第四章 章末小结与测评

章末小结与提升三角形的基本要素和基本性质 概念及表示由不在同一直线上的三条线段 首尾顺次相接 所组成的图形叫做三角形表示为三角形的顶点边角关系三边关系 三角形任意两边之和 大于第三边 三角形任意两边之差 小于第三边 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于直角三角形的两个锐角 互余 分类 按角分 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形按边分 一般三角形、等腰三角形 等边三角形是特殊等腰三角形 图形全等相关概念 能够完全重合 的两个三角形叫做全等三角形重合的顶点叫对应顶点 重合的边叫对应边 重合的角叫对应角全等的表示和全等三角形的性质表示 性质 全等三角形的对应边 相等 、 对应角 相等三角形全等的判定 三角形全等的应用 用尺规作三角形测量实际问题中两点间的距离类型1 三角形的边、角关系典例1 已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是( )A.5B.6C.12D.16【解析】设第三边的长为x ,因为三角形两边的长分别是4和10,所以10-4<x<10+4,即6<x<14. 【答案】 C 【针对训练】1.下列每组数分别表示三根木棒的长,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是 (B )A.1,2,1B.1,2,2C.1,2,3D.1,2,42.将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为(C)A.170°B.150°C.160°D.140°3.已知AC∥ED,∠C=26°,∠CBE=37°,则∠BED的度数是(B)A.53°B.63°C.73°D.83°类型2全等三角形的性质典例2若ABC与EDF全等,A和E,B和D分别是对应点,则下列结论错误的是()A.BC=EFB.∠B=∠DC.∠C=∠FD.AC=EF【解析】全等三角形的对应边相等,对应角相等.由题意知C和F是对应点,所以BC对应边应该是DF,而不是EF.【答案】A【针对训练】1.如图,ABC≌DEF,BE=5,AE=2,则DE的长是(A)A.7B.6C.5D.22.如图,ABC≌DEF,请根据图中提供的信息,写出x=20.类型3三角形全等的判定1.如图,AC=BC,请你添加一对边或一对角相等的条件,使AD=BE.你所添加的条件是CE=CD(答案不唯一).2.如图,一块三角形玻璃碎成了4块,现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带(D)A.①B.②C.③D.④3.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延长AD到E点,使DE=AB.(1)求证:∠ABC=∠EDC;(2)求证:ABC≌EDC.证明:(1)在四边形ABCD中,因为∠A=∠BCD=90°,所以∠B+∠ADC=180°.又因为∠ADC+∠EDC=180°,所以∠ABC=∠EDC.(2)连接AC.在ABC和EDC中,所以ABC≌EDC.类型4全等三角形的性质和判定综合1.如图,OA=OC,OB=OD且OA⊥OB,OC⊥OD,下列结论:①AOD≌COB;②CD=AB;③∠CDA=∠ABC.其中正确的结论是(B)A.①②B.①②③C.①③D.②③2.如图,点D为码头,A,B两个灯塔与码头的距离相等,DA,DB为海岸线.某轮船离开码头,计划沿∠ADB的平分线航行,在航行途中C点处,测得轮船与灯塔A、灯塔B的距离相等.试问:该轮船航行是否偏离指定航线?请说明理由.解:轮船没有偏离指定航线.理由:由题意知DA=DB,AC=BC,在ADC和BDC中,所以ADC≌BDC(SSS),所以∠ADC=∠BDC,即DC为∠ADB的平分线,所以轮船没有偏离航线.。

洼地和滑坡、泥石流 易发处
防御措施
救灾物资准备
自 救 地震发生时应保持镇定，
加强监测， 救灾食物、饮用水、 有逃生时间应逃往空旷 地震、
泥石 流与 滑坡 做好应急预 帐篷等生活物资；探 地，否则应找到较安全 案，及时转 生仪器、破拆工具等 的藏身处；在野外遇到
移人员；工 救生物品；消炎、防 泥石流时，要向垂直于
程措施和非 疫、外用药品和医疗 泥石流前进的方向跑， 工程措施相 器械等医用物品；取 切忌顺着滚石方向往山 结合 暖御寒类物品 下跑，要特别注意保护 好头部
寒潮
及时预报， 救灾食物、取暖御寒 及时准备 类物品，动物饲料
防御措施 加强监测 和预报， 水灾 工程措施 防洪，建
救灾物资准备
自 救
救灾食物、洁净水、 逃向高处，如坚固建 帐篷、衣被、燃料等 筑的屋顶、大树、山
[例]
我国不同地区的灾害种类不同，救灾物品的储
备要求因时、因地、因灾种而不同。据此完成(1)～(2)题。 (1)若某救灾物资储备基地物资中，节水设施、救生艇 以及净水剂等比重较大，则该基地最有可能是 ( )
A．武汉
C．西安
B．成都
D．昆明
(2)探生仪器、破拆工具、顶升设备、起重设备等多用
于哪种灾害的储备
生活、保暖物资；救 顶等；如果不能逃脱，
生艇、救生衣、救生 要借助家中的木制家 圈等救生物资；医疗 具或尽可能抓住木板、 器械和消毒液等医用 树干等漂浮物，等候 物品 救援
立洪水预
Hale Waihona Puke 警系统防御措施救灾物资准备
自 救
培育耐旱作物，加 节水设施，找水、
干 强农田水利建设； 抽水、运水设施， 旱 合理调整农业结构， 抗旱设施；增雨物 发展先进灌溉技术 资器材等

