高三数学 第26课时 第三章 数列 巩固练习专题复习教案

2010届高三数学一轮复习精品教案――数列（附高考预测）一、本章知识结构：二、重点知识回顾１．数列的概念及表示方法（１）定义：按照一定顺序排列着的一列数．（２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．（３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．（４）n a 与n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．2．等差数列和等比数列的比较（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列．（２）递推公式：110n n n na a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，． （３）通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*=+-=∈N ，，．（４）性质等差数列的主要性质：①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列． ②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=．③()()n m a a n m d m n *-=-∈N ，．④232k k k k k S S S S S --，，，…成等差数列． 等比数列的主要性质：①单调性：当1001a q <⎧⎨<<⎩，或101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列；当101a q <⎧⎨>⎩，，，或1001a q >⎧⎨<<⎩时，为递减数列；当0q <时，为摆动数列；当1q =时，为常数列．②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，．特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a =·． ③(0)n m nma q m n q a -*=∈≠N ，，． ④232k k k k k S S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，若k 为偶数，不是等比数列．若k 为奇数，是公比为1-的等比数列．三、考点剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例1. （2008深圳模拟）已知数列.12}{2n n S n a n n -=项和的前（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列.|}{|n n T n a 项和的前解：（1）当111112,1211=-⨯===S a n 时；、当.213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时，.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、（2）令.6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N当2212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ 时；当||||||||||,67621n n a a a a a T n ++++++=> 时n a a a a a a ----+++= 87621.7212)12()6612(222226+-=---⨯⨯=-=n n n n S S n综上，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=.6,7212,6,1222n n n n n n T n点评：本题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n ＝１时情况，在解题时经常会忘记。

2024届高三数学二轮专题复习教案——数列一、教学目标1.知识目标掌握数列的基本概念、性质和分类。

熟练运用数列的通项公式、求和公式。

能够解决数列的综合应用题。

2.能力目标提高学生分析问题和解决问题的能力。

培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

二、教学内容1.数列的基本概念数列的定义数列的项、项数、通项公式数列的分类2.数列的性质单调性周期性界限性3.数列的求和等差数列求和公式等比数列求和公式分段求和4.数列的综合应用数列与函数数列与方程数列与不等式三、教学重点与难点1.教学重点数列的基本概念和性质数列的求和数列的综合应用2.教学难点数列求和的技巧数列与函数、方程、不等式的综合应用四、教学过程1.导入新课通过讲解一道数列的典型例题，引导学生回顾数列的基本概念、性质和求和公式，为新课的学习做好铺垫。

2.数列的基本概念（1）数列的定义：按照一定规律排列的一列数叫做数列。

（2）数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项。

（3）数列的项数：数列中项的个数。

（4）数列的通项公式：表示数列中任意一项的公式。

（5）数列的分类：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

3.数列的性质（1）单调性：数列的项随序号增大而增大或减小。

（2）周期性：数列中某些项的值呈周期性变化。

（3）界限性：数列的项有最大值或最小值。

4.数列的求和（1）等差数列求和公式：S_n=n/2(a_1+a_n)（2）等比数列求和公式：S_n=a_1(1q^n)/(1q)（3）分段求和：根据数列的特点，将数列分为若干段，分别求和。

5.数列的综合应用（1）数列与函数：利用数列的通项公式研究函数的性质。

（2）数列与方程：利用数列的性质解决方程问题。

（3）数列与不等式：利用数列的性质解决不等式问题。

6.课堂练习（2）已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2+n，求证数列{a_n}为单调递增数列。

（3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2n+1，求证数列{a_n}为等差数列。

高考数学第一轮复习第三章 数列第三课时等比数列教案教学目的：理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题．教学重点：等比数列的通项公式及前n 项和公式的的运用。

教学难点：函数与方程思想及等价转化的思想；错位减法的运用。

考点分析及学法指导：等差与等比数列的考察题型即有选择题、填空题，又有解答题；难度即有容易题、中等题，也有难题。

这与每年试卷的结构布局有关。

客观是突出“小而巧”，主观是为“大而全”，着重考察函数与方程、等价转换、分类讨论等重要的数学思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法，加强与函数、方程、不等式等支撑数学笠体系的重点内容的结合，在知识网络交汇点设计命题。

