高考文科数学(北师)9.3 圆的方程

= 3,
联立①②,解得
= 0,
所以圆心坐标为(3,0),
半径 r= (4-3)2 + (1-0)2 = 2,
所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.
第十五页，共38页。
-16
-16考点
(kǎo
diǎn)1
考点(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
diǎn)3
(方法二)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
上,则圆C的方程为
.
答案: (1)(x-3)2+y2=2 (2)(x-3)2+(y-1)2=9
第十四页，共38页。
--1515
考点(kǎo
diǎn)1
考点
(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
diǎn)3
解析: (1)(方法一)由已知kAB=0,所以AB的中垂线方程为x=3. ①
过B点且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,②
(kǎo
diǎn)1
考点
(kǎo
diǎn)2
考点
(kǎo
diǎn)3
(方法三)作为选择题也可以验证解答.圆心在x+y=0上,排除选项C,D,再验
证选项A,B中圆心到两直线的距离是否等于半径2即可.
(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将P,Q两点的坐标分别代入得
2-4- = 20, ①
9.3 圆与圆的方程
(fāngchéng)
第一页，共38页。
-2知识(zhī
shi)梳理
自测(zì
cè)点评

分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小.圆 心为C 的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，由于圆心C 与A, B 两点 的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线上.又圆心C
在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线l '的交点，半径长等于
|CA|或|CB|．
变式：己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. 解法1:设圆C的方程为
（3）点P在圆外 x0 a2 y0 b2 r2
三、求圆的标准方程的方法：
1 代数方法：待定系数法求
2 几何方法：数形结合
必做：课本81页练习：1，2 选做：课本82页练习：2
谢谢大家
△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,3),C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
例2ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)， C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (x a)2 (y b)2 r2
(1) 因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以 它们的坐标都满足方程（1）．于是
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方程
是：（x 2）2 (y 3)2 25
把 M1(5,7) 的坐标代入方程 (x 2)2 (y 3)2 25 左右两边相等，点 M1 的坐标适合圆的方程，所以点
M
在这个圆上；
1
把点 M 2 ( 5,1) 的坐标代入此方程，左右两边不
相等，点
M
的坐标不适合圆的方程，所以点 M
2
2不在
这个圆上．
怎样判断点 M0(x0, y0) 在圆 (x a)2 (y b)2 r2

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问题6 点 B(2, 1)在圆C:(x 2)2 ( y 3)2 25 上吗？
代数角度: 点在圆上
点坐标满足方程
(2 2)2 (1 3)2 20 25
几何角度:
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例2 ABC的三个顶点分别A(5,1) ,B(7, 3),C(2, 8) ,求ABC 的
外接圆的标准方程. 待求哪些量？如何使用已知条件？
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例1 求圆心为 C(2, 3) ，且经过 A(5,1)的圆的标准方程.
知道圆心和圆上一点，圆是否唯一确定？
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例1 求圆心为 C(2, 3) ，且经过 A(5,1)的圆的标准方程.
y
M(x,y)
O
x
A(a,b)
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问题3 设圆心A(a,b)，半径为r(r>0)，如何求出圆的方程呢？
y 追问: 圆上任意一点M(x,y)满足什么性质呢？
y
M(x,y)
(x a)2 ( y b)2 r (x a)2 ( y b)2 r2 (1)

(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r

x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2

|2+2×7-|
线的距离 d=
为 16+2√10.
12 +22
≤2√2,解得 16-2√10≤t≤16+2√10,所以 m+2n 的最大值
(方法 2)由 x2+y2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8.
-2 = 2√2cos,
因为点 M(m,n)为圆 C 上任意一点,所以可设
的最大值为 2+√3,最小
+2
+2
方法总结与圆有关的最值问题的三种几何转化法
对点训练3已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,
其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为
.
答案 74
解析 设 P(x0,y0),则 d=|PB|2+|PA|2=02 +(y0+1)2+02 +(y0-1)2=2(02 + 02 )+2.
(2)设点 Q(-2,3),则直线 MQ 的斜率
-3
k=
.
+2
设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0.由直线 MQ 与圆 C 有公共
|2-7+2+3|
点,得
2 +1
≤2√2,
解得 2-√3≤k≤2+√3,即 2-√3 ≤
值为 2-√3.
-3
-3
≤2+√3,所以
C 的轨迹方程为
(2)设点 M(x,y),C(x0,y0),因为 M 是线段 BC 的中点,所以

过 B 点且垂直于直线 x－y－1＝0 的直线方程为 y－1＝－(x－2)， 即 x＋y－3＝0，②
x＝3， 联立①②，解得 y＝0，
所 以 圆 心 坐 标 为 (3,0) ， 半 径 r ＝
4－32＋1－02＝ 2， 所以圆 C 的方程为(x－3)2＋y2＝2. 法二 ∵点 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
考点一
圆的方程
【例 1】 (1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x－y－1＝0 相切于点 B(2,1)， 则圆 C 的方程为________． (2)已知圆 C 经过 P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在 x 轴上截得的 弦长等于 6，则圆 C 的方程为________．
解析
(1)法一
由已知 kAB＝0，所以 AB 的中垂线方程为 x＝3.①
标准 方 程
圆心 C(a，b) 半径为 r 充要条件：D2＋E2－4F＞0
D E 圆心坐标：－ 2 ，－ 2
1 2 半径 r＝2 D ＋E2－4F
2.点与圆的位置关系平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－ b)2＝r2 之间存在着下列关系： (1)d＞r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M 在 圆外 ； (2)d＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在 圆上 ； (3)d＜r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M 在 圆内 ．
解析
(2)当 a＝0 时，x2＋y2＝a2 表示点(0,0)；当 a＜0 时，表示半
径为|a|的圆． 1 (3)当(4m) ＋(－2) －4×5m＞0，即 m＜4或 m＞1 时才表示圆．
2 2
答案

