∞；当x →+∞时，()0h x →， 所以0a e <<满足条件． 故选：D 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.5．已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图象关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min 2x x π-=，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（）A ．()2,6k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得到函数()f x 两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得ω的值，结合其对称轴，求得θ的值，进而求得()f x 解析式.根据图像变换的知识求得()g x 的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得()g x 的单调递减区间. 【详解】解：已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，00,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图像关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min1222x x ππω-==⋅，∴2ω=. 再根据其图像关于直线6x π=对称，可得262k ππθπ⨯+=+，k ∈Z .∴6πθ=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度得到函数()sin 2cos 236g x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图像. 令222k x k πππ≤≤+，求得2k x k πππ≤≤+，则函数()g x 的单调递减区间是,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.6．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤【答案】B【解析】 【分析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果． 【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差5124151512a a d --===---，2172a a d ∴=+=. 故选B 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） AB．C ．12D【答案】D 【解析】 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =u u u r u u u r，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =u u u r u u u r. 而(),BF c b =--u u u r ，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x yC a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以2e =.即椭圆C的离心率为22故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.8．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅u u u r u u u r的值为( ) A ．4 B ．8C ．6D ．12【答案】B 【解析】 【分析】可画出图形，根据条件可得2323AC BC AO BC AC BO ⎧-=⎨-=⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，从而可解出22AC AO BOBC BO AO ⎧=+⎨=+⎩u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v ，然后根据OA OB ⊥，2AB =进行数量积的运算即可求出()()282AO BO BO AO AC BC ⋅=⋅++=u u u r u u u r u u u r u u u u u u r u u u rr ．【详解】 如图：点O 为ABC ∆的三条中线的交点11()(2)33AO AB AC AC BC ∴=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，11()(2)33BO BA BC BC AC =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴由2323AC BC AO BC AC BO ⎧-=⎨-=⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 可得：22AC AO BO BC BO AO⎧=+⎨=+⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又因OA OB ⊥，2AB =，222(2)(2)2228AC BC AO BO BO AO AO BO AB ∴⋅=+⋅+=+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：B 【点睛】本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.9．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．C ．D ．±【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可． 【详解】解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时y =±(2,A ±．则直线AF 的斜率k ==±． 故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题． 10．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ） A ．12i + B ．12i -+C ．12i --D ．12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】() 22112i i i i +=-=-+.故选B 【点睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型. 11．已知(),A A Ax y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B Bx y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2CD【答案】C 【解析】 【分析】设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由三角函数的定义得sin A y α=，2sin()3B y πα=+，2A B y y +=3sin 22αα+，利用辅助角公式计算即可.