数列的应用题，考察的侧重点是现实客观事的确良数学化。

旨在通过阅读，理解命题的背景材料，运用数学的思想和方法分析题目中多种数量之间的关系，构造数列模型，将现实问题转化为数学问题解决。

资料 教学过程： 一、知识讲解：1．m n m n q a a -=2．若q p n m +=+，m 、n 、p 、q ∈N *，则q p n m a a a a =特别地，当p n m 2=+时，2p n m a a a =3．n n n q qa q a q q a S ⋅---=--=111)1(111(q≠1)，则nn q k k S ⋅-=，其中q 为公比，q ≠0，q ≠1，qa k -=11。

4．若首项1a ＞0，公比q ＞1，或首项1a ＜0，公比0＜q ＜1，则数列为递增数列；若首项1a ＞0，公比0＜q ＜1，或首项1a ＜0，公比q ＞1，则数列为递减数列；公比q ＝1，数列为常数列；公比q ＜0，数列为摆动数列．公比q 不等于零是一大特点．5．在等比数列中，下标成等差数列的项构成等比数列； 6．连续相同个数项的积也构成等比数列；7．在等比数列中{}2n a ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1也成等比数列； 8．若{}n a 为等比数列，则{}n a lg 成等差数列． 二、例题分析 （一）基础知识扫描1．等比数列{}n a 的通项公式为n a =，可推广为 n a =⋅m a ；等比数列前n 项和公式为n S =，其中n ，m ∈N *．2．若等比数列{}n a 中，3021=+a a ，6043=+a a ，则87a a +=. 3．ac b =2是三个数a ，b ，c 成等比数列的() A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为( )A ．三个月B ．一个月C ．10天D ．20天 5．给出下面五个命题：①若{}n a 是等比数列，且l k n m +=+，则l k n m a a a a +=+②若{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，则()()n n n n n S S S S S 2322-⋅=-③{}n a 是等比数列的一个充要条件是()1-⋅=nn b a S ，常数a ≠0，b ≠1；④若{}k n 成等差数列，则{}kn a成等比数列，其中a >0，a ≠1；⑤若{}n a 成等差数列，则{}n a lg 成等比数列。

