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找规律程序运算定义新运算Modified by JEEP on December 26th, 2020.第五讲找规律、程序运算、定义新运算板块一 数列、数表找规律一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。
数列规律：【例1】观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的。
那么这一组数的第k 个数是_______。
（k 为正整数）【例2】找规律，并按规律填上第五个数：357924816--，，，， ，第n 个数为： 。
（n 为正整数）【例3】有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是 。
第n 个数为（n 为正整数）。
【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 。
【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）。
【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。
【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门。
请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 。
【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19后面的数应为 。
【例9】探索规律：观察下面算式，解答问题：21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________；②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________；③请你用上述规律计算：10310510720032005+++++数列规律：【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当7a =时，b = 。
探索规律与定义新运算专题█知识模块1▲知识梳理1、合理的猜想是正确解决找规律问题的前奏，它的思路一般是从简单的、局部的、特殊的情况出发，经过提炼、归纳．猜想未知，寻找一般规律，获取新结论．2、一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件．▲精讲精练一、数列找规律：基础：找规律，并按照规律写出第n 个数.① 1，3，5，7，9……. 21n -（n 为正整数）．② 2，4，6，8，10……….. （n 为正整数）． ③ 2，4，8，16，32……… （n 为正整数）． ④ 2，5，8，11，14…….. （n 为正整数）． ⑤ 2，5，10，17，26…….. （n 为正整数）．⑥ x -，x +，x -，x +，x -，x +…… （n 为正整数）． ⑦ x +，x -，x +，x -，x +，x -…….. （n 为正整数）．⑧ 观察下列单项式：x ，23x -，35x ，47x -，59x ，…按此规律，可以得到第2005个单项式是___ ___.第n 个单项式怎样表示 .例：1.观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的。
那么这一组数的第k 个数是 ．（k为正整数）2.找规律，并按规律填上第五个数:357924816--，，，， ，第n 个数为： . （n 为正整数）3.观察下列单项式，2x ，25x -，341017x x -，，……根据你发现的规律写出第5个式子是 ，第8个式子是 ，第n 个式子是 ．（n 为正整数）．4.若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 ．5.一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是（n 为正整数）．6.有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是 ．第n 个数为 （n 为正整数）．练习：1.观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2018个数是（ ） A ．20182 B ．201821- C ．20192 D ．201722.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 ． 3.探索规律：观察下面算式，解答问题：21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++==① 请猜想1357919++++++=_________；② 请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________；③ 请你用上述规律计算：10310510720172019+++++．4.在数列1，12，22，13，23，33，…，中，第100个数是___ ． 5.观察下面的三行单项式x 、2x 2、4x 3、8x 4、16x 5、32x 6……① －2x 、4x 2、－8x 3、16x 4、－32x 5、64x 6……② 2x 2、－3x 3、5x 4、－9x 5、17x 6、－33x 7……③① 根据你发现的规律，第①行第8个单项式为____________ ②第②行第10个单项式为____________ ③ 第③行第10个单项式为____________④ 取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A ，计算当x ＝21，512(A ＋41)的值二、数表找规律：例：1．如下图左是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个 数，当7a =时，b = ． 2.观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a = ，2a b+= . （右图）表一 表二 表三 3.如右图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 ． ⑷将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第 行第 列．练习：1.正整数按图的规律排列．请写出第 20行，第21列的数字 ．11 14 a 11 13 17 b 0 1 2 3 …1 3 5 7 …2 5 8 11 …3 7 11 15 … … … … … … 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 12 3 第2行 6 5 4第3行 78 9 第4行 12 1110……第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 6 11 18 ... 9 8 7 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)24232221………1 2 23 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5· · · · · · · · a b · · · · · · ·2.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()n a b + （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：()1a b +=，它只有一项，系数为1；1()a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1系数和为2；222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；33223()33a b a a b ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……根据以上规律，解答下列问题：⑴ 4()a b +展开式共有 项，系数分别为 ； ⑵ ()n a b +展开式共有 项，系数和为 ．█知识模块2▲知识梳理我们学过有理数的五种运算：加、减、乘、除、乘方． 如：235+=，236⨯=都是2和3的运算，可结果不同，主要是运算方式不同，实际是对应法则不同．可见一种运算实际就是一个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算．当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应．只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算．下面来了解和熟悉“定义新运算”．▲精讲精练1.现规定一种运算：*a b ab a b =+-，其中a ，b 为有理数，则3*5的值为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．142.用“×”定义新运算：对于任a ，b ，都有a ×2b a b =-．例如，4×27479=-=，那么5×3= ；当m 为有理数时，m×（1-×2）= ．3.① 定义()5f x x =+，((2))f f = ．② 已知3()200920082007f x x x =++，当π1x =-时，(π1)2f -=；则(1π)f -= ．4.有一个运算程序，可以使a b n ⊕=（n 为常数）时，得()11a b n +⊕=+，()12a b n ⊕+=-.现在已知112⊕=，那么20092009⊕= ...............................13321111115.定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知113a =-，① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = ；③ 4a 是3a 的差倒数，则4a = ， ……，依此类推，则2019a = ．