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《高等数学》下册期末总复习第六版

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G
G
x y z + + =1 a b c
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 的平面束方程为 ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
4）平面束方程：过直线 ⎨
( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0
b b b G G a & b ⇔ x = y = z （对应坐标成比例） ； ax a y az G G a ⋅b G G n cos(a , b ) = G G ； | a || b |
（二）曲面、空间曲线及其方程
G G G G a ⊥ b ⇔ a ⋅b = 0 ；
G G G G n G b =| b | cos( a , b ) Prja
切向量为 T = ( x′(t0 ), y ′(t0 ), z ′(t0 )) ， 切线方程为
G
x − x0 y − y0 z − z0 = = ； x′(t0 ) y′(t0 ) z ′(t0 )
法平面方程为 x′(t0 ) ⋅ ( x − x0 ) + y′(t0 ) ⋅ ( y − y0 ) + z ′(t0 ) ⋅ ( z − z0 ) = 0
Δ
ห้องสมุดไป่ตู้
(Δx) 2 + (Δy ) 2 .
连续
关系图——多元函数在某点：
⇒ 偏导数存在 ⇐
32
可微分
/0
⇑ ⇓ 偏导数连续
（五） 应用： 1、 几何应用： 1） 空间曲线的切线与法平面：
⎧ x = x(t ) ⎪ a、 若曲线 Γ 的方程为参数方程： ⎨ y = y (t ) ，点 M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ Γ ↔ t = t0 ，则 ⎪ z = z (t ) ⎩
2 2 2 2
x 2 + y 2 ，圆柱面 x 2 + y 2 = 1 ，
旋转抛物面 z = x + y 等】
2 2
2、 空间曲线及其方程：一般方程（面交式） 、参数方程； 3、 曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投谁便消去谁 4、 会作简单立体图形
（三）平面方程与直线方程：
1、平面方程：
第 1 页 共 16 页 1
( x , y ) →( x0 , y0 )
（二） 连续性：
Δ
lim
f ( x, y ) = f ( x0 , y0 )
⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 ( x - x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 <δ 时,有|f ( x, y ) - f ( x0 , y0 )|<ε
（三） 偏导数： 1、 显函数： z = f ( x, y ) 1） 定义： f x ( x0 , y0 ) = lim
1）一般方程： Ax + By + Cz + D = 0 ，其中 n = ( A, B, C ) 为其一法向量． 2）点法式方程：法向量 n = ( A, B, C ) ，点 M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ Π ，则 A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ． 3）截距式方程：
2、 隐函数： 1） 一个方程的情形：
Fx dy ⎧ ⎪公式法：dx = − F y ⎪ ⎪ y= y( x) 二元方程可确定一个一元隐函数： F ( x, y ) = 0 ⎯⎯⎯ → ⎨隐函数求导法：方程两边对x求导，注意y = ⎪微分法：方程两边取微分，F dx + F dy = 0 x y ⎪ ⎪ ⎩
4、距离 点面： d =
| Am + Bn + Cp |
A2 + B 2 + C 2 m 2 + n 2 + p 2
；
G G L & Π (或L在Π 上) ⇔ s ⊥ n ⇔ Am + Bn + Cp = 0
| Ax0 + By0 + Cz0 + D | A2 + B 2 + C 2
；
JJJJJJ G G | M 0M × s | G 点线： d = ，其中 s 为直线的方向向量， M 为直线上任意一点． G |s|
第 2 页 共 16 页
2
二、多元函数的微分学及其应用 （一） 极限（求法与一元函数的类似，洛必达法则除外） ：
( x , y ) →( x0 , y0 )
Δ
lim
f ( x, y ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0,当0< ( x - x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 <δ 时,有|f ( x, y ) - A |<ε
3、面面、线线、线面关系：
3）一般式方程： ⎨
