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第3讲有理数加减乘除及混合运算1.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得0；（4）一个数同0相加，仍得这个数。
2.有理数减法法则即减去一个数，等于加这个数的相反数。
有理数的减法可以转化为加法来进行。
如果你记不住上面的加减法规则，请参照以下：傻瓜加减法则1、遇见小数减大数，负号表示“差多少”（其实就是符号不同的两数相加的情况）2、遇见减去负数时，负负得正变加号（其实就是小学的去括号变号问题）3.有理数乘法的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0．4.几个有理数相乘时积的符号法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0．注意：第一个因数是负数时，可省略括号．5.有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数.（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．）0除以任何一个不为0的数，都得0．【例题1】选择正确答案（1）若a＋b=a b+，则a 、b 的关系是（ ）A 、a 、b 绝对值相等B 、a 、b 异号C 、a 、b 的和是非负数D 、a 、b 同号或其中至少一个为0 （2）若一个有理数减去它的相反数是一个负数，则（ ） A 、这个有理数一定是负数 B 、这个有理数一定是正数C 、这个有理数可以为正数、负数D 、这个有理数为零（3）已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示。
则下列结论错误的是（ ） A 、b ＋c<0 B 、-a ＋b ＋c<0 C 、a b+>a c+ D 、a b+<a c+（4）已知|a|>a,|b|>b,且|a|>|b|,则( ) A 、a>b B 、a<b C 、不能确定 D 、a=b（5）一个数在数轴上对应点与其相反数在数轴上对应点的距离为12单位长，则这个数是( ) A 、12或-12 B 、14或-14 C 、12或-14 D 、-12或14【例题2】计算：(1) 7.27.27.2---+ (2) 13616--++-【例题3】计算：.)702.11()6514(537(6155(5213(---++++-+)532()]57()323(6.8[324-+-++-+【例题4】如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y 的值是多少？【练习1】|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值【例题5】完成下列填空1、两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 。
初一有理数加减乘除的混合运算知识点
初一有理数加减乘除的混合运算知识点
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。
接下来小编整理了初一有理数加减乘除的混合运算知识点的相关内容，文章希望大家喜欢！
1、有理数的加法法则：
1）同号两数的`相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3）一个数同0相加仍得这个数。
2、有理数的减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、有理数的乘法法则：
1）两数相乘同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
2）任何数与0相乘，积仍为0。
4、有理数的除法法则：
1）除以一个数就是乘以这个数的倒数；
2）两数相除同号得正，异号得负；并把绝对值相除；
3）零除以任何非零的数得为零。
注：0不能作除数
5、有理数的乘方符号法则：
1）正数的任何次幂都是正数；
2）负数的奇次幂为负，偶次幂为正。
6、有理数的运算律
1、加法交换律：a+b=b+a
2、加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
3、乘法交换律：ab=ba
4、乘法结合律：（ab）c=a（bc）
5、乘法分配律：a（b+c）=ab+ac
7、有理数混合运算的法则：
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。
（2）如有括号，先进行括号里的运算。
1．先算乘方，再算乘除，最后算加减。
2．同级运算依照从左到右的顺序运算；
3．若有括号，先小括号，再中括号，最后大括号，依次运算。
s。
知识点总结
法则符号计算绝对值
加法同号取相同的符号绝对值相加异号取绝对值大的符号绝对值相减
减法减去一个数等于加上这个数的相反数
乘法同号取正
绝对值相乘异号取负
除法同号取正
绝对值相除异号取负
除以一个数等于乘以这个数的倒数
三、有理数加减乘除混合运算运算法则
1、有理数的加法法则：
1）同号两数的相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3）一个数同0相加仍得这个数.
2、有理数的减法法则:
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
3、有理数的乘法法则：
1）两数相乘同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2）任何数与0相乘，积仍为0.
4、有理数的除法法则:
1）除以一个数就是乘以这个数的倒数；
2）两数相除同号得正，异号得负；并把绝对值相除；3）零除以任何非零的数得为零.
注：0不能作除数
5、有理数的乘方符号法则：
1）正数的任何次幂都是正数；
2）负数的奇次幂为负，偶次幂为正.
