哈工大控制系统设计大作业——直线一级倒立摆控制器设计(DOC)

一级直线倒立摆系统模糊控制器设计---实验指导书精讲第一篇：一级直线倒立摆系统模糊控制器设计---实验指导书精讲一级直线倒立摆系统模糊控制器设计实验指导书目录实验要求........................................................................................................................... ...................3 1.1 实验准备........................................................................................................................... ................3 1.2 评分规则........................................................................................................................... ................3 1.3 实验报告内容........................................................................................................................... ........3 1.4 安全注意事项........................................................................................................................... ........3 2 倒立摆实验平台介绍..........................................................................................................................4 2.1 硬件组成........................................................................................................................... ................4 2.2 软件结构........................................................................................................................... ................4 3 倒立摆数学建模（预习内容）............................................................................................................6 4 模糊控制实验........................................................................................................................... ............8 4.1 模糊控制器设计（预习内容）.......................................................................................................8 4.2 模糊控制器仿真........................................................................................................................... ...12 4.3 模糊控制器实时控制实验..............................................................................................................12 5 附录：控制理论中常用的MATLAB 函数.......................................................................................13 6 参考文献........................................................................................................................... .................14 实验要求1.1 实验准备实验准备是顺利完成实验内容的必要条件。

电气控制系统设计——直线一级倒立摆控制系统设计学院轮机工程学院班级电气1111 姓名李杰学号 2011125036 姓名韩学建学号 2011125035 成绩指导老师肖龙海2014 年 12 月 25 日小组成员与分工：韩学建主要任务：二阶系统建模与性能分析，二阶控制器的设计，二阶系统的数字仿真与调试，二阶系统的实物仿真与调试。

二阶状态观测器的数字仿真与调试，二阶状态观测器的实物仿真与调试。

李杰主要任务：四阶系统建模与性能分析，四阶控制器的设计，四阶系统的数字仿真与调试，四阶系统的实物仿真与调试。

四阶状态观测器的数字仿真与调试，四阶状态观测器的实物仿真与调试。

前言倒立摆系统是非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统，倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。

倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。

本报告通过设计二阶、四阶两种倒立摆控制器来加深对实际系统进行建模方法的了解和掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法。

熟悉倒立摆系统的组成及基本结构并利用MATLAB对系统模型进行仿真，利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计，并对系统进行实际控制实验，对实验结果进行观察和分析，研究调节器参数对系统动态性能的影响，非常直观的了解控制器的控制作用。

目录第一章设计的目的、任务及要求1.1 倒立摆系统的基本结构 (4)1.2 设计的目的 (4)1.3 设计的基本任务 (4)1.4 设计的要求 (4)1.5 设计的步骤 (5)第二章一级倒立摆建模及性能分析2.1 微分方程的推导 (5)2.2 系统的稳定性和能控能观性分析 (11)2.3 二阶的能观性、能控性分析 (13)2.4 四阶的能观性、能控性分析 (18)第三章倒立摆系统二阶控制器、状态观测器的设计与调试3.1 设计的要求 (22)3.2 极点配置 (22)3.3 控制器仿真设计与调试 (23)3.4 状态观测器仿真设计与调试 (28)第四章倒立摆系统四阶控制器、状态观测器的设计与调试4.1 设计的要求 (26)4.2 极点配置 (26)4.3 控制器仿真设计与调试 (27)4.4 状态观测器仿真设计与调试 (28)心得体会 (31)参考文献 (31)第一章设计的目的、任务及要求1.1 倒立摆系统的基本结构与工作原理图1.1 倒立摆系统硬件框图图1.2 倒立摆系统工作原理框图倒立摆系统通过计算机、I/O卡、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件组成一个闭环系统。

摘要倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。

本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。

本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介绍倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性；研究倒立摆系统的几种控制策略，分别设计了相应的控制器，以MATLAB为基础，做了大量的仿真研究，比较了各种控制方法的效果；借助固高科技MATLAB实时控制软件实验平台；利用设计的控制方法对单级倒立摆系统进行实时控制，通过在线调整参数和突加干扰等，研究其实时性和抗千扰等性能；对本论文进行总结，对下一步研究作一些展望。

关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB仿真目录第1章MATLAB仿真软件的应用 (9)1.1 MA TLAB的基本介绍 (9)1.2 MA TLAB的仿真 (9)1.3 控制系统的动态仿真 (10)1.4 小结 (12)第2章直线一级倒立摆系统及其数学模型 (13)2.1 系统组成 (13)2.1.1 倒立摆的组成 (14)2.1.2 电控箱 (14)2.1.3 其它部件图 (14)2.1.4 倒立摆特性 (15)2.2 模型的建立 (15)2.2.1 微分方程的推导 (16)2.2.2 传递函数 (17)2.2.3 状态空间结构方程 (18)2.2.4 实际系统模型 (20)2.2.5 采用MA TLAB语句形式进行仿真 (21)第3章直线一级倒立摆的PID控制器设计与调节 (34)3.1 PID控制器的设计 (34)3.2 PID控制器设计MA TLAB仿真 (36)结论 (41)致谢 (42)参考文献 (43)第1章 MATLAB仿真软件的应用1.1 MATLAB的基本介绍MTALAB系统由五个主要部分组成，下面分别加以介绍。

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y课程设计说明书（论文）课程名称：控制系统设计课程设计设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院系：班级：设计者：学号：指导教师：设计时间：哈尔滨工业大学教务处哈尔滨工业大学课程设计任务书一、直线一级倒立摆的数学模型1.1 实验设备简介一级倒立摆系统的结构示意图如图1-1所示。

