噪声功率谱密度与方差之间的关系

.噪声功率谱密度及其工程应用目录（一）噪声的来源与类型1.自然界噪声2.人为噪声3.电路噪声（二）噪声量值1.尼奎斯特定理2.资用热噪声功率3.资用噪声功率譜密度4.噪声温度5.噪声系数（F）和等效噪声温度（T e）的关系1）噪声系数定义2）多级级联放大器的噪声系数3）噪声系数（F）和等效噪声温度（T e）的换算关系6．系统的噪声功率譜密度（三）噪声功率谱密度的工程应用1.噪声功率谱密度在工程上的实用意义2.用噪声功率譜密度来核算各级信号噪声电平的设计实例3.用噪声功率譜密度的测量来分析、计算、判断系统灵敏度的前提和注意事项(一）噪声的来源与类型噪声是一种自然现象。

是物质的一种运动形式。

广义上，噪声就是扰乱或干扰有用信号的不期望的扰动。

它使通过网络传输的信号受到干扰或使之失真。

研究表明，常见的噪声是由大量短促脉冲叠加而成的随机过程，它符合概率论的规律，可以用统计方法进行处理。

在雷达、通信、电视和测量等无线电系统中，噪声分为内部和外部两类。

内部噪声是指设备内部各种器件、部件产生的热噪声、霰弹噪声等，也称电路噪声；外部噪声则指宇宙和大气辐射的自然界噪声以及各种电器产生的人为噪声。

1、自然界噪声1）大气噪声大气噪声又称天电噪声。

当雷雨天带电云层之间的电位差足够高时，便出现“闪电”现象。

这种放电现象也可发生在云层和大地之间。

业已发现，地球相对于电离层的电位为负300 000V。

这是因为宇宙射线总是在给大气层充电。

通常，云层底部带负电，云层下方的大地带正电。

由于大地和云层间极大的电压，导致了放电的产生。

但“闪电”时的巨大火花引起的噪声对频率为30MHz以上的信号的传输影响较小。

2）宇宙噪声这类噪声来自太阳和银河系的星体。

它们产生的噪声是这些星体的高温辐射引起的，其辐射的譜密度在相当宽的频率范围内都是均匀的。

常用于监测距地球许多光年的天体的信息及系统G/T值的测量。

2、人为噪声电器点火系统产生火花时便形成了人为噪声。

噪声方差和噪声功率谱密度的关系噪声是指信号中无用的、随机的成分。

在实际的通信和电子系统中，噪声是不可避免的，因为它由环境、器件和电子元件产生。

噪声会干扰信号的传输和处理，因此了解噪声的特性对于系统设计和优化非常重要。

噪声的特性可以用两个基本参数来描述：方差和功率谱密度。

方差是噪声的分布范围的度量，而功率谱密度描述了噪声在频域上的特性。

首先，让我们来了解一下方差。

方差是描述数据分布的一个统计量，它衡量了数据集合中各个数据与其均值之间的偏差程度。

对于噪声来说，方差描述了噪声的随机性和离散程度。

方差越大，噪声的波动性越大，表现出更大的随机性。

在噪声的传输过程中，噪声功率比噪声方差更重要。

噪声功率反映了噪声信号的能量，即单位时间内噪声信号携带的能量量。

在电子系统中，噪声功率是指单位带宽内的噪声能量。

噪声功率的计算是通过对噪声信号进行平均来得到的，因为噪声是随机的。

噪声功率谱密度是描述噪声在频域上的特性的参数，即噪声功率随频率变化的关系。

它是噪声功率在频率范围内的归一化形式。

噪声功率谱密度通常以单位频率范围内的功率为单位，例如瓦特/赫兹(W/Hz)或分贝毫瓦/赫兹(dBm/Hz)。

噪声功率谱密度是以频率为自变量的函数，它描述了噪声在不同频率上的能量分布情况。

通过对噪声信号进行傅里叶变换，可以得到噪声功率谱密度。

噪声功率谱密度的单位可以通过噪声信号的方差来计算。

根据维纳-辛钦定理，噪声信号的方差和噪声功率谱密度之间存在一个关系。

对于随机过程，噪声功率谱密度是噪声方差的傅里叶变换。