【详解】设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由已知，cos ,sin A A x y αα==，22cos(),sin()33B B x y ππαα=+=+，所以2A B y y +=2sin α+2sin()3πα+=12sin sin cos 22ααα-+=3sin )226πααα+=+≤，当3πα=时，取得等号.故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.12．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ） A ．235B ．835C ．635D ．37【答案】B 【解析】 【分析】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1142C C ，所有的情况有37C 种，由古典概型的概率公式即得解. 【详解】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1142C C ，所有的情况有37C 种 由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：114237835C C P C ==故选：B【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年湖南省益阳市高考数学模拟试卷（4月份）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知复数，若，则在复平面内点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知，，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.4.已知数列的前n项和为，且，，若，则n的最小值为A. 5B. 6C. 7D. 85.已知x，y满足约束条件，则的最大值为A. B. C. D. 46.我们要检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示已隐去数据，其部分数据如表：小数…？…记录x五分……记录y现有如下函数模型：①，②，x表示小数记录数据，y 表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为附：，，，A. B. C. D.7.如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为A. B. C. D.8.已知定义在R上的奇函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集为A. B.C. D.9.某大型超市因为开车前往购物的人员较多，因此超市在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短.现随机采集了200个停车时间的数据单位：，其频率分布直方图如图.超市决定对停车时间在40分钟及以内的顾客免收停车费同一组数据用该区间的中点值代替，则下列说法正确的是A. 免收停车费的顾客约占总数的B. 免收停车费的顾客约占总数的C. 顾客的平均停车时间约为D. 停车时间达到或超过的顾客约占总数的10.如图，棱长为1的正方体中，点E为的中点，则下列说法正确的是A. DE与为异面直线B. DE与平面所成角的正切值为C. 过D、C、E三点的平面截正方体所得两部分的体积相等D. 线段DE在底面ABCD的射影长为11.已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交抛物线于，两点，且A，B在其准线上的射影分别为，，则下列结论正确的是A. 若直线轴，则B.C. D.12.已知函数……，则下列说法中正确的是A. 是的周期B. 的值域为C. 在内单调递减D. 在中的零点个数不超过2574个13.如图所示，由红、黄、蓝、白四种发光元件连接成倪红灯系统N，四种发光元件的工作相互独立，当四种发光元件均正常工作时，倪红灯系统N才能随机地发出亮丽的色彩，当某种元件出现故障时，倪红灯系统N在该处将出现短暂的黑幕现象，若某时刻出现两处黑幕现象，需从装有红、黄、蓝、白四种发光元件中除颜色外没有区别抽取两种相应的发光元件进行更换，则一次性从中随机抽取的两个恰为故障发光元件的概率为______ .14.已知圆O：，，点P在直线l：上运动，则的最小值为______ .15.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为______ .16.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为______ .17.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，______？18.已知等差数列中，，，等比数列中，，求，的通项公式；令，求数列的前n项和19.“练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲、乙在相同的条件下轮流射击.每轮中，甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分.已知甲、乙每次射中的概率分别为，且各次射击互不影响.经过1轮射击打靶，记甲、乙两人的得分之和为X，求X的分布列；试问经过第2轮还是第3轮射击打靶后，甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高？并说明理由.20.如图，四棱台中，平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，，，证明：平面；求面角的余弦值.21.已知椭圆E：的右焦点为，圆O：，过点F与x轴垂直的直线在第一象限交圆与椭圆分别于点A，B，且，点在椭圆上.求椭圆E的方程；过点F且斜率为k的直线l与E交于C，D两点，CD的中点为M，直线OM与椭圆有一个交点为N，若，求的面积.22.已知函数，其中且求函数的单调区间；当时，不等式成立，求a的取值范围.答案和解析【答案】1. C2. A3. D4. C5. C6. B7. D8. A9. BCD10. ABC11. CD12. AD13.14.15.16.17. 解：选择条件①：由余弦定理知，，，又，选择条件②：，，，，选择条件③：由正弦定理知，，，，，，由余弦定理知，，，与相矛盾，故不存在该三角形．18. 解：设等差数列的公差为d，，，，，解得，，设等比数列的公比为q，，，，，数列的前n项和……，……，相减可得：……，化为：19. 解：的可能取值为0，1，2，由题意可知，，，所以X的分布列为：X0 1 2P经过2轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：一是甲累计得2分，此时乙的累计得分低于2分，二是甲累计得1分，此时乙累计得0分，所以，经过3轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分有三种情况：一是甲累计得3分，此时乙的累计得分低于3分，二是甲累计得2分，此时乙的累计得分低于2分，三是甲累计得1分，此时乙累计得0分，所以，因为，所以经过3轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高．20. 证明：连接BD，交AC于O，连接，四边形ABCD是平行四边形，，由棱台的性质可得，由，得，又，可得，则，四边形是平行四边形，则，又平面，平面，平面；解：平面ABCD，且平面ABCD，平面ABCD，，，又，，，，则，故，即AB，AC，两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AD，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得设二面角为，由图可知，为锐角，则故二面角的余弦值为21. 