6.⑴ 定义计算“∆”，对于两个有理数a ，b ，有a ∆b a b ab =+-，例如：3-∆25=．则（2-∆3）∆0= ________⑵ 如果规定符号“*”的意义是aba b a b*=+，求()2*3*4-的值.课后作业：1.有一列数1，1，2，3，5，8，13，21……..，那么第9个数是 ;2.按一定的规律排列的一列数依次为：2-，5，10-，17，26-，…，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n 个数（n 为正整数）分别是（ ）A.82，21n -+B.82，()()211nn -+ C. -82，()()211nn -+ D.-82，31n + 3.观察下列等式：223142-=⨯； 224243-=⨯；225344-=⨯； ()()()()22-=⨯；…则第4个等式为__ _ ________．第n 个等式为___ _____．（n 是正整数） 4.右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→ C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，，，，…，当数到12时，对应的字母是__ _____；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是___ ______；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数 是____ （用含n 的代数式表示） 5.定义运算※为a ※()b a b a b =⨯-+① 求5※7，7※5．② 求12※（3※4），（12※3）※4． ③ 这个运算“※”有交换律、结合律吗？ ④ 如果3※（5※x ）3=，求x ．。
板块一、找规律模块一、代数中的找规律【例1】 ⑴点1A 、2A 、3A 、…、 n A 〔n 为正整数〕都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且11AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为〔 〕．A ．2008、2009-B ．2008-、2009C ．1004、1005-D ．1004、1004-⑵如图，点A 、B 对应的数是a 、b ，点A 在3-、2-对应的两点〔包括这两点〕之间移动，点B 在1-、0对应的两点〔包括这两点〕之间移动，那么以下四式的值，可能比2008大的是〔 〕．A ．b a -B ．1b a -C ．11a b-D ．2()a b -【巩固】 ⑴〔2008中考〕一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，114b a，…(0≠ab )，其中第7个式子 是，第n 个式子是(n 为正整数)．⑵〔2008年中考〕搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，那么串7顶这样的帐篷需要根钢管.①②③【例2】 ⑴〔2010年中考〕右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，。
请你按图中箭头所指方向(即...A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式)从A 开场数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C 第2n +1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是(用含n 的代数式表示)。
⑵〔2010中考〕将正方体骰子〔相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4〕放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90︒，然后在桌面上按逆时针方向旋转90︒，那么完成一次变换．假设骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规那么连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是〔 〕A ．6B ．5C ．3D ．2⑶〔2010中考〕观察以下图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算181624...8n +++++〔n 是正整数〕的结果为〔 〕DC B A找规律及定义新运算图1 图2向右翻滚90°逆时针旋转90°1+8="1+8+16="1+8+16+24="……A ．2(21)n +B ．2(21)n -C ．2(2)n +D ．2n【巩固】 ⑴观察以下由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：共有1 个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……，那么第6个图中，看不见的小立方体有个．⑵〔2010日照中考〕古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的13610...，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的14916...，，，，，这样的数为正方形数．以下数中既是三角形数又是正方形数的是〔 〕A ．15B ．25C ．55D ．1225⑶〔2010〕如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，那么摆第6个图案需要枚棋子，摆第n 个图案需要枚棋子．⑷〔2010中考〕下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，假设积为一位数，将其写在第2位上，假设积为两位数，那么将其个位数字写在第2位。
第三节找规律、定义新运算和程序运算1．找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系．(2)一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系．(3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系．(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．(5)数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论，常见的数列规律：(1)1，3，5，7，9，…，2n－1（n为正整数）．(2)2，4，6，8，10，…，2n（n为正整数）．(3)2，4，8，16，32，…，2n（n为正整数）．(4)2，5，10，17，26，…，n2＋1（n为正整数）．(5)0，3，8，15，24，…，n2－1（n为正整数）．(6)2，6，12，20，…，n(n＋1)（n为正整数）．(7)－x，＋x，x，＋x，－x，＋x，…，(－1)n x（n为正整数）．(8)＋x，－x，＋x，－x，＋x，－x，…，(－1)n＋1x（n为正整数）．(9)特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和．②三角形数：1，3，6，10，15，21，…，[]12n n+．2．定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算，(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．3．程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．4．数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力．本节重点讲解：两大能力，三种题型（找规律、定义新运算和程序计算）．三、全能突破 基础演练1. 根据图2－3－1中数字的规律，在图形中填空．2． 观察下面一列整式：12x 2y ,－16x 4y 4, 112x 8y 9，－12x 16 y 16，…，照此规律第6个整式是 ， 第n 个(n ≥1且为整数)整式是 ．3． 正整数按图2－3－2中的规律排列．请写出第45行，第46列的数字 ．4． 图2－3－3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板 砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和 6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此递推，第10层 中含有正三角形个数是 个． 5． 如图2－3－4所示，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从 某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走 几个边长，则称这种走法为一次“移位”，如：小宇在编号为3的顶点时， 那么他应走3 个边长，即从3→4→5→1为第一次”移位”，这时他到达 编号为1的顶点； 然后从1→2为第二次“移位”，若小宇从编号为 2的顶点开始，第10次“移 位”后，则他所处顶点的编号是 ； 笫2012次“移位”后，则他所处顶 点的编号是 ． 6．观察下列等式：① 42－12＝3×5； ② 52－22＝3×7； ③ 62－32＝3×9； ④ 72－42＝3×11 ……则第n （n 是正整数）个等式为 ．7．我们规定一种运算：a bc d＝ad－bc，若421x x＝0，则x＝．8．魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图2－3－5所示的步骤操作: 乘以3 减去6 除以3 加上7 告诉魔术师结果图2-3-5魔术师立刻说出观众想的那个数．