四、有理数的运算律
1、加法交换律：a+b=b+a
2、加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
3、乘法交换律：ab=ba
4、乘法结合律：(ab)c=a(bc)
5、乘法分配律：a(b+c)=ab+ac
五、有理数混合运算的法则：
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。
（2）如有括号，先进行括号里的运算。
1．先算乘方，再算乘除，最后算加减。
2．同级运算依照从左到右的顺序运算；
3．若有括号，先小括号，再中括号，最后大括号，依次运算；。
有理数加减乘除法有理数是数学中的一类数，包括整数、分数和小数。
有理数运算是数学中的基本运算之一，包括加法、减法、乘法和除法。
有理数的运算规则和方法是学习数学的重要内容之一，本文将介绍有理数的加减乘除法及其运算规则。
一、有理数的加法有理数的加法是指在两个有理数之间进行相加运算，其运算规则如下：1. 同号相加，取绝对值相加，符号不变。
例如，(-3) + (-4) = -7。
2. 异号相加，取绝对值相减，结果的符号由绝对值较大的数的符号决定。
例如，(-2) + 3 = 1。
3. 加法满足交换律和结合律。
即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b +c)。
二、有理数的减法有理数的减法是指在两个有理数之间进行相减运算，其运算规则如下：1. 减去一个负数可以看作是加上一个正数。
即a - (-b) = a + b。
2. 减法也满足交换律和结合律。
三、有理数的乘法有理数的乘法是指在两个有理数之间进行相乘运算，其运算规则如下：1. 同号相乘，结果为正，绝对值为两个因数绝对值的乘积。
例如，(-2) × (-3) = 6。
2. 异号相乘，结果为负，绝对值为两个因数绝对值的乘积。
例如，(-2) × 3 = -6。
3. 乘法满足交换律和结合律。
四、有理数的除法有理数的除法是指在两个有理数之间进行相除运算，其运算规则如下：1. 除以正数，结果的符号由被除数决定。
2. 除以负数，结果的符号与被除数相反。
3. 除法满足结合律，但不满足交换律。
总结：有理数的加减乘除法是数学中的基本运算，通过熟练掌握运算规则和方法，可以简化计算过程，提高计算效率。
在实际生活和学习中，有理数的加减乘除法应用广泛，例如在计算金融、纳税、商品价格等方面都离不开有理数的运算。
因此，学好有理数的运算是数学学习的基础，也是实际应用的必备技巧。
总之，有理数的加减乘除法在数学中占据重要地位，通过理解和掌握运算规则，可以轻松进行相关计算。
有理数加减乘除法运算方法
1. 嘿，有理数的加法呀，就像搭积木一样！比如 3 + (-2)，这不是就像你先有 3 块积木，然后拿走 2 块嘛，结果不就是 1 嘛！加法可简单啦，大家难道还会搞错吗？
2. 哎呀呀，有理数的减法呢，其实就是反过来想嘛！就像 5 - 3，不就是 5 个里面去掉 3 个嘛，结果就是 2 呀。
这有啥难的呀，对吧？
3. 有理数的乘法呀，那可有意思啦，就好比排队分组！比如2 × (-3)，不就是分成 2 组，每组有-3 个嘛，结果就是-6 啦。
是不是很形象呀？
4. 喂喂喂，除法呢，就像是分东西啦！像6 ÷ (-2)，就是把 6 个东西平均分给-2 份，一份不就是-3 嘛。
这不是很容易明白嘛！
5. 有理数加法可别小瞧哦，像(-4) + (-5)，不就像欠了 4 块钱又欠了 5 块钱，一共欠 9 块嘛，哈哈，有趣吧！
6. 那有理数的乘法也有门道呀，比如(-3) × 4，不就像有 4 组每组欠 3 个嘛，那就是欠 12 个呀，是不是很好玩？
7. 嘿，有理数的除法还有这样的，8 ÷ 2，那就是 8 个平均分成 2 份，每份 4 个呀，超级简单咧！
8. 想一想啊，(-6) ÷ (-3)，不就是负数的东西平均分给负数的份数嘛，结果就是 2 啦，有趣极了！
我的观点结论：有理数的加减乘除运算方法其实都不难，只要大家用心去理解，都能掌握得很好！。
有理数的加减乘除运算一、目标认知学习目标：掌握有理数的加法法则，会使用运算律简算；并能解决简单的实际问题。
掌握有理数的减法法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，合理运算。
重点：有理数的加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则。
