第七讲 定义新运算和找规律解题

定义新运算与找规律（二）整式的加减100％第七讲定义新运算与找规律（二）课程预览定义新运算与找规律（二）定义新运算找规律趣味课堂定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行． 注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．程序运算：程序运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．例1． （1）若A ❀B 表示()()3A B A B +⨯-，则()32-❀()23-=________．（2）定义新运算为1b a b a a b =-+-M ，则()()2612=M M M _______．（3）运算*按右表定义，如321*=，那么()()2413***的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（4）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：2a a b b ⊕=+，()1ba b a ⊗=--， 那么()()42112⊗⊗⊕⊕=⎡⎤⎣⎦__________．（5）定义运算“∆”，对于两个有理数a 、b ，有()a b ab a b ∆=-+， 则()()2211m m ∆-∆∆=⎡⎤⎣⎦________．* 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 3 1 4 2 3 2 1 3 4 44321课堂笔记点点精讲 定义符号定义符号 定义程序定义新运算板块一 定义新运算第七讲 定义新运算与找规律（二）例2．定义运算：()()()()1111121a b a a a a b b∆=++++++-，（1）当4321x ∆=时，x =___________；（2）当2105y ∆=时，y =___________；（3）当20152016m n ∆=时，m =___________，n =___________．例3．（1）定义一种新运算“⊕”：S a b =⊕，其运算原理如图1所示的程序框图，则式子5436⊕-⊕=___________．（2）对正整数n 定义()!11n n n =⨯-⨯⨯，如图2是求10!的程序框图，则在判断框内应填的条件是（ ） A ．10i < B ．10i > C ．11i ≤D ．10i ≤定义程序 开始输入a 、b()1S a b =+()1S b a =+?a b >输出S 结束 是否 图1图2开始输入ns s i =⨯输出S结束否 1i =，1s =1i i =+ 是例4．按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，请你探索第2015次输出的结果为______________．1. 定义运算“*”：a ba b a b⨯*=+． （1）20151111*****=个________________；（2）若20155526a a a a ******=个，则a =________________．2. 下图程序输出结果为________________．点点精练 1a =，1b =2b b =是否3a ≤1a a =+开始 结束输出结果 输入x5x +12x 输出x 为奇数x 为偶数第七讲 定义新运算与找规律（二）常见数列： 1 3 5 7 9 …… 21n -（n 为正整数）2 4 6 8 10 …… 2 4 8 16 32 …… 2 5 10 17 26 …… 03 8 15 24 …… 2 6 12 20 30 …… 1 3 6 10 15 ……11 23 5…… （斐波那契数列）x -x +x -x +x -…… x + x -x + x -x +……例5． 定义一个新的数字i ，已知21i =-，4221i i i =⋅=，54i i i i =⋅=，以此类推，则2016i =______．例6． 定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数． 如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依次类推，则2016a =_______．例7．一列数0b ，1b ，2b ，…，具有下面的规律，21n n b b +=，221n n n b b b ++=+，若01b =，则2015b =_______．课堂笔记 点点精讲找规律数字规律表格规律板块二 找规律数字字母规律图形规律例8． 定义一种对于三位数abc （a 、b 、c 不完全相同）的“F 运算”：重排的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为0）． （1）579经过三次“F 运算”得__________；（2）假设abc 中a b c >>，则abc 经过一次“F 运算”得______（用代数式表示）；（3）猜想：任意一个三位数经过若干次“F 运算”都会得到一个定值_______．例9．由于()()()111nn n ⎧-⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数，所以我们通常把()1n -称为符号系数．（1）一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是_______，第n 个式子是________（n 为正整数）．（2）观察下列单项式：13x -，2215x ，3335x -，4463x ，…按此规律，第五个单项式是________，第n 个单项式是__________；（3）计算：()122n a b a b+-+-； （4）请你根据（2）式写出一个当n 为偶数时值为1，当n 为奇数时值为0的式子．例10．（1）观察下列等式：111122⨯=-，222233⨯=-，333344⨯=-，…， 则n 个等式是______________________；（2）已知2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，…， 若288a ab b+=⨯（a 、b 为正整数），则a b +=___________；第七讲 定义新运算与找规律（二）（3）何小旭在一本书中发现了下面三个奇怪的等式：11313122+=⨯；558.218.213636+=⨯；121231312525+=⨯何小旭想除了上述三个之外应该还有这样奇怪的式子，于是何小旭进一步研究， 不但写出了很多奇怪的等式，还找到了内在的规律：如果一个数为()bb a a>， 另一个数为______时（用a 、b 表示），可以构成类似上述奇怪的等式．