图1-1 一阶倒立摆结构示意图系统组成框图如图1-2所示。

图1-2 一级倒立摆系统组成框图系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成的闭环系统。

光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈给运动控制卡。

计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车运动方向、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，通过皮带，带动小车运动，保持摆杆平衡。

1.2 直线一级倒立摆数学模型的推导系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。

实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。

这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。

机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。

但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统. 如图1-3所示。

基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统，经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。

设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。

、设计要求倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。

当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。

实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。

二、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。

计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。

四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：工业控制计算机电动机驱动器一阶倒立摆一阶倒立摆控制系统动态结构图F面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数!1. 一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示,其中：M小车质量m为摆杆质量J :为摆杆惯量F:加在小车上的力x :小车位置摆杆与垂直向上方向的夹角l :摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知:(1) 摆杆绕其重心的转动方程为J鎳F y lsin 二- F x l cos： (1)(2) 摆杆重心的运动方程为F x d2(x l sin r)彳『=mg-m d2 d2t(3) 小车水平方向上的运动为-1-L+10-0一4即 G 1(s)=' ; G 2(s)='-一阶倒立摆环节问题解决！2. 电动机驱动器选用日本松下电工MSMA02型小惯量交流伺服电动机，其有关参数如下:F — F x 二 M d 2x联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：J ml 2F ml J ml 2sin u 2-m 2l 2gsin r COST2 2 2 2J ml j[ M m ：-m l cos )mlcos v.F m 2l 2sin vcos m 2-＜； M m mlg sin vm 2l 2cos 20—(M + m )(J +ml 2)式中J 为摆杆的转动惯量：J 』3若只考虑B 在其工作点附近B 0=0附近(-10 —”：10 )的细微变化，则可 以近似认为: 石2“* sin^比日 cos 日“若取小车质量M=2kg,摆杆质量 m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=10m/s 2,则可以得阶倒立摆简化模型:x =0.44F -3.33^ v - -0.4 F 12^拉氏变换=^>日(s)』F(s) x(s) ?(s)-0.42s-122 -1.1s 102 s2(J ml 2)F -m 2l 2g J J(M m) Mml (M m)mlg mlF J(M m) Mml电磁时间常数：Tl=0.001s电机时间常数：TM=0.003s经传动机构变速后输出的拖动力为： F=0~16N 与其配套的驱动器为:MSDA021A1A S 制电压：UDA=0± 10V 。

一阶直线倒立摆系统姓名：班级：学号：目录摘要 (3)第一部分单阶倒立摆系统建模 (4)（一) 对象模型 (4)(二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6)第二部分单阶倒立摆系统分析 (7)第三部分单阶倒立摆系统控制 (11)（一）内环控制器的设计 (11)(二）外环控制器的设计 (14)第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16)系统的simulink仿真 (16)摘要：该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究,有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制.控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。

另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。

实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角,来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机(IPC）完成。

实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案,实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。

实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。

仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性.第一部分单阶倒立摆系统建模（一） 对象模型由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。

如图1。

1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心.图1。

1 一阶倒立摆的物理模型根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和,则1）摆杆绕其重心的转动方程为sin cos y x l F J F l θθθ=- （1—1）2）摆杆重心的水平运动可描述为22(sin )x d F m x l dtθ=+ （1—2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为22(cos )y d F mg m l dtθ-= （1—3） 4）小车水平方向运动可描述为202x d x F F m dt-= (1-4）由式（1—2）和式（1-4）得20()(cos sin )m m x ml F θθθθ++⋅-⋅= （1-5）由式（1—1）、式（1-2）和式（1-3）得2()cos lgsin J ml ml x m θθθ++⋅= （1-6）整理式（1—5）和式（1—6），得2222222220222022220()()sin sin cos ()()cos cos sin cos ()lg sin cos ()()J ml F lm J ml m l g x J ml m m m l ml F m l m m m m l m m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++⋅-=⎪++-⎪⎨⋅+⋅-+⎪=⎪-++⎩（1—7） 因为摆杆是匀质细杆,所以可求其对于质心的转动惯量。

直线型一级倒立摆系统的控制器设计引言1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统（2）掌握极点配置算法（3）掌握MATLAB/simulink动态仿真技术2. 设计要求基于极点配置算法完成对于直线型一级倒立摆系统的控制器设计3. 系统说明倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。

通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。

4. 设计任务（1）建立直线型一级倒立摆系统的状态空间表达式。

（2）对该系统的稳定性、能观性、能控性进行分析。

（3）应用极点配置法对该直线型一级倒立摆系统进行控制器设计。

（4）使用MATLAB/simulink软件验证设计结果目录设计目的........................................................................................... 2-4设计要求：. (4)系统说明：....................................................................................... 4-5设计任务........................................................................................... 5-8运行结果......................................................................................... 8-11收获与体会.. (10)参考文献 (12)1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。

直线一级倒立摆控制方法设计倒立摆的数学模型设计倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，许多抽象的控制概念都可以通过倒立摆直观地表现出来。

本设计是以一阶倒立摆为被控对象来进行设计的。

状态空间法：状态空间法可以进行单输入多输出系统设计，因此在这个实验中，我们将尝试同时对摆杆角度和小车位置进行控制。

根据设计要求，给小车加一个阶跃输入信号。

此次用Matlab 求出系统的状态空间方程各矩阵，并仿真系统的开环阶跃响应。

在这里给出一个state.m 文件，执行这个文件,Matlab 将会给出系统状态空间方程的A,B,C 和D 矩阵，并绘出在给定输入为一个0.2m 的阶跃信号时系统的响应曲线。