这就意味着，如果我们知道噪声信号的方差，我们可以通过傅里叶变换来计算噪声功率谱密度。

噪声的功率谱密度对于电子系统的设计和分析非常重要。

它可以用来估计系统的信噪比、带宽和数据传输速率等性能。

通过对系统中各个组件的噪声功率谱密度进行测量和分析，可以确定系统的噪声限制，并选择合适的滤波器和放大器来降低噪声级别。

此外，噪声功率谱密度还可以用于信号处理和通信系统中的噪声消除、频谱估计、频谱分析等应用。

高斯白噪声功率的计算
先上结论：对于均值为0 ，方差为的高斯白噪声，其方差就是它的平均功率。

证明如下（只需要基本物理知识、概率知识和基本积分的知识）
假设电压，其服从高斯分布，均值为0，方差为，那么，给定任何一个，则其瞬时功率为:
假定电阻的阻值为1 欧姆，则瞬时功率就是：
但是，电压的取值是随机，服从高斯分布，其均值为0，方差为：
那么，我们只能计算统计意义下的平均功率，即依概率平均：
其实，上式最后就是方差的计算公式（0 均值的条件下）.
具体的计算，可以采用分步积分，先把拿到里面，做一次分步计算即可。

具体可以见后面的附录。

附录：方差的计算
功率谱可以理解为信号的能量沿频率的分布. 举例说明. 接收机前段接收到的信号为实信号, 实信号的功率谱是双边的,对称的. 如果在中频或基带进行正交采样,就可以得到复信号, 复信号的谱是单边功率谱. 发射机单边功率谱适于基带分析，在基带中是0中频。

如果信
号通过了调制，将原中频搬移到了高频段，原来的负频部分就成了正频，利用双边功率谱进行分析
当均值为零时，带限高斯白噪声功率谱为常数, 单边功率谱密度等于方差σ^2，双边功率谱密度等于σ^2/2.。

关于mat ‎lab 中噪‎声功率谱密‎度与方差之‎间的关系的‎理解1. 连续时间系‎统高斯白噪声‎的定义为：如果一个噪‎声，它的幅度分‎布服从高斯‎分布，而它的功率‎谱密度又是‎均匀分布的‎，则称它为高‎斯白噪声。

故对于连续‎时间系统，理想的高斯‎白噪声的功‎率谱密度是‎一个常数，设为n0，而带宽是无‎限宽的，其功率为：0*n ∞=∞（1）在n0不是‎为无穷小的‎情况下，理想的噪声‎功率Pn 是‎无限大的。

而实际当中‎，噪声带宽是‎有限宽的，只需要在我‎们所关心的‎频带范围内‎，噪声功率谱‎密度是个常‎数，则我们可认‎为其是高斯‎白噪声。

设噪声单边‎功率谱密度‎为0n ，低通带宽为‎W ，则其噪声功‎率为：*2n n P W =（2）如图1.1所示：W-W频率/HZ图1.1我们知道，高斯白噪声‎的分布为2~(0,)X N σ，则其功率为‎：222()()()()n P E x D x E x D x σ==+== （3）故对于低通‎系统有：20/2n W σ= （4）而对于带通‎系统，如图1.2所示，有：200*2*2n n P W n W σ=== （5）W-W 频率/HZ2. 离散时间系‎统对于离散时‎间系统而言‎，带宽受到抽‎样速率fs ‎的限制。

设WGN 一‎秒内抽取的‎一组数据样‎本为： 12[],,....fs x n x x x =22([])0;([])([])E x n D x n E x n σ===2.1理论分析‎由于时间为‎单个的离散‎点，故理想功率‎为0；但有下列定‎义：对于序列的‎[]x n 能量E 定义‎为序列各抽‎样值的平方‎和，则数据样本‎的能量为：2221()*[()]*sf s s E x n f E x n f σ===∑（6）将功率定义‎为序列能量‎除以序列的‎时间，即2*t s bEP f T σ==（单位：J/S ） （7）式中，Tb 为序列‎时间，此处等于1‎S 。