解：由题意知，，因为，所以，所以，又点在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆E的方程为依题意可得直线l：，联立，得，，设，，，所以，，所以，所以，因为，所以，因为点N在椭圆上，所以，解得舍去或，所以，所以，所以面积为22. 解：函数的定义域为，，当时，，在上单调递增，此时的增区间为；当时，令，解得舍去，则时，，单调递减；时，，单调递增．此时的单调减区间是，单调增区间是综上，当时，的增区间为；当时，的单调减区间是，单调增区间是；首先，时不等式成立，由，得，只需证当时，成立，即证不等式成立，令，则，设，对称轴，则，记，则，在上单调递增，且，故，于是成立．【解析】1. 解：，，故选：可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2. 解：若，则，所以，，，则P位于第一象限．故选：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z对应点的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3. 解：，，，，，，故选：先求出，再根据对数函数，指数函数的性质得到b，c的范围即可．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4. 解：数列的前n项和为，且，，当时，解得，当时，解得，…，所以…，由于，当时，满足，故选：直接利用数列的递推关系式和数列的求和公式的应用求出n的最小值．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5. 解：由约束条件作出可行域如图，目标函数，即为，作出直线，由图可知，当直线平移至C处时，z取得最大值，联立，解得，则目标函数z的最大值为故选：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．6. 解：由数据可知，当时，，两个都符合，但当时，由，得，与表中的数据符合，而，与表中的数据不符合，所以选择模型更合适，此时令，则，所以故选：利用题中的条件，代入数据组进行验证，即可得出结果．本题考查了函数模型的应用，学生的数学运算能力，属于基础题．7. 解：由题可知，当点P在点C处时，最小，此时，过圆心O作交圆弧于点P，连接AP，此时最大，过O作于G，的延长线于F，则，所以的取值范围为故选：由数量积的几何意义知，当P在点C处时，最小，当P在过圆心O作AB的平行线与圆弧的交点时，最大，然后求出的取值范围．本题考查利用几何意义求数量积的取值范围问题，考查数形结合思想，逻辑推理能力，是一道中档题．8. 解：因为，所以记，因为是定义在R上的奇函数，所以为定义在R上的偶函数，又，因为当时，，所以当时，，即在上单调递增，所以在上单调递减，又，得，所以，不等式等价于，所以或，即或，解得或故选：由题意可得函数是R上的偶函数，根据导数可得的单调性，从而将不等式合理转化即可求解．本题主要考查函数的奇偶性，函数的导数与单调性的关系，属于中档题．9. 解：由题意可知，免收停车费的顾客约占总数的，故免收停车费的顾客约占总数的，故选项A错误，选项B正确；由频率分布直方图可知，，则顾客的平均停车时间约为，故选项C正确；停车时间达到或超过的顾客约占总数的，故停车时间达到或超过的顾客约占总数的，故选项D正确．故选：由题中给出的频率分布直方图，对四个选项进行逐一的分析判断即可．本题考查了频率分布直方图的理解和应用，解题的关键是正确读取频率分布直方图中的数据信息，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10. 解：由图可知：DE与为异面直线，正确；DE与平面所成角的正切值可转化为求求DE与平面所成角的正切值，连接，在直角三角形中：DE与平面所成角的正切值为，正确；过D、C、E三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面截正方体所得两部分的体积关系，由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，正确；取AB中点F，连接EF、DF，且底面ABCD，底面ABCD，的长为线段DE在底面ABCD的射影长，在直角三角形DFE中：，，，错；故选：由图可知显然A正确．求DE与平面所成角的正切值可转化为求求DE与平面所成角的正切值，连接解直角三角形可求得正切值．过D、C、E三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面截正方体所得两部分的体积关系，显然相等．取AB中点F，连接DF、EF，线段DF的长为射影长．本题考查空间几何体中异面直线判定、线面角求法、体积问题、射影问题、运算能力及空间想象能力，属于容易题．11. 解：选项A，由题意知，，直线轴，把代入得，，，即选项A错误；选项B，当直线轴时，，，即选项B错误；选项C，当直线轴时，，当直线l与x轴不垂直时，设直线l：，联立，得，，即选项C正确；选项D，由抛物线的定义知，，，又轴，，，同理可得，，，即选项D正确．故选：选项A，把代入，计算y的值，即可；选项B，用特殊值法，当直线轴时，；选项C，分两种情况：当直线轴时，由选项A易知；当直线l与x轴不垂直时，设直线l：，将其与抛物线方程联立，消去x后，由韦达定理，得解；选项D，结合抛物线的定义和平行线的性质定理，可得解．本题考查抛物线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12. 解：，是函数的最小正周期，正确；，函数是偶函数．当时，结合图象根据函数性质可知：当时，取最大值1，当或时，取最小值，函数值域为，错；结合图象由函数的性质可知：在上是增函数，在上是减函数，又函数的周期是，函数在上的单调增区间是减区间是错误；由函数性质可知在上有2个零点，函数最小正周期是的偶函数且，函数在中的零点个数不超过个，正确；故选：由可知函数的最小正周期为可写出在上的函数解析式，画出图象，再结合为偶函数，可解决此题．本题考查三角函数周期性、单调性、奇偶性、最值、零点、分类讨论思想，数形结合思想，数学运算能力．属于中档题．13. 解：记红、黄、蓝、白四种发光元件分别为A，B，C，D，则从中随机抽取两个的所有情况为：AB，AC，AD，BC，CD，共6种，而更换的两个故障发光元件为其中一种情况，一次性从中随机抽取的两个恰为故障发光元件的概率为故答案为：记红、黄、蓝、白四种发光元件分别为A，B，C，D，利用列举法求出从中随机抽取两个的所有情况，而更换的两个故障发光元件为其中一种情况，由此能求出一次性从中随机抽取的两个恰为故障发光元件的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．14. 解：由于点A与点O在直线l：的同侧，设点O关于直线l：的对称点为，，所在直线方程为，联立，解得，即的中点为，，则故答案为：由题意可得点A与点O在直线l：的同侧，求出点O关于直线l的对称点，再由两点间的距离公式求解．本题考查直线与圆的位置关系，考查平面内动点到两定点间距离和的最值问题，考查化归与转化思想，是基础题．15. 解：如图所示，设球心为O，外接圆的圆心为，则平面PBC，由，，，得平面PBC，，连接，过A作，交的延长线于点H，则，，，由条件得，，，又在中，为的外接圆的半径，，则，故答案为：由题意画出图形，求解三角形可得三角形PBC外接圆的半径，由勾股定理求出外接球的半径，再由球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球的表面积与体积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．