初中数学专题讲解：一元二次方程(二)

2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.2.1 配方法第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程同步练习（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.2.1 配方法第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程同步练习（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.2。

1 配方法第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程知识点 1 配方1．配方：x2－8x＋3＝x2－8x＋____－____＋3＝（x－____)2－____．2．对下列方程配方，其中应在左、右两边同时加上4的是( ）A．x2－2x＝5 B．x2－4x＝5C．x2＋8x＝5 D．x2＋2x＝53．将x2＋49配成完全平方式,需加上的一次项是( )A．7x B．14xC．－14x D．±14x知识点 2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程4．2017·舟山用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是( )A．（x＋2）2＝2 B．(x＋1）2＝2C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝35．用配方法解方程:x2＋6x－16＝0。

解：配方，得x2＋6x＋________－________－16＝0,因此(x＋3)2＝________，由此得x＋3＝5或x＋3＝－5。

2021—2022学年九年级数学上学期重难点题型专项提优02 一元二次方程及其解法（二）【例题精讲】一、一元二次方程根与系数的关系例1．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a ，b ，求111ab a -++的值． 【解析】解：（1）根据题意得△2240k =+>， 解得1k >-，k ∴的取值范围为1k >-； （2）由根与系数关系得2a b +=-，a b k =-，111111121a ab kb a ab a b k -+-===-+++++--+． 例2．已知α，β是方程2201710x x ++=的两个根，则22(12019)(12019)ααββ++++的值为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】∵α，β是方程2201710x x ++=的两个根，2201710αα∴++=，2201710ββ++=，2017αβ+=-，1αβ=，22(12019)(12019)ααββ∴++++22(120172)(120172)αααβββ=++++++4αβ=4=．例3．阅读材料：已知方程210p p --=，210q q --=且1pq ≠，求1pq q+的值． 解：由210p p --=，及210q q --=，可知0p ≠，0q ≠．又1pq ≠，1p q∴≠． 210q q --=可变形为211()()10q q --=．根据210p p --=和211()()10q q--=的特征．p ∴、1q是方程210x x --=的两个不相等的实数根， 则11p q +=，即11pq q+=． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：22510m m --=，21520n n+-=且m n ≠，求 （1）mn 的值；（2）2211m n +． 【解析】解：21520n n+-=， 22510n n ∴--=，根据22510m m --=和22510n n --=的特征， m ∴、n 是方程22510x x --=的两个不相等的实数根，52m n ∴+=，12mn =-， （1）12mn =-；（2）原式2222512()()242291()()2m n mn mn -⨯-+-===-． 变式训练：1．已知2210a a --=，2210b b +-=，且1ab ≠，则1ab b b++的值为 ． 【答案】3【解析】2210b b +-=，0b ∴≠，方程两边同时除以2b ，再乘1-变形为211()210b b -⋅-=，1ab ≠，a ∴和1b 可看作方程2210x x --=的两根，12a b∴+=， ∴111213ab b a bb++=++=+=．2．已知关于x 的一元二次方程22(1)0x x m -++=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程有两根为1x ，2x ，且2123x x +=，求m 的值．【解析】解：（1）关于x 的一元二次方程22(1)0x x m -++=有两个不相等的实数根，∴△2(1)412(1)0m =--⨯⨯+>，78m ∴<-．（2）1x ，2x 为一元二次方程22(1)0x x m -++=的两根，121x x ∴+=，2112(1)0x x m -++=．22121112()3x x x x x x +=-++=，即2(1)13m -++=，2m ∴=-．二、与一元二次方程有关的新定义问题例1．对于实数m ，n ，先定义一种新运算“⊗”如下：22,,,m m n m n m n n m n m n ⎧++⊗=⎨++<⎩当时当时，若(2)10x ⊗-=，则实数x 等于 A ．3B ．