噪声问题在模拟通信中，/S N 是一个非常有用的指标，它是信号平均功率和噪声平均功率的比值。

对于数字通信系统，其采用时间长度为码元间隔s T 的波形来发送和接收码元，每个码元的平均功率（在整个时间轴上取平均）等于0，所以功率不能用于描述数字信号，所以衡量系统BER 性能的指标是0/b E N ，而非单纯的信号功率和噪声功率之比。

因为噪声功率等于功率谱密度乘以带宽，对于相同功率谱密度的白噪声而言，系统带宽越高（即对应的采样率越高），自然通过的噪声功率也会越高。

一: 实带通信号与复低通等效信号对于信噪比的定义： 信噪比=信号的功率/噪声的功率 信号的功率是单位时间的能量值，噪声的功率一般用方差表示。

0/===**sE T SNR N B符号的平均功率每符号信号能量/符号周期信噪比噪声的平均功率噪声单边带功率谱密度符号带宽 假设00()()()()()cos(2)()sin(2)d q z t x t n t x t n t f t n t f t πθπθ=+=++-+ 其中()x t 为正弦信号0()cos(2)x t A f t π=对于实带通信号而言带通信号可以表示成00()exp(2)exp(2)22A Ax t j f t j f t ππ=+- 所以()x t 的功率谱密度为2200()()()44x A A S f f f f f δδ=-++所以实带通信号的总功率为：2()2x x A P S f df +∞-∞==⎰ 因此噪声是功率谱密度为2N 的带通噪声模型，所以，总的噪声功率是： 00()2()2n n N P S f df B N B +∞-∞===⎰所以实带通信噪比为：20()2bp A SNR N B=对于复低通等效信号低通信号可以表示成：0()Re{exp(2)}x t A j f t π=所以得到复包络~()x t A =所以复包络的功率为~~22{|()|}xP E x t A ==对于复低通等效信号加的噪声是功率谱密度为02N 的低通噪声模型 所以噪声功率为：~~()2nnP S f df N B ∞-∞==⎰因此，复低通等效信号的信噪比为~~20()2x lp nP A SNR P N B==所以实带通信号和复低通等效信号的信噪比保持不变。

自协方差函数和功率谱密度是信号处理领域中的重要概念，它们在信号分析、通信系统和控制系统等领域具有广泛的应用。

本文将介绍自协方差函数和功率谱密度的定义、性质和在傅立叶变换中的应用，希望能为读者深入理解这两个概念提供帮助。

一、自协方差函数自协方差函数是描述信号在不同时刻之间的相关性的函数，通常用R_xx(tau)表示。

其定义如下：R_xx(tau) = E[X(t) *X(t-tau)]其中，E[]表示期望操作，X(t)表示信号在时刻t的取值，tau表示时间延迟。

自协方差函数的性质包括：1. 自协方差函数是偶函数：R_xx(-tau) = R_xx(tau)，这意味着信号的相关性与时间的对称性相关。

2. 自协方差函数是实函数：R_xx(tau)是一个实数，因为它是信号的平均值。

自协方差函数在信号处理中有着重要的应用，例如可以用来估计信号的功率以及信号在不同时间延迟下的相关性。

二、功率谱密度功率谱密度描述了信号在频域上的能量分布，通常用S_xx(f)表示。

其定义如下：S_xx(f) = lim T->∞ E[|1/T * ∫[0~T] X(t) e^(-j2πft) dt|^2]其中，E[]表示期望操作，X(t)表示信号在时刻t的取值，f表示频率。