直线一级倒立摆系统数学建模 在忽略了空气阻力、各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。

如图所示：系统状态方程为：XAX Bu Y CX Du=+=+假设系统内部各相关参数为：M 小车质量 0.5kg m 摆杆质量 0.2kgb 小车摩擦系数 0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3mI 摆杆惯量 0.006kg*m*m T 采样时间 0.005s x 小车位置φ 摆杆与垂直向上方向的夹角θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 应用牛顿-欧拉方法，可得到系统状态空间方程为：222222201()0()()0()0()()x I ml b m gl x I M m Mml I M m Mml lb mgl M m I M m Mml I M m Mml φφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥=⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎢-+⎢⎥⎣⎦⎢++++⎣⎦ ０ 0 0 ０ 0 0ｍ 0　2220()0()x I ml x I M m Mml u ml I M m Mml φφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥+⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎥⎢⎥++⎣⎦1000000100x x x Y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 以上就是一阶倒车摆系统的状态空间表达式。

WOIRD格式一级直线倒立摆系统模糊控制器设计实验指导书目录1实验要求.................................................................................................. .. (3)1.1实验准备.................................................................................................. .. (3)1.2评分规则.................................................................................................. .. (3)1.3实验报告内容.................................................................................................. (3)1.4安全注意事项.................................................................................................. (3)2倒立摆实验平台介绍.................................................................................................. (4)2.1硬件组成.................................................................................................. .. (4)2.2软件结构.................................................................................................. .. (4)3倒立摆数学建模（预习内容）................................................................................................ (6)4模糊控制实验.................................................................................................. . (8)4.1模糊控制器设计（预习内容）................................................................................................ . (8)4.2模糊控制器仿真.................................................................................................. . (12)4.3模糊控制器实时控制实验.................................................................................................. (12)5附录：控制理论中常用的MATLAB函数 (13)6参考文献.................................................................................................. (14)21实验要求1.1实验准备实验准备是顺利完成实验内容的必要条件。

工业大学控制科学与工程系控制系统设计课程设计报告一．直线一阶倒立摆简介倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。

倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。

最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。

近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。

倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。

由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。

平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。

一阶倒立摆系统的结构示意图如下所示：摆杆滑轨电机图1-1 一阶倒立摆结构示意图系统组成框图如下所示：图1-2 一级倒立摆系统组成框图系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成的闭环系统。

光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，白干的角度、角速度信号由光电码盘2反馈给运动控制卡。

计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车运动方向、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，通过皮带带动小车运动吗，保持摆杆平衡。

二．直线一阶倒立摆数学模型的推导首先建立一阶倒立摆的物理模型。

基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。

设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。

二、设计要求倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。

当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。

实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。

三、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。

计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。

四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图：一阶倒立摆控制系统动态结构图下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为（2） 摆杆重心的运动方程为得sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2222(sin ) (2)(cos ) (3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-（3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t-=联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml mM J g l m F ml J x θθθ 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=2/10s m ,则可以得 一阶倒立摆简化模型：....0.44 3.330.412x F F θθθ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 拉氏变换 即 G 1(s)= ; G 2(s)=一阶倒立摆环节问题解决！2.电动机驱动器选用日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机，其有关参数如下：222()0.4()12() 1.110()s F s s x s s s s θθ-⎧=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪⎩驱动电压：U=0~100V 额定功率：PN=200W 额定转速：n=3000r/min 转动惯量：J=3×10-6kg.m2 额定转矩：TN=0.64Nm 最大转矩：TM=1.91Nm 电磁时间常数：Tl=0.001s 电机时间常数：TM=0.003s经传动机构变速后输出的拖动力为：F=0~16N ；与其配套的驱动器为：MSDA021A1A ，控制电压：UDA=0~±10V 。

控制系统综合设计3——一级直线倒立摆的控制一、设计的目的：本设计要求学生针对设计要求，利用课堂所学知识及实验室实测来的系统数据采用工程设计法进行一级直线倒立摆控制系统设计。

绘制原理图，同时在实验室进行实验检验设计结果，分析数据，编写设计报告。

目的是使学生掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法。

二、设计的基本任务：本课程设计的被控对象采用固高科技生产的GLIP2001一级直线倒立摆。

通过设计与调试使学生能够：（1）熟悉倒立摆系统的组成及其基本结构；（2）掌握通过解析法建立系统数学模型及进行工作点附近线性化的方法；（3）掌握系统性能的计算机辅助分析；（4）掌握系统控制器的设计与仿真；（5）研究调节器参数对系统动态性能的影响。

倒立摆系统控制器的设计设计要求：1、熟悉倒立摆系统结构，熟悉倒立摆装置的基本使用方法；2、建立系统的数学模型，并在工作点附近线性化；3、分析系统的稳定性、频域性能、能控性与能观性；4、采用状态空间的极点配置法设计控制器，要求系统调节时间ts<=3s，阻尼比ξ>=0.6。

详细的设计步骤及安排1. 倒立摆系统基本结构了解倒立摆装置基本结构。

了解编码盘、行程开关等的基本工作原理。

进行行程开关、编码盘和电机基本测试。

（参考参考文献4第七章，实验室提供）2．对象的建模根据牛顿第二定律，建立系统的数学模型，并在摆杆竖直方向附近进行线性化。

在此基础上建立以小车加速度为系统输入，以摆杆角度和小车位移为系统输出，以摆杆角度、摆杆角速度、小车位移、小车速度为状态变量的状态空间描述。

（参考参考文献4、5）3．系统性能分析基于对象的模型，用Matlab进行仿真，分析系统的性能。

（参考参考文献1、2、3）4．控制器设计与调试根据设计要求，确定系统闭环极点，设计状态反馈控制器，并进行仿真、调试验证。

（参考参考文献1、2（第五章）、3）5．设计报告的撰写格式：统一封面；内容主要包括：小组成员的分工；前言；目录；设计要求；对象工作原理简介（方案设计）；建立对象模型；系统分析；反馈控制器设计、仿真与调试；系统调试；小结；参考文献。

