高考文科数学(北师)9.3 圆的方程

= 3,
联立①②,解得
= 0,
所以圆心坐标为(3,0),
半径 r= (4-3)2 + (1-0)2 = 2,
所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.
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-16
-16考点
(kǎo
diǎn)1
考点(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
diǎn)3
(方法二)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
上,则圆C的方程为
.
答案: (1)(x-3)2+y2=2 (2)(x-3)2+(y-1)2=9
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--1515
考点(kǎo
diǎn)1
考点
(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
diǎn)3
解析: (1)(方法一)由已知kAB=0,所以AB的中垂线方程为x=3. ①
过B点且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,②
(kǎo
diǎn)1
考点
(kǎo
diǎn)2
考点
(kǎo
diǎn)3
(方法三)作为选择题也可以验证解答.圆心在x+y=0上,排除选项C,D,再验
证选项A,B中圆心到两直线的距离是否等于半径2即可.
(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将P,Q两点的坐标分别代入得
2-4- = 20, ①
9.3 圆与圆的方程
(fāngchéng)
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-2知识(zhī
shi)梳理
自测(zì
cè)点评

分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小.圆 心为C 的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，由于圆心C 与A, B 两点 的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线上.又圆心C
在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线l '的交点，半径长等于
|CA|或|CB|．
变式：己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. 解法1:设圆C的方程为
（3）点P在圆外 x0 a2 y0 b2 r2
三、求圆的标准方程的方法：
1 代数方法：待定系数法求
2 几何方法：数形结合
必做：课本81页练习：1，2 选做：课本82页练习：2
谢谢大家
△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,3),C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
例2ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)， C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (x a)2 (y b)2 r2
(1) 因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以 它们的坐标都满足方程（1）．于是
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方程
是：（x 2）2 (y 3)2 25
把 M1(5,7) 的坐标代入方程 (x 2)2 (y 3)2 25 左右两边相等，点 M1 的坐标适合圆的方程，所以点
M
在这个圆上；
1
把点 M 2 ( 5,1) 的坐标代入此方程，左右两边不
相等，点
M
的坐标不适合圆的方程，所以点 M
2
2不在
这个圆上．
怎样判断点 M0(x0, y0) 在圆 (x a)2 (y b)2 r2

北师大版高中数学必修《圆的标准方 程》PPT 优质教 学ppt1 (完美 课件)
问题6 点 B(2, 1)在圆C:(x 2)2 ( y 3)2 25 上吗？
代数角度: 点在圆上
点坐标满足方程
(2 2)2 (1 3)2 20 25
几何角度:
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例2 ABC的三个顶点分别A(5,1) ,B(7, 3),C(2, 8) ,求ABC 的
外接圆的标准方程. 待求哪些量？如何使用已知条件？
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例1 求圆心为 C(2, 3) ，且经过 A(5,1)的圆的标准方程.
知道圆心和圆上一点，圆是否唯一确定？
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例1 求圆心为 C(2, 3) ，且经过 A(5,1)的圆的标准方程.
y
M(x,y)
O
x
A(a,b)
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问题3 设圆心A(a,b)，半径为r(r>0)，如何求出圆的方程呢？
y 追问: 圆上任意一点M(x,y)满足什么性质呢？
y
M(x,y)
(x a)2 ( y b)2 r (x a)2 ( y b)2 r2 (1)

(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r

x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2

|2+2×7-|
线的距离 d=
为 16+2√10.
12 +22
≤2√2,解得 16-2√10≤t≤16+2√10,所以 m+2n 的最大值
(方法 2)由 x2+y2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8.
-2 = 2√2cos,
因为点 M(m,n)为圆 C 上任意一点,所以可设
的最大值为 2+√3,最小
+2
+2
方法总结与圆有关的最值问题的三种几何转化法
对点训练3已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,
其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为
.
答案 74
解析 设 P(x0,y0),则 d=|PB|2+|PA|2=02 +(y0+1)2+02 +(y0-1)2=2(02 + 02 )+2.
(2)设点 Q(-2,3),则直线 MQ 的斜率
-3
k=
.
+2
设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0.由直线 MQ 与圆 C 有公共
|2-7+2+3|
点,得
2 +1
≤2√2,
解得 2-√3≤k≤2+√3,即 2-√3 ≤
值为 2-√3.
-3
-3
≤2+√3,所以
C 的轨迹方程为
(2)设点 M(x,y),C(x0,y0),因为 M 是线段 BC 的中点,所以

