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全等直角三角形的判定要点一：判定直角三角形全等的一般方法；由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二：判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理。
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”例1. 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF 是其中一边上的高，AE＝DF（3）×. 在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE为第三边上的高，例2.如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．【思路点拨】若能证得AD＝AE，由于∠ADB、∠AEC 都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD＝AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB＝AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．【答案与解析】证明：在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD＝AE(全等三角形对应边相等)在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.例3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE 是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD ⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12图片，求BD的长.【答案与解析】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE ＝CD ．（2）解：由（1）得AE ＝CD ，AC ＝BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ）∴BD ＝EC ＝21BC ＝21AC ，且AC ＝12． ∴BD ＝6cm ．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件。
11.2三角形全等的判定ABC DEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DEAC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）。
例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。
求证：△ABC ≌△DCB 。
A BCD分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。
证明：在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CD AC ＝DB BC ＝CB，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。
“ASA ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EF C F∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）。
例2. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。
ABEFCD分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。
事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。
证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） 又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，()()()B C BF CE AFB CED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已证已证已证∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）角边”或“AAS ”。
两个三角形全等的判定定理
有两条边相等的三角形是等腰三角形;三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三
角形;有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。
其中，构成直角的两边叫做直角边，
直角边所对的边叫做斜边。
全等的条件：
1、两个三角形对应的'三条边成正比，两个三角形全系列等，缩写“边边边”或“sss"。
2、两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“sas”。
3、两个三角形对应的两角及其夹边成正比，两个三角形全系列等，缩写“角边角”
或“asa”。
4、两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”
或“aas”。
5、两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边成正比，两个直角三角形全系列等，缩写“直角边、斜边”或“hl”。
注意，证明三角形全等没有“ssa”或“边边角”的方法，即两边与其中一边的对角
相等无法证明这两个三角形全等，但从意义上来说，直角三角形的“hl”证明等同“ssa”。
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（ ）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠= .【仿练1】如图2，已知ABC ADE ∆≅∆，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ∆≅∆，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .、图4EDCB A图2 图3M DA NBC 图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF ∵CM 是△的中线∴_____________( )∴____________________∴__________（ ） 或 ∵AC=EF∴____________________∴__________（ ）AB=AB （ ）在△ABC 和△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．BFECAFE DCB ACMBA B A例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．SAS C．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