1.概述自动控制理论（包括古典部分和现代部分）是电气工程系学生的一门必修专业基础课，课程中的一些概念相对比较抽象，如系统的稳定性、可控性、收敛速度和抗干扰能力等。

倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，它是一个理想的教学实验设备，许多抽象的控制概念都可以通过倒立摆直观地表现出来。

本课程设计的目的是让学生以一阶倒立摆为被控对象，了解用古典控制理论设计控制器（如PID控制器）的设计方法和用现代控制理论设计控制器（极点配置）的设计方法，掌握MATLAB仿真软件的使用方法及控制系统的调试方法，加深学生对所学课程的理解，培养学生理论联系实际的能力。

本课程设计的被控对象采用固高公司生产的GIP-100-L型一阶倒立摆系统，课程设计包括三方面的内容：（1）建立直线一级倒立摆的线性化数学模型；（2）倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真及实物调试；（3）倒立摆系统的状态空间极点配置控制器设计、MATLAB仿真及实物调试。

1.1 实验设备简介一级倒立摆系统的结构示意图如图1-1所示。

小车滑轨皮带电机摆杆图1-1 一阶倒立摆结构示意图系统组成框图如图1-2所示。

图1-2 一级倒立摆系统组成框图系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成的闭环系统。

光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈给运动控制卡。

计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车运动方向、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，通过皮带，带动小车运动，保持摆杆平衡。

1.2设计内容1.2.1．建立一级倒立摆数学模型在《自动控制理论》课程中，有一章专门讲述控制系统的数学模型的建立方法，并将非线性数学模型在一定条件下化简成线性数学模型，在此以一级倒立摆为例，建立其数学模型，并在摆角0=φ附近将其非线性数学模型线性化，学生通过实际数学模型的推导，熟悉机理建模的一般方式，加深对控制对象的理解。

成都理工大学工程技术学院毕业论文直线单级倒立摆控制器的设计作者姓名：李友良专业名称：自动化指导教师：杨明讲师摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统，在控制过程中反映控制中的许多关键问题，如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题等，对倒立摆系统的研究在理论上和方法上都有深远的意义。

本次设计是在观察了直线一阶倒立摆的实验室模型的前提下，根据其工作原理，对其进行机理建模，并对倒立摆结构受力分析，进而得到一阶倒立摆的微分方程模型、传递函数模型一阶状态空间。

再利用牛顿力学方法建模，设计倒立摆PID控制器，通过MATLAB仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。

建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。

本文以实验室的一阶倒立摆为实际研究对象，研究其PID控制器和状态空间极点配置控制器设计。

关键字：倒立摆MATLAB仿真PID控制极点配置控制AbstractInverted pendulum system is atypical multivariable nonlinear strong coupling and rapid movements of natural unstable system, the control process control many of the key problems reflect, such as the stabilization problem of nonlinear problems robustness, etc, to inverted pendulum in theory and methods on the research is of profound significance. This design is to observe the order in a straight line of inverted pendulum under the premise of laboratory model, according to its work principle, the mechanism modeling, and inverted pendulum structure stress analysis, and then got a order of the inverted pendulum differential equation model transfer function model of an order state space. Reuse Lagrange method modeling, design inverted pendulum quadratic optimal controller, by MATLAB simulation and actual experiment system, and to realize the inverted pendulum stability control. Set a model, determine the parameters, control algorithm design system commissioning and analysis steps realized. This paper by the laboratory of the first order for inverted pendulum actual research object, and study the PID controller and state space poles controller design.Keyword:Inverted pendulum, MATLAB simulation, PIDcontrol, pole assignment controller.目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)前言 (1)1 倒立摆的概述 (2)1.1 倒立摆的起源与国内外发展现状 (2)1.2 倒立摆系统的组成及分类 (2)1.3 倒立摆的控制方法 (3)1.3.1 倒立摆的稳定控制方法 (3)1.3.2 倒立摆的自动起摆控制方法 (6)1.3.3 算法的比较 (6)1.4本文研究的内容及安排 (7)2 理论模型的建立及分析 (8)2.1 直线一级倒立摆数学模型的推导 (8)2.2 系统可控性分析 (13)2.3 系统阶跃响应分析 (16)3 PID控制器设计与调节 (17)3.1 PID控制概述 (17)3.2 PID控制规律 (19)3.3 PID控制在倒立摆中的分析 (20)3.4 PID控制仿真 (23)3.4.1 摆杆角度讨论 (23)3.4.2 小车位置变化讨论 (26)3.5 PID 方法总结 (28)4 状态空间极点配置控制器设计 (29)4.1 极点配置 (29)4.2 仿真 (31)4.3 极点配置控制器方法总结 (33)结论 (34)致谢 (35)参考文献 (36)前言倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统。

一阶倒立摆控制系统设计课程设计说明书课程名称：控制系统课程设计设计题目：一阶倒立摆控制器设计院系：信息与电气工程学院班级：设计者：学号：指导教师：设计时间：2013年2月25日到2013年3月8号课程设计（论文）任务书指导教师签字：系（教研室）主任签字：2013年3月5日目录一、建立一阶倒立摆数学模型 (8)1. 一阶倒立摆的微分方程模型 (8)2. 一阶倒立摆的传递函数模型 (10)3. 一阶倒立摆的状态空间模型 (11)二、一阶倒立摆matlab仿真 (13)三、倒立摆系统的PID控制算法设计 (17)四、倒立摆系统的最优控制算法设计 (29)五、总结....................... 错误!未定义书签。