4-C ．8D ．3或8【答案】A【解析】解：当2x -时，2210x x +-=，解得：13x =，24x =-（不合题意，舍去）；当2x <-时，2(2)210x -+-=，解得：8x =（不合题意，舍去）；3x ∴=．例2．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的个数有 ①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若p 、q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，则必有229b ac =． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①解方程220x x --=得，12x =，21x =-，得，122x x ≠，∴方程220x x --=不是倍根方程；故①不正确；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，12x =，因此21x =或24x =，当21x =时，0m n +=，当24x =时，40m n +=，2245()(4)0m mn n m n m n ∴++=++=，故②正确；③2pq =，则23(1)()0px x q px x q ++=++=，∴11x p =-，2x q =-，∴2122x q x p=-=-=， 因此是倍根方程，故③正确；④方程20ax bx c ++=的根为：1x 2x =若122x x =220=，∴0=，∴0b +，∴b -，229(4)b ac b ∴-=，229b ac ∴=．若122x x =2=，20=，∴0=，∴0b -+，∴b =229(4)b b ac ∴=-，229b ac ∴=．故④正确， ∴正确的有：②③④共3个．例3．转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程42340x x --=时，我们就可以通过换元法，设2x y =，将原方程转化为2340y y --=，解方程得到11y =-，24y =，因为20x y =，所以1y =-舍去，所以得到24x =，所以12x =，22x =-．请参考例题解法，解方程：2320x x +=．y =，则223x x y +=．原方程可转化为：220y y --=．(2)(1)0y y ∴-+=．12y ∴=，21y =-．当2y =2，234x x ∴+=．即2340x x +-=．解这个方程得14x =-，21x =．20y x x =，1y ∴=-舍去．所以原方程的解为：14x =-，21x =．例4．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x i =±，从而x i =±是方程21x =-的两个根． 据此可知：（1）i 可以运算，例如：321i i i i i ==-⨯=-，则4i = ，2011i = ，2012i = ； （2）方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）． 【解析】解：（1）21i =-，422(1)(1)1i i i ∴==-⨯-=；2011210051005()(1)i i i i i ==-=-；2012210061006()(1)i i i i i ==-=．（2）△2(2)4124=--⨯⨯=-，21i =-，∴△24i =，∴方程2220x x -+=的两根为22121ix i ±==±⨯，即1x i =+或1x i =-． 例5．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如32()x x x x px q =⋅=-=，该方程变形为2x px q -=-，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题：已知：2210x x --=，且0x >，求4323x x x --的值．【解析】解：方程2210x x --=的解为：1x ==±0x >．所以1x =+2210x x --=，221x x ∴-=，221x x ∴-=．4323x x x ∴--22(2)3x x x x =--23x x =-213x x =+-1x =-．当1x =1(1=-+=变式训练：1．阅读材料：解方程222(1)3(1)0x x ---=．我们可以将21x -视为一个整体，采用“换元法”求解，具体解法：设21x y -=，原方程化为230y y -=①解得10y =，23y =．当0y =时，210x -=．1x ∴=±，当3y =时，213x -=，2x ∴=±，∴原方程的解为11x =，21x =-，32x =，42x =-．请利用换元法解出方程220x -=的根．y =，221y x =-，原方程可变形为：2430y y -+=．(1)(3)0y y ∴--=．11y ∴=，23y =．当1y =1=， 两边平方，得22x =，1x ∴=2x =当3y =3， 两边平方，得210x =，3x ∴=4x =所以1x =2x =，3x =，4x =2．材料一：对称美不仅仅是图形之美，代数式中也有对称的结构之美，对称不仅仅给我们以美的体验，还能帮助我们解决问题．如：2310x x -+=中，因为左边代数式中三项系数依次为：1，3-，1，是呈对称结构的，于是我们可将它变形为130x x -+=，进而可以变形为13x x +=，以此为条件便可以得到22211()27x x x x+=+-=． 材料二：你知道我们为什么要因式分解吗？