全等三角形必考题型
在数学中，判断两个三角形是否全等是一种常见的题型。
以下是几种常见的全等三角形必考题型：
1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则可以判定这两个三角形全等。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，且它们所夹的两边分别相等，则可以判定这两个三角形全等。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，且它们的夹角所对的边也相等，则可以判定这两个三角形全等。
4. RHS判定法：如果两个三角形的一个直角相等，且它们的斜边相等，则可以判定这两个三角形全等。
这些判定法是基于全等三角形的性质和定义来推导的。
学生在解答全等三角形的题目时，通常需要根据提供的条件进行分析，并利用这些判定法来做出判断。
此外，还存在一些需要应用多种判断法的复合题型，考察学生对不同判定法的理解和运用能力。
为了顺利解答全等三角形的必考题型，学生需要掌握三角形的性质和各种判定法的条件，以及具备逻辑思维和推理能力。
平时的课堂学习和练习中，应注重对这些知识点的理解和掌握，并通过大量的练习题来提高解题能力。
全等三角形的判定方法50道经典题摘要：1.全等三角形的判定方法概述2.边边边（SSS）判定法3.边角边（SAS）判定法4.角边角（ASA）判定法5.角角边（AAS）判定法6.斜边，直角边（HL）判定法7.经典题型一：已知三边长度，判断全等8.经典题型二：已知两边和夹角，判断全等9.经典题型三：已知两角和夹边，判断全等10.经典题型四：已知两边和等角对边相等，判断全等11.经典题型五：已知斜边和直角边，判断全等12.经典题型六：综合运用判定法，判断全等13.解题技巧与注意事项14.巩固练习：50道经典题解答与解析正文：全等三角形的判定方法是数学中非常重要的内容，掌握判定方法有助于解决许多实际问题。
本文将详细介绍全等三角形的判定方法，并通过50道经典题进行巩固练习。
1.全等三角形的判定方法概述全等三角形判定方法有六种，分别为：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、斜边，直角边（HL）。
2.边边边（SSS）判定法当两个三角形的三条边分别对应相等时，这两个三角形全等。
例如，若给出三条线段长度ABc，BCa，ACb，我们可以通过以下步骤确定全等三角形：步骤一：确定一边AB。
步骤二：分别以AB为圆心，做半径为b，a长的圆，交于点C。
步骤三：连接AC，BC。
这样，三角形的大小和形状就都被确定出来。
3.边角边（SAS）判定法当两个三角形的两边和它们的夹角分别相等时，这两个三角形全等。
例如，已知ABc，CAB，我们可以通过以下步骤确定全等三角形：步骤一：画射线AE，并在射线AE上截取ACc。
步骤二：在射线AD上截取ABc。
步骤三：连接BC。
这样，三角形的大小和形状就都被确定出来。
4.角边角（ASA）判定法当两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等时，这两个三角形全等。
例如，已知ABc，CAB，我们可以通过以下步骤确定全等三角形：步骤一：先确定一边ABc。
步骤二：在AB同旁画DAB，EBA，AD，BE交于点C。
FE DCBA1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ，AC =DF ，BE =CF ．求证∠A =∠D ． ４．，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D 。
５．如图, AD ＝BC, AB ＝DC, DE ＝BF. 求证：BE ＝DF.CA B A C EAD C B1．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．求证DC ∥AB ． 2．如图，△ABC ≌△A B C '''，AD ，A D ''分别是△ABC ，△A B C '''的对应边上的中线，AD 与A D ''有什么关系？证明你的结论．3．如图，AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜测线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论．4．：如图，AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA ．5．：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。
求证：△AFD ≌△CEB ．6．，如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。
求证：△ABD ≌△ACE ．AC EDBAE B CFDAB CD2 A CBE1H F ED CB A 7．:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC ∥DF ．8．:如图,AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ． 9．如图, 在△ABC 中, 分别延长中线BE 、CD 至F 、H, 使EF ＝BE, DH ＝CD, 连结AF 、AH ． 求证：(1) AF ＝AH ；(2)点A 、F 、H 三点在同一直线上； (3)HF ∥BC.10．如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, AC ＝BC, 直线EF 交AC 于F, 交AB 于E, 交BC 的延长线于D, 连结AD 、BF, CF ＝CD. 求证：BF ＝AD, BF ⊥AD.11．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．〔提示：首先分清和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示和求证〕AB C DE F12．证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．13.：如图，正方形ABCD ，BE =CF ，求证：(1)AE =BF ； 〔2〕AE ⊥BF . 14．：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分∠EBC ，交CD 于F ，求证BE=AE+CF.〔提示：旋转构造等腰〕15.如图,△ABD 和△ACE 是△ABC 外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.〔1〕判断CD 与BE 有怎样的数量关系;〔2〕探索DC 与BE 的夹角的大小.〔3〕取BC 的中点M ，连MA ，探讨MA 与DE 的位置关系。