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
G G | n1 ⋅ n2 | G G n 1)面面： cos θ =| cos(n1 , n2 ) |= G G = | n1 || n2 |
JJJJ G
G
G
G
JJJ G
G
G
a a a G | a |= ax 2 + a y 2 + az 2 ； cos α = Gx , cos β = Gy , cos γ = Gz ； |a| |a| |a|
G G G a ± b = (ax ± bx , a y ± by , az ± bz ) ； λ a = (λ ax , λ a y , λ az ) （ λ 为数） ； G G G G G G n a ⋅ b =| a | ⋅ | b | cos(a , b ) = ax bx + a y by + az bz ； G G G i j k G G G G G G G G G G G G G G n a × b = ax a y az ， (| a × b |=| a || b | sin( a , b ), a × b ⊥ b , a × b ⊥ a ) ； bx by bz
y ( x )为x的函数
Fy ⎧ F ∂z ∂z 公式法： =− x, =− ⎪ z = z ( x, y ) dx Fz dy Fz ⎪ 三元方程可确定一个二元隐函数： F ( x, y，z ) = 0 ⇒ ⎨ ⎪隐函数求导法：方程两边对x ( 或y ) 求偏导,注意z = z ( x , y )为x、y的函数 ⎪ ⎩微分法：方程两边取微分，Fx dx + Fy dy + Fz dz =0⇒ dz ="
Δx →0
f ( x0 + Δx, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ， Δx
f y ( x0 , y0 ) = lim
Δy → 0
f ( x0 , y0 + Δy ) − f ( x0 , y0 ) Δy
2） 求导法则：对 x 求偏导，暂时视 y 为常量；对 y 求偏导，暂时视 x 为常量 3） 复合函数的求导法则（链式法则） ：若 z = f (u , v) 具有连续偏导数，而 u = g ( x, y ) 与
| A1 A2 + B1 B2 + C1C2 |
A12 + B12 + C12 A2 2 + B2 2 + C2 2
；
G G Π1 ⊥ Π 2 ⇔ n1 ⋅ n2 = 0 ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 ；
A B C G G Π1 & Π（或重合） ⇔ n1 & n2 ⇔ 1 = 1 = 1 2 A2 B2 C2
G G | s1 ⋅ s2 | | m1m2 + n1n2 + p1 p2 | G G n ； 2)线线： cos θ =| cos( s1 , s2 ) |= G G = 2 | s1 || s2 | m1 + n12 + p12 m2 2 + n2 2 + p2 2 m n p G G G G （或重合） ⇔ s1 & s2 ⇔ 1 = 1 = 1 L1 ⊥ L2 ⇔ s1 ⋅ s2 = 0 ⇔ m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 ； L1 & L 2 m2 n2 p2 G G | s ⋅n | G G m 3)线面： sin ϕ =| cos( s , n ) |= G G = | s || n | A B C G G L⊥Π⇔ s &n⇔ = = ； m n p
⎧u =u ( x , y ) ⎨ ⎩ v =v ( x , y )
⇒
对x ( 或y ) 求偏导，视y ( 或x )为常量, 得
∂u ∂v , ∂x ∂x
（或 ∂y , ∂y ）
∂u
∂v
（四） 全微分：可微函数 z = f ( x, y ) 的全微分为： dz = z x dx + z y dy . 定义为： Δz[ = f ( x0 + Δx, y0 + Δy ) − f ( x0 , y0 )] = AΔx + BΔy + o( ρ ) ，其中 ρ =
2） 方程组的情形： （隐函数求导法）
⎧ F ( x, y, z ) = 0 ⎩ z = z ( x ) dy dz ⇒ , 三元方程组确定两个一元隐函数： ⎨ ⎩G ( x, y, z ) = 0 对x求导 dx dx
四元方程组可确定两个二元隐函数：

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高等数学下册总复习word

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总复习（三重积分、曲线曲面积分） （注：教材中带*号的内容不考）一， 各种积分：重积分（一重积分即定积分，二重积分，三重积分）， 曲线积分（第一类，第二类；平面，空间），曲面积分（第一类，第二类）怎样识别：根据积分区域。

另外对第一、第二类线、面积分还要看微元字符。