x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
r
D2 E2 4F 2
（2）当
D2 E2 4F 0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
( A)a 1 2
(B)a 1 (C)a 1
2
2
(D)a 1 2
(D)
x (3)圆 x2 y2 8x 10y F 0 与 轴相切,则这个圆截 y
轴所得的弦长是 ( A)
( A)6
(B)5
(C )4
( D )3
(4)点 A(3,5) 是圆 x2 y2 4x 8y 80 0 的一条弦的中点,
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
例2. 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是 的点的轨迹， 求此曲线的轨迹方程，并画出曲线
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
也就是点M属于集合 由两点间的距离公式，得
y M
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4． 所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)， A线(的3，方0程)距，离并的画比出为曲12线的。点的轨迹，求此曲

是不是所有X2+Y2+Dx+Ey+F=0情势 的方程都可以表示一个圆？？
x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得：
(x-D/2)2+(y-E/2)2=(D2+E2-4F)/4
（1）当D2+E2-4F>0，方程表示 以（-D/2, -E/2）为圆心，以 r D2 E 2 4F 为半径的圆。
2
(2)当D2+E2-4F＝0，方程表示一个点 （-D/2, -E/2）。
分析：我们可以利用配方法，解答这些类型的题，同样我 们也可以利用圆的一般方程的判定式来解决。
(3) x2+y2+2ax-b2=0 D=2a, E=0, F=-b2, 所以，D2+E2-4F=4(a2+b2) a=b=0时，4(a2+b2)=0，表示点 a≠0或b≠0时， 4(a2+b2) >0，表示圆。
解得：D=-8,E=6,F=0; 所以圆的一般方程为：
x2+y2-8x+6y=0
(x-4)2+(x+3)2=52
圆心为(4,-3)，半径为5
比较圆的一般方程求解这题和圆的 标准方程求解这题。
可以看出：
(1) 求圆的方程有配方法和待定系数法； (2) 正确选择圆的方程求解问题。
例3.已知一曲线是与两定点O(0,0)，A(3,0）距离的比为1／2 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实 数解，不表示任何图形。
因此，形如二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0， D2+E2-4F>0时， 方程叫做圆的一般方程。

[答案] (0，－1)，1－ 2≤a≤1＋ 2
[解析] 可知圆心坐标为(0，－1)．直线 x＋y＋a＝0 与该圆 |0－1＋a| 有公共点，则 2 2 ≤1，∴1－ 2 ≤a≤1＋ 2. 1 ＋1
6．已知 BC 是圆 x2＋y2＝25 的动弦，且|BC|＝6，则 BC 的 中点的轨迹方程是________．
解法 2：设所求圆的方程为(x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r2， a＝ 7， 6－ a2＋5－ b2＝ r2 2 2 2 由题意得0－ a ＋1－ b ＝ r ，解得b＝－ 3， r＝ 65. 3 a＋ 10b＋ 9＝ 0 所以所求圆的方程为(x－ 7)2＋ (y＋ 3)2＝ 65.
)
[答案] D
[解析] 方程表示以(－2,1)为圆心，半径 r＝ 3 的圆， 令 d＝ x2＋ y2，则 d 为点(x， y)到 (0,0)的距离， ∴ dmax＝ －2－ 02＋1－02＋ r＝ 5＋ 3， ∴ x2＋ y2 的最大值为( 5 ＋ 3)2＝ 14＋ 6 5.
Hale Waihona Puke 5．圆 x2＋(y＋1)2＝1 的圆心坐标是________，如果直线 x ＋y＋a＝0 与该圆有公共点， 那么实数 a 的取值范围是________．
(2)设圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0. 将 P、 Q 点的坐标分别代入得
2 D－ 4E－ F＝ 20 3 D－ E＋ F＝－ 10
① ② ③
又令 y＝ 0，得 x2＋ Dx＋ F＝ 0 设 x1， x2 是方程③的两根．
由|x1－ x2|＝ 6 有 D2－ 4F＝ 36
④
由①②④得 D＝－2，E＝－4，F＝－8 或 D＝－6，E＝－ 8， F＝ 0. 故所求圆的方程为 x2＋ y2－ 2x－ 4y－ 8＝ 0 或 x2＋ y2－ 6x－ 8y ＝ 0.

＝0 的距离为 1，则 a＝( )
A．－43
B．－34
C． 3
D．2
解析 圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心
到直线
ax＋y－1＝0
|a＋4－1| 的距离为 a2＋1 ＝1，解得
a＝－43.故选
A．
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2．(2019·江西南昌模拟)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4 的内部，
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答案
解析 到两直线 3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0 的距离都相等的直线方程为 3x－4y＋5＝0，联立得方程组3y＝x－－4yx＋ －54＝ ，0， 解得xy＝ ＝－ －31，. 又两平行 线间的距离为 2，所以圆 M 的半径为 1，从而圆 M 的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2 ＝1.故选 C．
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(4)圆的一般方程 ①一般方程： 05 __x_2_＋__y_2_＋__D_x_＋__E_y_＋__F_＝__0___； ②方程表示圆的充要条件： 06 __D_2_＋__E_2_－__4_F_>_0__； ③圆心坐标： 07 ___－__D2__，__－__E2____， 半径 r＝ 08 ___12__D__2_＋__E_2－__4_F______.
a－2b－3＝0，
a＝－1， 解得b＝－2，
r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
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2．点与圆的位置关系
(1)理论依据 09 ___点__与__圆__心__的__距__离_____与半径的大小关系．
(2)三个结论 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)，d 为圆心到点 M 的 距离． ① 10 _(_x_0－__a_)_2_＋__(y_0_－__b_)_2＝__r_2_⇔点在圆上⇔d＝r； ② 11 __(x_0_－__a_)2_＋__(_y_0－__b_)_2_>_r_2 _⇔点在圆外⇔d>r； ③ 12 _(_x_0_－__a_)2_＋__(_y_0－__b_)_2_<_r2__⇔点在圆内⇔d<r.