第四章 图形初步认识
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、几何图形 1. 立体图形与平面图形 (1) 立体图形的各部分不都在同一平面内，如：
(2) 平面图形的各部分都在同一平面内，如：
2. 从不同方向看立体图形 3. 立体图形的展开图
正方体
圆柱
三棱柱 圆锥
4. 点、线、面、体之间的联系 (1) 体是由面围成，面与面相交成线，线与线 相交成点；
看到的平面图，小正方形中的数字表示在该位置小正
方体的个数,画出从正面和左面方向 看到的平面图形.
21
12
考点讲练
解析：根据图中的数字，可知 从前面看有3列，从左到右的 个数分别是1，2，1；从左面 看有2列，个数都是2 .
解：
21 12
从正面看
从左面看
针对训练
1. 如图，从正面看A，B，C，D四个立体图形，分别 得到 a，b，c，d 四个平面图形，把上下两行相对 应立体图形与平面图形用线连接起来．
例6 如图，是一个三级台阶，A 和 B是这个台阶的两 个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可 口的食物. 若这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，你能画出蚂蚁爬行的最短路线吗？
A
B
解：如图，将台阶面展开成平 A 面图形. 连接 AB 两点，因为两点 之间线段最短，所以线段 AB 为蚂蚁爬行的最短路线.
C
∠ABC =∠ABE+∠CBE= 7x°. E
∵ BD 平分∠ABC，
∴ ∠ABD= 1 ∠ABC =3.5x°. A
B
2
∵∠ABE+∠DBE =∠ABD ，即2x + 21= 3.5x.

二、复数的运算 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、 除的运算，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项 式乘法，除法类比分式的分子、分母有理化，注意 i2＝－1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有： (1)i 的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i43)作复数除法运算时，有如下技巧： ab＋－baii＝ab＋－baiiii＝aa＋＋bbiii＝i，利用此结论可使一些 特殊的计算过程简化．
第 四 章
章 末 小 结
核心要点归纳 阶段质量检测
一、复数的基本概念
实数b＝0 1．复数 a＋bi虚数b≠0纯非虚纯数虚数a＝a0≠ 0 2．复数的相等 两个复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)， 当且仅当 a＝c 且 b＝d 时，z1＝z2.特别地，当且仅当 a＝b ＝0 时，a＋bi＝0.
3．复数是实数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0； (2)z∈R⇔z＝ z ； (3)z∈R⇔z2≥0. 4．复数是纯虚数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且 b≠0； (2)z 是纯虚数⇔z＋ z ＝0(z≠0)； (3)z 是纯虚数⇔z2<0.

多项式的项：每个单项式叫作多项式的项.多项式的次数：次数最高项的次数.常数项：不含字母的项.
合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项.合并同类项法则： 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变.
去括号法则：1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
B
解：3x2－y+3xy3 +x4－1是多项式，有3x2,－y,3xy3,x4,－1五项，次数为4；32t3是单项式，系数为32，次数为3;2x－y是多项式，有2x,－y两x2－5x－2x2－5+6x，其中x =－3.
解：5x2+4－3x2－5x－2x2－5+6x = (5－3－2)x2+(－5+6)x－1 = x－1.当x = －3时，原式 =－3－1 =－4.
解：售价为a×（1+22%）= 1.22a(元).
现售价为1.22a×85% = 1.037a(元).
每件还能盈利：1.037a－a = 0.037a(元).
7. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|b－a|+|a+b|－|c|－|b－c|+|a+c|.
解：由题意，得b<c<0<a，且|c|<|a|<|b|，所以b－a<0，a+b<0，b－c<0，a+c>0，所以|b－a|+|a+b|－|c|－|b－c|+|a+c| =－(b－a)－(a+b)+c+(b－c)+(a+c)=－b+a－a－b+c+b－c+a+c= a－b+c.