例11．如图，正方形ABCD 、DEFH 的边长都是5cm ，点P 从点D 出发，到点A ，然后沿箭头所指方向运动（经过点D 时不拐弯），则从出发开始连续运动2014cm 时，它离______点最近，此时它距该点_________cm ．例12．如图，已知青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若它停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从标有数字5的顶点开始跳，第一次跳后落在标有数字2的顶点上，第二次跳落在标有数字1的顶点上，…，则第2016次跳后所停的顶点对应的数字为（ ） A ．5B ．2C ．3D ．4例13．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ） A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿黄 绿 蓝 紫图形规律ABDEFH12345例14．正整数按下图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字_________．例15．已知2m ≥，2n ≥，且m 、n 均为正整数，若将n m 进行如下方式的“分解”，则：（1）在52的“分解”中最大的数是__________；（2）若3m 的“分解”中最小的数是31，则m =_________．例16．在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a ij (其中i ，j 都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数a ij ，规定如下：当i j ≥时，1ij a =；当i j <时，0ij a =．例如：当2i =，1j =时，211ij a a ==．按此规定，13a =_____；表中的25个数中，共有_____个1；计算：111122133144155i i i i i a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅的值为________．表格规律1251017...4361118 (9)871219...1615141320 (25242322)21......↓↓↓↓←↓↓↓←←↓↓←←←↓←←←←第一列第二列第三列第四列第五列第一行第二行第三行第四行第五行1 1 233322 3 5 7 9 3235 427 94325 27 2911 343 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15a 21a 22 a 23 a 24 a 25 a 31a 32 a 33 a 34 a 35 a 41a 42 a 43 a 44 a 45 a 51a 52 a 53 a 54 a 55第七讲 定义新运算与找规律（二） 1. 2015201523+的个位数字是________．2. 探究数学“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ，我们称它为数字“黑洞”．则T =_______．3. 已知下列等式：①3211=②332123+=③33321236++=④33332123410+++=……由此规律可知，第n 个等式是_______________________．4. 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A 、B 、C 、D ．请你按图中箭头所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式）从A 开始数连续的正整数：1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是______；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是______；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是___________（用含n 的代数式表示）．点点精练横扫学霸1.把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，…，点O处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点A接触时，指针指向_______（东、南、西、北），当圆与2012所对应的点接触时，指针指向_______（东、南、西、北）．2.观察下列等式：1223113221⨯=⨯；1334114331⨯=⨯；2335225332⨯=⨯；3447337443⨯=⨯；⨯=⨯；…6228668226以上每个等式中两边数字分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们成这类的等式为“数字对称等式”．（1）根据上述格式反应的规律填空，使式子成为“数字对称等式”；①______⨯275=572⨯_______；②请写一个“数字对称等式”：______⨯______=_______⨯_______；（2）设这类等式左边两位数的十位数为a，个位数字为b，且29≤+≤，写出表示“数a b字对称等式”一般规律式子（含a、b，不化简）；第七讲 定义新运算与找规律（二）3. 将1，2，3，…，100，这100个自然数任意分成50组，每组两个数，将其中一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式()13a b a b +--中计算，求出其结果，50组都代入后可得50个值，求这50个值的和的最小值．4. 记12n n S a a a =+++，令12n n S S S T n +++=，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”．已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，求15，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”．。