(1) 如果小明想的数是－1，那么他告诉魔术师的结果应该是；(2) 如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是；(3) 观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙．能力提升9．已知：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，…，以上算式结果的个位数字分别为4，6，4，6，…，按照上面的研究方法确定20062007＋20072006的个位数字为( )A．3B．4C．5D．610．如图2－3－6所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图2－3－7(a)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2－3－7(b)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．15B．25C．55D．122512．(1) 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字立方再求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是．(2) 任取一个自然数串，数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，用这3个数组成下一个数字串，重复上述程序，就能得到一个固定的数，我们称它为数字“黑洞”，则这个固定的数为．13．在下表中，我们把第i行第j列的数记为a i,j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i,j规定如下：当i≥j时，a i,j＝1；当i＜j时，a i,j＝0．例如：当i＝2，j＝1时，a i,j＝a2,1 ＝1．按此规定，a1,3＝；表中的25个数中，共有个1；计算a1,1·a i,1＋a1,2·a i,2＋a1,3·a i,3＋a1,4·a i,4＋a1,5·a i,5的值为．14．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如图2－3－8所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为．15．已知，m≥2，n≥2，且m，n均为正整数，如果将m n进行如图2－3－9所示方式的“分解”，那么下列三个叙述：①在25的“分解”中最大的数是11．②在43的“分解”中最小的数是13．③若m3的“分解”中最小的数是23，则m等于5．其中正确的是．11a，12a，13a，14a，15a，21a，22a，23a，24a，25a，31a，32a，33a，3,4a3,5a4,1a4,2a4,3a4,4a4,5a5,1a5,2a5,3a5,4a5,5a16．有一个运算程序，当aΘb＝n（n为常数）时，则(a＋1)b＝n＋1，a(b＋1)＝n－2，若1Θ1＝2则2012Θ2012＝．17．按图2－3－10所示的程序计算：是x+的值>500 输出结果输入x计算51否图2-3-10若输入x＝100，输出结果是501，若输入x＝25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x的可能值为．18. 如图2－3－11所示，从左到右，在每个小格子中都填人一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．9 ＆＃x6- 2 ……图2-3-11(1) 可求得x＝，第2012个格子中的数为．(2) 判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2012？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．19．阅读图2－3－12并回答下列问题：(1)若A为785，则E＝；(2)按框图流程，取不同的三位数A，所得E的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E的所有可能的值；(3)将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A，它的百位数字减去个位数字所得的差大于．．2”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明．中考链接20．（2010．北京）图2－3－13所示为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C第2n＋1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是（用含n的代数式表示）．21．（贵阳市中考题改编）符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： ①f (1)＝0，f (2)＝1，f (3)＝2，f (4)＝3，… ②12f ⎛⎫=⎪⎝⎭2，13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3，14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 4，15f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5，… 利用以上规律计算：12012f ⎛⎫⎪⎝⎭－f (2012)＝ ．22．(1)（2009年．咸宁）如图2－3－14所示的运算程序中，若开始输入的x 值为96，我们发现第 1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，…，第2009次输出的结果为 ．(2)(山东临沂中考)计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表所示例如，用十六进制表示：5＋A ＝F ，3＋F ＝12，E ＋D ＝1B ，则A ×C ＝ ．巅峰突破23．图2－3－15所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果 是 ．24．对于两数a 和b ，给定一种运算“#”：a #b ＝a ＋b －ab ，则在下列等 式中：①a #b ＝b #a ； ②a #0＝a ； ③(a #b )#c ＝a #(b #c )． 正确的是 (填序号)．25．正整数n 小于100，并满足等式236n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝n ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有多少个？十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ABCDEF十进制 012345678910 11 12 13 14 15。
探索规律与定义新运算知识集结知识元数字规律知识讲解数字规律就是一列数按一定规律排列起来，常见的规律有：1、正整数规律：1、2、3、4、5、……可以表示为n（其中n为正整数）2、奇数规律：1、3、5、7、9、……可以表示为（其中n为正整数）3、偶数规律：2、4、6、8、10、……可以表示为2n（其中n为正整数）4、正、负交替规律变化：一组数，不看他们的绝对值，只看其性质，为正负交替（1）-、+、-、+、-、+、-、+可以表示为（2）+、-、+、-、+、-、+、-可以表示为5、平方数规律：1、4、9、16、……可以表示为（其中n为正整数），能看得出：上面的规律数+1、+2、-1、-2例题精讲数字规律例1.已知一组数：1，3，5，7，9，…按此规律，第n个数是.【答案】2n－1【解析】题干解析:根据数列1，3，5，7，9.……；这些数均为连续的奇数，所以第n个数为2n－1。
例2.观察下列顺序排列的式子：9×0+1=1；9×1+2=11；9×2+3=21；9×3+4=31；9×4+5=41；…猜想：第个式子应为___________________。
【答案】9（n－1）+n=10（n－1）＋1【解析】题干解析:观察算式可知：等式的左边是9乘以一个数字与另一个数的和，加上的数正好是n，乘以的数为（n－1），所以等式的左边为：9（n－1）+n；等式的右边分别为1、11、21、31，不难发现结果是：个位数字都为1，十位数字恰好比n 小1第n个算式为9（n－1）+n=10（n－1）＋1.例3.观察下列算式：；；；，…（1）左边各项的底数与右边幂的底数之间的关系是什么？（2）猜想的规律是什么？（3）用第五个关系式进行验证。
【答案】（1）左边各项的底数的和等于右边幂的底数；（2）第n个算式是：13+23+33+…+n3=（1+2+3+…n）2=〔〕2；（3）第五个关系式是：13+23+33+…+53=（1+2+3+…5）2=〔〕2=）2=152【解析】题干解析:等式的左边为连连续自然数三次方的和，所以第n个算式是从1到n的连续自然数的三次方的和，等式的右边是一个数的平方，底数是等式左边这些连续自然数的和；因些第n个算式为13+23+33+…+n3=（1+2+3+…n）2=〔〕2；第五个算式为13+23+33+…+53=（1+2+3+…5）2=〔〕2=）2=152。
找规律、程序运算和定义新运算一、数列、数表找规律⑴合理的猜想是正确解决找规律问题的前奏，它的思路一般是从简单的、局部的、特殊的情况出发，经过提炼、归纳。
猜想未知，寻找一般规律，获取新结论。
⑵一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。
【例1】⑴(海淀区期末考试)若一组按规律排成的数的第n项为n(n＋1)(n为正整数)，则这组数的第10项为；若一组按规律组成的数为：2，6，-12，20，30，-42，56，72，-90，…，则这组数的第3n(n为正整数)项是。
【例1】⑵(2008北京中考)一组按规律排列的式子：-b2 b5 b8，2，-3，【例2】⑴有一列数1，1，2，3，5，8，13，21……..，那么第9个数是;b11 a4a a a，…(ab ≠ 0 )，其中第7个式子是⑵瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数，第n个式子是(n为正整数)。