[例1] 读下图，完成(1)～(3)题。
(1)按照发生的顺序，下列排列正确的是
A．①②③ C．①③② B．②③① D．②①③
(
)
(2)图中所示的地理现象，可能位于 A．大洋板块与大陆板块的张裂地带 B．大陆板块与大陆板块的碰撞地带 C．大洋板块与大洋板块的碰撞地带
(
)
D．大洋板块与大洋板块的张裂地带
(3)图中所示的地理现象，可能是
①裂谷 ②海岭 ③山系 ④海沟
(
)
A．①②
C．①③
B．③④
D．②④
[解析]
第(1)题，②表示板块张裂，岩浆上升，地表
开始隆起；③表示板块张裂处扩大，地壳变薄，岩浆上升 明显；①表示岩层断裂，岩浆上升冷却凝固形成岩浆岩。 第(2)题，图中表示的现象发生在板块的张裂地带，张裂处 的板块高度相当，没有明显的高低起伏，应该同为大洋板 块或大陆板块。第(3)题，图中所示现象如果是大陆板块张 裂则形成裂谷，如果是大洋板块张裂则形成海岭。
2．板块运动的特点 (1)板块构造学说认为，板块漂浮在“软流层”之上， 处于不断运动之中。 (2)一般来说，板块的内部地壳比较稳定，两个板块
之间的交界处地壳比较活跃。
3．板块运动与地球地貌 板块的相对运动引起的彼此碰撞或张裂形成了地球 的基本面貌。
示意图
板块相 对移动 方向
形成 地貌 举例
板块相撞(相向运动) 板块张裂 大洋板块与 大陆板块与 大陆板块相撞 大陆板块相撞 裂谷、海洋、 海沟(B)、 大洋中脊(海岭) 海岸山脉(C) 巨大山脉 (A) 海沟岛弧 安第斯山脉、 喜马拉雅山 东非大裂谷、 太平洋西部 脉、阿尔卑 红海、大西洋中脊 岛弧、海沟 斯山脉
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第四章圆与方程考点1求圆的方程1．求圆的方程的常用方法有待定系数法、几何法等，运用待定系数法时，要充分利用题目中提供的三个条件来确定三个独立的参数；使用几何法时，要充分利用圆的有关性质，如垂径定理、“半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形”等．2．如果已知条件容易求得圆心坐标、半径，则一般选用圆的标准方程，否则选用圆的一般方程．[典例1] 过点A(1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25B．(x－1)2＋(y－3)2＝2C．(x－5)2＋(y－5)2＝25D．(x－1)2＋(y－1)2＝1解析：选A 由题意可设圆心为(a，a)，则半径r＝a，圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，又点A(1,2)在圆上，∴(1－a)2＋(2－a)2＝a2，解得a＝1或a＝5.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25.[对点训练]1．经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q两点的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10， ①又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.由已知，|x 1－x 2|＝6(其中x 1，x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根)， ∴D 2－4F ＝36， ②①、②联立组成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.考点2直线与圆的位置关系判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d ，然后比较所求距离d 与半径r 的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系．[典例2] 已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 由圆C 与y 轴相切得|a |＝r ， ①又圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0， ②圆心C (a ，b )到直线y ＝x 的距离为d ＝|a －b |2，由于弦心距d ，半径r 及弦的一半构成直角三角形，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＋(7)2＝r 2. ③ 联立①②③解方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，b 1＝1，r 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－3，b 2＝－1，r 2＝3.故圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. [对点训练]2．直线x ＋3y －2＝0被圆(x －1)2＋y 2＝1截得的线段的长为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 解析：选C 圆心到直线的距离d ＝|1＋0－2|12＋32＝12，∴弦长l＝2r2－d2＝ 3.3．已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为________．解析：设切线方程为y＝kx，代入圆方程中，得(1＋k2)x2－4x＋3＝0.由Δ＝0，解得k＝－33⎝⎛⎭⎪⎫舍去k＝33，所以直线l的方程为x＋3y＝0.答案：x＋3y＝0考点3圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断)．(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长．(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.[典例3] (2016·九江高一检测)求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则a－12＋b2＝r＋1. ①又所求圆过点M的切线为直线x＋3y＝0，故b＋3a－3＝ 3. ②|a＋3b|2＝r. ③解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－43，r＝6.故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.[对点训练]4．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4相切，则正实数r的值为__________．解析：当两圆外切时，两圆心的距离d＝5，由题意，得r＋2＝5，∴r＝3；当两圆内切时，由题意知，r－2＝5，即r＝7.答案：3或7（时间120分钟 满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (2，－1,6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9 D.86解析：选D 由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB |＝－3－22＋4＋12＋0－62＝86.2．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞解析：选A 由题意得1＋1＋4m >0，解得m >－12.3．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D r ＝12＋12＝2，∴所求方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，选D. 4．点A (2a ，a －1)在以点C (0,1)为圆心，半径为5的圆上，则a 的值为( ) A ．±1 B ．0或1 C ．－1或15 D ．－15或1解析：选D 由题意，已知圆的方程为x 2＋(y －1)2＝5，将点A 的坐标代入圆的方程可得a ＝1或a ＝－15.5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 3解析：选D 直线方程为y ＝3x ，圆的方程化为x 2＋(y －2)2＝22，∴r ＝2，圆心(0,2)到直线y ＝3x 的距离为d ＝1，∴半弦长为22－12＝3，∴弦长为2 3.6．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C 因为点P (2,2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P (2,2)的连线与过点P (2,2)的切线垂直．因为圆心(1,0)与点P (2,2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2.7．一条光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上，则光走过的最短路程为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D A (－1,1)关于x 轴的对称点B (－1，－1)，圆心C (2,3)，所以光走过的最短路程为|BC |－1＝4.8．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：选D 当CM ⊥l ，即弦长最短时，∠ACB 最小， ∴k l ·k CM ＝－1，∴k l ＝12，∴l 的方程为： x －2y ＋3＝0.9．圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2 B ．－5 C ．2或－5 D ．不确定解析：选C 圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9的圆心为(－2，m )，半径长为3，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(m ，－1)，半径长为2.依题意有－2－m2＋m ＋12＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0，解得m ＝2或m ＝－5.10．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m: ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A ．4B ．2 C.85 D.125解析：选A P 为圆上一点，则有k OP ·k l ＝－1，而k OP ＝4－1－2－2＝－34，∴k l ＝43，∴a ＝4，∴m 的直线方程为4x －3y ＝0，l 的直线方程为4x －3y ＋20＝0.∴l 与m 的距离为|20|42＋32＝4.11．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC为圆的直径，∴四边形PACB 的外接圆方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54， ①圆C ：(x －1)2＋y 2＝1， ②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．12．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：选A 由题意知，圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9的圆心分别为C 1(2,3)，C 2(3,4)，且|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4，点C 1(2，3)关于x 轴的对称点为C (2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC |＋|PC 2|≥|CC 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在如图所示的长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，∴B 1(a ，b ，c )．答案：(a ，b ，c )14．设A 为圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上一动点，则A 到直线x －y －5＝0的最大距离为________．解析：圆心到直线的距离d ＝|2－2－5|2＝522，则A 到直线x －y －5＝0的最大距离为522＋1. 答案：522＋115．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．解析：(数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3.在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3，∴所求劣弧长为2π.答案：2π16．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程是________．解析：设动点P 的坐标为(x ，y )，依题意有|PO |＝r sin 30°＝112＝2，∴x 2＋y 2＝4，即所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2016·绍兴高一检测)已知圆C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 的方程为y ＝x ＋m ，求当m 为何值时，(1)直线平分圆； (2)直线与圆相切．解：(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m ＝0. (2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， ∴d ＝|1－1＋m |12＋－12＝|m |2＝2，m ＝±2 2. 即m ＝±22时，直线l 与圆相切．18．(本小题满分12分)已知直线l 1：x －y －1＝0，直线l 2：4x ＋3y ＋14＝0，直线l 3：3x ＋4y ＋10＝0，求圆心在直线l 1上，与直线l 2相切，截直线l 3所得的弦长为6的圆的方程．解：设圆心为C (a ，a －1)，半径为r ， 则点C 到直线l 2的距离d 1＝|4a ＋3a －1＋14|5＝|7a ＋11|5.点C 到直线l 3的距离d 2＝|3a ＋4a －1＋10|5＝|7a ＋6|5.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|7a ＋11|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎫|7a ＋6|52＋32＝r 2.解得a ＝2，r ＝5，即所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝25.19．(本小题满分12分)一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得A (6，－2)，设圆的半径长为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10，所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设A ′(x 0，－3)(x 0＞0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得2x 0＝251，即当水面下降1米后，水面宽251米．20．(本小题满分12分)已知点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上运动，N (4,0)，点P (x ，y )为线段MN 的中点．(1)求点P (x ，y )的轨迹方程；(2)求点P (x ，y )到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值和最小值．解：(1)∵点P (x ，y )是MN 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y .将用x ，y 表示的x 0，y 0代入到x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋y 2＝1.此式即为所求轨迹方程．(2)由(1)知点P 的轨迹是以Q (2,0)为圆心，以1为半径的圆． 