二， 重点：1,重积分重点主要是定限和计算，其次是几何应用（体积，曲面面积）与物理应用（质量，质心，做功，引力）2,曲线曲面积分重点主要是计算，其次是几何与物理应用3,各种积分的关系（主要用于通过互化来计算）：格林公式，高斯公式，斯托克斯公式*，两类曲线曲面积分互化三，三重积分的计算： 1. “2+1”公式：21(,)(,)(,,) (1)xyz x y z x y D f x y z dxdydz dxdy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（，，）此公式可导出“1+1+1”公式，柱坐标，球坐标* 2. “1+2”公式”：(,,) (2)(,,)zd cD z f x y z dxdydz dz f x y z dxdy D z f x y z z Ω=Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰（，，）其中为用垂直于 轴的平面去截割积分区域所得到的平面区域.此公式常用于当仅含时.2211()(,)()(,)2223. (,,) (3)12, , by x z x y a y x z x y f x y z dxdydz dx dy f x y z dz x y z r c Ω=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰化为三次积分：（，，）4. 化为柱坐标：当公式（），（）中的二重积分用极坐标时即为柱坐标。

5*. 化为球坐标：当被积函数含有积分区域的边界曲面是球坐标曲 面（球面圆锥, c c ϕθ==面半平面）时，常使用球坐标。

公式（3）定限方法：穿越法:1212(,) (,) () () z z x y z z x y y y x y y x ====为入口面，为出口面，为入口线，为出口线.要领：内限是外积分变量的函数。

高数下期末总复习大全(同济六版)(2020年整理).pptx

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学海无 涯
xy
(t)， (t)，
z (t)，
空
间 ( t )
曲
线
：
zy
(x) (x)
切向量
T ((t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
切向量
T (1 , (x) , (x))
法向量
F(x, y, z) 0
空 间 曲 面 ：
n ( Fx (x0 , y0 , z0 ) , Fy (x0 , y0 , z0 ) , Fz (x0 , y0 , z0 ) )
x x0 y y0 z z0 fx (x0 , y0 ) f y (x0 ,y0 ) 1
学海无 涯
第十章 重积分
积分类型
二重积分
I f x, yd
D
重积分
计算方法
（1）
利用直角坐标系
X—型 Y—型
b
2 ( x)
f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy a (x)
a ax2 a 2 a 2
y
z
和差
c a b ax bx , ay by , az bz
单位向量
方向余弦
点乘（数量积 ） 叉乘（向量积 ）
c ab
垂直 平行
交角余弦
投影
c a b c a－b a 0 ，则 e a
aa
设 a 与 x, y, z 轴的夹角分别为，， ， 则方向余弦分别为cos，cos，cos
学海无 涯
高数下期末总复习大全（同济六版）
第八章 向量与解析几何
定义 向量
模
向量代数 定义与运算的几何表达
有大小、有方向. 记作a 或 AB
向量a 的模记作 a
在直角坐标系下的表示
高等数学第六版下册复习纲要

高等数学第六版下册复习纲要

2.第二型曲线积分的计算：
若曲线 的参数方程是： ， 分别对应曲线的两个端点，则第一型曲线积分
3.格林公式(联系曲线积分和二重积分)
设有界闭区域D由分段光滑曲线C所围成，C取正向，函数 在D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式 .
注：1.可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域的面积：设有界闭区域D由取正向的光滑曲线C所围成，则区域D的面积为 .
2.聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点；
3.开集和闭集内的所有点都是聚点.
二、二元函数的极限、连续性的相关知识点
1.二元函数 在 点的二重极限： .
2.二元函数 在 点的连续性： .
3.二元初等函数在其定义区域内连续.
二、二元函数的偏导数的相关知识点
1.函数 对自变量 的偏导数： 及 .
切线方程：
法平面方程：
2). 以一般式方程 表示的曲线在点 的切线和法平面方程：
先用方程组 确定的隐函数组 微分法求出 ，然后得到切线的方向向量
切线方程：
法平面方程：
2.曲面的切平面方程和法线方程
1).以一般式方程 表示的曲面在点 的切平面和法线方程：
切平面线方程：
法方程：
2).以特殊式方程 表示的曲面在点 的切平面和法线方程：
2. 函数 对自变量 的二阶偏导数： 、 、 、
注：若二阶混合偏导数 与 连续，则二者相等.
三、二元函数的全微分：
四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系
1. 函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关系.