9 16 25 36据，，，，…中得到巴尔末公5 12 21 32式，从而打开光谱奥妙的大门。
请你按这种规律写出第7个数据是。
第n个分数为。
15 … 11 【例3】⑵ 观察表一，寻找规律，表二、表三分别是从表一中选取的一部分， 【例3】⑶将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排 则a ＝ a b ＝ 。
的位置是第 行第 列。
， 2表一 表二 表三【例4】⑴ (第17届希望杯) 开始如图是一个流程图，图中“结束”处的 写下1 计算结果是 。
乘-2写结果你乘-2已经5次了吗 否是 结束【例4】⑵(北师大附中初一期中考试)如下图所示是计算机程序计算，若开始输入 ，则最后输入 x ＝2出的结果是 。
输入x 的值计算1＋x －2x 2＜-5 输出结果是 否3a … … 14 … … … … 15 11 7 3 11 8 2 …7 5 3 1 … 3 2 1 0第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 1 2 3 第2行 6 5 4 第3行 7 8 9 第4行 12 11 10……11 1317 b。
'第三节 找规律、定义新运算和程序运算一、课标导航二、核心纲要1.找规律 ~解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论。
有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件。
一般有下列几个类型：(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系。
(2)一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系。
(3)图形（图标）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系。
(4) 图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数。
(5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。
常见的数列规律：(1) 1,3,5,7,9，…，12-n （n 为正整数）； 。
(2) 2,4,6,8,10，…，n 2（n 为正整数）； (3) 2,4,8,16,32，…，n 2（n 为正整数）； (4) 2,5,10,17,26，…，12+n （n 为正整数）； (5) 0,3,8,15,24，…，12-n （n 为正整数）； (6) 2,6,12,20，…，)1(+n n （n 为正整数）；(7) x -,x +,x -,x +,x -,x +,…，x n )1(-（n 为正整数）； (8) x +,x -,x +,x -,x +,x -,…，x n 1)1(+-（n 为正整数）；(9) 特殊数列： &①斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13，…，从第三个数开始每个数等于与它相邻的前两个数的和；②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，2)1(+n n 。
2.定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按基本运算过程、运算规律进行运算。
(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序； ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
探索规律与定义新运算专题█知识模块1▲知识梳理1、合理的猜想是正确解决找规律问题的前奏，它的思路一般是从简单的、局部的、特殊的情况出发，经过提炼、归纳．猜想未知，寻找一般规律，获取新结论．2、一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件．▲精讲精练一、数列找规律：基础：找规律，并按照规律写出第n 个数.① 1，3，5，7，9……. 21n -（n 为正整数）．② 2，4，6，8，10……….. （n 为正整数）． ③ 2，4，8，16，32……… （n 为正整数）． ④ 2，5，8，11，14…….. （n 为正整数）． ⑤ 2，5，10，17，26…….. （n 为正整数）．⑥ x -，x +，x -，x +，x -，x +…… （n 为正整数）． ⑦ x +，x -，x +，x -，x +，x -…….. （n 为正整数）．⑧ 观察下列单项式：x ，23x -，35x ，47x -，59x ，…按此规律，可以得到第2005个单项式是___ ___.第n 个单项式怎样表示 .例：1.观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的。
那么这一组数的第k 个数是 ．（k为正整数）2.找规律，并按规律填上第五个数:357924816--，，，， ，第n 个数为： . （n 为正整数）3.观察下列单项式，2x ，25x -，341017x x -，，……根据你发现的规律写出第5个式子是 ，第8个式子是 ，第n 个式子是 ．（n 为正整数）．4.若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 ．5.一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是（n 为正整数）．6.有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是 ．第n 个数为 （n 为正整数）．练习：1.观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2018个数是（ ） A ．20182 B ．201821- C ．20192 D ．201722.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 ． 3.探索规律：观察下面算式，解答问题：21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++==① 请猜想1357919++++++=_________；② 请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________；③ 请你用上述规律计算：10310510720172019+++++．4.在数列1，12，22，13，23，33，…，中，第100个数是___ ． 5.观察下面的三行单项式x 、2x 2、4x 3、8x 4、16x 5、32x 6……① －2x 、4x 2、－8x 3、16x 4、－32x 5、64x 6……② 2x 2、－3x 3、5x 4、－9x 5、17x 6、－33x 7……③① 根据你发现的规律，第①行第8个单项式为____________ ②第②行第10个单项式为____________ ③ 第③行第10个单项式为____________④ 取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A ，计算当x ＝21，512(A ＋41)的值二、数表找规律：例：1．如下图左是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个 数，当7a =时，b = ． 2.观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a = ，2a b+= . （右图）表一 表二 表三 3.如右图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 ． ⑷将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第 行第 列．练习：1.正整数按图的规律排列．请写出第 20行，第21列的数字 ．11 14 a 11 13 17 b 0 1 2 3 …1 3 5 7 …2 5 8 11 …3 7 11 15 … … … … … … 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 12 3 第2行 6 5 4第3行 78 9 第4行 12 1110……第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 6 11 18 ... 9 8 7 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)24232221………1 2 23 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5· · · · · · · · a b · · · · · · ·2.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()n a b + （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：()1a b +=，它只有一项，系数为1；1()a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1系数和为2；222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；33223()33a b a a b ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……根据以上规律，解答下列问题：⑴ 4()a b +展开式共有 项，系数分别为 ； ⑵ ()n a b +展开式共有 项，系数和为 ．█知识模块2▲知识梳理我们学过有理数的五种运算：加、减、乘、除、乘方． 如：235+=，236⨯=都是2和3的运算，可结果不同，主要是运算方式不同，实际是对应法则不同．