点Q 到直线3x ＋4y －86＝0的距离d ＝|6－86|32＋42＝16. 故点P 到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值为16＋1＝17，最小值为16－1＝15.21．(本小题满分12分)已知圆C: x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解：把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)， 即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4，|PO |2＝x 2＋y 2. ∵|PM |＝|PO |，∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2， 整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0，22．(本小题满分12分)已知圆C: x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB .设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1x 1·y 2x 2＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0. ①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y 得： 2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)， ②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)． ③把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0成立， 故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·临沂高一检测)过点A (3，－4)，B (－2，m )的直线l 的斜率为－2，则m 的值为( )A ．6B ．1C ．2D ．4 解析：选A 由题意知k AB ＝m ＋4－2－3＝－2，∴m ＝6.2．(2016·温州高一检测)直线y －2＝mx ＋m 经过一定点，则该点的坐标为( ) A ．(－1,2) B ．(2，－1) C ．(1,2) D ．(2,1)解析：选A 将直线方程化为y －2＝m (x ＋1)，则当x ＝－1时，y ＝2，即直线过定点(－1,2)．3．在空间直角坐标系中，点B 是A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于( )A.14B.13 C ．2 3 D.11解析：选B 点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影为B (0,2,3)，∴|OB |＝02＋22＋32＝13.4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0 D ．x －2y ＋3＝0解析：选A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.5．(2015·广东高考)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交解析：选D 由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．6．动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16 D ．x 2＋(y －1)2＝16 解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得： 2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析：选C 根据三视图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R ＝3，圆锥半径R ＝3，高为4，所以V 组合体＝V 半球＋V 圆锥＝12×43π×33＋13π×32×4＝30π.8．(2015·浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β.( )A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若α⊥β，则l ⊥mC ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m解析：选A A 中，由面面垂直的判定，故正确；选项B 中，当α⊥β时，l ，m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，l ∥β时，α、β可以相交；选项D 中，α∥β时，l ，m 也可以异面，故选A.9．设长方体的长，宽，高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2解析：选B 由题可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R ＝4a 2＋a 2＋a 2，解得R ＝62a ，所以球的表面积S ＝4πR 2＝6πa 2.10．过点P (－2,4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.285 B.125C.85D.25解析：选B 直线l 1的斜率k ＝－a3，l 1∥l ，又l 过P (－2,4)，∴l 的直线方程为y －4＝－a3(x ＋2)，即ax ＋3y ＋2a －12＝0.又直线l 与圆相切， ∴|2a ＋3×1＋2a －12|a 2＋9＝5，∴a ＝－4，∴l 1与l 的距离为d ＝125.11．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A 圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0，故选A. 12．(2015·新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 由正视图和俯视图可知，该几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为12×4πr 2＋πr ×2r ＋πr 2＋2r ×2r＝5πr 2＋4r 2＝16＋20π，解得r ＝2，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2016·宁波高一检测)若直线l 1：ax ＋y ＋2a ＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0互相平行，则实数a ＝________.解析：由两直线平行的条件A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0得⎩⎨⎧a 2－1＝0，3a －2a ≠0，得a ＝±1.答案：±114．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析：直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，当切点为(2，－1)时，半径最大为2－12＋－1－02＝2，此时圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝215．(2015·湖南高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.解析：由直线与圆的位置及圆的性质，可求得圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为r2，∴|5|32＋42＝r2，∴r ＝2. 答案：216．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ­BD ­C ，有如下三个结论． ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角． 说法正确的命题序号是________． 解析：如图所示，①取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC 是直二面角A ­BD ­C 的平面角，∴∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解：(1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)，所以点(m ，－1)在l 1、l 2上，将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1. 又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7. 故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，m ×－1－2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8·m ＝0，得m ＝0. 则l 1为y ＝－n8，由于l 1在y 轴上的截距为－1，所以－n8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.18．(本小题满分12分)(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确. 19．(本小题12分)如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.证明：(1)∵B 1C 1CB 为正方形，∴E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1中点，∴DE 为△B 1AC 的中位线，∴DE ∥AC ，又DE ⊄平面A 1C 1CA ，AC ⊂平面A 1C 1CA ，∴DE ∥平面AA 1C 1C .(2)在直三棱柱中，平面ACB ⊥平面B 1C 1CB ，又平面ACB ∩平面B 1C 1CB ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，且AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面B 1C 1CB ， ∴AC ⊥BC 1， 又B 1C 1CB 为正方形， ∴B 1C ⊥BC 1，AC ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面ACB 1，又AB 1⊂平面ACB 1，∴BC 1⊥AB 1.20．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (a,0)(a >0)，B (0，a )，C (－4,0)，D (0,4)，设△AOB 的外接圆圆心为E .(1)若⊙E 与直线CD 相切，求实数a 的值；(2)设点P 在⊙E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在？若存在求出⊙E 的标准方程；若不存在，说明理由．解：(1)直线CD 的方程为y ＝x ＋4，圆心E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，半径r ＝22a .由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋42＝22a ，解得a ＝4. (2)∵|CD |＝－42＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的距离为3 2.又圆心E 到直线CD 距离为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，需⊙E 的半径2a2＝52，解得a ＝10， 此时，⊙E 的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.21．(本小题满分12分)(2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG . 解：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示． (2)平面BEG ∥平面ACH .证明如下：因为ABCD ­EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG . 又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ， 于是四边形BCHE 为平行四边形， 所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ， 所以BE ∥平面ACH . 同理BG ∥平面ACH . 又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .(3)证明：连接FH ，与EG 交于点O ，连接BD . 因为ABCD ­EFGH 为正方体， 所以DH ⊥平面EFGH .因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG .又EG ⊥FH ，DH ∩FH ＝H ，所以EG ⊥平面BFH D. 又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG . 同理DF ⊥BG . 又EG ∩BG ＝G ， 所以DF ⊥平面BEG .22．(本小题满分12分)(2015·广东高考)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)． (2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴＝0.又∵＝(3－x ，－y )，＝(－x ，－y )，∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．(3)由题意知直线L 表示过定点(4,0)，斜率为k 的直线，把直线L 的方程代入轨迹C的方程x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，化简得(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0， 其中53<x ≤3，记f (x )＝(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2， 其中53<x ≤3.若直线L 与曲线C 只有一个交点，令f (x )＝0.当Δ＝0时，解得k 2＝916，即k ＝±34，此时方程可化为25x 2－120x ＋144＝0，即(5x －12)2＝0，解得x ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3，∴k ＝±34满足条件．当Δ>0时，①若x ＝3是方程的解，则f (3)＝0⇒k ＝0⇒另一根为x ＝0<53，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意．②若x ＝53是方程的解，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝0⇒k ＝±257⇒另外一根为x ＝6423，53<6423≤3，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意．③若x ＝3和x ＝53均不是方程的解，则方程在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3上有且仅有一个根，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53·f (3)<0⇒－257<k <257.故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． 综上所述，k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪－257，257时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C只有一个交点．。