探索规律与定义新运算专题█知识模块1▲知识梳理1、合理的猜想是正确解决找规律问题的前奏，它的思路一般是从简单的、局部的、特殊的情况出发，经过提炼、归纳．猜想未知，寻找一般规律，获取新结论．2、一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件．▲精讲精练一、数列找规律：基础：找规律，并按照规律写出第n 个数.① 1，3，5，7，9……. 21n -（n 为正整数）．② 2，4，6，8，10……….. （n 为正整数）． ③ 2，4，8，16，32……… （n 为正整数）． ④ 2，5，8，11，14…….. （n 为正整数）． ⑤ 2，5，10，17，26…….. （n 为正整数）．⑥ x -，x +，x -，x +，x -，x +…… （n 为正整数）． ⑦ x +，x -，x +，x -，x +，x -…….. （n 为正整数）．⑧ 观察下列单项式：x ，23x -，35x ，47x -，59x ，…按此规律，可以得到第2005个单项式是___ ___.第n 个单项式怎样表示 .例：1.观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的。

那么这一组数的第k 个数是 ．（k为正整数）2.找规律，并按规律填上第五个数:357924816--，，，， ，第n 个数为： . （n 为正整数）3.观察下列单项式，2x ，25x -，341017x x -，，……根据你发现的规律写出第5个式子是 ，第8个式子是 ，第n 个式子是 ．（n 为正整数）．4.若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 ．5.一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是（n 为正整数）．6.有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是 ．第n 个数为 （n 为正整数）．练习：1.观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2018个数是（ ） A ．20182 B ．201821- C ．20192 D ．201722.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 ． 3.探索规律：观察下面算式，解答问题：21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++==① 请猜想1357919++++++=_________；② 请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________；③ 请你用上述规律计算：10310510720172019+++++．4.在数列1，12，22，13，23，33，…，中，第100个数是___ ． 5.观察下面的三行单项式x 、2x 2、4x 3、8x 4、16x 5、32x 6……① －2x 、4x 2、－8x 3、16x 4、－32x 5、64x 6……② 2x 2、－3x 3、5x 4、－9x 5、17x 6、－33x 7……③① 根据你发现的规律，第①行第8个单项式为____________ ②第②行第10个单项式为____________ ③ 第③行第10个单项式为____________④ 取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A ，计算当x ＝21，512(A ＋41)的值二、数表找规律：例：1．如下图左是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个 数，当7a =时，b = ． 2.观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a = ，2a b+= . （右图）表一 表二 表三 3.如右图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 ． ⑷将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第 行第 列．练习：1.正整数按图的规律排列．请写出第 20行，第21列的数字 ．11 14 a 11 13 17 b 0 1 2 3 …1 3 5 7 …2 5 8 11 …3 7 11 15 … … … … … … 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 12 3 第2行 6 5 4第3行 78 9 第4行 12 1110……第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 6 11 18 ... 9 8 7 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)24232221………1 2 23 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5· · · · · · · · a b · · · · · · ·2.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()n a b + （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：()1a b +=，它只有一项，系数为1；1()a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1系数和为2；222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；33223()33a b a a b ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……根据以上规律，解答下列问题：⑴ 4()a b +展开式共有 项，系数分别为 ； ⑵ ()n a b +展开式共有 项，系数和为 ．█知识模块2▲知识梳理我们学过有理数的五种运算：加、减、乘、除、乘方． 如：235+=，236⨯=都是2和3的运算，可结果不同，主要是运算方式不同，实际是对应法则不同．可见一种运算实际就是一个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算．当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应．只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算．下面来了解和熟悉“定义新运算”．▲精讲精练1.现规定一种运算：*a b ab a b =+-，其中a ，b 为有理数，则3*5的值为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．142.用“×”定义新运算：对于任a ，b ，都有a ×2b a b =-．例如，4×27479=-=，那么5×3= ；当m 为有理数时，m×（1-×2）= ．3.① 定义()5f x x =+，((2))f f = ．② 已知3()200920082007f x x x =++，当π1x =-时，(π1)2f -=；则(1π)f -= ．4.有一个运算程序，可以使a b n ⊕=（n 为常数）时，得()11a b n +⊕=+，()12a b n ⊕+=-.现在已知112⊕=，那么20092009⊕= ...............................13321111115.定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知113a =-，① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = ；③ 4a 是3a 的差倒数，则4a = ， ……，依此类推，则2019a = ．6.⑴ 定义计算“∆”，对于两个有理数a ，b ，有a ∆b a b ab =+-，例如：3-∆25=．则（2-∆3）∆0= ________⑵ 如果规定符号“*”的意义是aba b a b*=+，求()2*3*4-的值.课后作业：1.有一列数1，1，2，3，5，8，13，21……..，那么第9个数是 ;2.按一定的规律排列的一列数依次为：2-，5，10-，17，26-，…，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n 个数（n 为正整数）分别是（ ）A.82，21n -+B.82，()()211nn -+ C. -82，()()211nn -+ D.-82，31n + 3.观察下列等式：223142-=⨯； 224243-=⨯；225344-=⨯； ()()()()22-=⨯；…则第4个等式为__ _ ________．第n 个等式为___ _____．（n 是正整数） 4.右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→ C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，，，，…，当数到12时，对应的字母是__ _____；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是___ ______；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数 是____ （用含n 的代数式表示） 5.定义运算※为a ※()b a b a b =⨯-+① 求5※7，7※5．② 求12※（3※4），（12※3）※4． ③ 这个运算“※”有交换律、结合律吗？ ④ 如果3※（5※x ）3=，求x ．。