可见一种运算实际就是一个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算．当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应．只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算．下面来了解和熟悉“定义新运算”．▲精讲精练1.现规定一种运算：*a b ab a b =+-，其中a ，b 为有理数，则3*5的值为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．142.用“×”定义新运算：对于任a ，b ，都有a ×2b a b =-．例如，4×27479=-=，那么5×3= ；当m 为有理数时，m×（1-×2）= ．3.① 定义()5f x x =+，((2))f f = ．② 已知3()200920082007f x x x =++，当π1x =-时，(π1)2f -=；则(1π)f -= ．4.有一个运算程序，可以使a b n ⊕=（n 为常数）时，得()11a b n +⊕=+，()12a b n ⊕+=-.现在已知112⊕=，那么20092009⊕= ...............................13321111115.定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知113a =-，① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = ；③ 4a 是3a 的差倒数，则4a = ， ……，依此类推，则2019a = ．6.⑴ 定义计算“∆”，对于两个有理数a ，b ，有a ∆b a b ab =+-，例如：3-∆25=．则（2-∆3）∆0= ________⑵ 如果规定符号“*”的意义是aba b a b*=+，求()2*3*4-的值.课后作业：1.有一列数1，1，2，3，5，8，13，21……..，那么第9个数是 ;2.按一定的规律排列的一列数依次为：2-，5，10-，17，26-，…，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n 个数（n 为正整数）分别是（ ）A.82，21n -+B.82，()()211nn -+ C. -82，()()211nn -+ D.-82，31n + 3.观察下列等式：223142-=⨯； 224243-=⨯；225344-=⨯； ()()()()22-=⨯；…则第4个等式为__ _ ________．第n 个等式为___ _____．（n 是正整数） 4.右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→ C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，，，，…，当数到12时，对应的字母是__ _____；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是___ ______；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数 是____ （用含n 的代数式表示） 5.定义运算※为a ※()b a b a b =⨯-+① 求5※7，7※5．② 求12※（3※4），（12※3）※4． ③ 这个运算“※”有交换律、结合律吗？ ④ 如果3※（5※x ）3=，求x ．。
第三节 找规律、定义新运算和程序运算高频核心考点1．找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系：(2)-列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号以之间的关系；(3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号挖之间的关系：(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数；(5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论． 2．常见的数列规律1n 2,,9,7,5,3,1)1(-Λ（n 为正整数）； n 2,,10,8,6,4,2)2(Λ （n 为正整数）；n 2,,32,16,8,4,2)3(Λ（n 为正整数）； 1,,26,17,10,5,2)4(2+n Λ（n 为正整数）； 1,,24,15,8,3,0)5(2-n Λ（n 为正整数）；)1(,,20,12,6,2)6(+n n Λ（n 为正整数）：x x x x x x x n ⋅-+-+-+-)1(,,,,,,,)7(Λ（n 为正整数）； x x x x x x x n ⋅--+-+-++1`)1(,,,,,,,)8(Λ（n 为正整数）；(9)特殊数列：①斐波那契数列：,,13,8,5,3,2,1,1Λ从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和：②三角形数：2)1(,,21,15,10,6,3,1+n n Λ（n 为正整数）． 3．定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算；(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序； ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 4．程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 5．数学能力探究、归纳、总结和知识迁移的能力，方法技巧提炼1．规律题观察，总结，猜想，验证． 2．新定义观察定义，对比代入，注意运算顺序以及符号． 3．程序运算精题精讲精练例1．（山东威海中考）一组按规律排列的数：,167,93,41Λ,3621,2513请你推断第9个数是检测1．(1)（福建福州中考）瑞士中学巴尔末成功地从光谱数据Λ,3236,2125,1216,59中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第七个数据日是(2)（吉林长春中考）按下列规律排列的一列数对,),8,7(),5,4(),2,1(Λ第5个数对是例2．（四川内江中考）?100321=++++Λ经过研究，这个问题的一般性结论是+++321),1(21+=+n n n Λ 其中n 是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：+⨯+⨯3221?)1(=++n n Λ 观察下面三个特殊的等式：),210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯),321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯).432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯将这三个等式的两边相加，可以得到.2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 读完这段材料，请你思考后回答：=⨯++⨯+⨯1011003221)1(Λ=++++⨯⨯+⨯⨯)2(1n 432321)2(n n ）（Λ检测2．(1)观察下面的几个算式：,4121=++ ,912321=++++ ,161234321=++++++Λ,25123454321=++++++++根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：=++++++++++1239910099321ΛΛ (2)已知：,3223222⨯=+,8338332⨯=+,154415442⨯=+,245524552⨯=+…，若a ba b ⨯=+21010符合前面式子的规律，则=+b a例3．如图2-3-1所示的运算流程中，若输出的数y=5，则输入的数x 。
规律探索与定义新运算一、规律探索1.图形的变化2.数字的变化3.与代数知识相结合4.与几何知识相结合5.综合问题二、定义新运算一、规律探索1.图形的变化1.【易】（初二数学期末）如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）【答案】B2.【易】（2010深圳外国语初一上联合测）如图，一串有趣的图案按一定规律排列，请仔细观察，按此规律第2010个图案是（）A．B．C．D．【答案】B3.【易】（北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷）把全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的规律，从2010到2012，箭头的方向应为（）．A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓．【答案】C4. 【易】（2012届九年级第一模拟试题）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有________个小圆．【答案】465. 【易】（哈尔滨中考）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个★【答案】206. 【易】(河南郑州市2009-2010年初一上期末)用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五角星个．【答案】1507. 【易】(2009-2010年辽宁沈阳崇文中学初一上期末)一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图所示），则这串珠子被盒子遮住的部分有________颗．【答案】248. 【易】（密云区一模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形…小正方形，称为第三次操作；……，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（ ） A ．