章末Biblioteka 小结知识 整合 与阶 段检 测
核心要点扫描 阶段质量检测
知识整合与阶段检测
[知识网络必建]
[重点语句必背]
1．自然地理环境影响人类活动，特别是科技水平 较落后的时期和地区。世界及我国的聚落在不同自然状 况的地区在区位和形态上都表现出不同的特征，沿海中 纬度的平原地区是城市易于出现的地带。自然条件中地 形、河流、气候对交通的影响主要表现在其走向、格局 和密度上的差异。
2．全球气候在不同时期的变化特征不同，近代气候 变暖是当今人类社会面临的重大环境问题，认识其危害， 努力缓解变暖是人类共同的责任。
3．自然灾害的成因、分布、危害与防御，是学习和 考查自然灾害的重点。自然灾害有气象灾害、地质灾害、 水文灾害、生物灾害等不同类型。
4．水资源对人类的工农业生产和生活具有非常重要 的影响。缺水是世界60%地区共同遇到的问题，认识水资 源、保护水资源、合理利用和珍惜水资源是最终目的。

A．FN不变，F变大 B．FN不变，F变小 C．FN变大，F变大 D．FN变大，F变小 解析：以两环和细绳作整体受力分析， 据竖直方向的平衡条件可得FN＝2 mg， 不随环的移动而改变；隔离环Q，受力 分析如图所示，得Fcos α＝mg。当P环向左移一小段距离， 两环再次达到平衡时α减小，故F变小，所以选B。 答案：B 返回
第 四 章 牛 顿 运 动 定 律
章末 小结
知 识 整 合 与 阶 段 检 测
专题归纳例析
专题冲关
阶段质量检测
返回
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专题一
整体法与隔离法解决连结体问题
1．连接体 连接体是指在所研究的问题中涉及的多个物体(它们具 有相同的运动状态即相等的速度、加速度，或叠放在一起， 或并排挤在一起，或用绳、杆联系在一起)组成的系统(也叫 物体组)。 2．解决连接体问题的基本方法
图4－1
个水平推力F，要使物块相对斜面静止，力F应为多大？
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[解析]
先选取物块为研究对象，它受
重力mg和支持力FN，由于物块与斜面 保持相对静止，故二力的合力水平向左， 如图4－2所示。由牛顿第二定律可得：
mgtan θ＝ma，
解得a＝gtan θ。 图4－2
再选整体为研究对象，由牛顿第二定律可得： F＝(m＋M )a＝(m＋M )gtanθ。 [答案] (m＋M )gtanθ 返回
图4－4
返回
要使两绳都能伸直，则有： F1≥0 F2≥0 由③⑤式得 F 的最大值为： mg 40 3 Fmax＝ ＝ N sin θ 3 由④⑥式得 F 的最小值为： mg 20 3 Fmin＝ ＝ N 2sin θ 3 20 3 40 3 故 F 的取值范围为 N≤F≤ N。 3 3 20 3 40 3 [答案] N≤F≤ N 3 3 ⑤ ⑥