六、参考文献 (35)一、建立一阶倒立摆数学模型首先建立一阶倒立摆的物理模型。

在忽略空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。

系统内部各相关参数定义如下：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）1.一阶倒立摆的微分方程模型对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和 P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图1-2 小车及摆杆受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：（1-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：（1-2）即：（1-3）把这个等式代入式(1-1)中，就得到系统的第一个运动方程：（1-4）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：（1-5）即：（1-6）力矩平衡方程如下：（1-7）由于所以等式前面有负号。

合并这两个方程，约去 P 和 N ，得到第二个运动方程：（1-8）设，（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ <<1弧度， 则可以进行近似处理：0)(,sin ,1cos 2=-=-=dtd θφθθ。

课程设计说明书之答禄夫天创作课程名称：控制系统课程设计设计题目：一阶倒立摆控制器设计院系：信息与电气工程学院班级：设计者：学号：指导教师：设计时间：2013年2月25日到2013年3月8号课程设计（论文）任务书指导教师签字：系（教研室）主任签字：2013年 3月 5日目录一、建立一阶倒立摆数学模型41. 一阶倒立摆的微分方程模型42. 一阶倒立摆的传递函数模型63. 一阶倒立摆的状态空间模型7二、一阶倒立摆matlab仿真9三、倒立摆系统的PID控制算法设计13四、倒立摆系统的最优控制算法设计23五、总结28六、参考文献29一、建立一阶倒立摆数学模型首先建立一阶倒立摆的物理模型.在忽略空气阻力和各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统笼统成小车和匀质杆组成的系统,如图1所示.系统内部各相关参数界说如下：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车位置φ 摆杆与垂直向上方向的夹角θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）1.一阶倒立摆的微分方程模型对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析,其中,N和 P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量.图1-2 小车及摆杆受力图分析小车水平方向所受的合力,可以获得以下方程：（1-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以获得下面等式：（1-2）即：（1-3）把这个等式代入式(1-1)中,就获得系统的第一个运动方程：（1-4）为了推出系统的第二个运动方程,我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析,可以获得下面方程：（1-5）即：（1-6）力矩平衡方程如下：（1-7）由于所以等式前面有负号.合并这两个方程,约去 P和 N,获得第二个运动方程：（1-8）设,（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角）,假设φ <<1弧度,则可以进行近似处置：)(,sin,1cos2=-=-=dtdθφθθ.用u代表被控对象的输入力F,利用上述近似进行线性化得直线一阶倒立摆的微分方程为：（1-9）2.一阶倒立摆的传递函数模型对式(1-9)进行拉普拉斯变换,得：注意：推导传递函数时假设初始条件为 0.由于输出为角度φ,求解方程组的第一个方程,可得：或如果令,则有：把上式代入方程组（2-1）的第二个方程,得：整理后获得传递函数：其中.3.一阶倒立摆的状态空间模型设系统状态空间方程为：（2-5）（2-1）（2-2）（2-3）（2-4）（2-6）方程组（2-9）对x..解代数方程,获得解如下：整理后获得系统状态空间方程：摆杆的惯量为231mlI =,代入（1-9）的第一个方程为：得：化简得：设xux xx..'[],..==φφ则有：（3-1）（3-1）（3-2）（3-3）（3-4）4.实际系统的传递函数与状态方程实际系统的模型参数如下:M 小车质量 0.5 Kg m 摆杆质量 0.2 Kgb 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3mI 摆杆惯量 0.006 kg*m*m 代入上述参数可得系统的实际模型. 摆杆角度和小车位移的传递函数：摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：以外界作用力作为输入的系统状态方程：（3-5）（4-2）（4-3）（4-4）（4-1）以小车加速度为输入的系统状态方程：（4-5）二、一阶倒立摆matlab仿真实际系统参数如下,依照上面给出的例子求系统的传递函数、状态空间方程,并进行脉冲响应和阶跃响应的matlab仿真.M小车质量 Kgm摆杆质量 0.109Kgb小车摩擦系数 0.1 N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mI034 kg*m*mT1.传递函数法Matlab法式如下：M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.0034;g=9.8;L=0.25;q=(M+m)*(I+m*L^2)-(m*L)^2; num=[m*L/q 0 0]den=[1 b*(I+m*L^2)/q -(M+m)*m*g*L/q -b*m*g*L/q 0]; [r,p,k]=residue(num,den); s=p;获得传递函数的分子： num =2.3566 0 0以及传递函数分母: den =1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0 开环极点： s =由此可知,系统传递函数的多项式表达式为：()2432() 2.3566()0.088327.8285 2.3094s s G s U s s s s s Φ==+-- （2-1）系统的开环极点为（s):2780.51-=s 、2727.52=s 、0830.03-=s 、40s =,由于有一个开环极点位于S 平面的右半部,开环系统其实不是稳定的. 