第 3讲圆的方程一、知识梳理1．圆的方程标准方程(x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r2(r >0)一般方程x2＋ y2＋ Dx ＋Ey＋ F＝ 02.点与圆的地点关系点 M(x0， y0)与圆 (x－a)2＋(y－ b)2＝r 2的地点关系．(1)若 M( x0， y0)在圆外，则 (x0－ a)2＋ (y0－ b)2＞ r2.(2)若 M( x0， y0)在圆上，则 (x0－ a)2＋ (y0－ b)2＝ r2.(3)若 M( x0， y0)在圆内，则 (x0－ a)2＋ (y0－ b)2＜ r2.常用结论1．以 A(x1，y1 )， B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为2．二元二次方程表示圆的条件圆心 (a， b)半径为 r条件： D 2＋ E2－4F>0圆心：－D2，－E2半径： r＝1D2＋ E2－ 4F2(x－x1)(x－ x2)＋ (y－ y1)( y－ y2)＝ 0.对于方程 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0 表示圆时易忽略 D 2＋E2－ 4F>0 这一条件．二、教材衍化1．圆 x2＋y2－2x＋ 4y－ 6＝0 的圆心坐标，半径．答案： (1，－ 2)112．若圆的圆心为( －8， 3)，且经过点 (－ 5，0) ，则圆的标准方程为．答案： (x＋8) 2＋ (y－ 3)2＝ 183．在平面直角坐标系中，经过三点(0， 0)， (1， 1)， (2， 0)的圆的方程为．答案： x2＋y2－2x＝ 0一、思虑辨析判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×” )(1)确立圆的几何因素是圆心与半径．()(2)方程 x 2＋ y 2＝ a 2 表示半径为 a 的圆． ( )(3)方程 x 2＋ y 2＋ 4mx － 2y ＋5m ＝ 0 表示圆． ()(4)方程 Ax 2＋ Bxy ＋Cy 2＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0 表示圆的充要条件是 A ＝ C ≠ 0， B ＝ 0，D 2＋ E 2 －4AF>0.()答案： (1)√ (2) × (3) × (4)√ 二、易错纠偏常有误区 (1)忽略方程表示圆的条件 D 2 ＋E 2－ 4F>0；(2)错用点与圆的地点关系判断．1．方程 x 2＋ y 2＋ 4mx － 2y ＋ 5m ＝ 0 表示圆的充要条件是 ()11A. <m<1B ． m< 或 m>1441C ．m<4D ． m>1分析： 选 B. 由(4m)2＋ 4－ 4×5m>0，得 m<1或 m>1.42．点 (1， 1) 在圆 (x － a)2＋ (y ＋ a)2＝ 4 内，则实数 a 的取值范围是 ．分析： 因为点 (1， 1)在圆的内部 ，所以 (1－ a)2＋ (1＋ a) 2<4，所以－ 1<a<1.答案： (－ 1， 1)求圆的方程 (师生共研 )(1)圆心在 x 轴上，半径长为2，且过点A(2， 1)的圆的方程是 ( )A ． (x－ 2－ 3)2＋ y2＝4 B． (x－ 2＋ 3)2＋ y2＝ 4C．( x－ 2± 3)2＋ y2＝4 D． (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 4(2)( 一题多解 )圆心在直线 x－ 2y－ 3＝ 0 上，且过点 A(2，－ 3)， B(－2，－ 5)的圆的方程为．【分析】 (1) 依据题意可设圆的方程为(x－ a)2＋ y2＝ 4，因为圆过点 A(2，1)，所以 (2－a)2＋ 12＝ 4，解得 a＝ 2±3，所以所求圆的方程为 (x－ 2± 3)2＋ y2＝ 4.(2)法一：设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x－ 2y－3＝ 0 上，所以可设点 C 的坐标为 (2a ＋3， a)．又该圆经过A， B 两点，所以 |CA |＝ |CB|，即（2a＋ 3－ 2）2＋（ a＋ 3）2＝（2a＋ 3＋ 2）2＋（ a＋ 5）2，解得 a＝－ 2，所以圆心 C 的坐标为 (－ 1，－ 2)，半径 r ＝10，故所求圆的方程为(x＋ 1)2＋( y＋2) 2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r2，（ 2－a）2＋（－ 3－ b）2＝ r 2，由题意得（－ 2－ a）2＋（－ 5－ b）2＝ r 2，解得 a＝－ 1， b＝－ 2， r 2＝10，a－ 2b－ 3＝ 0，故所求圆的方程为(x＋ 1)2＋( y＋2) 2＝10.法三：设圆的一般方程为x2＋ y2＋ Dx ＋Ey＋ F＝ 0，D E则圆心坐标为－2，－2，D E－2－2× －2 －3＝0，解得 D＝ 2， E＝ 4， F＝－ 5.故所求圆的方程为 x2 由题意得4＋ 9＋ 2D － 3E＋ F＝0，4＋ 25－ 2D －5E＋ F＝ 0，＋y2＋2x＋ 4y－ 5＝ 0.【答案】 (1)C (2)x2＋ y2＋ 2x＋4y－ 5＝ 0求圆的方程的两种方法(1)直接法依据圆的几何性质 ，直接求出圆心坐标和半径，从而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心 (a ， b)和半径 r 有关 ，则设圆的标准方程 ，依照已知条件列出对于a ，b ， r 的方程组 ，从而求出 a ，b ， r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径 ，则选择圆的一般方程 ，依照已知条件列出对于D ， E ， F 的方程组 ，从而求出 D ， E ， F 的值．[提示 ] 解答圆的有关问题 ，应注意数形联合 ，充足运用圆的几何性质．1． (2020 则三角形 OAB 内·蒙古巴彦淖尔月考的外接圆方程是)在平面直角坐标系中，点．O(0， 0)， A(2， 4)， B(6， 2)，分析： 设三角形OAB 的外接圆方程是x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0，由点O(0，0)，A(2，4)，F＝0，F＝0，B(6，2)在圆上可得4＋ 16＋2D ＋4E＋ F＝ 0，解得D＝－ 6，故三角形的外接圆方程为x2＋36＋ 4＋ 6D ＋2E＋F＝ 0，E＝－ 2，y2－ 6x－ 2y＝ 0.答案： x2＋y2－6x－ 2y＝ 02．若圆 C 经过坐标原点与点(4， 0)，且与直线 y＝ 1 相切，则圆 C 的方程是．分析：因为圆的弦的垂直均分线必过圆心且圆经过点(0， 0)和 (4， 0)，设圆心为 (2，m)，又因为圆与直线 y＝ 1 相切，所以 22＋ m2＝ |1－ m|，解得 m＝－3，2所以圆 C 的方程为 (x－ 2)2＋3 2 25 y＋2 ＝4 .3 2 25答案： (x－2) 2＋ y＋2 ＝ 4与圆有关的最值问题(多维研究 ) 角度一借助几何性质求最值已知实数x，y 知足方程x2＋ y2－ 4x＋ 1 ＝0.y(1)求的最大值和最小值；(2)求 y－ x 的最大值和最小值；(3)求 x2＋ y2的最大值和最小值．【解】原方程可化为(x－ 2)2＋ y2＝ 3，表示以 (2， 0)为圆心，3为半径的圆．(1)y的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，x所以设yx＝ k，即 y＝kx.当直线 y＝ kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k－0|＝3，解得 k＝± 3(如k2＋ 1图 1)．所以yx的最大值为 3，最小值为－ 3.(2)y－ x 可看作是直线y＝x＋ b 在 y 轴上的截距，当直线 y＝x＋ b 与圆相切时，纵截距 b获得最大值或最小值，此时|2－0＋b|＝3，解得 b＝－ 2± 6(如图 2)．2所以y－x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处获得最大值和最小值(如图3) ．又圆心到原点的距离为（ 2－ 0）2＋（ 0－ 0）2＝ 2，所以x2＋ y2的最大值是(2＋3)2＝ 7＋ 43， x2＋ y2的最小值是(2－3)2＝ 7－ 4 3.与圆有关的最值问题的三种几何转变法y－ b(1)形如μ＝形式的最值问题可转变为动直线斜率的最值问题．(2)形如 t＝ ax＋ by 形式的最值问题可转变为动直线截距的最值问题．