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第六讲、直线和圆的方程
四、 平面解析几何初步
（一）直线与方程
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
4.掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
5.会求两直线的交点坐标。
6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
（二）圆与方程
1.掌握圆的标准方程与一般方程。
2.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
4.初步了解用代数方法处理几何问题。
（三）空间直角坐标系
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。
2.了解空间两点间的距离公式。
直线方程 1数轴上两点间距离公式：
B x x AB -=2直角坐标平面内的两点间距离公式：22122121)()(y y x x P P -+-=
3直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角 当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° 可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 4直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k =tan α（α≠90°）
倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞） 5直线的方向向量：设F 1（x 1，y 1）、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量21F F =（x 2－x 1，y 2－y 1）称为直线的方向向量向量121x x -21F F =（1，1212x x y y --）=（1，k ）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率特别地，垂直于x 轴的直线的一个方向向量为a ＝(0,1) 6求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k =tan α
②公式法：已知直线过两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），且x 1≠x 2，则斜率k 1212x x y y -- ③方向向量法：若a =（m ，n ）为直线的方向向量，则直线的斜率k m n 平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率
对于直线上任意两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），当x 1=x 2时，直线斜率k 不存在，倾斜角α=90°；当x 1≠x 2时，直线斜率存在，是一实数，并且k ≥0时，α=arctan k ；k ＜0时，α=π+arctan k 7直线方程的五种形式
点斜式：)(00x x k y y -=-， 斜截式：b kx y +=，两点式：121121x x x x y y y y --=--， 截距式：1=+b
y a x ，一般式：0=++C By Ax 两直线的位置关系
1．特殊情况下的两直线平行与垂直．
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；
(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直
2．斜率存在时两直线的平行与垂直：
两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠
已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ，
2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A
1l ∥2l 的充要条件是2
12121C C B B A A ≠= ⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是1k 和2k ，则这两条直线垂直的充要条件是121-=k k ．
已知直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：0111=++C y B x A ，
2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ． 3直线1l 到2l 的角的定义及公式：
直线1l 按逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角,叫做1l 到2l 的角 1l 到2l 的角θ：0°＜θ＜180°， 如果.2,1,012121πθ=
-==+则即k k k k 如果0121≠+k k ，12121tan k k k k +-=
θ 4．直线1l 与2l 的夹角定义及公式:
1l 到2l 的角是1θ, 2l 到1l 的角是π-1θ,当1l 与2l 相交但不垂直时, 1θ和π-1θ仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角当直线1l ⊥2l 时,直线1l 与2l 的夹角是2
π夹角α：0°＜α≤90° 如果.2,1,012121πα=
-==+则即k k k k 如果0121≠+k k ，1
2121tan k k k k +-=α 5．两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：
⎩⎨⎧=++=++002
22111C y B x A C y B x A 是否有惟一解 6．点到直线距离公式：
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200B A C By Ax d +++=
7．两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ， 2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为222
1B A C C d +-= 8 直线系方程:若两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 有交点，则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A ++＋0)(222=++C y B x A λ或)(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数)