（完整版）四年级奥数详解答案第7讲定义新运算四年级奥数详解答案第7讲第七讲定义新运算一、知识概要1. 定义新运算定义新运算是指用某些特殊的符号(如△⊙※○—等)来表示一种特定的运算过程或运算顺序，从而解答某些特殊算式的一种运算。

因为它有别于我们日常学习的运算法则当然也有联系性，故称之为定义新运算。

2. 基本要求解答定义新运算问题，一定要严格按照新定义的运算法则进行计算，推理或证明，不得随便改变运算顺序。

二、典型题目精讲1. a、b是自然数，定义a?b = (a+b)÷2,(1)计算23?9 (2)计算17?(8?10)分析：本是所定义的a与b的运算规划是求a与b的和的一半。

在(1)题中，a是23，b 是9，把它们分别代入(a+b)÷2的式子中，就可求出27?9的值。

(2)题同这样的运算规划先求出8?10的值，然后用同样的运算规则再把17与算出来的值进行运算。

解：(1) 23?9= (23+9)÷2 =16(2) 17?(8?10) = 17?【(8+10)÷2】= 17?9= (17+9)÷2= 132. 定义运算?为：a?b = 5×a×b－(a+b), 求11?12.分析：定义新运算和我们日常的运算法制和顺序，即有区别又有联系。

比如说：先乘除后加、减；有括号的一定要先算括号中的运算等运算法制，在定义新运算中仍然适用。

按理说，这道题有四步计算过程：①(11+12)=23 ②5×11=55 ③55×12=660④660-23=637 这里②、③步是同时运算，所以②、③和①步可同时运算。

解：11?12 = 5×11×12-(11+12)= 660-23= 6373. 已知1○—３＝１×２×３，６○—５＝６×７×８×９×１０，计算4○—５-5○—4。

第七讲定义新运算和找规律解题定义新运算1•如果对于任意非零有理数a、b,定义运算如下：aOb=abH-l,那么(一5) O (+4) O (—3) = ________________ o2.已知：A 表示A的3倍减去B的2倍；求：①10口5 ；②15口5口10 ；③ 10口(4口1)111,3*2= 4*3=O求：(6*3) - (2*6) 233444112333456254.已知：x , ®4=x x x。

计算：04十区4223455678583.已知:2*1=5.若“！”是一种数学运算符号,并且1 ! =1 ； 2 ! =2x1 ; 3 ! =3x2x1 ; ”。

则100 ! -99 ! = _________ 。

6.“※”定义新运算：对于有理数a、b都有：b=b+l o那么5探3= ______ ；当m为有理数时，山※(11】探2) = _________ 。

7.已知有理数a、b,规定一种新运算符号“#”，a#b =2a -b，请根据#的意义计ab算：⑴ 4#2= __________ (2) (2#3) # (—2) = _____________ o &形如bd的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示是: a cbd=ad -be ,依此法则计算找规律做题21-341•数字解密第一个数是3=2+1,第二个数是5=3+2,第三个数是9=5+4,第四个数是17=9十& ”，观察并猜想第六个数是________________________ o2.德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是分子为1,分母为正整数的分数）第一行1111 22111第三行363第二行1111 41212411111第五行52030205第四行根据前五行的规律可以知道，第六行的数依次是____________________________ O排在第10行从左数第3个位置上的数是---------------- C12345673.观察下列等式:2=2 ; 2=4 ; 2=8 ; 2=16 ; 2=32 ; 2=64 ; 2=128 ;2=256 ；”。