(3)形如m＝ (x－ a) 2＋ (y－ b)2形式的最值问题可转变为动点到定点的距离的平方的最值问题．角度二成立函数关系求最值设点 P(x，y)是圆： (x－ 3)2＋y2＝4 上的动点，定点 A(0， 2)， B(0，－→ →．2)，则 |PA＋ PB|的最大值为【分析】→→→→由题意，知 PA＝ (－ x，2－ y)，PB＝ (－ x，－2－ y)，所以 PA ＋PB ＝ (－ 2x，－2y) ，因为点 P(x， y)是圆上的点，故其坐标知足方程(x－ 3)2＋ y2＝ 4，故 y2＝－ (x－ 3)2＋4，→ →4x2＋ 4y2＝ 2 6x－ 5.由圆的方程 (x－ 3)2＋ y2＝ 4，易知 1≤x≤ 5，所以当 x＝所以 |PA＋PB|＝→→5 时， |PA＋ PB|的值最大，最大值为 2 6× 5－ 5＝ 10.【答案】10成立函数关系式求最值依据已知条件列出有关的函数关系式，再依据关系式的特点采用基本不等式、函数单一性等方法求最值．1．(2020 河·南郑州模拟 )设点 P(x，y)是圆： x2＋ (y－ 3)2＝ 1 上的动点，定点 A(2，0)，B(－→ →．2， 0)，则 PA·PB的最大值为→→→ →分析：由题意，知 PA＝ (2－ x，－ y)， PB ＝ (－ 2－ x，－ y)，所以 PA·PB＝ x2＋ y2－ 4，由于点 P(x，y)是圆上的点，故其坐标知足方程→ →x2＋ (y－ 3)2＝ 1，故 x2＝－ (y－ 3) 2＋ 1，所以 PA·PB＝－－2＋＋2－＝－易知≤ ≤ ，所以，当＝时，→ →的值最大，最大值(y 3) 1 y 4 6y 12. 2 y 4y 4PA·PB为 6× 4－ 12＝ 12.答案： 122．设点 P 是函数 y＝－4－（ x－ 1）2图象上的随意一点，点 Q 坐标为 (2a，a－3)(a∈ R )，则|PQ|的最小值为．分析：函数 y＝－4－（ x－ 1）2的图象表示圆 (x－ 1)2＋ y2＝4 的下半圆 (包含与 x 轴的交点) ．令点 Q 的坐标为 (x， y)，则x＝2a，得 y＝x－ 3，即 x－ 2y－ 6＝ 0，作出图象如图所y＝ a－ 3，2示．|1－ 2× 0－ 6|因为圆心 (1，0)到直线 x－ 2y－ 6＝ 0 的距离 d＝12＋（－2）2＝ 5>2，所以直线 x－ 2y －6＝ 0 与圆 ( x－1) 2＋y2＝4 相离，所以 |PQ|的最小值是 5－ 2.答案：5－ 2与圆有关的轨迹问题(师生共研 )已知 A(2，0) 为圆 x2＋ y2＝ 4 上必定点，B(1， 1)为圆内一点，P， Q 为圆上的动点．(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若∠ PBQ＝ 90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解】(1)设 AP 的中点为 M (x， y)，由中点坐标公式可知， P 点坐标为 (2x－ 2， 2y)．因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上，所以 (2x－ 2)2＋ (2y)2＝ 4.故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1) 2＋ y2＝ 1.(2)设 PQ 的中点为N(x， y)，在 Rt△PBQ 中， |PN|＝ |BN|，设 O 为坐标原点，连结 ON，则 ON⊥ PQ，所以 |OP|2＝ |ON|2＋ |PN |2＝ |ON|2＋ |BN|2，所以 x2＋ y2＋ (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 4.故线段 PQ 中点的轨迹方程为x2＋ y2－ x－ y－ 1＝0.与圆有关的轨迹问题的四种求法已知 Rt△ ABC 的斜边为 AB，且 A(－1， 0)， B(3， 0)．求：(1)直角极点 C 的轨迹方程；(2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程．解： (1)法一：设 C(x， y)，因为 A， B，C 三点不共线，所以 y≠ 0.因为 AC ⊥BC，所以 k AC· k BC＝－ 1，又 k AC＝y， k BC＝y，x＋ 1x－3y y所以·＝－1，化简得 x2＋y2－ 2x－ 3＝ 0.所以，直角极点 C 的轨迹方程为x2＋ y2－ 2x－ 3＝ 0(y≠0) ．法二： 设 AB 的中点为 D ，由中点坐标公式得 D(1， 0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝ 2.由圆的定义知 ，动点 C 的轨迹是以 D (1，0)为圆心 ，2 为半径的圆 (因为 A ，B ，C 三 点不共线 ，所以应除掉与x 轴的交点 )．所以直角极点 C 的轨迹方程为 (x － 1)2＋ y 2＝ 4(y ≠ 0)．(2)设 M( x ，y)，C(x ， y )，因为 B(3 ，0)，M 是线段 BC 的中点 ，由中点坐标公式得x ＝x ＋ 3y ＋ 0， y ＝ 02 2 ，所以 x 0＝ 2x －3， y 0＝ 2y.由 (1)知，点 C 的轨迹方程为 (x － 1)2＋ y 2＝ 4(y ≠ 0)，将 x 0＝ 2x － 3， y 0＝ 2y 代入得 (2x － 4)2＋ (2y)2＝ 4，即 (x － 2)2＋ y 2＝ 1.所以动点 M 的轨迹方程为 (x － 2)2＋ y 2＝ 1(y ≠ 0)．[基础题组练 ]1．已知圆 C 的圆心为 (2，－ 1)，半径长是方程 (x ＋ 1)(x － 4)＝ 0 的解，则圆 C 的标准方程为 ()A ． (x ＋ 1)2＋( y －2) 2＝ 4B ． (x － 2)2＋ (y － 1)2＝ 4C ．( x － 2) 2＋ (y ＋1) 2＝ 16分析： 选 C.依据圆 C 的半径长是方程D ． (x ＋ 2)2＋ (y － 1)2＝ 16(x ＋ 1)(x － 4)＝ 0 的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为(x － 2)2＋ (y ＋ 1)2＝ 16.2． (2020·北九校第二次联考河)圆 C的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋ 4y＋4＝ 0 与圆C 相切，则圆C 的方程为()A ． x 2－ y 2 －2x － 3＝ 0B ． x 2＋ y 2＋ 4x ＝ 0C ．x 2＋ y 2－ 4x ＝ 0D ． x 2＋ y 2＋ 2x － 3＝ 0分析：选 C.由题意设所求圆的方程为( x－ m)2＋ y2＝ 4(m>0)，则|3m＋4|＝ 2，解得 m＝ 2 32＋ 42或 m＝－14(舍去 )，故所求圆的方程为 (x－ 2)2＋ y2＝ 4，即 x2＋ y2－ 4x＝ 0，应选 C. 33．方程 |x|－ 1＝ 1－（ y－ 1）2所表示的曲线是 ()A ．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆（ |x|－ 1）2＋（ y－ 1）2＝ 1，分析：选 D. 由题意得|x|－ 1≥ 0，（x－ 1）2＋（ y－1）2＝ 1，（ x＋1）2＋（ y－ 1）2＝ 1，即或x≥ 1 x≤ －1.故原方程表示两个半圆．4． (2020 河·南焦作模拟 )圆 x2＋ y2－ 2x－ 2y＋1＝ 0 上的点到直线x－ y＝2 距离的最大值是( )A．1＋ 2 B． 22C．1＋2 D． 2＋2 2分析：选 A. 将圆的方程化为 (x－ 1)2＋ (y－1) 2＝ 1，圆心坐标为 (1，1)，半径为 1，则圆心到直线 x－ y＝2 的距离 d＝|1－1－2|＝ 2，故圆上的点到直线 x－ y＝ 2 距离的最大值为d＋ 1 2＝2＋1，选 A.5．点 P(4，－ 2)与圆 x2＋ y2＝ 4 上任一点连线的中点的轨迹方程是()A ． (x－ 2)2＋( y＋1) 2＝ 1 B． (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 4C．( x＋ 4) 2＋ (y－2) 2＝ 4 D． (x＋ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 1x＝4＋x0，分析：选 A. 设圆上任一点为 Q(x0， y0) ，PQ 的中点为 M(x， y)，则2解得－ 2＋ y0，y＝2x0＝ 2x－ 4，因为点Q 在圆 x2＋ y2＝ 4 上，所以 x2＋ y2＝ 4，即 (2x－4) 2＋ (2y＋ 2)2＝ 4，化简00y0＝ 2y＋ 2.