669 B ．670 C ．671 D ．672【答案】B9. 【易】（武汉二中广雅中学下学期期中七年级数学）如图，要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要钉上1根木条；使五边形木架不变形，至少要钉上2根木条，使六边形木架不变形，至少要钉上3根木条；……，若要使十边形木架不变形，至少要钉上________根木条．【答案】710. 【易】（2012深圳外国语初三月考）如图，用小棒摆下面的图形，图形⑴需要3根小棒，图形⑵需要7根小棒……照这样的规律继续摆下去，第个图形需要________根小棒（用含的代数式表示）．【答案】41n －11. 【易】（漳州）用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n 个图形需要棋子________枚．（用含n 的代数式表示）【答案】31n12. 【易】（2011-2012太原市七年级第二次测评）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n 个图案由（ ）个基础图形组成（n 为正整数）nn (3)(2)(1)……【答案】31n +找规律发现基础图形的个数是4710，，，总结出第n 个图案中基础图形的个数是31n +13. 【易】（广州中考）如图7-①，7-②，7-③，7-④，……是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________．【答案】25n +14. 【易】（2011深圳中学初一期末）如图是用棋子摆成的“T”字．⑴摆成第一个“T”字需要________个棋子，第二个需________个棋子．⑵按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要________个棋子，第n 个需________个棋子．⑶是否存在这样的情况，使得其中一个图形的棋子是另一个图形棋子的k 倍，其中2011k =．若存在，请指出来，若不存在，请说明理由．【答案】⑴5，8⑵32，32n +⑶存在．设一个图形的棋子数为32n +，另一个图形的棋子数为32m +，（n m ＞）20111340n m =+．15. 【易】（2010年北京西城区期末）下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第n 个图形中★的个数为________．（n 为正整数）n 图7-① 图7-② 图7-③ 图7-④……【答案】3n16. 【易】（2011罗湖外国语初一下期中）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第个“口”字需用棋了（ ）A ．枚B ．枚C ．枚D ．枚【答案】A17. 【易】（2009-2010武汉洪山去初一下期末）则当输入的下面是用棋子摆成的“上”字：第1个“上”字第2个“上”字第3个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现： ⑴第四、第五个“上”字分别需用________和________枚棋子； ⑵第n 个“上”字需用________枚棋子． 【答案】⑴18，22⑵42n +18. 【易】已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．当8n =时，共向外作出了________个小等边三角形；当n k =时，共向外作出了________个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是________（用含k 的式子表示）．【答案】18，36k -)2k - …第5个图形第4个图形第3个图形第2个图形第1个图形★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★n 4n ()44n -()44n +2n n =3n =5……n=419. 【易】（2012河南中招模拟试卷）用边长为1cm 的小正方形搭如下的塔状图形，则第n 次所搭图形的周长是________cm （用含n 的代数式表示）．【答案】4n20. 【易】（2011-2012北京十四中初一下期中）观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是________．【答案】4n21. 【易】（北京东直门七年级下期中）规律探索：连结图⑴中的三角形三边的中点得图⑵，再连结图⑵中间的三角形三边的中点得图，如此继续下去，那么在第n 个图形中共有多少个三角形？【答案】43n －22. 【易】（2011深圳中学初一上期中）用棋子摆出下列一组图形：⑴个图形棋子的枚数为________．⑶如果某一图形共有99枚棋子，你知道它是第几个图形吗？ 【答案】⑴33n(1) (2) (3)第1次 第2次 第3次 第4次······⑶3223. 【易】（郑州一中教育集团2010-2011学年上期期中考试）为参加“第十届中国开封菊展”，某单位想在步行街设计一座三角形展台，要求园林工人把它的每条边上摆放相等盆数的盆栽小菊花（如图所示的每个小圆圈表示一盆小菊花）．如果每条边上摆两盆小菊花，共需要3盆小菊花；如果每条边上摆3盆小菊花，共需要6盆小菊花；……，按此要求摆放下去：⑴________．⑶请你帮园林工人参考一下，能否用2003盆小菊花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆小菊花的盆数；如果不能，请简要说明理由．【答案】⑴⑵⑶不能．令332003n -=，解得26683n =，n 不是整数．24. 【易】（通州二模）根据如图所示的⑴，⑵，⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（ ）A ．3nB ．()31n n +C ．6nD ．()61n n +【答案】A25. 【易】（2011山西中考）如图是用相同长度的小棒摆戍的一组有规律的图案，图案⑴需要4根小棒，图案⑵需要10根小棒……，按此规律摆下去，第n 个图案需要小棒________根(用含有n 的代数式表示)．……【答案】62n －26. 【易】（2010深圳外国语初一上联合测）用棋子按下列方式摆图案，依照此规律，第n 个图形比第()1n -个图形多________枚棋子．【答案】32n -27. 【易】（武汉二中初一下期中）某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图，第2次把第1次铺的完全围起来，如图，第3次把第2次铺的完全围起来，如图；…．依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数________．【答案】86n －根据图形得到一列数2、10、18、26、…，这一个列数，从第二项起，每一项与它前面紧邻的一项的差，都等于一个常数8． 第2个数=第一个数+（2﹣1）个8； 第3个数=第一个数+（3﹣1）个8； 第4个数=第一个数+（4﹣1）个8； …由此猜想：第n 个数=第一个数+()1n －个8； 即第n 个数=2+8×()1n －=86n －；一般规律：()11n a a n d =+－，其中1a 为首项（第一个）、n a 为这一列数的第n 个，d 为每相邻两个数的差．28. 【易】（南平中考）观察下列各图形中小正方形的个数，依此规律，第（11）个图形中小正方形的个数为________第2个第1个……A ．78B ．66C ．55D ．50【答案】B29. 【易】（2012贵州毕节中考）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有________个小正方形．【答案】10030. 【易】（2011深圳中学初一上期末）小卫搭积木块，开始时用2块积木搭拼（第1步），然后用更多的积木块完全包围原来的积木块（第2步），如图反映提前3步的田径赛案，当第10步结束后，组成图案的积木块数为________．【答案】380（规律为242n n －）31. 【易】（2010初一期末）探索规律图⑴是一个正方形，依次连结这个正方形各边中点得到图⑵，再依次连结图⑵中间小正方形各边的中点得到图⑶，按以上的方法继续下去……①第1步第2步第3步（3）（2）（1）②按上面的方法继续下去，小明说：第101个图形中有100个正方形；小颖说：第101个图形中有401个三角形．请判断他们的说法是否正确，并说明理由． 【答案】①小颖的说法错误，第101个图形中有400个三角形．32. 【易】（天津市河西区2010-2011学年度第一学期七年级期中质量调查数学试卷）如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，探究问题在第n 个图中，共有白色瓷砖________块．【答案】2n n +33. 【易】（2010年初一下两部联考）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从右图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中符合这一规律的是（ ）A ．13310=+ B ．25916=+ C ．361521=+ D ．491831=+ 【答案】C34.【易】（徐州市中考）如图，每个图案都由若干个棋子摆成．依照此规律，第n 个图案中棋子的总个数可用含n 的代数式表示为________．【答案】2n n +4=1+39=3+616=6+10…第1第2第3第435. 【易】（2011•达州）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要小圆________个（用含n 的代数式表示）．【答案】()12n n +36. 【易】（2009-2010年太原市七年级第二次测评）根据下列五个图形及对应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．【答案】21n n -+如果没有公共交点，那么一共是n 条线段，每条线上n 个点，现在n 条线有一个公共交点，所以总点数为21n n -+．37. 