过 B 点且垂直于直线 x－y－1＝0 的直线方程为 y－1＝－(x－2)， 即 x＋y－3＝0，②
x＝3， 联立①②，解得 y＝0，
所 以 圆 心 坐 标 为 (3,0) ， 半 径 r ＝
4－32＋1－02＝ 2， 所以圆 C 的方程为(x－3)2＋y2＝2. 法二 ∵点 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
考点一
圆的方程
【例 1】 (1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x－y－1＝0 相切于点 B(2,1)， 则圆 C 的方程为________． (2)已知圆 C 经过 P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在 x 轴上截得的 弦长等于 6，则圆 C 的方程为________．
解析
(1)法一
由已知 kAB＝0，所以 AB 的中垂线方程为 x＝3.①
标准 方 程
圆心 C(a，b) 半径为 r 充要条件：D2＋E2－4F＞0
D E 圆心坐标：－ 2 ，－ 2
1 2 半径 r＝2 D ＋E2－4F
2.点与圆的位置关系平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－ b)2＝r2 之间存在着下列关系： (1)d＞r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M 在 圆外 ； (2)d＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在 圆上 ； (3)d＜r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M 在 圆内 ．
解析
(2)当 a＝0 时，x2＋y2＝a2 表示点(0,0)；当 a＜0 时，表示半
径为|a|的圆． 1 (3)当(4m) ＋(－2) －4×5m＞0，即 m＜4或 m＞1 时才表示圆．
2 2
答案

x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
r
D2 E2 4F 2
（2）当
D2 E2 4F 0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
( A)a 1 2
(B)a 1 (C)a 1
2
2
(D)a 1 2
(D)
x (3)圆 x2 y2 8x 10y F 0 与 轴相切,则这个圆截 y
轴所得的弦长是 ( A)
( A)6
(B)5
(C )4
( D )3
(4)点 A(3,5) 是圆 x2 y2 4x 8y 80 0 的一条弦的中点,
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
例2. 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是 的点的轨迹， 求此曲线的轨迹方程，并画出曲线
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
也就是点M属于集合 由两点间的距离公式，得
y M
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4． 所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)， A线(的3，方0程)距，离并的画比出为曲12线的。点的轨迹，求此曲

是不是所有X2+Y2+Dx+Ey+F=0情势 的方程都可以表示一个圆？？
x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得：
(x-D/2)2+(y-E/2)2=(D2+E2-4F)/4
（1）当D2+E2-4F>0，方程表示 以（-D/2, -E/2）为圆心，以 r D2 E 2 4F 为半径的圆。
2
(2)当D2+E2-4F＝0，方程表示一个点 （-D/2, -E/2）。
分析：我们可以利用配方法，解答这些类型的题，同样我 们也可以利用圆的一般方程的判定式来解决。
(3) x2+y2+2ax-b2=0 D=2a, E=0, F=-b2, 所以，D2+E2-4F=4(a2+b2) a=b=0时，4(a2+b2)=0，表示点 a≠0或b≠0时， 4(a2+b2) >0，表示圆。
解得：D=-8,E=6,F=0; 所以圆的一般方程为：
x2+y2-8x+6y=0
(x-4)2+(x+3)2=52
圆心为(4,-3)，半径为5
比较圆的一般方程求解这题和圆的 标准方程求解这题。
可以看出：
(1) 求圆的方程有配方法和待定系数法； (2) 正确选择圆的方程求解问题。
例3.已知一曲线是与两定点O(0,0)，A(3,0）距离的比为1／2 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实 数解，不表示任何图形。
因此，形如二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0， D2+E2-4F>0时， 方程叫做圆的一般方程。