得( x－2) 2＋ (y＋ 1)2＝ 1.6．已知 a∈ R，方程 a2x2＋ (a＋ 2)y2＋ 4x＋ 8y＋ 5a＝0 表示圆，则圆心坐标是，半径是．分析：已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝ 2 或a＝－ 1.当 a＝2 时，方程不知足表示圆的条件，故舍去．当 a ＝－ 1 时，原方程为 x 2＋ y 2＋ 4x ＋ 8y － 5＝0， 化为标准方程为 (x ＋2) 2＋ (y ＋ 4)2＝ 25，表示以 (－ 2， － 4)为圆心 ，半径为 5 的圆． 答案： (－ 2，－ 4) 57．过两点 A(1，4) ，B(3， 2)且圆心在直线 y ＝ 0 上的圆的标准方程为．分析： 设圆的标准方程为 (x －a)2＋ (y － b)2＝ r 2.因为圆心在直线 y ＝ 0 上，所以 b ＝ 0，所（ 1－ a ） 2＋ 16＝ r 2，以圆的方程为 (x － a)2＋ y 2＝ r 2 .又因为该圆过A(1，4)，B(3，2)两点 ，所以（ 3－ a ） 2＋ 4＝ r 2，a ＝－ 1， (x ＋ 1)2＋ y 2＝ 20.解得所以所求圆的方程为r 2＝ 20.答案： (x ＋1) 2＋ y 2＝ 208．若圆 C 与圆 x 2＋ y 2＋ 2x ＝ 0 对于直线 x ＋ y － 1＝ 0 对称，则圆 C 的方程是．分析： 设 C( a ， b)，因为已知圆的圆心为 A(－ 1， 0)，由点 A ，C 对于 x ＋y － 1＝ 0 对称b × （－ 1）＝－ 1，a ＋ 1得a － 1＋b－ 1＝ 0，22a ＝ 1， 1，解得又因为圆的半径是b ＝ 2.所以圆 C 的方程是 (x － 1)2＋ (y － 2)2＝ 1， 即 x 2＋ y 2－ 2x －4y ＋ 4＝ 0. 答案： x 2＋y 2－2x － 4y ＋ 4＝09．求合适以下条件的圆的方程．(1)圆心在直线 y ＝－ 4x 上，且与直线 l ： x ＋ y － 1＝ 0 相切于点 P (3，－ 2)；(2)过三点 A(1， 12)， B(7，10)， C(－ 9， 2)．解 ： (1) 法 一 ： 设 圆 的 标 准 方 程 为 ( x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r 2 ， 则 有 b ＝－ 4a ，（ 3－a ） 2＋（－ 2－ b ） 2＝ r 2， |a ＋ b － 1|＝ r ， 2解得 a ＝ 1， b ＝－ 4， r ＝ 2 2.所以圆的方程为 (x －1) 2＋ (y ＋ 4)2＝ 8.法二： 过切点且与 x ＋y － 1＝ 0 垂直的直线为 y ＋ 2＝ x － 3，与 y ＝－ 4x 联立可求得圆心为(1， － 4)．所以半径 r ＝ （ 1－ 3） 2＋（－ 4＋ 2） 2＝ 22，所以所求圆的方程为 (x － 1)2＋ (y ＋ 4)2＝ 8.(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx ＋ Ey＋ F ＝0(D 2＋ E2－4F ＞ 0)，1＋144＋ D＋ 12E＋ F＝ 0，则 49＋ 100＋ 7D＋ 10E＋ F＝0，81＋ 4－ 9D ＋2E＋ F＝ 0.解得 D ＝－ 2， E＝－ 4， F＝－ 95.所以所求圆的方程为x2＋ y2－ 2x－ 4y－ 95＝ 0.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A(－ 1，0)和 B(3， 4)，线段 AB 的垂直均分线交圆P 于点 C 和 D ，且 |CD|＝ 4 10.(1)求直线 CD 的方程；(2)求圆 P 的方程．解： (1)由题意知，直线 AB 的斜率 k＝ 1，中点坐标为 (1， 2)．则直线 CD 的方程为y－ 2＝－ (x－1)，即 x＋ y－3＝ 0.(2)设圆心 P( a， b)，则由点 P 在 CD 上得 a＋b－ 3＝ 0.①又因为直径 |CD|＝ 4 10，所以 |PA|＝ 2 10，所以 (a＋ 1)2＋ b2＝ 40.②a＝－ 3，a＝ 5，由①② 解得或b＝－ 2.b＝ 6，所以圆心 P(－ 3，6)或 P(5，－ 2)．所以圆 P 的方程为 (x＋ 3)2＋ (y－ 6)2＝ 40 或 (x－ 5)2＋ (y＋ 2)2＝ 40.[综合题组练 ]x≥ 0，1． (应用型 ) 已知平面地区y≥ 0，恰巧被面积最小的圆C： (x－ a) 2＋ (y－ b)2＝ r 2x＋ 2y－4≤ 0及其内部所覆盖，则圆 C 的方程为．分析：由题意知，此平面地区表示的是以O(0， 0)， P(4，0)， Q(0，2)所组成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△ OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点 (2， 1)，半径 r＝|PQ|＝ 5，2所以圆 C 的方程为 (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 5.答案： (x－2) 2＋ (y－ 1)2＝ 52．已知 A(0， 2)，点 P 在直线 x＋y＋ 2＝ 0 上，点 Q 在圆 C：x2＋y2－ 4x－ 2y＝0 上，则|PA|＋ |PQ|的最小值是．分析：因为圆 C：x2＋ y2－ 4x－ 2y＝ 0，故圆 C 是以 C(2，1)为圆心，半径 r ＝5的圆．设m＋ 0＋ n＋2＋2＝0，2 2点 A(0， 2)对于直线x＋ y＋2＝ 0 的对称点为A′(m， n)，故n－ 2＝1，m－ 0解得m＝－ 4，故 A′(－4，－ 2)．n＝－ 2，连结 A′C 交圆 C 于 Q，由对称性可知|PA|＋ |PQ|＝ |A′P|＋ |PQ|≥ |A′Q|＝ |A′C|－ r＝ 2 5.答案：2 53．(2018 高·考全国卷Ⅱ )设抛物线 C： y2＝ 4x 的焦点为F，过 F 且斜率为k(k＞0)的直线l与 C 交于 A， B 两点， |AB|＝ 8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．解： (1)由题意得F(1， 0)，l 的方程为y＝ k(x－1)(k>0)．设 A(x1， y1)， B(x2， y2)．y＝k（ x－ 1），由得 k2x2－ (2k2＋4)x＋ k2＝ 0.y2＝ 4x2k2＋ 4＝ 16k2＋16>0，故 x1＋x2＝k 2 .所以 |AB|＝ |AF|＋ |BF |＝(x1＋ 1)＋ (x24k2＋ 4 ＋ 1)＝k2 .由题设知4k2＋ 4k2 ＝ 8，解得 k＝－ 1(舍去 )， k＝ 1.所以 l 的方程为 y＝ x－1.(2)由 (1) 得 AB 的中点坐标为 (3，2)，所以 AB 的垂直均分线方程为y－ 2＝－ (x－ 3)，即 y ＝－ x＋ 5.设所求圆的圆心坐标为 (x0， y0)，y0＝－ x0＋ 5，则（ x0 ＝（ y0－ x0＋ 1） 22 ＋ 16.＋ 1） 2x ＝ 3，x ＝11，0 0解得或y ＝ 2 y ＝－ 6.0 0所以所求圆的方程为 (x－ 3)2＋ (y－ 2)2＝ 16 或 (x－ 11)2＋ (y＋ 6)2＝144.4．已知圆 C 的方程为 x2＋ (y－ 4)2＝ 1，直线 l 的方程为2x－y＝ 0，点 P 在直线 l 上，过点 P 作圆 C 的切线 PA， PB，切点分别为 A， B.(1)若∠ APB＝ 60°，求点 P 的坐标；(2)求证：经过A，P， C( 此中点 C 为圆 C 的圆心 )三点的圆必经过定点，并求出全部定点的坐标．解：(1)由条件可得圆 C 的圆心坐标为 (0，4)，|PC |＝2，设 P(a ，2a)，则 a 2＋（ 2a － 4）2＝ 2，6解得 a ＝ 2 或 a ＝ ，6 12所以点 P 的坐标为 (2， 4)或 5，5 .(2)证明： 设 P(b ， 2b)，过点 A ，P ，C 的圆即是以 PC 为直径的圆 ，其方程为 x(x － b)＋(y － 4)(y － 2b) ＝ 0，整理得 x 2＋y 2－ bx － 4y － 2by ＋ 8b ＝ 0，即 (x 2＋ y 2－ 4y)－ b(x ＋ 2y －8)＝ 0. x 2＋ y 2－ 4y ＝ 0， x ＝ 0，8，x ＝ 5由 解得 或16x ＋2y － 8＝ 0 y ＝ 4y ＝ ，58 16所以该圆必经过定点 (0， 4)和 5， 5 .2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第九章第3讲圆的方程Word版含答案21 / 21。