16. 解：因为，整理可得，所以由余弦定理可得，所以，可得，可得，因为，，所以，可得，又因为为锐角三角形，所以，可得，所以，又因为，所以，从而，可得的取值范围为故答案为：由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合B，C的范围可求，由为锐角三角形，可求范围，利用余弦函数的性质可得，利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及余弦函数的性质，考查了函数思想和转化思想的应用，属于中档题．17. 选择条件①：由余弦定理可得，再结合，解方程组即可；选择条件②：结合和已知条件，即可得c的值；选择条件③：先由正弦定理化角为边，可推出，再由余弦定理可得，前后互相矛盾，故不存在该三角形．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理、三角形面积公式和余弦定理是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18. 设等差数列的公差为d，由，，可得，，解得，d，可得设等比数列的公比为q，由，，可得，利用通项公式可得，利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19. 确定X的可能取值，分别求出其对应的概率，列出分布列即可；分别计算经过第2轮和第3轮射击打靶后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，然后通过比较即可得到答案．本题考查了概率问题的求解与应用，离散型随机变量及其分布列的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20. 连接BD，交AC于O，连接，证明四边形是平行四边形，则，由直线与平面平行的判定可得平面；求解三角形证明，可得AB，AC，两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AD，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21. 由，得，把点代入椭圆方程，得，解得a，b，进而可得答案．依题意可得直线，联立椭圆的方程，设，，，结合韦达定理可得点M坐标，由得点N的坐标，代入椭圆的方程，解得k，计算，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22. 求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，进一步可得原函数的单调性；由时不等式成立，可得a的范围，然后证明时，成立即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属难题．第21页，共21页。

绝密★启用前湖南省2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考Ⅰ卷数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号与写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形妈粘贴处”.2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3. 非连择题必须用黑色字连的钢笔或法字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A= {x| - 2 < x < 4}，B = (2，3，4,5)，则A∩B =A .{2}B. {2.3}C. {3.4}D. {2，3，4}2.已知z = 2 –i，则z（z + i） =A . 6 - 2 i B.4 - 2i C.6 + 2 i D.4 + 2 i3. 已知圆锥底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A. 2B.2√2C. 4D.4√24. 下列区间中，函数f（x） = 7sin（x - 56）单调递减的区间是A.（0.π2）B.（π2，x）C.（π.3π2）D.（3π2，2π）5. 已知F1，F2是椭圆C： x29+ y24= 1的两个焦点，点M在C上，则︱MF1︱ ·︱MF2︱的地大值为A. 13B. 12C. 9D. 66. 若tanθ = -2，则sinθ（1+sin2θ）sinθ+cosθ=A. - 65 B. -25 c .25 D .657. 若过点（a，b）可以作曲线y = e'的两条切线，则A. e' < aB. e < bC.0 < a < eD.0 < b < e8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

满分：150分 时量：120分钟 命题：高三数学备课组一、选择题（5分⨯8=40分） 1、若i 为虚数单位，则ii-+11等于 （ ） A 、i B 、i - C 、1 D 、－1。

2、已知集合{}97<-=x x M ，{}29xy x N -==，且N M ,都是全集U 的子集，则右图中阴影部分表示的集合是 （ ） A 、{}23-<≤-x x B 、{}16≥x x C 、{}23-≤≤-x x D 、{}16>x x ３、按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为 （ ） A ．16k ≥ B ．8k < C ．16k < D ．8k ≥4、给出下列命题：○1向量a ，b 满足b a b a -==，则a ，b 的夹角为030； ○2a •b 0> 是〈a ，b 〉为锐角的充要条件； ○3将函数1-=x y 的图象按向量)0,1(-=a 平移， 得到函数x y =的图象；○4若)(AC AB +•0)(=-AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形。

以上命题正确的个数是 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 ５、已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为１的正方形，则这个几何体的体积不可能是A 、21 B 、4π C 、1 D 、3π（ ） 6、有下列四种说法：①命题：“R x ∈∃0,使得02>-x x ”的否定是“R x ∈∀,都有02≤-x x ”； ○2已知随机变量x 服从正态分布),1(2σN ，79.0)4(=≤x P ，则21.0)2(=-≤x P ；○3函数)(,1cos sin 2)(R x x x x f ∈-=图像关于直线43π=x 对称，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ上 是增函数；○4设实数[]1,0,∈y x ，则满足：122<+y x 的概率为4π。

其中错误的个数是 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3。

