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初中数理逻辑试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是（）A. 0或1B. 0或-1C. 1或-1D. 无法确定2. 下列哪个选项是偶数（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 一个三角形的三个内角之和等于（）A. 90°B. 180°C. 270°D. 360°4. 一个数的相反数是它本身，这个数是（）A. 0B. 1C. -1D. 无法确定5. 一个数的绝对值是它本身，这个数是（）A. 非负数B. 非正数C. 非负数或非正数D. 无法确定二、填空题（每题2分，共10分）1. 一个数的平方是25，那么这个数是_________。
2. 一个数的立方是-8，那么这个数是_________。
3. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是_________。
4. 一个数的绝对值是5，那么这个数是_________。
5. 如果一个数的平方根是3，那么这个数是_________。
三、解答题（每题5分，共30分）1. 证明：对于任意实数a和b，(a+b)² = a² + 2ab + b²。
2. 已知一个数的平方是16，求这个数。
3. 一个等腰三角形的底角是45°，求顶角的度数。
4. 一个数的立方是27，求这个数。
5. 一个数的绝对值是3，求这个数。
四、逻辑推理题（每题5分，共10分）1. 如果一个数既是偶数又是质数，那么这个数是（）A. 2B. 4C. 6D. 82. 如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是（）A. 正数B. 负数C. 零D. 正数或零五、应用题（每题10分，共20分）1. 一个长方形的长是宽的两倍，如果宽是5cm，求长方形的周长。
2. 一个数的平方比它的立方小64，求这个数。
答案：一、选择题1. A2. A3. B4. A5. A二、填空题1. ±52. -23. 24. ±55. 9三、解答题1. 证明：(a+b)² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²。
一阶逻辑等值式与置换规则1．设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词：(1) x y(F(x)∧G(y))(2) x y(F(x)∨G(y))(3) xF(x)→yG(y)(4) x(F(x,y)→yG(y))2．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。
(1) x(F(x)→G(x))(2) x(F(x)∧G(x))3．给定解释I如下：(a) 个体域D={3,4}。
(b) (x)为(3)=4，(4)=3。
(c) (x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。
试求下列公式在I下的真值：(1) x yF(x,y)(2) x yF(x,y)(3) x y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))4．构造下面推理的证明：(1) 前提：x(F(x)→(G(a)∧R(x)))，xF(x)结论：x(F(x)∧R(x))(2) 前提：x(F(x)∨G(x))，┐xG(x)结论：xF(x)(3) 前提：x(F(x)∨G(x))，x(┐G(x)∨┐R(x))，xR(x)结论：xF(x)5．证明下面推理：(1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。
(2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不是无理数。
(3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不是无理数。
答案1.(1) x y(F(x)∧G(y))xF(x)∧yG(y)(F(a)∧F(b))∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c))(2) x y(F(x)∨G(y))xF(x)∨yG(y)(F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c))(3) xF(x)→yG(y)(F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c)) (4) x(F(x,y)→yG(y))xF(x,y)→yG(y)(F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G(c))2.(1)I1: F(x):x≤2,G(x):x≤3F(1),F(2),G(1),G(2)均为真，所以x(F(x)→G(x))(F(1)→G(1)∧(F(2)→G(2))为真。
数理逻辑练习题及答案-2命题逻辑等价演算1．设A、B、C为任意的命题公式。
（1）已知A∨CB∨C，问：AB一定成立吗？（2）已知A∧CB∧C，问：AB一定成立吗？（3）已知┐A┐B，问：AB一定成立吗？2．用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值。