5. 圆的方程的求法: ①代入法 ②待定系数法
例1(1)已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3)，求以P1P2 为直径的圆的方程.
(x 5)2 + ( y 6)2 = 10
(2) 判断点M(6, 9)、N(3, 3)、Q(5, 3)是在圆 上，在圆内，还是在圆外.
M在圆上，N在圆外，Q在圆内．
(3) 经过点P(5，1)，且圆心在C(8， 3). (x 8)2 + ( y + 3)2 = 25
例3 求圆心在C(1， 2)，半径为 2 5 的圆 被x 轴所截得的弦长 .
法1(方程法) 圆的方程为 (x 1)2 + ( y + 2)2 = 20，
令y = 0，x 1 = 4，可得弦长为8.
《圆的标准方程》
问题： (1) 求到点C(1, 2)距离为2的点的轨迹方程. (x 1)2 + ( y 2)2 = 4
(2) 方程(x 1)2 + ( y 2)2 = 4表示的曲线是 什么？
以点C(1, 2)为圆心， 2为半径的圆.
1.圆的定义： 平面内与定点的距离等于定长的点的集
合(轨迹)叫做圆. 2.圆的标准方程:
约为3.86m
0.01m).
例5 已知圆的方程x2 + y2 = r2，求经过 圆上一点M(x0，y0)的切线方程．
一般地，过圆(x a)2 + ( y b)2 = r2上一点 M(x0，y0)的切线方程为 (x0 a)(x a) + ( y0 b)( y b) = r2．
小结:
本课研究了圆的标准方程推导过程，对于 这个方程必须熟记并能灵活应用. 从三道例题 的解题过程，我们不仅仅要理解和掌握解题的 思想方法，也要学会从中发现和总结出规律性 的内在联系.