功率谱密度的性质包括：1. 非负性：功率谱密度始终是非负的。

2. 功率：信号的总功率可以通过功率谱密度积分得到。

功率谱密度在频谱分析和信号特性分析中具有重要的作用，能够帮助我们了解信号在频域上的能量分布情况，从而指导信号处理的相关工作。

三、傅立叶变换公式傅立叶变换是将一个时域上的信号转换为频域上的信号的一种重要工具，其公式包括傅立叶变换和逆变换两种形式：傅立叶变换公式：X(f) = ∫[-∞~∞] x(t) e^(-j2πft) dt逆变换公式：x(t) = ∫[-∞~∞] X(f) e^(j2πft) df傅立叶变换的性质包括线性性、时移性、频移性等，这些性质使得傅立叶变换成为了信号处理中不可或缺的工具。

综合一、是非题1、在单边带信号中插入强载波，可用包络检波法解调出基带信号。

（对）2、对于调频信号，也可以用其上边带或下边带传输信息。

（错）3、不管m(t)是什么信号，在m(t)cosωct的频谱中都没有离散谱fc.（错）4、在数字通信中，若无码间串扰，则误码率为0。

（错）5、若宽带调频信号的基带信号最高频率增大一倍，则调频信号带宽也增大一倍。

（错）6、单极性数字信号的连0码时间越长，要求位同步器的同步保持时间也越长。

（对）7、只要无误码，则PCM接收机输出模拟信号中就无噪声（错）‘8、数字基带系统的频带利用率不可能大于2bit/(s.Hz)(错)9、在频带利用率方面QPSK通信系统优于2PSK通信系统（对）二、填空题1、模拟通信系统中，可靠性最好的是（FM），有效性最好的是（SSB）。

2、在FM通信系统中，采用预加重和去加重技术的目的是（提高解调器输出信噪比）。

3、时分复用的话路数越多，信息速率（越大）。

4、在2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK通信系统中，可靠性最好的是（2PSK），有效性最好的是（2ASK、2PSK）5、均匀量化器的量化信噪比与编码位数的关系是（编码位数增加1位，量化信噪比增大6dB），非均匀量化器可以提高（小）信号的量化信噪比。

(式9.4.10)信号量噪比：（S/N）dB=20lg M=20lg2N (N为编码位数)编码位数增加一位，（S/N）dB=20lg M=20lg2（N+1）-20lg2N=20lg2=6dB6、改善FM系统抗噪声性能的有效措施是（采用预加重技术和去加重技术）7、若信息速率为Wbit/s,则2PSK、4PSK信号的谱零点带宽分别为（）和（）HzPSK信号为双极性不归零码，对基带信号R B=1/Ts=fs=R b/log2M, B=fs= R b/log2M对调制信号：带宽为B调=2B=2 R b/log2M=2W/ log2M对2PSK：带宽为：2W对4PSK：带宽为：2W/ log2M =2W/2=W8、设基带系统使用了五抽头的预置式自动均衡器，则此系统冲激响应的抽样值等于0的个数最少为（4），不等于0的个数最少为（1）8、通过眼图，可以观察到（码间串扰）和（噪声）的大小9、调频信号20cos(2*108π+8cos400πt)的最大频偏为（1600）Hz，带宽为（3600）HzP1 05：m f为最大相位偏移，由调频信号可知其最大相位偏移为8，m f=8,调制信号的频率：f m=400π/2π=200所以最在频偏Δf=m f×f m=8200=1600.B=2（m f+1）f m=3600Hz10、当无信号时，加性噪声是否存在？（存在），乘性噪声是否还存在？（不存在）11、设基带信号的最高频率为3.4kHz的语音信号，则AM信号带宽为（6.8kHz），SSB信号带宽为（3.4kHz），DSB信号带宽为（6.8kHz）。

正态分布功率谱密度
正态分布功率谱密度又称为高斯白噪声功率谱密度，是一种在时间和频率上都呈正态分布的随机信号。

其功率谱密度为：
$$S_{xx}(\omega) = \frac{N_0}{2}$$
其中$N_0$是噪声的功率谱密度，是一个常数，表示单位频率
范围内的噪声功率。