判断三角形全等的五种方法
1.经典方法：三角形的三边长度相等即可判定为等边三角形。
2.比例判断：计算出三角形的三条边比值，如果比值相等，则表明三角形是等边的。
3.勾股定理：用勾股定理对三角形的三条边进行比较，如果满足勾股定理的要求，则可以判断该三角形为等边三角形。
4.外接圆半径：将三角形外接一个圆，计算出该圆的半径，如果三角形的三条边长度等于半径长度，则可以判断该三角形为等边三角形。
5.面积判断：将三角形的三条边分别带入公式计算出三角形的面积，如果三角形的三条边长度相等，则面积也相等，因此可以判断该三角形为等边三角形。
11.2三角形全等的判定ABC DEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DEAC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）。
例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。
求证：△ABC ≌△DCB 。
A BCD分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。
证明：在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CD AC ＝DB BC ＝CB，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。
“ASA ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）。
例2. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。
ABEFCD分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。
事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。
证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） 又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，()()()B C BF CE AFB CED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已证已证已证∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）角边”或“AAS ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，A D B E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）。
例3. 如图所示，R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CD 于D ，BF ⊥CD 于F ，AB 交CD 于E ，求证：AD ＝BF －DF 。
ABCDE F分析：要证AD ＝BF －DF ，观察图形可得CF ＝CD －DF ，只需证明CF ＝AD ，CD ＝BF 即可，也就是要证明△CFB ≌△ADC 。
由已知BC ＝AC ，∠CFB ＝∠ADC ＝90°，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由BF ⊥CD ，∠ACB ＝90°，易证得∠CBF ＝∠ACD ，问题便得到证明。
证明：∵∠ACB ＝90°，BF ⊥CD∴∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∠CBF ＋∠BCD ＝90° ∴∠CBF ＝∠ACD （同角的余角相等） 又∵AD ⊥CD ，∴∠CFB ＝∠ADC ＝90°在△CFB 和△ADC 中，CBF ACD CFB ADC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知） ∴△CFB ≌△ADC （AAS ）∴CF ＝AD ，BF ＝CD （全等三角形的对应边相等） 又∵CF ＝CD －DF ∴AD ＝BF －DF评析：由条件AC ＝BC 和垂直关系可得，AC 、BC 为两个直角三角形的斜边，还需要一对角相等即可用AAS 证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度证明角相等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DEB E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF（SAS ）。
例4. 已知：如图所示，AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF ，BE＝CF 。
求证：AC ∥DF 。
ABCDE F分析：欲证AC ∥DF ，可通过证明∠ACB ＝∠F ，由平行线的判定定理即可得证。
而∠ACB 与∠F 分别是△ABC 和△DEF 的内角，所以应先证明△ABC ≌△DEF 。
由BE ＝CF 易得BC ＝EF ，再结合已知条件AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF 即可达到目的。
证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF 。
在△ABC 和△DEF 中，AB DE ABC DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）。
∴∠ACB ＝∠F 。
∴AC ∥DF 。
评析：通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。
这里大括号中的条件按照“SAS ”顺序排列ABCD（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
表示方法：如图所示，在R t△ABC和R t△DEF中，∵AB＝DE，BC＝EF，∴R t△ABC≌R t△DEF（HL）。