第三章 数列第1课时 数列的有关概念一．课题：数列的有关概念二．教学目标：理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解n a 与n S 的关系，培养观察能力和化归能力．三．教学重点：数列通项公式的意义及求法，n a 与n S 的关系及应用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．数列的有关概念； 2．数列的表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）解析法；（4）递推法． 3．n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．（二）主要方法：1．给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归； 2．数列前n 项的和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1n n n a S S -=-时，一定要注意条件2n ≥ ，求通项时一定要验证1a 是否适合． （三）例题分析：例1． 求下面各数列的一个通项：14916(1),,,,24578101113--⨯⨯⨯⨯L ； (2)数列的前n 项的和 221n S n n =++；(3)数列{}n a 的前n 项和r ra S n n (1+=为不等于0,1的常数) ．解：（1）2(1)(31)(31)nn n a n n =--+．（2）当1n =时 114a S ==， 当2n ≥时 1n n n a S S -=-=41n -，显然1a 不适合41n a n =-∴4(1)41(2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．（3）由n n ra S +=1可得当2≥n 时111--+=n n ra S ，)(11---=-∴n n n n a a r S S ，∴1n n n a ra ra -=-，∴1(1),n n a r ra --= ∵1,r ≠ ∴11-=-r ra a n n ，∵0r ≠，∴{}n a 是公比为1-r r的等比数列．又当1=n 时，111ra S +=，∴r a -=111，∴11()11n n r a r r -=--． 说明：本例关键是利用n S 与n a 的关系进行转化．例2．根据下面各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式：（1）==+11,1n a a )(2*N n n a n ∈+；（2）==+11,1n a a 1+n n)(*N n a n ∈； （3）==+11,1n a a 121+n a )(*N n ∈．解：（1）n a a n n 21+=+Θ，∴12n n a a n +-=， ∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L121222(1)n =+⨯+⨯++⨯-L 21(1)1n n n n =+⨯-=-+ （2）11+=+n n a a n n Θ，∴ 321121n n n a a a a a a a a -=⋅⋅L =1211123n n n-⋅⋅=L ．又解：由题意，n n na a n =++1)1(对一切自然数n 成立，∴11(1)11n n na n a a -=-==⋅=L ，∴1n a n=．（3）}2{)2(21212111-∴-=-∴+=++n n n n n a a a a a Θ是首项为121-=-a公比为21的等比数列，111121(),2()22n n n n a a --∴-=-⋅∴=-．说明：（1）本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法；（2）若数列{}n a 满足n a =1n pa q -+，则数列1n q a p ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是公比为p 的等比数列．例3．设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对所有自然数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，(1)写出数列{}n a 的前三项；(2)求数列{}n a 的通项公式(写出推证过程)；(3)令111()2n n n n n aa b a a ++=+()n N ∈，求123n b b b b n ++++-L ．解：（1）由题意：222n n a S +=0n a >，令1n =，11222a a +=，解得12a =令2n =，21222()2a a a +=+， 解得26a =令3n =，312322()2a a a a +=++ 解得310a =∴该数列的前三项为2,6,10.（2）∵222n n a S +=，∴21(2)8n n S a =+，由此2111(2)8n n S a ++=+， ∴221111[(2)(2)]8n n n n n a S S a a +++=-=+-+，整理得：11()(4)0n n n n a a a a +++--=由题意：1()0n n a a ++≠，∴140n n a a +--=，即14n n a a +-=，∴数列{}n a 为等差数列，其中12,a =公差4d =，∴1(1)n a a n d =+-=42n -（3）14242122()(11)2424222121n n n b n n n n +-=+=++--+-+1112121n n =+--+ ∴121111113352121n b b b n n n +++=+-+-++--+L L n -1121n -+． 例4．（《高考A 计划》考点19“智能训练第17题”）设函数2()log log 2x f x x =-(01)x <<，数列{}n a 满足(2)2(1,2,3)n af n n ==L （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）判定数列{}n a 的单调性． 解答参看《高考A 计划》教师用书112P ．（四）巩固练习：1．已知1111,1(2)n n a a n a -==+≥，则5a =85． 2．在数列{}n a中n a =9n S =，则n =99．五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练12．13．14．15．16．第2课时 等差数列与等比数列的基本运算一．课题：等差数列与等比数列的基本运算二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，并能利用这些知识解决有关问题，培养学生的化归能力．三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式的应用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n 项和公式； 2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式； 3．等差中项和等比中项的概念． （二）主要方法：1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()a d q 来处理；2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． （三）例题分析：例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ．（2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316．例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．解：设这四个数为：2(),,,a d a d a a d a +-+，则2()16212a d a d aa d ⎧+-+=⎪⎨⎪+=⎩解得：48a d =⎧⎨=⎩或96a d =⎧⎨=-⎩，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1．例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠，∴221122331111(1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ⎧--=⎪--⎨⎪+=⋅⎩ 由①得110q =，代入②得110a =，∴21()10n n a -=．说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． 例4．已知等差数列110,116,122,L ，（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和. 