湖南省益阳市箴言中学2021届高三数学第一次模拟考试试题 文（含解析）新人教A 版（时量120分钟 满分 150分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题只有一项符合题目要求．1.已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则U C A B （）=__________.A. {1,2,4}B. {2,3,4}C. {0,2,4} D . {0,2,3,4}2.复数(1)(z i i i =+为虚数单位)在复平面内所对应的点在__________.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的__________.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+；③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+； ④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--.其中一定不正确的结论的序号是__________.A ．①②B ．②③C ．③④D ． ①④5.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是__________. A.1y x = B. x y e -= C.21y x =-+ D.lg ||y x =6.已知向量(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=__________.A. 4-B. 3-C. 2-D. 1-7.已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是_______.A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定8.若122=+y x ,则y x +的取值范围是__________.A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞9.形如(0,0)by a b x a =>>-的函数因其函数图象类似于汉字中的囧字，故生动地称为“囧函数”。

湖南省益阳市2021届新高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x，y满足不等式224xyx y tx y≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7] 【答案】B【解析】【分析】作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】画出不等式组24xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在224x y tx y+=⎧⎨+=⎩的交点（82433t t--，）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.2．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A 【解析】 【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A ==甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A ==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366m p n === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.3．已知向量11,,2a b m ⎛⎫== ⎪⎝⎭r r ，若()()a b a b +⊥-r r r r，则实数m 的值为（ ）A ．12B．2C ．12±D．2±【答案】D 【解析】 【分析】由两向量垂直可得()()0a b a b +⋅-=r r r r ，整理后可知220a b -=r r ，将已知条件代入后即可求出实数m 的值. 【详解】解：()()a b a b +⊥-r r r r Q ，()()0a b a b ∴+⋅-=r r r r ，即220a b -=r r ，将1a =r 和22212b m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭r 代入，得出234m =，所以2m =±. 故选:D.本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理.4．已知向量a r ，b r ，b r =(1)，且a r 在b r 方向上的投影为12，则a b ⋅r r 等于（ ）A ．2B ．1C ．12D ．0【答案】B 【解析】 【分析】先求出b r ，再利用投影公式a bb⋅r rr 求解即可.【详解】解：由已知得2b ==r，由a r 在b r 方向上的投影为12，得12a b b ⋅=r r r ， 则112a b b ⋅==r r r.故答案为：B. 【点睛】本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题. 5．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=【答案】B 【解析】 【分析】把已知点坐标代入求出ϕ，然后验证各选项． 【详解】由题意2sin()13πϕ+=，1sin()32πϕ+=，26k πϕπ=-或22k πϕπ=+，k Z ∈，不妨取6πϕ=-或2ϕπ=，若2ϕπ=，则函数为sin(2)cos 22y x x π=+=，四个选项都不合题意，若6πϕ=-，则函数为2sin(2)6y x π=-，只有3x π=时，sin(2)136ππ⨯-=，即3x π=是对称轴．故选：B ．本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．6．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B 【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒> 7．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题． 8．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B U =( )A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤< C ．{}2x x ≤ D ．{}21x x -≤<【答案】C【分析】先化简集合A,B ，结合并集计算方法，求解，即可． 【详解】解得集合()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =< 所以{}2A B x x ⋃=≤，故选C ． 【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ，难度较小．9．已知非零向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r ，||3a =r ，且a r 与a b +r r 的夹角为4π，则||b =r （ ）A ．6B ．C ．D ．3【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可． 【详解】解：非零向量a r ，b r 满足0a b =r r g ，可知两个向量垂直，||3a =r ，且a r 与a b +r r 的夹角为4π，说明以向量a r ，b r为邻边，a b +r r 为对角线的平行四边形是正方形，所以则||3b =r ．故选：D ． 【点睛】本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．10．