【易】（郑州外国语中学第三次质量检测数学卷）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是________．【答案】22n n +38. 【易】（南山初一统考）如图，是用三角形摆成的图案，摆第一层图需要1个三角形，摆第二层图需要3个三角形，摆第三层图需要7个三角形，摆第四层图需要13个三角形，摆第五层图需要21个三角形摆第n 层图需要________个三角形．……第1个图第2个图第3个图第4个图【答案】21n n +－观察可得，第1层三角形的个数为1， 第2层三角形的个数为22213+=－， 第3层三角形的个数为33317+=－， 第四层图需要244113+=－个三角形， 摆第五层图需要255121+=－．那么摆第n 层图需要21n n +－个三角形．39. 【易】（怀柔区一模）观察下列图形及所对应的算式，根据你发现的规律计算1816248n ++++⋅⋅⋅+(n 是正整数)的结果为（ ）A ．()221n +B ．18n +C ．18(1)n +-D ．244n n +【答案】A40. 【易】（2012年青羊区初一下期末）下图是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S ，则S =________．（用n 的代数式表示S ）【答案】()21n n +41. 【易】（2010年北京怀柔区期末）小明在阅览时发现这样一个问题“在某次聚会中，共有6人参加，如果每两个人都握一次手，共握几次手？”小明通过努力得出了答案，同时为了解决的方法更具有一般性，小明设计了以下图表进行探究．n =1 n =2 n=3请你在图表右下角的横线上填上你归纳出的一般结论． 【答案】()12n n -42. 【易】（郑州一中教育集团2010-2011学年上期期中考试）图中是一幅“苹果排列图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有________个苹果； 第n 行有________个苹果．（可用乘方形式表示）【答案】92，12n -43. 【易】（2010深圳外国语初一上联合测）在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法，如图，一层二叉树的结点总数为1，二层二叉树的结点总数为3，三层二叉树的结点总数为7······照此规律，七层二叉树的结点总数为（ ）A ．63B ．64C ．127D ．128【答案】C （规律为21n -）44. 【易】（福建三明市中考）如图，直线l 上有2个圆点A ，B ．我们进行如下操作：第1次操作，在A ，B 两圆点间插入一个圆点C ，这时直线l 上有（2＋1）个圆点；第2次操作，在A ，C 和C ，B 间再分别插入一个圆点，这时直线l 上有（3＋2）个圆点；第3次操作，在每相邻的两圆点间再插入一个圆点，这时直线l 上有（5＋4）个圆点；…第n 次操作后，这时直线l 上有________个圆点．……三层二叉树二层二叉树一层二叉树【答案】21n +45. 【易】（2010年九年级第三次质量预测试题）观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第n 个图中最小的三角形的个数有________个．【答案】14n -46. 【中】（2012广西桂林中考）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n 个图中阴影部分小正方形的个数是________．【答案】22n n ++47. 【中】（2011年天津市河北区初中毕业生学业考试模拟试卷（三））如图，第1个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为3a ，且312a =；第2个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为4a ，且420a =；…；依此类推，由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为()3n a n ≥，则当3451111n a a a a ++++的结果是6702013时，n 的值为________．【解析】()1n a n n =+，则()111111n a n n n n ==++－， （第16题）l l l lA B C ABC第1个图第2个图第3个图第4个图（第14题图）所以34511111131n a a a a n ++++=+－，则2012n =． 【答案】201248. 【中】（武汉）如图的图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成，拼搭第一个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，……，依此提出，拼搭第8个图案需小木棒________根．【答案】8849. 【中】（2011-2012年铁二中初一下期中）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个1010⨯的正方形图案，则其中完整的圆共有________个．【答案】18150. 【中】（荆州市中考）图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个；如此下去，可铺成一个n n ⨯的近似正方形图案．当得到完整的菱形共181个时，n 的值为（ ） A ． B ． C ．9 D．【答案】D51. 【中】按照如图所示的式样画下去，则第15个图形有________个黑方块．【解析】由已知所画图形，可得：依次图形的方块数是：1，9，25，49，…又：1=129=32 25=52 49=72 …左边乘方的底数依次是：1，3，5，7，… 1=1+2×（1﹣1） 3=1+2×（2﹣1） 5=1+2×（3﹣1） 7=1+2×（4﹣1） …那么第15项可表示为：1+2×（15﹣1）=29．所以第15个图形的方块数为：292．又从图形上得知，所以黑方块数为22918402+=个． 【答案】84052. 【中】（武汉二中广雅七年级下期末模拟试卷）如图，是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形，仔细观察图形可知：图⑴中黑色瓷砖与白色瓷砖块数之比为1:3；图⑵中黑色瓷砖与白色瓷砖块数之比为3:6；图⑶中黑色瓷砖与白色瓷砖块数之比为6:10；···；那么按这样的规律铺设，第6个图形黑色瓷砖与白色瓷砖块数之比为________．【答案】3:453. 【中】（2012年安徽省初中毕业学业考试数学）在由()1m n m n ⨯⨯＞个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f ，⑴当m 、n 互质（m 、n 除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表：⑵猜想：当m 、n 互质时，在m n ⨯的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与m 、n 的关系式是________（不需要证明）；⑶当m 、n 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立； 根据题意，画出当m 、n 不互质时，结论不成立的反例即可． 【答案】⑴如表：⑵1f m n =+－⑶m 、n 不互质时，上述结论不成立，例如2×4，如下图：54. 【中】（初二上题型训练一）如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是（ ）A ．54个B ．90个C ．102个D ．114个【答案】B55. 【中】（2011年南山二外初一下测试）观察下图，我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律下去的第5个图形共有________个正方形．【答案】5556. 【中】（2011深圳外国语分校初一下期末）某种树木的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年时，树木的分枝数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D57. 【中】(2009年初一上期末)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和、现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造如下正方形：再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如下长方形并记为①、②、③、④、…相应长方形的周长如下表所示：……第3个图第2个图第1个图仔细观察图形，上表中的________，________若按此规律继续作长方形，则序号为⑧的长方形周长是________ 【答案】16x =，26y =，周长是18758. 【中】（2012黑龙江绥化中考）长为20，宽为a 的矩形纸片（1020a ＜＜），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当3n =时，a 的值为________．【答案】12或152．数字的变化59. 【易】（2010-2011太原市七年级第二次测评）下面的正方形中都填有4个数，这些数之间有一定的规律，根据此规律，m 的值是（ ）A ．38B ．52C．66 D ．74【答案】D本题考察类似于“行列式”的交叉相乘规律： 24084622268444810674m⨯-=⨯-=⨯-=⨯-==60. 【易】（武汉二中广雅中学2010-2011下学期期末七年级数学）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同规律，根据此规律，n 的值是（ ）A ．36B ．49C ．63D ．64【答案】B61. 【易】（2010深圳外国语分校初一上期中）有若干个数，第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，···，第n 个数记为n a ．若112a =-，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．