定义新运算与找规律模块一 定义新运算1．定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行． 注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．例题精讲例 1. （1）定义新运算为1-+-=⊗b a a b a b ，则=⊗26 .（2）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：b b a a +=⊕2，a b a b -=⊗）（1-， 那么=⊕⊗⊕)12()21( .训练1-1. （1）若B A ⊕表示)()3B A B A -⨯+（,则=-⊕-)3()2(23 .（2）运算*按右表定义，如 3*2=1，那么（2*4）*（1*3）的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4训练1-2. （1）定义新运算：规定运算：1-+-=*b a ab b a ，=*43-）（ .（2）b a b a ÷+=⊗)1(，则)43(2⊗⊗的值为 .例 2．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：)(21c b a c b a c b a +++--=++.如：53]21-3-2-1-[21321-=+++=⊕⊕）（）（ 解答下列问题：（1）计算：)3()2(3-⊕-⊕的值；（2）在98939291071-74-75-76-、、、、、、、、、、⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅这15个数中，任意取三个数作为c b a 、、 的值，进行“c b a ⊕⊕”的运算，求所有计算结果中的最大值．训练2-1．我们定义一种新运算，规定：图形表示c b a +-， 图形表示z y x -+-，则的值为 .训练 2-2．z y x 、、表示三个数，规定新运算“*”如下：xz xy z y x 35-=**；则=**543 .训练 2-3．定义新运算如下：1-+=⊕b a b a ，1--=b a b a ，请按照从左到右的顺序计算下式：=⊕201620172018 .模块二 找规律1．数字规律2．图形规律与表格规律我们一般将图形规律与表格规律转化为数字规律来进行处理．例题精讲例 1．（1）定义：a 是不为 1 的有理数，我们把a-11称为a 的差倒数． 如：2的差倒数是1211-=-，1-的差倒数是21)1(11=--，已知311-=a ，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依次类推，则 =2018a .（2）定义一种对于三位数abc （ a 、b 、 c 不完全相同）的“F 运算”：重排三个数位上的数，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为 0）． ①579经过三次“F 运算”得 ； ②假设abc 中c b a ，则 abc 经过一次“F 运算”得 ．（用代数式表示）； ③猜想：任意一个三位数经过若干次“F 运算”都会得到一个定值 ．训练 1-1．a 是不为 2的有理数，我们把a -22称为a 的“哈利数”．如：3的“哈利数”是2322-=-，2-的“哈利数”是21)2(22=--，已知31=a ，2a 是1a 的“哈利数”，3a 是2a 的“哈利数”，4a 是3a 的“哈利数”，…，依次类推，则 =2018a .训练 1-2．定义一种能够被 3 整除的三位数 abc 的“F ”运算：把 abc 的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．数字 111 经过三次“F ”运算得 ，经过四次“F ”运算得 ，经过五次“F ”运算得 ，经过 2018 次“F ”运算得 .例 2．如图，正方形 ABCD 、DEFH 的边长都是 5cm ，点 P 从点 D 出发，先到点 A ，然后沿箭头所指方向运动（经过点 D 时不拐弯），则从出发开始连续运动 2018cm 时，它离 点最近，此时它距该点 cm ．训练 2-1．如图，在平面直角坐标系中，直径为 1 个单位长度半圆 O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点 P 从点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒4个单位长度，则第 2016 秒时，OP 的长度是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．1008π训练 2-2．下列每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n 个棋子，每个图案的棋子总数为s ，下图的排列规律推断s 与n 之间的有关系可以用式子s= 来表示．例3．正整数按下图的规律排列．请写出第20 行，第21 列的数字训练3-1．观察如图的三角数阵，请写出第20 行，最后一个数字为 .训练3-2．将从 1 开始的自然数按如下方式填入下表，排成A、B、C、D、E 五列，300 是在 列．真题回望1．（2016 秋•深圳期末）对于正整数 a ，我们规定：若 a 为奇数，则 f （a ）=3a+1：若 a 为偶数，则 f （a ）=2a ，例如 f （15）=3×15+1=46，f （10）= =5，若 1a =8，2a =f （1a ），3a =f （2a ），4a =f （3a ），…，依此规律进行下去，得到一列数 1a ，2a ，3a ，4a ，…，2017a ，…，则 =+⋅⋅⋅++++20174321a a a a a ．2．（2016 秋•深圳期末）请你观察：2111211-=⨯，3121321-=⨯，⋅⋅⋅-=⨯4131431； 3231131212111321211=-=-+-=⨯+⨯； 43411413131212111431321211=-=-+-+-=⨯+⨯+⨯； 以上方法称为“裂项相消求和法”请类比完成：（1）=⨯+⨯+⨯+⨯541431321211 （2）=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯201820171541431321211 （3）计算：1191971751531311⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的值.综合应用1. 规定“*”是一种新运算：“)a b b a b a -÷+=*（”，则=**)21(2 ．北师大版七年级数学上：定义新运算和规律问题讲义 无答案11 / 11 2. 对于两个自然数b a 、定义新运算“⊗”和“⊕”：如果ba b a b a -+=⊗， b a b a =⊕，那么=⊕⊗⊕）（）（3523 ．3. 根据规律填代数式. 2)12(221+⨯=+；2)13(3321+⨯=++；2)14(44321+⨯=+++； =+⋅⋅⋅+++n 321 ．4. 将正整数按如图所示的位置顺序排列：根据排列规律，则 2018 应在（ ）5.填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是 ．。