2. 偏导数存在性与全微分存在性的关系：
全微分存在，偏导数存在；反之未必.(偏导数不存在，全微分一定不存在)
(整理)高等数学第六版下册复习纲要

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第八章：空间解析几何与向量代数一、向量 ),,(),,,(),,,(c c c b b b a a a z y x c z y x b z y x a ===1.向量),,(a a a z y x a =与),,(b b b z y x b = 的数量积：b a b b b a z z y x x x b a b a ++==⋅ϕcos；2. 向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 的向量积：bb b a a a z y x z y x kj i b a=⨯.ϕsin b a b a=⨯的几何意义为以b a ,为邻边的平行四边形的面积.3. 向量),,(z y x r=的方向余弦：222222222cos ,cos ,cos zy x y zy x y zy x x ++=++=++=γβα，1cos cos cos 222=++γβα；2sin sin sin 222=++γβα. 4. 向量),,(a a a z y x a =与),,(b b b z y x b =垂直的判定：00=++⇔=⋅⇔⊥b a b b b a z z y x x x b a b a.5. 向量),,(a a a z y x a =与),,(b b b z y x b =平行的判定：k z z y x x x k b k a b a b a ba b b b a ===⇔≠=⇔=⨯⇔0,0//.6. 三向量共面的判定： ⇒=++0c n b m a k c b a ,,共面.7. 向量),,(a a a z y x a = 在),,(b b b z y x b = 上的投影：222Pr aa a ba b b b a a z y x z z y x x x a b a b j ++++=⋅= .二、平面1. 过点),,(000z y x P ，以),,(C B A n=为法向量的平面的点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .2. 以向量),,(C B A n=为法向量的平面的一般式方程：0=+++D Cz By Ax .3. 点),,(111z y x M 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离222111CB A D cz By Ax d +++++=.4. 平面0:11111=+++D z C y B x A ∏与0:22222=+++D z C y B x A ∏平行的判定：212121212121////D D C C B B A A n n ≠==⇔⇔∏∏.5. 平面0:11111=+++D z C y B x A ∏与0:22222=+++D z C y B x A ∏垂直的判定：021********=++⇔⊥⇔⊥C C B B A A n n∏∏.6. 平面0:11111=+++D z C y B x A ∏与0:22222=+++D z C y B x A ∏的夹角：222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ三、直线1. 过点),,(000z y x P ，以),,(p n m s=为方向向量的直线的点向式(对称式、标准)方程：pz z n y y m x x 000-=-=-.2. 过点),,(000z y x P ，以),,(p n m s = 为方向向量的直线的参数式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-tpz z tn y y tm x x 000.3. 直线的一般式方程：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A .方向向量为21n n s⨯=.4.直线方程之间的转化： i) 点向式↔参数式 ii) 一般式→点向式 第一步：找点 第二步：找方向向量21n n s⨯=5. 直线1111111:p z z n y y m x x L -=-=-与2222222:p z z n y y m x x L -=-=-平行的判定：2121212121////p pn n m m s s L L ==⇔⇔ .6. 直线1111111:p z z n y y m x x L -=-=-与2222222:p z z n y y m x x L -=-=-垂直的判定：021********=++⇔⊥⇔⊥p p n n m m s s L L.7. 直线1111111:p z z n y y m x x L -=-=-与2222222:p z z n y y m x x L -=-=-的夹角：222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ.8. 直线nz z m y y l x x L 000:-=-=-与平面0:=+++D Cz By Ax ∏垂直的判定： CnB m A l N S L ==⇔⇔⊥ //∏.9. 直线nz z m y y l x x L 000:-=-=-与平面0:=+++D Cz By Ax ∏平行的判定： 0//=++⇔⊥⇔Cn Bm Al N S L∏.10. 直线nz z m y y l x x L 000:-=-=-与平面0:=+++D Cz By Ax ∏的夹角：222222sin pn m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ.11.点),,(000z y x P 到直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 的距离：s s PM d⨯=，其中M是直线上任意一点，21n n s⨯=.四、曲线、曲面 1.yoz 平面上的曲线C ：0),(=z y f 绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面为S ：0),(22=+±z y x f .2.