有理数的加法结合律、交换律；乘法交换律、结合律、乘法分配律。
混合运算的顺序。
难点：有理数运算法则的理解，尤其是有理数加法和减法法则的理解；有理数运算中的符号问题；运用运算律进行简算问题；运算的准确性问题等。
二、知识要点梳理知识点一：有理数的加法:把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。
要点诠释：相加的两个有理数有以下几种情况：（1）两数都是正数；（2）两数都是负数；（3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；（4）一个是正数，一个是0；（5）一个是负数，一个是0；（6）两个都是0。
知识点二：有理数加法法则根据有理数的加法法则，两数相加，先弄清这两个加数是同号还是异号，根据法则确定和的符号，然后根据法则求出和的绝对值。
要点诠释：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0。
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
知识点三：有理数加法的运算定律要点诠释：（1）加法交换律：。
（2）加法结合律：。
知识点四：有理数减法的意义要点诠释：有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
减法是加法的逆运算。
知识点五：有理数减法法则要点诠释：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即知识点六：有理数加减法统一成加法的意义要点诠释：对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。
这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。
统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。
有理数加减乘除混合运算(绝对经典)运算是数学中的一种基本操作，有理数加减乘除混合运算是我们在学习数学时常常遇到的一个问题。
这种混合运算涉及到有理数的四则运算，即加法、减法、乘法和除法。
对于这个绝对经典的问题，我们需要掌握有理数的运算规则和计算方法，以便能够正确地解决这类问题。
在进行有理数的加减乘除混合运算时，我们需要注意以下几个方面：1. 加法运算：对于两个有理数的加法，我们只需要将它们的数值相加，并保持相同的符号。
例如，对于正数和正数相加，结果仍然是正数；对于负数和负数相加，结果仍然是负数；而正数和负数相加，则需要将数值相减，并保持与绝对值较大的数的符号相同。
2. 减法运算：对于两个有理数的减法，我们可以将减法转化为加法运算。
即将减数取相反数，然后与被减数相加。
例如，a - b 可以转化为 a + (-b) 的形式进行计算。
3. 乘法运算：对于两个有理数的乘法，我们只需要将它们的数值相乘，并根据相乘的两个数的符号规定结果的符号。
例如，正数与正数相乘得到正数，负数与负数相乘得到正数，正数与负数相乘得到负数。
4. 除法运算：对于两个有理数的除法，我们可以将除法转化为乘法运算。
即将除数的倒数与被除数相乘。
例如，a ÷ b 可以转化为 a × (1/b) 的形式进行计算。
在实际的运算中，我们还需要注意几个特殊情况。
首先是零的处理。
任何数与零相乘都得到零，零除以任何非零数都等于零。
而零除以零是没有意义的，所以在进行混合运算时要避免出现这种情况。
其次是分数的运算。
当我们将一个整数和一个分数相加、相减、相乘或相除时，可以先将整数转化为分数，然后进行相应的运算。
例如，5加2/3可以转化为15/3加2/3，然后得到17/3。
最后是多项式的运算。
当我们进行多项式的加减乘除运算时，需要首先对多项式进行合并、分配律、消去等基本化简操作，然后再进行运算。
例如，(2x+3)(4x+5)可以先进行分配律的展开，得到8x^2+22x+15，然后再进行相应的运算。
有理数的混合运算1. 什么是有理数在数学中，有理数是指可以用两个整数的比来表示的数。
有理数包括整数和分数两种。
整数可以是正整数、0和负整数，而分数是由一个整数作为分子，另一个非零的整数作为分母所组成的。
有理数可以用分数形式表示为 p/q，其中 p 是整数，q 是非零的整数。