探索规律与定义新运算知识集结知识元数字规律知识讲解数字规律就是一列数按一定规律排列起来，常见的规律有：1、正整数规律：1、2、3、4、5、……可以表示为n（其中n为正整数）2、奇数规律：1、3、5、7、9、……可以表示为（其中n为正整数）3、偶数规律：2、4、6、8、10、……可以表示为2n（其中n为正整数）4、正、负交替规律变化：一组数，不看他们的绝对值，只看其性质，为正负交替（1）-、+、-、+、-、+、-、+可以表示为（2）+、-、+、-、+、-、+、-可以表示为5、平方数规律：1、4、9、16、……可以表示为（其中n为正整数），能看得出：上面的规律数+1、+2、-1、-2例题精讲数字规律例1.已知一组数：1，3，5，7，9，…按此规律，第n个数是.【答案】2n－1【解析】题干解析:根据数列1，3，5，7，9.……；这些数均为连续的奇数，所以第n个数为2n－1。

例2.观察下列顺序排列的式子：9×0+1=1；9×1+2=11；9×2+3=21；9×3+4=31；9×4+5=41；…猜想：第个式子应为___________________。

【答案】9（n－1）+n=10（n－1）＋1【解析】题干解析:观察算式可知：等式的左边是9乘以一个数字与另一个数的和，加上的数正好是n，乘以的数为（n－1），所以等式的左边为：9（n－1）+n；等式的右边分别为1、11、21、31，不难发现结果是：个位数字都为1，十位数字恰好比n 小1第n个算式为9（n－1）+n=10（n－1）＋1.例3.观察下列算式：；；；，…（1）左边各项的底数与右边幂的底数之间的关系是什么？（2）猜想的规律是什么？（3）用第五个关系式进行验证。

【答案】（1）左边各项的底数的和等于右边幂的底数；（2）第n个算式是：13+23+33+…+n3=（1+2+3+…n）2=〔〕2；（3）第五个关系式是：13+23+33+…+53=（1+2+3+…5）2=〔〕2=）2=152【解析】题干解析:等式的左边为连连续自然数三次方的和，所以第n个算式是从1到n的连续自然数的三次方的和，等式的右边是一个数的平方，底数是等式左边这些连续自然数的和；因些第n个算式为13+23+33+…+n3=（1+2+3+…n）2=〔〕2；第五个算式为13+23+33+…+53=（1+2+3+…5）2=〔〕2=）2=152。

教学内容定义新运算教学目标理解定义新运算的概念1.掌握定义新运算的运算顺序教学重点2.理解定义新运算的新的运算规律教学难点定义新运算的新的运算规律教学准备教案教学过程知识详解1.含义：定义新运算是一种人为的、临时性的运算方式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、○等，这是与四则运算中的“+、-、×、÷”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化时，是不适合于各种运算定律的。

2.简单认识特殊字符：Ααalpha a:lf 阿尔法Ββbeta bet 贝塔Γγgamma ga:m 伽马Δδdelta delt 德尔塔Θθthet θit 西塔∧λlambda lambd 兰布达Μμmu mju 缪Χχchi phai 西模块一：基础定义新运算【例1】定义一种运算◎：a◎b=4×a+3×b,1)求5◎4，4◎5；解答：这里的5可以看成字母“a”，4可以看成字母“b”，然后带入新的定义：5◎4=4×5+3×4=20+12=324◎5=4×4+3×5=16+15=31【例2】定义数a、b的两种运算“®”“©”如下：a®b=6×a+5×b,a©b=3×a×b, 求（2®3）©4的值。