空间曲线C ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 关于xoy 平面上的投影柱面方程为：0),(=y x H ；在xoy 平面上的投影曲线为C ：⎩⎨⎧==00),(z y x H .第九章：多元函数微分法及其应用一、平面点集1.内点一定在点集内，但点集内的点未必是点集的内点，还有孤立点；2.聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点；3.开集和闭集内的所有点都是聚点. 二、二元函数的极限、连续性的相关知识点1.二元函数),(y x f 在),(00y x 点的二重极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00.2.二元函数),(y x f 在),(00y x 点的连续性：),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→.3.二元初等函数在其定义区域内连续. 二、二元函数的偏导数的相关知识点 1.函数),(y x f z= 对自变量y x ,的偏导数：x z ∂∂及yz ∂∂. 2. 函数),(y x f z = 对自变量y x ,的二阶偏导数：22x z∂∂、22y z ∂∂、y x z ∂∂∂2、xy z ∂∂∂2 注：若二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2与xy z∂∂∂2连续，则二者相等.三、二元函数的全微分：dy yz dx x z dz∂∂+∂∂=四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系 1. 函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关系. 2. 偏导数存在性与全微分存在性的关系：全微分存在，偏导数存在；反之未必.(偏导数不存在，全微分一定不存在) 偏导数连续，全微分存在，反之未必. 3. 连续性与全微分存在性的关系：全微分存在，函数一定连续；(函数不连续，全微分一定不存在) 函数连续，全微分未必存在. 五、二元复合函数的偏(全)导数1.中间变量为两个，自变量为一个的复合函数的全导数：))(),((),(),(),,(t t f z t v t u v u f z ψϕψϕ====，dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= 2.中间变量为两个，自变量为两个的复合函数的偏导数：)),(),,((),,(),,(),,(y x y x f z y x v y x u v u f z ψϕψϕ====，xv v z x u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂, 六、隐函数微分法1.由一个方程确定的隐函数微分法：0),,(=z y x F 确定隐函数),(y x f z=，直接对方程左右两端关于自变量求偏导数，即0=∂∂∂∂+∂∂+∂∂xzz F dx dy y F dx dx x F ，即001=∂∂∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂x z z F y F x F ，解得''zx F F x z-=∂∂2.由方程组确定的隐函数组微分法：⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 确定隐函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，直接对方程组左右两端关于自变量求偏导数，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂00xv v G x u u G dx dy y G dx dx x G x vv F x u u F dx dy y F dx dx x F ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂00xv v G x u u G x G xvv F x u u F x F ，可以解出x v x u ∂∂∂∂,. 七、偏导数的几何应用 1.曲线的切线方程和法平面方程1). 以参数式方程⎪⎩⎪⎨⎧===)(),(),(t z t y t x χψϕ表示的曲线在0t t =对应的点),,(000z y x M 的切线方程：)()()(0'00'00'0t z z t y y t x x χψϕ-=-=- 法平面方程：0))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t y y t x x t χψϕ2). 以一般式方程⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 表示的曲线在点),,(000z y x M 的切线和法平面方程：先用方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 确定的隐函数组⎩⎨⎧==)()(x g z x f y 微分法求出dx dzdx dy ,，然后得到切线的方向向量⎪⎭⎫ ⎝⎛===00,,1x x x x dxdz dxdy n切线方程：)()(10'00'00x g zz x f y y x x -=-=- 法平面方程：0))(())((00'00'0=-+-+-z z x g y y x f x x2.曲面的切平面方程和法线方程1).以一般式方程0),,(=z y x F 表示的曲面在点),,(000z y x M 的切平面和法线方程： 切平面线方程：0))(())(())((0'0'0'=-+-+-z z M F y y M F x x M F z y x法方程：)()()('0'0'0M F z z M F y y M F x x z x x -=-=-2).