2. 有理数的四则运算有理数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面分别介绍这四种运算的规则。
2.1 加法有理数的加法满足以下规则：•同号相加，取绝对值相加，结果的符号与原来相同；•异号相加，取绝对值相减，结果的符号与被减数的符号相同。
•(+3) + (+2) = +3 + 2 = +5•(-3) + (-2) = -3 + (-2) = -5•(+3) + (-2) = 3 - 2 = +12.2 减法有理数的减法可以转化为加法，即将减法转化为加法的逆运算。
减去一个数等于加上这个数的相反数。
例如：•(+3) - (+2) = (+3) + (-2) = +3 - 2 = +1•(-3) - (+2) = (-3) + (-2) = -3 - 2 = -5•(+3) - (-2) = (+3) + (+2) = +3 + 2 = +52.3 乘法有理数的乘法满足以下规则：•同号相乘得正数；•异号相乘得负数。
•(+3) * (+2) = +3 * 2 = +6•(-3) * (-2) = +3 * 2 = +6•(+3) * (-2) = -3 * 2 = -62.4 除法有理数的除法可以转化为乘法，即将除法转化为乘法的逆运算。
除以一个数等于乘以这个数的倒数。
例如：•(+3) / (+2) = (+3) * (1/2) = +3 * 1/2 = +3/2•(-3) / (+2) = (-3) * (1/2) = -3 * 1/2 = -3/2•(+3) / (-2) = (+3) * (-1/2) = +3 * -1/2 = -3/23. 有理数的混合运算有理数的混合运算指的是在一个算式中同时包含有理数的加减乘除运算。
1.3 （1）有理数的加法
(8) (- 7)+ 3 + 1+(- 3)+ 7+(- 5)
3 3 1 2
(10) 5— +(— 3— ) + 4— +(— 7—)
4 5 4 5
1.3 (2)有理数的减法
一、 有理数的减法法则是：减去一个数等于加上这个数的相反数。
即
a —
b = a +(— b )
计算：
(1) (- 51) + (— 37) =-( ) =-(51 + 37) =-88
(2) (+ 15) + (- 18) =-( ) =-(18 — 15) =-3
1 1 (3) (-4— ) + (+ 2—)
3
3
（同号两数相加） （取相同的符号） （并把绝对值相加）
（绝对值不相等的异号两数相加） （取绝对值较大的加数的符号） （并用较大的绝对值减去较少的绝对值） (4) (- 1* 1 2 ) + (+ 2-)
3 2
(5) (-3) + (- 9) + (- 7.4)+ 9.6
(6) (- 0.9)+ 2.5+ 1 +(--)
2 3
(7) 13+(- 16)+ 9+(- 24) (9) 1+(- 1)+ 丄 +(-丄)
2 3
6
二、由减法法则可知：
(1)减正数即加负数，减负数即加正数。
(2)两数相减，当被减数大于减数时，差为正数；当被减数小于减数时，差为负数。
简记为"大
数一小数=正数，小数一大数=负数”
计算
(1) 0 —(—3) (2) (—19) — (—12) ( 3) 18—23 (4) 25 —(—25)
1.3 (3)有理数加减运算技巧点拨
1、把符号相同的数结合在一起
计算：(+ 5) + (- 6) + ( +4) + (+ 9) + (- 7) + (- 8)
2、把互为相反数的两数结合在一起
计算：8+ 5+(—4) — (—6)+ 4 — (—2)+ 3 +(—3) + (—2)—9 + 1
3、把能凑成整数的数结合在一起
计算：一(—5.6) + 10.2 —8.6+(— 4.2)
4、把分母相同的分数或易通分的分数结合在一起
3 3 2 3
计算：(+ 3 —) + (+ 4—) + (—1 —) + (—3—)
5 4 5 4
1.4 (1)有理数的乘法
运算步骤：先确定符号，再算绝对值。
注意：1、不要将有理数的乘法法则和有理数的加法法则相混淆，如(—2)x(- 3) = 6
而不是等于“-6”，这个要特别注意，注意区分。
2、法则中的“两数相乘，同号得正，异号得负”是专指两数相乘而言的。
计算：(技巧：先确定符号，再算绝对值。
)
15 9
(1)(—上)X(—) (2) 8.125X(—8) (3) (—132.64 )X 0
18 10
总结：由此可见，进行多个有理数的乘法运算时，
(1) 要先看因数中是否有0，若有0因数，则积就为0.