这个常数可以通过方差$\sigma^2$来表示：
$$N_0 = \frac{\sigma^2}{T}$$
其中$T$是信号的采样时间。

正态分布功率谱密度是由频率范
围为$(-\infty,\infty)$的白噪声加性高斯性噪声混合而成的。

在
实际应用中，高斯白噪声功率谱密度被广泛用于系统建模和信号处理中的噪声分析。

功率和方差的关系
功率和方差的关系
在统计学中，我们经常会使用到功率和方差这两个概念。

功率是指假设检验中拒绝原假设的概率，即我们能够在多大程度上发现某个效应的存在；而方差则是指随机变量的离散程度，即在一组数据中数值的分散程度。

对于两者的关系，我们可以从以下三个角度来探究：
一、样本大小对功率的影响
在假设检验中，样本大小是很重要的因素之一。

当样本大小增大时，样本的方差也会随之减小。

这是由于样本大小的增大意味着更多的数据可以用于计算样本的均值，从而更准确地估计总体的均值。

因此，当我们增大样本大小时，拒绝原假设的概率会增大，也就是说，检验的功率会增加。

二、效应大小对功率的影响
效应大小指的是总体均值和假设均值之间的差异程度。

这个差异程度越大，我们就越容易发现这个效应的存在，即功率越大。

具体来说，当我们想要探究一个很小的效应时，我们可能需要更大的样本大小来检测出这个效应，这样做会增加我们的检验功率。

三、方差对功率的影响
方差是样本中数值的分散程度。

如果一个样本中的数值非常分散，意味着它们离均值很远，那么样本的方差就会很大。

当我们在分析样本数据时，我们会发现巨大的方差很可能掩盖住不同的效应差异。

因此，方差大小会直接影响检验的功率。

或者说，如果我们要检验一个很小的平均值之差，我们应该尽量保证数值稳定，这样我们才能更准确地检验出差异的存在。

以上是功率和方差两者之间的关系，当然，在统计学的应用中，两者的关系还有很多方面，比如置信区间等。

所以，对这个问题会的越多，我们在应用时就会变得更加灵活。

噪声功率谱均值与方差
简介
本算例是针对噪声功率谱均值方差的仿真计算，本例程仿真内容对应水声学原理第七章部分内容。

1.1 基本原理
噪声是一种随机过程，对于随机过程来说，由于它在时间上为无限长，因而它的任何一个非零样本函数都不满足绝对可积和能量可积，因此它的傅里叶变换不存在，但是样本函数的功率是有限的，因此研究功率谱是有意义的。

仿真过程中利用维纳-辛钦定理（随机过程的相关函数与功率谱密度之间互为傅里叶变换）实现快速相关，采用直接法（即直接对得到的相关函数做傅里叶变换）求取功率谱密度得到的结果起伏剧烈，与一般教科书中所学不同。

进而利用滑动窗的方法得到平滑的功率谱密度函数。

1.2 数值仿真
仿真参数：高斯白噪声，均值为0，方差为1，成随机序列的点数10000。

窗函数选取汉宁窗，选取点数为100个点，重叠部分为50个点。

仿真结果如下：
图1 噪声的均值与方差（由于使用MATLAB中随机性函数每次结果不会完全一
样，但是近似服从N(0,1)）
x 104 /s
幅度
图2 噪声自相关函数
频率/Hz 幅度/d B
图3 噪声功率谱密度
1.3 结论
从仿真的结果可以看出，白噪声在任何两个相邻时刻（不论这两个时刻多么
邻近）的取值都是不相关的。

从功率谱密度函数中可以看出,白噪声这种随机过程的功率谱极宽。

参考文献
[1] 刘伯胜,雷家煜.水声学原理(第二版)[M].哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社,2010:
[2] 朱华,黄辉宁等.随机信号分析[M].北京:北京理工大学出版社,1994:
[3] 郑君里.信号与系统(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2011:。