模块二：定义新运算找规律与结合方程求解【例题3】定义一种运算◇：a◇b=a×b-(a+b),（1）求15◇14；（2）若12◇X=43，求X的值。

【例题4】规定：6※2=6+66=72，2※3=2+22+222=246，1※4=1+11+111+1111。

请根据给出的三个式子，求8※5的值？真题在线1.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值2.设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，1)求 3△2， 2△3；2)求（17△6）△2，17△（6△2）；3)如果已知4△b＝2，求b.3.定义a*b表示a的3倍减去b的两倍，即a*b=3a-2b,计算,已知X*(4*1)=1,求x的值。

探索规律与定义新运算专题█知识模块1▲知识梳理1、合理的猜想是正确解决找规律问题的前奏，它的思路一般是从简单的、局部的、特殊的情况出发，经过提炼、归纳．猜想未知，寻找一般规律，获取新结论．2、一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件．▲精讲精练一、数列找规律：基础：找规律，并按照规律写出第n 个数.① 1，3，5，7，9……. 21n -（n 为正整数）．② 2，4，6，8，10……….. （n 为正整数）． ③ 2，4，8，16，32……… （n 为正整数）． ④ 2，5，8，11，14…….. （n 为正整数）． ⑤ 2，5，10，17，26…….. （n 为正整数）．⑥ x -，x +，x -，x +，x -，x +…… （n 为正整数）． ⑦ x +，x -，x +，x -，x +，x -…….. （n 为正整数）．⑧ 观察下列单项式：x ，23x -，35x ，47x -，59x ，…按此规律，可以得到第2005个单项式是___ ___.第n 个单项式怎样表示 .例：1.观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的。

那么这一组数的第k 个数是 ．（k为正整数）2.找规律，并按规律填上第五个数:357924816--，，，， ，第n 个数为： . （n 为正整数）3.观察下列单项式，2x ，25x -，341017x x -，，……根据你发现的规律写出第5个式子是 ，第8个式子是 ，第n 个式子是 ．（n 为正整数）．4.若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 ．5.一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是（n 为正整数）．6.有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是 ．第n 个数为 （n 为正整数）．练习：1.观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2018个数是（ ） A ．20182 B ．201821- C ．20192 D ．201722.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 ． 3.探索规律：观察下面算式，解答问题：21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++==① 请猜想1357919++++++=_________；② 请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________；③ 请你用上述规律计算：10310510720172019+++++．4.在数列1，12，22，13，23，33，…，中，第100个数是___ ． 5.观察下面的三行单项式x 、2x 2、4x 3、8x 4、16x 5、32x 6……① －2x 、4x 2、－8x 3、16x 4、－32x 5、64x 6……② 2x 2、－3x 3、5x 4、－9x 5、17x 6、－33x 7……③① 根据你发现的规律，第①行第8个单项式为____________ ②第②行第10个单项式为____________ ③ 第③行第10个单项式为____________④ 取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A ，计算当x ＝21，512(A ＋41)的值二、数表找规律：例：1．如下图左是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个 数，当7a =时，b = ． 2.观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a = ，2a b+= . （右图）表一 表二 表三 3.如右图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 ． ⑷将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第 行第 列．练习：1.正整数按图的规律排列．请写出第 20行，第21列的数字 ．11 14 a 11 13 17 b 0 1 2 3 …1 3 5 7 …2 5 8 11 …3 7 11 15 … … … … … … 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 12 3 第2行 6 5 4第3行 78 9 第4行 12 1110……第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 6 11 18 ... 9 8 7 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)24232221………1 2 23 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5· · · · · · · · a b · · · · · · ·2.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()n a b + （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：()1a b +=，它只有一项，系数为1；1()a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1系数和为2；222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；33223()33a b a a b ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……根据以上规律，解答下列问题：⑴ 4()a b +展开式共有 项，系数分别为 ； ⑵ ()n a b +展开式共有 项，系数和为 ．█知识模块2▲知识梳理我们学过有理数的五种运算：加、减、乘、除、乘方． 如：235+=，236⨯=都是2和3的运算，可结果不同，主要是运算方式不同，实际是对应法则不同．可见一种运算实际就是一个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算．当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应．只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算．下面来了解和熟悉“定义新运算”．▲精讲精练1.现规定一种运算：*a b ab a b =+-，其中a ，b 为有理数，则3*5的值为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．142.用“×”定义新运算：对于任a ，b ，都有a ×2b a b =-．例如，4×27479=-=，那么5×3= ；当m 为有理数时，m×（1-×2）= ．3.① 定义()5f x x =+，((2))f f = ．② 已知3()200920082007f x x x =++，当π1x =-时，(π1)2f -=；则(1π)f -= ．4.有一个运算程序，可以使a b n ⊕=（n 为常数）时，得()11a b n +⊕=+，()12a b n ⊕+=-.现在已知112⊕=，那么20092009⊕= ...............................13321111115.定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知113a =-，① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = ；③ 4a 是3a 的差倒数，则4a = ， ……，依此类推，则2019a = ．6.⑴ 定义计算“∆”，对于两个有理数a ，b ，有a ∆b a b ab =+-，例如：3-∆25=．则（2-∆3）∆0= ________⑵ 如果规定符号“*”的意义是aba b a b*=+，求()2*3*4-的值.课后作业：1.有一列数1，1，2，3，5，8，13，21……..，那么第9个数是 ;2.按一定的规律排列的一列数依次为：2-，5，10-，17，26-，…，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n 个数（n 为正整数）分别是（ ）A.82，21n -+B.82，()()211nn -+ C. -82，()()211nn -+ D.-82，31n + 3.观察下列等式：223142-=⨯； 224243-=⨯；225344-=⨯； ()()()()22-=⨯；…则第4个等式为__ _ ________．第n 个等式为___ _____．（n 是正整数） 4.右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→ C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，，，，…，当数到12时，对应的字母是__ _____；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是___ ______；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数 是____ （用含n 的代数式表示） 5.定义运算※为a ※()b a b a b =⨯-+① 求5※7，7※5．② 求12※（3※4），（12※3）※4． ③ 这个运算“※”有交换律、结合律吗？ ④ 如果3※（5※x ）3=，求x ．。