(2) 若因数中没有0，首先要确定积的符号，再把各个因数的绝对值相乘。
例如：
(—2)X(—3)X(—8) (—2)X(—3)X( 8)
5 2 5
计算：(1) (—1)X(——)X(——)X 0X(——)
4 3 42
4 7 5
(2)(—9)X( —— ) X — X(—)
5 2 21
4 3
(3) 1.6 X( —1 X( —2.5 ) X(—
有理数的除法一一符号在先值在后，紧扣法则少错误除法是乘法的逆运算，根据这一内在联系，可以归纳出有理数的除法法则：（1）除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
（即：将除法运算转为乘法运算。
）（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都
得0.（即：先确定符号，再确定绝对值。
）
计算:
(1) (—64) + (- 4)
2 1 3
(2) (+ 3 —) + (- 5—) (3)(-上)+ 0.25
3 2 4
技巧：两个有理数相除，先确定符号，再确定商的绝对值。
遇到带分数时，要先化成假分数; 遇到小数时，如果不能整除，要先化为分数再计算，这样会比较简便。
1.4（3）有理数乘除混合运算的技巧
计算:
2 5
(1) (- 5)X 8X(- 7) + (—0.25) ( 2)(——)X(——)-(-0.375)
3 8
3 5 2 2 2 8 3
(3) (—)X(—2)+ 9X(-3-) (4) +(-2-)—£X(- 1? )- 0.25
17 4 5 5 5 21 4
1.4 (4)倒数
1、倒数的概念
乘积为1的两个数互为倒数。
如3和一，5和-，一一和一—分别互为倒数。
3 3 5 7 一
0为什么没有倒数
0没有倒数，这是因为0不能作除数，0作除数无意义。
倒数的求法
1
根据倒数的定义可知，一个数a (a M 0)的倒数是丄，一个正数的倒数是正数，-
a
个负数的倒数是负数，o没有倒数。
^口，一7的倒数是一
9
倒数等于本身的数是土1
练习题:
1、一一的倒数是............................................................ ( )
1 1
A、一
B、
C、一2
D、2
一2
1
2、一丄的倒数是............................................................... ( )
3
1 1
A、一3
B、一
C、
D、3
3 3
1
3、1一丄I的倒数是___________ 。
2
3
4、——的倒数的绝对值是 ____________ 。
2
5、若m、n互为倒数，则mn2— ( n —1)的值为____________
1.4 ( 5)有理数乘除运算错题录
1、符号错误
计算：(—4)X(—6.25)—120 -(—5)
2、运算顺序错误
9 4
计算：一81 - X - ^(—16)
4 9
3、运用分配律错误
1111 计算：(一60)X(——+ ——— +—)
5 2 12 6
1.4 ( 6)活用乘法分配律来解题
1、正向运用乘法分配律2 (-24)X( 3—7+ —)
4 8 12
、逆向运用乘法分配律
5 5 5 7 (-7- )X 6— + 7 - X(- 5丄)
6 12 6 12
3、先分组，再分别逆用乘法分配律计算4
4 3
5 1
0.7 X 1 —+ 2—X(—17)+ 0.7 X + — X(—17)
9 4 9 4、变形后运用乘法分配律
15
99 X(—8)
16
5、变形，提公因数，再逆用乘法分配律17.48 X 37+ 174.8 X 1.9+ 8.74 X 88 6 、正、逆向混合运用乘法分配律
11 7 5
--------- )X 36 —6X 1.43 + 3.96 X 6
12 9 18
1.5 (1)有理数的乘方
一、正确理解乘方的意义。
1、n个相同的因数a相乘，记作a n,读作a的n次方。
2、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幕。
即，乘方是一种运算，幕是运算的结果。
3、在a n中，a叫做底数，n叫做指数。
注意：1、一个数可以看作这个数本身的一次方，例如7就是71，a就是a1,指数1通常省
略不写。
2、当底数是负数或分数时，要先用括号把底数括上，以体现底数的整体性，再在其右上角
写上指数，指数要写的小一点。
例如，(一5)X(- 5)X(- 5)应记作(一5) 3,不能记
1 1
2 1 2
作一53;—的平方应记作(—)，不能写成—
2 2 2
二、运算定律
1、加法交换律：a+ b = b + a
2、加法结合律：（a + b） + c = a + （b + c）。