[答案] (0，－1)，1－ 2≤a≤1＋ 2
[解析] 可知圆心坐标为(0，－1)．直线 x＋y＋a＝0 与该圆 |0－1＋a| 有公共点，则 2 2 ≤1，∴1－ 2 ≤a≤1＋ 2. 1 ＋1
6．已知 BC 是圆 x2＋y2＝25 的动弦，且|BC|＝6，则 BC 的 中点的轨迹方程是________．
解法 2：设所求圆的方程为(x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r2， a＝ 7， 6－ a2＋5－ b2＝ r2 2 2 2 由题意得0－ a ＋1－ b ＝ r ，解得b＝－ 3， r＝ 65. 3 a＋ 10b＋ 9＝ 0 所以所求圆的方程为(x－ 7)2＋ (y＋ 3)2＝ 65.
)
[答案] D
[解析] 方程表示以(－2,1)为圆心，半径 r＝ 3 的圆， 令 d＝ x2＋ y2，则 d 为点(x， y)到 (0,0)的距离， ∴ dmax＝ －2－ 02＋1－02＋ r＝ 5＋ 3， ∴ x2＋ y2 的最大值为( 5 ＋ 3)2＝ 14＋ 6 5.
Hale Waihona Puke 5．圆 x2＋(y＋1)2＝1 的圆心坐标是________，如果直线 x ＋y＋a＝0 与该圆有公共点， 那么实数 a 的取值范围是________．
(2)设圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0. 将 P、 Q 点的坐标分别代入得
2 D－ 4E－ F＝ 20 3 D－ E＋ F＝－ 10
① ② ③
又令 y＝ 0，得 x2＋ Dx＋ F＝ 0 设 x1， x2 是方程③的两根．
由|x1－ x2|＝ 6 有 D2－ 4F＝ 36
④
由①②④得 D＝－2，E＝－4，F＝－8 或 D＝－6，E＝－ 8， F＝ 0. 故所求圆的方程为 x2＋ y2－ 2x－ 4y－ 8＝ 0 或 x2＋ y2－ 6x－ 8y ＝ 0.

＝0 的距离为 1，则 a＝( )
A．－43
B．－34
C． 3
D．2
解析 圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心
到直线
ax＋y－1＝0
|a＋4－1| 的距离为 a2＋1 ＝1，解得
a＝－43.故选
A．
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解析 答案
2．(2019·江西南昌模拟)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4 的内部，
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答案
解析 到两直线 3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0 的距离都相等的直线方程为 3x－4y＋5＝0，联立得方程组3y＝x－－4yx＋ －54＝ ，0， 解得xy＝ ＝－ －31，. 又两平行 线间的距离为 2，所以圆 M 的半径为 1，从而圆 M 的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2 ＝1.故选 C．
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(4)圆的一般方程 ①一般方程： 05 __x_2_＋__y_2_＋__D_x_＋__E_y_＋__F_＝__0___； ②方程表示圆的充要条件： 06 __D_2_＋__E_2_－__4_F_>_0__； ③圆心坐标： 07 ___－__D2__，__－__E2____， 半径 r＝ 08 ___12__D__2_＋__E_2－__4_F______.
a－2b－3＝0，
a＝－1， 解得b＝－2，
r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
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2．点与圆的位置关系
(1)理论依据 09 ___点__与__圆__心__的__距__离_____与半径的大小关系．
(2)三个结论 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)，d 为圆心到点 M 的 距离． ① 10 _(_x_0－__a_)_2_＋__(y_0_－__b_)_2＝__r_2_⇔点在圆上⇔d＝r； ② 11 __(x_0_－__a_)2_＋__(_y_0－__b_)_2_>_r_2 _⇔点在圆外⇔d>r； ③ 12 _(_x_0_－__a_)2_＋__(_y_0－__b_)_2_<_r2__⇔点在圆内⇔d<r.