解：1106(1)6104n a n n =+-=+，（1）由4506104600n ≤+≤，得5882n ≤≤，又*n N ∈,∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和58821()25131002n S a a =+⨯=． （2）∵1106(1)n a n =+-，∴要使n a 能被5整除，只要1n -能被5整除，即15n k -=， ∴51n k =+，∴585182k ≤+≤，∴1216k ≤≤，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整除的项共有5项即第61,66,71,76,81项，其和61815()26502a a S +==．五．课后作业：《高考A 计划》考点20，智能训练5，6， 12，13，14，15．第3课时 等差数列、等比数列的性质及应用一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力．三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程： （一）主要知识：有关等差、等比数列的结论① ②1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --L L 仍为等差数列．2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+ 3．等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --L L 仍为等比数列．5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． 6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列．（二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．（三）例题分析： 例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有13 项；（2）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则46a a +=9 ．（3）等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 210 ．例2．若数列{}n a 成等差数列，且,()m n S n S m m n ==≠，求n m S +． 解：（法一）基本量法（略）；（法二）设2n S An Bn =+，则22(1)(2)An Bn mAm Bm n⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ (1)(2)-得：22()()n m A n m B m n -+-=-，m n ≠Q ， ∴()1m n A B ++=-，∴2()()()n m S n m A n m B n m +=+++=-+．例3．等差数列{}n a 中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，11a =，求其项数和中间项. 解：设数列的项数为21n +项，则121(1)()772n n a a S +++==奇，22()662n n a a S +==偶∴17766S n S n +==奇偶， ∴6n =，∴数列的项数为13，中间项为第7项，且711a =． 说明：（1）在项数为21n +项的等差数列{}n a 中，2+1=(+1),=,=(2+1)n S n a S na S n a 奇中偶中中； （2）在项数为2n 项的等差数列{}n a 中2+11=,=,=()n n n n n S na S na S n a a +++1奇偶．例4．数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++L*()k N ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '．解：（1）由题意：410n n a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列，∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-L ，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-= 由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <， ∴当7n ≤时，212731132()244n n nS b b b n n n -+'=+++==-+L 当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++----L L 27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+L∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩．例5*．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{b }n 的前n 项和，对任意自然数n ，有232n n a +=-，41213n n T S n -=，（1）求数列{b }n 的通项公式；（2）设集合*{|2,}n A x x a n N ==∈， *{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项1,n c A B c ∈I 是A B I 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．解：（1）当*2,n n N ≥∈时：114121341213(1)n n n n T S n T S n ---=⎧⎨-=-⎩，两式相减得：41213n n b a -=，∴1334n n b a =+534n =--，又1174b =-也适合上式，∴数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--．（2）对任意*n N ∈，223,41252(61)3n n a n b n n =--=--=-+-，∴B A ⊂，∴A B B =I∵1c 是A B I 中的最大数，∴1c 17=-，设等差数列{}n c 的公差为d ，则10179c d =-+，∴265179125d -<-+<-，即527129d -<<-，又4n b 是一个以12-为公差的等差数列，∴*12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724n c n =-．（四）巩固练习：1．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nn a a a b n+++=L （N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d =N n ∈*）也是等比数列．2．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43． 说明：2121n n n n a S b T --=．五．课后作业：《高考A 计划》考点21，智能训练4，8，12，14，15，16．第4课时 数列求和一．课题：数列求和二．教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3．熟记一些常用的数列的和的公式． 三．教学重点：特殊数列求和的方法． 四．教学过程： （一）主要知识：1．等差数列与等比数列的求和公式的应用；2．倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法； （二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析：例1．求下列数列的前n 项和n S ：（1）5，55，555，5555，…，5(101)9n-，…； （2）1111,,,,,132435(2)n n ⨯⨯⨯+L L ； （3）n a =（4）23,2,3,,,na a a na L L ；（5）13,24,35,,(2),n n ⨯⨯⨯+L L； （6）2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++o o o o L L ．解：（1）555555555n n S =++++678L L 个5(999999999)9n =++++678L L 个235[(101)(101)(101)(101)]9n =-+-+-++-L 235505[10101010](101)9819n n n n =++++-=--L ． （2）∵1111()(2)22n n n n =-++，∴11111111[(1)()()()]2324352n S n n =-+-+-++-+L 1111(1)2212n n =+--++． （3）∵n a ===∴n S =++L1)=+++L 1=．（4）2323nn S a a a na =++++L ，当1a =时，123n S =+++ (1)2n n n ++=，当1a ≠时，2323n S a a a =+++…nna + ，23423n aS a a a =+++…1n na ++，两式相减得 23(1)n a S a a a -=+++ (1)1(1)1n n n n a a a nana a++-+-=--，∴212(1)(1)n n n na n a aS a ++-++=-．