原因有二：一是化简，如220x x --=(x =-2)(1)x +中，我们通过因式分解将左边的二次式变成了两个一次式的乘积，次数降低了，式子也变简单了；二是增加了信息量，如220x x --=中，x 的取值信息不太明确，但是(2)(1)0x x -+=中，我们可以很快得到，2x =或者1x =-．利用上述材料解决下列问题： （1）材料一中，2310x x -+=到13x x+=的变形成立的前提条件是 ． （2）为解系数对称的方程4310x x x --+=，陈功同学结合材料将它变形为1(2)x x +- 1(1)0x x++=，显然110x x ++≠，则只能是120x x+-=，进而解得121x x ==，请将从4310x x x --+=到11(2)(1)0x x x x+-++=的变形过程补充完整． （3）运用材料一、材料二以及第（2）问的解题经验，解方程：432223x x x +-26x +⨯26+ 0=． 【解析】解：（1）由题意知：0x ≠． （2）4310x x x --+=．421(1)x x x ∴+=+．两边同时除以2x 得：2211x x x x+=+． ∴211()2x x x x +-=+．∴211()()20x x x x +-+-=．11(2)(1)0x x x x ∴+-++=．显然110x x ++≠．120x x∴+-=．解得121x x ==． （3）方程两边同时除以2x 得：2212362230x x x x +-++=．∴266()2()350x x x x+++-=．66(7)(5)0x x x x ∴+++-=．670x x ∴++=或650x x+-=． 当670x x++=时，2760x x ++=．(1)(6)0x x ∴++=．1x ∴=-或6x =-． 当650x x+-=时，2560x x -+=．(2)(3)0x x ∴--=．2x ∴=或3x =． 综上：方程的解为：1x =-或6-或2或3． 【针对练习】1．若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，∴△2(2)8(1)1280a a =---=-且10a -≠，32a∴且1a ≠，∴整数a 的最大值为0． 2．下列一元二次方程中，没有实数根的是 A ．220x x -= B ．2210x x -+=C ．2210x x --=D ．2210x x -+=【答案】D【解析】解：（A ）△4=，故选项A 有两个不同的实数根； （B ）△440=-=，故选项B 有两个相同的实数根； （C ）△1429=+⨯=，故选项C 有两个不同的实数根； （D ）△187=-=-，故选项D 没有两个不同的实数根．3．关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是2-和1，则m n 的值为 A ．8-B ．8C ．16D ．16-【答案】C 【解析】关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是2-和1，12m ∴-=-，22n=-，2m ∴=，4n =-，2(4)16m n ∴=-=． 4．已知实数x 满足222(21)4(21)50x x x x -++-+-=，那么221x x -+的值为 A ．5-或1 B ．1-或5 C ．1 D ．5【答案】C【解析】设221y x x =-+，则2450y y +-=．整理，得(5)(1)0y y +-=．解得5y =-（舍去）或1y =．即221x x -+的值为1．5．如果1x ，2x 是两个不相等实数，且满足21121x x -=，22221x x -=，那么2212x x +等于A ．2B ．2-C ．1-D ．6【答案】D【解析】1x ，2x 是两个不相等实数，且满足21121x x -=，22221x x -=，1x ∴，2x 是方程2210x x --=的两个不相等的实数根，则122x x +=，121x x =-，2212x x ∴+21212()2x x x x =+-222(1)=-⨯-42=+6=．6．若关于x 的一元二次方程220x kx --=的一个根为1x =，则k = ． 【答案】﹣1【解析】把1x =代入方程220x kx --=得120k --=，解得1k =-．7．若实数a ，b 满足()(221)1a b a b ++-=，则a b += ．【答案】1或12-【解析】设a b x +=，则(21)1x x -=，2210x x --=，(1)(21)0x x -+=，解得11x =，12x =-，则1a b +=或12-．8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x 的一元二次方程220x x -=与2310x x m ++-=为“友好方程”，则m 的值 ． 【答案】1或﹣9【解析】解方程220x x -=，得：10x =，22x =． ①若0x =是两个方程相同的实数根．将0x =代入方程2310x x m ++-=，得：10m -=，1m ∴=，此时原方程为230xx +=，解得：10x =，23x =-，符合题意，1m ∴=； ②若2x =是两个方程相同的实数根．将2x =代入方程2310x x m ++-=，得：4610m ++-=，9m ∴=-，此时原方程为23100x x +-=，解得：12x =，25x =-，符合题意，9m ∴=-．综上所述：m 的值为1或9-．9．若关于x 的一元二次方程2220(0)x x m m m +--=>，当1m =、2、3、2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为1α、1β，2α、2β，…，2020α、2020β，则11221111αβαβ+++2020202011αβ+++的值为 ．