高考进行时 一轮总复习· 物理（新标通用版）
必修 2
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第四章 曲线运动 万有引力与航天
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必修2 第四章 章末小结
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解析：三星应该在同一直线上，并且两小星体在大星体 相对的两侧，只有这样才能使某一小星体受到大星体和另一 Mm m2 小星体的引力的合力提供向心力，由G ＋G 2 ＝ r2 2r 2π 2 4π r3 mr· ) 解得：小星体的周期T＝ ( . T G4M＋m
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必修2 第四章 章末小结
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章末小结
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必修2 第四章 章末小结
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【知识网络构建】
物体做曲线运动的条件：速度方 向与合外力方向不共线
曲线运动的研究方法：运动的合成与 分解分运动和合运动遵守平行四
解析：在X－37B由较低轨道飞到较高轨道的过程中， 必须启动助推器，对X－37B做正功，X－37B的机械能增 大，A对、B错．根据能量守恒定律，C错．X－37B在确定 轨道上绕地球做圆周运动，动能和重力势能都没有发生变 化，所以机械能不变，D对．
答案：AD
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必修2 第四章 章末小结
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6-4 章末小结与达标检验(时间：50分钟 满分：100分)一、选择题(本题共9小题，每小题6分，共54分，每小题至少有一个选项正确，选对但不全得3分，有选错或不答的得0分)1.如图所示，质量为M 的物体放在光滑水平地面上，受到与水平方向成α角的恒定拉力F 作用，从静止开始沿水平地面运动，在时间t 内，拉力F对物体所做的功为W 。