以特殊式方程),(y x f z =表示的曲面在点),,(000z y x M 的切平面和法线方程：令0),(),,(=-=z y x f z y x F ，有曲面在点),,(000z y x M 的切平面的法向量)1),,(),,(())(),(),((00'00''''-==y x f y x f M F M F M F N y x z y x切平面线方程：0)())(,())(,(0000'000'=---+-z z y y y x f x x y x f y x法方程：1),(),(000'000'0--=-=-z z y x f y y y x f x x x x .3.方向导数与梯度：1). 方向导数：ρ∆∆ρ).(),(lim 0y x f y y x x f l f -++=∂∂→ 2). 方向导数存在条件：可微分函数),(y x f z =在一点沿任意方向l 的方向导数都存在，并且βαcos cos yzx z l f ∂∂+∂∂=∂∂，其中βαcos ,cos 是方向l 的方向余弦.3). 梯度：函数),,(z y x f 在点),,(000z y x M 处的梯度k z y x f j z y x f i z y x f z y x f grad z y x ),,(),,(),,(),,(000000000000++=( ).4). 方向导数与梯度的关系： ①.函数),,(z y x f 在点),,(000z y x M 处增加最快的方向是其梯度),,(000z y x f grad 的方向，减小最快的方向是),,(000z y x f grad -的方向.②. 函数),,(z y x f 在点),,(000z y x M 沿任意方向的方向导数的最大值为),,(000z y x f grad .八、极值、条件极值 1. 函数),(y x f z=的极值点和驻点的关系：函数),(y x f z =的极值在其驻点或不可偏导点取得.2.求函数极值的步骤：(1).对函数),(y x f z =求偏导数，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==0),(0),(''y x f y x f y x ，得所有驻点),(i i y x .(2).对每一个驻点),(i i y x ，求出二阶偏导数的值),(),,(),,(''''''i i yy i i xy i i xx y x f C y x f B y x f A ===.(3).计算AC B -2，根据AC B -2以及A 的符号判定),(i i y x f 是否是极值：若0,02><-A AC B ，则),(i i y x f 是极小值； 若0,02<<-A AC B ，则),(i i y x f 是极大值； 若,02>-AC B ，则),(i i y x f 不是极小值；若,02=-AC B，则),(i i y x f 是否是极值不能判定，需其他方法验证.3.求函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x ϕ下的条件极值的方法：做拉格朗日函数),(),(),(y x y x f y x F λϕ+=，对自变量y x ,求偏导，建立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=0),(),(),(0),(),(),(''''''y x y x f y x F y x y x f y x F y y yx x x λϕλϕ 与附加条件联立的方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+==+=0),(0),(),(),(0),(),(),(''''''y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλϕλϕ，解出的y x ,就是函数),(y x f z =的可能极值点.第十章：重积分一、二重积分的相关性质 1.有界闭区域上的连续函数),(y x f 在该区域D 上二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(存在；2.若函数),(y x f 在有界闭区域D 上二重积分存在⎰⎰Dd y x f σ),(，则),(y x f 在该区域上有界；3.中值性：若函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，区域D 的面积为σ，则在D 上至少存在一点),(ηξ，使得σσ⋅=⎰⎰),(),(y x f d y x f D.4.σσ=⎰⎰Dd 1，区域D 的面积为σ.二、二重积分的计算1.利用平面直角坐标计算二重积分 1).先对y 后对x 积分，由于积分区域:D b x a <<；)()(21x y x ϕϕ<<，有⎰⎰⎰⎰=bax x Ddy y x f dx d y x f )()(21),(),(ϕϕσ.2).先对x 后对y 积分，由于积分区域:D d y c <<；)()(21y x y ψψ<<，有⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy d y x f )()(21),(),(ψψσ.3).积分换序：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==dcy y Dbax x dx y x f dy d y x f dy y x f dx )()()()(2121),(),(),(ψψϕϕσ.2.利用极坐标计算二重积分令⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，由于积分区域:D βθα<<；)()(21θρθρ<<x ，有⎰⎰⎰⎰=βαθρθρρρθρθρθσ)()(21)sin ,cos (),(d f d d y x f D.三、三重积分的相关性质：V dV =⎰⎰⎰Ω1，区域Ω的体积为V . 四、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分 积分区域V ：b x a<<；)()(21x y y x y <<；),(),(21y x z z y x z <<，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰=),(),()()(2121),,(),,(y x z y x z bax y x y dz z y x f dy dx dV x y x f Ω第十一章：曲线积分 曲面积分一、曲线积分的计算 1.