【答案】40402021【解析】2220x x m m +--=，1m =，2，3，⋯，2020，∴由根与系数的关系得：112αβ+=-，1112αβ=-⨯；222αβ+=-，2223αβ=-⨯；202020202αβ+=-，2020202120202021αβ=-⨯；∴原式3320202020112211223320202020αβαβαβαβαβαβαβαβ++++=++++222212233420202021=++++⨯⨯⨯⨯1111111140402(1)2(1)223342020202120212021=⨯-+-+-++-=⨯-=． 10．已知关于x 的一元二次方程：21(21)4()02x k x k -++-=．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰ABC ∆的一边长4a =，另两边长b 、c ，恰好是这个方程的两个实数根，求ABC ∆的周长． （3）若方程的两个实数根之差等于3，求k 的值．【解析】解：（1）△21(21)414()2k k =+-⨯⨯-24129k k =-+2(23)k =-，无论k 取何值，2(23)0k -，故这个方程总有两个实数根；（2）由求根公式得21(23)2k k x +±-=，121x k ∴=-，22x =．另两边长b 、c ，恰好是这个方程的两个实数根， 设21b k =-，2c =，当a ，b 为腰时，则4a b ==，即214k -=，计算得出52k =， 此时三角形周长为44210++=；当b ，c 为腰时，2b c ==，此时b c a +=，构不成三角形， 故此种情况不存在．综上所述，ABC ∆周长为10． （3）方程的两个实数根之差等于3，∴2123k --=，解得：0k =或3．11．已知关于x 的一元二次方程2(12)20kx k x k +-+-=．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）当k 取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式322017αββ+++的值．【解析】解：（1）根据题意得0k ≠且△(12)24(2)0k k k =--->，解得14k >-且0k ≠； （2）k 取满足（1）中条件的最小整数，1k ∴=．此时方程变为210x x --=，1αβ∴+=，1αβ=-，210αα--=，210ββ--=，21αα∴=+，21ββ=+，32121αααααα∴=+=++=+，322017αββ∴+++2112017αββ=+++++2()2019αβ=++212019=⨯+2021=．12．已知关于x 的一元二次方程2260(x x k k --=为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值．【解析】解：（1）证明：在方程2260x x k --=中，△222(6)41()36436k k =--⨯⨯-=+，∴方程有两个不相等的实数根．（2）1x ，2x 为方程2260x x k --=的两个实数根，126x x ∴+=，12214x x +=，28x ∴=，12x =-．将8x =代入2260x x k --=中，得：264480k --=，解得：4k =±． 答：方程的两个实数根为2-和8，k 的值为4±． 13．阅读下面的例题：解方程2||20m m --=的过程如下：（1）当0m 时，原方程化为220m m --=，解得：12m =，21m =-（舍去）．（2）当0m <时，原方程可化为220m m +-=，解得：12m =-，21m =（舍去）．原方程的解：12m =，22m =-．请参照例题解方程：2|1|10m m ---=．【解析】解：当1m 时，原方程化为20m m -=，解得：11m =，20m =（舍去）．当1m <时，原方程可化为220m m +-=，解得：12m =-，21m =（舍去）．原方程的解：11m =，22m =-．14．如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程20x x +=的两个根是10x =，21x =-，则方程20x x +=是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①260x x --=；②2210x -+=．（2）已知关于x 的方程2(1)0(x m x m m ---=是常数）是“邻根方程”，求m 的值；（3）若关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数，0)a >是“邻根方程”，令28t a b =-，问：存在多少组a 、b 的值使得t 为正整数？请说明理由．【解析】解：（1）①解方程得：(3)(2)0x x -+=，3x =或2x =-， 231≠-+，260x x ∴--=不是“邻根方程”；②x =，1=+，2210x ∴-+=是“邻根方程”；（2）解方程得：()(1)0x m x -+=， x m ∴=或1x =-，方程2(1)0(x m x m m ---=是常数）是“邻根方程”，11m ∴=-+或11m =--， 0m ∴=或2-；（3）解方程得，x =，关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数，0)a >是“邻根方程”，∴1=，224b a a ∴=+， 28t a b =-，22t a a a∴=-=--+，4(2)4a>，∴有最大值，最大值为4，tt为正整数，∴=或2或3或4，t1∴当a取7个值，b对应有14个值，∴存在14组a、b的值使得t为正整数．。