若仅改变上述某一个量，物体还是从静止开始沿水平地面运动，下列可使拉力做的功为2W 的是( )A ．物体质量减小为M 2B ．拉力增大为2FC ．做功时间增长为2tD ．α角从60°变为0°2．物体做自由落体运动，E k 表示其动能，E p 表示其势能，h 表示其下落的距离，t 、v 分别表示其下落的时间和速度，以水平面为零势能面，能正确反映各物理量之间关系的是图2中的( )3．如图，一长为L 的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m 的小球。

一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度ω匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为( )A ．mgLω B.32mgLω C.12mgLω D.36mgLω 4．汽车在平直公路上以速度v 0匀速行驶，发动机功率为P ，牵引力为F 0。

t 1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t 2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动(设整个过程中汽车所受的阻力不变)。

下面几个关于汽车牵引力F 、汽车速度v 在这个过程中随时间t 变化的图像中正确的是( )5．一个光滑的水平轨道AB ，与一光滑的圆形轨道BCD 相接，其中圆轨道在竖直平面内，D 为最高点，B 为最低点，半径为R 。

一质量为m 的小球以初速度v 0沿AB 运动，恰能通过最高点，则( )A ．m 越大，v 0值越大B ．R 越大，v 0值越大C ．v 0值与m 、R 无关D ．m 与R 同时增大，有可能使v 0不变6．关于“验证机械能守恒定律”的实验中，以下说法正确的是 ( )A ．实验中摩擦是不可避免的，因此纸带越短越好，因为纸带越短，克服摩擦力做的功就越少，误差就越小B ．实验时需称出重锤的质量C ．纸带上第1、2两点间距若不接近2 mm ，则无论怎样处理实验数据，实验误差都一定较大D ．处理打点的纸带时，可以直接利用打点计时器打出的实际点迹，而不必采用“计数点”的方法7．如图所示，物体A 和B 的质量均为m ，它们通过一劲度系数为k 的轻弹簧相连，开始时B 放在地面上，A 、B 都处于静止状态。

（2）由数列 的通项公式可得数列 的奇数项和偶数项分别构成等差数列，再求解即可.
[解析] （1）因为 ， 所以 ， ， ，所以 ， ， ，所以数列 是以2为首项，3为公差的等差数列，所以 .
[解析] 设数列 的前 项和为 ,当 时， ；当 时, ，经检验， 也符合上式， .又 , .
题型探究·悟思路
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
, ,∴数列 是以5为首项， 为公比的等比数列， .
方法总结 注意由 求 时，分两步完成后要判断 是否符合当 时的式子,若符合可统一为一个式子,若不符合则需要分段写出.
则数列 的公差 ，∴数列 的通项公式为 ，∴当 时， ，∵当 时上式也成立，∴数列 的通项公式为 ，由 ，可知数列 是等差数列.
方法总结 本题主要考查等差数列的判定与证明，等差数列的通项公式，等差数列的前 项和公式等知识，提升学生逻辑推理和数学运算的核心素养.证明数列是等差数列的主要方法：
方法总结 本题主要考查了数列的基本题型,由 求 ,等比数列的定义、通项公式和裂项相消法求和,对于由等差数列连续两项乘积的倒数构成的新数列的前 项和的求法为裂项相消法.本题考查了数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
题型4 等差数列、等比数列的证明
例4 [2021年全国甲卷] 已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列 是等差数列；②数列 是等差数列；③ .
[解析] （1）∵点 在函数 的图象上， ， ①当 时， ， ②由①-②得 ；当 时， ，也符合上式，∴数列 的通项公式为 .（2）由（1）得 ，
. ，∴数列 单调递增，∴数列 中的最小项为 .要使不等式 对任意正整数 恒成立，只要 ，即 ， ， ， ， ， ，即实数 的取值范围为 .