第三节 找规律、定义新运算和程序运算高频核心考点1．找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系：(2)-列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号以之间的关系；(3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号挖之间的关系：(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数；(5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论． 2．常见的数列规律1n 2,,9,7,5,3,1)1(-Λ（n 为正整数）； n 2,,10,8,6,4,2)2(Λ （n 为正整数）；n 2,,32,16,8,4,2)3(Λ（n 为正整数）； 1,,26,17,10,5,2)4(2+n Λ（n 为正整数）； 1,,24,15,8,3,0)5(2-n Λ（n 为正整数）；)1(,,20,12,6,2)6(+n n Λ（n 为正整数）：x x x x x x x n ⋅-+-+-+-)1(,,,,,,,)7(Λ（n 为正整数）； x x x x x x x n ⋅--+-+-++1`)1(,,,,,,,)8(Λ（n 为正整数）；(9)特殊数列：①斐波那契数列：,,13,8,5,3,2,1,1Λ从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和：②三角形数：2)1(,,21,15,10,6,3,1+n n Λ（n 为正整数）． 3．定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算；(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序； ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 4．程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 5．数学能力探究、归纳、总结和知识迁移的能力，方法技巧提炼1．规律题观察，总结，猜想，验证． 2．新定义观察定义，对比代入，注意运算顺序以及符号． 3．程序运算精题精讲精练例1．（山东威海中考）一组按规律排列的数：,167,93,41Λ,3621,2513请你推断第9个数是检测1．(1)（福建福州中考）瑞士中学巴尔末成功地从光谱数据Λ,3236,2125,1216,59中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第七个数据日是(2)（吉林长春中考）按下列规律排列的一列数对,),8,7(),5,4(),2,1(Λ第5个数对是例2．（四川内江中考）?100321=++++Λ经过研究，这个问题的一般性结论是+++321),1(21+=+n n n Λ 其中n 是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：+⨯+⨯3221?)1(=++n n Λ 观察下面三个特殊的等式：),210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯),321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯).432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯将这三个等式的两边相加，可以得到.2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 读完这段材料，请你思考后回答：=⨯++⨯+⨯1011003221)1(Λ=++++⨯⨯+⨯⨯)2(1n 432321)2(n n ）（Λ检测2．(1)观察下面的几个算式：,4121=++ ,912321=++++ ,161234321=++++++Λ,25123454321=++++++++根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：=++++++++++1239910099321ΛΛ (2)已知：,3223222⨯=+,8338332⨯=+,154415442⨯=+,245524552⨯=+…，若a ba b ⨯=+21010符合前面式子的规律，则=+b a例3．如图2-3-1所示的运算流程中，若输出的数y=5，则输入的数x 。