第一型曲线积分的计算： 若曲线C 的参数方程是：10),(),(t t t t y t x ≤≤⎩⎨⎧==ψϕ，则第一型曲线积分⎰⎰+=Ct t dt t t t t f ds y x f 10)()()](),([),(2'2'ψϕψϕ2.第二型曲线积分的计算：若曲线C 的参数方程是：10),(),(t t t t y t x ≤≤⎩⎨⎧==ψϕ，B A t t t t ==10,分别对应曲线的两个端点，则第一型曲线积分⎰⎰+=+1)())(),(()())(),((),(),(''t t Cdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P ψψϕϕψϕ3.格林公式(联系曲线积分和二重积分)设有界闭区域D 由分段光滑曲线C 所围成，C 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则有格林公式⎰=+CQdy Pdx dxdy y P x Q D ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂.注：1.可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域的面积：设有界闭区域D 由取正向的光滑曲线C 所围成，则区域D 的面积为⎰⎰⎰+-==CDxdy ydx dxdy 21σ. 2. 函数),(),,(y x Q y x P 在区域D 上连续. 二、曲面积分的计算 1.第一型曲面积分的计算： 若曲面S 的方程是：),(y x z z =具有连续偏导数，且在xoy 平面上的投影区域为xy D ，函数),,(z y x f 在S 上连续，则第一型曲面积分dxdy z z y z z y z f dS z y x f xyD y x S⎰⎰++=2'2'1)],(,,[),,(2.第二型曲面积分的计算： 若正向曲面S 的方程是：),(y x z z =，且在xoy 平面上的投影区域为xy D ，函数),,(z y x R 在S 上连续，则第二型曲面积分dxdy y x z y x R dxdy z y x R xyD S⎰⎰=)],(,,[),,(， 同理可得dydz z y z y x R dydz z y x P yzD S⎰⎰=)],),,([),,(；dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q zxD S⎰⎰=)]),,(,[),,(3.高斯公式(联系曲面积分和三重积分)若函数),,(),,,(z y x Q z y x P 在空间有界闭区域Ω及其光滑边界曲面S 上具有连续偏导数，则有高斯公式：⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++S dxdydz z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz Ω.注：设空间有界闭区域Ω由光滑封闭曲面S 所围成，则区域Ω的体积为⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz V 31. 4.斯托克斯公式(联系曲面积分和三重积分) 若函数),,(),,,(z y x Q z y x P 在光滑曲面S 及其光滑的边界曲线C 上具有连续偏导数，则有斯托克斯公式⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++L D dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx . 三、曲线积分与路径无关的条件 (1). 曲线积分⎰+),(),(),(B A C dy y x Q dx y x P 与路径无关；(2).0),(),(=+⎰Cdy y x Q dx y x P ；(3). 存在函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P du ),(),(+=；(4).yPx Q ∂∂=∂∂ 第十二章：无穷级数一、级数敛散性的相关性质1.∑∞=1n n a 敛散⇔⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=n k k n a S 1}{敛散 2.∑∞=1n na收敛⇒0lim =∞→n n a3. 0lim ≠∞→nn a ⇒∑∞=1n na 发散4. 正项级数∑=n i n a 1的部分和数列}{n S 有界⇒级数∑=ni n a 1收敛5. ∑=ni na 1收敛⇒∑=ni na 1收敛.二、级数敛散性判别 1.正项级数敛散性判别 (1).比较判别法； (2).比值判别法； (3).根值判别法.2.交错级数收敛性判别法：莱布尼兹判别法精品文档精品文档3.任意项级数敛性判别法：绝对收敛判别法4.两种常用级数收敛和发散的条件(1). 等比级数∑∞=-11n n aq收敛条件是1<q ；发散条件是1≥q .(2). p 级数∑=ni p n11收敛条件是1>p ；发散条件是1≤p .二、幂级数的相关概念 1.收敛域的求法 (1).对标准幂级数∑∞=0n nn xa ，先求其收敛半径nn n a a R 1lim11+∞→==ρ，再判断级数∑∞=0n nn Ra 以及∑∞=-0)(n nnR a的敛散性，最后确定收敛域是),(R R -、R],(R -、)R ,[R -以及]R ,[R -中的哪一个.(2). 对非标准幂级数∑∞=0)(n nx a，先求极限)()()(lim1x x a x a n n n ϕ=+∞→，当1)(<x ϕ时，∑∞=0)(n n x a 绝对收敛，解出),(b a x ∈，再判断级数∑∞=0n nn aa 以及∑∞=0n nn ba 的敛散性，最后确定收敛域是),(b a 、],(b a 、),[b a 以及],[b a 中的哪一个.2.和函数的求法：利用和函数的性质(1).连续性；(2).逐项可微分；(1).逐项可积分.3.函数的幂级数展开式.。