（1）┐(p∧q→q)（2）(p→(p∨q))∨(p→r)（3）(p∨q)→(p∧r)3．用等值演算法证明下面等值式：（1）┐(pq)(p∨q)∧┐(p∧q)（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q)(p∨q)∧┐(p∧q)4．求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（1）(┐p→q)→(┐q∨p)（2）┐(p→q)∧q∧r（3）(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)5．求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（1）┐(q→┐p)∧┐p（2）(p∧q)∨(┐p∨r)（3）(p→(p∨q))∨r6．求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求合取范式：（1）(p∧q)∨r（2）(p→q)∧(q→r)7．用主析取范式判断下列公式是否等值：（1）(p→q)→r与q→(p→r)（2）┐(p∧q)与┐(p∨q)8．用主合取范式判断下列公式是否等值：（1）p→（q→r）与┐(p∧q)∨r（2）p→（q→r）与(p→q)→r9．某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C。
已知在且仅在下述四种情况下灯亮：（1）C的扳键向上，A,B的扳键向下。
（2）A的扳键向上，B,C的扳键向下。
（3）B,C的扳键向上，A的扳键向下。
（4）A,B的扳键向上，C的扳键向下。
设F为1表示灯亮，p,q,r分别表示A,B,C的扳键向上。
（a）求F的主析取范式。
（b）在联结词完备集{┐,∧}上构造F.（c）在联结词完备集{┐,→,}上构造F.答案1．（1）不一定。
（2）不一定。
（3）一定。
2．（1）矛盾式。
（2）重言式。
（3）可满足式，000，001，101，111为成真赋值。
3．（1）┐(pq)┐((p→q)∧(q→p))┐((┐p∨q)∧(┐q∨p))(p∧┐q)∨(q∧┐p)(p∨q)∧(p∨┐p)∧(┐q∨q)∧(┐p∨┐q)(p∨q)∧┐(p∧q)（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q)(p∨┐p)∧(p∨q)∧(┐q∨┐p)∧(┐q∨q)(p∨q)∧┐(p∧q)4．（1）m0∨m2∨m3，00，10，11为成真赋值。
“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案━━━━━━━━━━━━━━━━━━★━━━━━━━━━━━━━━━━━━一、命题逻辑基本知识（5分）1、将下列命题符号化(总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。
共2分）(0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研.解：⌝p∧q，其中,P：小刘怕吃苦；q:小刘爱钻研.(1）只有不怕敌人,才能战胜敌人.解：q→⌝p，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。
（2）只要别人有困难,老张就帮助别人,除非困难已经解决了。
解：⌝r→(p→p），其中，P:别人有困难；q：老张帮助别人;r:困难解决了.（3）小王与小张是亲戚。
解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。
2、判断下列公式的类型(总共5题,完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题.共1分）（0)A:（⌝（p↔q）→（（p∧⌝q）∨(⌝p∧q））)∨ r(1）B：（p∧⌝(q→p)) ∧（r∧q)（2）C：（p↔⌝r）→（q↔r)（3）E:p→（p∨q∨r)(4）F：⌝（q→r) ∧r解:用真值表判断，A为重言式,B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式,F为矛盾式。
3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。
共2分）(0)设y=2｜x|，x为实数。
推理如下:如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。
发现y在x=0处连续,所以，y在x=0处可导。
解：设y=2|x｜，x为实数.令P:y在x=0处可导,q：y在x=0处连续。
由此，p为假，q为真。
本题推理符号化为：(p→q）∧q→p。
由p、q的真值，计算推理公式真值为假,由此，本题推理不正确。
（1）若2和3都是素数，则6是奇数。
2是素数,3也是素数.所以，5或6是奇数。
解：令p:2是素数,q：3是素数，r：5是奇数，s：6是奇数。
由此，p=1，q=1,r=1，s=0.本题推理符号化为：((p ∧ q) →s）∧p ∧q) →（r ∨ s)。
计算推理公式真值为真,由此，本题推理正确.二、命题逻辑等值演算(5分)1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。