圆锥曲线简介
包括椭圆、双曲线和抛物线，是高中数学的重要内容之一。
学习建议和方法指导
01
02
03
04
深入理解圆的标准方程及其性 质，掌握直线与圆的位置关系
判断方法。
通过练习不同类型的题目，提 高解题能力和思维水平。
注重数形结合思想的应用，将 几何图形与代数表达式相结合
，更好地理解问题本质。
多与同学交流讨论，分享学习 心得和解题方法，共同进步。
拓展延伸内容介绍
圆的参数方程
$left{ begin{array}{l} x = a + rcostheta y = b + rsintheta end{array} right.$，其 中$theta$为参数，表示圆上点相对于$x$轴的角度。
圆的极坐标方程
$rho = 2rcos(theta - alpha)$，其中$rho$为极径，$theta$为极角，$alpha$为圆心 相对于极点的角度。
典型例题解析与思路拓展
• 例题1：已知圆C的方程为$x^2 + y^2 = r^2$，点P为圆C上一点，且点P到 直线l的距离为d。求证：直线l与圆C相切当且仅当d等于r。
• 解析与思路拓展：要证明直线l与圆C相切当且仅当d等于r，我们可以利用切线 的性质及点到直线的距离公式进行推导。首先，根据切线的性质，我们知道切 线到圆心的距离等于半径。然后，利用点到直线的距离公式计算出点P到直线l 的距离d，并将其与半径r进行比较。最终得出结论：当且仅当d等于r时，直 线l与圆C相切。
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设圆上任意一点为 $P(x, y)$， 圆心为 $O(a, b)$，则 $PO$ 的距离 $|PO| = sqrt{(x a)^{2} + (y - b)^{2}}$。