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米 B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米【答案】B 【解析】 【分析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为230203ππ⨯=≈63(厘米). 故选：B. 【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.11．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（ ）A ．2B ．10C ．34D ．98【答案】C 【解析】 【分析】由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解. 【详解】由题意运行程序可得：4i <，122j =⨯=，0122s =+⨯=，112i =+=； 4i <，224j =⨯=，22410s =+⨯=，213i =+=； 4i <，428j =⨯=，103834s =+⨯=，314i =+=； 4i <不成立，此时输出34s =.故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题.12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则32h a =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)423V =，应选答案B ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省益阳市2021届新高考数学考前模拟卷（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞，B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，【答案】B 【解析】 【分析】根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围. 【详解】实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，画出可行域如下图所示：将线性目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，则将2y x =-平移，平移后结合图像可知，当经过原点()0,0O 时截距最小，min 0z =； 当经过()3,0B 时，截距最大值，max 2306z =⨯+=， 所以线性目标函数2z x y =+的取值范围为[]0,6， 故选：B. 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．534【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【详解】 如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ， 所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ， 所以四边形1APC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为12B P PC =， 所以112C B PC =， 即1PC PB ==所以115,23AP PC AC ===由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯所以1sin 5APC ∠=所以S 四边形1APQC 1112sin 2AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B 【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.3．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan21tan 2αα-=+（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．2【答案】B 【解析】 【分析】结合22sin cos 1αα+=求得sin ,cos αα的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值. 【详解】由22sin 2cos 1sin cos 1αααα-=⎧⎨+=⎩，以及3(,)2παπ∈，解得34sin ,cos 55αα=-=-. 1tan 21tan2αα-=+222sin21cos sin cos cos sin 12cos sin 2222222sin cossincos sin cos sin cos sin 2222222221cos2αααααααααααααααααα-⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+311sin 524cos 5αα+-===--. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.4．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A ．13± B．3±C ．±1 D．±【答案】B 【解析】 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2px my =-，由题意得出212y y =，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合212y y =可求得m 的值，由此可得出直线l 的斜率. 【详解】由题意可知点,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =-， 由于点A 是BC 的中点，则212y y =， 将直线l 的方程与抛物线的方程联立得222p x my y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得2220y mpy p -+=，由韦达定理得12132y y y mp +==，得123mp y =，2222121829m p y y y p ===，解得4m =±， 因此，直线l的斜率为13m =±. 故选：B. 【点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 5．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】 根据()1f x +图象关于y 轴对称可知()f x 关于1x =对称，从而得到()f x 在(),1-∞上单调递增且()()31f f =-；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】()1f x +Q 为偶函数 ()1f x ∴+图象关于y 轴对称()f x ∴图象关于1x =对称()1,x ∈+∞Q 时，()f x 单调递减 (),1x ∈-∞∴时，()f x 单调递增又()()31f f =-且1102-<-< ()()1102f f f ⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，即b a c << 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.6．