命题逻辑的推理1．判断下面推理是否正确。
先将简单命题符号化，再写出前提、结论、推理的形式结构（以蕴涵式的形式给出）和判断过程（至少给出两种判断方法）：（1）若今天是星期一，则明天是星期三；今天是星期一。
所以明天是星期三。
（2）若今天是星期一，则明天是星期二；明天是星期二。
所以今天是星期一。
（3）若今天是星期一，则明天是星期三；明天不是星期三。
所以今天不是星期一。
（4）若今天是星期一，则明天是星期二；今天不是星期一。
所以明天不是星期二。
（5）若今天是星期一，则明天是星期二或星期三。
（6）今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一。
所以明天不是星期三。
2．构造下面推理的证明：（1）前提：p→(q→r), p, q结论：r∨s（2）前提：p→q, ┐(q∧r), r结论：┐p（3）前提：p→q结论：p→(p∧q)（4）前提：q→p, q s, s t, t∧r结论：p∧q（5）前提：p→r, q→s, p∧q结论：r∧s（6）前提：┐p∨r, ┐q∨s, p∧q结论：t→(r∨s)3．用附加前提法证明下面各推理：（1）前提：p→(q→r), s→p, q结论：s→r（2）前提：(p∨q)→(r∧s), (s∨t)→u结论：p→u4．用归谬法证明下面推理：（1）前提：p→┐q, ┐r∨q, r∧┐s结论：┐p（2）前提：p∨q, p→r, q→s结论：r∨s5．构造下面推理的证明。
（1）如果小王是理科学生，他必学好数学；如果小王不是文科生，他必是理科生；小王没学好数学。
所以，小王是文科生。
（2）明天是晴天，或是雨天；若明天是晴天，我就去看电影；若我看电影，我就不看书。
所以，如果我看书，则明天是雨天。
答案1．设p：今天是星期一，q：明天是星期二，r：明天是星期三。
（1）推理的形式结构为(p→r)∧p→r此形式结构为重言式，即(p→r)∧p r所以推理正确。
（2）推理的形式结构为(p→q)∧q→p此形式结构不是重言式，故推理不正确。
《离散数学》第1章练习题参考答案2017年一、填空题1. 设命题公式)(r q p G ∨⌝∧=，则G 的成真赋值是 100 、 101 、 111 .2. 已知命题公式r q p G →∧⌝=)(，则G 的析取范式为r q p ∨⌝∨.3. 设B A ,为两个命题公式，B A ⇔当且仅当为重言式B A ↔，B A ⇒当且仅当为重言式B A →.4. 已知命题公式),,(r q p A 的主合取范式为530M M M ∧∧，则它的主析取范式为76421m m m m m ∨∨∨∨.5. 已知命题公式),,(r q p A 的成真赋值为000,001,010,100,110，则其主合取范式为357M M M ∧∧.二、选择题1. 设命题公式)(p q p G ⌝→∧=，则使G 的真值为1的p ，q 的取值是 （ C ）（A ） 00 （B ） 01 （C ） 10 （D ） 112. 与命题公式)(r q p →→等值的公式是 （ B ）（A ）r q p →∨)( （B ）r q p →∧)( （C ）)(r q p ∧→ （D ）)(r q p ∨→3. 命题公式p q p →∧)(是 （ A ）（A ）永真式 （B ）永假式 （C ）非永真式的可满足式 （D ）合取范式4. 设命题公式)(),(p q H q p G ⌝→=→⌝=，则G 与H 的关系是 （ D ）（A ）G H ⇔ （B ）G H → （C ）G H ⇒ （D ）H G ⇒5. 下列重言蕴涵式中，不正确的是 （ C ）（A ）Q P Q ∨⇒ （B ）Q P Q →⇒（C ）P Q P Q ⇒→∧⌝)( （D ）Q Q P ⌝⇒→⌝)(三、计算题1. 将下列命题符号化（1）李强不是不聪明，而是不用功 （2）如果天不下雨，我们就去郊游 解 （1）设p ：李强聪明，q ：李强用功.原命题符号化为：q p ⌝∧（2）设p ：天下雨，q ：我们去郊游.原命题符号化为：q p →⌝2.给出下列公式的真值表（1）r q p r q p ⌝∧∧→→∧)(（2）)()()(r p r q q p ⌝∧⌝→→∧∨⌝解略.3. 设命题变项q p ,为1， s r ,为0，试求出下列命题的真值（1）)(r q p ∧∨ （2）)()(s q r p →⌝∧→解 （1）101)01(1)(⇔∨⇔∧∨⇔∧∨r q p（2）010)00()01()()(⇔∧⇔→∧→⇔→⌝∧→s q r p4. 判断下列公式的类型（1）)(r q p p ∨∨→ （2）)()(q p q p ∨⌝→↔解 用真值表知（1）是重言式，（2）是可满足式.5. 求命题公式r q p →∨)(的主合取范式，并求其成假赋值. 解 用真值表可得642)(M M M r q p ∧∧⇔→∨.真值为0的赋值有三种：001，100，110.6. 求命题公式r q p ∨∧)(的主合取范式与主析取范式.解 用真值表法可知42076531)(M M M m m m m m r q p ∧∧⇔∨∨∨∨⇔∨∧四、证明题1. 用等值演算法证明q q p p →→∧)(为重言式. 证 原式q q p p q q p p →∨⌝∧⇔→→∧⇔)()( q q p q q p p ∨∧⌝⇔∨∨⌝∧⌝⇔)())((11⇔∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔p q q p2. 