系统的脉冲响应如下,由图也可见,系统其实不稳定.Impulse ResponseTime (sec)A m p l i t u d e图2.1 开环系统脉冲响应2. 状态空间法状态空间法可以进行单输入多输出系统设计,因此在这个实验中,我们将检验考试同时对摆杆角度和小车位置进行控制.为了更具挑战性,给小车加一个阶跃输入信号.我们用 Matlab 求出系统的状态空间方程各矩阵,并仿真系统的开环阶跃响应.在这里给出一个state.m 文件,执行这个文件,Matlab 将会给出系统状态空间方程的A,B,C 和D 矩阵,并绘出在给定输入为一个0.2 N 的阶跃信号时系统的响应曲线.state.m 法式如下： p=I*(M+m)+M*m*L^2; >> A = [0 1 0 0;0 -(I+m*L^2)*b/p (m^2*g*L^2)/p 0; 0 0 0 1;0 -(m*L*b)/p m*g*L*(M+m)/p 0] A =0 1.0000 0 0 0 -0.0883 0.6293 00 -0.2357 27.8285 0 >> B=[0;(I+m*L^2)/p; 0;m*L/p] B = 0>> C=[1 0 0 0;0 0 1 0]D=[0;0]C =1 0 0 00 0 1 0D =matlab仿真的开环阶跃响应曲线如下图所示,系统其实不稳定.图2.2 系统开环阶跃响应曲线三、倒立摆系统的PID控制算法设计1.实验要求与目的●要求：设计PID控制器,使适当在小车上施加1N的脉冲信号时,闭环系统的响应指标为：（1）稳按时间小于5秒（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变动小于0.1 弧度并作PID控制算法的MATLAB仿真●目的：进一步熟悉PID控制器的设计方法,步伐,以及P、I、D三参数的调节方法.2. 理论分析●PID控制原理在模拟控制系统中,控制器最经常使用的控制规律是PID控制.惯例PID控制系统原理框图如下图所示.系统由模拟PID控制器KD(S)和被控对象G(S)组成.PID 控制器是一种线性控制器,它根据给定值)(t r 与实际输出值()y t 构成控制偏差)(t e ()()()e t r t y t =-将偏差的比例(P)、积分(I)和微分(D)通过线性组合构成控制量,对被控对象进行控制,故称PID 控制器.其控制规律为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰dt t de T dt t e T t e K t u D tI P )()(1)()(0或写成传递函数的形式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==s T s T K s E s U s G D I P 11)()()(式中：P K ——比例系数；I T ——积分时间常数；D T ——微分时间常数. 在控制系统设计和仿真中,也将传递函数写成s K s K K s E s U s G D I P ++==)()()(式中：P K ——比例系数；I K ——积分系数；D K ——微分系数.简单说来,PID 控制器各校正环节的作用如下：（1）比例环节：成比例地反映控制系统的偏差信号)(t e ,偏差一旦发生,控制器立即发生控制作用,以减少偏差.（2）积分环节：主要用于消除稳态误差,提高系统的型别.积分作用的强弱取决于积分时间常数I T ,I T 越年夜,积分作用越弱,反之则越强.（3）微分环节：反映偏差信号的变动趋势（变动速率）,并能在偏差信号值变得太年夜之前,在系统中引入一个有效的早期修正信号,从而加快系统的举措速度,减小调节时间. 摆杆角度控制这个控制问题和我们以前遇到的标准控制问题有些分歧,在这里输出量为摆杆的位置,它的初始位置为垂直向上,我们给系统施加一个扰动,观察摆杆的响应.系统框图如下：图中)(s KD 是控制器传递函数,)(s G 是被控对象传递函数. 考虑到输入0)(=s r ,结构图可以很容易地变换成该系统的输出为)())(())(()()())(())((1)()()(1)()(s F num num PID den denPID denPID num s F den denPID num num PID den nums F s G s KD s G s y +=+=+=其中：num ——被控对象传递函数的分子项den ——被控对象传递函数的分母项numPID ——PID 控制器传递函数的分子项denPID ——PID 控制器传递函数的分母项被控对象的传递函数是den numsq bmgl s q mgl m M s q ml I b s sq ml s U s =-+-++=Φ23242)()()()(其中 ])())([(22ml ml I m M q -++=PID 控制器的传递函数为denPID numPIDs K s K s K s K K s K s KD I P D I P D =++=++=2)(只需调节PID 控制器的参数,就可以获得满意的控制效果. 小车位置控制小车位置作为输出时,系统框图如下：其中,)(1s G 是摆杆传递函数,)(2s G 是小车传递函数.由于输入信号0)(=s r ,所以可以把结构图转换成：其中,反馈环代表我们前面设计的摆杆的控制器.从此框图我们可以看出此处只对摆杆角度进行了控制,并没有对小车位置进行控制. 小车位置输出为：)())()(())()(())()(()())(())((1)()()(1)()(212112112212s F den num numPID den den denPID den denPID num s F den denPID num numPID den num s F s G s KD s G s X +=+=+=其中,1num ,1den ,2num ,2den 分别代表被控对象1和被控对象2传递函数的分子和分母.numPID 和denPID 代表PID 控制器传递函数的分子和分母.下面我们来求)(2s G ,根据前面实验二的推导,有)(])([)(22s s gml ml I s X Φ-+=可以推出小车位置的传递函数为sq bmgl s q mgl m M s q ml I b s qmgls q ml I s U s X s G -+-++-+==2324222)()()()()()(其中 ])())([(22ml ml I m M q -++=可以看出,1den =2den =den ,小车的算式可以简化成：)())(())(())(()(12s F num numPID k den denPID denPID num s X +=3. PID 控制算法的MATLAB 仿真实际系统参数如下：M 小车质量 Kgm 摆杆质量 0.109 Kg b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m I 摆杆惯量34 kg*m*m F 加在小车上的力 x 小车位置 T 采样时间摆杆的matlab 仿真法式代码如下：M=0.5; m=0.2; b=0.1; I=0.006; g=9.8; L=0.3;q=(M+m)*(I+m*L^2)-(m*L)^2; num1=[m*L/q 