正功、负功含义
W合＞0 W合＜0 W合＝0 W非G＞0 W非G＜0
动能增加 动能减少 动能不变 机械能增加 机械能减少
W非G＝0
机械能守恒
[典例1] [多选]如图所示，假设质量为 m 的跳伞运动员，由 静止开始下落，在打开降落伞之前受恒定阻力作用，下落的加速 度为45g，在运动员下落高度为 h 的过程中，下列说法正确的是
重力势能减少 重力势能增加 重力势能不变 弹性势能减少 弹性势能增加 弹性势能不变
功能关系
表达式
物理意义
合外力做功是 合力做功与动能 W合＝Ek2－ 物体动能变化
Ek1＝ΔEk 的原因
除重力或系统 除重力或系统内
内弹力外其他 弹 力 外其他 力 做 W非G＝ΔE机 力做功是机械 功与机械能
能变化的原因
(1)滑块离开弹簧后在图中bc段对应的加速度a的大小及滑块与斜面间动摩擦 因数μ的大小；
(2)t2＝0.3 s和t3＝0.4 s时滑块的速度v2、v3的大小； (3)弹簧锁定时具有的弹性势能Ep。
解析：(1)由题图乙知滑块在 bc 段做匀减速运动，加速度大小为 a＝ΔΔvt ＝10 m/s2，
根据牛顿第二定律得 mgsin 37°＋μmgcos 37°＝ma， 解得 μ＝0.5。
答案：CD
功能关系的选取技巧 (1)涉及动能的变化选用动能定理分析。 (2)涉及重力势能的变化选用重力做功关系分析。 (3)涉及弹性势能的变化选用弹力做功关系分析。 (4)涉及机械能的变化选用除重力和系统内弹力之外的力做功关系分析。
[针对训练] 1.如图所示，某段滑雪雪道倾角为 30°，总质量为 m(包括雪具在
方法二：将铁链看成两段
铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链 BB′部分移到 AA′位置。

章末小结与提升光的直线传播 光在同种均匀介质中沿直线传播光在 真空 中传播得最快 其速度可近似取为 光的反射 光的反射 反射现象 当光射到物体表面上时 有一部分光会被物体表面反射回去的现象光的反射定律 在反射现象中 反射光线、入射光线和法线都在同一平面内 反射光线、入射光线分别位于法线两侧 反射角 等于 入射角镜面反射 镜面将平行的入射光线沿同一方向反射出去的现象漫反射 凹凸不平的表面将平行的入射光线向四面八方反射出去的现象平面镜成像 成像特点 平面镜所成像的大小与物体的大小相等 像和物体到平面镜的距离相等 像和物体的连线与镜面垂直 物体在平面镜中成的是 虚 像应用 梳妆镜、潜望镜等光的折射 光的折射现象 光从空气斜射入水中时 传播方向会发生偏折的现象光的折射规律 光从空气斜射入水中或其他介质中时 折射光线向法线方向偏折 折射角 小于 入射角。

当入射角增大时 折射角也增大。

当光从空气垂直射入水中或其他介质中时 传播方向 不变光的色散 色散 太阳光通过棱镜后被分解成各种颜色的光三原色 红、绿、蓝类型 光的反射和折射1.下列对光现象的分析合理的是( D )A.兴隆湖中出现科学城建筑的倒影是光的折射现象B.眼睛能看见高楼外墙壁上的大熊猫是因为眼睛发出的光到达了该物体C.我们能从不同方向看到夜晚的高楼大厦是由于光的折射D.雨后天空出现彩虹是因为水珠对不同颜色的光折射程度不同2.黑暗的房间里有两盏电灯,只有一盏灯点亮,但人能看到未点亮的灯泡。

以下对于“看到未点亮灯泡”所画的光路图,正确的是( C)3.( 湖北中考)下列有关光的反射和折射的说法,正确的是( A)A.海市蜃楼是由于光的折射形成的B.光从空气斜射向平静的水面,反射角等于入射角,但折射角大于入射角C.在视野不开阔的弯道口设立的反光镜是凹面镜D.不论是反射现象,还是折射现象,光路都是不可逆的实验一:探究光的反射规律1.实验器材:纸板、量角器、平面镜、激光笔等。