构造下列推理的证明（1）前提：q p q s s r q r →⌝→∨⌝→,,,，结论：p ⌝；（2）前提：s r s p q s r q p ,),)((),()(⌝∨→∧⌝→→⌝，结论：q p ↔；(3) 前提：)(,)(,t p r r q q p ∧⌝⌝⌝∧∨⌝→，结论：t ⌝. 证 （1）用归谬法证明①p 结论的否定引入 ②q p → 前提引入 ③q ①②假言推理 ④q s ⌝→ 前提引入 ⑤s ⌝ ③④拒取 ⑥ s r ∨ 前提引入⑦r ⑤⑥析取三段论 ⑧q r ⌝→ 前提引入 ⑨q ⌝ ⑦⑧假言推理 ⑩q q ⌝∧ ③⑨合取 ⑩得出矛盾，因此，p ⌝是前提的有效结论.（2）① s p q ⌝∨→)( 前提引入② s 前提引入 ③ p q → ①②析取三段论 ④ )()(s r q p ∧⌝→→⌝ 前提引入 ⑤ r 前提引入 ⑥ s r ∧ ②⑤合取 ⑦ q p → ④⑥拒取⑧)p→∧q→③⑦合取(q)(p⑨qp↔⑧置换（3）①r⌝)(前提引入∨∧q⌝r②rq∨⌝①化简③r⌝①化简④)⌝前提引入⌝p∧(t⑤tp⌝∨④置换⑥q⌝②③析取三段论⑦qp→前提引入⑧p⌝⑥⑦拒取⑨t⌝⑤⑧析取三段论。
数理逻辑考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项不是命题逻辑中的联结词？A. 与B. 或C. 非D. 存在答案：D2. 在布尔代数中，以下哪个表达式是正确的？A. ¬(A∧B) = ¬A∨¬ BB. A∧¬ A = AC. A∨¬ A = 1D. A∧(A∨B) = A答案：C3. 以下哪个命题是真命题？A. 如果今天是星期一，那么明天是星期二。
B. 所有的鸟都会飞。
C. 所有的人都是哲学家。
D. 2+2=5答案：A4. 在命题逻辑中，以下哪个命题的否定是正确的？A. 如果A，则B。
B. A且B。
C. A或B。
D. A当且仅当B。
答案：A5. 以下哪个选项是谓词逻辑中的量词？A. 与B. 或C. 存在D. 非答案：C6. 在谓词逻辑中，以下哪个表达式表示“存在一个x，使得x是学生”？A. ∀x (x 是学生)B. ∃x (x 是学生)C. ¬∃x (x 是学生)D. ¬∀x (x 是学生)答案：B7. 以下哪个选项是模态逻辑中的模态词？A. 与B. 或C. 可能D. 非答案：C8. 在模态逻辑中，以下哪个命题表示“必然P”？A. PB. ¬PC. ◊PD. □P答案：D9. 以下哪个命题是逻辑等价的？A. A∧BB. A∨BC. ¬A∧¬ BD. ¬(A∧¬B)答案：C10. 在逻辑推理中，以下哪个选项是演绎推理？A. 归纳推理B. 演绎推理C. 溯因推理D. 类比推理答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 以下哪些选项是命题逻辑中的有效推理形式？A. 从A∧B，可以推出A。
B. 从A∨B，可以推出A。
C. 从A，可以推出A∨B。
D. 从A∧B，可以推出B。
答案：A, C, D2. 在布尔代数中，以下哪些表达式是等价的？A. A∧(B∨¬A)B. A∨(B∧¬A)C. A∧¬ BD. A∨¬ B答案：A, C3. 以下哪些命题是真命题？A. 如果A则B，且A为真，那么B也为真。
数理逻辑期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个命题与“所有猫都怕水”是等价的？A. 没有猫不怕水B. 所有不怕水的都不是猫C. 有些猫不怕水D. 有些猫怕水2. 如果命题P：x > 0，命题Q：x^2 > 0，那么P是Q的什么条件？A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 逻辑运算符“与”（AND）的真值表中，当两个输入都为真时，输出是什么？A. 假B. 真C. 随机D. 无定义4. 以下哪个是命题逻辑中的有效论证？A. 如果今天是星期一，那么明天是星期二B. 如果今天是星期一，那么明天是星期三C. 如果今天是星期一，那么明天是星期五D. 如果今天是星期一，那么今天是星期二5. 以下哪个命题是真命题？A. 2 + 2 = 5B. 2 + 2 = 4C. 2 + 2 > 4D. 2 + 2 < 46. 以下哪个命题与“如果今天是星期五，那么明天是星期六”是逆命题？A. 如果明天是星期六，那么今天是星期五B. 如果明天不是星期六，那么今天不是星期五C. 如果今天是星期五，那么明天是星期六D. 如果明天是星期六，那么今天是星期六7. 以下哪个命题与“所有的狗都是哺乳动物”是矛盾命题？A. 有些狗不是哺乳动物B. 所有的狗都是哺乳动物C. 所有的哺乳动物都是狗D. 有些哺乳动物不是狗8. 以下哪个命题是假命题？A. 0是自然数B. 1是最小的正整数C. 0是最小的自然数D. 1是最小的正整数且0是最小的自然数9. 以下哪个命题是真命题？A. 所有的偶数都是整数B. 所有的整数都是偶数C. 所有的奇数都是整数D. 所有的整数都是奇数10. 以下哪个命题与“如果今天是星期三，那么明天是星期四”是同一律命题？A. 如果今天是星期三，那么明天是星期四B. 如果明天是星期四，那么今天是星期三C. 如果今天是星期四，那么明天是星期三D. 如果明天不是星期四，那么今天不是星期三答案：1. A2. B3. B4. A5. B6. A7. A8. D9. A10. A二、填空题（每空2分，共20分）1. 命题逻辑中的“或”运算符可以表示为________。