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥【答案】D 【解析】 【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【详解】解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面， 选项B 中m ，n 还可能异面， 选项C ，由条件可得//n α或n ⊂α． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.7．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A 1B 1C D ．12【答案】B 【解析】 【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则PA m PF==== 当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，2PA PF ==，Q 点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8．已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin a C A b c +=+，则A =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C 【解析】 【分析】sin cos sin sin C A A C C =+，由于sin 0C ≠，0A π<<可求A 的值.解：由cos sin a C A b c +=+及正弦定理得sin cos sin sin sin A C C A B C +=+. 因为B A C π=--，所以sin sin cos cos sin B A C A C =+代入上式化简得sin cos sin sin C A A C C =+.由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.故选：C. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.9．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ）A ．212B ．9C ．172D ．7【答案】A 【解析】 【分析】先由题意可得数列{}n a 为等差数列，再根据1239a a a ++=，48a =，可求出公差，即可求出5a ． 【详解】数列{}n a 满足*212()n n n a a a n N +++=∈，则数列{}n a 为等差数列， 1239a a a ++=Q ，48a =， 1339a d ∴+=，138a d +=，52d ∴=， 54521822a a d ∴=+=+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 10．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ）A B ．3C ．1D ．5【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【详解】 由52i 12ia =+-，得12i 2i a +=+，解得1a =. 故选:C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题. 11．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案. 【详解】 由0.30.310log 4log 13<=-,即1b <-, 又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,0.341>,即1c >,所以b a c <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题. 12．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ）A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x > D ．{2x x <或}4x >【答案】C 【解析】 【分析】简单判断可知函数关于1x =对称，然后根据函数()2f x x x =-的单调性，并计算210x xx ⎧-=⎪⎨⎪≥⎩，结合对称性，可得结果.由()()11f x f x -=+， 可知函数()f x 关于1x =对称 当1x ≥时，()2f x x x=-， 可知()2f x x x=-在[)1,+∞单调递增 则2120x x xx ⎧-=⎪⇒=⎨⎪≥⎩ 又函数()f x 关于1x =对称，所以()01f = 且()f x 在(),1-∞单调递减，所以20x +<或22x +>，故2x <-或0x > 所以()}{21x f x +>={2x x <-或}0x > 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：()()11f x f x -=+，()()110f x f x -++=，考验分析能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省益阳市2021届新高考第三次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14CD【答案】D 【解析】 【分析】利用直线()3y k x =+与圆221x y +=相交求出实数k 的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由于直线()3y k x =+与圆221x y +=1<，解得44k -<<.因此，所求概率为2424P ==. 故选：D. 【点睛】本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题.2．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（ ）AB．3CD ．35【答案】A 【解析】 【分析】设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，可证1//AB BD ，得到1C BD ∠（或补角）为所求的角，分别求出111,,BC AB C D ，解1C BD V 即可. 【详解】设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111//,AB A B AB A B =，11//,AB B D AB B D ∴=，四边形1ABDB 为平行四边形，1//AB BD ∴，1C BD ∴∠（或补角）为直线1BC 与1AB 所成的角，在1Rt BCC △中，22115BC CC BC=+=， 在111Rt A B C △中，221111111115,cos 5A B AC B C B AC =+=∠=， 在11AC D V 中，22211111111112cos 420168C D A C A D A C A D B A C =+-⋅∠=+-=，在11Rt AA B △中，22111113,3AB AA A B BD AB =+=∴==，在1BC D V 中，22211115cos 265BC BD C D C BD BC BD +-∠===⋅. 故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题. 3．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④ B ．①③C ．②③D ．①②④【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数()sin 23f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值求出1512224k k ω-+剟或51112224k k ω++剟.