初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。

2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。

4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。

2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。

3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。

4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。

5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。

3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。

2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。

知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。

解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。

选择哪种方法要根据具体情况而定。

直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。

配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。

第二讲 一元二次方程根的判别式趣通引路】话说小精灵拜数学高手为师，苦练了十八般数学技艺．一日师傅韦达对小精灵道：“师傅给你一件随身法宝——“Δ”，出去闯荡一下吧！”“小精灵拜别师傅韦达，来到“方程堡”，守门将喝道：“来者何人？”小精灵拱手答道：“晚辈小精灵奉师傅之命前来方程经见识见识．”守门将道：“先要破我一方程方能进堡！“说时迟，那时快，只见守门将挥手将许多数字、字母和符号排成2x 2＋2xy ＋7y 2－10x －18y ＋19＝0，并且问道：“你能说出实数x 、y 的值吗？”小精灵取出法宝灵机一动，将上式中的y 看成已知数，把它整理成关于x 的一元二次方程2x 2＋(2y －10)x ＋(7y 2－18y ＋19)＝0．好哇！因为x 是实数，上面的方程必有实数根，所以Δ≥0，即(2y －10)2－4×2(7y 2－18y ＋19)≥0，可得(y －1)2≤0，一下子便得到了y ＝1，再将y ＝1代人原方程就可得x ＝2． 小精灵这里用的法宝“Δ”是什么呢？它就是一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根，反过来也成立．知识延伸】例1 已知关于x 的二次方程x ²＋p 1x ＋q 1＝0与x 2＋p 2x ＋q 2＝0，求证：当p 1p 2＝2(q 1＋q 2)时，这两个方程中至少有一个方程有实根．证明 设这两个方程的判别式为Δ1，Δ2，则Δ1＋Δ2＝2212p p +－4(q 1＋q 2)．∵p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，∴Δ1＋Δ2＝2212p p +－2p 1p 2＝(p 1－p 2)2≥0．∴Δ1≥0与Δ2≥0中至少有一个成立，即两个方程中必有一个方程有实根．点评：两个方程中至少有一个方程有实根，可转化为证明Δ1＋Δ2≥0；本题还可用反证法来证明，即假设Δ1＜0且Δ2＜0，则Δ1＋Δ2＜0，但Δ1＋Δ2＝(p 1－p 2)2≥0，两者矛盾，从而导出原题结论成立．例2 求函数y ＝(4－x )＋解析 设u ＝x ，则u ＞0且y ＝4＋u ． ∴(u ＋x )2＝4(x 2＋9)，即3x 2－2ux ＋36－u 2＝0． ∵x ∈R ，故以上方程有解．∴Δ＝(2u )2－4×3×(36－u 2)≥0，即u ≥27． 又u ＞0，∴u4y x =-+ 的最小值为4+x .好题妙解】佳题新题品味例 已知实数1234,,,a a a a 满足22222124213423()2()0a a a a a a a a a +-+++= ，求证：2213=a a a ⋅ 解析 把已知等式看成关于a 4的方程。

第二讲21.2.2 公式法探索：利用配方法解方程：ax 2+bx+c=0（a≠0）解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a+（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b ac a - ∵4a 2>0，4a2＞0, 当b 2-4ac≥0时2244b ac a -≥0∴（x+2b a）2)2直接开平方，得：x+b a即∴x 1x 2 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-就得到方程的根． 总结：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-±． 例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5=-3x练一练：(1) x 2x+12=0 （2）4x 2-3x+2=0（3）3x 2x+1=0 （4）4x 2+x+1=021.2.4 判别一元二次方程根的情况探索新知求根公式：，当b 2-4ac>0具体数，所以一元一次方程的x 1=2b a -+≠x 1=2b a--，即有两个不相等的实根．当b 2-4ac=0时，•，所以x 1=x 2=2b a-，即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解． 总结（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）•有两个不相等实数根即x 1x 2 （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=2b a-． （3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．例1．不解方程，判定方程根的情况（1）16x 2+8x=-3 （2）9x 2+6x+1=0 （3）2x 2-9x+8=0 （4）x 2-7x-18=0练一练不解方程判定下列方程根的情况:（1）x 2+10x+23=0（2）x 2-x-34=0 （3）3x 2+6x-5=0（4）4x 2-x+116=0（5）x 2x-14=0 （6）4x 2-6x=0。