试计算：2a =________，3a =________，4a =________，6a =________．你发现这排数有什么规律吗？由你发现的规律，请计算2004a 是多少？【答案】223a =，33a =，412a =-，63a =．规律：每三个数一循环 20043a =62. 【易】（2011深圳外国语分校初一上期中）读题填空：等边ABC △在数轴上的位置如图所示，点A 、C 对应的数字分别是0和1-，若△ABC 绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1，则连续翻转2012次后，点B 对应的数字为________．【答案】201163. 【易】（2011深圳育才二中初一上期中）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为（ ）64. 【易】（2011耀华实验初三四模）在很小的时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2010时对应的指头是________（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．【答案】食指65. 【易】（杭州翠苑中学初一2011第一学期期中）让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数12n =，计算211n +得1a ；B第二步：算出1a 的各位数字之和得2n ，计算221n +得2a ； 第三步：算出2a 的各位数字之和得3n ，计算231n +得3a ； …………以此类推则2011a =________． 【答案】12266. 【易】（石景山二模）有一列数1a ，2a ，3a ，，n a ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若12a =，则2009a 为（ ） A ．2009B ．2C ．12D ．1-【答案】C67. 【易】（2011•南京）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需拍手的次数为________． 【答案】4解：∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束； ∴504=122÷⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，∴报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需拍手的次数为：9，21，33，45时， 所以一共有4次．68. 【中】（2011深圳外国语分校初一下期末）“抢30”游戏的规则是：第一个人先说“1”或“1、2”，第二个人要接着往下说一个或两个数，然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数，这样两人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但是不可以连说三个数，谁先抢到30谁就获胜，那么采取适当策略，其结果是（ ） A ．先报数者胜 B ．后报数者胜 C ．两者都可能胜 D ．很难预料 【答案】A为了抢到30，那就必须抢到27，这样无论对方叫“28”或“29”，你都获胜．游戏的关键是报数先后顺序，并且每次报的个数和对方合起来是三个，即对方报a ()12a ≤≤个数字，你就报()3a －个数．抢数游戏，它的本质是一个是否被“3”整除的问题．69. 【易】（2011年初一上期中）观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，······根据上述算式中的规律，你认为302的个位数字是________． 【答案】470. 【易】（2010深圳外国语初一下期末）已知122=，224=，328=，，则20112的末位数字是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】D71. 【易】（2010深圳外国语分校初一下期中）已知122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，……结合计算估计一下：()()()()()24322121212121-++++的个位数字是________．【答案】572. 【易】（郑州四中2010-2011学年下期初三年级第五次月考）观察算式：133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=，836561=，···通过观察，用你所发现的规律确定32011的个位数字是（ ） A ．3 B ．9 C ．7 D ．1 【答案】C73. 【易】（2010-2011武汉青山区初一上期末）己知：41=4，42=16，43=64，44=256，45=1024…以上算式结果的个位数字分别为4，6，4，6…，按照上面的研究方法确定20062007+20072006的个位数字为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C74. 【易】（2011深圳中学初一上期中）QQ 空间一个展示自我和沟通交流的网络平台，它既是网络日记本，又可以上传图片、视频等，QQ 空间等级是用户资料和身份的象征，按照空间积分划分不同的等级，当用户在10级以上，每个等级与对应的积分有一定的关系，现在知道第10级的积分是90，第11级的积分是160，第12级的积分是250，第13级的积分是360，第14级的积分是490······，若某用户的空间积分达到1000，则他的等级是（ ） A ．18 B ．17 C ．16 D ．15 【答案】B解：第10级到第11级，12级，13级，14级积分分别增加的值是70，90，110，130，15级增加150，16级增加170，17级增加190，18级增加210，则15级积分是640，16级积分是810，17级积分是1000，18级积分是1210， 所以他的等级是17级．75. 【易】（眉山市中考）一组按规律排列的多项式：，，，，···，其中第10个式子是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B76. 【易】（初一下期中）观察下列单项式：、、、、…，按此规律写出第13个单项式是________． 【答案】77. 【易】（石景山一模）一组按规律排列的式子：3579234,,,,x x x x y y y y--（0xy ≠），其中第6个式子是________，第n 个式子是________（n 为正整数）．【答案】136x y-，211(1)n n n xy ++-78. 【易】（怀柔一模）一组按规律排列的式子：52a b ，84a b -，118a b ，1416a b-，……（0ab ≠），其中第6个式子是________，第n 个式子是________（n 为正整数）．【答案】2064a b -；()32121n n n a b ++-⋅或()32121n n n ab+--⋅79. 【易】（2010年门头沟二模）一组按一定规律排列的式子：2a -，52a ，83a -，114a ，…，()0a ≠，则第n 个式子是________（n 为正整数）． 【答案】80. 【易】（门头沟初二上期末）一组按规律排列的分式：3b a ，522b a-，733b a ，944b a-，…（0b ≠），其中第8个分式是________，第n 个分式是________（n 为正整数）．【答案】1788b a-，()2111n n n bna ++-a b +23a b -35a b +47a b -1019a b +1019a b -1017a b -1021a b -23x 38x 415x 524x 14195x 31(1)n na n--81.【易】（2012年门头沟一模）一组按规律排列的式子：22ab ，234a b -，348a b ，4516a b -，…，其中第6个式子是________，第n 个式子是________（n 为正整数）． 【答案】6764a b -，11(1)2n n n na b ++-82.【易】（深圳中学初一上期末）为了从500只外形相同的鸡蛋中找到唯一的一只双黄蛋，检查员将这些鸡蛋按1至500的顺序排成一列，第一次先从中取出序号为单数的蛋，发现其中没有双黄蛋，他将剩下的蛋的原来位置上又按1-250编号（即原来的2号变为1号，原来的4号变成2号，···，原来的500号变成250号）．又从中取出新序号为单数的蛋进行检查，也没有发现双黄蛋，···，如此下去，检查到最后的一个是双黄蛋，向这只双黄蛋最初的序号是________． 【答案】256解：第一次取出的是单号的蛋，剩下的蛋的序号是2的倍数，因为原来是500只，所以还剩250只；第二次取出后，剩下的蛋的序号是4的倍数，所以还剩125只； 第三次取出后，剩下的蛋的序号是8的倍数，所以还剩62只； 第四次取出后，剩下的蛋的序号是16的倍数，所以还剩31只； 第五次取出后，剩下的蛋的序号是32的倍数，所以还剩15只； 第六次取出后，剩下的蛋的序号是64的倍数，所以还剩7只； 第七次取出后，剩下的蛋的序号是128的倍数，所以还剩3只； 第八次取出后，剩下的蛋的序号是256的倍数，只剩1只． 故这只双黄蛋的序号就是256．83.【易】（2010年西城二模）一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为________________，根据上述规律，第n 个整数为________（n 为正整数）． 【答案】67，23n +84.【易】（2012贵州遵义中考）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：248163257111935⋅⋅⋅，，，，，小亮猜想出第六个数字是6467根据此规律，第n 个数是________．【答案】223nn+85. 【易】（2011深圳外国语初一上期末）某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，……6小时后细胞存活的个数有（ ） A ．63 B ．65 C ．67 D ．71 【答案】B。