再根据已知求出1132ω<…，判断函数的单调性和零点情况得解. 【详解】因为函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值. 所以22422332k k πππππωπωππ--<-+剟，或32242,2332k k k πππππωπωππ+-<-+∈Z 剟 解得1512224k k ω-+剟或51112224k k ω++剟. 又212,23T ππωω=>…，所以1132ω<…. 令0k =.可得511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.且()f x 在(,2)ππ上单调递减. 当[0,]x π∈时，2,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，且72,3212ππππω⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在[0,]π上只有一个零点. 所以正确结论的编号②④ 故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定【答案】C 【解析】 【分析】由函数的增减性及导数的应用得：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-，求得可得()f x 为增函数，又m ，[1n ∈-，1)时，根据条件得()()f m f n <，即可得结果．【详解】解：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-， 则2()3cos022x f x x ππ'=+>，即3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-为增函数，又m ，[1n ∈-，1)，33sin sin22mnn m ππ-<-，即33sinsin22mnm n ππ+<+，所以()()f m f n <， 所以m n <． 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．5．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】结合题意可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可. 【详解】结合题意可知()f x 为偶函数,且在[)0,+∞单调递减,故()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立即ln 6ln 22x xm m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =,则()[)1ln '1,xg x e x-=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1g x e =令()()26ln 5ln ,'0x xh x h x x x+--==<,在[]1,3上递减所以()min 6ln33h x +=.故1ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦,故选B. 【点睛】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.6．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米 B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米【答案】B 【解析】 【分析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为230203ππ⨯=≈63(厘米). 故选：B. 【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.7．设,a b r r 为非零向量，则“a b a b +=+r r r r ”是“a r 与b r 共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案. 【详解】若a b a b +=+r r r r ，则a r 与b r共线，且方向相同，充分性； 当a r 与b r共线，方向相反时，a b a b ≠++r r r r ，故不必要.故选：A .【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.8．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路 D ．甲走天烛峰登山线路【答案】D 【解析】 【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型. 9．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合纯虚数的概念，可得0,0a b =≠，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项. 【详解】若复数z a bi =+为纯虚数，则0,0a b =≠，所以0ab =，若0ab =，不妨设1,0a b ==，此时复数1z a bi =+=，不是纯虚数，所以“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的充分不必要条件.故选：D 【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.10．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】21iz =+，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】 由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.11．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<，1>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径．即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外． 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题． 12．已知R 为实数集，{}2|10A x x =-≤，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则()A B =R I ð（ ） A ．{|10}x x -<≤ B ．{|01}x x <≤ C ．{|10}x x -≤≤ D ．{|101}x x x -≤≤=或【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，B R ð，由此能求出()R A B I ð． 【详解】R Q 为实数集，2{|10}{|11}A x x x x =-=-剟?，1{|1}{|01}B x x x x==<厔， {|0R B x x ∴=…ð或1}x >， (){|10}R A B x x ∴=-I 剟ð．故选：C ． 【点睛】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。