课时作业45 圆的方程一、选择题1．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为( )．A ．x 2＋y 2－2x －1＝0B ．x 2＋y 2－2x －3＝0C ．x 2＋y 2＋2x －1＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝02．如果圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝1关于直线l ：mx ＋4y －1＝0对称，则直线l 的斜率为( )．A ．4B ．－4 C.14 D ．－14 3．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)4．(2012重庆高考)设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( )．A ．1 B. 2 C. 3 D ．25．圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )．A ．(x －1)2＋(y －3)2＝⎝⎛⎭⎫185 2B ．(x －3)2＋(y －1)2＝⎝⎛⎭⎫1652 C ．(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝9 D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9 6．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是( )．A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x7．已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )．A ．6 B.112 C ．8 D.212二、填空题8．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为__________．9．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为____________________．10．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是__________．三、解答题11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．12．已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点．(1)求P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值；(2)求x －2y 的最大值和最小值；(3)求y －2x －1的最大值和最小值．参考答案一、选择题1．B 解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，∴圆的标准方程是(x －1)2＋y 2＝4，展开得x 2＋y 2－2x －3＝0.2．D 解析：依题意，得直线mx ＋4y －1＝0经过点(－3,1)，所以－3m ＋4－1＝0.所以m ＝1，故直线l 的斜率为－14. 3．A 解析：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2＋62－4·5a ＞0，即a ＜2.由圆心在直线上，可得b ＝－2，∴a －b ＜4.4．D 解析：由已知条件可知直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心，所以AB 为圆x 2＋y 2＝1的直径，|AB |＝2，故选D. 5．C 解析：设圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a ，3a (a ＞0)， 则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d (a )＝⎪⎪⎪⎪3a ＋12a ＋35＝35⎝⎛⎭⎫a ＋4a ＋1≥35(4＋1)＝3， 当且仅当a ＝2时等号成立．此时圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，圆的半径为3，方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝9. 6．B 解析：作图可知圆心(1,0)到P 点距离为2，所以P 在以(1,0)为圆心，以2为半径长的圆上，其轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.7．B 解析：如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y －3＝1，即3x －4y －12＝0， 圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋(－4)2＝165， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫165－1＝112. 二、填空题8.2 解析：∵方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.∴圆心为(1，－2)．∴点(1，－2)到直线x －y －1＝0的距离d ＝|1＋2－1|2＝ 2. 9．(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝254解析：对于直线3x －4y ＋12＝0，当x ＝0时，y ＝3； 当y ＝0时，x ＝－4.即以两点(0,3)，(－4,0)为端点的线段为直径，则r ＝32＋422＝52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，32，即⎝⎛⎭⎫－2，32. ∴圆的方程为(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝254. 10．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 解析：由题意可设圆心A (a ，a )， 如图，则22+22=2a 2，解得a =±2，r 2=2a 2=8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.三、解答题11．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)，∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，∴|P A |＝210.∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．解：(1)圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|3×(－2)＋4×0＋12|32＋42＝65. ∴P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为d ＋r ＝65＋1＝115，最小值为d －r ＝65－1＝15. (2)设t ＝x －2y ，则直线x －2y －t ＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点．∴|－2－t |12＋22≤1.∴－5－2≤t ≤5－2. ∴t max ＝5－2，t min ＝－2－ 5.(3)设k ＝y －2x －1， 则直线kx －y －k ＋2＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点，∴|－3k ＋2|k 2＋1≤1.∴3－34≤k ≤3＋34. ∴k max ＝3＋34，k min ＝3－34.。

2r2=(a-b)2+14.①
∵所求圆与 y 轴相切,∴r2=a2,②
又∵所求圆的圆心在直线 x-3y=0 上,
∴a-3b=0,③
= -3,
= 3,
联立①②③,解得 = 1, 或 = -1,
2 = 9
2 = 9.
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9,
-9考点1
考点2
考点3
(2)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
将 P,Q 两点的坐标分别代入得
2-4- = 20,①
3- + = -10.②
在圆C的方程中令y=0,得x2+Dx+F=0.③
设x1,x2是方程③的两根,
由|x1-x2|=6,即(x1+x2)2-4x1x2=36,
与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为(A
)
A.(x-1)2+(y-1)2=5
B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+y2=5
D.x2+(y-1)2=5
解析:由题意,得圆心在直线2x-y-1=0上,将点(a,1)代入可得a=1,即
|2-1+4|
= √5 ,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2
半径:r= 2 +2 -4
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),
(1)(x0-a)2+(y0-b)2 = r2⇔点在圆上;