A B CD E F注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。
②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC 和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，显然它们不全等。
③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。
例5. 如图所示，R t △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AM 上运动。
问点P 运动到AC 上什么位置时，△ABC 才能和△PQA 全等？BCAPQM分析：要使△ABC 与△PQA 全等，由于∠C ＝∠PAQ ＝90°，PQ ＝AB ，则只需AP ＝CB 或AP ＝CA ，由HL 即可知道它们全等，从而容易确定P 点的位置。
解：由题意可知，∠C ＝∠PAQ ＝90°，又AB ＝PQ ， 要使△ABC ≌△PQA ，则只需AP ＝CB 或AP ＝CA 即可，从而当点P 运动至AP ＝5cm ，即AC 中点时，△ABC ≌△QPA ； 或点P 与点C 重合时，即AP ＝CA ＝10cm 时，△ABC ≌△PQA 。
评析：要证某两个三角形全等，但缺少条件，要求把缺少的条件探索出来。
解决这类题要从结论出发，借助相关的几何知识，探讨出使结论成立所需的条件，从而使问题得以解决。
本题中涉及到分类讨论的思想，要求同学们分析思考问题要全面，把各种情况都考虑到。
例6. 如图，△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，A 、B 、D 三点在同一直线上，连结CD 、AE ，并延长AE 交CD 于F 。
（1）求证：△ABE ≌△CBD 。
（2）直线AE 与CD 互相垂直吗？请证明你的结论。
分析：根据已知条件易得AB ＝BC ，BE ＝BD ，∠ABC ＝∠CBD ＝90°正好是△ABE 和△CBD 全等的条件。
对于AE 与CD 垂直关系的证明需要推证出∠CFA ＝90°。
证明：（1）∵△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，∴AB ＝CB ，BE ＝BD ，∠ABC ＝∠CBD ＝90° ∴△ABE ≌△CBD （SSA ） （2）AE ⊥CD ，∵在△ABE 和△CEF 中，∠EAB ＝∠ECF ，∠AEB ＝∠CEF ， 且∠ABE ＝90°，∴∠ECF ＋∠CEF ＝∠EAB ＋∠AEB∴∠ECF ＋∠CEF ＝180°－（∠EAB ＋∠AEB ） 即∠AFC ＝∠ABE ＝90°∴AE ⊥CD 。
评析：利用已知，结合图形探索三角形全等的条件，逐步分析解决问题，把握解题思路。
A B CEF D拓展提高1.(07北京中考)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上， 设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠． 请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形 是等对边四边形；（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．1. 解：（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可. （2）与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ） 四边形DBCE 是等对边四边形. （3）此时存在等对边四边形DBCE.证明1：如图，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 的延长线于F 点. ∵∠DCB=∠EBC=12∠A ，BC 为公共边 ∴△BGC ≌△CFB ∴BF=CG∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A ∠GEC=∠ABE+∠A ∴△BDF ≌△CEG ∴BD=CE故四边形DBCE 是等对边四边形。
证明2：如图，在BE 上取一点F ，使得BF=CD ，连接CF.易证△BCD ≌△CBF ，故BD=CF ，∠FCB=∠DBC.∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A ∠CEF=∠ABE+∠A ∴CF=CE ∴BF=CE故四边形DBCE 是等对边四边形.BOADECAB CD EFMN P2.(09宣武一模)已知等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时， △DMN 也随之整体移动）．（1）如图1，当点M 在点B 左侧时，请你连结EN ，并判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？请写出结论，并说明理由；（2）如图2，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点M 在点C 右侧时，请你判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由．（第23题图1） （第23题图2）（第23题图3） 2．解：（1）判断： EN=MF ，点F 在直线NE 上．证明：如答图1,连结DE 、DF 、EF ．∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC ． 又∵D 、E 、F 是三边的中点， ∴DE 、DF 、EF 为△ABC 的中位线． ∴DE=DF=EF ，∴∠FDE=∠DFE ＝60°． ∵△DMN 是等边三角形， ∴∠MDN ＝60°，DM=DN ．∴∠FDE ＋∠NDF=∠MDN+∠NDF ， ∴∠MDF=∠NDE ．在△DMF 和△DNE 中，DF=DE ，∠MDF=∠NDE ， DM=DN ， （第23题答图1）∴△DMF ≌△DNE ． ∴MF=NE ． 设EN 与BC 交点为P ，连结NF ．由△ABC 是等边三角形且D 、F 分别是AB 、BC 的中点可得△DBF 是等边三角形， ∴∠MDN=∠BDF ＝60°,MNMAB C D E∴∠MDN －∠BDN =∠BDF －∠BDN ，即∠MDB=∠NDF. 在△DMB 和△DNF 中，DM=DN ，∠MDB=∠NDF ，DB=DF ， ∴△DMB ≌△DNF ． ∴∠DBM=∠DFN ． ∵∠ABC =60°， ∴∠DBM =120°，∴∠NFD =120°. （第23题答图2）∴∠NFD+∠DFE =120°+60°=180°.∴N 、F 、E 三点共线，∴F 与P 重合，F 在直线NE 上．…………………………………………4分（2）成立。