0 0];den1=[1 b*(I+m*L^2)/q -(M+m)*m*g*L/q -b*m*g*L/q 0]; Kp=1; Ki=1; Kd=1;numPID=[ Kd Kp Ki]; denPID=[1 0];num=conv(num1,denPID);den=polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1)); [r,p,k]=residue(num,den); s=pt=0:0.005:5;impulse(num,den,t) axis([0 2 0 10])运行法式获得： s =0 0并获得仿真图像如下：00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.8212345678910Impulse ResponseTime (sec)A m p l i t u d e图3.1 kp=ki=kd=1时的仿真响应图可见此时系统其实不稳定,此时应该首先调整kp,观察其响应的变动： 讲kp 设置为150,获得并观察响应图如下： s =-0.0000 -0.0000 -0.0000-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2Impulse ResponseTime (sec)A m p l i t u d e图3-2,kp=150系统仿真图可见此时系统两个闭环极点均在S 平面做平面,系统稳定,系统稳按时间约为4秒,满足要求.此时系统有极小的静态误差,根据系统对精度的要求可酌情考虑是否添加积分控制,本文添加积分控制.将积分参数设为5,获得并观察闭环响应图.在笔者经过屡次检验考试之后,发现积分控制对系统响应的调节作用极小,笔者给出当积分参数分别设为10和50的响应图如下：-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2Impulse ResponseTime (sec)A m p l i t u d e图3-3,ki=10的响应00.51 1.52 2.53 3.54 4.55-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2Impulse ResponseTime (sec)A m p l i t u d e图3-4,ki=50系统的响应积分作用通常是用来调整系统的静态误差,使之达到需要的范围,可是此处明显积分作用对系统的影响不年夜,并了解到被控对象的特性属于变动快的类型,应该考虑改变微分控制,虽然微分控制在实际系统中运用其实未几见. 笔者将微分作用参数设置为10,20,50观察其效果图.00.51 1.52 2.53 3.54 4.55-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2Impulse ResponseTime (sec)A m p l i t u d e图3-5,kp=150,ki=50,kd=10的仿真图像00.51 1.52 2.53 3.54 4.55-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2Impulse ResponseTime (sec)A m p l i t u d e图3-6,kp=150,ki=50,kd=20的仿真图像00.51 1.52 2.53 3.54 4.55-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2Impulse ResponseTime (sec)A m p l i t u d e图3-7,kp=150,ki=50,kd=50的仿真图像当微分效果加上去的时候,系统闭环仿真图像结果获得了质的改善,瞬间取代了超调,不稳定,响应时间也迅速降到了0.5秒,稳按时间在1秒,完美地完成了任务.其效果已经不能简单的用好来形容,可是微分作用其实不是如此普及,而且每次都效果如此良好,要根据分歧的对象来判断用什么作用.必需要说的是,微分作用在物理实现中是其实不容易的,如果只有比例调节和积分调节就能达到预想的效果,那就不要使用微分调节.4.小车位置控制算法仿真,文件如下：% 小车位置PID控制% 输入倒立摆传递函数 G1(s)=num1/den1,G2(s)=num2/den2M = ;m = 0.10934;g = 9.8; l= 0.25;q = (M+m)*(I+m*l^2) -(m*l)^2;num1 = [m*l/q 0 0];den1 = [1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0];num2 = [-(I+m*l^2)/q 0 m*g*l/q];den2 = den1;% 输入控制器PID数学模型 Gc(s)=numPID/denPIDKp = 150;Ki = 50; Kd = 50;numPID = [Kd Kp Ki];denPID = [1 0];% 计算闭环系统传递函数G(s)=num/den% 多项式相乘num = conv(num2,denPID);% 多项式相加den = polyadd(conv(denPID,den2),conv(numPID,num1 ));% 求闭环系统极点[r,p,k] = residue(num,den);% 显示闭环系统极点s = p% 求取多项式传函的脉冲响应t=0:0.005:5;impulse(num,den,t)% 显示范围：横坐标0-5,纵坐标0-10,此条语句参数可根据仿真输出曲线调整axis([0 5 -0])grid此时系统取Kp=150,Ki=50,Kd=50,阶跃响应仿真曲线如下图所示：s =Impulse ResponseTime (sec)A m p l i t u d e00.51 1.52 2.53 3.54 4.55-0.10.10.20.30.4图3-8,小车位置仿真由仿真结果能够看出,当摆杆角度处于很好的闭环控制下时,小车位置虽然处于失控状态,可是上升速度不快.四、倒立摆系统的最优控制算法设计1. 设计目的与要求现代控制理论的最突出特点就是将控制对象用状态空间表达式的形式暗示出来,这样便于对多输入多输出系统进行分析和设计.线性二次型最优控制算法（LQR ）是现代控制理论中一种重要的、基本的方法,LQR 算法的目的是在一定的性能指标下,使系统的控制效果最佳,即利用最少的控制能量,来达到最小的状态误差.本章主要利用最优控制算法实现对一阶倒立摆系统的摆杆角度和小车位置的同时控制.设计目的：学习如何使用状态空间法设计系统的控制算法. 设计要求：用状态空间法设计控制器,使适当在小车上施加0.2N 的阶跃信号时,闭环系统的响应 指标为：（1）摆杆角度θ和小车位移x 的稳按时间小于5秒 （2）x 的上升时间小于1秒（3）θ的超调量小于20度（0.35弧度）（4）稳态误差小于2%. 2. 最优控制器的设计在PID 调节中,我们的输入是脉冲量,而且在设计控制器时,只对摆杆角度进行控制,而不考虑小车的位移.