（5）∵2(2)2n n n n +=+，∴ 原式222(123=+++ (2))2(123n ++⨯+++…)n +(1)(27)6n n n ++=．（6）设2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =++++ooooL L ， 又∵2222sin 89sin 88sin 87sin 1S =++++ooooL L ， ∴ 289S =，892S =． 例2．已知数列{}n a 的通项65()2()n nn n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．解：奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列， 偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列； 当n 为奇数时，奇数项有12n +项，偶数项有12n -项， ∴1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221423n n n n n n n S --++--+--=+=+-， 当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n项，∴2(165)4(14)(32)4(21)221423n n n n n n n S +----=+=+-， 所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23n n nn n n S n n n -⎧+--+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数．例3．（《高考A 计划》智能训练14题）数列{}n a 的前n 项和2()nn S p p R =+∈，数列{}n b 满足2log n n b a =，若{}n a 是等比数列，（1）求p 的值及通项n a ；（2）求和222123()()()n T b b b =-+…12*(1)()()n n b n N -+-∈．（解答见教师用书127页）（四）巩固练习：设数列11,(12),,(122),n -++++L L L 的前n 项和为n S ，则n S 等于（ ） ()A 2n ()B 2n n -()C 12n n +-()D 122n n +--五．课后作业：《高考A 计划》考点22，智能训练2，4，5，12，15，16．第5课时 数列的实际应用一．课题：数列的实际应用二．教学目标：1．理解“复利”的概念，能解决分期付款的有关计算方法；2．能够把实际问题转化成数列问题． 三．教学重点：建立数列模型解决数列实际应用问题． 四．教学过程： （一）主要知识：1．解应用问题的核心是建立数学模型；2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型； 3．注意问题是求什么（,,n n n a S ）．（二）主要方法：1．解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答； 2．在归纳或求通项公式时，一定要将项数n 计算准确； 3．在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系；4．在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程度的要求． （三）例题分析：例1．某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材的存量， （1）求n a 的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于79a ，如果1972ab =，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg 20.3=） 解：（1）设第一年的森林的木材存量为1a ，第n 年后的森林的木材存量为n a ，则115(1)44a a b a b =+-=-，221555()(1)444a a b a b =-=-+，32325555()[()1]4444a a b a b =-=-++，………12*55555()[()()1]()4[()1]()44444n n n n n n a a a b n N --=-+++=--∈L ．（2）当1972b a =时，有79n a a <得55197()4[()1]44729n n a a a --⨯<即5()54n >，所以，lg 51lg 27.2lg 52lg 213lg 2n ->=≈--． 答：经过8年后该地区就开始水土流失．例2．轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的10%，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为5%，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？解：第一个月月底余1(120%)10000(120%)1000010%30010500a =+⨯-+⨯⨯-=元， 设第n 个月月底余n a ，第1n +个月月底余1n a +，则1(120%)(120%)10%300 1.08300(1)n n n n a a a a n +=+-+⨯-=-≥， 从而有13750 1.08(3750)n n a a +-=-，设13750,6750n n b a b =-=，∴{}n b 是等比数列11 1.08n n b b -=⨯， ∴16750 1.083750n n a -=⨯+，11126750 1.0837*******.6a =⨯+≈，还贷后纯收入为1210000(15%)8988.60a -+=元．例3．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． 两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：10101.1 2.594,1.313.796==）解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：10291.311(130%)(130%)(130%)42.621.31-+++++++==-L （万元）到期时银行的本息和为1010(110%)10 2.59425.94⨯+=⨯=（万元） ∴甲方案扣除本息后的净获利为：42.6225.9416.7-≈（万元）乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：10(1 5.5)1(10.5)(120.5)(190.5)32.502+++++⨯+++⨯==L （万元） 贷款的本利和为：1091.111.1[1(110%)(110%)] 1.117.531.11-+++++=⨯=-L （万元） ∴乙方案扣除本息后的净获利为：32.5017.5315.0-=（万元） 所以，甲方案的获利较多．例4．某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的23领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶精品严选资料11 段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为na 元，（1）求{}n a 的通项公式；（2）当827a b =时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？ （3）当38a b ≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？ 解：（1）由题意得，当1n =时，1a a =，当2n ≥时，1223()()32n n n a a b --=+， ∴12(1)23()()(2)32n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩． （2）由已知827a b =， 当2n ≥时，1121222832838()()2[()()]327232729n n n n n a a a a a a ----=+≥⨯=要使得上式等号成立， 当且仅当12283()()3272n n a a --=，即22422()()33n -=，解得3n =，因此这个人第三年收入最少为89a 元． （3）当2n ≥时，121223233()()()()32382n n n n n a a a b a a ----=+≥+≥=，上述等号成立，须38a b =且2233121log 1log 223n =+>+=因此等号不能取到， 当38a b ≥时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．（四）巩固练习：某工厂生产总值月平均增长率为p ，则年平均增长率为 （ ）()A p ()B 12p ()C 12(1)p +()D 12(1)1p +-五．课后作业：《高考A 计划》考点23，智能训练2，11，13，14，15，16．。