然而,对一个倒立摆系统来说,把它作为单输出系统是不符合实际的,如果把系统看成多输出系统的话,用状态空间法分析要相对简单一些,在这一章我们将设计一个对摆杆位置和小车位移都进行控制的控制器. 系统状态方程为Du CX Y Bu AX X+=+=在倒立摆相关参数为：M 小车质量 Kg m 109Kgb 小车摩擦系数 0.1 N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25 m I 34 kg*m*m T的条件下,状态方程系数矩阵如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=08285.272357.000000.10000000.100883.000010A ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3566.208832.00B ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01000001C ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00D最优控制的前提条件是系统是能控的,下面来判断一下系统的能控能观性. 2. Matlab 仿真法式如下：A=[0 1 0 0;0 -(I+m*L^2)*b/p (m^2*g*L^2)/p 0;0 0 0 1;0 -(m*L*b)/p m*g*L*(m+M)/p 0]B=[0;(I+m*L^2)/p;0;(m*L)/p] C=[1 0 0 0;0 0 1 0]D=[0;0]Qc=ctrb(A,B);//判断能控性 K=rank(Qc)Qo=obsv(A,C)；//判断能观性 I=rank(Qo)1. Matlab 仿真结果为： K = 4 I = 4即：系统的能控矩阵的秩23[]4rank B AB A B A B =. 系统的能观矩阵的秩23[]4rank C CA CA CA =. 故系统是能控能观的.因此可以给系统加上最优控制器使得系统闭环稳定,且满足暂态性能指标.在运用线性二次型最优控制算法进行控制器设计时,主要的目的就是获得反馈向量K 的值.由上一小节的推导知道,设计系统状态反馈控制器时,一个关键的问题就是二次型性能指标泛函中加权矩阵Q 和R 的选取.为了使问题简化及加权矩阵具有比力明确的物理意义,我们将Q 取为对角阵.假设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44332211000000000Q Q Q Q Q ；][r R =这样获得的性能指标泛函为[]⎰∞++++=022444233322222111dtru x Q x Q x Q x Q J由上式可以看出,iiQ 是对ix 的平方的加权,iiQ 的相对增加就意味着对ix 的要求相对其它状态变量严格,在性能指标中的比重年夜,ix 的偏差状态相对减小.r是对控制量u 的平方加权,当r 相对较年夜时,意味着控制费用增加,使得控制能量较小,反馈减弱,而r 取值较小时,系统控制费用减小,反馈增加,系统静态响应迅速.考虑到一阶倒立摆系统在运行过程中,主要的被控量为系统的输出量x 和φ,因此在选取加权对角阵Q 的各元素值时,由于11Q 代表小车位置的权重,而33Q 是摆杆角度的权重,所以只选取11Q 、33Q ,而04422==Q Q .选取Q 和R 时需要注意的几个方面：（1）由于我们采纳的系统模型是线性化的结果,为使系统个状态量能够在线性范围工作,要求各状态量不应过年夜.（2）闭环系统最好能有一对共轭复数极点,这样有利于克服系统的非线性摩擦,但系统主导极点的模不应太年夜以免系统频带过宽,使得系统对噪声太敏感,以致系统不能正常工作.（3）加权矩阵R 的减小,会招致年夜的控制能量,应注意控制U 的年夜小,不要超越系统执行机构的能力,使得放年夜器处于饱和状态.控制系统如下图所示,图中R 是施加在小车上的阶跃输入,四个状态量x 、x、φ和φ 分别代表小车位移、小车速度、摆杆位置和摆杆角速度,输出[]'=φ,x y 包括小车位置和摆杆角度.我们要设计一个控制器,使适当给系统施加一个阶跃输入时,摆杆会摆动,然后仍然回到垂直位置,小车达到新的命令位置.2）系统仿真M = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;I = 0.006;g = 9.8;l = 0.3; p = I*(M+m)+M*m*l^2;A = [0 1 0 0;0 -(I+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0; 0 0 0 1;0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0];B = [ 0; (I+m*l^2)/p; 0;m*l/p ];C = [1 0 0 0;0 0 1 0];D = [0;0]; p = eig(A);% 求向量Kx = 5000;y = 100;Q = [x 0 0 0;0 0 0 0;0 0 y 00 0 0 0];R = 1; K = lqr(A,B,Q,R)% 计算LQR控制矩阵Ac = [(A-B*K)];Bc = [B];Cc = [C];Dc = [D];% 计算增益NbarCn = [1 0 0 0];Nbar = rscale(A,B,Cn,0,K);Bcn = [Nbar*B];% 求阶跃响应并显示,小车位置为虚线,摆杆角度为实线T = 0:0.005:5;U = 0.2*ones(size(T));[Y,X] = Lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T);plot(T,Y(:,1),':',T,Y(:,2),'-')legend('Cart Position','Pendulum Angle')grid文件中用到求取输入输出匹配系数函数rscale,它不是Matlab工具,因此必需把它拷贝到rscale.m文件中,并把该文件和源文件一起拷贝到MATLAB工作区.rscale.m文件如下：% 求取输入输出匹配系数function[Nbar] = rscale(A,B,C,D,K)s = size(A,1);Z = [zeros([1,s]) 1];N = inv([A,B;C,D])*Z';Nx = N(1:s);Nu = N(1+s);Nbar = Nu + K*Nx;用函数rscale来计算Nbar,运行法式,获得：K =0.51 1.52 2.53 3.54 4.55-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.25图4-1,系统仿真图即7107.70),0,,,(-==K Cn B A rscale Nbar ,可以看出,实际上Nbar 和K 向量中与小车位置x 对应的那一项相等.此时系统的响应曲线如下,小车位置跟踪输入信号；而且,摆杆超调足够小,稳态误差满足要求,上升时间和稳按时间也符合设计指标.五、参考文献。